Cvičení z termodynamiky a statistické fyziky
1. Nechť F(x,y) = xey. Spočtěte dF/dx, dF/dy, d2F/dx2, d2F/dxdy, d2F/dydx, d2F/dx2.
2. Buď du = A(x, y)dx + B(x, y)dy libovolná diferenciální forma (Pfaffián). Ukažte, že v případě, že du je úplný diferenciál (existuje funkce F (x, y) tak, že du = dF), musí platit
dA    dB , . /■
a)   -dy- = ^      b) rw=0'
(b) pro každou uzavřenou integrační cestu.
3. Buď dui = (x2 — y) dx + xdy. Je to úplný diferenciál, je du2 =dui/x2 úplný diferenciál? Vypočtěte integrál J du mezi body (1,1) a (2,2) podél přímek (1,1) —> (l,2)->(2,2)a(l,l)->(2,l)->(2,2).
4. Je du = pdV + Vdp úplný diferenciál? Pokud ano, určete funkci F jejímž úplným diferenciálem je du. Spočtěte integrál Jdu mezi body (Vi,pi) a (V2,P2) podél přímek (K,p2)     (V2,p2) a (V^pi) (V2,p2)-
5. Je dQ = cdT+RydV úplný diferenciál? Spočtěte integrál J du mezi body (Vi, Ti) a (V2,T2) podél přímek (V^Tx) -> (K,T2) -> (V2,T2) a (K,Ti) -> (V,,^) -> (^,7^). Jakou funkcí f(V,T) musíme dQ vynásobit, aby součin fdQ byl úplným diferenciálem? Určete funkci S pro níž dS = fdQ. c a R jsou konstanty.
6. x, y a z jsou 3 stavové veličiny, spojené stavovou rovnicí f(x,y,z) = 0. Ukažte platnost vztahů
(¥) (t)      (¥) =-(¥) (¥)
\dyjz    \dxjz \dyjz \dzjy\dyjx
a
/ dx \      ( dx \ ( dx \   / dw \
\dy)z~\dy)w \dw)y\dy)z
přičemž dolní index označuje konstantní veličinu a w je další stavovou veličinou,
w = w(x, y, z).
7. Stavová rovnice pV = NkT váže proměnné p, V a T, přičemž N a k jsou konstanty. Přímým výpočtem ověřte, že (dp/dV)T = (dV/dp)Tľ, (dp/dT)v = {dT/dp)v\ {dp/dV)T = -(dp/dT)v(dT/dV)p, (dT/dV)p = -{dT/dp)v{dp/dV)T.
8. Stavová rovnice ideálního plynu může být zapsána jako pV = NkT, pV = ri\RT, p = pkT/fi, p = nkT, kde p, V, T jsou tlak, objem a teplota, N je počet částic, n jejich koncentrace, k je Boltzmannova konstanta (k = 1, 38 • 1CT23 m2 kg s~2 Kr1), R je plynová konstanta (R = 8, 31 J moľ1 Kr1), ri\ je látkové množství, p je hustota plynu a p molekulová hmotnost. Uvěřte rozměr k a R. Jaký rozměr má n? Ukažte, že jednotlivé rovnice jsou ekvivalentní (Na = 6.022 • 1023 moP1).
1
9. Při konstantní teplotě 20° C se ideální plyn kvazistaticky rozpíná ze stavu s tlakem 20 atm do stavu s tlakem 1 atm. Jakou práci vykoná 1 mol plynu?
10. Při kvazistatické adiabatické expanzi 6 litrů hélia o teplotě 350K klesá tlak ze 40 atm na 1 atm. Vypočtěte výsledný objem a teplotu (předpokládejte platnost stavové rovnice ideálního plynu). Získané výsledky srovnejte s hodnotami, které by vyšly pro izotermickou expanzi (k = 1,63). Předpokládejte, že se jedná o ideální plyn.
11. Spočtěte práci vykonanou ideálním plynem při kvazistatické adiabatické expanzi ze stavu charakterizovaného pi, V\ do stavu p2, V<i- Určete práci, kterou plyn vykoná, přechází-li z počátečního do koncového stavu nejdříve izochorickým dějem a poté izobarickým, nebo nejdříve izobarickým dějem a poté izochorickým.
12. Při výměně vzduchu mezi spodními a horními vrstvami troposféry dochází k expanzi, popř. kompresi vzduchu: stoupající vzduch se rozepíná v oblasti menšího tlaku. Vzhledem k malé tepelné vodivosti vzduchu je možno pokládat procesy expanze a komprese za adiabatické. Vypočtěte změnu teploty s výškou následkem těchto procesů. (Vzduch považujte za ideální plyn.)
13. Plyn je popsán stavovou rovnicí p = p(V,T). Ukažte přímým výpočtem, že 5Q není úplným diferenciálem.
14. Energie částice uzavřené v nekonečně vysoké potenciálové jámě s rozměry Lx x Ly x Lz je dána vztahem
Předpokládejte, že Lx = Ly = Lz = L. Předpokládejte, že systém jako celek je charakterizován energií systému. Jak je určen mikrostav, jak makrostav? Spočtěte sílu, kterou částice působí na stěny nádoby. Určete vztah energie systému a tlaku.
15. Odvoďte z existence stavové rovnice f(p, V, T) = 0 vztah
a = p ■ f3 ■ k
izotermické kompresibility k :
koeficientem izocho-
16. Stavová rovnice má tvar p = f (V) ■ T. Dokažte:
a)
b) pokud platí a), pak
T
0.
2
17. Pro ideální plyn spočtěte (§)^ (§)t-
18. Ukažte, že pro plyn popsaný stavovou rovnicí f(p, V, T) = 0 platí
/ dp_\    _ í dp\ Cp_
{dvj^-ydvj^y
19. Ukažte platnost relace cp — cv = R (Mayerova relace) mezi izobarickým a izocho-rickým specifickým teplem jednoho molu ideálního plynu. Vnitřní energie ideálního plynu nezávisí na jeho objemu.
20. Ukažte platnost relace pVK = konst. (k = cp/cv je adiabatickým exponentem) v kvazistatickém adiabatickém procesu ideálního plynu. Spočtěte k za předpokladu,
že Cy =
21. Vypočtěte entropii ideálního plynu při cp =konst., cv =konst. Ukažte, že 5Q není úplný diferenciál.
22. Pro plyn bylo experimentálně zjištěno, že součin tlaku a objemu je funkcí pouze teploty, pV = f(T) a že vnitřní energie závisí také pouze na teplotě. Co je o takovém plynu možno říci z hlediska termodynamiky?
23. Spočtěte entropii pole záření, platí-li pro tlak záření a hustotu záření vztahy
3
p = \u, u = aTA, kde a je konstanta. Spočtěte rovnici izotermy a adiabaty.
24. Pro plyn popsaný stavovou rovnicí p = p(V,T) najděte vztah mezi (Jy).d a
(9p\
\dv)T-
25. Tyč je zkroucena momentem síly M o úhel <p. Najděte vztah mezi (^)ad.ab a (¥) ■
\ aíP / izoterm
26. a) 1 kg vody s teplotou 0°C je přiveden do tepelného kontaktu s velkým rezervoárem s teplotou 100°C. Spočtěte změnu entropie vody, rezervoáru a celé soustavy po ustavení rovnováhy.
b) Spočtěte změnu entropie celé soustavy, pakliže voda byla nejprve v kontaktu s rezervoárem s teplotou 50° a poté s rezervoárem s teplotou 100°C.
c) Jak zajistit, aby se při ohřevu vody entropie soustavy nezměnila?
27. Van der Waalsova stavová rovnice pro 1 mol plynu má tvar {p+yi){V — b) = RT, kde a, b jsou konstanty. Pro dané T může mít křivka dva extrémy dané rovnicí (dp/dV)T = 0. V kritickém bodě určeném parametry Tc, pc a Vc navíc platí (d2p/dV2)T = 0. Spočtěte hodnoty Tc, pc a Vc. Zapište stavovou rovnici pomocí proměnných T' = T/Tc, p' = p/pc a V = V/Vc.
28. Určete vnitřní energii a entropii Van der Waalsova plynu a vypočtěte:
a) práci Van der Waalsova plynu při vratné izotermické expanzi,
b) změnu teploty Van der Waalsova plynu při adiabatické expanzi do vakua.
3
29. Hustota vnitřní energie u = U/V je funkcí jen teploty T, stavová rovnice je p = | u(T). Určete tvar funkce u (T).
30. Ukažte, že pro malé odchylky ô p, ôp od rovnovážnych hodnot hustoty p0 a tlaku Po je možné šíření zvukových vln popsat vlnovou rovnicí
d25p 2d2óp dt2 dx2 '
kde rychlost zvuku je dána vztahem c = y (dp/dp)a(i předpokládáme-li, že děje jsou natolik rychlé, že nedochází k výměně tepla mezi jednotlivými elementy vzduchu. Ukažte, že rychlost zvuku může být spočtena také jako c = ^/ŕcad/p0,
kde adiabatická kompresibilita nad := — ^(|y).d- Spočtěte rychlost zvuku ve vzduchu za předpokladu, že vzduch je tvořen pouze molekulami N2 a že k = Cp/cv = 7/5-
31. Ukažte, že termický koeficient roztažnosti
1 (dV\
a = v \šř)P
splňuje relaci
(f)T = -(f)p = -l'a-
32. Ukažte, že specifické teplo při konstantním tlaku, cp, a při konstantním objemu, cy, splňují vztah
'dS\ ídS\ dv)T[dp)T
33. Volná energie systému F (V, T) = — l-const-VT4. Určete jeho tlak, vnitřní energii, entropii, entalpii a Gibbsův potenciál.
34. Ideální plyn se adiabaticky rozšiřuje z objemu V\ do vakua. Spočtěte růst entropie, pokud plyn v konečném stavu má objem V2 a dokažte, že proces rozšiřování je nevratný.
35. Jouleův-Thomsonův děj (Jouleův-Thomsonův koeficient A = —
a) Ukažte, že dH = TdS + Vdp aA = |(l - Tap). ap := V (Ir) Je koeficientem izobarické roztažnosti.
b) Ukažte, že
4
c) Ověřte, že A = 0 pro klasický ideální plyn.
d) Ukažte, že pro Van der Waalsův plyn platí
hr, -I-        _ 2a ^ _        UP   *   y2 y
(p — y? + yf ) ' Cp
e) Vyjádřete rovnici inverzní křivky, která v p —V diagramu představuje rozhraní mezi oblastí A > 0 a A < 0 pro případ Van der Waalsova plynu.
36. Vypočtěte účinkový koeficient Carnotova cyklu (1. izotermická expanze, T2 = konst, 2. adiabatická expanze, S = konst, 3. izotermická komprese, Tí = konst, 4. adiabatická komprese, S = konst) pro ideální plyn pomocí jeho stavové rovnice.
37. Vypočtěte účinkový koeficient následujícího cyklu ideálního plynu. Může tento proces být vedený vratně?
1. izotermická expanze T2 = konst
2. izochorické ochlazení V2 = konst
3. izotermická komprese T\ = konst
4. izochorické ohřívání V\ = konst.
38. Určete účinkový koeficient (idealizovaného) Ottová motoru, který pracuje s ideálním plynem o specifickém teple cy = |f?/mol při kompresním poměru 10:1.
1. adiabatická komprese,
2. izochorické ohřívání (=spálení paliva),
3. adiabatická expanze (vykonání práce),
4. ochlazení (=výfuk horkého plynu, nový, studený plyn je nasátý).
39. Dieselův cykl se skládá z těchto částí:
1. adiabatické komprese atmosférického vzduchu,
2. spálení vstříknuté směsi a izobarické expanze,
3. adiabatické expanze
4. a izochorického ochlazení.
Určete účinkový koeficient cyklu v závislosti na kompresním poměru pro ideální plyn.
40. Jaká je celková změna entropie, když smícháme 2 kg vody o teplotě 363 K adia-baticky a při konstantním tlaku s 3 kg vody o teplotě 283 K? (cp = 4184 J/Kkg)
41. Chladnička může za hodinu přeměnit 10 litrů vody o 0°C v led o téže teplotě. K tomu se musí odevzdat skupenské teplo Q = 800 kcal (= 800 x 1,163 Wh) do vzduchu (27, 3°C). Jaký nejmenší příkon musí chladnička mít?
42. Dokažte, že pro T —> 0 neexistuje systém popsatelný pV = const-T.
43. Uzavřený systém se skládá ze dvou jednoduchých podsystémů, které jsou oddělené pohyblivou stěnou, která umožňuje
a) jen výměnu tepla,
b) jak výměnu tepla, tak výměnu hmoty,
5
c) ani výměnu tepla, ani výměnu hmoty. Jaké jsou odpovídající podmínky rovnováhy?
44. Dvě stejná množství ideálního plynu se stejnou teplotou T a různými tlaky p1} P2 jsou od sebe oddělena přepážkou. Určete změnu entropie následkem smíšení obou plynů.
45. Určete maximální práci, kterou lze získat při sloučení stejných množství téhož ideálního plynu se stejnou teplotou T0 (a různými objemy popř. tlaky).
46. Molární objem vody = 18 cm3/mol, molární objem ledu je o 9.1% větší (při tlaku 105Pa), molární hmotnost vody je 18g/mol. Latentní teplo tání ledu je 330kJ/kg. Spočtěte změnu bodu tání při změně tlaku.
47. Odvoďte tvar Maxwellova-Boltzmannova rozdělení rychlostí molekul plynu. Vycházejte pouze z předpokladu, že prostor je izotropní a že pohyb molekul plynu v jednotlivých směrech je nezávislý.
48. Rozdělení hybností atomů je dáno Maxwellovým-Boltzmannovým rozdělením
Nalezněte hodnotu C.
49. Za předpokladu platnosti Maxwellova-Boltzmannova rozdělení rychlostí molekul plynu spočtěte (px), (p), (p2), (v2), VAE2 a nejpravděpodobnější velikost hybnosti. Spočtěte pravděpodobnost toho, že pz > 0.
50. Při změně magnetizace M o dM vykoná systém práci dW = —HdM, kde H je intenzita magnetického pole. (Jde o práci vykonanou jednotkovým objemem; objem V = konst. = 1.) Určete rozdíl tepelných kapacit cH — cM při konstantním poli H a při konstantní magnetizaci.
51. Určete rovnici adiabaty izotropního magnetika.
6