Zkoušková písemka z Geometrie 2
Varianta B
Datum: 11. 1. 2018
Jméno a UČO:
1 2 3 4 Σ
1) (5 × 1 b.) Udejte příklad (pokud takový příklad neexistuje, podejte stručné vysvětlení, proč):
(a) pěti bodů v A2, jejichž konvexním obalem je čtyřúhelník;
(b) dvou mimoběžných prostorů v A5, které mají dimenzi 3;
(c) přímky p v A4, která prochází středem dvojice bodů A = [0, 1, 0, 1] a B = [2, 3, 4, 5]
(d) roviny v A3, která patří do stejného svazku jako roviny α ≡ 3x + 5y − 4 = 0 a
β ≡ 6x + 97z + 30 = 0
(e) poloprostoru v A3, který obsahuje bod A = [2, 2, 4] a neobsahuje bod B = [0, 0, 0]
2) (5 b.) V E3 jsou dány dvě rovnoběžné roviny a σ a body A, B ∈ , C, D ∈ σ. Dopočítejte
neznámé parametry (a,b,c,d,e,f) a určete parametrické i neparametrické vyjádření příčky m
mimoběžek p ≡ AB a q ≡ CD, kolmé na p i q, jestliže:
≡ x + ay − 4z + b = 0, A = [c, 0, 0], B = [3, 1, 0]
σ ≡ x + 2y + dz + e = 0, C = [−1, f, 0], D = [5, −3, −12]
3) V A3 jsou dány čtyři body A[4, 2, −3], B[1, 3, 0], C[0, −2, 1], E[−1, 1, −2], jež jsou vrcholy
rovnoběžnostěnu.
(a) (1 b.) Určete souřadnice zbývajících vrcholů rovnoběžnostěnu;
(b) (1 b.) Zjistěte, zda je rovina : 3x + 2y + 3z − 6 = 0 řezovou rovinou tělesa;
(c) (1 b.) Určete těžiště T čtyřstěnu ABCE;
(d) (2 b.) Určete, zda bod M[3, 0, 1] leží uvnitř nebo vně rovnoběžnostěnu.
4) Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV , jehož podstava má stranu velikosti 6 cm a jehož
výška je 3 cm. Označme K těžiště stěny BCV , L těžiště stěny CDV , M bod hrany AV takový,
že platí (M; V, A) = −2, a N těžiště trojúhelníku KLM. Určete:
(a) (1 b.) odchylku přímek AV a BM;
(b) (1 b.) odchylku přímky MN od roviny BDV ;
(c) (1 b.) vzdálenost bodu K od roviny ABV ;
(d) (2 b.) vzdálenost přímek V N a KL.
Řešení
1. (b) Prostory s dvěma společnými směry
2. a=2, b=-5, c=5, d=-4, e=-47, f=24, −→p = (−2, 1, 0), −→q = (−2, 9, 4) P = [1, 2, 0], Q =
[3, 6, −8], −→m = (1, 2, −4), neparametricky např. 2x − y = 0, 4x + z − 4 = 0
3. (a) D[3, −3, −2], F[−4, 2, 1], G[−5, −3, 2], H[−2, −4, −1]
(b) je řezovou rovinou
(c) T[1, 1, −1]
(d) vně
4. (a) cos ϕ = 1
3
, ϕ
.
= 70◦
31
(b) π
2
(c)
√
2
(d)
√
2