5   Bodové a intervalové odhady parametrů
5.1    Základní pojmy matematické statistiky
• popisná statistika ... datový soubor —y závěry o datovém souboru
• matematická statistika ... náhodný výběr —y statistiky —y závěry o tvaru rozdělení a parametrech
• Xi,... ,Xn - náhodné veličiny, které mají všechny stejné rozdělení L{9) —y dohromady tvoří náhodný výběr rozsahu n z rozdělení L{9)
• číselné realizace x1}... ,xn náh.výběru X1}...,Xn tvoří datový soubor
• statistika = libovolná funkce náhodného výběru: T = T(Xi,..., Xn)
5.1.1    Jednorozměrné statistiky (pro jeden znak)
Nechť Xi,..., Xn je náhodný výběr, n > 2. 1. Výběrový průměr
1 11
2. Výběrový rozptyl
3. Výběrová směrodatná odchylka
n
i=l
n
2" l—^--f
S
n
i=l
s = V s2
5.1.2   Dvourozměrné statistiky (pro dva znaky najednou)
Nechť (Xi, Yi),..., (Xn, Yn) je náhodný výběr z dvourozměrného rozdělení, x a y jsou výběrové průměry a s\ a s2, jsou výběrové rozptyly.
1. Výběrová kovaríance
1 n
2. Výběrový koeficient korelace
Sl2 Si2
r\2 =
s\sl s1s2
1
5.2   Bodové a intervalové odhady parametrů
• Xi... Xn ... náhodný výběr z rozdělení L{9) s parametrem 9.
• 9 neznáme; chceme ho odhadnout
• Bodový odhad parametru 9 ... statistika Tn = T(Xľ... Xn)
• Intervalový odhad parametru 9 ...interval (D, H), který s dostatečně velkou pravděpodobností pokrývá hodnotu parametru 9; (D, H ... statistiky)
5.2.1 Bodový odhad parametru 9
• typy bodových odhadů
1. nestranný ... hodnotu parám. 9 ani nepodhodnocuje, ani nenadhodnocuje
2. vychýlený ... není-li odhad nestranný, je vychýlený
3. asymptotický ... s rostoucím n se přesnost odhadu zvětšuje
• vlastnosti bodových odhadů
• Xi,... Xn ... náh. výběr se střední hodnotou p, rozptylem a2.
1. x je nestranným odhadem fi (parametr 9)
2. s2 je nestranným odhadem o2 (parametr 9)
• (Xi, Yi),..., (Xn, Yn) ... náhodný výběr z dvourozměrného rozdělení s kovariancí a12 a koeficientem korelace p.
1. s12 je nestranným odhadem a12 (parametr 9)
2. ri2 je asymptoticky nestranným odhadem p (parametr 9)
5.2.2 Intervalový odhad parametru 9; Interval spolehlivosti (IS)
Nechť a G (0,1); koeficient a nazýváme riziko; koeficient (1 — a) nazýváme spolehlivost
1. Interval (D, H) ... 100(1 — a)% oboustranný IS pro parám. 9
2. Interval (D, oo)... 100(1 — a)% levostranný IS pro parám. 9
3. Interval (—oo, H)... 100(1 — a)% pravostranný IS pro parám. 9 Bodové a intervalové odhady budeme sestrojovat pro
• parametry normálního rozdělení: p, a2, a, p
• parametr alternativního rozdělení: p.
2