11   Korelační analýza
• PŘEDPOKLAD: DVOUROZMĚRNÁ NORMALITA DAT -> Grafické ověření: Tečkový graf + elipsa spolehlivosti
11.1   Pořadová nezávislost
• Dvourozměrný náhodný výběr (Xi, Yi), ..., (Xn, Yn)
• Ri ... pořadí hodnot náhodné veličiny X
• Qi ... pořadí hodnot náhodné veličiny Y
• Spearmanův koeficient pořadové korelace Rg
• cor(X, Y, method='spearman')
11.1.1     Testy o pořadové nezávislosti
• Hq : X a Y jsou pořadově nezávislé. ... Hq : p = 0
• Hi : X a Y nejsou pořadově nezávislé. ... Hi : p ^ 0
1. Exaktní test (n < 30)
• Testovací statistika To = \R,s\
• Kritický obor: W = (k; 1) —y tabulky
2. Asymptotický test (n > 20)
• Testovací statistika Tn = —.
y/T=Ws
• Kritický obor: W = (—oo ; ta/2(n — 2)) U (ŕi_a/2(w — 2); oo)
- ta/2(n-2) .. .qt(alpha/2, n-2)
• p-hodnota = 2min{Pr(To < to),Pr(To > to)}
- 2*min(pt(t0, n-2), l-pt(t0, n-2))
3. Asymptotický test (n > 30)
• Testovací statistika To = Rsy/n — 1
• Kritický obor: W = (—oo ; ua/2) U {ui_a/2 ; oo)
- ua/2 ... qnorm(alpha/2)
• p-hodnota = 2min{Pr(To < ío))Pr(7o > ^o)}
- 2*min(pnorm(t0), l-pnorm(tO))
• Rse(-1; 1)
1
162
Kritické hodnoty pro Spearmanův koeficient pořa dové korelace
n = 5, 6,... ,30, a = 0,05.
n	kritická hodnota
5	0,9
6	0,8286
7	0,745
8	0,6905
9	0,6833
10	0,6364
11	0,6091
12	0,5804
13	0,5549
14	0,5341
15	0,5179
16	0,5
17	0,4853
18	0,4716
19	0,4579
20	0,4451
21	0,4351
22	0,4241
23	0,415
24	0,4061
25	0,3977
26	0,3894
27	0,3822
28	0,3749
29	0,3685
30	0,362
Zdroj: [2], Tab. XVIII.6.
11.2   Lineární nezávislost
• Výběrový (Pearsonův) koeficient korelace R12
T3      _ S™
-«12 —  c c ,
kde 5*12 je kovariance, S± je směrodatná odchylka výběru X, S2 je sm. odchylka výběru Y
• R12 E (-1; 1)
• cor(X, Y, method='pearson')
11.2.1     Testy o lineární nezávislosti
• Hq : X a Y jsou lineárně nezávislé. ... Hq : p = 0
• Hi : X a Y nejsou lineárně nezávislé. ... Hi : p ^ 0
1. Exaktní přístup
• Testovací statistika
T0=     Rl2 V^2
V1 - R12
Kritický obor: W = (—oo ; ta/2{n — 2)) U {ti-a/2(n — 2); oo).
- ta/2(n-2) .. .qt(alpha/2, n-2) Interval spolehlivosti
(dh,hh)-ť       ta/Án-2)        ■ íW2(n-2)
• !!! Hq zamítáme, pokud R12 ^ IS !!!
• p-hodnota = 2min{Pr(T0 < í0)>Pr(^o > ^o)}
- 2*min(pt(t0, n-2), l-pt(tO, n-2))
2. Asymptotický přístup
• Z-transformace Z = - ln ————
2    1 - R12
• Interval spolehlivosti
4-   V, /  -7        Ml-«/2 , «l-a/2
\Jn — 3 '       v7^ — 3 !!! Hq zamítáme, pokud p = 0 ^ IS !!!
1
11.3   Test o dvou korelačních koeficientech
• dva nezávislé náhodné výběry o rozsazích n a n* s korelačními koeficienty p a p*
• H0:p = p*^p-p*=š,      í G (-2; 2)
• H^.pÝP^p-p^í,     í G (-2; 2)
• Z-transformace Z = - ln ■ ^ 12
2    1 - R
12
Z-transformace Z* testovací statistika
ln
l + Rl
12
2 l-Rh
u
Z - Z*
n — 3    n* — 3 • kritický obor W = (—oo ; wa/2) U (ui_a/2 ; oo) — wa/2 ... qnorm(alpha/2)
11.4   Interpretační tabulka hodnot Spearmanova a Pearsonova korelačního koeficientu
Abs.hod. korel.koef.	Interpretace hodnoty
0	pořadová (lineární) nezávislost
(0;0.1)	velmi nízký stupeň závislosti
[0.1; 0.3)	nízký stupeň závislosti
[0.30; 0.50)	mírný stupeň závislosti
[0.50; 0.70)	význačný stupeň závislosti
[0.70; 0.90)	vysoký stupeň závislosti
[0.90; 1)	velmi vysoký stupeň závislosti
1	úplná pořadová (lineární) závislost
2