Téma 4.: Výpočet šikmosti a špičatosti, opakované nezávislé
pokusy
Charakteristika nesymetrie dat: šikmost
( )
3
n
1i
3
i
3
s
mx
n
1
∑=
−
=α
Je-li rozložení dat symetrické kolem aritmetického průměru, pak α3 = 0.
Má-li rozložení dat prodloužený pravý konec, jde o kladně zešikmené rozložení, α3 > 0.
Má-li rozložení dar prodloužený levý konec, jde o záporně zešikmené rozložení, α3 < 0.
Charakteristika koncentrace dat kolem průměru: špičatost
( )
3
s
mx
n
1
4
n
1i
4
i
4 −
−
=α
∑=
Je-li rozložení dat normální, pak α4 = 0.
Je-li rozložení dat strmější než normální rozložení, pak α4 > 0.
Je-li rozložení dat plošší než normální rozložení, pak α4 < 0.
Úkol 1.: Je třeba si uvědomit, že průměr a rozptyl nepopisují rozložení četností jednoznačně.
Existují datové soubory, které mají shodný průměr i rozptyl, ale přesto se jejich rozložení
četností velmi liší. Tuto skutečnost dobře ilustruje následující příklad: Tři skupiny studentů o
počtech 149, 69 a 11 odpovídaly při testu na 10 otázek. Znak X je počet správně
zodpovězených otázek. Známe absolutní četnosti znaku X ve všech třech skupinách.
Xč. sk.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 5 15 20 25 15 25 20 15 5 2
2 4 3 2 1 0 49 0 1 2 3 4
3 1 0 0 0 0 9 0 0 0 0 1
Vypočtěte průměr, rozptyl, šikmost a špičatost počtu správně zodpovězených otázek ve všech
třech skupinách. Nakreslete sloupkové diagramy absolutních četností.
Návod: Načteme datový soubor body_ve_3_sk.sta, který má 4 proměnné X, SK1, SK2, SK3
a 11 případů. V 1. sloupci jsou varianty znaku X (tj. 0 až 10), v dalších sloupcích pak
absolutní četnosti daného počtu bodů v jednotlivých skupinách.
V tabulce Popisné statistiky zadáme Proměnná X a klepneme na tlačítko vah, abychom
program upozornili, že budeme pracovat s daty zadanými pomocí absolutních četností.
Zadáme Proměnná vah SK1, zaškrtneme Stav Zapnuto, OK.
Ve volbě Popisné statistiky zaškrtneme Průměr, Rozptyl, Šikmost, Špičatost – Výpočet. Dále
pro znak X nakreslíme sloupkový diagram. Tytéž úkoly provedeme s váhovými proměnnými
SK2 a SK3.
1. skupina (X váženo pomocí SK1)
Popisné statistiky (tri_skupiny.sta)
Proměnná Průměr Rozptyl Šikmost Špičatost
X 5,000000 5,000000 -0,000000 -0,759500
2. skupina (X váženo pomocí SK2)
Popisné statistiky (tri_skupiny.sta)
Proměnná Průměr Rozptyl Šikmost Špičatost
X 5,000000 5,000000 -0,000000 1,291133
3. skupina (X váženo pomocí SK3)
Popisné statistiky (tri_skupiny.sta)
Proměnná Průměr Rozptyl Šikmost Špičatost
X 5,000000 5,000000 -0,000000 5,000000
Sloupkový diagram.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
X váženo přes SK1
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
Sloupkový diagram.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
X váženo přes SK2
0
10
20
30
40
50
60
Sloupkový diagram.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
X váženo přes SK3
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Všechny tři skupiny mají týž průměr, rozptyl a šikmost, liší se pouze ve špičatosti. Sloupkové
diagramy počtu správně zodpovězených otázek v každé ze tří uvažovaných skupin mají
naprosto odlišný vzhled.
Opakované nezávislé pokusy
Opakované nezávisle provádíme týž náhodný pokus a sledujeme nastoupení jevu, kterému
říkáme úspěch. V každém z těchto pokusů nastává úspěch s pravděpodobností ϑ , 10 <ϑ< .
a) Binomické rozložení pravděpodobností
Pravděpodobnost, že v prvních n pokusech úspěch nastane právě x-krát ( nx0 ≤≤ ):
( ) ( ) xnx
n 1
x
n
xP
−
ϑ−ϑ





= .
K výpočtu v systému STATISTICA slouží funkce Binom(x; ϑ; n)
Pravděpodobnost, že v prvních n pokusech úspěch nastane nejvýše x1-krát ( nx0 1 ≤≤ ):
( )∑=
1x
0x
n xP .
K výpočtu v systému STATISTICA slouží funkce IBinom(x1; ϑ; n)
Pravděpodobnost, že v prvních n pokusech úspěch nastane aspoň x0-krát ( nx0 0 ≤≤ ):
( )∑=
n
xx
n
0
xP .
Výpočet lze provést takto: 1 - IBinom(x0 - 1; ϑ; n)
Pravděpodobnost, že v prvních n pokusech úspěch nastane aspoň x0-krát a nejvýše x1-krát:
( )∑=
1
0
x
xx
n xP .
Výpočet lze provést takto: IBinom(x1; ϑ; n) - IBinom(x0 - 1; ϑ; n)
Vzorový příklad na binomické rozložení pravděpodobností: Pravděpodobnost, že se
pacient uzdraví z určitého druhu rakoviny, je rovna 0,4. Jestliže byla tato choroba
diagnostikována u 15 pacientů, jaká je pravděpodobnost, že
a) se nejvýše 8 uzdraví,
b) se aspoň 10 uzdraví,
c) právě 5 se uzdraví,
d) počet uzdravených bude mezi třemi a osmi?
Řešení:
Počet pokusů: n = 15, pravděpodobnost úspěchu: ϑ= 0,4
ad a)
( ) ( ) ∑∑∑ =
−
==
=





==
8
0x
x15x
8
0x
15
x
0x
n 905,06,04,0
x
15
xPxP
1
S pravděpodobností 90,5 % se z 15 pacientů uzdraví nejvýše 8.
ad b) ( ) ( ) ( ) 0338,06,04,0
x
15
1xP1xPxP
9
0x
x15x
9
0x
15
15
10x
15
n
xx
n
0
=





−=−== ∑∑∑∑ =
−
===
S pravděpodobností 3,38 % se z 15 pacientů uzdraví aspoň 10.
ad c)
( ) ( ) 1859,06,04,0
5
15
5PxP 105
15n =





==
S pravděpodobností 18,59 % se z 15 pacientů uzdraví právě 5.
ad d)
( ) ( ) ( ) ( )
8778,0
6,04,0
x
15
6,04,0
x
15
xPxPxPxP
2
0x
x15x
8
0x
x15x
2
0x
15
8
0x
15
8
3x
15
x
xx
n
1
0
=
=





−





=−== ∑∑∑∑∑∑ =
−
=
−
====
S pravděpodobností 87,78 % bude mezi 15 pacienty uzdravených od 3 do 8.
Návod: Použití funkcí Binom a IBinom
Otevřeme nový datový soubor se čtyřmi proměnnými a o jednom případu.
Do Dlouhého jména 1. proměnné napíšeme =IBinom(8;0,4;15).
Do Dlouhého jména 2. proměnné napíšeme =1-IBinom(9;0,4;15).
Do Dlouhého jména 3. proměnné napíšeme =Binom(5;0,4;15).
Do Dlouhého jména 4. proměnné napíšeme =IBinom(8;0,4;15)-IBinom(2;0,4;15).
Prom1
=IBinom(8;0,4;15)
Prom2
=1-IBinom(9;0,4;15)
Prom3
=Binom(5;0,4;15)
Prom4
=IBinom(8;0,4;15)-IBinom(2;0,4;15)
1 0,904952592 0,0338333029 0,185937845 0,877838591
Příklady k samostatnému řešení
Příklad 1.: Pojišťovna zjistila, že 12 % pojistných událostí je způsobeno vloupáním. Jaká je
pravděpodobnost, že mezi 30 náhodně vybranými pojistnými událostmi bude způsobeno
vloupáním
a) nejvýše 6,
b) aspoň 6,
c) právě 6,
d) od dvou do pěti?
(Počet pokusů: n = 30, pravděpodobnost úspěchu: ϑ = 0,12)
Výsledek: ad a) 0,9393, ad b) 0,1431, ad c) 0,0825, ad d) 0,7469
Příklad 2.: Je pravděpodobnější vyhrát se stejně silným soupeřem tři partie ze čtyř nebo pět
partií z osmi, když nerozhodný výsledek je vyloučen a výsledky jsou nezávislé?
(Počet pokusů: n = 4 resp. n = 8, pravděpodobnost úspěchu: ϑ = 0,5)
Výsledek: ad a) 0,250000, ad b) 0,218750
Příklad 3.: Dvacetkrát nezávisle na sobě házíme třemi mincemi. Jaká je pravděpodobnost, že
alespoň v jednom hodě padnou tři líce?
(Počet pokusů: n = 20, pravděpodobnost úspěchu: ϑ = 0,125)
Výsledek: 0,930791
b) Geometrické rozložení pravděpodobností
Pravděpodobnost, že prvnímu úspěchu bude předcházet x neúspěchů:
( ) ( ) ϑϑ−=
x
1xP .
K výpočtu v systému STATISTICA slouží funkce Geom(x; ϑ )
Pravděpodobnost, že prvnímu úspěchu bude předcházet nejvýše x1 neúspěchů: ( )∑=
1x
0x
xP
K výpočtu v systému STATISTICA slouží funkce IGeom(x1; ϑ )
Pravděpodobnost, že prvnímu úspěchu bude předcházet aspoň x0 neúspěchů: ( )∑
−
=
−
1x
0x
0
xP1
Výpočet lze provést takto: 1 - IGeom(x0-1; ϑ )
Vzorový příklad na geometrické rozložení pravděpodobností: Jaká je pravděpodobnost, že
při hře „Člověče, nezlob se!“ nasadíme figurku
a) právě při třetím hodu,
b) nejpozději při třetím hodu?
Řešení:
Ad a) Počet neúspěchů: x = 2, pravděpodobnost úspěchu:
6
1
=ϑ
( ) ( ) ( ) 1157,06/1;2Geom
6
1
6
5
12P
2
2
==





=ϑϑ−=
Pravděpodobnost, že figurku nasadíme právě při třetím hodu, je 11,57 %.
Ad b) Počet neúspěchů: x = 0, 1, 2, pravděpodobnost úspěchu:
6
1
=ϑ
( ) ( ) ( ) 4213,06/1;2IGeom
6
1
6
5
1xP
2
0x
x2
0x
x
2
0x
==





=ϑϑ−= ∑∑∑ ===
Pravděpodobnost, že figurku nasadíme nejpozději při třetím hodu, je 42,13 %.
Prom1
=Geom(2;1/6)
Prom2
=IGeom(2;1/6)
1 0,115740741 0,421296296
Příklady k samostatnému řešení:
Příklad 1.: Studenti biologie zkoumají barvu očí octomilek. Pravděpodobnost, že octomilka
má bílou barvu očí, je 0,25, červenou 0,75. Jaká je pravděpodobnost, že až čtvrtá zkoumaná
octomilka má bílou barvu očí?
(Počet neúspěchů: x = 3, pravděpodobnost úspěchu: 25,0=ϑ )
Výsledek: Pravděpodobnost, že až 4. zkoumaná octomilka má bílou barvu očí, je 10,55 %.
Příklad 2.: V určitém výrobním procesu je známo, že jeden z deseti výrobků nevyhovuje
normám. Jaká je pravděpodobnost, že pátý náhodně vybraný výrobek je prvním, který
nevyhovuje?
Výsledek: 0,0656