1    Označení rozdělovačích funkcí
Rozdělovači funkci rychlosti částic budu označovat g(v), přičemž platí
g(v) dví dv2 dv%,
kde n je koncentrace těchto částic. Pokud rozdělovači funkce není symetrická, tj. závisí na směru vektoru v, je možné její tvar hledat ve tvaru nekonečné řady obsahující Legendrovy polynomy kosinu 6, např.
g(v) = go(v) + cos(%i(v) + ...,
kde 6 je úhel mezi rychlostí částice a nějakým význačným směrem, nebo v obecnějším případě rozvojem do sférických funkcí. Pokud ale rozdělovači funkce symetrická je, pak lze lehce spočítat rozdělovači funkci velikosti rychlosti částic gv(v) a rozdělovači funkci energie částic f{E):
9v(v)   = 4irv2g(v) 9,'
f(E)
V2mE
Často se místo vlastní rozdělovači funkce uvádí funkce
tm = m
v případě elektronů označovaná EEPF (electron energy probability function).
Homogenní izotropní soubor částic, na které nepůsobí vnější síly a které se nesrazí s jinými částicemi, by byl v rovnováze popsán Maxwellovou rozdělovači funkcí
g{v)   =   n Ítt^tf) 2 exp
\2irkTJ      ť V 2kT
1{E) = "www^^i-^
V plazmatu se nejčastěji zabýváme rozdělovači funkcí energie elektronů. Když je frekvence vzájemných srážek mezi elektrony vysoká, pak jejich rozdělovači funkce bývá blízká Maxwellově. Pružné srážky s neutrálními částicemi naopak způsobují odklon od Maxwellova rozdělení např. k Druyvesteynovu rozdělení
f{E) oc n \[Ě exp í — —
kde K je konstanta související se střední energií elektronů. Radu rozdělovačích funkcí je možné psát ve tvaru nazývaném standardní rozdělovači funkce
c-l    =    23/2K K(3-2K)/2K #3/2 r(3/(2/c))
<E>   -   Ep{2n)i r(3/(2#6))
1
0.8
0 1 2 3 4 5
e/<e>
Obrázek 1: Maxwellovo (M) a Druyvesteynovo (D) rozdělení energií.
0 1 2 3 4 5
e/<e>
Obrázek 2: Maxwellova (M) a Druyvesteynova (D) EEPF.
(Ep je nejpravděpodobnější a < E > střední energie). Pro k = 1 přejde standardní rozdělení na Maxwellovo, pro k = 2 na Druyvesteynovo. Ukázka Maxwellova a Druyvesteynova rozdělení energií je nakreslená na obr. 1, na obr. 2 jsou odpovídající f p (EEPF). Mnohem výrazněji se ale neutrály projevují ve vysokoenergetické části rozdělovači funkce díky nepružným srážkám, které snižují koncentraci rychlých elektronů. Naopak vyrážení elektronů z elektrod s následující ionizací ve stěnové vrstvě (sheath) nebo stochastický ohřev v silném elektrickém poli na okrajích plazmatu můžou vést ke vzniku skupiny extrémně rychlých elektronů. Skutečný tvar rozdělovači funkce tak může být komplikovaný a může nést mnoho informací o plazmatu.
2   Langmuirova sonda
Langmuirovou sondou se nazývá vodič vložený do plazmatu, z jehož V-A charakteristiky je možné určit některé parametry plazmatu, zejména koncentraci a střední energii elektronů, elektrický potenciál plazmatu a rozdělovači funkci energie elektronů. Když sonda není na potenciálu plazmatu, vznikne v jejím okolí vrstva prostorového náboje ovlivňující dráhy nabitých částic. Ne-dochází-li v této vrstvě ke srážkám a předpokládáme-li, že za hranicí stěnové vrstvy není plazma sondou ovlivněno, lze relativně jednoduše spočítat, které částice na sondu dopadnou, a zjistit tak proud tekoucí na sondu. V této kapitolce zatím uvedu jen základní vzorce pro výpočet elektrického proudu tekoucího na Langmuirovu sondu. Sondy mívají různé tvary, nejčastější bývá sonda válcová. Zde budou uvedeny vztahy pro rovinnou, válcovou a kulovou sondu.
2.1   Tok částic odpuzovaných od sondy
Částice s nenulovou kinetickou energií můžou pronikat i na sondu, která je elektrostaticky odpuzuje, tj. q(4>a ~ 4>pl) > 0? pokud mají rychlost větší než mezní hodnota
y2 > 2gQa - (f>pl) ~ m '
kde q je náboj částice, <f>a potenciál sondy a <f>pi potenciál plazmatu. Dalším omezením je maximální rychlost V2 (viz obr. 3), při které částice nemine sondu. Ze zákonů zachování energie
2
Obrázek 3: Schéma dráhy částice ve stěnové vrstvě okolo sondy.
a momentu hybnosti vyplývá podmínka pro dopad částice na sondu
"2      X 2gQa - cf>pl)
1
<
Jl
kde ra je poloměr sondy a rs poloměr stěnové vrstvy (sheathu) okolo sondy, takže ani úhel a mezi počáteční rychlostí částice a její radiální složkou v\ nesmí překročit jistou mezní hodnotu. Celkový proud částic na sondu pro bezsrážkovou stěnovou vrstvu lze počítat integrálem
2tt
qSs     dv   dip / da v2 sin a g{
(v) v cos a,
kde Ss označuje plochu vnějšího povrchu stěnové vrstvy, vmin = y/2q((f)a — (ppi)/m a am je maximální úhel a, pod kterým může částice dopadnout na okraj stěnové vrstvy aby ještě dopadla na sondu, v2 sin a je Jacobián transformace do sférických souřadnic a qg(v) v cos a vyjadřuje hustotu elektrického proudu částic ve směru složky rychlosti v±. Uvedený postup vede k výsledku
Sqir
v3 g(v)
1
2qU
mír
dv
(1)
/2qU
qS
E-qU
2V2m J VE
qU
f(E)dE,
kde napětí mezi plazmatem a sondou <f>a — <fipi bylo označeno U a S je plocha povrchu sondy. Tento výsledek platí pro rovinnou, válcovou i kulovou sondu. Pokud mají částice Maxwellovu rozdělovači funkci odpovídající teplotě T, vychází pro proud
qS —nv exp
qU
~kŤ
(2)
8kT
(v je střední velikost rychlosti částic).
3
Výhodou je, že libovolné rozdělení energií elektronů můžeme zjistit z druhé derivace elektronového proudu pomocí známé Druyvesteynovy formule
f(qU)
2^2m\U\ d2I
q5/2S d\U\2 2.2   Tok částic přitahovaných k sondě
(3)
V případě částic sondou přitahovaných (qU < 0) se už vztahy pro proud tekoucí na rovinnou, kulovou a válcovou sondu liší. Zde jsou uvedeny vztahy platící v případě Maxwellova rozdělení:
Ir
h
—Sqnv 4
—Sqnv < ( — 4 \\ra
-1-1
r.
kde
IsHSverf(ÄTÍ
erf x
I erf
e_t dí
-qU
ri — r„ kT
(4)
(5)
-p(-g^,(6)
Nevýhodou je skutečnost, že vztahy závisejí na poloměru rs, který při měření není známý. Užitečná je limita pro rs ra, tzv. OML (orbital motion limited) teorie, ve které vychází pro kulovou sondu
qU"
h~\sqnv\l ^
a pro válcovou
/„ « \sqnv yjl - g
4