1
Atom vodíku
Nejjednodušší soustava: p + e
Schrödingerova rovnice je
řešitelná exaktně
Kulová symetrie - výhoda
Potenciální energie mezi p + e
Ĥ  = E 
2
Polární souřadnice – využití kulové symetrie atomu
(x,y,z)  (r,, ) x = ?
y = ?
z = r cos 
3
Rozklad vlnové funkce
na radiální a angulární část
n, l, m (r,, ) = N  Rn, l (r)  l, m(, )
Separace proměnných
Rn, l (r) = radiální část vlnové funkce, závisí jen na vzdálenosti r
od jádra
l, m(, ) = angulární (úhlová) část vlnové funkce závisí na
směru , 
N = normalizační konstanta
aby platilo |  |2 dV = +1
normalizační podmínka, elektron určitě někde je,
pravděpodobnost = 1
4
Kvantová čísla
Hlavní kvantové číslo n, (nabývá hodnot 1 až )
Vedlejší kvantové číslo l, (nabývá hodnot 0 až n 1)
l = 0 (s), 1 (p), 2 (d), 3 (f), 4 (g), 5 (h), ........
Magnetické kvantové číslo ml, (nabývá hodnot + l, .....0, ..... l)
Pro každé l je (2l + 1) hodnot ml
Spinové kvantové číslo ms (nabývá hodnot ±½)
Rn, l (r) závisí na kvantových číslech n a l
l, m(, ) závisí na kvantových číslech l a ml
5
Vlastní vlnové funkce atomu H
• řešení Schrödingerovy
rovnice
• komplexní funkce souřadnic
x, y, z nebo lépe r, , 
• nemají fyzikální význam
• mohou nabývat kladných i
záporných hodnot (fáze!)
• |  |2 má význam hustoty
pravděpodobnosti výskytu e
6
Vlastní hodnoty energie E v atomu H typu
 = redukovaná hmotnost systému jádro-elektron
e = elementární náboj, 0 = permitivita vakua
Z – čím vyšší náboj jádra tím silněji je elektron vázán, nižší
energie, jednoelektronové ionty (He+, Li2+,....)
n – s rostoucím hlavním kvantovým číslem se e stává méně
stabilní
Odpovídá Bohrově rovnici!!
7
Vlastní hodnoty E elektronu v atomu H typu
E1 = 13,6 eV
• Hlavní kvantové číslo n
• Energie hladiny závisí jen na n
• Vyšší n má vyšší energii - méně stabilní
• n stejné jako v Bohrově modelu
• Přípustné hodnoty 1 až 
E2 = ?
Pro každé n existuje n2
degenerovaných hladin
 (2l + 1) = n2
8
Orbitální moment hybnosti
L = orbitální moment hybnosti (vektor)
L = m × v × r = p × r
Popisuje pohyb elektronů v
orbitalech
L
Velikost L je kvantována
9
Vedlejší kvantové číslo l
l orbital
0 s
1 p
2 d
3 f
4 g
5 h
6 i
7 j
8 k
L = orbitální moment hybnosti
L = m × v × r
Určuje typ orbitalu, (0 až n 1)
tyto orbitaly nejsou zaplněny
elektrony u atomů v
základním stavu
10
Magnetické kvantové číslo ml
l orbital ml
0 s 0
1 p 1, 0, 1
2 d 2, 1, 0, 1, 2
3 f 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3
4 g nejsou zaplněny
5 h elektrony u atomů v
6 i základním stavu
Pro každé n existuje n2
degenerovaných hladin
11
Kvantování orbitálního momentu hybnosti
Velikost L je kvantována číslem l
Velikost Lz je kvantována číslem ml
12
s p d f g h
l = 0 1 2 3 4 5
n = 1 1s
n = 2 2s 2p
n = 3 3s 3p 3d
n = 4 4s 4p 4d 4f
n = 5 5s 5p 5d 5f 5g
n = 6 6s 6p 6d 6f 6g 6h
Pro každé n existuje n2 degenerovaných hladin
13
Magnetické spinové kvantové číslo ms
Stern-Gerlachův experiment
S = spinový
moment
hybnosti
vakuum
Nehomogenní magnetické pole
Pícka s Ag
Spin je kvantová
vlastnost částic
14
Magnetické spinové kvantové číslo ms
S = h/2 [s (s +1)]½
s = ½
SZ = ms h/2
ms = ±½
15
Orbital
Polohu elektronu nelze určit přesně – Heisenbergův princip
lze ale stanovit pravděpodobnost výskytu elektronu
Radiální část vlnové funkce určuje pravděpodobnost výskytu e
směrem od jádra (do r = ) a počet nodálních ploch = místa
nulové hodnoty distribuční funkce
Angulární část vlnové funkce určuje tvar orbitalu (počet
nodálních rovin)
16
 = vlnová funkce
Vlnové funkce  jsou řešením
Schrödingerovy rovnice
|  |2 = hustota pravděpodobnosti
výskytu elektronu
|  |2 dV = pravděpodobnost
výskytu elektronu v objemu dV
= rozložení elektronové hustoty
1s
17
Pravděpodobnost výskytu elektronu
Polární souřadnice
Rn, l (r) radiální část vlnové funkce
dV = 4r2 dr (kulová slupka tloušťky dr)
Radiální distribuční funkce
P = 4r2 |  |2 dr = 4r2 R2
n, l (r) dr
P = Pravděpodobnost
výskytu elektronu v objemu
tvaru kulové slupky
tloušťky dr ve vzdálenosti r
18
s - orbitaly
Rn, l (r) = radiální část vlnové funkce, závisí jen na
vzdálenosti od jádra r
l, m(, ) = angulární (úhlová) část vlnové funkce, je
konstanta pro s-orbitaly (l = 0) = KULOVÝ TVAR
19
Atomový orbital 1s
Rn, l (r)
n = 1, l = 0
Vlnová funkce 1s
20
Radiální distribuční funkce
Rn, l (r) = radiální část vlnové funkce atomu H
4r2 R2
n, l (r) = radiální distribuční funkce
rmax = nejpravděpodobnější poloměr
pro 1s rmax = a0 Bohrův poloměr
4r2 R2
n, l (r)
21
Vlnová funkce
Hustota
pravděpodobnosti
Radiální rozložení
(distribuční fce)
Orbital
Vlnová funkce
mění znaménko
Distribuční funkce
má někde nulové hodnoty
22
4r2R2
n,l(r)=radiálnídistribučnífunkce
23
Uzlové (nodální) plochy v radiální distribuční
funkci
Počet kulových uzlových (nodálních) ploch
v radiální distribuční funkci n  l 1
Uzlová (nodální) plocha
• Vlnová funkce mění znaménko
• Radiální distribuční funkce nabývá nulové hodnoty
24
Účinek Z na radiální část vlnové funkce s
S rostoucím nábojem jádra Z se poloha maxima
pravděpodobnosti výskytu e přibližuje k jádru
Radiální distribuční funkce 1s
25
Angulární část vlnové funkce p orbitalů
Angulární část vlnové funkce určuje tvar orbitalu
Stejná pro všechny hodnoty n
26
p - orbitaly
n = 2, l = 1, m = 1,0,1
Angulární část vlnové funkce určuje tvar
Stejná pro všechny hodnoty n
27
n = 2, l = 1, m = 0 n = 3, l = 1, m = 0
2p - orbitaly 3p - orbitaly
Radiální a angulární část
vlnové funkce p orbitalů
28
29
2p - orbitaly 3p - orbitaly
Vlnové funkce = Radiální × Angulární část
+

+
+


30
Angulární část vlnové funkce d orbitalů
31
d - orbitaly
32
d - orbitaly
33
f - orbitaly
34
f - orbitaly
35
Uzlové (nodální) plochy a roviny
Pouze s-orbitaly
mají nenulovou
hodnotu vlnové
funkce na jádře
Kulové uzlové (nodálních) plochy = n  l 1
Platí pro s, p, d, f,....
radiální (n, l) část vlnové funkce
Uzlové (nodálních) roviny
angulární (l, ml) části vlnové funkce :
Orbital Počet
s 0
p 1
d 2
f 3
. .
. .
36
Uzlové (nodální) plochy a roviny
Kulové uzlové (nodálních) plochy = n  l 1
Platí pro s, p, d, f,....
radiální část vlnové funkce
37
Energie orbitalů v H atomu
Energeticky degenerované hladiny
n Energie závisí pouze na n
Odpuzování elektronů
38
Poloměr atomu H 0.53 Å
Poloměr hydridového aniontu: 1.5 Å
39
Energie orbitalů ve víceelektronových atomech
Ve víceelektronových atomech nejsou
energetické hladiny degenerované
Energie závisí na n a l
40
Energie orbitalů ve víceelektronových atomech
Stabilnější orbital
(nižší energie)
Madelungovo pravidlo
(platí po Ca)
1. Nižší (n + l)
2. Při rovnosti n + l
nižší n
3p 4s
4p 3d
41
Víceelektronové atomy – Penetrace a stínění
2s a 2p penetrují 1s
2s penetruje více než 2p
E(2s) < E(2p)
ale maxima r(2s) > r(2p)
1s
2p 2s
42
Víceelektronové atomy – Penetrace a stínění
Čím se elektron průměrně nachází blíže k jádru, tím je
pevněji vázán a má nižší energii
E(2s) < E(2p)
r(2s) > r(2p)
43
Relativní energie orbitalů s, p, d
E(3s) < E(3p) < E(3d)
r(3s) > r(3p) > r(3d)
44
Slaterovy orbitaly
Orbitaly pro víceelektronové atomy - přibližné
• orbitaly (vlnové funkce) vodíkového typu
• azimutální část: stejná jako u H
• radiální část (nemá nodální plochy):
Z* = efektivní náboj jádra, N = normalizační konstanta
n* = efektivní kvant. číslo (pro K, L, M = n)
Ei =  N (Z*i /ni)2 N = 1313 kJ mol 1
45
Efektivní náboj jádra, Z*
Z* = efektivní náboj jádra = náboj působící na zkoumaný elektron
= náboj jádra (Z+) – náboj ostatních elektronů
Z* = Z    = stínící konstanta, součet pro všechny elektrony
Slaterova pravidla:
(1s)(2s,2p)(3s,3p)(3d)(4s,4p)(4d)(4f)(5s,5p)(5d)(5f)...
Elektrony napravo od zkoumaného elektronu nestíní, nepřispívají k 
Uvnitř skupiny stíní 0.35 (1s jen 0.30)
Zkoumaný elektron typu s nebo p :
Elektrony v n  1 vrstvě stíní 0.85
Elektrony v n  2 vrstvě a nižších stíní 1.00
Zkoumaný elektron v d nebo f : vše nalevo stíní 1.00
46
Efektivní náboj jádra
Z* = efektivní náboj jádra
Z* = Z  
Náboj působící na elektron = náboj jádra (Z+) – náboj
ostatních elektronů
K (1s)2(2s,2p)8(3s,3p)8(3d)1
(3d) = 0 x (0.35) + 8 x 1.00 + 10 x 1.00 = 18
Z* = 19  18 = 1
K (1s)2(2s,2p)8(3s,3p)8 (4s)1
(4s) = 0 x (0.35) + 8 x 0.85 + 10 x 1.00 = 16.8
Z* = 19  16.8 = 2.2
47
Efektivní náboj jádra
48
Efektivní náboj působící na valenční elektrony
Efektivní náboj
Z* He (1s)2
(1s) = 1 x (0.30) = 0.30
Z* = 2  0.30 = 1.70
F (1s2)(2s2,2p5)
(2p) = 0.35 x 6 + 0.85 x 2 = 3.8
Z* = 9 – 3.8 = 5.2
49
Efektivní náboj
Z*
1s elektrony nejsou stíněny
Ostatní
elektrony ve
vyšších
orbitalech
jsou stíněny
K (1s)2(2s,2p)8(3s,3p)8 (4s)1
50
Poloměr maximální
elektronové hustoty
r(2s) > r(2p)
r(3s) ~ r(3p)
K (1s)2(2s,2p)8(3s,3p)8 (4s)1
Energie orbitalů 1s, 2s a 2p
51
52
Energie orbitalů 2s a 2p
Blízká pro lehké prvky
53
Elektronová konfigurace atomu
v základním stavu
Aufbau (výstavbový) princip:
Elektronové hladiny se zaplňují
elektrony v pořadí rostoucí
energie tak, aby měl atom co
nejnižší celkovou energii
Pauliho princip:
Žádné dva elektrony nemohou mít
všechna 4 kvantová čísla stejná.
Hundovo pravidlo:
V degenerovaných orbitalech je
stav s max. počtem nepárových
spinů nejstabilnější.
n
l
n + l
54
Elektronová konfigurace C
Elektronová konfigurace atomu
v základním stavu
55
56
Elektronová konfigurace valenční slupky
(Ne)