masarykova univerzita v brně Fakulta prírodovedeckú i Praktikum z fyziky pevných iátek II. Jun Hlávka, L u dek B oč ciriek Státní pedagogické nakladatelství Pruhu £ Jon Hldvko, Luděk BoCúnek, 1990 ISBN 80-21001127 3 OBSAH 1. Příprava vzorku 1c měření. 5 2. Elektrická vodivost, Hallova konstanta, magnetovodivost polovodiče. 15 3. Teplotní závislost pohyblivosti. 25 4. Termoelektrické napětí v polovodičích. 29 5. Driftová pohyblivost nositelů proudu 35 6. Rekombinaoe nadbytečných nositelů proudu v polovodičích, doba života nositelů. 44 7. Fotoelektrická metoda měření difúzni délky. 56 8. Určení šířky zakázaného pásu polovodičů z fotoelektrického jevu. 61 9. Spektrální závislost fotovodivosti. 63 10. Fotomagnetoelektrioký jev v polovodičích. 70 11. Voltampérové charakteristiky P- K přechodu. 81 12. Měření optických konstant z optické udrazivosti. 96 4 PŘEDMLUVA Smyslem předložených skript je poskytnout v ucelené formě základní Informace o experimentech v Praktiku z fyziky pevných látek IIt která je zařazeno do účetního plánu 4* ročníku specializace fyzika pevných látek na přírodovědecké fakultě UJEP v Brně. Struktura výkladu jednotlivých experimentů byla volena tak, že začíná stručným shrnutím potřebných poznatků teorie z níž experiment vychází, pak následuje rozbor měřicí metody a charakteristika experimentálního zařízení. Závěrem je formulován úkol v příslušném experimentu. Citovaná literatura je myšlena jako zdroj hlubších informací pro případného zájemce. Pro snadnější orientaci v textu uvádíme, že úlohy jsou průběžně číslovány a vztahy, obrázky i literatura jsou značeny tak, že první číslo je číslo úlohy, druhé číslo vyjadřuje pořadí v dané úloze. První z autorů zpracoval úlohy č. 5», 6«» 7., 8., 9., 10., 12., druhý pak úlohy zbývající, tj. úlohy č. 1., 2., 3.» 4.» 11» Brno, 1989 J. Hlávka, L. Bočánek 5 1, PŘÍPRAVA VZORKU K MĚŘENÍ Příprava vzorku polovodiče pro fyzikální měření nebo pro výrobu určitého polovodičového prvku je poměrně zdlouhavá, obtížná a velmi náročná. Zpravidla pro každý typ měření nebo použití je nutno vypracovat jiný technologický postup přípravy, který musí být pečlivě dodržován, pokud požadujeme větší přesnost měření nebo reprodukovatelnost výsledků. Tyto nároky vyplývají z okolnosti, že v mnoha případech má na výsledky měření rozhodující vliv stav povrchuj typickým příkladem jsou fotoelektrická měření. Vlastní příprava vzorku zahrnuje mechanické opracování materiálu: řezání, broušení, leštění, dále leptání a zhotovení kontaktů. Před řezáním monokrystalu může předcházet zjištění krystalografické orientace, je-li to pro měření nutné. Orientace se obvykle provádí pomocí difrakce Roentgenova záření. Při vhodném oleptání povrchu polovodiče lze použít i viditelného záření laseru. 1.1. MECHANICKÉ* OPRACOVÁNÍ VZORKU Monokrystaly polovodičů, které bývají vyrobeny ve tvaru válcových ingotů, se nejdříve řežou na desky tloušíky od několika desetin do několika milimetrů. Dalším řezáním těchto desek lze vytvořit potřebné tvary vzorků, např. hranolky. Řezání polovodiče se provádí následujícími způsoby: - kotoučovou pilou s brusnou suspenzí, - kotoučovou pilou s diamantovým zrnem, - pásovou nebo drátovou pilou s brusnou suspenzí - ultrazvukovou vrtačkou s brusnou suspenzí - rýhováním s následujícím lámáním. Kromě druhého a posledního způsobu jde o stejný princip:řez provádí zrnka brusiva, pohybující se prostřednictvím pohybu kotouče, pily nebo ultrazvukového trnu. Poslední způsob je podobný řezání skla diamantem, může se ho však použít pouze u tenkých plochých vzorků. Ultrazvukovou vrtačku používáme pro přípravu vzorků jejichž tvar nelze vytvořit jednoduchým rovinným řezem jako jsou např, můstkové vzorky často používané pro měření Hallova jevu. Při řezání musí být vzorek pevně přitmelen k pracovnímu stolku pily nebo ultrazvukové vrtačky. Tmelení se provádí nejčastěji směsí včelího vosku a kalafuny v poměru čtyř dílů kalafuny a jednoho dílu vosku. Broušení vzorku se provádí z důvodu přesného vymezení požadovaných rozměrů vzorku a z důvodu dosažení potřebné drsnosti povrchu, K broušení 6 se používají bu5 brusné papíry nebo brusné prášky. Brusné prášky jsou zrna taveného kysličníku hlinitého (umělý korund) nebo karbidu křemíku případně karbidu boru (B^C). Jejich tvrdost je 9 až 9,5°Mohsovy stupnice (Ge má 6°Mst). Drsnost broušeného povrchu závisí na velikosti zrn brusiva. Používají se zrna velikosti desítek až jednotek mikrometru. Požaduj eme-li rovnoměrnou drsnost vzorku, je třeba použít brusiva s přibližně stejnou velikostí zrna. Při přechodu na jemnější brusné částice je nutné odstranit všechna větší zrna z předchozího broušení. Jelikož se brusivo zabuduje do povrchu polovodiče a nelze ho vodou smýt, používá se k jeho stažení s povrchu polovodiče kolodia. Toto se nanese na povrch polovodiče a jelikož je adheze brusiva ke kolodiu větší než k monokrystalu, stáhne se pomocí lepící ri^ky brusivo s povrchu krystalu i s kolodiem. Leštění vzorku plťfl. Pro optická měření i pro výrobu subminiaturních polovodičových prvků je třeba, aby povrch vzorku měl zrcadlový lesk. Toho docílíme leštěním. Jde vlastně o broušení pomocí brusných prášků, jejichž velikost zrna postupně snižujeme. Leštění provádíme obyčejně na skleněné desce pokryté plátnem. Brusné i leštící prášky zvlhčujeme vodou. K leštění se často používají speciálně vyrobené diamantové pasty, u kterých je velikost zrn rozlišena barvou pasty. 1.2. leptXkí vzorku Při každém mechnickém opracování monokrystalickeho polovodiče (řezání, broušení, leštění) dochází k porušení povrchové vrstvy. Vlastnosti takové povrchové vrstvy se podstatně odlišují od objemových vlastností polovodiče. Hloubka narušené vrstvy závisí na velikosti brusiva, tlaku a způsobu opracování povrchu a může být až desítky mikrometrů. V narušené povrchové vrstvě dochází ke zvýšené rekombinaci volných nosičů proudu, což může nepříznivě ovlivnit fotoelektrické vlastnosti i např. funkci p-n přechodu. k odstranění porušené vrstvy se používá leptání povrchu polovodiče. Leptání se rovněž používá k získání zvláštních vlastností povrchu polovodiče, jež mohou být důležité bu5 při měření nebo při dalším zpracování vzorku. Leptání je složitý proces, při kterém se s povrchu odstraňují atomy polovodiče. Leptací procedury lze rozdělit na mokré a suché. Při mokrých procesech se polovodič dostává do kontaktu s leptacírai roztoky -- leptadly. Při suchých procesech je povrch polovodiče vystaven působení látky v plynném stavu, případně v ionizovaném stavu s elektrickým polem - tzv. plazmatické leptání, patří sem i bombardování povrchu ionty - iontové leptání a kombinované působení iontového bombardování se současně probíhajícími chemickými procesy mezi polovodičem a okolním zředěným plynem, ve kterém iontové bombardování probíhá. Suché procesy se 7 využívají zejména v technologických postupech při výrobě polovodičovýoh součástek a jsou velmi náročné na laboratorní techniku. Dále se budeme zabývat pouze mokrými procesy [1.4] . Leptadla jsou většinou směsí několika látek jejichž působení si můžeme zjednodušeně představit tak, že jedna složka leptadla povrch polovodiče oxiduje a druhá vzniklý oxid rozpouští. Jako složky oxidační se používá kyselina dusičná HNO-j nebo peroxid vodíku HgO,,, rozpouštění oxidu provádí kyselina fluorovodíková HP nebo vhodný hydroxid. Leptací proces v často používané soustavě HUO^ - HP se vysvětluje elektrolytickými pochody pomocí tzv. korozních proudů. Tímto způsobem lze vysvětlit vznik důlků a nerovností při leptání. Důležitou veličinou, která charakterisuje leptací proces, je leptací rychlost. Je to úbytek hmoty polovodiče z jednotky plochy za jednotku času. Udává se obyčejně jako úbytek tloušíky v mikrometrech za minutu* Leptací rychlost závisí hlavně na druhu leptadla, na vzájemném poměru jeho složek a na teplotě leptadla. Kromě toho může záviset na krystalografické orientaci povrchu polovodiče. Složení a vlastnosti některých leptadel: CP 4 - HUO- t HF : CH-jCOOH =5:3:3 velmi často používané leptad-lo pro Ge, Si, GaSb CP 4(A)- CP 4 + 0,3d Br2 užívá se pro Ge, leptací rychlost 60 nm/min CP 8 - HNO-j : HP a ? j 1 pro Ge a Si j od tohoto leptadla jsou odvozena další, která mají stejné složky, avšak v různých poměrech od 1 : 50 až do 1 : 1. Tato leptadla dávají hladký až lesklý povrch. Leptací rychlost závisí na složení - viz obr. 1.1 a nejvyšsí hodnotu asi 20 (itm/min se dosahuje při poměru 2 : 1 CH3C00H : H202 =1:5 . [(íim/minj 30 h - pro Ge, po oleptání vysoká rychlost povrchové rekorabinace. WAg - HN03 : HP : AgH03 (5% vodný roztok) = = 1 : 2 t 2 - pro Ge, leptací rychlost 12mjh/ min, přednostně leptá rovinu (111); H2°2 1 80°C, Obr. 1«1. Závislost leptací rychlosti na složení leptadla - pro Si. NaOH - 100 (25% roztok), T = pro leptání p-n přechodů ne Ge; a HP : HN03 : CH3COOH : AgN0.j(1% roztok) ■ 10 : 10 »10 : 1 - pro leptání Ge k odhalování dislokací. Pro Si se při odhalování dislokací používá postupného leptání v CP 4 a WAg. Pro silně legované polovodiče se často používá elektrolytické leptání v hydroxidových elektrolytech. Při praktickém provádění leptání je třeba nejprve zajistit, aby vzorek byl čistý a zbavený mastnot a mohlo dojít ke kontaktu leptadla s povrchem polovodiče. Mytí se provádí v saponátech případně v organických rozpouštědlech. Před vložením do leptadla se vzorek omyje tekoucí destilovanou vodou a osuší se. Pokud leptadlo obsahuje kyselinu fluorovodíkovou, provádíme vlastní leptání v nádobce z teflonu nebo PVC. Ukončení leptacího procesu provedeme zředěním leptadla zalitím destilovanou vodou. Potom vzorek důkladně omyjeme tekoucí destilovanou vodou. V případě potřeby, napr. při leptání p-n přechodů, použijeme deionizované vody. Po oleptání se na povrchu polovodiče vytvoří tenká vrstvička oxidu (u Ge a Si as 3 nm). Všechny chemikálie používané při leptání a mytí je nutno volit co nejčistaí, tj. p.a. nebo p.p. 1.3. ZHOTOVENÍ KONTAKTŮ Zhotovení dobrých kontaktů k polovodiči patří k obtížným úkolům, zejména jedná-li se o ohmické kontakty používané při nízkých teplotách. Kontakty mohou být usměrňující nebo neusměrnující (ohmické). Usměrňující kontakt lze použít např. při určení typu vodivosti polovodiče, pro injekci minoritních nosičů, k orientačnímu určení měrného odporu pomocí měření závěrného napětí kontaktu kov - polovodič. Ohmické kontakty se používají při všech typech měření elektrické vodivosti, galvanomagne-tických a fotoelektrických vlastností. Od ohmického kontaktu obyčejně požadujeme, aby byl neusměrnující a měl malý sériový odpor. Oba požadavky se snáze splňují u silněji legovaných vzorků. U čistých vzorků (vy-sokoohmových) je vhodné vytvořit u kontaktu v polovodiči silněji legovanou vrstvu, tj. přechod typu n+- n nebo p+- p. Lze to prakticky uskutečnit některou z legovacích technik: sléváním, implantací nebo difusí vhodné příměsi. Většinou se používá slévání polovodiče s vhodným kovem, který obsahuje potřebnou legující příměs - donor nebo akceptor. Pro zhotovení kontaktů k polovodiči lze použít tyto způsoby: - slévání polovodiče s kontaktovým kovem - pokovení povrchu polovodiče: galvanicky, bezproudově, vakuovým napařením, vtíráním - spojení termokompresí Mezi slévání můžeme zahrnout i pájení. Používá se hlavně u germania, křemík pájet nelze. Pájí se čistým cínem, nebo pájkami obsahujícími In, Pb atd. Při pájení používáme pájecí vodu, na př. ZnCl z důvodu smáčení polovodiče. Jako přívody používáme měděné nebo stříbrné drátky. Pokovení povrchu polovodiče bezproudovým niklováním se provádí vložením vzorku do niklovací lázně, jež má složení: chlorid nikelnatý NiCl2.H20 - 40 g / 1 fosfornan draselný KH2.P02.H20 - 30 g / 1 citran amonný NH^.CgHgOy - 10 g / 1 Při procesu, který probíhá při teplotě 90°Cise udržuje pH v roZmezí 7 až 9 pomocí hydroxidu amonného, který se přidává do niklovací lázně. Tento způsob je vhodný pro křemík typu n. Bezproudové poměděni - vzorek vložíme do nasyceného roztoku CuSO^ do něhož přidáme malé množství kyseliny fluorovodíkové (asi 4 ml HP na 100ml roztoku). Měcí se vytěsní v dostatečně silné vrstvě, aby bylo možno na ni pájet běžnými pájkami přívodní vodič. Bezproudovým niklováním nebo poměděním můžeme pokrýt celý povrch vzorku. Chceme-li kovovou vrstvu ponechat pouze v určitých místech, provedeme to tak, že tato místa pokryjeme voskem nebo piceinem a ponořením do kyseliny dusičné odstraníme kovovou vrstvu na nezakrytých místech. Vzorek potom důkladně omyjeme destilovanou vodou a vosk odstraníme vhodným rozpouštědlem. Vakuové naparování se provádí v napařovací aparatuře při tlaku asi 10"^ Fa . Ha celý povrch vzorku nebo na jeho část, kterou vymezíme kovovou maskou, napaříme vhodný kov (na př. AI, Au). Chceme-li vytvořit na křemíku slévaný kontakt typu n+-n použijeme slitinu AuSb, pro kontakt typu p+- p použijeme slitinu AuGa nebo čistý Al. Vzorek po napaření zahřejeme na potřebnou teplotu, která musí být vyšší než je eutektická teplota příslušné slitiny. Slévání provádíme ve vakuu nebo v ochranné atmosféře dusíku nebo argonu. Tlouštka napařené vrstvy bývá několik desetin mikrometru. Vtírání používáme na broušených površích k vytvoření plošných kontaktů. Kontakty zhotovujeme na broušených površích tak, že v daných místech nanášíme slitinu GaZn vtíráním pomocí jemného brusného papíru. Slitina taje asi při 25 °C Spojení termokompresi se používá k připojení drátku k polovodiči a provádí se tak, že drát, který má tvořit přívod ke vzorku, se přitlačí k povrchu polovodiče za současného vyhřívání. Pro Ge a Si je potřebný tlak 30 - 70 MPa a teplota 200 - 300°C. Používá se zlatý drátek o průměru několika desítek mikrometrů. Tento způsob kontaktování se používá i při výrobě tranzistorů a integrovaných obvodů a vyžaduje speciální zařízení. 1.4. TYP VODIVOSTI A MĚRNÍ ODPOR VZORKU Příprava vzorku je obvykle spojena s kontrolou některých základních 10 vlastností polovodiče, mezi které patří typ vodivosti a měrný odpor. Typ vodivosti můžeme stanovit několika způsoby: - zjištěním voltampérové charakteristiky kontaktu kov - polovodič - pomocí polarity termoelektrického napětí - pomocí polarity Hallova napětí Měrný odpor můžeme určit: - dvoukontaktní metodou - čtyřkontaktní metodou - čtyřsondou - metodou van der Pauw [l.5] Stanovení typu vodivosti pomoci usměrňujícího kontaktu. Na oleptaný povrch vzorku s ohmickým kontaktem přiložíme kovový (wolframový) hrot. Zjistíme, zda je kontakt usměrňující, nejlépe tak, že zobrazíme jeho voltampérovou charakteristiku. Princip snímání voltampérové charakteristiky kontaktu kov - polovodič je na obr. 1.2. Průchodem proudu I vzorkem vznikne na kontaktu napětí U t které se přivádí na horizontální zesilovač osciloskopu (H) a napětí na odporu R.I, které se přivádí na vertikální zesilovač osciloskopu (V). Vertikální výchylka na obrazovce je úměrná proudu tekoucímu kontaktem a horizontální výchylka paprsku je úměrná napětí na kontaktu. K určení typu vodivosti polovodiče je třeba znát polaritu napětí, která způsobí výchylku na stínítku v určitém směru. To lze provést buä zdrojem ? známé polaritě, nebo známou diodou (s označenou katodou nebo anodou). Při určování typu vodivosti vycházíme z toho, že určíme polaritu napětí na polovodiči, napr. v propustném směru, kdy se potenciálová bariéra mezi kovem a polovodičem sníží. Usměrňující kontakt vznikne v důsledku existence ochuzené (hradlové) vrstvy v polovodiči, jejíž náboj je vždy opačný než znaménko majoritních nosičů. Potenciálovou bariéru tedy snížíme, přivedeme-li na polovodič napětí stejné polarity jako mají majoritní nosiče ve zkoumaném polovodiči. Polaritu potenciálové bariéry usměrňujícího kontaktu můžeme určit jednoduše i tak, že použijeme zdroj známá polarity a ampármetr, případně pouze ohmmetr. Obr. 1.2. Schéma zapojení pro snímání voltampérové charakteristiky kontaktu kov (W) -- polovodič (P). Stanoveni typu vodivosti pomoci polarity termoelektrického napětí. 11 y//////////d Obr. 1.3. Určení typu vodi vosti ze znaménka trmoelekt rického napětí. Principiální schéma zapojení pro zjištění polarity termoelektrického napětí je na obr. 1.3. Dva wolframové hroty se přiloží k povrchu polovodiče a jeden z nich se ohřeje pomocí topné spirály proudem ze zdroje B. Polovodičový vzorek v okolí tohoto hrotu se vyhřeje na teplotu o několik stupňů vyšší a v obvodu vznikne termoelektrické napětí. Polarita teplého hrotu se určí měřícím přístrojem, např. galvanometrem G. Gradient teploty vede ke vzniku tepelné difu-se volných nosičů a tedy k jejich úbytku v oblasti teplého kontaktu. Polarita teplého kontaktu je proto opačná vzhledem k polaritě náboje volných nosičů proudu. Současně může dojít v teplejší části vzorku k tepelné generaci volných nosičů a difusi způsobené gradientem koncentrace. I v tomto případě bude polarita teplejší části vzorku opačná než polarita volných nosičů. Při tomto způsobu zjišíování typu vodivosti je nutno postupovat opatrně a uvážit možnost existence inverzní vrstvy u povrchu polovodiče. Zvláší u vzorků p-typu s nízkou koncentrací akceptorů, které se blíží vlastnímu polovodiči při laboratorní teplotě, může tato metoda dát zcela opačný výsledek. Do oblasti vlastní vodivosti se může dostat slabě legovaný polovodič příliš vysokou teplotou zkušebního hrotu. Vlastní polovodič ma totiž stejné znaménko termoelektrického napětí jako polovodič typu n. Stanovení typu vodivosti pomocí polarity Uallova napětí. Schéma zapojení pro zjištění polarity Hallova napětí je na obr. 1.4* Vzorek polovodiče, kterým protéká proud I volných nosičů pohybujících se driftovou rychlostí v, vložíme do magnetického pole permanentního magnetu o indukci B. Působením Lorentzovy síly ? = q (v x B) se nosiče vychýlí, vznikne příčné Hallo-vo pole, které vyvolá napětí na protilehlých kontaktech. Polarita Hallova napětí, kterou zjistíme přístrojem G (gal-Obr. 1.4. Určení typu vodi- vanometr, voltmetr), určuje znaménko ná-vosti ze znaménka Hallova na- ^Q volnfch ^oritních nosi5u a tedy pěti - schéma zapojení. 12 typ vodivosti vzorku. Při měření je třeba vzít v úvahu, že protilehlé kontakty, na kterých měříme Hallovo napětí, nejsou umístěny přesně proti sobě na eicvipotenciálách. Proto, když vzorkem prochází proud, mezi nimi naměříme napětí i bez magnetického pole. r-a> Měření měrného odporu dvoukontaktni metodou. Měříme v zapojení podle obr. 1.5 na vzorku ve tvaru hranolku o průřezu S a r3 4 7 délce L. Proud z regulovatelného zdroje ^ I Jr ^ měříme ampérmetrem, napětí U12 n& prou- dových kontaktech. 1, 2 měříme voltmetrem s dostatečně vysokým vnitřním odporem. Měrný odpor vypočteme ze vztahu 1 u 12 S L (1.1) Poměr U12/I můžeme změřit také přímo jako odpor vzorku na kontaktech 1, 2 vhodným ohmmetrem na př. Wheatstone-ovým můstkem. Při měření j e třeba komutovat směr proudu, abychom vyloučili termoelektrické napětí. Obr. 1.5. Měření měrného od poru dvoukontaktni a čtyřkon taktní metodou. Měření měrného odporu čtyřkontaktní metodou. Uspořádání experimentu je podobné jako u dvoukontaktni metody na obr. 1.5. Podstatný rozdíl je v měření napětí, které měříme na napěío-vých kontaktech 3, 4 bezproudově. Měrný odpor určíme ze vztahu S t _ I 1 (1.2) Pro měření napětí U^^ je nutné použít kompenzátor, elektrometr nebo elektronický voltmetr (číslicový) s vysokým vnitřním odporem. Při použití vztahů uvedených pro výpočet měrného odporu je třeba si uvědomit z čeho byly odvozeny a za jakých předpokladů tedy platí. Důležité je uvážit vliv proudových kontaktů, jejich sériový odpor, možnost injekce nadbytečných nosičů do vzorku a z toho plynoucí důsledky pro naměřenou hodnotu měrného odporu vzorku. Měření měrného odporu čtyřsondou. Čtyřsondou rozumíme čtyři hrotové kontakty, které jsou uspořádané za sebou (lineární čtyřsonda) nebo do čtverce (čtvercová čtyřsonda), s pevnou vzdáleností kontaktů. Takto uspořádané kontakty tvoří měřící hlavičku, která se přikládá na povrch vzorku. Schéma zapojení a uspořádání hrotů je na obr. 1.6. Měřící hlavičku s lineárně uspořádanými hroty o stejné vzdálenosti s i 1,06 mm přitlačíme na vzorek polovodiče. 13 Proud vstupující do krajních hrotů 1, 4 měříme miliampérmetrem a napětí na vnitřních hrotech 2,3 měříme elektrometrem, nebo voltmetrem s vysokým odporem. Je-li vzdálenost hrotů stejná, leží-li na přímce a vzorek je polone-konečný platí pro měrný odpor [1,3] : 9 - 23TB -H_ (1.3) Jsou -li rozměry vzorku konečné (srovnatelné se vzdáleností kontaktů čtyř-sondy), je třeba výpočet měrného odporu modifikovat. Výsledek se vyjadřuje ve tvaru korekčníoh funkcí, který-Obr, 1.6. Měření měrného odpo- mi se hodnota určená pomocí vztahu ru čtyřsondou. (1.3) násobí nebo dělí. Jde o korek- ce na podélnou a příčnou vzdálenost hrotů od okraje vzorku a o korekci na tloušťku vzorku. Správná hodnota měrného odporu se pak určí ze vztahů typu I - 9o-V1/s) kde ^>Q je dáno rovnicí (1.3) a P^ je potřebná korekční funkce závislá na poměru vzdálenosti hrotů od okraje vzorku a vzdálenosti hrotů. Odvození rovnice (1.3) a výpočet korekčních funkcí i s číselnými hodnotami je v literatuře [1.3] • Při měření měrného odporu dvoukontaktní, čtyřkontaktní metodou a čtyřsondou vždy nejdříve ověřujeme platnost Ohmová zákona pro daný vzorek při různých proudech. Při měření rovněž vždy komutujeme směr proudu, abychom vyloučili případná termoelektrická napětí v polovodiči způsobená nežádoucím gradientem teploty na vzorku. Známe-li typ vodivosti a měrný odpor vzorku, můžeme přibližně určit další významný parametr polovodiče - koncentraci příměsí ve vzorku. Lze to provést buci změřením Hallovy konstanty podle návodu k úloze č. 2, nebo použít graf závislosti měrného odporu na koncentraci příměsí, který je uvedený pro Ge, Si a GaAs v [1.2] . 1.5. ÚKOL PRO MĚŘENÍ 1. Broušením upravte vzorek polovodiče do tvaru hranolku, vhodného pro měření měrného odporu. 2. Oleptejte vzorek a určete leptací rychlost leptadla. 3» Zhotovte pět kontaktů ke vzorku i s přívodními drátky. 4» Určete typ vodivosti vzorku všemi způsoby a porovnejte výsledky. 5. Změřte měrný odpor vzorku a provezte diskusi výsledků měření a vhodnosti jednotlivých metod. 6. Určete přibližně koncentraci příměsí ve vzorku. LITERATURA Kužel R, a kol.: Praktikum z fyziky pevných látek, SPH Praha 1972 [1.2] Sze S., Irvin -T. C: Solid State Electron. 21 (1968),599 [1.3] Valdes L. B. : Proc. IRE 42 (1954), 420 [1.4] Koutný J., Kudlák J., Mikušek J.: Technologie sériové výroby tranzistorů a polovodičových diod, S1ITL Praha 1964 [1.5] Pavlov L. P»: Metody opredelenija osnovnych parametrov polupro-vodnikovych materiálov, Moskva 1975 15 2. ELEKTRICKÍ VODIVOST, H A L L O V A KONSTANTA, MAGNETOVODIVOST POLOVODIČE Měření elektrické vodivosti a Hallovy konstanty, zejména jejich teplotní závislosti, umožňuje určit důležité parametry polovodiče: typ vodivosti, koncentraci volných nositelů proudu a jejich pohyblivost, šířku pásu zakázaných energií, ionizační energii příměsí a jejich koncentraci. Magnetovodlvost umožní určit pohyblivost majoritních nosičů, případně může poskytnout informace o anisotropii efektivní hmotnosti elektronů a děr. 2.1, HALLŮV JEV A PŘÍČNÁ* MAGNETOV ODIV OST [2.l] Uvažujme elektrony jako nabité částice, které se vlivem elektrické síly Pg » - q E pohybují driftovou rychlostí v proti směru elektrického pole E. Za přítomnosti magnetického pole o indukci B působí ještě magnetická síla Pm - -q-(v x B), která vychyluje elektrony kolmo na oba vektory elektrického i magnetického pole a vytváří Hallovo pole E^, které kompenzuje Lorentzovu sílu. Současně působící obě síly (2.1) Obr. 2.1. Vzorek s elektronovou vodivos tí v příčném magnetickém poli. e m vytvoří za konstantní teploty dva komplementární galva-nomagnetické jevy: Hallův jev a transverzální magnetorezistanci. Ve vzorku, který má tvar hranolku podle obr. 2.1, Hallovo pole EH ■ Ey kompenzuje y-složku síly F. Je-li pohyblivost elektronů definována jako ^ q (2.2) bude mít vektor driftové rychlosti složky 16 Ex - vB J /<,•( Ey - tx-B ) (2.3) Hustota proudu j = q-n-v jev oblasti Ohmová zákona úměrná intenzitě elektrického pole j » (T-E a má složky j. • E. 1 + (Jb2 1 + (2.4) q-n-v, - 1 + j^B2 E + x (T 1 + yU?B E 2»2 y Pro B ■ 0 je měrná vodivost homogenní isotropní látky skalární veličina. Pro B jí 0 je tenzorem druhého řádu. Definujeme-li Hallovu konstantu Rg takto: % » %•( T X B ) (2.5) bude v lineárním přiblížení platit E » ^.j - Rg (jxl) , nebo I » c B) a tenzor vodivosti bude mít složky (2.6) A m rH je rozptylový (Hallův) faktor, který je při rozptylu na akustických fononech roven rH » 31T/8 , u kovů a degenerovaných polovodičů je rjj»1. V rovnicích (2.16) až (2.18) Je n , p koncentrace volných elektronů a děr, ^u.n, jsou driftové pohyblivosti elektronů a děr a Tn , řCp jsou střední hodnoty relaxačních dob elektronů a děr (3*2). Pro polovodič přímesový, kdy pro n - typ Je n>>p, se vztahy zjednoduší : 1 ^■«-a|Wn EH""rH,~ (2.19) a pro p- typ p»n 1 °p" q'p' pro díry Od driftové pohyblivosti se liší Heliovým faktorem. Příčná magnetorezistance je u isotropních polovodičů s kulovými ekvienergiovými plochami rovna ±2- . C , «..«2 £(<"hb> (2.22) 2n 2 - 1 £ je koeficient magnetorezistance, který závisí na typu rozptylu elektronů. Pro rozptyl na akustických fononech má číselnou hodnotu^ - 0,275. Všechny uvedené vztahy pro Hallovu konstantu a magnetorezistanci platí pro slabé magnetické pole, tj. pro ^Ujj-B < 1. Měřením Hallovy konstanty a měrné vodivosti můžeme určit typ vodivosti polovodiče (podle znaménka Rg), koncentraci volných nosičů (Rg ■ - rH/q.n ) a jejich pohyblivost ( ^ «|Rjjtr|). Další důležité parametry polovodiče je možné určit měřením teplotní závislosti C a R^. V oblasti vlastní vodivosti při vyšších teplotách můžeme určit šířku pásu zakázaných energií Eg a v oblasti příměsové vodivosti můžeme určit koncentraci příměsí, pohyblivost volných nosičů, charakter rozptylových procesů, případně ionizační energií příměsí a kompenzovanost polovodiče. K určení posledních dvou parametrů u germania a křemíku je však třeba měřit až do nízkých teplot v oblasti kapalného helia. Protože naše měření lze provádět pouze do teplot kapalného dusíku (77 K), omezíme se na oblast vlastní vodivosti a část příměsové vodivosti, ve které budou ještě všechny příměsové atomy ionisovány. K interpretaci měření bude třeba určit závislost koncentrace volných elektronů a děr na teplotě. 2.2. TEPLOTNÍ ZÁVISLOST KONCENTRACE ELEKTRONU A DĚR Koncentrace elektronů ve vodivostním pásu je určena Fermi - Dira-covou rozdělovači funkcí a hustotou stavů ve vodivostním pásu [i. i] : 2 n " j^T VP1/2(y> (2-23) kde Nc - 2-(23inna< k-T^h"2)^2 je hustota stavů ve vodivostním pásu 20 Fk(y) = o xk dx i + ex - y (2.24) Bp .--E + - (kT ln — ) (2.27) ^ 2 s 4 «■* je Fermi - Diracův integrál, y - Ep/kT je redukovaná Permiho energie a x = E/kT je redukovaná energie. Je-li exp|(E - Ep)/kTJ > 1, lze Permi - Diracovu statistiku nahradit Boltzmanovou a koncentrace elektronů ve vodivostním pásu je n « Nc exp { C% - Ec)/kT) (2.25) Podobně lze vypoěítat koncentraci volných děr ve valenčním pásu p « Nv exp [(Ey - Ep)/kT} (2.26) Kde Ny = 2 (2scmp k T h"2)^2 je hustota stavů ve valenčním pásu. Koncentrace volných elektronů a děr tedy závisí na Permiho energii Ep. Ta se určí z podmínky lokální nábojové neutrality, která má pro vlastní polovodič tvar n ■ p a Permiho energie leží přibližně uprostřed zakázaného pásu. V termodynamické rovnováze je součin koncentrace elektronů a děr konstantní a podle (2.25) a (2.26) n-p - n2(Eg,T) - UCNV exp (- Eg/ kT) (2.28) n^^ je intrinsická koncentrace a při T = 300 K mé pro Ge hodnotu n.^ » m 2,4.1013cm"3 a pro Si n± ■ 1,45.1010cm'3. Jsou-li v polovodiči příměsové atomy, na př. donory s koncentrací ND , má podmínka nábojové neutrality tvar n - p + UD (2.29) neboí předpokládáme úplnou ionizaci donorů. Použijeme-li rovnici (2,28), můžeme určit koncentraci volných elektronů a děr v závislosti na koncentraci donorů a na teplotě (2.30) Určeni Sirky zakázaného pásu. Šířku pásu zakázaných energií E určíme z naměřené teplotní zá- O vislosti Hallovy konstanty v oblasti vlastní vodivosti, kde platí 21 p ■ n1»ND (NA). Hallova konstanta je pak podle (2.17) 1 b - 1 * " • rH'7T T7T (2,31) q n^ d + 1 b s {IjJUp je poměr pohyblivostí elektronů a děr. Po dosazení Intrin-aické koncentrace n^ z (2.28) a s přihlédnutím k teplotní závislosti hustoty stavů Nc a Nv bude teplotní závislost Hallovy konstanty Rg(T) - konst. T~3/2exp[Eg/2kT] (2.32) Předpokládali jsme, že závislost pohyblivosti elektronů a děr na teplotě je stejná a poměr b je tedy na teplotě nezávislý. Ze vztahu (2.32) vyplývá, že závislost ln [Bg T^2|na reciproká teplotě je lineární a E lze jednoduše určit. K Určeni koncentraoe příměsi Np. Použijeme změřenou teplotní závislost Hallovy konstanty v oblasti příměsové vodivosti, kdy jsou všechny donory ionisovány a ND , pak podle (2.30) je n ■ HD a Hallova konstanta podle (2.19) bude 1 rtt » — Tjr - => N-p. (2.33) V táto oblasti teplot by měla být Hallova konstanta téměř nezávislá na teplotě. Určení pohyblivosti majoritních nosiČů.M V oblasti příměsové vodivosti určíme pohyblivost majoritních nosičů měřením vodivosti a Hallovy konstanty při téže teplotě: ^n » -ť^Hn ^Hn- H«* C2'34) rH Podobně pro pohyblivost majoritních děr v polovodiči p-typu. Pohyblivost majoritních nosičů můžeme určit také z magnetorezis-tance. Z rovnice (2.22) vypočítáme pohyblivost elektronů ni » -(2.35) ^ - 0,275 a rH - 33c/ 8 . Určení typu vodivosti. Typ vodivosti můžeme určit ze znaménka Hallovy konstanty v oblasti příměsové vodivosti. Musíme ovšem znát orientaci magnetického pole vzhledem k proudu protékajícímu vzorkem a polaritu Hallova napětí. Typ vodivosti lze rovněž určit z tvaru teplotní závislosti Hallovy konstan 22 ty. Jak vyplývá z rovnice (2.17) dochází ke změně znaménka Hallovy konstanty při přechodu vzorku p-typu do oblasti vlastní vodivosti. ■ 2.3. experimentxlhí číst Elektrickou vodivost, Hallovu konstantu a magnetorezistanci měříme stejnosměrnou metodou na germaniovém vzorku, který má tvar hranolku s pěti kontakty. Měříme v teplotním rozsahu od 20 do 150°C, Schéma zapojení je na obr. 2. 2. Magnetické pole je buzeno elektro-magnetem a měří se gaussmetrem. Proud vzorkem I ■ Ug f/Rjj B 3 5 měříme tak, že připojíme číslicový voltmetr na odporový normál SL« Proud se komutuje komutátorem K. Napětí vodivostní se měří na kontaktech 3, 4 a Hallovo napětí na kontaktech 3, 5 číslicovým voltmetrem DV. Vzorek je umístěn v Dewarově nádobě v oleji, který je elektricky vyhříván. Regulace teploty a její stabilizace je zajištěna kontaktním teploměrem. Teplotu měříme platinovým odporovým teploměrem. Obr. 2.2. Schéma zapojení pro měření vodivosti, magnetorezistance a Hallovy konstanty. Měrný odpor určíme ze vztahu U*S Q « - U 5 1-1 ty/2 (2.36) Měříme při konstantním proudu a komutujeme jeho směr. Hallovu konstantu určíme ze vztahu (2.12) V* urd I*B (2.37) kde Ug je napětí určené ze čtyř hodnot naměřených na kontaktech 3, 5 při komutaci proudu vzorkem i magnetického pole při téže teplotě: " Í [^Í+I.+B) - U35(-I,+B) + U35(-I,-B) - U35(+I,-B)] (2.38) Komutaci směru proudu a magnetického pole je nutné provádět proto, aby byl omezen vliv nežádoucích galvanomagnetických a termomagnetických jevů [2.1] . Tak lze vyloučit všechna nažádoucí napětí s výjimkou napětí Et t inghaus enova. 23 Pokud provádíme měření na krátkých vzorcích ( 1/w £ 3 ), dochází vlivem proudových kontaktů k částečnému zkratování Hallova pole a ke zmenšení Hallova napětí. V takovém případě se provádí korekce měřené Hallovy konstanty násobením korekčním faktorem, který závisí na poměru 1/w a na Hallově úhlu [2. i] . Měření magnetorezlstance. Měří se při konstantní teplotě taic, že měříme vodivostní napětí na kontaktech 3tfo bez magnetického pole U(0) a s magnetickým polem U(B). Magnetické pole měníme změnou magnetizačního proudu elektromagnetu. Protože měříme při konstantním proudu, bude AO TX(B) - U(0) __L_ „ -—- (2.39) 9° W) Hapětí opět měříme při všech komutacích proudu a magnetického pole. Provedeme šest měření: U(+B), U(0), U(-B) při +1 U(-B), U(0), U(+B) při -I Ze Čtyř změřených rozdílů vypočítáme průměrnou změnu a dosadíme do (2. 39). Vzhledem k tomu, že změny napětí jsou malé, je třeba toto měření provádět při dobře ustálené teplotě, tedy před měřením teplotních závislostí. 2.4. ÚKOL PRO MĚŘENÍ 1. Při konstantní teplotě změřte závislost magnetorezistance na magnetické indukci, - ověřte platnost kvadratické závislosti (2.22) - určete pohyblivost majoritních nosičů 2. Změřte teplotní závislost měrné voaivosti a Hallovy konstanty v rozsahu 300 - 450 K, - naměřené závislosti znázorněte grafy funkcí logO" « Í(1/T) a logjRg.T^2!- f(1/T) - určete: šířku zakázaného pásu Eg z obou měření typ vodivosti koncentraci příměsí pohyblivost majoritních nosičů - sestrojte graf závislosti koncentrace elektronů a děr na teplotě pro změřenou koncentraci příměsí podle (2.30) ve tvaru log n =»f (y). 24 LITERATURA [2,1Í] Wieder H. H. : Laboratory notes on electrical and galvanomagnetic measurements, Elsevier Sci. Publ. Comp., Amsterdam 1979 [2.2] Blat P» J«: Theory of mobility of electrons in solids, ruský překlad, Moskva 1963 \ 25 3. I E PI OU f Z í V I S 1 O 3 I POHYBLIVOSTI Pohyblivost volných nositelů proudu závisí na rozptylovém mechanismu. Změřením teplotní závislosti pohyblivosti můžeme rozptylový mechanismus určit. 3.1. DRUHY ROZPTYLU Pohyblivost volných nositelů proudu závisí na rozptylových procesech, která působí proti driftovárnu pohybu volných nosičů. Můžeme je charakterisovat relaxační dobou f , která byla zavedena při řešení Bolt* zmannovy kinetické rovnice jako časová konstanta při návratu nerovnovážné rozdělovači funkce do rovnovážného stavu po vypnutí elektrického pole. Relaxační dobu lze interpretovat také mikroskopicky jako střední dobu mezi dvěma po sobě následujícími srážkami. Rozptylový proces můžeme dále charakterisovat střední volnou dráhou nositele proudu <1> » » v. t kde v je tepelná rychlost volných nositelů. Pohyblivost volného nositele s efektivní hmotností m* a nábojem q je /t « -Ä (3.1.) m kde je střední hodnota relaxační doby [l.l] ; 2 Ť x3/2 e** „ - 1 -(3.2.) 3 *Wy> 0J (1 + e1"*)2 Pl/2^ ^e Permi-Diracův integrál (2.24.), x je redukovaná energie a y je redukovaná Permiho energie. Výpočet střední hodnoty relaxační doby nebo pohyblivosti není jednoduchý, avšak pro většinu významných rozptylových procesů můžeme vyjádřit závislost relaxační doby na energii funkcí typu f « C(T).E8 (3.3.) kde C je funkcí teploty a parametr s charakterisuje jednotlivé typy rozptylu. Výpočet středních relaxačních dob a pohyblivostí pro některé rozptylové procesy je uveden v monografii [3.1] s těmito výsledky: Rozptyl na akustických fononech ( s » -1/2 ) ^ . JEL. E*1/2 /*, ~ T'3/2 (3.4.) kT ( 26 Rozptyl na ionisovaných příměsích ( s ■ 3/2 ) r ' %J e3/2 A ~ l3/S: <3'5*> Rozptyl na optických fononech ( s = 1/2 ) f . B1'2 /6p ~ T"1/2 (3.6.) kT ^p V případě, že existuje několik rozptylových procesů probíhajících současně a na sobě nezávisle, lze určit výslednou relaxační dobu. Jelikož reciproká hodnota relaxační doby má význam pravděpodobnosti procesu, bude výsledná pravděpodobnost dvou relaxačních procesů 1 1 1 * " tj + ň °-7-) V polovodičích se současně vyskytuje na příklad rozptyl na akustických fononech a rozptyl na ionisovaných příměsových atomech. Pak můžeme výslednou pohyblivost vyjádřit podle (3.4.), (3.5.) a (3.7.): ZL - Í + Ľ ■ A.T3/2 + B.T"3/2 (3.8.) kde A, B jsou konstanty. Experimentálně zjištěné teplotní závislosti pohyblivosti elektronů a děr v germaniu a v křemíku při rozptylu na akustických fononech se poněkud liší od závislosti vypočtené. Hodnota exponentu v (3»4.) se liší od -3/2 a je různá pro elektrony a pro díry. Dekker [3»2] uvádí pro germanium tyto pohyblivosti: pro elektrony ^L » 4,9.107.T~1»66cm2/Vs o _o i-s o (3*9.) pro díry = 1,05.10^.0? ^'-^ciiT/Vs Rozdíl může být způsoben složitější pásovou strukturou germania. 3.2. EXPEREOTTALNf ČÍST Měření teplotní závislosti Hallovy pohyblivosti budeme provádět v teplotním rozmezí od 300 do 80 K. Měří se při stejné teplotě měrná ■ elektrická vodivost 0*(T) a Hallova konstanta Rjj(T) způsobem, který je popsán v návodu k úloze Elektrická vodivost, Hallova konstanta a magnetovodivost polovodiče. Hallova pohyblivost je <*#ř> " |HH(T).(rCT)[ o#10#) Experimentální uspořádání se lisí pouze umístěním vzorku a způsobem jeho ochlazování* Princip ochlazování a umístění vzorku je na 27 obr. 3.1. podle [3.3] Vzorek V je umístěn na Cu válci, který je postaven v polystyrénové nádobě PN do kapalného dusíku LN (nalévá se trychtýřem) a je přikryt skleněnnou Dewarovou nádobou DW, Odpařený dusík uniká kapilárou K z prostoru vzorku do okolí. Teplota se měří platinovým odporovým teploměrem Pt. Oblast vzorku je v magnetickém poli elektromagnetu M. Při měření se postupuje od laboratorní teploty k nízkým teplotám tak, že se v malých dávkách přilévá kapalný dusík a po ustálení se provede postupně měření teploty, měření Šesti hodnot vodivostního a Hallova napětí a kontrola teploty, případ ně proudu vzorkem. V případě potřeby je možno vzorek ohřát elektrickým ohřevem měděné tyče. Elektrické schéma zapojení je uvedeno na obr. 2.2. Před měřením je vhodné kontrolovat linearitu vodivostního napětí na kontaktech 3»4 a Hallova napětí na kontaktech 3(5 v závislosti na proudu a u Hallova na pěti i lineární závislost na magnetické indukci. Obr.3.1. Aparatura pro měření teplotní závislosti vodivosti a Hallo-vy konstanty při 30 - 300 K. 3.3. ÚKOL PRO MESENÍ 1. Změřte teplotní závislost elektrické vodivosti a Hallovy konstanty germaniového vzorku v rozsahu teplot od 300 do 80 K. 2. Na začátku a konci měření proveäte kontrolu linearity vodivostního a Hallova napětí v závislosti na proudu, případně na magnetické indukci. 28 3. Vypočítejte Hallovu pohyblivost podle (3.10) a přesvědčte se, zda by la při měření splněna podmínka pro slabé magnetické pole. 4* Sestrojte graf závislosti Hallovy pohyblivosti na teplotě ve formě log^H * f(log T) - určete exponent n v závislosti £Jl> •* Tn - srovnejte jej s hodnotami ve funkcích (3.9.) - určete typ vodivosti vzorku. LITERATURA [3.1] Hrivnák L., Bezák V., Poltin J., Ožvold M.: Teoria tuhých látok, SAV Bratislava 1985 [3.2] Dekker A. J.: Fyzika pevných látek, Academia Praha 1966 [3#3] Schmidt E.t Bočánek L.: J. Sci. Instr. ( J. Phys. E) ± (3)t 250, (1971) \ Poznámka k teplotní závislosti Hallova faktoru V komentáři kc vztahu pro Hallův faktor (2.18) ve skriptu [1] je zmíněno, že v polovodičích nabývá rn hodnoty 37r/8 w 1.17 při rozptylu na akustických fononech. Ukazuje se. že v složitějších situacích, kdy se vodivost odehrává v různých pásech, může být situace komplikovanější. Konkrétně v p-dopovaném Ge se tento faktor jednak citelně odlišuje od této hodnoty a je navíc teplotně závislý. Ze srovnání vodivostní a Hallovy pohyblivosti je možno pro p-dopované germanium odvodit následující empirickou závislost Hallova faktoru [2] rH = 0.8314 + 0.00354T , (2) kde T je teplota ve stupních Kelvina. Tato závislost byla odvozena z rozsahu teplot 80-250 K, Použijte tento vztah pro zpracování výsledků z měření Hallova jevu a při výpočtu pohyblivosti. Pro n-dopované germanium je th * 0.9 s velmi malou závislostí na teplotě [3]. Reference [1] J. Hlávka, L. Bočánek, Praktikum z fyziky pevných látek II., Masarykova univerzita v Brně, 1990. [2] F. J. Morin, Phys. Rev. 93,62 (1954) [3] V. M. Babích , P. I. Baranskii, I. V. Dakhovskii, and A. G. Samoylovich, Ukrain Fiz. Zhumal 14, 3 (1969) 418-422. 29 4. TERMOELEKTRICKÉ" NAPĚTÍ V POLOVODIČÍCH Termoelektrické napětí patří k důležitým transportním jevům v polovodičích. Polarita termoelektrického napětí souvisí s typem vodivosti; známe-li koeficient termoelektrického napětíj můžeme určit Permiho energii a při současném měření Hallovy konstanty lze stanovit také efektivní hmotnost majoritních nosičů proudu. V intrinsické oblasti můžeme určit šířku zakázaného pásu. Nejbohataí informace poskytuje změření teplotní závislosti koeficientu termoelektrického napití v širokém rozsahu teplot zahrnující oblast příměsové i vlastní vodivosti polovodiče. 4.1. KOEFICIENT TERMOELEKTRICKOHO NAPŽTÍ Eiistuje-li v polovodiči teplotní gradient tfT, vznikají termoelektrické jevy. Protože střední energie a často i počet nositelů proudu vzrůstá při zvyšování teploty, způsobuje gradient teploty ve směru -v"T proud volných nábojů. V neuzavřeném obvodu v ustáleném stavu je celková hustota proudu nulová, což znamená, že vytvořené elektrické pole E* způsobuje v každém bodě polovodiče proud, Jenž kompenzuje proud způsobený gradientem teploty - tepelnou difúzí. Při vytvoření teplotního gradientu vzniká tedy v polovodiči termoelektrické pole ( Seebeckův jev ), jehož intenzita je úměrná gradientu teploty: ¥oc « cc.grad T (4.1.) Koeficient OC je diferenciální koeficient termosíly nebo Seebackova konstanta. Souvislost koeficientu oc a parametry polovodiče lze nalézt pomocí Boltzraannovy kinetické rovnice. Můžeme vypočítat hustotu proudu za přítomnosti gradientu teploty a z podmínky nulového proudu určit intenzitu termoelektrického pole a koeficient termosíly. Obecný výraz pro koeficient termosíly jednoho typu nos ičů proudu* je [4. i] [4.2] : • cc - K21 " VK" (4.2.) q-T.Kn -<, k^2/|" £Et> jsou transportní koeficienty, Ep <0 je Fermi-ho energie měřená od okraje příslušného pásu, q je elementární náboj a T absolutní teplota. Pro polovodič s kulovými plochami konstantní energie je u n-typu záporné [4.1] : 30 a u polovodiče p-typu je oc kladné: *[(**.>-£] (4.4.) parametr s je exponent v závislosti relexačního času na energii dané rovnicí (3.3), k je Boltzmanova konstanta a Eý =» -(Eg + Ep) je Fer-miho energie v polovodiči p-typu vzhledem k hornímu okraji valenčního pásu. Pro smíšený polovodič, který obsahuje elektrony i díry je koeficient termosíly podle : «- jteiá (4.5.) n p kde 0*n = <ťn£lln a 0*p = q«P«^ jsou měrné vodivosti elektronů a děr. Z poslední rovnice vyplývá, že při zvyšování teploty a přechodu polovodiče p-typu do oblasti vlastní vodivosti nastává při určité teplotě změna znaménka koeficientu termosíly, neboí pohyblivost elektronů je větší než pohyblivost děr. Změna znaménka nastane při teplotě, kdy čitatel v rovnici (4.5) bude roven nule,. Pro vlastní polovodič je koncentrace elektronů a děr stejná n ■ p a Perraiho energie leží téměř uprostřed zakázaného pásu % " Bp-'-^E-kT InO (4.6.) 2 g koeficient termosíly vlastního (intrinsického) polovodiče Je záporný: k (T) c ^op- T 3/2 Ve skutečných případech se zpravidla uplatňuje několik druhů rozptylu současně, V tom případě se výsledná pohyblivost určí ze vztahu _1_ Z1 1_ + — + jx2 l /3 (5.2) který vyjadřuje skutečnost, že výsledná pravděpodobnost rozptylu je součtem pravděpodobností jednotlivých druhů rozptylu. Pohyblivost je důležitou charakteristikou transportních vlastností nositelů a lze ji měřit nepřímo, nejčastěji pomocí Hallova jevu (úloha č. 3) a elektrické vodivosti, nebo přímo, jak rozebereme v této úloze. Hodnotu driftové pohyblivosti stanovíme ze závislosti pohyblivosti na intenzitě elektrického pole, která je znázorněna na obr. 5.1. Závislost lze rozdělit do tří oblastí. Při slabých polích se projevuje pohyb nositelů v důsledku difúze a naměřená pohyblivost je zvětšená, oblast 1. Druhá oblast odpovídá elektrickým polím ve kterých je rozptyl nositelů pružný a pohyblivost je zde konstantní. V této oblasti hodnot elektrického pole proto drifto-vou pohyblivost měříme. Třetí oblast odpovídá silným Obr. 5.1. Závislost driftové pohyblivosti na intenzitě elektrického pole. 37 elektrickým polím, ve kterých přestává být rozptyl pružný a proto dochází ke snížení pohyblivosti. PRINCIP METODY MĚŘENÍ I když je princip metody jednoduchý není jednoduché chování nositelů proudu ve vzorku při měření a my o těchto otázkách pojednáme později v části "Driftový pohyb shluku minoritních nositelů v elektrickém poli". Llěření pohyblivosti provádíme na vzorku polovodiče ve tvaru protáhlého úzkého hranolu se dvěma ohmickými a dvěma usměrňujícími kontakty, obr. 2. Ohmické kontakty umožňují vytvořit ve vzorku elektrické pole. Jeden usměrňující kontakt pracuje jako emitor, druhý jako kolektor nadbytečných nositelů. Emitorem injekujeme po krátkou dobu (řádově 0,1 jxb) určité množství minoritních nositelů do vzorku. Tito nadbyteční nositelé se přemísťují (driftují) v elektrickém poli směrem ke kolektoru e po určité době projdou kolektorem. Změříme-li dobu t potřebnou k přemístění shluku nositelů od emitoru ke kolektoru a vzdálenost emitoru od kolektoru d můžeme jednoduše vypočítat rychlost driftu nositelů Jl eaítor kolektor C J]_y\_ 3- vzorek Obr. 5.2. Polovodičový vzorek s kontakty pro měření driftové pohyblivosti. v = t (5.3) a změříme-li intenzitu elektrického pole ve vzorku £ driftovou pohyblivost můžeme určit v u_ (5.4) Dobu kdy došlo k injekci nositelů a dobu průchodu injektovaného shluku nositelů od emitoru ke kolektoru určíme z průběhu napětí na odporu \ obvodu kolektoru pomocí osciloskopu. Kolektor je usměrňující kontakt polarizovaný v závěrném směru a pokud nejsou v jeho okolí nadbyteční nositelé tak je napětí na odporu v obvodu kolektoru podmíněno závěrným 38 Obr. 5.3» Průběh napětí na odporu v obvodu kolektoru při měření driftové pohyblivosti nositelů. proudem kolektoru, který je malý a proto i napětí na odporu je téměř nulové. Při injekci nositelů emitorem prochází vzorkem nejen proud z vnější baterie, ale i injekční proud, který způsobí vzrůst napětí mezi emitorem a zemí a tedy i na kolektoru a také na odporu v jeho obvodu. Tomu odpovídá první napěíový impulz pozorovaný na obrazovce osciloskopu, který je určen dobou a velikostí injekce, obr. 5*3. Pokud injektovaný shluk nositelů nedorazí ke kolektoru je napětí na odporu opět téměř nulové. Injektování minoritní nositelé, kteří se přesunou do oblasti kolektoru jsou přitaženi elektrickým polem prostorového náboje u kolektoru a vytvoří proudový pulz v obvodě kolektoru. Tento proudový pulz způsobí napěíový pulz na odporu v obvodu kolektoru, který odpovídá době průchodu a prostorovému rozdělení nadbytečných nositelů ve vzorku. V důsledku difúze se oblast, ve které jsou injektovaní nositelé, rozšiřuje, čemuž odpovídá časové rozšíření původního úzkého napěíového pulzu. Z časového průběhu napětí na odporu v obvodu kolektoru určíme dobu průchodu injektováných nositelů tQ, obr. 5*3. OHMICKÉ* A USMĚRŇUJÍCÍ KONTAKTY , DIELEKTRICKÁ* RELAXAČNÍ D03A Uvedeme poznatky, které usnadní pochopit procesy uplatňující se při měření uvedenou metodou. K polovodičům lze vytvořit dva typy kontaktů: ohmické a usměrňující. Ohmické kontakty jsou takové kontakty, jejichž odpor nezávisí na velikosti a směru procházejícího proudu. Průchod proudu takovými kontakty není provázen změnami koncentrace nositelů v oblasti polovodiče přilehlé ke kontaktu. Ohmické kontakty zhotovíme např. silným legováním polovodiče v místě kontaktu příměsí stejného typu jakou má kontaktovaný polovodič, tj. vytvořením obohacené oblasti v místě kontaktu. Usměrňující kontakty vykazují malý kontaktní odpor v propustném a vysoký odpor v závěrném směru průchodu proudu. Při průchodu proudu v propustném směru se zvětšuje koncentrace minoritních i majoritních nositelů v okolí kontaktu, dochází k injekci nositelů. Injekce nosite- 39 lů lze využít k zavedení nadbytečné koncentrace minoritních nositelů do polovodiče. V okolí usměrňujícího kontaktu, který je polarizován v závěrném směru, se zvětšuje oblast prostorového náboje oproti případu bez přiloženého napětí, při čemž elektrické pole v této oblasti způsobuje přitahování minoritních nositelů ke kontaktu. Toho lze využít k detekci přítomnosti nadbytečných nositelů, neboí usměrňujícím kontaktem polarizovaným v závěrném směru teče proud úměrný koncentraci nadbytečných minoritních nositelů v bezprostředním okolí kontaktu v případě, že je zanedbatelně malý zbytkový proud. Dielektrická relaxační dobaJ5.4j je určena elektrickou vodivostí o^ (= elementární náboj x pohyblivost x koncentrace nositelů) a permiti-vitou materiálu a vakua tQ %T = Ll CQ (5.5) °o a má význam doby charakteristické pro rozptýlení shluku nábojů stejného znaménka (takové náboje se odpuzují). V polovodičích jsou dva druhy nositelů, majoritní a minoritní, jejichž konoentrace se mohou řádově lišit á proto se řádově liší i jejich dielektrické relaxační doby. Protože je koncentrace minoritních nositelů menší než koncentrace majoritních nositelů je dielektrická relaxační doba minoritních nositelů větší než tato doba majoritních nositelů. Z těchto důvodů je chování nadbytečné koncentrace nositelů v polovodičích určováno v podstatě cho> váním minoritních nositelů, neboí shluk majoritních nositelů se může rozptýlit po krystalu podstatně rychleji než shluk minoritních nositelů. Z těchto důvodů můžeme sledovat pouze chování injektovaných minoritních nositelů v elektrickém poli. DRIFTOVÍ POHYB SHLUKU MINORITNÍCH IIOSITEIift V ELEKTRICKO POLI Ukazuje se, že časové chování shluku minoritních nositelů (např. injektovaných do polovodiče) je určeno jejich difúzí, rekombinací a driftem. Pojednáme o těchto otázkách postupně podrobněji. Neuvažujeme-11 nejdříve pro jednoduchost rekombinaci nositelů, pak při nulovém elektrickém poli v polovodiči má rovnice kontinuity, jejíž řešení popisuje chování nositelů, tvar (pro jednoduchost uvažuje me případ, kdy převládá pohyb v jednom směru, tj. jednorozměrný případ) 40 3 ap = D 32A p kde &p je nadbytečná koncentrace děr, Dp je koeficient difúze děr (uvažujeme polovodič typu lí). Jestliže se v čase t s 0 nachází shluk minoritních nositelů v malé oblasti kolem bodu z « 0 , pak je chová-těchto nositelů v čase a prostoru popsáno řešením rovnice kontinuity, které má tvar AP - B. t~v* . exp--— , 3 - -E- , C5.7) ♦•V* (*ir.V1/2 kde konstantu B lze určit z hodnoty počtu děr ve shluku 3ff a integrací od x = - oo po x = + oo . Ze vztahu (5*7) je vidět, že se shluk bude s časem prostorově rozšiřovat v důsledku difúze. Bylo ukázáno, že v případě existence rekombinace (charakterizované dobou života nositelů f ) má řešení rovnice kontinuity tvar (pro případ nulového elektrického pole) Ap = -Í- .expľ-_L_ - -íl] . (5.S) (4tt.Dp.t)1/2 L % 4.Dp.t J Ze vztahu je vidět, že se v případě rekombinace shluk minoritních nositelů s časem prostorově rozšiřuje v důsledku difúze, avšak navíc se koncentrace nositelů ve shluku s časem snižuje ^p kráxe v dů- sledku rekombinace. Nyní vezmeme do úvahy i vliv elektrického pole. Řešení rovnice kontinuity lze v tomto případě získat substitucí x '= x -£,.ttp.t , takže má nakonec tvar V e"t/rp r (*-&u_.t)2 -i Ap . -P.-. . exp--O- . (5.9) (4tr.Dp.t)1/2 L 4.Dp.t J Odtud je vidět, že se shluk minoritních nositelů přemísťuje s rychlostí ^Wp. £, (driftová rychlost), při tom se s časem rozšiřuje do většího prostoru v důsledku difúze a dále koncentrace nositelů klesá v důsledku rekombinace, obr. 5.4. 41 Poznamenejme, že u-vedené řešení platí pro nevlastní polovodič, tj. pro případ, kdy je končen trace minoritních nositelů menší než koncentrace majoritních nositelů. Pro případy blízké vlastní 0 i vodivosti, kdy jsou kon- centrace minoritních a Obr. 5.4. Driftový pohyb shluku minoritních majoritních nositelů nositelů v elektrickém poli. srovnatelné, jsou poměry složitější a jsou řešeny např. v [5.5] , stručná poznámka je uvedena v úloze S. 10. i 1 1 U ***** \ ^* EXPERIMENTÁLNí USPOŘÁDÁNÍ Pojednáme postupně o realizaci a funkci jednotlivých obvodů, které jsou v experimentálním uspořádání zahrnuty, obr. 5.5» Elektrické pole ve vzorku. Elektrické pole vhodné polarity, ve kterém driftují injektovaní nadbyteční nositelé, vytvoříme pomocí ně- Obr. 5.5. Schéma zapojení pro měření driftové pohyblivosti nositelů. 42 kolika baterií zapojených v sérii. Do obvodu vzorku je dále zařazen proměnný odpor, který umožňuje plynule měnit intenzitu elektrického pole ve vzorku. Zapojený miliampérmetr umožňuje kvalitativní sledování velikosti elektrického pole ve vzorku. Intenzitu elektrického pole určíme z naměřeného napětí na vzorku a délky vzorku, kterou stanovíme kom-parátorem , na jehož stolku je vzorek umístěn. Na tomto místě upozorníme na přihřívání vzorku procházejícím proudem. To způsobuje odchylky naměřených pohyblivostí od správných hodnot, které bychom naměřili při konstantní teplotě vzorku, bez přihřívání. Dokonalé stabilizování teploty by zkomplikovalo celé měření nad únosnou mez. Při vyhodnocení měření musíme vzít tuto skutečnost do úvahy a provést případnou korekci na změnu teploty. Tu můžeme odhadnout např. ze změn elektrického odporu vzorku a procházejícím proudem, [s.l] • Injekce nositelů. Usměrňující kontakt zabezpečující injekci je tvořen ostřím kovového pásku, který jek polovodičovému vzorku přitlačen. Usměrňující vlastnosti kontaktu závisejí jak na tlaku kontaktu na vzorek, tak na chemickém stavu povrchu vzorku. Z těchto důvodů a také proto, abychom zabezpečili nízkou rekombinaci na povrchu vzorku, je potřeba vzorek před měřením zpravidla oleptat. Dále je potřeba nastavit ostří kontaktu do vhodného místa na vzorku, kde je usměrňování největší, lía kontakt přivádíme pulzní napětí z pulzního generátoru. Pomocí ovládání je nutno nastavit polaritu pulzu, jeho opakovací frekvenci, šířku a fázi vzhledem k synchronizačnímu pulzu. Synchronizační pulz, který poskytuje generátor spolu s měrným pulzem, slouží k synchronizaci časové základny osciloskopu. Kolektor. Je vytvořen stejným způsobem jako emitor pomocí ostří kovového pásku. Obzvláště zde je nutno nastavit kontakt do vhodného místa vzorku tak, aby kontakt dobře usměrňoval. Do obvodu kolektoru je zapojen pracovní odpor R, na kterém měříme oasový průběh napětí při a po injekci pulzu minoritních nositelů. Do obvodu je dále připojeno konstantní napětí, které polarizuje kolektor v závěrném směru. Napětí je vedeno z děliče napětí vytvořeného proměnným a pevným odporem. Napětí na kolektoru nastavíme na vhodnou velikost tak, aby byl měřený časový průběh co nejlépe pozorovatelný. Vzdálenost emitoru a kolektoru měříme stejně jako délku vzorku pomocí komparétoru. Snímání časového průběhu napětí na odporu R, obr. 5.3. Toto napětí snímáme pomocí osciloskopu, ke kterému připojíme synchronizační pulzy pulzního generátoru. Sas potřebný k průchodu injektováného shluku minoritních nositelů od emitoru ke kolektoru odečítáme pomocí časových 43 značek, "což je intenzitní modulace stopy elektronového svazku na stínítku obrazovky v definovaných časových úsecích, jak je to vyznačeno na obr. 5.3. Jas stopy se zvyšuje na okamžik vždy např. po 10 ns. Toto odečítání časových úseků odstraňuje kalibraci časové základny. ÚKOL Úkolem je proměření závislosti pohyblivosti minoritních nositelů proudu na intenzitě elektrického pole ve vzorku polovodiče, vymezení oblasti, ve které je rozptyl nositelů pružný a stanovení hodnoty drif-tové pohyblivosti. LITERATURA [5.1J Z. Chobola, Měření driftové pohyblivosti v polovodičích, diplo-• mová práce, katedra fyziky pevné fáze UJEP, Brno 1971. [5.2] R.A. Smith, Poluprovodniki, rus. překl., Izdat. innostrannoj literatury, Moskva 1962. [5.3] K. Prank, V. Šnejdar, Principy a vlastnosti polovodičových součástek, S1TTL, Praha 1976. [5.4] 0. Madelung, Electrical Conductivity II, Encyclopedia of Physics, vol. XX, Ed. S. Pluge, Springer- Verlag, Berlin 1957, str. 108. [5.5] S,M, Ryvkin, Potoelektričeskije javlenija v poluprovodnikach, Gos. izdat. fiziko-matematičeskoj literatury, Moskva 1963, str. 362. 44 6. R E K O M B I H A C E NADBYTEČNÝCH NOSITELŮ PROUDU V POLOVODIČÍCH, DOBA ŽIVOTA NOSITELŮ Rekombinaci nadbytečných nositelů proudu v polovodičích charakterizujeme zpravidla parametrem "doba života", která má názorný význam jako střední doba existence nadbytečných nositelů (párů elektron- díra). Doby života se využívá ke kvalitativnímu posouzení čistoty polovodičových materiálů (vyšší čistotě odpovídá větší doba Života), k posuzování průběhu technologických operací (např. vznik strukturních poruch vede zpravidla ke snížení doby života), a k posouzení relaxačních jevů souvisejících s existencí nadbytečných nositelů (např. injektováných do báze tranzistoru apod.). GENERACE A REKOIÍBIMA.CE NOSITELŮ PROUDU Zajímáme-li se o chování nadbytečných nositelů v polovodičích je vhodné uvážit nejdříve mechanismus procesů generace a rekombinace, [5.5 i 6.l] . V procesu generace, obr. 6.1, vznikají páry elektron- díra přechodem elektronů z valenčního do vodivostního pásu a to buá přímo, nebo prostřednictvím hladin v zakázaném pásu, nebo v Augerově procesu, kdy elektron přejde z vyšší na nižší hladinu ve vodivostním pásu a předá jinému elektronu ve valenčním pásu energi potřebnou k přechodu z valenčního do vodivostního pásu. Re-kombinační procesy, obr. 6.1, vedou k zániku páru elek- —7k" T *v Obr. 6.1. Typy generačních a rekombinacních přechodů. Generace: a) přímý přechod, b) prostřednictvím hladiny v zakázaném pásu, c) Augerův proces. Rekombinace: a') přímá, b') prostřednictvím hladiny v zakázaném pásu, c) Augerův proces. 45 tron- díra přechodem elektronu z vodivostního do valenčního pásu bud" přímo, nebo prostřednictvím hladin v zakázaném pásu, nebo v Augerově procesu, kdy přejde elektron z vodivostního do valenčního pásu a svou energii předá jinému elektronu ve vodivostním pásu. Při uvedených přechodech musí být splněny zákony zachování energie a hybnosti. I když jsou způsoby přeměny energie při generaci a rekombinaci otázky základního významu nebudeme se jimi zabývat a odkážeme na literaturu [5.5] » neboí jsou to otázky složité. Podle typů přechodů elektronů rozlisujeme následující druhy rekombinace : 1. Zářivá rekombinace. Při ní se energie přechodu uvolňuje ve formě fotonů. Uplatňuje se hlavně v polovodičích, ve kterých nastávají extrémy v pásovém schématu pro stejnou hodnotu kvaziimpilzu. 2. Augerova rekombinace probíhá prostřednictvím Augerových procesů, o kterých jsme již hovořili. 3. 'Rekombinace prostřednictvím rekombinačních center (rekombinačních hladin v zakázaném pásu energií) se uplatňuje u většiny polovodičů nejčastěji. Rekombinační hladiny odpovídají strukturním defektům , nebo příměsím. Protože jde o nejčastější druh rekombinace pojednáme o něm podrobněji. REKOMBINACE NOSITELŮ PROSTŘEDNICTVÍM REKOMBINAČNÍCH CENTER Uvažujme polovodič obsahující rekombinační centra jednoho druhu 0 koncentraci Nm , kterým odpovídá hladina v zakázaném pásu Em , obr. 6.2. Rekombinace je zánik páru elektron- díra a je realizován přechodem elektronu z vodivostního do valenčního pásu. Je potřeba mít Přechody nositelů při rekombinaci prostřednictvím rekombinačních center. 1. zachycení elektronu, 2. emise elektronu, 3. zachycení díry, 4. emise díry. na zřeteli, že v polovodiči nastávají nejen přechody rekombinační, ale 1 přechody opačného typu v důsledku tepelné generace (bez vnější generace). Výsledná rekombinace je výsledkem přechodů obou typů. Jako dostatečné se ukázalo přiblížení, podle kterého je počet Obr.6.2. 12 34 46 přechodů mezi dvěma hladinami úměrný počtu částic ve výchozím stavu a počtu neobsazených míst v konečném stavu. Konstanta úměrnosti vyjadřuje pravděpodobnost přechodu. Pro jednotlivé typy přechodů našeho případu rekombinace můžeme tedy vyjádřit intenzitu přechodů (počet přechodů za 1 s v jednotkovém objemu) 1. Kn. n. p^ pro zachycení elektronu, 2. Kfl. n^. n^ emise elektronu, 3. Kp. p. n^ zachycení díry (emise elektronu do valencního pásu), 4. kp. py pT emise díry, kde kn, Kp jsou pravděpodobnosti přechodu elektronů, resp. děr, n,p jsou nerovnovážné koncentrace elektronů a děr v pásech (n= nQ + An , p= p0 + ap t a0» PQ jsou rovnovážné koncentrace nositelů, An, ap jsou koncentrace nadbytečných nositelů), n^, pT jsou koncentrace elektronů, resp. děr v rekombinačních centrech (hladinách), n^, p^ jsou koncentrace elektronů a děr v pásech v případě, že Permiova hladina splývá s hladinou rekombinačních center. Zavedení n^t p^ je zdůvodněno např. v f5.5 , 5.l] . Pravděpodobnosti přechodu lze vyjádřit pomocí tepelné rychlosti elektronů, resp. děr, a účinného záchytného orúřezu A , A n ' p Kn - cn ' An • Kp" °P * ap ' í6'2) Rekombinační proces lze chápat jako zachycení elektronu centrem a pak zachycení díry centrem. Z tohoto hlediska lze vyjádřit celkovou intenzitu zachycení elektronů centrem (zachycení minus emise) Un * Kn • Cn,pT " ni'V » a intenzitu zachycení děr up " Kp • Cp-Oj - prpT) . Omezíme-li se na stacionární případ, pak zřejmě musí být intenzita zachycení elektronů a děr stejná (obsazení rekombinační hladiny se nemění), tedy Un= Up = U . Po vyjádření nakonec dostaneme íT. kn. kp p.n - p_.n„ U - k • k . -■---°—-2- (6.3) k . (p + p.,) + kn. (n + n.) 47 Abychom snadno ilustrovali proces rekombinace omezíme se na jednoduchý případ malých koncentrací nadbytečných nositelů (případ slabé injekce), tj. A n =Ap« nQ + pQ . Rovnost A n = Ap plyne z podmínky tzv, nábojové neutrality (podrobnější zdůvodnění je uvedeno v úloze č. 10) a odpovídá případu, kdy se nevyskytují oblasti prostorového náboje a nedochází k zachycení v pastech[5«5] • V tomto případě lze vyjádřit intenzitu rekombinace ve tvaru U = V (6.4) kde u PA + p- V IJT no + Po no 4 n1 no + Po (6.5) je konstantou charakterizující rekombinaci a je nazývána dobou života nositelů. Jak uvidíme dále má 'C význam střední doby existence páru nadbytečných nositelů. Jak je vidět z vyjádření (6.5) závisí doba ži- vota na poloze Permiovy hladiny (koncentrace n Po> a tedy např. na teplotě polovodiče. Ilustraci této závislosti uvádíme na obr. 6.3« ln n ln C _I_L 1/T E - donory rekoab lnační centra Em E. 1/T Obr. 6.3« Závislost doby života nositelů na poloze Permiovy hladiny (teplotě). Poznamenáme, že obecně nemusí být doba života nezávislá na ůn , np • Je vhodné si uvědomit, že i když se v učebnicích uvažuje pro jednoduchost zpravidla doba života nezávislá na koncentraci nadbytečných no sitelu An ,AP , je tomu tak ve skutečnosti jen v jednoduchém, speciálním, případě . Pokud jev polovodiči více rekombinačních hladin, nebo se uplatňuje více rekombinačních mechanismů je výsledná doba života určena dobami života charakterizujícími jednotlivé případy rekombinace takto 48 1 (6.6) což znamená, že se sčítají jednotlivé pravděpodobnosti 'rekombinací. RELAXACE KONCENTRACE NADBYTEČNÝCH NOSITELÔ Skupina metod pro měření doby života využívá relaxace koncentrace nadbytečných nositelů. Vyjádříme proto změny koncentrace nadbytečných nositelů po skokovém vzniku a zániku generace nositelů, obr. 6,4. Pro jednoduchost uvažujme generaci rovnoměrnou v celém vzorku, např. zářením o malém koeficientu absorpce k , g =■ jS. k. gQ , • kde fj je kvantový výtěžek, gQ je hustota proudu fotonů. Chování nositelů vystihuje řešení rovnice kontinuity, která má tvar np Obr. 6.4. Relaxace koncentrace nadbytečných nositelů. d an d t = P• k. g - An (6.7) kde T je doba života. Je-li pro t = 0 An = 0 , pak má řešení rovnice kontinuity tvar &n = f . 0 . k. gQ. (1 - e"t/,C ) (6.8) Koncentrace nadbytečných nositelů exponenciálně narůstá s časem (nárůst je určován dobou života f) a za dostatečně dlouhou dobu ("t-*«*>) nabude stacionární hodnoty ^n st tr. p . k. gc (6.9) Po skončení generace má rovnice kontinuity tvar 49 d &n d t A n (6.10) neboí bez generace je gQ = O . Ustane-li generace skokem pro kdy je A n = An , , má řešení rovnice kontinuity tvar t = 0 A n = A ngt. (6.11) Koncentrace nadbytečných nositelů klesá exponenciálni s časem, pokles je opět určen dobou života V , Závěrem shrneme, že koncentrace nadbytečných nositelů nesleduje bezprostředně (bez setrvačnosti) změny generace nositelů, ale vykazuje relaxace jejichž trvání je určeno dobou života nositelů. MĚŘENÍ FOTOVODIVOSTI Při měření fotovodivosti vycházíme ze skutečnosti, že se při ozáření vzorku mění jeho vodivost a tedy i jeho odpor.Zapojíme-li vzorek do obvodu s odporem a stejnosměrným zdrojem elektrické energie , pak změna odporu vzorku způsobuje změnu napětí jak na vzorku tak na odporu R , obr. 6.5. Tyto změny napětí měříme a z jejich velikosti usuzujeme na velikost fotovodivosti. Vztah mezi fotovodivosti a měřeným napětím nalezneme vyjádříme-li proud obvodem v případě, že vzorek je a není ozářen, tedy aodulorané záření vzorek zatěřovaoí odpor V-metr R + rÄ - Ar Obr. 6.5. Principiální schéma obvodu pro měření fotovodivosti. Xt = R + t, ITa odporu R naměříme změnu napětí v = (I - I+). R = V.R. (R + rQ - Ar).(R + rQ) 50 ze které určíme změnu odporu vzorku způsobenou ozářením vzorku Ar = T' (R + ro>2_ . (6.12) V. R + v. (R + rQ) nebo změnu vodivosti vzorku s ozářením, čili fotovodivost 1 rQ - Ar r rQ. (rQ -*r) (6.13) Jednoduché vyjádření fotovodivosti dostaneme v následujících případech Konstantní elektrické pole, tj. R<£ rQ - Ar , A a *f zjistíme pomocí osciloskopu, Obr. 6.7. Schéma zapojení pro měření doby života metodou fázové kompenzace. kde na jedno vychylování přivádíme střídavé napětí na vzorku, na druhé vychylovéní přivádíme napětí na Členu RC. Tato dvě k sobě kolmá napětí se skládají a proto na obrazovce osciloskopu pozorujeme Lissajouso-vy obrazce obecně ve tvaru elipsy, v případě f = Y rc ve "tvaru &~ sečky. Metodu fázového posunu lze realizovat i s nesinusovým průběhem generujícího záření. Dá se ukázat, že Lissajousovy obrazce mají v případě obdélníkového nebo trapezoidálního průběhu záření tvar uzavřených smyček, při čemž v případě f = R.O přejde smyčka v úsečku. Při měření postupujeme tak, že měníme hodnotu odporu členuRC tak, až na obrazovce osciloskopu přejde stopa ve tvaru smyčky v úsečku. Pro tento případ platí ť = R.C . METODA FREKVENČNÍHO POKLESU FOTOVODIVOSTI Relaxace koncentrace nadbytečných nositelů podmiňuje závislost fotovodivosti na frekvenci. Ozařujeme-li polovodičový vzorek přerušovaným zářením ve tvaru pravoúhlých symetrických pulzů, bude koncentrace nadbytečných nositelů a tedy i fotovodivost probíhat tak, jak je Znázorněno v obr. 6.8, 6.9. Pro nízké frekvence přerušování záření, 53 zářeni fOtOTOdiTOSt Obr. 6.8. Relaxace íotovodivosti při pulzní generaci nadbytečných nositelů, nízká frekvence opakování pulzů. saraní ATMiJiJri-njrijrix ao* Obr. 6.9. Relaxace íotovodivosti při pulzní generaci nadbytečných nositelů, vysoká frekvence opakování pulzů. tj. pro Í/S m t0»lr dosáhne fotovodivost prakticky svou stacionární hodnotu a poklesne na nulu v každém cyklu. V případě vyšších frekvencí přerušování, kdy 1/f » = t «£. ť , ustane generace nadbytečných nositelů dříve než fotovodivost dosáhne stacionární hodnotu a pokles fotovodivost! neproběhne až do nuly. Z těchto důvodů se ustálí stav s menšími zmenami íotovodivosti než v předchozím případe, obr. 6.S. Je zřejmé, že čím bude vyšší frekvence přerušování tím menší změny íotovodivosti budeme pozorovat. Výpočtem lze nalézt, že frekvenční závislost íotovodivosti má vyjádření A 0~ = A • th 4 V th 1 4.tr-f (6.20) a závislost je znázorněna na obr. 6.10, křivka 1. Dobu života stanovíme tak, že ze závislosti střídavé složky íotovodivosti na frekvenci přerušování záření odečteme frekvenci pro hodnotu íotovodivosti rovnou 0.76 ů^. Pro tuto hodnotu frekvence je í = 1/ 4 f a tedy J_ 4.f (6.21) 54 0 2/4V 4/4V 6/4C 8/4r 10/4C Obr. 6.10. Frekvenční závislost relativní fotovodivosti, 1 generace obdélníkovými pulzy 2 generace sinusová Kdybychom volili sinusovou modulaci generujícího záření probíhala by závislost střídavé složky fotovodivosti na frekvenci tak, jak je to znázorněno na obr. 6.10, křivka 2. Hodnota foto-vodivosti 0.71 ůa^t odpovídá frekvenci f= = 1/ 2Tr.f a tedy doba života V = 1/ 2-0-f . Schéma zapojení pro měření doby života touto metodou je na obr. 6.11. žárovka vzorek čočky voltmetr měřič frekvence motor Obr. 6.11. Schéma zapojení pro měření doby života metodou frekvenčního poklesu fotovodivosti. Záření dopadající na vzorek přerušujeme kotoučem s výřezy, při čemž jsou otáčky motoru měnitelné a tak lze měnit i frekvenci přerušování záření. Napětí na zatěžovacím odporu měříme střídavým voltmetrem, který má výstupní svorky spojeny s měřičem frekvence. To umožňuje odečíst současně hodnotu fotovodivostního napětí a příslušné frekvence přerušování záření. ÚKOL Změřte dobu života nositelů daného polovodičového vzorku metodou fázové kompenzace pro několik různých hodnot odporu a kapacity členu 55 RC. Stanovte dobu života nositelů stejného vzorku na základě naměřené frekvenční závislosti fotovodivosti. LITERATURA J.S. Blackmore, Statistika elektrónov v poluprovodnikach, rus. překl., Mlr, Moskva 1964, str. 185. 56 7. FOTOELEKTRICKÍ METODA MĚŘENÍ DIFÍJZNÍ DÉLKY Generujeme-li nadbytečné nositele v určitém místi polovodiče, pak nositelé z místa generace difundují. Nadbyteční nositelé však ve všech místech rekombinují (podrobněji viz úlohu č. 6.), Proto v materiálu o o nízké rekorabinaci dodifundují nadbyteční nositelé dále od místa generace než v materiálu o vysoké rekorabinaci. Prostorové rozložení kon -centrace nadbytečných nositelů souvisí s jejich rekorabinaci. Na této skutečnosti je založena fotoelektrická metoda měření difúzni délky, případně doby života. V dalším výkladu rozebereme nejdříve otázku rozložení koncentrace nadbytečných nositelů podrobněji. ROZLOŽENÍ KONCENTRACE NADBYTEČNÝCH NOSITEL& V POLOVODIČÍCH Abychom vystihli podstatu problému uvazujme dlouhou desku polovodiče ozářenou v místech od x ■ 0 do x = -1 zářením o malém absorpčním koeficientu, které generuje nositele zhruba rovnoměrně napříč vzorkem, obr. 7.1. Deska je homogenní a rekombinaČní vlastnosti jsou ve všech místech stejné, charakterizované dobou života nositelů f . Pro výpočet nadbytečné koncentrace je.vhodné rozdělit desku na tři oblasti podle obr.7.1. Chování nositelů v desce popisuje řešení rovnice kontinuity (podrobnější zdůvodnění je uvedeno v úloze č. 9.), která má tvar 9 ůn _ k a „ an dl o t kde k je koeficient absorpce záření, p je kvantový výtěžek (počet nositelů generovaných Jedním kvantem záření), gQ je proudová hustota dopadajících fotonů a hustota elektronového proudu je dána vztahem In => q.D. |A2_ * q. jx.lx , (7.2) kde D je koeficient ambipolární difúze (viz úlohu č. 10.), u je ambipolární pohyblivost (viz úlohu č. 10.), £, je intenzita elektric-kého pole ve vzorku. První člen pravé strany rovníce kontinuity vyjadřuje generaci nositelů, druhý člen jejich rekombinaci, třetí vyjadřuje přítok nositelů (difúzí a driftem) a je to vlastně divergence proudové hustoty. 57 záření -1 Obr. 7.1. Průřez ozářeným polovodičovým vzorkem a odpovídající rozložení koncentrace nadbytečných nositelů. Rovnici lze upravit pro stacionární případ (tj. ^An/ 3t = 0) do tvaru D. d2An d x' P din + ji.O . —-— - d x a zavedeme-li označení L ■ můžeme nakonec napsat d2an důn d x£ L d x tr./3. k. gQ C7.3) V oblastech 1 a 2 je gQ = 0 . Okrajové podmínky mají tvar: in-» 0 pro x—*± 1 . Tyto podmínky umožňují zjednodušit obecné vyjádření a G a pro vzorek délky 1 do stáváme vztah 10* 104 k l/oi Obr. 9.2. Spektrální závislosti fotovodivosti. 1 s1 malá, s2 malá 2 s^ střední, s2 malá 3 s1 velká, s2 malá 66 q.L . ( + p.^ ). (1 - r). xQ gn 1. (D + a. L. cth (d/2L)) C 1 + — . D ) = 0.(1+—, 1 ) D k (S.6) kde r je optická odrazivost vzorku, x je šířka vzorku a s1 = s2 = s. Ze vztahu (9.6) je vidět, že spektrální závislost fotovodivosti připadající na jeden foton lze vyjádřit pomocí členu, který nezávisí na absorpčním koeficientu (konstanta C) a pomocí členu závisejícím na absorpčním koeficientu k * Přesněji vzato optická odrazivost vzorku pro záření o různém absorpčním koeficientu nemusí být konstantní. Zde se využívá experimentálně zjištěné skutečnosti, že se hodnota optické odrazivosti v oblasti záření silně vzorkem absorbovaného příliš nemění, z těchto důvodů se považuje za konstantní, obr. S.3. Z vyjádření (9-6) je patrné, že závislost R t 35 30 25 ^ CP-4 1.0 1.4 1.8 ua o. G/g0 na 1/k je přímková. Parametry přímek jsou rychlost povrchové rekombinace s a difúzni délka L . Ukážeme dále jak lze tyto parametry určit, [9.2 - 9.4] . Obr. 9.3. Optická odrazivost germania leptaného v CP-4 a H202 . URČENÍ RYCHLOSTI POVRCHOVĚ* REKOMBINACE A DIFÚZNI DÉLKY ZE SPEKTRÁLNÍ ZÁVISLOSTI F0T0V0DIV0STI Z vyjádření závislosti (9.6) vyplývá, že extrapolovaná přímková závislost ag/£0 = f(1/k) vytíná na ose 1/k úsek a (pro a G/gQ = 0), pro který platí * * - -E, (9.7) s při libovolných hodnotách konstanty C, obr. 9.4. Odtud vyplývá, že ne- 67 ní nutno stanovovat přímo hodnoty A G/s0 » ale stačí vynést veličiny úměrné, např. napětí na voltmetru při měření fotovodivosti. Z hodnoty úseku a lze vypočíst hodnotu s , neboí hodnotu koeficientu ambipolár-ní difúze lze odečíst z grafu na obr. 10.2 na základě znalosti měrného odporu materiálu vzorku. Na ose AG/gQ vytíná extrapolovaná přímka úsek h , který souvisí s difúzni délkou, avšak složitým způsobem, jak je vidět ze vztahu (9.6) pro hodnotu 1/k = 0. Přesto lze úseku h využít ke stanovení difúzni délky L následujícím způsobem. Využíváme k tomu skutečnosti, že lze celkem snadno změnit rychlost povrchové rekombinace s vzorku (např. chemickým opracováním povrchu) aniž bychom při tom změnili hodnotu difúzni délky. Změříme-li spektrální závislosti stejného vzorku při dvou různých opracováních povrchu a tedy při dvou různých hodnotách rychlosti povrchové rekombinace, pak ze závislostí AG/gQ = Obr. 9.4. Graf závislosti AG/gQ= - f(1/k). = f(l/k) lze určit úseky snadno nalézt, že a. Pomocí vztahu (9.6) lze L. cth— = 2L h1 ~h; hřJ fcu (9.8) Při tom podotýkáme, že hodnoty ag/ gQ lze vynést opět v relativních jednotkách. Pro speciální případ tlustého vzorku (podmínka d» 2L ) vychází h1 ~ h2 a2 " a. (9.9) a v případě měření na tenkém vzorku (d-*í<2L) dostáváme T2 h1 - h2 1 (9.10) 68 Uvedené vztahy využívame ke stanovení difúzni délky. Hodí se poznamenat, že závislosti a G/gQ = f(l/k) mohou vykazovat odchylky od přímky v důsledku toho, že odrazivost není konstantní, že vliv povrchového prostorového náboje není zanedbatelný, že dochází k zachyceni v pastech apod. V těchto případech nemůžeme metodu spektrální závislosti fotovodivosti využít. EXPERIMENT Z předchozího výkladu plyne, že s a L stanovujeme na základě naměřených závislostí a G/gQ = f(l/k). Experimentálně tedy stanovujeme spektrální závislosti veličin a G a gQ . Protože v experimentu můžeme určit vlnovou délku záření a ne příslušný absorpční koeficient využijeme již zjištěné závislosti k = f(X ) k určení hodnot absorpčního koeficientu, obr. 9.5. Schéma experimentu je na obr. 9.6. Monochro- Hl žárovka vzorek monochrornátor voltmetr 1.7(nn) Obr. 9.0. Schéma uspořádání pro měření spektrální závislosti fotovo-divosti,, Obr. 9.5. Závislost koefi- matické záření vytváříme pomocí ha- cientu absorpce logenové žárovky a monochromátoru. germania na vlno- Germaniový vzorek je zapojen do ob- vé délce záření. ,,„^„ = _ vodu s odporem a zdrojem napetx (zabudováno v přípravku spolu s komutátorem napětí). Záření přerušujeme pomocí rotujícího kotouče s výřezy a střídavé napětí na odporu měříme selektivním voltmetrem. Měření fotovodivosti je vysvětleno v ú- 69 loze č.6. Napětí na selektivním voltmetru je úměrno íotovodivosti nG. Veličinu úměrnou poctu fotonů určíme buä na základě měření intenzity záření pomocí optického termočlánku, nebo na základě grafu spektrální závislosti intenzity záření monochromátoru, který jek disposici v praktiku. Opracování povrchu vzorku vedoucí k různým hodnotám rychlosti povrchové rekombinace provedeme aplikací roztoků podle instrukcí uvedených v praktiku. Změřte spektrální závislosti fotovodivosti germaniového vzorku alespoň pro dvě různá opracování povrchu vzorku a stanovte hodnoty rychlosti povrchové rekombinace a difúzni délky. LITERATURA 2 (1960) 1022. 9.3] A.V. RŽanov, Elektronnyje processy na poverchnosti poluprovod-nikov, Nauka, Moskva 1971, str. 191. 9.4J V.A. Petrusevič, V.K. Subašiev, G.P. Morozov, Fiz. tverd. tela 3 (1961) 1505. ÚKOL 10« í O S 0 M A G Jf II 0 ELEKTRICKÍ JEV V POLO- VODIČÍCH Fotomagnetoelektrický jev (dále jen FME jev) je jeden z fotoefek-tů vznikající v homogenním osvětleném polovodiči za přítomnosti magnetického pole. Je důsledkem difúze nadbytečných nositelů proudu v magnetickém poli a proto se někdy hovoří o fíallově jevu difundujících nositelů. Jeho největší význam spočívá v tom, že umožňuje měřit velmi 10 krátké doby života nositelů v polovodičích (až 10" s), které nejsou měřitelné jinými metodami. Na základě PIJE jevu pracují i detektory infračerveného záření. FME jevu se také využívá při měření řady parametrů polovodičů: doba života nositelů, rychlost povrchové rekombinace, koeficient difúze, pohyblivost, kvantový výtěžek a j. [l0.l] . DIFÚZE NADBYTEČNÝCH N0SITELÔ , DEMBERUV JEV Pro jednoduchost se většinou uvažuje případ difúze, kdy je koncentrace minoritních nositelů mnohem menší než koncentrace majoritních nositelů (nevlastní polovodič). Při současné difúzi nositelů dvou druhů náboje, tedy i nadbytečných elektronů a děr v polovodičích při obecném poměru rovnovážných koncentrací nositelů není jejich vzájemné působení zanedbatelné a difúze je v tomto případě charakterizována tzv. bipolár-ním, nebo ambipolárním koeficientem difúze. Vysvětlíme jeho smysl, [5.5] . Uvažujme pro jednoduchost nekonečnou desku (z důvodu symetrie je to jednorozměrný případ), kde jsou u jednoho povrchu generováni nadbyteční nositelé např. silně absorbovaným zářením, obr. 10.1. Jak elektrony tak díry difundují směrem k neozářenému povrchu. Difúzni koeficienty elektronů a děr nejsou obecně stejné a zpravidla jsou elektrony pohyblivější, mají větší difúzni koeficient, a proto difundují rychleji než díry. Z těchto důvodů se u neosvětleného povrchu začne zvětšovat záporný náboj, u ozářeného povrchu kladný náboj a v desce se vytváří elektrické pole, které urychluje díry a zpomaluje elektrony. Za nějakou dobu se ustaví stacionární stav, při kterém je tok elektronů i děr napříč deskou stejný. V desce bude trvalé nenulové elektrické pole které způsobí, že difúze obou druhů nositelů bude probíhat stejně a bude charakterizována ambipolárním koeficientem difúze. Abychom vyjádřili vztah mezi ambipolárním koeficientem difúze a koeficienty difúze elektronů a děr Vymezíme poměry přesněji. Uvažujme jednorozměrný ponyd elektronů a děr v polovodiči o libovolné končen- 71 záření -> dlflunl prcad traci elektronů a děr n= nQ +An , p « = p0 + fcp , kde nQ, pQ jsou rovnovážné koncentrace nositelů, in, ip jsou nadbytečné koncentrace nositelů* Omezíme se na případ elektrické neutrality, tj. A n = Ap » podrobnější vysvětlení je u-vedeno později. Chování nositelů lze vyjádřit pomocí rovnice kontinuity pro oba druhy nositelů ž A P A P _ _1_ B_ 3 in ] (10.1) 3 t t q 3 x n Obr. 10.1. Difúze nositelů v desce polovodiče. kde jefn - tp - V doba života nositelů, Jp , Jn jsou proudové hustoty děrové a elektronové složky proudu, které lze vyjádřit ve tvaru P P P 3 x (10.2) kde ^P n q. ^u^. n jsou děrová a elektronová vodivost, ť je intenzita elektrického pole, Dp , DQ jsou koeficienty difúze děr a elektronů. První členy v rovnici proudových hustot představují drifto-vou složku proudu, druhé členy pak difúzni složky proudu. Vyjádříme-li derivace proudových hustot lze rovnice kontinuity napsat ve tvaru d &p m d t d An _ d t V V 32ap 3x2 9x2 3 X B An AP An (10.3) Využijeme-li podmínky a p ■ An , a omezíme-li se na stacionární případ, 72 kdy časové derivace koncentrace jsou nulové, můžeme obě rovnice (10.3) zahrnout do jedné rovnice Dp- °ň + Dn' °p 32*P ^'frp-V^ 3ap ap ^-_-,-—— - + - • * - "~ 1 3 U * o^ + o^ o x2 °n + ap 3* V (10.4) Na základě srovnání poslední rovnice s rovnicemi (10.3) lze vyvodit, že v obecném bipolárním případě je difúze obou druhů nositelů charakterizována jedním koeficientem D„. O^ + D„. o*x (10.5) p n n p n + d im n + p JĹ-_-_-i- o vo k.T o -o n p ^. + Po i_2. + :l£. 0_ D, p n -J*p J^n kterému říkáme ambipolární koeficient difúze a který je určen difúzním koeficientem jak děr tak elektronů. V posledním vyjádření D jsme využili Einsteinova vztahu D = (k.T/q), u . Snadno nahlédneme, že v nevlastním polovodiči, kdy je buä nQ« pQ nebo n0^í> P0 \ 0® ambipolární koeficient difúze roven difúznímu koeficientu minoritních nositelů. Závislost koeficientu ambipolární difúze na měrném odporu materiálu a tedy na rovnovážné koncentraci nositelů je na obr. 10.2. Dále je patrné, že nositelé budou driftovat v elektrickém poli s tzv. bipolární driftovou pohyblivostí o- + ô^r n p^ n p _o . _o (10.6) >*p řn Snadno nahlédneme, že ve vlastním polovodiči (nQ =pQ)je y. =0. Ukázali jsme, že při rozdílných difúzních koeficientech D^, DQ se vytváří v polovodiči elektrické pole kompenzující rozdílnou difúzi nositelů. Bylo zjištěno, že obecně v homogenním polovodiči, ve kterém existují gradienty koncentrace nadbytečných nositelů (způsobené např. nerovnoměrnou generací) se v důsledku rozdílnosti D^, Dn vytváří elektrické pole, které nazýváme elektrické pole Demberovo á hovoříme o Demberově jevu. Tento jev se nevyužívá k měření parametrů polovodičů hlavně proto, že elektrické kontakty, které jsou nutné k měření Dembero 73 D (oni2 s"1) 100 80 60 40 20 10 o (^ohm cm ) Obr. 10.2. Ambipolární koeficient difúze germania v závislosti na měrném odporu materiálu. va napětí jsou osvětleny a fotonapětí na kontaktech zpravidla převyšuje napětí Demberovo. FOTOMAGNETOELEKTRICKÝ" JEV Poměry ve vzorku polovodiče při FMS jevu jsou znázorněny na obr. 10.3. Uvažujeme pro jednoduchost nekonečnou desku polovodiče umístěnou záření \c__>L_L. 4, «-/ y* x o H ni px ekvlpotenoiální hladina 6 p -grád &V Obr. 10.3. Poměry v polovodiči při PME jevu. 74 v magnetickém poli kolmém k roviné obrázku, jejíž jeden povrch je ozařován zářením silně absorbovaným v polovodiči, teoreticky uvažujeme, že jsou nositelé generováni pouze v rovině povrchu. Byly provedeny výpočty i pro případ generace nadbytečných nositelů při libovolné absorpci záření [9.l], výsledné vztahy jsou vSak tak složité, že se pro naše potřeby spokojíme s přiblížením povrchové generace. Nositelé generovaní na povrchu difundují napříč vzorkem k neosvětlenému povrchu (Demberův jev). Protože difúze probíhá v magnetickém poli kolmém k pohybu nositelů dochází k jejich odklánění ve směru podél vzorku v důsledku Lorenzovy síly a proto můžeme pozorovat elektrický proud v podélném směru, je-li vzorek zapojen nakrátko, nebo vznikne elektrické pole v podélném směru, není-li vzorek vodivě spojen, tj. v případě naprázdno. V prvém případě pozorujeme FME proud nakrátko, v druhém případě pozorujeme FME napětí naprázdno. Teorie FME jevu vychází z uvedené představy [1O.2] . Postup při odvození vztahů pro FME proud nakrátko a Fľ.íE napětí naprázdno bude následující: uvedeme soustavu vztahů, které umožňují nalézt rozložení koncentrace nadbytečných nositelů v desce a rozložení elektrického pole, vypočítáme koncentraci nadbytečných nositelů v desce a pomocí ní vyjádříme FME proud nakrátko a FME napětí naprázdno. Vyjádříme i fotovodivost desky, což je pro aplikaci FME jevu výhodné. Vycházíme z fenomenologické teorie transportních jevů. Transport nositelů v polovodičovém vzorku je určen Poissonovou rovnicí, rovnicemi proudu a rovnicí kontinuity, při čemž bereme do úvahy, že transport probíhá v konstantním magnetickém poli. Abychom získali výsledné vztahy v celkem přehledném tvaru volíme řadu zjednodušení: vzorek je nekonečný ve směru osy x a z , omezíme se na ustálený,stacionární případ, dále se omezíme na slabá magnetická pole kterým odpovídá malý Hallův úhel, tj. tg 0 ~ 0, dále uvažujeme malou koncentraci nadbytečných nositelů, tj. (p - P0), (n - nQ) « pQ + nQ , konstantní doba života nositelů ť =. r = ti . n p Poissonova rovnice vyjadřuje vztah mezi intenzitou elektrického pole a hustotou prostorového náboje div £ = Í!£. o - ÍEq . (ap - An) , (10.7) kde t, je permitivita materiálu, p hustota prostorového náboje. Protože v našem případě je intenzita elektrického pole malá a tedy také prostorový náboj je malý, tj. (Ap -an) «, AP» An , bere se obvykle apro- 75 ximace a p - in = O a hovoříme o podmínce elektrické neutrality. Tuto podmínku můžeme vyjádřit ve tvaru p - PQ = A p = An ■ n - nQ . Pro slabá magnetická pole je Hallův úhel děr a elektronů malý a P P C (10.8) tg en = 9n =- , kde ^Upjj , (unH jsou Hallovy pohyblivosti, c je rychlost světle. Rovnice hustoty proudu lze vyjádřit ve tvaru j" ■*?* + e . J„ x k , P P p P , „ „, (10.9) JM = J* + 0. Jn X k , n n n n T kde jp = <3-p£- q. Dp. grad-p , Jn = "n q* Dn" Srad n • kde k je jednotkový vektor ve směru magnetického pole. Při tom 7celk. - Jp + ľn • <10'10> Rovnici kontinuity pro díry a elektrony (viz úloha č. 9) i-E = - -L. div j - A2. = ÍĽE_ = _L . div jn - A2. (10.11) ôt q PfBtq n^ lze nakonec vyjádřit ve tvaru D. d2*P - AL = 0 . (10.12) d y2 tr Pro nalezení koncentrace nadbytečných nositelů v desce je potřeba rov nici kontinuity doplnit okrajovými podmínkami y » d q. g0 + J = q. sr A P , 76 y - o Jpy =• - q. s2. a p , (10.13) které vyjadřují skutečnost, že ve stacionárním stavu k povrchu přiteče tolik nositelů, kolik jich za 1 vteřinu na povrchu zrekombinuje. Člen q.gQ vyjadřuje povrchovou generaci nositelů, t s2 jsou konstanty charakterizující rekombinaci nositelů na povrchu, nazývají se rychlost povrchové rekombinace. Koncentraci nadbytečných nositelů, která je řešením rovnice Kontinuity s okrajovými podmínkami, lze vyjádřit ve tvaru a p !r e*/L + C2. e-y/L , (10.14) kde L « VÔľF je difúzni délka. Intenzitu elektrického pole ve vzorku lze vyjádřit na základě rovnice (10.9) ve tvaru ST - <^1. ( JT + q. D. -—£ ) (10.15) x x d y uvážíme-li, že při naší konfiguraci je J= Jx , je funkcí pouze y, gradient koncentrace je kolmý k povrchu, gradů p = důp/ dy. Při tom 9 ■ 9« - 9„ • p n Řekli jsme, že v experimentu měříme buä PME proud nakrátko nebo PME napětí naprázdno. V případě proudu nakrátko je ve vzorku podélná složka intenzity elektrického pole nulová, &x ■ 0 . Ze vztahu (10,15) plyne vyjádření proudu nakrátko JSC - - q. 0. ,n,fÄPCd> D. d AP . (10.16) AP(0)J V případě napětí naprázdno je nulový celkový podélný proud ve vzorku 0^ Jx»dy ■ °t což vede k podmínce Tsc CJ° - -i-, den) Gi kde A G, - \ 0^-. d y . 1 0 Obecné vyjádření PME proudu nakrátko, nebo PME napětí naprázdno 77 lze získat dosazením výrazu pro koncentraci a p (10.14) do vztahů (10.16) a (10.17) a má tvar složitých a nepřehledných výrazů které zde neuvádíme a odkazujeme na literaturu [1O.2] . Ke stanovení doby života nositelů a rychlosti povrchové rekombinace využijeme speciálních případů, ve kterých jsou výsledné vztahy celkem jednoduché. STANOVENÍ DOBY ŽIVOTA A RYCHLOSTI POVRCHOVÍ REKOMBINACE Z PME JEVU Bez odvození uvedeme vztahy pro FME proud nakrátko a PME napětí naprázdno v případě tlustého vzorku, d»L a tenkého vzorku, d«L, které mají jednoduchý tvar a proto se v praxi používají. PME proud nakrátko lze v tlustém vzorku vyjádřit ve tvaru jsc m . q. Q- g0. L m e#JlT AG1 t (10#18) CfllÍL+7) 1* C^+^> v tenkém vzorku má Jsc vyjádření jflc m _ 8 a2*^G1 Sk* V ( 1 + S2'"2D > • <10'19) PME proud nakrátko lze vyjádřit s pomocí intenzity generujícího záření gQ a nebo lze gQ vyloučit s využitím fotovodivost! A G1 . Poslední způsob má tu výhodu, že měření intenzity gQ (absolutní hodnoty) není zpravidla jednoduchá záležitost, zatímoo fotovodivost při osvětlení stejném jako v případě měřeného FME jevu lze celkem snadno měřit. První vztah se využívá pro měření doby života nositelů, kterou lze vyjádřit vztahem [in H. AG. 1 -1 ^ 1,26. 10-qo -——J , (10.20) J kde f je doba života nositelů (rozměr s ) , D je koeficient ambi- 2 1 1 polární difúze (cm s ) , H je intenzita magnetického pole (A m ) , A G Je fotovodivost vzorku (IL~1 ) , 1 Je délka vzorku (cm) , Jsc je PME proud nakrátko (A). Vztah (10.19) je vhodný pro měření rychlosti povrchové rekombina- 78 ce neosvětleného povrchu s2 Tsc 82 = Jsc + H. G. w. 1,26 . 10"10 (10.21) .-1 kde s2 má rozměr (cm s ) , w je šířka vzorku (rozměr ve směru magnetického pole) (cm) , d je tloušíka vzorku (cm) , ostatní veličiny mají stejný význam a rozměr jako v předešlém případě. Místo PME proudu nakrátko lze měřit i PME napětí naprázdno U°c a pro výpočet doby života nositelů, nebo rychlosti povrchové rekombina-ce využijeme vzájemného vztahu rsc Uoc. G (10.22) kde G je vodivost neosvětleného vzorku. EXPERIMENT Experimentální uspořádání je schématicky znázorněno na obr. 10.4« čočka žárovka elektromagnet voltmetr Obr. 10.4. Schéma experimentálního uspořádání pro měření PME jevu. Generace nadbytečných nositelů prováděna zářením projekční žárovky soustředěným na vzorek pomocí čočky a filtrovaným pomocí determálního skla tak, aby na vzorek dopadalo pouze silně absorbované záření a byla tak zajištěna povrchová generace. Žárovka je napájena z transformátoru. Mag- 79 netické pole je vytvářeno pomocí elektromagnetu napájeného z usměrňovače^ který je připojen k regulačnímu transformátoru. Vzorek germania je upevněn v držáku umístěném v magnetickém poli a je opatřen neusměrňují-cími kontakty. Napětí naprázdno U°c měříme bud" pomocí kompenzátoru, nebo pomocí voltmetru s vysokým vstupním odporem. Proud nakrátko měříme v zapojení znázorněném na obr. 10.5. Protože měřidlo proudu má vždy určitý vnitřní odpor bude měřený proud vždy menší než skutečný PIJE proud nakrátko. Uváží-me-li podmínku proudu nakrátko, že totiž napětí na vzorku je nulové, pochopíme snadno funkci zapojení. Z vnějšího zdroje elektrické energie vhodné polarity zvětšíme PME proud tekoucí vzorkem a měřidlem tak, až je na vzorku nulové napětí. V tomto případě je proud procházející obvodem roven FME proudu nakrátko. vzorek voltmetr Obr. 10.5. Schéma obvodu pro měření FME proudu nakrátko. Potovodivost vzorku měříme v zapojení pro měření PME proudu nakrátko. Při vypnutém magnetickém poli měříme proud tekoucí vzorkem a napětí na vzorku a z Ohmová zákona určíme vodivost osvětleného a neosvětleného vzorku. Potovodivost je rovna rozdílu vodi- vosti osvětleného G os a neosvětleného G vzorku A G = G^o - G os (10.23) ÚKOL Změřte závislost PME napětí naprázdno, PME proudu nakrátko a foto-vodivosti na intenzitě dopadajícího záření a z naměřených hodnot v oblasti lineární závislosti uvedených veličin na intenzitě záření buä dobu života nositelů, nebo rychlost povrchové rekombinace Sg (podle druhu vzorku) je třeba stanovit. 80 LITERATURA [l0.l] M. Nowak, Progr. Quantum Electr. 11 (1967) 205. [1O.2] W. van Roosbroeck, Phys. Rev. 105 (1957) 823. 81 11. VOLTAMPÄROVá CHARAKTERISTIKY P-N PŘECHODU Přechod p-n vznikae v polovodiči, je-li jedna jeho část legovaná akceptorovou a druhá část donorovou příměsí. Tato nehomogenita koncentrace příraěsových atomů a současně i volných nositelů vede k difúzi elektronů a děr. V důsledku difúze nabitých částic vznikne vrstva ochuzená o volné nositele s elektrickým polem, které ustaví termodynamickou rovnováhu. Elektrické pole vytvoří potenciálovou barieru, jejíž výšku a také tlouaíku ochuzené vrstvy lze ovládat napětím přivedeným na polovodič. V polovodiči s p-n přechodem tak vzniká řada zajímavých a také pro aplikace důležitých jevů: závislost proudu na polaritě napětí (usměrňování), injekce minoritních nosičů proudu, existence kapacity p-n přechodu a její závislost na napětí, tunelový jev při transportu nositelů přes ochuzenou vrstvu a řetězová generace páru elektron-díra v ochuzené vrstvě při silných elektrických polích (lavinové násobení). Všechny tyto jevy se mohou projevit na voltampérové charakteristice p-n přechodu. Z hlediska aplikací je přechod p-n významný nejen jako polovodičová dioda, ale stal se základním stavebním prvkem všech bipo-lárních polovodičových součástek. 11.1. ELEKTRICKÉ POLE V P-N PŘECHODU Reálný p-n přechod vzniká přelegováhím části polovodiče, typu n, akceptorovou příměsí na typ p. Pokud je rozhraní mezi typem rovinné, vznikne plošný p-n přechod a elektrické pole i parametry polovodiče budou záviset pouze na jedné proměnné x, rozhraní. Elektrické pole v polovodiči s p-n přechodem určíme Poissonovy rovnice ^x2 £ w s je permitivita polovodiče a ^ (x) je hustota náboje ^(x) » q( p - n + ND - NA ) (11.2.) n, p jsou koncentrace volných elektronů a děr, ND, N^ jsou koncentrace donorů a akceptorů, u kterých předpokládáme úplnou ionizaci. Výpočet provedeme za těchto zjednodušujících předpokladů ft1.2J : - oblast prostorového náboje, tj. ochuzená vrstva, je ostře ohraničená napr. pan ostatní kolmé k řešením (11.1.) 82 a) -x. :—u Obr. 11.1. Strmý, ostře ohraničený přechod p-n: a) hustota náboje b) intenzita el. pole o) potenciál d) energie elektronů E(x) = ■ q.H, £s E(x) - £s - zanedbává se vliv elektronů a děr na elektrické pole v ochuzené vrstvě - koncentrace donorů a akceptorú, resp* hustota náboje ionizovaných příměsí (J> (x), se aproximuje v oblasti přechodu bu5 "skokovou" funkcí - přechod strmý, nebo lineární funkcí -tzv. lineární přechod. Předpoklad ostře ohraničené ochuzené vrstvy problém podstatně zjednodušuje a použil jej poprvé Shockley £l1.1^ Označíme-li -xp a xfl hranice ochuzené oblasti - viz. obr. 11.1., bude pro strmý přechod rovnice (11.1): ^2U 3x2* pro -xp<£ x<.0 (11.3.) ť2 . - $ B D a okrajové podmínky pro 0 x x n fa x=-x_ 12 ^x IX r • o :c=x. U(-xp) U(xn) (11.4.) (11.5*) Okrajové podmínky vyjadřují nulovou intenzitu elektrického pole na hranicích ochuzené vrstvy a potenciálový rozdíl na ochuzené vrstvě způsobený difúzí, tzv. difuzní potenciál U^. Intenzitu elektrického pole obdržíme po první integraci jako lineární funkci x : (x + xp) (x - xn) pro -1.4X40 P (11.6.) - Em + m q.N. '•x pro 0 c x <- x. 83 maximální velikost intenzity elektrického pole v ochuzené vrstvě Em má velikost , , , £s lEml = *-V*n * Potenciál elektrického pole v ochuzené vrstvě je U(x) « S^La (x + x )2 pro -x_ 4. x £. 2 £. 3 (11.8.) UU> "■7fDU-Xn>2 + UD pro O^x ± xR Velikost difusního potenciálu závisí na šířce zakázaného pásu E_ a na koncentraci donorů a akceptorů na obou stranách p-n přechodu. Jak vyplývá z obr. 11.1.a) PO- »1 (11#13<) nn'Pn = V>P " nre:tp[ÍEFn " EFp)/k T] 3 ni exp(q-U/k.T) Z (11.13.) plyne, Že na hranicích ochuzené oblasti se koncentrace minoritních nosičů změní takto: pro x - -xp np - npo.exp( q-U/k-T) (11.14.) pro x - xn pn » Pno-exP( q-U/k-T) kde napětí U je kladné v propustném a záporné v závěrném směru. Od hranic ochuzené oblasti vstupují do polovodiče minoritní nosiče, postupně rekombinují a tvoří dlfusní proud. Abychom tento proud určili, je třeba pomocí rovnice kontinuity nalézt závislost koncentrace minoritních nositelů na vzdálenosti od hranic ochuzené oblasti. Za předpokladu slabé injekce můžeme vyjádřit rekombinační rychlost pomocí doby života Tn , resp. T a rovnice kontinuity pro díry v n-oblasti má tvar: IZii pn - Pno _ X.V± ^t Tp Hustota děrového proudu v n-oblasti je j » Q«P-u »E - q«D ——ia Jp * ťn /<-p n P igx a budeme uvažovat pouze její difusní složku, vzhledem k nízké koncentraci minoritních děr pQ a předpokladu o soustředění elektrického (11.15) (11.16.) 85 pole do ochuzené oblasti p-n přechodu. D je difusní konstanta děr. V případě stacionárního procesu je Sasová derivace na levé straně rovnice (11.15.) rovna nule a rovnice kontinuity bude mít jednoduchý tvar 2 2J2a - P* Z pq<> - 0 (11.17.) Okrajová podmínka na hranici ochuzené vrstvy pro x ■ je vyjádřena rovnicí (11.14.): pnCxn) " pno,ezpC a druhá podmínka pro x —» oo OPn -a . 0 vyjadřuje, že koncentrace děr daleko od hranice ochuzené oblasti je konstantní. Řešení rovnice (11.17.) je pn(x) * pno » pno( e3rP( > " 1>-«P[>n^_ I « P*a° + a P° (11.24.) L L p n Vyjádríme-li difúzni délky pomocí doby Života a difu9ní konstanty I o ( D/tr )^2 a koncentraci minoritních nosičů pomocí intrinsické koncentrace n^ a koncentrace akceptorů N^ a donorů podle (11.10.) a (11.13.)t bude hustota saturačního proudu ¥ % tSM * =£ (11.25.) A Z tohoto vztahu vyplývá, že saturační proud v jednostranných přechodech, na př. typu p+- n (E^> ^rj)f 3e určen vlastnostmi slaběji legované části polovodiče, tzv. báze a je menší u silněji legovaných bází. Závislost saturačního proudu na materiálu polovodiče a na teplotě je obsažena v intrinsické koncentraci n^(E ,T) podle (11.10.). Voltampérové charakteristiky reálných plošných přechodů p-n se od ideální odlišují na příklad vlivem generačních a rekombinačních procesů v ochuzené vrstvě, vlivem silné injekce a v důsledku úbytku napětí na sériovém odporu polovodiče při velikých proudech. Některé vlivy je možno kvalitativně odhadnout, určit příslušné proudy a připojit je k difušnímu proudu (11.23.). Takto je problém řešen v monografii [l1.2*] . V závěrném směru se v ochuzené vrstvě uplatňují generační proce- syt neboí np < n£ , které způsobí generační proud jg , jehož hustota Je q*n. Jg- (11.26.) kde "Cg je efektivní doba života. Protože tloušíka ochuzené vrstvy w závisí na napětí podle (11.12.), kde k difušnímu napětí UD připočteme napětí v závěrném směru U^, bude proud v závěrném směru o hustotě záviset na napětí a napr. pro strmý přechod bude 3g ~ ( UD + UR )1/2 (11.27.) 87 V propustném směru budou v ochuzené vrstvě převládat záchytné pro-cesy (n p > n^) spojené 3 rekombinaČním proudem Jr, který je závislý na napětí v propustném směru jr -~ exp( q.U/2-k-T ) (11.28.) Při velkých proudových hustotách nastává silná injekoe, při které je koncentrace injektovaných minoritních nosičů srovnatelná s koncentrací majoritních nosičů. I v tomto případě je proud v propustném směru dán závislostí typu (11,28.). Hustotu proudu v propustném směru j-p lze tedy vyjádřit závislostí typu jp ~ exp( q.U/m.k.T ) (11.29.) Pro difusní proud je m m 1 a pro rekombinační proud a silnou injekci je m » 2. Vliv se'riového odporu polovodiče R lze do voltampérové charak-teristiky (11.23.) zahrnout takto I - Ig[exp{q(U - I Rg)/k T\ - i] (11.30.) kde U - I R je napětí na vlastním p - n přechodu. 11.3. PRŮRAZ PŘECHDU P - N. Při velkém závěrném napětí na p - n přechodu dochází k silnému zvětšení proudu - průrazu a přechodem teče závěrný proud mnohem větší než je saturační proud 1^ » - Ig , který vyplývá z ideální voltampérové charakteristiky (11.23.) pro velká záporná napětí. Příčinou průrazu může být [11.2.],[11.3.] : - tepelná nestabilita - tunelový jev - lavinové násobení Tepelná nastabilita je způsobena zahříváním polovodiče Jouleovým teplem, které vzniká průchodem proudu při závěrném napětí. Protože saturační proud je silně závislý na teplotě - prostřednictvím teplotní závislosti intrinsické koncentrace (11.25.) a (11.10.) - dochází k jeho růstu, tím ke zvětšení Jouleova tepla a dalšímu růstu teploty a proudu. Při tomto typu průrazu může dojít k nevratné destrukci p - n přechodu. Tunelový Jev způsobuje v závěrném směru při silných elektrických polích přechod elektronů z valenČního do vodivostního pásu přes potenciálovou barieru v ochuzené vrstvě. Aby se elektron dostal do vodivostního pásu musí překonat potenciálovou barieru výšky E_/q a tloušíky w. 88 Hustota tunelového proudu j^ p - n přechodem s napětím U, intenzitou elektrického pole E je pi 1.2,1 _ \Em*ľq3. É -U c 4 V? -m* • E3/2 . h = r ľ gvr- e*P]--^ (11.31.) Tunelový proud výrazně roste s intenzitou elektrického pole E a ta je veliká při vysoké koncentraci donorů a akceptorů na obou stranách p - n přechodu (11.7.). Lavinové násobení volných nositelů proudu v ochuzené vrstvě vzniká nárazovou ionizací atomů polovodiče při vysokých elektrických polích. Ionizací vznikají páry elektron - díra generací přes zakázaný pás. Tento děj určuje horní hranici závěrného napětí p - n přechodů. Podmínku pro průraz p - n přechodu lavinovým násobením najdeme tak, že vypočítáme hustoty elektronového a děrového proudu v ochuzené vrstvě z rovnice kontinuity a vyjádříme jejich poměr při výstupu a vstupu do ochuzené vrstvy. Rovnice kontinuity pro díry má ve stacionárním případě tvar 1 0*0- -'div j (11,32.) q p G je rychlost generace párů elektron - díra G " «p'P'TP + Än'n*vn Vp a vn jsou rychlosti elektronů a děr ocn .«p =» f(E) (11.33.) jsou ionizační koeficienty elektronů a děr, které jsou silně závislá na intenzitě elektrického pole E, Po vyřešení rovnice (11,32.) můžeme určit hledaný poměr j # % kde jp(0) je hustota děrového proudu vstupujícího a 3p(w) J© hustote proudu vystupujícího z ochuzené vrstvy tloušíky w. Průraz p - n přechodů se určí z podmínky -to. oo která je splněna, když tzv. ionizační integrál se rovná jedničce. Pro díry má tato podmínka tvar w *x JoCp.expJ -Jcorp -<*n)dx'jdx « 1 (11.34.) 89 a pro elektrony w w Jan.exp{ -Jců^ - dlp) dx'|dx = 1 (11.34.') O x Průraz p - n přechodu nastane, je-li splněna podmínka (11.34.) aspoň pro jeden druh nositelů proudu. Známe-li závislost ionizačních koeficientů 6 E^/q je průraz způsoben lavinovým násobením. Podle teplotní závislosti průrazného napětí Ug lze rozlišit oba mechanismy tak, že při tunelovém jevu napětí Ug při vzrůstjící teplotě klesá, viz (11.31.), kdežto při průrazu lavinovým násobením Ug roste [l1.2»J . 11.4. KAPACITA P - N PŘECHODU. V ochuzené vrstvě p - n přechodu je kladný a záporný náboj ionizovaných příměsí, jehož velikost závisí na napětí vloženém na přechod. Protože téměř nevodivá ochuzená vrstva navazuje na vodivé části polovodiče, chová se p - n přechod podobně jako deskový kondenzátor se vzdáleností desek rovnající se tloušíce ochuzené vrstvy. Ovšem s tím rozdílem, že závislost náboje v ochuzené vrstvě na napětí není lineární a kapacita nebude konstantní. V takovém případě určujeme diferenciální kapacitu jako derivaci náboje při určitém ( stejnosměrném ) napětí na p - n přechodu. Závislost náboje na napětí určíme pro strmý p - n přechod s ostře ohraničenou ochuzenou vrstvou tloušíky w a plochou p - n přechodu A. Kladný náboj v n - části ochuzené vrstvy je podle obr. 11.1.a) 90 "ŕ? AgUD.d* = A.q.ND.xri (11.36.) 0 J xn vyjádříme pomocí tloušíky ochuzené vrstvy w " xp + ^jj a využijeme nábojové neutrality celé ochuzené oblasti (11.7») ^A x = w -S— (11.37.) NA+ND Tloušíka ochuzené vrstvy závisí na napětí podle vztahu (11,12.), do kterého musíme k difuznírau napětí připočítat vnější závěrné napětí U. Dosadíme-li tedy do (11.36.) ^ podle (11.37.) a w podle (11.12.) dostaneme závislost náboje ne. napětí Q(!7) = A-l 2 q £s *( UD + U ) (11.38.) HD + HA J Diferenciální kapacita strmého přechodu p - n je při napětí U dQ /*q£_ ÍTD.N, \1/2 -1/2 C = — - A -S.-ÍL-á- .(uD + U) (11.39.) du y 2 uD + :ía; d V případě jednostranného strmého přechodu p+- n ( NA» ND ) bude kapacita i v1/2 C - A [«§*l$}^ UD + U )-1/2 (11.40.) Pro lineární přechod s ostře ohraničenou ochuzenou vrstvou lze obdobně odvodit [11.2.] 1/3 C = A^^.a^.( UD + U r1/3 (11.41.) a je gradient koncentrace příměsí v oblasti" ochuzené vrstvy. Pro oba tyto modely p - n přechodu je kapacita stejná jako kapacita deskové ho kondenzátoru se vzdáleností desek rovnající se tloušíce ochuzené vrstvy. Pro jiný průběh koncentrace příměsí v p - n přechodu dostaneme jinou závislost kapacity na napětí. 11.5. TUNELOVÁ" DIODA. -rp Í>/AI< Jsou-li obě strany p - n přechodu silně legované ( NA y Ny a N-Q > ) leží Permiho energie ve valenčním pásu p - typu a ve vodi- ' vostním pásu n - typu polovodiče - viz obr. 1.1.2. Protože tloušíka ochuzené vrstvy je v takovém případě malá a intenzita elektrického pole vysoká, může v takovém p - n přechodu existovat tunelový proud v závěrném i v propustném směru. Takový p - n přechod má tunelová dioda 91 Obr. 11.2. Přechod p-n tunelové diody bez napětí. nazývaná také podle svého objevitele Ssakiho dioda [11.4.J Je pro ni typický záporný diferenciální odpor v propustné části voltampérové charakteristiky. Tunelový proud se vypočítá jako rozdíl proudu elektronů z vodivostního do valenčního a z valenčního do vodivostního pá3U (11.42.) Výpočet vede na tuto závislost proudu 1^ na napětí Qll.6.] q^U A . Tj.---(U„ + U - U) k-T n (11.43.) A*Je konstanta, Tt je pravděpodobnost tunelového přechodu elektronů a Un , Up jsou Fermiho potenciály - víz obr. 11.2. Tunelový proud dosahuje maximální hodnoty Ip při napití Up ť 1 ř 3 - < Un + Up > (11.44.) Obr. 11.3* Voltampérová charakteristika tunelové diody. Záporný diferenciální odpor v inflexním bodě 3° -V 92 Kromě tohoto tunelového proudu existuje v p+- n+ přechodu ještě tzv. nadproud, který je způsoben přechodem elektronů z valenčního do vodi-vostního pásu přes stavy v zakázaném pásu. Voltarapérová charakteristika tunelové diody se určí sečtením všech tří proudů: I je nadproud a ID t x D je difusní proud, který teče přechodem bez tunelování. Příklad voltampérové charakteristiky tunelové diody je na obr. 11.3. Tunelový proud se uplatňuje v závěrné části charakteristiky a v propustném směru asi do napětí ú<íolního Uy. Nadproud se uplatní v údolní části charakteristiky a pro napětí větší než Up převládá difusní proud. Důležitým parametrem tunelové diody je záporný diferenciální odpor R^ , který je nejmenší v ínflexním bodě charakteristiky a podíl maximálního a minimálního proudu v záporné oblasti charakteristiky p » • Ip/Iy* V případě, že tento podíl je roven 1,záporný odpor neexistuje a dioda se nazývá inverzní. Obr. 11.4. Schéma zapojení pro měření V - A charakteristik v propustném a v závěrném směru při malých proudech. 11.6. EXPERIMENTÁLNÍ CAST. Voltampérové charakteristiky plošné diody měříme v propusti ném i v závěrném směru (mimo oblast průrazu) v zapojení podle obr. 11.4. Toto zapojení používáme pro měření v oblasti malých proudů do jednotek mA. Pro větší proudy v propustném směru zaměníme potenciometr s mono-článkem mezi body X, Y elektronickým zdrojem s regulací a s nastavitelným omezením proudu, na př. školní typ Tesla BK 127. Měřící přístroje volíme podle požadovaného rozsahu proudů a napětí. Jako ampérmetr je vhodný číslicový pikoampérmetr, na př. Tesla BM 545 s měřícím rozsahem 1 pA až 2 A, a jako voltmetr elektrometr, na př. Va- ■-■ 12 kutronik VA - J - 51.1 * který má vstupní odpor větší než 10 ohmů. 8 9 Běžné číslicové voltmetry mají vstupní odpor menší 10 - lO^ohraů. Pří měření velmi malých proudů a napětí je třeba diodu i přívody k přístrojům chránit stíněním před rušivým elektrickým polem. Závěrnou část charakteristiky v oblasti průrazu měříme opět v zapojení podle obr. 11.4. (zaměníme polaritu diody) s tím, že místo zdroje napětí použijeme zdroje konstantního proudu regulovatelného v rozsahu od 1 ^u,A do 100 mA, který připojíme mezi svorky X, Y. Toto uspořádání chrání diodu před poškozením nadměrným proudem. Jako voltmetr můžeme 93 použít běžný číslicový voltmetr. Měřeni tunelové diody. Jelikož tunelová dioda je prvek, který obsahuje záporný odpor, in-dukčnost a kapacitu, působí někdy potíže měření v oblasti záporného odporu. Dioda se totiž může v měřícím obvodu bud* rozkmitat, nebo dojde při zvyšování napětí k přeskoku z vrcholu charakteristiky, tj. z bodu (TJp,Ip) na obr. 11.3. do údolní části charakteristiky přes oblast záporného odporu, která tak zůstane nezměřená. Přeskok nastane tehdy, je--li r > |bJ (11.45.) kde r je sériový odpor mezi zdrojem napětí a diodou a rq je nejmen-ší hodnota záporného diferenciálního odporu. Je-li R < n (11.46.) nemůže přeskok nastat. Oba případy jsou zachyceny na obr. 11.3«: pro R m Rg je naměřená charakteristika nespojitá, protože pri zvětšení napětí zdroje Eg dojde k přeskoku z bodu A do B, pro R ■ R^ je možno měřit celý průběh záporné části charakteristiky, ovšem za předpokladu, že měřená dioda nekmitá. Podmínku pro to, aby v měřícím obvodu nevznikly oscilace, lze odvodit z náhradního D schématu diody na obr. 11.5 . Tato podmínka má tvar [n.5.] R > 'i—?~ (11.47.) Rnl° h: o^JlQSu-1 Obr. 11.5. Náhradní schéma tunelové diody. a vyjadřuje,že rezonanční kmitočet diody musí být vyäSí než kmitočet, při němž se stane reálná Část impedance diody zápornou. Odpor R v (11.47.) je součet sériového odporu diody Rg a vnitř- ního odporu zdroje napětí, kterým charakteristiku tunelové diody měříme. Schéma zapojení pro měření voltampé- rové charakteristiky tunelové diody je na obr. 11.6. rd je odporová dekáda, kterou nastvíme vhodný odpor tak, aby byla současné spněna podmínka (11.46.) i (11.47.). Pro měření proudu použijeme mili-ampérmetr s malým vnitřním odporem a pro měření napětí milivoltmetr. Při měření postupujeme velmi opatrně, aby nedošlo k poškození d£o- Obr. 11.6. Schéma zapojení pro měření V-A charakteristiky tunelové diody. 94 dy. Pozor na záměnu propustné a závěrné polarity diody - viz obr. 11.3» - v závěrném směru má diody velmi malý odpor! Měření kapacit.? P - n přechodu. Pro měření závislosti kapacity p - n přechodu na napětí v závěrném směru použijeme zapojení podle obr. 11.7. Kapacitu určujeme pomocí cejchovaného kondenzátoru v Q - metru, ke kterému je přes kondenzátor C připojena měřená dioda* Je-li kapacita C mnohem vetší než kapacita dio-dy CD » Je celková kapacite rezonančního obvodu Q - metru rovna součtu C,-, + Ct, , kde Cr t—i—H —fl—i j ) 2 S 0-20» i-( >- Obr. 11.7. Schéma zapojení pro měření závislosti kapacity p - n přechodu na napětí. 'D T "K » VK je kapacita cejchovaného kondenzátom!. Při rezonp.nci musí být celková kapacita konstantní Kde CQ je kapacita proměnného kondenzátoru Cg při odpojené diodč. Kapacita diody je při napětí U CnCtf) « Crt - C K (11.48.) Kondenzátor C odděluje stejnosměrné napětí na diodě od Q-metru. Přes odpor R se přivádí na diodu stejnosměrné napětí z regulovatelného zdroje. Jeho hodnota musí být dostatečně veliká, aby se vlivem malého vnitřního odporu zdroje napětí nezhoršila jakost rezonančního obvodu. Protože měříme diferenciální kapacitu je třeba, aby střídavé napětí na diodě bylo dostatečně malé (~1CQ mV ). Pro měření kapacity diody je možné použít také střídavý most. 11.7. ÚKOL PRO MĚŘENÍ*. 1. Změřte voltampérové charakteristiky p - n přechodů v Ge a Si v pro- ■»7 — 10 pustném směru od proudů 10""'A u Ge a 10 A u Si až do 1 A u obou polovodičů a v závěrném 3měru do napětí -1 V. Sestrojte grafy charakteristik v semilogaritmické formě log I ■ f(U) - ověřte platnost vztahu (11.23) - určete saturační proud Is - určete, ve které oblasti lze charakteristiku vyjádřit závislostí (11.29.) pro m = 1 a ve které oblasti pro m = 2 a na základě toho - určete, ve kterých částech charakteristik převládá diřusní proud (11.23.), rekombinační proud (11.28.), silná injekce (11.28.) a kdy se projevuje sériový odpor polovodiče (11.30.) 95 - podle tvaru závěrné části charakteristiky rozhodněte, zda se uplatňuj e generační proud (11•27»). 2. Změřte voltampérovou charakteristiku Si Zenerovy diody v oblasti průrazu v rozsahu proudů od 1 i0 - i. (r. y.0 /io) . (12.6) Řešení (12.5) vyjadřuje rovinnou vlnu šířící se ve směru osy z , při čemž konstanta- charakterizující šíření H je obecně komplexní veliči-na. Je-li vodivost prostředí o"- 0 , pak je N reálné a hodnota cV N vyjadřuje rychlost šíření vlny. V tomto případě má 1f význam indexu lomu prostředí n • V případě nenulové vodivosti určuje výraz (12.6) komplexní index lomu, N2 - e2. ^u0. £.0. ( E, - i. o/uO . t0 ) . (12.7) Ve vakuu je £. ■ 1 a 0 a N « 1, takže c . p.Q, z. » 1 . Lze tedy vyjádřit N 2 - £. - i. d7u0.t0 . (12.8) N lze vyjádřit pomocí reálných složek n a k ve tvaru N - n - i.k (12.9) a vztah pro £, x lze napsat ve tvaru ťx " & o* *xp t-wJ* k* z/ o ) . exp [ i. uJ (t - nz / c)] . (12.10) Tento výraz vyjadřuje tlumenou vlnu o frekvenci co/ 21T* , mající rych- 98 loat c / n , kde útlum souvisí s koeficientem k . Podobně Ise vyjádřit i složku magnetického pole Hz . Na základě srovnání (12.8) a (12.9) lze odvodit vztahy n2 - k2 « £., 2 n. k - (T/uJ. &0 (12.11) a dále 1/2 2. n2 « £. . (1 + ff2 /u)2.£.2. £20 ) + £- . 1/2 (12.12) 2. k2 - t . (1 + (J2 /iaJ2. & 2. t2Q ) - C . Je vhodná uvést, Se o*' představuje vodivost na optických frekvencích, která se obecně nerovná vodivosti stejnosměrné, nebo nízkofrekvenční. Z uvedeného vyplývá. Se určité prostředí lze charakterizovat bua materiálovými konstantami &■ , e. , nebo optickými konstantami n , k • Jejich vzájemná souvislost vyplývá z uvedených vztahu. Snadno nalezneme, že pro c —» 0 a k—»0 je n— Z praktických důvodů se zavádí absorpční koeficient K , K - 2uj.k/c - 4*8" k / X , kde X je vlnová délka ve vakuu. Koeficient K má ten význam, že energie záření poklesne na hodnotu 1/e na vzdálenosti rovné 1/K . Je zřejmé, že na základě měření intenzity prošlého záření vzorkem lze stanovit K , nebo k • Na druhé straně experimenty umožňující měření vlastností souvisejících s rychlostí vlnění, napr. měření interferenoe, vedou ke stanovení n . Nezávislé určování konstant n a k je možné zpravidla u materiálů o nepříliš velké absorpci. Tioušíka vzorků při měření činí násobek hodnoty 1/K a u silně absorbujících materiálů je obtížné zhotovit dosta* tečně tenké vzorky a proto se měří optická odrazivost. Analýza odrazi-vosti obvykle vede ke dvěma rovnicím obsahujícím n a k . Při měření odrazivosti je potřeba mít na zřeteli, že'případné vrstvy různého původu na povrchu (např. oxidové), nebo poruchy ve zhmožděné vrstvě materiálu u povrchu mohou způsobit odchylky v naměřených hodnotách odrazí- 99 vosti od odrazivosti neporušeného objemového materiálu. Proto je potřeba věnovat povrchovému opracování vzorku náležitou pozornost. Na rozhraní mezi dvěma prostředími dochází jednak k odrazu, jednak k lomu elektromagnetické vlny. Amplitudy odražené a prošlé vlny jsou vyjádřeny Presnelovými vztahy, které dostaneme z okrajové podmínky, že se tangenciální složky £. a H nemění při průchodu rozhraním. Aniž by -chom tyto otázky dále rozebírali (odkazujeme na literaturu [l2.1 , 12.2 ] ) využijeme Fresnelovy vztahy při vyjádření odrazivosti soustavy podložka s tenkou vrstvou, což je případ, který budeme experimentálně sledovat. ODRAZIVOST PODLOŽKY S TENKOU VRSTVOU Uvažujme podložku o indexu lomu n dexu lomu n l1 , prostředí nad vrstvou má index lomu n , Obr. 12.1. Vícenásobné odrazy v tenké vrstvě na podložce. pokrytou tenkou vrstvou o in- obr. 12.1. Dopadá-li na tuto soustavu monochromatické záření dochází k vícenásobným odrazům jak na prvním tak na druhém rozhraní a pro vyjádření intenzity záření při interferenci je potřeba vícenásobné odrazy započítat. Odrazivost podložky s tenkou vrstvou s přihlédnutím k vícenásobným odrazům lze vyjádřit ve tvaru (pro složku rovnoběžnou s rovinou dopadu) [12.3] *i2 + rlí2 + 2. r J . r", cos x P P P P 1 + r*2 . r*2 + 2. r*, r*, cos x P P P P (12.14) kde rp je poměr amplitud odrazené a dopadající Bložky intenzity elektrického pole záření, rpl je analogický poměr pro 1. rozhraní, pro druhé rozhraní, x « (2TT/\). 2. &*« i. cosy1 je dráhový rozdíl paprsku ve vrstvě. 100 Vztah se značně zjednoduší pro kolmý dopad záření na soustavu. V tomto případě má složka rovnoběžná s rovinou dopadu a kolmá k rovině dopadu stejnou hodnotu ■ n1 - no „i r ■ - « - r P n1 + ao a (12.15) r11 B a " n1 , ,« r„ a - « — r_ • P n + ttl 8 a odrazivost soustavy je možno vyjádřit pro obě složky vztahem n2 .(n- nrt)2. cos2 (x/2) + (n 2 - nn.n)2. ain2(x/2) R - _J-2-]-?--(12.16) n.,2 .(n+ nQ)2. cos2 (x/2) + (n^ + nQ.n)2. ain2(x/2) Měníme-li vlnovou délku dopadajícího záření X , mění se hodnota x a v odraženém záření pozorujeme interferenční jev, který se projeví zvětšováním a zmenšováním intenzity odraženého záření v závislosti na X . Při tom záleží na hodnotách indexů lomu nQ , n^ , n . Pro námi sledovanou soustavu je nQ < n1 < n a pro hodnoty 2. nr d = 2 m * kde m - 1, 2, 3, ..... , (12.17) 2 2 je sin (x/2) ■ 0 a cos (x/2) m 1 , odrazivost nabývá největší hodnotu, která se rovná 2 (—) \n + no/ (12.18) Odrazivost je rovna odrazivoetl podložky. Pro 2.nr d * (2m - 1) , kde m - 1, 2, 3, ..... , (12.19) 2 2 Je sin (x/2) ■ 1 a cos (x/2) ■ 0 , odrazivost nabývá nejmenší hodnotu, která se rovná 2 2 fn^ - n. n \ *™ 94 90 86 0,4 0,6 1,2 \(um) Obr. 12.2. Optická odrazivost hliníku N Experimentální uspořádání pro měření odrazivost! je schematicky znázorněno na obr. 12.3* Monochromatické záření získáváme pomocí žárovky a monochromátoru. Vhodný svazek záření vytvoříme pomocí pomocí čočky a rovinným zrcadlem zaměříme svazek tak, aby dopadal kolmo na povrch vzorku. Intenzitu odraženého záření měříme pomocí fo-tonky. Potoproud, který je žárovka monochromátor vzorek normál fotonXa s měřícím zařízením Obr. 12.3« Schéma uspořádání pro měření odrazivost!. úměrný měřené intenzitě záření prochází přesným odporem a způsobuje na něm napětí, které měříme pomocí kompenzátoru s elektrometrem jako nulovým indikátorem. Podrobný popis funkce zařízení je k disposici -v praktiku. ÚKOL Změřte optickou odrazivost křemíku s vrstvou oxidu křemíku (Si02) v oboru citlivosti fotonky použitého zařízení (as! 0,4 až 1,1 jun) a z naměřených maTlm a minim určete index lomu podložky, vrstvy a tlouSÍku vrstvy. 103 dělič napětí stabilizovaný zdroj přesný odpor elektrometr potenciometr kompeniátoru stabilizovaný zdroj Obr. 12.4. Schéma obvodu pro měření intenzity odraženého záření. LITERATURA [12.1] T.S. Moss, G.J. Burrell, B, Ellis, Semiconductor Opto-Electronics Butterworths, London 1973» kap, 1. [12.2] J. Brož a kol., Základy fyzikálních měření II B, SEN, Praha 1974, str. 654. [12.3] A. Vašíček, Optika tenkých vrstev, Nakl. ČSAV, Praha 1956, kap. 3. [12.4] E.D. Palik, Handbook of Optical Constants of Solids, Academic Press, 1985, str. 369. \ _ Autor: ľ)oc RNDr. Jan Hlávko, CSc , kNI u l udŕk Bnf'iinrk, Cfir Název: Praktikum i fy?iky pevných látek - II. Vydavatel: Určeno: Vedoucí katedry: Povoleno: Nakladatel: Číslo publikace: Vydáni: Náklad: Stran: AA/VA: Tematická skupina a podskupina: Tiskárna: Druh tisku: Masarykova univerzita v Brně pio posluchače fukully přírodovědecko doc. RNDr Ivan Ohlídal, DrSc. rektorátem Univerzity J. E. Purkyně v Brně dne 3. 5. 1989, č. j. 1551/89 Státní podíiaoqické nakladatelství, n p., Praha I 1112-6570 první. 1990 200 výtisků 103 6,66 7,38 103/23 823 17/32 Ostrovské tiskárny, státní podnik, provoz 26 Vološ^ké IfezifKt ofset Tuto publikace neprošla redakční ani jazykovou úpiovou v redakci nakladatelství