Metoda nejmenších čtverců Lenka Přibylová 18. března 2011 EE1 Q B ©Lenka Přibylová, 2011 q Obsah Najděte přímku aproximující body [0,5], [1,3], [3,3], [5,2], [6,1]. 3 Nalezněte kalibrační křivku spektrometru............ 15 Určete materiálové konstanty skla................. 27 EBl Q 19 E3 ©Lenka Přibylová, 2011q Najděte přímku aproximující body [0,5], [1/3], [3,3], [5,2], [6,1]. EE1 Q B ©Lenka Přibylová, 2011 q Najděte přímku aproximující body [0,5], [1,3], [3,3], [5,2], [6,1]. n = 5 Celkem máme pět bodů. Najděte přímku aproximující body [0,5], [1,3], [3,3], [5,2], [6,1]. n = 5 i Xi y<- 1 0 5 2 1 3 3 3 3 4 5 2 5 6 1 Ľ Výpočty potřebné pro nalezení koeficientů v soustavě provedeme tabulce. Najděte přímku aproximující body [0,5], [1,3], [3,3], [5,2], [6,1]. n = 5 i Xi y> 1 0 5 0 2 1 3 1 3 3 3 9 4 5 2 25 5 6 1 36 Ľ Nalezneme jednotlivé druhé mocniny x(. * m m m- lč) Lenka lJflbylova, 2U11 Najděte přímku aproximující body [0,5], [1,3], [3,3], [5,2], [6,1]. n = 5 i Xi y> 1 0 5 0 0 2 1 3 1 3 3 3 3 9 9 4 5 2 25 10 5 6 1 36 6 E Vynásobíme x,- a y,- Najděte přímku aproximující body [0,5], [1,3], [3,3], [5,2], [6,1]. n = 5 i Xi y> 1 0 5 0 0 2 1 3 1 3 3 3 3 9 9 4 5 2 25 10 5 6 1 36 6 E 15 5 Najdeme součet ^ x(. Najděte přímku aproximující body [0,5], [1,3], [3,3], [5,2], [6,1]. n = 5 i Xi y> A 1 0 5 0 0 2 1 3 i 3 3 3 3 9 9 4 5 2 25 10 5 6 1 36 6 E 15 14 5 Najdeme součet ^ y,-. Najděte přímku aproximující body [0,5], [1,3], [3,3], [5,2], [6,1]. n = 5 i Xi y> A Xiyi 1 0 5 0 0 2 1 3 i 3 3 3 3 9 9 4 5 2 25 10 5 6 1 36 6 E 15 14 71 5 Najdeme součet ^ x?. Najděte přímku aproximující body [0,5], [1,3], [3,3], [5,2], [6,1]. n = 5 i Xi y> A Xiyi 1 0 5 0 0 2 1 3 i 3 3 3 3 9 9 4 5 2 25 10 5 6 1 36 6 E 15 14 71 28 5 Najdeme součet ^ Najděte přímku aproximující body [0,5], [1,3], [3,3], [5,2], [6,1]. n = 5 i Xi Vi 1 0 5 0 0 i o i o Soustava lineárních rovnic: fl ^ x? + b ^ x,- = ^ a^Xi + bn = i--s 71a + 15b = 28, 15a + 5b= 14. EE1 Q B ©Lenka Přibylová, 2011 q Najděte přímku aproximující body [0,5], [1,3], [3,3], [5,2], [6,1]. n = 5 i Xi y> A 1 0 5 0 0 2 1 3 i 3 3 3 3 9 9 4 5 2 25 10 5 6 1 36 6 Ľ 15 14 71 28 71a + 15í> = 28, 15a + 5ř> = 14. 7 287 Řešením této soustavy je a — — — = —0.538 a b = = 4.415. Nejlepší lineární aproximace souboru bodů je tedy přímka n coo i /i /i -i c ©Lenka Přibylová, 2011 q Najděte přímku aproximující body [0,5], [1,3], [3,3], [5,2], [6,1]. Graf souboru bodů a výslednou přímku y = -0.538x +4.415 zakreslíme do obrázku a zkontrolujeme optimalitu přímky. 1 2 3 4 5 6 ^ EE1 Q B ©Lenka Přibylová, 2011 q Nalezněte kalibrační křivku spektrometru, použijte vztah sin cp = kde a je mřížková konstanta. EE1 Q B ©Lenka Přibylová, 2011 q Nalezněte kalibrační křivku spektrometru, použijte vztah sin q> = j, kde a je mřížková konstanta. i = j, kde a je mřížková konstanta. i = j, kde a je mřížková konstanta. i = j, kde a je mřížková konstanta. i = j, kde a je mřížková konstanta. i = j, kde a je mřížková konstanta. i = j, kde a je mřížková konstanta. i = j, kde a je mřížková konstanta. i (pi K sin cpi A? A,- sin cpi 1 13°22' 404,8 0,2312 163863,04 93,59 2 13°3ť 409,2 0,2337 167444,64 95,63 3 14°13' 430,0 0,2456 184900,00 105,61 4 16°19' 491,9 0,2809 241965,61 138,17 5 16°28' 496,3 0,2835 246313,69 140,70 6 18°05' 543,5 0,3104 295392,25 168,70 7 19°ll' 575,3 0,3286 330970,09 189,04 8 19°19' 579,1 0,3308 335356,81 191,57 9 20°20' 608,4 0,3475 370150,56 211,42 10 20°30' 613,1 0,3502 375891,61 214,71 11 20°50' 622,7 0,3557 387755,29 221,49 Ľ 3100003,59 Vynásobíme sin cpi a A, Nalezněte kalibrační křivku spektrometru, použijte vztah sin q> = j, kde a je mřížková konstanta. i = j, kde a je mřížková konstanta. i = j, kde a je mřížková konstanta. Zakreslíme kalibrační křivku spektrometru a opticky zkontrolujeme optimalitu přímky. sin cp t—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—n 400 450 500 550 . 600 EE1 Q B ©Lenka Přibylová, 2011 q "1 Určete materiálové konstanty skla použitého na výrobu měřeného hranolu. Pro vybrané spektrální čáry rtuťové výbojky byly určeny následující hodnoty indexu lomu skleněného hranolu, k proložení naměřených dat použijte Cauchyův vztah n = a + A + -A. i A i [nm] tli 1 623,4 1,619 2 579,1 1,622 3 546,1 1,624 4 491,6 1,631 5 435,8 1,643 6 404,6 1,650 ©Lenka Přibylová, 2011 q Určete materiálové konstanty skla použitého na výrobu měřeného hranolu. Minimalizujeme vzdálenosti skutečně naměřených hodnot od hodnot na aproximující křivce, tj. 6 y^(a + bjj + cjí - ni)2 —> min i=l ' ' 6 6 (E(fl + ^+c^-"i)2)i = E2(« + ř'X2+^-ní) = 0 Z = l ' 1 i=l 1 1 (E(« + ^+4-"i)2)6 = E2(fl + ^+4-n,-)^=0 i=i 1 i=i (X:(fl + ^+4-n,-)2)c = E2(fl + ^+4-n,-)^=0 ©Lenka Přibylová, 20111 Určete materiálové konstanty skla použitého na výrobu měřeného hranolu. Roznásobením a sloučením vhodných sčítanců dostaneme soustavu: 6 6 6 6« + č>Ex2 + cEÍ4 = En< z'=l ' z'=l ' Z=l «Ľ& + >Ľá + cĽ& = E^ ( = 1 1 i = l ' i = l 1 i=l 1 6 6 6 6 ^Eii + r'Exs + cExš = Ex?", ©Lenka Přibylová, 20111 Určete materiálové konstanty skla použitého na výrobu měřeného hranolu._ Maticově zapíšeme soustavu EBl Q 19 ©Lenka Přibylová, 2011EJ Určete materiálové konstanty skla použitého na výrobu měřeného hranolu. Maticově zapíšeme soustavu 6 6 \ Ex? Ex? z'=l 1 z'=l 1 6 6 6 Ex? Ex? Ex? 6 6 6 v Ex? Ex5 Ex5 í l \ z'=l 6 6 kde E x? = 0.2442011288 ■ 10~4, £ ^ = 0.1089183487-10~9, ( = 1 ' z=l ' 6 6 E x? = 0.5260289304 ■ 10~15, £ Js = 0.2703580405 ■ 10~20, z'=l ' z'=l ' EE1 Q B ©Lenka Přibylová, 2011 q Určete materiálové konstanty skla použitého na výrobu měřeného hranolu._ 6 6 = 9,789, £ j^tii = 0.3992726604-10"4, ( = 1 i = l ' 6 £ ^íi,- = 0.1784493319 ■ 1(T9. EE1 Q 13 ©Lenka Přibylová, 2011 q Určete materiálové konstanty skla použitého na výrobu měřeného hranolu._ 6 6 J^rii = 9,789, £ j^tii = 0.3992726604-10"4, z'=l z'=l ' 6 £ ^íi,- = 0.1784493319 ■ 1(T9. i=i ' Cramerovým pravidlem dostáváme řešení a = 1.602537615, b = 5114.983088 nm2 a c = 448646567.9 nm4, tedy n = 1.602537615 + 5114.983088^ + 448646567.9^. EE1 Q B ©Lenka Přibylová, 2011 q Určete materiálové konstanty skla použitého na výrobu měřeného hranolu._ Opticky zkontrolujeme optimalitu křivky. EBl E] Q ©Lenka Přibylová, 2011q Určete materiálové konstanty skla použitého na výrobu měřeného hranolu._ Opticky zkontrolujeme optimalitu křivky. EBl Q El ©Lenka Přibylová, 2011 EJ Konec ©Lenka Přibylová, 2011