6 Uvod do testování hypotéz • Datový soubor = Náhodný výběr —y stanovíme předpoklady —y ověřujeme, zda platí; • předpoklady — o charakteristikách: /i, a2, a, p, p ... — o rozdělení: normální, Poissonovo, binomické, ... Postup testování hypotéz: 1. literární rešerše, formulace problému .. .přesná, jednoznačná 2. stanovení nulové hypotézy Hq • hypotéza o níž test rozhodne, zda se zamítne, nebo ne — Př: Jeden náhodný výběr a publikovaná hodnota c; H0 : fi = c * H01 : //i = c; * H02 : A*i > c; * H03 : //i < c. 3. stanovení alternativní hypotézy H\ • alt. hypotézu přijímáme, pokud Hq zamítáme — H n : /xi ý c (oboustranná alt.); — Hi2 : pi < c (levostranná alt.); — His '■ A*i > c (pravostranná alt.). 4. volba hladiny významnosti a • pst (riziko), že H0 zamítneme, když platí - snažíme se tuto hodnotu snížit na minimum 5. provedení měření; sběr dat 6. testování Hq (tři různé způsoby): • Kritický obor • Interval spolehlivosti • p-hodnota 7. rozhodnutí o zamítnutí/nezamítnutí Hq 8. interpretace výsledků 6.1 Testování normality • Normalita = nepostradatelný předpoklad parametrických testů (jednovýběrových, párových, dvouvýběrových, ...) • Stanovení hypotéz: — H0: Data pochází z normálního rozdělení. — Hi : Data nepochází z normálního rozdělení. • Testy normality: — Shairo-Wilkův test: shapiro.test() — Lillie-Forsův test: lillie.test() [nortest] — Anderson-Darlingův test: ad.test() [nortest] • výstup testů = p-hodnota: p > a —>• H0 nezamítáme; p < a —>• H0 zamítáme • Grafické ověření normality: — histogram + křivka hustoty normálního rozdělení — Q-Q plot qqnormQ a qqlineQ 6.2 Přístupy k testování nulové hypotézy Hq Testování pomocí kritického oboru • Testujeme hypotézu H0 : 9 = c oproti H\ : 9 ^ c, případně H12 : 9 < c, či H13 : 9 > c • stanovíme hodnotu testovací statistiky ro • stanovíme kritický obor W: — oboustranná alt. Hu: W = (Tmin; Ka/2) U {Ki_a/2; Tmax) — levostranná alt. H12: W = (Tmin; Ka) — pravostranná alt. H13: W = (Ä"i_a; Tmax) • Pokud ŕo £ W, Hq zamítáme na hladině významnosti a. Testování pomocí IS • Testujeme hypotézu Hq : 9 = c oproti H\ : 9 ^ c, případně H12 '■ 9 < c, či His '■ 9 > c • Sestrojíme 100(1 — a)% IS: — oboustranná alt. H u —> oboustranný IS — levostranná alt. Hí2 —> pravostranný IS — pravostranná alt. H13 —> levostranný IS • pokud c ^ IS, Hq zamítáme na hladině významnosti a. Testování pomocí p-hodnoty • Testujeme hypotézu Hq : 9 = c oproti H\ : 9 ^ c, případně H±2 : 9 < c, či His '■ 9 > c • p-hodnota: — oboustranná alt. Hum. p = 2 min{P(T0 < to); P(Tq > t0)} — levostranná alt. iJ12: p = P(T0 < t0) — pravostranná alt. His: p = P{Tq > to) = 1 — P(Tq < to) • Je-li p < a, Hq zamítáme na hladině významnosti a. 7 Testy o jednom náhodném výběru 7.1 Testování pomocí kritického oboru Jednovýběrový z-test 1. Nechť Xi,... Xn je náhodný výběr z N(fi,a2), a2 známe a c je konstanta. • Testujeme Hq : fi = c oproti Hu : fi ^ c, případně H±2 : // < c, či His : // > c. • Realizace testové statistiky: m — c ío = ^—• • kritický obor pro oboustrannou alt. Hu: W = (—00; ua/2) U (wi_a/2, 00) • kritický obor pro levostrannou alt.iJ12: W = (—oo;ua) • kritický obor pro pravostrannou alt. H13: W = (ui-a; 00) ua je a kvantil standardizovaného normálního rozdělení ... qnorm(alpha, 0, 1) Jednovýběrový t-test 2. Nechť Xi,... Xn je náhodný výběr z N(fi, a2), a2 neznáme a c je konstanta. • Testujeme H0 : fi = c oproti Hu : fi ^ c, případně Hí2 : // < c, či H13 : fi > c. • Realizace testové statistiky: m — c • kritický obor pro oboustrannou alt. Hu: W = (—00; ta/2{n — 1)) U (ti-a/2(n — 1), 00) • kritický obor pro levostrannou alt. H12: W = (—00; ta(n — 1)) • kritický obor pro pravostrannou alt. H13: W = (ŕi_a(n — 1); 00) ta(n — 1) je a kvantil Studentova rozdělení o n — 1 stupních volnosti ... qt(alpha, n-1). Test o rozptylu 3. Nechť Xi,... Xn je náhodný výběr z N(fi, a2), fi neznáme a c je konstanta. • Testujeme H0 : a2 = c oproti Hu : a2 ^ c, případně H12 : a2 < c, či H13 : a2 > c. • Realizace testové statistiky: (n - l)s2 to —-• c 2 • kritický obor pro oboustrannou alt. Hu: W = (0; X^/2(n — -0) ^ ^x\-a/2^n ~ 00) • kritický obor pro levostrannou alt. H\2: W = (0; Xa(n ~ 1)) • kritický obor pro pravostrannou alt. H13: W = (Xi-a(n ~ l)j 00) Xa(n — 1) Je a kvantil \2 rozdělení o n — 1 stupních volnosti ... qchisq(alpha, n-1). Test o směrodatné odchylce 4. Viz Test o rozptylu Tvary intervalů spolehlivosti 1. IS pro //, když a2 známe (a) Oboustranný: