
\documentclass{article} % memoir

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage{amsmath}
%\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{url}
\usepackage{lettrine}
\usepackage{graphicx}


\newcommand{\prc}[2]{\dfrac{\partial #1}{\partial #2}}


\begin{document}

\section{Úvod}

\[
\frac{\partial^2 Q(y)}{\partial y^2} = 2
\]

Test vztahu
\[
H = 15 \cdot t_{\mathrm{GMST}} + \lambda - \alpha + x
\]

\begin{verse}
  Byl pozdní večer, první máj, \\
  první máj byl lásky čas,\\
  hrdličin hlas zval k lásce,\\

\end{verse}

\begin{verbatim}
  Byl pozdní večer, první máj, \\
  první máj byl lásky čas,\\
  hrdličin hlas zval k lásce,\\

\end{verbatim}

\begin{flushright}
  Byl pozdní večer, první máj, \\
  první máj byl lásky čas,\\
  hrdličin hlas zval k lásce,\\

\end{flushright}

\begin{center}
\begin{minipage}{0.5\textwidth}
  Byl pozdní večer, první máj, \\
  první máj byl lásky čas,\\
  hrdličin hlas zval k lásce,\\
  \end{minipage}
\end{center}

Máme rádi Praktickou astrofyziku.
ůžýščřřžý

\lettrine{L}orem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit.
Aliquam risus nunc, fermentum eget blandit lobortis,
hendrerit vel libero. Phasellus tristique cursus molestie.
Mauris semper est non massa vulputate, in varius ligula pretium.
Maecenas vitae dolor pellentesque, placerat justo non, molestie dui.
Nunc pulvinar rhoncus urna. Nam sit amet ante ut ligula
feugiat tempus.
Nullam nec sem id ex tempor dapibus
et sit amet lacus.
Mauris sit amet sodales velit.
Pellentesque maximus arcu quis volutpat auctor.
Quisque a metus lorem. Fusce bibendum velit quam, in fringilla
justo sollicitudin eget.

Proin vitae nunc blandit lectus euismod condimentum ac at justo. Sed nec consequat arcu. Nam bibendum arcu vel facilisis rhoncus. Maecenas pellentesque, libero id mattis dictum, turpis tortor malesuada diam, sed accumsan sem purus non diam. Donec vel sapien efficitur, accumsan tellus in, commodo arcu. Mauris pretium consectetur sapien eu fringilla. Sed pretium volutpat egestas. Proin sit amet dui neque. Fusce dignissim eros eget elit consectetur, ut dictum odio scelerisque. Maecenas tincidunt, mi ac eleifend scelerisque, nisi risus interdum lectus, in laoreet mauris lacus at ex. Quisque consectetur dignissim tortor a sagittis. Interdum et malesuada fames ac ante ipsum primis in faucibus. Nam facilisis nisl tellus, vitae lobortis leo lacinia sodales.

Donec ut elementum ex, at egestas erat. Vivamus ultrices nulla eget aliquam auctor. Duis accumsan mauris faucibus varius fermentum. Mauris feugiat, dolor et aliquam lobortis, diam risus tempus mauris, et pellentesque justo risus et tortor. Duis varius augue vel tellus semper mattis. Ut mi arcu, porta at justo ut, porttitor imperdiet lacus. Aenean tincidunt non neque ut tincidunt. Nulla dignissim dolor nec sodales dapibus. Integer euismod vulputate sollicitudin. Etiam mattis, nulla eu tincidunt ullamcorper, mauris felis euismod eros, a dignissim nibh lorem tempor magna. Pellentesque accumsan imperdiet facilisis. Pellentesque ultricies, diam quis sodales sollicitudin, arcu purus vulputate diam, nec blandit urna massa nec leo.

Quisque venenatis lorem tellus, non cursus dui sagittis molestie. Duis suscipit mollis magna, sit amet condimentum nibh. Nunc nec justo non eros vulputate pellentesque eget ut lorem. Vivamus tincidunt ultricies odio, et ornare eros facilisis eget. Proin nisi odio, feugiat id dolor id, tincidunt semper elit. Nam lobortis sodales sapien a faucibus. Mauris maximus eu lorem a laoreet. Sed scelerisque sagittis sem eu ornare. Morbi vulputate, felis quis cursus sagittis, turpis nisi cursus turpis, at congue magna nibh congue ipsum. Morbi faucibus condimentum ipsum, non volutpat purus egestas non. Vestibulum luctus pretium rutrum. Ut dignissim elit est, a placerat mi dignissim sed.

%\section{Praktikum}


\section{Určení zeměpisné polohy}

Za starých dobrých časů, byl jeden z klíčových úkolů, čekající
na odvážné mořeplavce, určení jejich polohy na moři, neboť
nepřesné souřadnice pro ně mohly znamenat život nebo smrt,
bohatství či chudobu.
Námořní kapitáni, kormidelníci a lodivodi
tak byli vybaveni důkladnými znalostmi sférické trigonometrie
a důmyslnými pomůckami na měření poloh nebeských těles. Metody, které
používaly, byly generacemi matematiků, astronomů ale i hodinářů
pečlivě rozvíjeny, až k dnešní skoro dokonalosti.
Paradoxně tak na konci svého rozkvětu
už vlastně nejsou, na první pohled, třeba, protože moderní systémy družicové
navigace udávají polohu neznalému uživateli o mnoho řádů
přesněji a přitom bez jakýchkoli předchozích dovedností. Zkušenosti a metody námořní
navigace, v moderní době, přešly do obvodů elektronických systémů.
Přesto jsou její základy stále součástí učiva
na školách přímořských států. A taktéž branou k pochopení sférické
astronomie.

\section{Zeměpisné souřadnice}

Za zeměpisné souřadnice byla zvolena dvojice úhlů s počátkem
ve středu Země, kterou si modelujeme koulí. Za zeměpisnou
šířku byl zvolen úhel $\varphi$ s nulovou hodnotou v rovině rotace Země.
Jako zeměpisná délka $\lambda$ pak úhel v kolmé rovině.
[obr?]

Zeměpisnou šířku měříme od rovníku směrem k pólům v intervalu $0\deg$
až $90\deg$ pro severní šířky a od $-90\deg$ do $0\deg$ pro šířky jižní.
Jako
počátek zeměpisné délky byla vybrána poloha observatoře v Londýnské
čtvrti Greenwitch. Ve způsobu používání délkových souřadnic neexistuje
shoda. Logicky by měla zeměpisná délka růst kladně směrem na západ
od Evropy k americkému kontinentu. Z ne úplně jasných důvodů se lze ovšem
v pracích evropanů často setkat s kladným měřením na východ od nultého poledníku.
Zeměpisná délka nabývá hodnot od $0\deg$ do $360\deg$ a nebo
se používá konvenčně rozsah od $-180\deg$ do $+180\deg$.


\section{Vztahy mezi souřadnicemi}

Základem metod astronomického určení zeměpisné polohy jsou
vztahy mezi obzorníkovými a rovníkovými souřadnicemi.

Obzorníkové souřadnice jsou opět úhly. Azimut $A$, s počátkem
od Jihu\footnote{Někdy se také lze setkat s azimutem měřeným
od severu, jak je definovaný pro zeměpisná měření. Pro takto
měřený azimut by se ovšem vztahy (\ref{zemepis_trafo}) musely
upravit.} je úhel kolem vertikální osy a nabývá hodnot
$0\deg$ až $360\deg$ (někdy ovšem také $\pm 180\deg$).
Druhý úhel je zenitová vzdálenost $z$, která udává úhlovou
vzdálenost od zenitu nabývající hodnot $0\deg$ (zenit) až
$90\deg$ (obzor) pro objekty nad obzorem. Často se lze také
setkat s úhlovou výškou nad obzorem $h = 90\deg - z$ jako doplňkem do $\pi/2$.

Rovníkové souřadnice udávají polohy hvězd vzhledem k souřadnému systému
danému vzhledem ke kvasarům (jakožto nejvzdálenějším nejpřesněji pozorovaným
bodovým objektům). Jsou navrženy jako obdoba zeměpisné délky, tedy
odklonu od nultého poledníku v okamžiku Jarní rovnodennosti (od pravé pozice ---
right ascension) kterou je rektascenze $\alpha$ a deklinace (úhlová
odchylka od rovníku) $\delta$.

Za pomocí sférické věty kosinové \cite{1977spas.book.....S} nebo
rotačních matic (\cite{1981csa..book.....T}) obdržíme
z rovníkových souřadnic obzorníkové za pomocí vztahů
\begin{equation} \label{zemepis_trafo}
\begin{array}{rcl}
\sin z \sin A & = &  \cos \delta \sin H, \\
\sin z \cos A & = & \sin \varphi \cos \delta \cos H -\cos \varphi \sin \delta,\\
\cos z        & = &  \cos \varphi \cos \delta \cos H + \sin \varphi \sin \delta,
\end{array}
\end{equation}
ve kterých se snažíme určit: azimut $A$ a zenitovou vzdálenost $z$
s použitím hodinového úhlu $H$.
Ten je definován jako rozdíl mezi greenwichským hvězdným časem
(Greenwich mean sidereal time, GMST) $t_{\mathrm{GMST}}$ a
rektascenzí hvězdy na poledníku s $\lambda$:
\begin{equation} \label{refrakce_houra}
H =  15 \  t_{\mathrm{GMST}} + \lambda - \alpha.
\end{equation}
Hvězdný čas $t_{\mathrm{GMST}}$ je ve vzorci (\ref{refrakce_houra}) uváděn v hodinách,
kdežto všechny ostatní úhly ve stupních. Vzájemný převod mezi nimi
zajišťuje konstanta $15\deg\!/\textrm{h} = 360\deg\!/ 24\:\textrm{h}$,
která má význam úhlové rychlosti rotace Země vyjádřené ve stupních
za časovou jednotku. Země se za hodinu otočí o $15\deg$,
za $1\:\textrm{min}$ o $15'$, za $1\:\textrm{s}$ o $15''$ atd.
Podrobnější popis hvězdného času včetně jeho výpočtu nalezneme
v oddíle~\ref{refrakce_sidereal}.


\section{Odhad zeměpisné polohy}

Při měření zeměpisné polohy astronomickými metodami vycházíme z
pozorování význačných nebeských těles.

Jedno se základních, pro určení zeměpisné délky na severní polokouli,
je Polárka, jejíž deklinace je přibližně $\delta \approx 90\deg$.
Pozorujeme ji vždy nad severem v úhlové výšce ($h= 90\deg - z$)
nad obzorem odpovídající
zeměpisné šířce. Ze vztahů (\ref{zemepis_trafo}) máme pro
$\cos H \approx \cos 180\deg = -1$, což nám zjednoduší vzorce na
\[
 \cos z \approx \sin \varphi \sin \delta - \cos \varphi \cos \delta.
\]
Užitím součtových vzorců tak pro Polárku máme
\[
z \approx \varphi.
\]
Symbol $\approx$ užíváme proto, že jde pouze o aproximativní
vztah a platící jen v současné době. Polárka neleží přímo na pólu,
ale v důsledku precese Země je v době, kdy provádíme tuto aproximaci,
poměrně blízko k němu.

Polárku nelze užít pro jižní polokouli, neboť leží pod obzorem.
Na jižní obloze je konvenčním pólem rovnoramenný trojúhelník
mezi Magelanovými mračny a Jižním křížem (opravdu?).

V případě zeměpisné délky už je situace složitější neboť
nemáme vždy k dispozici vhodný pevný objekt.
Z historických důvodů se jako pevný bod bere tzv. Jarní bod
(na souřadnicích $\alpha, \delta = 0$), avšak díky složení
rotace a oběhu kolem Slunce u Země se jeho úhlová poloha
během roku mění podobně jako je tomu u hvězd. Musíme proto znát
nejen polohu hvězdy, ale i přesný čas.
Jako nejvhodnější se jeví změřit jeho rektascenzi
a za pomoci známého času odhadnout zeměpisnou délku.

Právě určení zeměpisné délky dělalo starým mořeplavcům největší
problémy. Je totiž vázané na určení času s přesností několika
sekund, k čemuž je třeba velmi přesných hodin. Užívalo se řady náhrad,
například určení času prostřednictvím fáze Měsíce. Avšak solidní měření
délky přineslo až sestrojení přesných hodin --- lodních chronometrů ---
na které dokonce vyhlásila soutěž samotná anglická královna. Podmínky
byly jasné: odchylka mezi chronometrem, který absolvoval cestu lodí
do Karibiku a zpátky, a přesnými hodinami ve Greenwitchi nesmí být větší
než pár sekund.


\section{Měření zeměpisné polohy}

Předpokládejme, že jsme v průběhu večera změřili zenitovou
vzdálenost $z_1,z_2$ dvou objektů nad obzorem ve dvou přesně určených
časech $t_1, t_2$ a přitom nezaznamenali azimut obou objektů.
Pro jednoznačné určení polohy jsme použili dva objekty: první
ve vhodné výšce nad západním $\alpha_1, \delta_1$ a druhý pak
nad východním obzorem $\alpha_2, \delta_2$. Dostali jsme tak dvojici údajů:
\begin{equation}
\begin{array}{c}
t_1, z_1, \alpha_1, \delta_1,\\
t_2, z_2, \alpha_2, \delta_2.
\end{array}
\end{equation}
Pro zjištění zeměpisných souřadnic přepíšeme vztah pro zenitovou vzdálenost
ze vztahů (\ref{zemepis_trafo}) do tvaru
\begin{equation}
\cos z = \sin \varphi \sin \delta + \cos \varphi \cos \delta \cos (H + \lambda),
\end{equation}
v němž jsme označili hodinový úhel hvězdy na Greenwichském poledníku jako
$H = 15 \  t_{\mathrm{GMST}} - \alpha$. Ten nás pak vede k soustavě
dvou rovnic se dvěma neznámými:
\begin{equation} \label{zemerov}
\begin{array}{ccl}
z_1 &=& \arccos [ \sin \varphi \sin \delta_1 + \cos \varphi \cos \delta_1 \cos (H_1 + \lambda) ],\\
z_2 &=& \arccos [ \sin \varphi \sin \delta_2 + \cos \varphi \cos \delta_2 \cos (H_2 + \lambda) ].
\end{array}
\end{equation}
Jejím řešením získáme hodnoty zeměpisné délky a šířky. Rovnice jsou na první
pohled poměrně složité, jde totiž o soustavu dvou nelineárních rovnic
pro dvě neznámé a při bližším ohledání se snadno přesvědčíme, že
neznámé $\lambda$ a $\phi$ z nich nelze vyjádřit a tedy řešení
nemůžeme napsat ve tvaru
\[
\lambda = \ldots, \quad \varphi = \ldots
\]
přestože určitě existuje (na daných souřadnicích jsme měřili).
Rovnice lze řešit pouze numericky, kdy sice
nemůžeme napsat obecný tvar, ale numerickou hodnotu zjistit můžeme.
K řešení soustavy (\ref{zemerov}) lze použít několik metod:

\paragraph{Metoda Monte Carlo}
      Správné řešení se snažíme uhádnout. Zkoušíme různé hodnoty
      souřadnic $\lambda, \varphi$ tak, aby rozdíl mezi spočteným
      a změřeným $z$ byl co nejmenší. Tato metoda je velmi
      jednoduchá, avšak poměrně pracná a časově náročná.

\paragraph{Metoda sítí}
      V podstatě jde o vylepšenou předchozí metodu.
      Řešení tentokrát nehledáme náhodně, ale systematický prohledáváme
      čtverec řešení pokrytý sítí. Po jeho nalezení čtverec zmenšíme
      a opět prohledáváme dokud nedosáhneme požadované přesnosti.
      Tato je sice principiálně snadná, ale vyžaduje znalost
      programování, neboť lokalizace s přesností na tisíciny stupně
      vyžaduje řádově $10^6$ vyhodnocení soustavy (\ref{zemerov}).
\paragraph{Newtonova metoda} Jde o matematicky sofistikovanou metodu,
      jež vede nejrychleji k cíli. Je popsána v části \ref{newmet}.


\section{Newtonova metoda}
\label{newmet}

Newtonova metoda, neboli metoda tečen, je metoda na řešení rovnice typu
\begin{equation} \label{begnewton}
f(x) = 0.
\end{equation}
Tato rovnice může mít mnoho podob. Typickým astronomickým případem
je Keplerova rovnice
\begin{equation} \label{kep}
E - \varepsilon \sin E = M,
\end{equation}
v níž se snažíme určit neznámou hodnotu excentrické anomálie\footnote{Anomálie
je astronomicko-astrologické označení pro úhel.} $E$ ze známé střední
anomálie $M$ a excentricity elipsy $\epsilon$. Na první pohled
je vidět, že se nám nemůže podařit napsat řešení ve tvaru
\[
E = \dots.
\]
V úvahu tedy připadá pouze numerické řešení nebo řešení ve tvaru nekonečné řady.
Proto se tomuto typu rovnic říká transcendentní rovnice.

Přesto je jasné, že řešení existuje a můžeme ho určit právě Newtonovou metodou.
Předpokládejme, že kolem přibližného odhadu řešení $x^{(0)}$ rovnice $(\ref{begnewton})$
rozvineme funkci do Taylorova rozvoje
\begin{equation}
f(x) = f(x^{(0)}) + f'(x^{(0)}) (x - x^{(0)}) + \dots.
\end{equation}
Omezíme-li se pouze na první dva členy, vidíme, že jde
o rovnici přímky. Tato přímka má sklon daný derivací a proto
jde o rovnici tečny. Odtud pochází i květnatý název této metody.

Zanedbáme-li členy vyšších řádů, a zajímá-li nás opravdu řešení
rovnice $f(x) = 0$, pak můžeme vyjádřit $x$ ve kterém má hledaná
rovnice nulovou hodnotu:
\begin{equation}
x = x^{(0)} - \frac{f(x^{(0)})}{f'(x^{(0)})}.
\end{equation}
Obvykle dostaneme lepší odhad, než byl ten původní. Pokud by jsme
chtěli dostat kořen přece jen přesněji, musíme daný postup
opakovat
\begin{equation}
x^{(i+1)} = x^{(i)} - \frac{f(x^{(i)})}{f'(x^{(i)})}, \qquad \textrm{pro} \ i = 0,\dots
\end{equation}
a to tak dlouho, dokud nedosáhneme potřebné přesnosti
měřené prostřednictvím $|x^{(i+1)} - x^{(i)}|$.

Použití metody je vázané na to, aby derivace $f'(x)$ byla nenulová,
počáteční odhad byl dostatečně přesný a druhá derivace byla konečná.
%Protože ta je nulová jen v extrému (maximum nebo minimum) znamená to,
%že ji lze použít v takovýchto případech.

\paragraph{Keplerova rovnice pro Zemi}
Pro ukázkový příklad si zvolíme naprosto náhodně pravou stranu v (\ref{kep}),
například $\pi/4$, a řešíme tak rovnici
\begin{equation}
E - 0.017 \sin E = \pi / 4.
\end{equation}
Převedením do obecného tvaru
\begin{equation} \label{kep4}
f(x) = (x - 0.017 \sin x) - \pi / 4
\end{equation}
a derivováním dostaneme
\begin{equation}
f'(x) = 1 - 0.017 \cos x.
\end{equation}
Jelikož je excentricita velmi malá, dráha je prakticky kruhová
a jako počáteční odhad můžeme zvolit pravou stranu $x^{(0)} = \pi / 4$ (volba
počátečních hodnot obvykle vychází ze znalosti problému).
Výsledky Newtonových iterací jsou uvedeny v tabulce~\ref{tabnew}.
Vidíme, jak se postupně blížíme k řešení a již po třech iteracích
známe řešení s přesností na pět míst.

\begin{table}
\centering
\begin{tabular}{ccccc}
$i$ & $x^{(i)}$ & $f(x^{(i)})$ & $f'(x^{(i)})$ & $|x^{(i+1)} - x^{(i)}|$ \\
\hline
0 & 0.78540 & -0.01131 & 0.98869 & 0.01144\\
1 & 0.79684 & 0.00026 & 0.98856 & 0.00026\\
2 & 0.79658 & -0.00001 & 0.98856 & 0.00001\\
3 & 0.79658 & 0.00000 & 0.98856 & 0.00000\\
\end{tabular}
\caption{Postupné iterace Newtonovy metody pro (\ref{kep4})}
\label{tabnew}
\end{table}

\begin{figure}
  \begin{center}
\includegraphics[width=\textwidth]{sidereal.pdf}
\caption{Hvězdný čas}
\end{center}
\end{figure}

\section{Tečná rovina a zeměpisné souřadnice}

Vraťme se opět k výpočtu zeměpisných souřadnic podle
vztahů (\ref{zemerov}). Vidíme, že v tomto případě, hledáme kořen
pro dvě proměnné a budeme tedy muset naše úvahy poněkud rozšířit
i když naštěstí princip zůstává v platnosti.

V případě Newtonovy metody pro dvě neznámé se obecně zajímáme o řešení
soustavy dvou nelineárních rovnic typu
\begin{equation} \label{zemepis_funkce2d}
\begin{array}{rcl}
f_1(x,y) &=& 0,\\
f_2(x,y) &=& 0,
\end{array}
\end{equation}
na kterou snadno převedeme soustavu (\ref{zemerov}).

Ve dvou dimenzích ovšem místo
tečny ke grafu funkce sestrojíme dvě tečné roviny. Tyto roviny
mají sklon vůči souřadnicovým osám daným derivací funkce vůči
příslušné souřadnicové proměnné. Pokud tyto derivace existují,
pak příslušná tečná rovina protíná nulovou rovinu $z=0$ v přímce.

Máme-li dvě tečné roviny, které vytínají dvě přímky, můžeme
z jejich průsečíku určit souřadnice bodu udávající lepší odhad
kořene příslušné nelineární rovnice. Postup můžeme opakovat
tak dlouho, dokud neznáme polohu kořene s dostatečnou přesností.

Podobně jako v jednorozměrném případě, lze i nyní odvodit Newtonovu
metodu mechanickým způsobem z Taylorova rozvoje.
Rovnice tečné roviny k ploše zadané funkcí $f(x,y)$ v bodě $(a,b)$
je zobecněním tečny ke křivce a píšeme ji ve tvaru
\begin{equation}
z = f(a,b) + \prc{f}{x} (x - a) + \prc{f}{y} (y - b).
\end{equation}
přičemž derivace počítáme v bodě $(a,b)$. Avšak k nalezení
souřadnic bodu představujícího přibližné řešení (\ref{zemepis_funkce2d})
musíme mít k dispozici dvě funkce ke kterým sestrojíme
tečné roviny a dostaneme tak dvě přímky v jejichž průsečíku se nachází
toužebně očekávané řešení. Tečné
roviny k dvěma plochám jsou dány rovnicemi
\begin{equation}
\begin{array}{rcl}
z &=& f_1 + \prc{f_1}{x} (x - a) + \prc{f_1}{y} (y - b),\\
z &=& f_2 + \prc{f_2}{x} (x - a) + \prc{f_2}{y} (y - b),
\end{array}
\end{equation}
jež řešíme za podmínky $z=0$ (derivace a funkce opět bereme v bodě $(a,b)$).
Dostáváme tak soustavu dvou lineárních
rovnic o dvou neznámých představující vlastně hledání průsečíku dvou
přímek v rovině. Substituce $x_i \equiv a, y_i \equiv b, f(x_i) \equiv f(a),
f(y_i) \equiv f(b),~\ldots$ a polohu kořene pro konkrétní řešení
$x_{i+1}, y_{i+1}$ a elementární úpravy nás vedou k výrazům
\begin{equation}
\begin{array}{rcl}
\prc{f_1}{x} (x_i - x_{i+1}) +
\prc{f_1}{y} (y_i - y_{i+1}) &=& - f_1,\\
\prc{f_2}{x} (x_i - x_{i+1}) +
\prc{f_2}{y} (y_i - y_{i+1}) &=& - f_2.
\end{array}
\end{equation}
Abychom se v této změti písmen lépe orientovali, lineární soustavu přeznačíme
$\vec{x}_i = (x_i, y_i), \vec{\Delta}_i = (x_i - x_{i+1}, y_i - y_{i+1}),
\vec{f} = (f_1, f_2) $ a dále
\begin{equation}
\vec{A} = \left(
\begin{array}{ll}
\prc{f_1}{x}, & \prc{f_1}{y},\\
\prc{f_2}{x}, & \prc{f_2}{y},
\end{array}
\right),
\end{equation}
(derivace počítáme v $(x_i,y_i)$)
dostáváme soustavu rovnic v maticové notaci
\begin{equation}
\vec{A}_i \cdot \vec{\Delta}_i = - \vec{f}_i,
\end{equation}
a řešení naší původní soustavy tak získáme jako
\begin{equation}
\vec{x}_{i+1} = \vec{x}_i + \vec{\Delta}_i.
\end{equation}

\paragraph{Newtonova metoda pro zeměpisné souřadnice}
V případě soustavy rovnic (\ref{zemerov}) je řešení
přímočaré. Vektorová funkce $\vec{f}_i$ má tvar
{\setlength\arraycolsep{2pt}
\begin{equation} \label{planeta_prave}
\vec{f}_i= \left(
\begin{array}{l}
\arccos q_1 - z_1\\
\arccos q_2 - z_2
\end{array}
\right),
\end{equation}}
ve níž jsme použili substituce
{\setlength\arraycolsep{2pt}
\begin{equation}
\begin{array}{rcl}
q_1 &=& \sin \delta_1 \sin \varphi +
         \cos \delta_1 \cos \varphi \cos (H_1 + \lambda),\\
q_2 &=& \sin \delta_2 \sin \varphi +
             \cos \delta_2 \cos \varphi \cos (H_1 + \lambda),
\end{array}
\end{equation}}
a hledáme řešení pro
{\setlength\arraycolsep{1pt}
\begin{equation}
\vec{\Delta}_i = \left(
\begin{array}{rcc}
\lambda_{i+1} &-& \lambda_i\\
\varphi_{i+1} &-& \varphi_i
\end{array}
\right).
\end{equation}}
Prvky matice $\vec{A}_i$ jsou
{
\arraycolsep=1.4pt\def\arraystretch{2.2}
\begin{equation} \label{planeta_derky}
\begin{array}{rcl}
\prc{f_1}{\lambda} &=&
-u \cos \delta_1 \cos \varphi \sin (H_1 + \lambda),\\
\prc{f_2}{\lambda} &=&
-v \cos \delta_2 \cos \varphi \sin (H_2 + \lambda),\\
\prc{f_1}{\varphi} &=&
u [\sin \delta_1 \cos \varphi - \cos \delta_1 \sin \varphi \cos (H_1 + \lambda)],\\
\prc{f_2}{\varphi} &=&
v [ \sin \delta_2  \cos \varphi - \cos \delta_2 \sin \varphi \cos (H_2 + \lambda)],
\end{array}
\end{equation}
}
v nichž jsme použili pomocné proměnné
\begin{equation}
\begin{array}{rcl}
u &=& -\dfrac{1}{\sqrt{1 - q_1^2}}\\
v &=& -\dfrac{1}{\sqrt{1 - q_2^2}}
\end{array}
\end{equation}


\section{Numerický výpočet zeměpisné polohy}

Vztahy (\ref{planeta_prave}) až  (\ref{planeta_derky}) nepochybně
budí respekt. V principu lze jejich iterace spočítat za pomocí
kalkulačky, tabulek či logaritmického pravítka ovšem je třeba
se obrnit velkou trpělivostí a mít spoustu volného času.
Proto je zde uveden výpis skriptu
pro Python\footnote{Python je moderní programovací jazyk volně
dostupný na \url{http://www.python.org},
kde je k nalezení podrobný manuál, instalační soubory a odkazy
na další zdroje.} jež může pomoct v řešení této úlohy a může být
vodítkem pro vlastní způsob na zpracování.

%\lstinputlisting[language=Python,backgroundcolor=\color{listinggray},
%                 basicstyle=\footnotesize\ttfamily,
%                 numbers=left,caption=zemepis.py]{zemepis.py}

%\begin{zadani}{Určení zeměpisné polohy pozorovatele}
%Úkolem je určit zeměpisnou polohu pozorovatele s přesností alespoň $1'$:
%   \begin{itemize}
%      \item Odhadněte přibližnou polohu pozorovatele
%            na základě výšky Polárky a času průchodu Slunce
%            meridiánem.
%      \item Teodolitem změřte výšku nad obzorem v přesně
%            daném čase pro minimálně dvě vhodně vybrané hvězdy
%            nad západem a východem.
%      \item Z těchto časů spočtěte přesnou zeměpisnou polohu
%            pozorovacího místa.
%   \end{itemize}
%\end{zadani}
%


\section{Rozmarná úloha?}

Určovat zeměpisnou polohu pomocí úhloměru nebo sextantu se může zdát
v dnešní době poněkud rozmarné. Nejen proto, že existuje několik
družicových systémů udávající přesný čas i polohu s až zbytečně
velkou přesností (odchylky od správné polohy jsou menší než
velikosti lidských těl!).

Nicméně princip této metody má široké uplatnění v astronomii, kdy
z různých důvodů můžeme měřit jen jednu souřadnici. V nedávné době
tak byla tato metoda hojně rozšířená při určování poloh gama záblesků.

Přesná detekce slabých gama zdrojů,
které se navíc objevují náhodně, je poměrně težký úkol. Pokud se
používají nesměrové detektory (představované kusem
materiálu ve kterém dopadající gama fotony indukují jiné, lépe
zachytitelné fotony) nemáme jinou možnost, než měřit časové zpoždění
mezi jednotlivými detektory rozmístěných například na opačných koncích
družice nebo na několika družicích rozesetých po sluneční soustavě. Tato
zpoždění odpovídají právě námi měřeným kružnicím o jistých poloměrech,
a proto nepřekvapuje, že zdroje se tak nachází v průsečících několika
kružnic přesně stejným způsobem jako při našem měření. Nicméně i tato
metoda se již pomalu začíná řadit k překonaným díky družici Swift.


\end{document}
