Oceňování finančních derivátů Doc. RNDr. Martin Kolář, Ph.D. Mgr. Lenka Křivánková 1 Tento učební text vznikl za přispění Evropského sociálního fondu a státního rozpočtu ČR prostřednictvím Operačního programu Vzdělávání pro konkurenceschopnost v rámci projektu Univerzitní výuka matematiky v měnícím se světě (CZ.l.07/2.2.00/15.0203). 2 Contents 1 Základní vlastnosti opcí 7 1.1 Dělení opcí ............................ 7 1.2 Základní typy použití opcí.................... 9 1.2.1 Jištění........................... 11 1.2.2 Pákový efekt ....................... 11 1.3 Put-Call parita.......................... 12 1.4 Příklady.............................. 13 2 Opční strategie 14 2.1 Strategie s jednou opcí a jednou akcií.............. 14 2.1.1 Upsání kryté call opce.................. 14 2.1.2 Pojistný put........................ 15 2.2 Strategie s více opcemi stejného typu.............. 15 2.2.1 Bull spread........................ 15 2.2.2 Bear spread........................ 16 2.2.3 Butterfly spread...................... 17 2.3 Kombinace put a call opcí.................... 17 2.3.1 Bottom straddle...................... 17 2.3.2 Top straddle........................ 18 2.3.3 Strip............................ 19 2.3.4 Strap............................ 19 2.4 Calendar a diagonal spread.................... 19 2.5 Pojištěná investice do rizikového aktiva............. 20 2.6 Příklady.............................. 22 3 3 Horní a dolní odhad cen opcí 23 3.1 Horní odhady........................... 23 3.2 Dolní odhady........................... 24 3.3 Uplatnění americké call opce................... 26 3.4 Příklady.............................. 28 4 Analýza citlivosti Black-Scholesova vzorce 29 4.1 Proměnné ovlivňující hodnotu opce............... 29 4.2 Black-Scholesův vzorec......... ............. 30 4.3 Greeks............................... 31 4.3.1 Jištění opční pozice........ ............ 31 4.3.2 Delta a A-hedging .................... 32 4.3.3 Theta........................... 34 4.3.4 Gamma........................... 34 4.3.5 Taylorův rozvoj hodnoty portfolia v parametrech ... 36 4.3.6 Vega............................ 37 4.3.7 Rlio ............................ 38 4.3.8 Vztah mezi A, 0 a T................... 38 4.4 Příklady.............................. 40 5 Implikovaná volatilita 41 5.1 Měření volatility ......................... 42 5.2 Odhad volatility z historických dat ............... 43 5.3 Implikovaná volatilita a volatility smile............. 44 5.3.1 Opce na směnné kurzy.................. 45 5.3.2 Opce na akcie....................... 45 5.4 Plocha implikované volatility.................. 46 5.5 Příklady.............................. 47 6 Exotické opce 48 6.1 Packages.............................. 48 6.2 Nestandardní americké opce................... 49 6.3 Složené opce............................ 49 6.4 Chooser options.......................... 50 4 6.5 Bariérové opce .......................... 51 6.6 Binární opce........... ................. 51 6.7 Look back opce.......................... 52 6.8 Shout options........................... 53 6.9 Asijské opce............................ 53 6.10 Příklady.............................. 54 7 Deriváty úrokových měr 55 7.1 Tržní cena rizika ......................... 55 7.2 Numeraire............................. 59 7.3 Rozšíření Black-Scholesova modelu pro stochastickou úrokovou míru................................ 62 7.4 Oceňování derivátů úrokových měr............... 63 7.4.1 Blackův model ...................... 63 7.4.2 Opce na dluhopisy.................... 65 8 Numerické metody oceňování evropských opcí 66 8.1 Explicitní metoda......................... 66 8.2 Metoda binomického stromu................... 69 8.3 Implicitní metoda......................... 69 8.4 Příklady.............................. 71 9 Stochastické modely pro vývoj úrokových měr 72 9.1 Vašíčkův model.......................... 72 9.2 Model CIR ............................ 73 9.3 Model Hulla a Whitea....................... 73 10 Americké opce 75 10.1 Ocenění amerických opcí..................... 76 10.2 Iterační metoda řešení soustav lineárních rovnic........ 77 10.3 Lineární komplementarita pro americké opce.......... 79 10.4 Řešení úlohy o lineární komplementaritě............ 79 10.4.1 Projektovaná SOR metoda................. 80 10.5 Numerické metody pro americké opce.............. 81 5 10.6 Příklady.............................. 83 11 Pravděpodobnostní rozdělení se silnými chvosty 84 11.1 Charakterizace chvostů distribucí................ 84 11.2 Charakterizace pomocí funkce přežití.............. 85 11.3 Charakterizace pomocí funkce rizika............... 86 11.4 Stabilní distribuce......................... 87 11.5 Limitní rozdělení......................... 88 11.6 Lévyho procesy.......................... 89 12 Měření rizika 91 12.1 Vlastnosti míry rizika....................... 91 12.2 Value-at-Risk........................... 92 12.3 Tail-Value-at-Risk......................... 92 12.4 Příklady nekoherence....................... 93 13 Rozdělení extrémních hodnot 95 13.1 Maxima náhodných veličin.................... 95 13.2 Gumbelovo rozdělení....................... 97 13.3 Fréchetovo rozdělení ....................... 97 13.4 Weibullovo rozdělení....................... 98 13.5 Zobecněné rozdělení extrémních hodnot............. 98 13.6 Stabilita............................... 98 14 Konvergence rozdělení maximálních hodnot 101 14.1 Oblasti přitažlivosti........................102 14.1.1 Oblasti přitažlivosti pro Fréchetovo rozdělení......102 14.1.2 Oblasti přitažlivosti pro Gumbelovo rozdělení.....104 15 Optimální jištění opční pozice 106 15.1 Statické zajištění.........................106 15.2 Dynamické jištění opční pozice .................107 6 Chapter 1 Základní vlastnosti opcí Myšlenka opčního kontraktu jako pojistky proti nepříznivému vývoji je velice přirozená. Opce se v různých podobách vyskytovaly ve starověku i ve středověku. Obchodování ve velkých objemech a standardizované obchody na burze nicméně začínají až s nástupem počítačů. S call opcemi se na burze poprvé obchodovalo v Chicago v dubnu roku 1973. Put opce byly na burzu uvedeny až o čtyři roky později, v roce 1977. Ve stejné době kdy vznikla první opční burza v Chicagu, se také objevily články Blacka, Scholese a Mertona, které odvodily vzorec pro hodnotu evropské call a put opce. Historie teoretického zkoumání oceňování opcí je ale mnohem starší. První pionýrskou prací byla dizertace kterou vypracoval v roce 1900 Louis Bachelier, pod vedením Henriho Poincaré. Definice 1.1. Opce je právo koupit (v případě call opce) nebo prodat {put opce) podkladové aktivum za pevně stanovenou cenu, která se nazývá realizační cena (strike price, excercise price) v pevně stanovené době (expirační doba). Jako podkladové aktivum pro opce mohou sloužit akcie, komodity, cizí měny, akciové indexy, futures, swapy .... Podkladovým aktivem může být i opce, pak jde o složenou opci (viz. kapitola o exotických derivátech). 1.1 Dělení opcí Podle typu použití opce rozlišujeme 7 - call opce - nákupní opce právo nakoupit - put opce - prodejní opce právo prodat Podle doby ve které mohou být uplatněny rozlišujeme - Evropské opce - mohou být uplatněny jen v době expirace - Americké opce - mohou být uplatněny kdykoli po dobu životnosti opce, nejpozději v čase expirace Existují i opce které nemají stanovenu expirační dobu, mohou být uplatněny kdykoliv. Takové opce se nazývají perpetuální (některé firmy je využívají jako bonus pro své zaměstnance). Speciálním typem opcí z hlediska doby uplatnění jsou bermudské opce, které je možné uplatnit pouze v určité předem stanovené dny. Podle typu obchodování rozlišujeme dva typy opcí: - standardní opce - obchodované na burze - opce "na míru" - opce obchodované přes přepážku (over-the-counter, Ten, kdo právo (t.j. opci) kupuje, musí prodávajícímu zaplatit cenu za toto právo, která se nazývá prémie. Prémie má 2 složky: - vnitřní hodnotu - časovou hodnotu OTC) 8 Pro call opci je vnitřní hodnota v čase t rovna Vnitřní hodnota := max(S'í — K, 0), kde St je okamžitá cena akcie v čase t, K je realizační cena opce. Pro put opci je vnitřní hodnota Vnitřní hodnota := max(Ä" — St, 0). Časová hodnota je definována jako zbývající hodnota do opční prémie (okamžité ceny opce v čase ŕ), tedy Časová hodnota = prémie — vnitřní hodnota Podle vztahu současné a realizační ceny rozlišujeme: - opce mimo peníze (out of the money): St < K pro call opci, St > K pro put opci - opce na penězích (at the money): St = K pro put i call opci - opce v penězích (in the money): St > K pro call opci, St < K pro put opci Příklad 1. Jako příklad uveďme skutečné hodnoty amerických opcí na akcie Intelu, dne 29.5.2003. Cena akcie tento den byla Sq = 20, 83. call June July October put June July October 20 1,25 1,60 2,40 20 0,45 0,85 1,50 22,5 0,20 0,45 1,15 22,5 1,85 2,20 2,85 1.2 Základní typy použití opcí V dalším textu budeme používat následující označení: 9 Sq cena akcie v současnosti St ■ cena akcie v čase t St cena akcie v čase expirace T . čas expirace r úroková míra K . realizační cena opce C . cena evropské call opce P . cena evropské put opce c cena americké call opce P cena americké put opce Výplatní funkce evropské call opce je rovna max(Sx — K,0). Její graf je znázorněn na následujícím obrázku. Figure 1.1: Call opce 10 1.2.1 Jištění Hlavním smyslem použití opcí a dalších derivátů je změnit rizikový profil. Podle povahy účastníka trhu je možné riziko jak zmenšit, tak zvětšit. Příklad 2. V září 2009 máme 10 akcií KB. Současná cena je So = 280 Kč za akcii. Chceme se pojistit proti poklesu ceny na příští 2 měsíce. Koupíme 10 listopadových put opcí s realizační cenou 275 Kč. Necht P = 10 Kč. Zaplatíme 10 • 10 = 100 Kč (cena jistící strategie). - Pokud cena klesne pod 275 Kč, uplatníme opci, dostaneme 275 • 10 = 2750, celkem máme zisk 2750 - 100 = 2650. - Pokud cena bude větší než 275 Kč, prodáme akcii na trhu, opět máme víc než 2750 - 100 = 2650. 1.2.2 Pákový efekt Vedle jištění, tedy snížení rizika, je možné použít opci k přesně opačnému účelu, k násobení potenciálního zisku (a samozřejmě také ztráty). Příklad 3. Investor si myslí, že akcie Citibank v příštích 2 měsících porostou a má 2000$ na investici. Necht So = 20$ a necht 2-měsíční call opce s realizační cenou 22,5$ stojí 5$. Porovnejte 2 strategie: 1. koupit 100 akcií 2. koupit 400 call opcí Uvažujme dva možné scénáře. V prvním cena akcie v době expirace vzroste na 35$. Ve druhém klesne na 15$. Výplaty obou strategií jsou zapsány v tabulce: 15$ 35$ Akcie -500$ 1500$ Opce -2000$ 3000$ S rostoucí cenou nad realizační cenu opce roste zisk z akcie i opce úplně stejně. Rozdíl je v tom že opce je daleko levnější. Naopak, pokud cena akcie 11 klesne pod realizační cenu, ztrácí investor v opčním portfoliu ihned celou investici. 1.3 Put-Call parita Put-Call parita je základní vztah mezi hodnotami call a put opce, který platí vždy, bez ohledu na předpoklady našeho modelu. V opačném případě existuje snadno realizovatelná arbitráž. Pro odvození put-call parity uvažujme portfolio obsahující jednu call opci nadlouho a jednu put opci se stejnými parametry nakrátko. Pro hodnotu takového portfolia máme C-P = max(ST -K,0)- max(K - ST, 0) = ST - K, neboli C + K = ST + P. Odtud vidíme, že C — P — St je bezrizikové portfolio, pro než platí C - P - ST = K. Z neexistence arbitráže plyne, že jeho hodnota v čase 0 musí být K ■ e~rT. Celkem tedy dostaneme C + K ■ e-rT = P + S0 Tento vztah platí nezávisle na předpokladech Black-Scholesova modelu. Put-call paritu můžeme ověřit také porovnáním hodnot dvou portfolií odpovídajících levé a pravé straně předchozí rovnice: c + K ■ —rT e P + So St < K 0 + K = K K -ST- f ST = K St > K ST-K- YK = St 04 - St = St Tedy VT(C + K ■ e~rT) = VT(P + S0) = max(Jří, ST), kde Vt je hodnota portfolia v čase T. Z neexistence arbitráže plyne, že hodnota těchto dvou portfolií musí být stejná i v čase t = 0, odkud plyne put-call parita. 12 1.4 Příklady Příklad 4. Koupili jsme evropskou call opci na akcii za 50 Kč. Současná cena akcie je 900 Kč a realizační cena je 870 Kč. - Za jakých okolností bude opce uplatněna? - Za jakých podmínek budeme mít zisk? - Znázorněte graficky závislost našeho zisku na ceně akcie v době expirace. Příklad 5. Upsali jsme evropskou put opci na akcii za 30 Kč. Současná cena akcie je 480 Kč a realizační cena je 500 Kč. - Za jakých okolností bude opce uplatněna? - Za jakých podmínek budeme mít zisk? - Znázorněte graficky závislost našeho zisku na ceně akcie v době expirace. Příklad 6. Zakoupili jsme evropskou put opci na akcii s realizační cenou 35 Kč za 2 Kč a call opci na stejné aktivum s realizační cenou 40 Kč za 3 Kč. Znázorněte graficky závislost našeho zisku z této pozice na ceně akcie v době expirace. Příklad 7. Vysvětlete, proč je hodnota americké opce vždy nejméně rovna hodnotě příslušné evropské opce se stejnými parametry. Příklad 8. Cena call opce s realizační cenou 15 Kč na akcii jejíž současná cena je 14 Kč stojí 2 Kč, čas expirace T= 6 měsíců. Úroková míra je 5% ročně. Najděte cenu evropské put opce se stejnými parametry. Příklad 9. Vysvětlete, proč je hodnota americké call opce na akcii která nevyplácí dividendu vždy rovna alespoň její vnitřní hodnotě. Platí totéž i pro evropskou call opci? Příklad 10. Uvedte příklad situace, kdy hodnota americké call opce na akcii která vyplácí dividendu je menší než její vnitřní hodnota. Příklad 11. Vysvětlete, proč není nikdy optimální uplatnit předčasně americkou call opci na akcii která nevyplácí dividendy. 13 Chapter 2 Opční strategie 2.1 Strategie s jednou opcí a jednou akcií Nejdříve budeme uvažovat dvě nej jednodušší strategie, které lze vytvořit s pomocí opce a akcie. 2.1.1 Upsání kryté call opce Upsání kryté call opce znamená že upíšeme call opci na akcii kterou vlastníme. Jde tedy o dlouhou pozici v akcii + krátkou pozici v call opci. akcie ^y Figure 2.1: Krytá call opce 14 2.1.2 Pojistný put V této strategii vlastníme akcii a chceme si její hodnotu pojistit zakoupením put opce. Jde tedy o dlouhou pozici v akcii + dlouhou pozici v put opci. Figuře 2.2: Pojištěná put opce Z put-call parity plyne, že pojistný put má stejný profil jako call opce jen posunutý o konstantu, protože platí ST + P = C + K. 2.2 Strategie s více opcemi stejného typu Strategie tohoto typu se obvykle označují výrazem spread. Podle typy investora rozlišujeme dva základní druhy těchto strategií. 2.2.1 Bull spread V této strategii koupíme call opci s realizační cenou K\ a upíšeme call opci s realizační cenou K2 > K\. Takovou strategii použije investor který věří v růst ceny akcie, odtud název bull spread. Výplatní profil je znázorněn na obrázku. Alternativně, bull spread můžeme také vytvořit s použitím put opcí. 15 Figure 2.3: Bull spread 2.2.2 Bear spread Tuto strategii vytvoříme přesně naopak. Koupíme call s realizační cenou K2 a prodáme call opci s realizační cenou K\ < K2. Výplatní profil je znázorněn na obrázku. Strategii použije naopak investor, který věří v pokles ceny akcie. Stejně jako bull spread, můžeme bear spread vytvořit s použitím put opcí namísto call. Figure 2.4: Bear spread 16 2.2.3 Butterfly spread Pro sestavení této strategie uvažujme tři opce s různými realizačními cenami: Koupíme 1 call opci s real. cenou K3 (vysokou) a 1 call opci s real. cenou Ki (nízkou) a upíšeme 2 call opce s real. cenou K2, mezi K\ a K3 a blízko Sq. Tato strategie obvykle představuje malou investici. Investor očekává jen minimální pohyb v ceně akcie. Figure 2.5: Butterfly spread 2.3 Kombinace put a call opcí 2.3.1 Bottom straddle V této strategii koupíme call a put se stejnou realizační cenou K. Výplata je znázorněna na následujícím obrázku. Při použití této strategie investor předpokládá velký pohyb ceny akcie, ale neví jakým směrem. Taková situace může nastat například očekává-li se výsledek soudního sporu firmy která vydala akcie. Pokud takový názor sdílí většina účastníku trhu, bude cena takové strategie na trhu vysoká. Obecně platí, že investor může využít svůj odhad vývoje trhu jen za předpokladu že se realizuje a navíc je odlišný od názoru většiny ostatních investorů. 17 Figure 2.6: Bottom straddle 2.3.2 Top straddle Ve strategii top straddle naopak prodáme call a put se stejnou realizační cenou K. Figure 2.7: Top straddle V této strategii naopak investor neočekává velký pohyb ceny akcie. Ve srovnání s motýlkem je tato strategie daleko rizikovější, případná ztráta v případě růstu ceny není vůbec omezená zdola. 18 2.3.3 Strip V této strategii koupíme 1 call a 2 put opce. Výplatní funkce bude následující. Figuře 2.8: Strip Použití této strategie je podobné jako u bottom straddle, investor předpokládá velký pohyb ceny akcie. V tomto případě si ale myslí že pohyb dolu je pravděpodobnější než pohyb nahoru. Podobně jako u bottom straddle, zisk ze strategie není omezen zhora. 2.3.4 Strap V této strategii koupíme 2 call a 1 put na akcii, se stejnými parametry. Dostaneme tak výplatu znázorněnou na obrázku. Analogicky, tato strategie je opět podobná bottom straddle. Investor předpokládá velký pohyb ceny akcie, ale myslí že pohyb nahoru je pravděpodobnější než pohyb dolu. 2.4 Calendar a diagonál spread Tato strategie používá namísto opcí s různou realizační cenou opce s různým časem expirace. Koupíme opci s realizační dobou T\ a upíšeme opci s realizační dobou T2 > T\. V čase T\ pak pozici uzavřeme, tedy opci s real- 19 Figure 2.9: Strap izační dobou t2 prodáme. Výplatní funkce této strategie je podobná strategii motýlek, je ale nelineární. Další strategií s nelineární výplatou je diagonál spread. V této strategii zakoupíme dvě call opce s různou dobou realizace, i s různou dobou splatnosti. Obecně můžeme vytvořit v principu libovolný po částech lineární profil výplaty, pokud existují opce s libovolnou realizační cenou. 2.5 Pojištěná investice do rizikového aktiva S využitím call opcí můžeme za určité situace vytvořit portfolio, které bude profitovat z růstu akcie, stejně jako kdybychom koupili samotnou akcii, přitom ale jeho hodnota v čase expirace bude vždy nejméně rovna vkladu který jsme do investice vložili. Uvažujme akcii se současnou cenou So = 100 Kč, do které chceme investovat na dobu T = 1 rok. Předpokládejme pro jednoduchost že bezriziková úroková míra r kterou vyplácí např. dluhopisy je taková, že platí Soe-rT = 90. Klíčovým předpokladem, který umožňuje strategii vytvořit je, že akcie vyplácí kladný dividendový výnos D. Portfolio sestavíme tak, že za 90 Kč koupíme 20 dluhopisy. Dále zakoupíme call opci na penězích, tedy s K = 100. Cena takové call opce bude záviset na volatilitě akcie. Pro dostatečně malou volatilitu bude cena opce menší než 10 Kč, celková investice se tedy vejde do 100 Kč. Pokud opce vyprší v penězích, bude zisk z ní stejný, jako kdybychom investovali do akcie. Rozdíl je samozřejmě v tom, že na rozdíl od majitele akcie nebudeme v průběhu investice dostávat dividendy. Pokud opce vyprší mimo peníze, budeme mít díky dluhopisům přesně naši počáteční investici, tedy 100 Kč. Jak je vidět, taková strategie bude možná jen v případě zavedené, málo volatilní akcie, která navíc vyplácí dividendy. Pokud akcie nevyplácí dividendy, pak víme ze základního dolního odhadu pro cenu opce že C > S0 - Ke-rT, tedy takovou strategii není možné sestavit. 21 2.6 Příklady Příklad 12. Na trhu jsou dostupné evropské call opce na akcii s realizačními cenami 15 Kč, 17 Kč a 19 Kč se stejnou expirační dobou za 3 měsíce. Jejich ceny jsou 3 Kč, 2 Kč a 1,5 Kč. Popište jak lze opce použít k vytvoření butterfly spread. Znázorněte graficky závislost našeho zisku na ceně akcie v čase expirace. Příklad 13. Put opce na akcii s realizační cenou 20 Kč a 23 Kč stojí 3 Kč, resp. 5 Kč. Ukažte jak s pomocí těchto opcí sestrojit bull spread a bear spread. Nakreslete závislost zisku a výplaty pro obě opční strategie. Příklad 14. Na trhu se prodávají evropská call opce na akcii s realizační cenou 30 Kč za 2 Kč a evropská put opce na stejnou akcii s realizační cenou 27 Kč za 3 Kč. Popište jak lze opce použít k vytvoření strangle. Znázorněte graficky závislost našeho zisku na ceně akcie v čase expirace. Příklad 15. Najděte opční strategii jejíž výplatní funkce je dána lineární lomenou funkcí spojující body (0,0), (5,0) (7,2), (8,2) a (9,0). Příklad 16. Popište výplatní funkci strategie diagonál spread, která se skládá z dvou call opcí s různou realizační cenou i různým časem expirace. Příklad 17. Najděte opční strategii jejíž výplatní funkce je dána lineární lomenou funkcí spojující body (0,10), (15,10), (20,5), (25,5), (30,15) a (45,0). Příklad 18. Znázorněte graficky výplatu ze strategie calendar spread s použitím dvou call opcí. První má čas expirace T\ = 3 měsíce, druhá t2 = 6 měsíců. Obě opce jsou na penězích. Výplatu znázorněte v čase expirace první opce. Příklad 19. Platí put call parita i pro americké opce? Příklad 20. Dokažte put-call nerovnosti pro americké opce (Hull ...) 22 Chapter 3 Horní a dolní odhad cen opcí V této kapitole odvodíme základní horní a dolní odhad pro ceny opcí, které stejně jako v minulé kapitole nezávisí na předpokladech modelu. Jsou odvozeny jenom z následujících předpokladů: 1. na trhu neexistuje arbitráž 2. neexistují transakční náklady 3. všechny zisky jsou zdaněny stejnou sazbou 4. existuje stejná bezriziková úroková míra pro vklady i půjčky 3.1 Horní odhady Pro call opci Call opce znamená právo koupit akcii za určitou cenu, nemůže tedy mít hodnotu větší než akcie. Máme tedy C K, existuje tedy arbitráž. Stejně jako pro call opci je tento odhad optimální. Pro So —> 0 se bude cena opce P blížit ke K. 3.2 Dolní odhady Pro call opci má základní dolní odhad tvar C > Sq - K ■ e-rT. Před tím než jej dokážeme, ilustrujme si jej nejdříve na příkladu. Příklad 21. Necht S0 = 20$, K = 18$, r = 10% ročně, T = 1 rok. Máme tedy Sq-K- e-rT = 20 - 18 • e"0'1 = 3, 71$ Necht C = 3$. Tvrdíme, že existuje arbitráž: koupíme call opci a prodáme akcii nakrátko. Máme ihned 20 — 3 = 17$. Tuto hotovost uložíme, v čase T = 1 pak máme 17 • e0'1 = 18, 79. Snadno ověříme že za všech scénářů budeme v zisku, nebot - Je-li Sj* > 18, uplatníme opci, uzavíráme krátkou pozici a máme zisk 24 18, 79 - 18 = O, 79. - Je-li St < 18, koupíme akcii na trhu, uzavřeme krátkou pozici, máme zisk > 0, 79. Obecně uvažujme 2 portfolia: A: 1 call + hotovost K ■ e~rT B: 1 akcie V čase T je hodnota A rovna: - Je-li ST < K ■ ■ ■ K + 0 = K. - Je-li ST > K ■ ■ ■ K + (ST - K) Tedy VT{Ä) Pro portfolio B je VT(B) = ST. Platí tedy Vt{A) > Vt{B) za všech scénářů. Stejný vztah musí platit i v čase 0 (jinak by existovala arbitráž). Tedy C + K ■ e-rT > S0 a odtud C > S0 - K ■ e-rT Důsledek 3.1. Pro vnitřní hodnotu opce platí C > Sq - K ■ e-rT > Sq - K Cena evropské call opce je tedy vždy větší než její vnitřní hodnota. Totéž platí pro americkou call opci: c > C > Sq - K. Pro put opci je základní dolní odhad tvaru P > K ■ e-rT - S0. K důkazu tohoto vztahu uvažujme opět 2 portfolia: 25 Sf. - max(_ří, ST)- C: 1 put + 1 akcii D: hotovost K ■ e~ Výplaty obou portfolii v závislosti na scénáři zapíšeme do tabulky: C D ST < K {K - ST) + ST = K K ST> K St K Platí tedy VT(C) = max (SV ,K) > VT(D) = K. Odtud plyne V0(C) > V0(D) a nakonec P + Sq> K ■ e-rT Celkem tedy P > K ■ e-'rT - Si 3.3 Uplatnění americké call opce Příklad 22. Uvažujeme americkou call opci s So = 50 Kč, K = 40 Kč, T = 1 měsíc. Opce je hluboko v penězích. Zdálo by se vhodné opci hned uplatnit, ale není tomu tak. - Pokud chceme akcii koupenou za opci držet víc než 1 měsíc, pak je lepší měsíc počkat a uložit 40 Kč do banky, kde přináší úrok. (Navíc pokud cena klesne pod 40 Kč, budeme rádi, že jsme opci neuplatnili.) - Pokud akcii chceme hned prodat (např. myslíme, že je nadhodnocená), pak je lepší opci prodat než uplatnit. Opci si koupí někdo kdo akcii chce držet (takový investor existuje, jinak by cena nebyla 50 Kč). Cena opce bude větší než její vnitřní hodnota, t.j. 50 — 40 = 10 Kč. 26 Odtud plyne, že americká call opce má stejnou hodnotu jako evropská call opce. Důvody pro neuplatňování americké call opce před časem expirace: - Call opce je pojištění, pokud ji prodáme, přijdeme o něj. - Časová hodnota peněz. U americké put opce jsou tyto 2 důvody proti sobě. Příklad 23. Uvažujme put opci s K = 10$ a necht So je velmi blízko 0. Čím dříve opci uplatníme, tím lépe (peníze za prodej uložíme do banky). Platí tedy: • Americká put opce má větší hodnotu než evropská put opce, tedy p > P. • Existují situace kdy hodnota evropské put opce je menší než její vnitřní hodnota (tedy časová hodnota je záporná). 27 3.4 Příklady Příklad 24. Uvažujme call opci na akcii bez dividendy . Současná cena akcie je 35 Kč, realizační cena je 32 Kč, úroková míra je 10% ročně. Najděte dolní odhad ceny takové opce. Příklad 25. Uvažujme put opci na akcii bez dividendy . Současná cena akcie je 100 Kč, realizační cena je 105 Kč, úroková míra je 5% ročně. Najděte dolní odhad ceny takové opce. Příklad 26. Popište dva důvody proč není optimální uplatnit americkou call opce před dobou její expirace. Příklad 27. Může mít evropská call opce na akcii s dividendou cenu nižší než S0 - Ke-rTl Pokud ano, uveďte příklad takové situace. Příklad 28. Může mít evropská put opce na akcii s dividendou cenu nižší než SQKe~rT - S0? Pokud ano, uveďte příklad takové situace. Příklad 29. Označme D současnou hodnotu všech dividend, které bude vyplácet podkladová akcie během životnosti opce. Dokažte, že pro cenu call opce platí odhad C > So - D - Ke-rT Příklad 30. Dokažte, že pro cenu put opce na akcii která vyplácí dividendu platí odhad (se stejným označením jako v předchozím příkladu) P > D - So + Ke -rT 28 Chapter 4 Analýza citlivosti Black-Scholesova vzorce V této kapitole budeme analyzovat podrobně Black-Scholesův vzorec. Pro praktické použití je důležité umět odhadnout rychlost změny cen opcí při změně hodnot jednotlivých parametrů modelu. 4.1 Proměnné ovlivňující hodnotu opce Podle Black-Scholesova modelu závisí hodnota opce na celkem pěti proměnných: K ... realizační cena So ... současná cena o ... volatilita T ... čas r ... bezriziková úroková míra Uvažujme nejdříve směr závislosti na jednotlivých proměnných. + bude označovat "přímou úměrnost" (rostoucí závislost) , — "nepřímou úměrnost" (klesající závislost). Výsledky jsou obsaženy v následující tabulce: Call Put So + K + T + + r + a + + 29 + rostoucí závislost klesající závislost Některé směry závislosti jsou zřejmé, některé si zaslouží podrobnější komentář: r: Put opce je potencionální příjem v budoucnosti. Pokud tedy roste r, jeho současná hodnota klesá a tím i hodnota opce. Call opce je potencionální výdej v budoucnosti, závislost je tedy opačná, ze stejného důvodu. o". S rostoucí volatilitou šance velkého růstu i velkého poklesu rostou. Pro majitele akcie se tyto vlivy kompenzují, ale majitel call (resp. put) opce profituje z růstu (resp. poklesu), zatímco při poklesu (resp. růstu) je jeho ztráta omezena opční prémií. Odtud plyne, že pokud o - roste, pak C také roste (a stejně tak i P roste). T: Delší čas znamená větší nejistotu (podobně jako u volatility), tedy stejný argument jako pro o ukazuje, že C a P rostou s rostoucím časem do expirace T. V souvislosti s předchozími argumenty připomeňme, že v Black-Scholesově vzorci vystupuje jen součin a\/T, tedy vliv a a \[Ť je stejný. 4.2 Black-Scholesův vzorec Připomeňme, že Black-Scholesův vzorec pro evropskou call má tvar C = S0 - K e-rT - aVT) kde $ je distribuční funkce N(0,1) a ln f + (r + ^)T Pro put opci máme P = K e-'rT $(-4 + aVT) - S0 30 4.3 Greeks Závislost rychlosti změny ceny opce na změně jednotlivých parametrů popisují parciální derivace Black-Scholesova vzorce podle jednotlivých proměnných. Používá se pro ně standardní označení pomocí řeckých písmen (greeks). 4.3.1 Jištění opční pozice Jako motivaci uveďme příklad na jištění opční pozice. Příklad 31. Banka prodala call opce na 100 000 akcií za 300 000 Kč. Přitom So = 49, K = 50, r = 0, 05, a = 0, 2, T = 20 týdnů (0,38 roku). Cena opcí je 240 000. Banka tedy prodala o 60 000 dráž než je teoretická hodnota. Jak se může pojistit proti rizikům a zaručit si zisk? Řešeni. Uvažujme dvě strategie: 1. 1. strategie: nedělat nic (nekrytá pozice, naked position) St < 50 =>• neplatí nic, má zisk 300 000 ST > 50 =>- musí zaplatit 105 • (ST - 50) 2. 2. strategie: krytá pozice. Banka v čase t = 0 koupí 100 000 akcií. Je-li St > 50, např. St = 51, pak prodá za 50, ale koupila za 49. Má tedy další zisk. Je-li St < 50, např. St = 40, na portfoliu ztratí 900 000 (z opcí má zisk jen 300 000) Podle Black-Scholesova vzorce by cena jištění v průměru měla být 240 000, ale strategie 1 a 2 mají velké výkyvy. Pokud se chceme držet blízko 240 000, musíme použít dynamické jištění. První dynamická strategie se může na první pohled zdát ideální. 3. strategie: dynamická stop-loss strategie: - koupíme akcii pokud cena vzroste nad K - jakmile klesne cena pod K, opět prodáme 31 Pro St < K tedy máme nekrytou pozici, pro St > K máme krytou pozici. Tato strategie zdánlivě produkuje stejnou výplatu jako opce. Cena strategie je pro Sq > K rovna So, jinak je-li S0 0 očekávaný počet obchodů půjde do oo. Přitom každá dvojice obchodů znamená pro nás ztrátu 2e. Připomeňme ještě teoretickou vlastnost Brownova pohybu, totiž že jeho trajektorie protne osu x nekonečně mnohokrát v libovolně malém okolí 0. Lemma 4.1. Je-li Wt0 = K, kde Wt je Brownův pohyb, pak s pravděpodobností 1 trajektorie Wt nabývá v intervalu (to, to + ô) hodnoty K nekonečně mnohokrát pro libovolně malé ô. 4.3.2 Delta a A-hedging A měří rychlost změny opční ceny vzhledem ke změně ceny akcie, tedy A = w kde C je cena call opce a S je cena akcie. Příklad 32. Necht A = 0,6 pro S0 = 100 a C = 10. Upsání 20 call opcí můžeme tedy jistit koupením 0, 6 • 20 = 12 akcií. Zisk (ztráta) za opce je jištěna ztrátou (ziskem) z pozice akcií. Například pokud akcie vzroste o 1 Kč, pak máme zisk 12 Kč na akciích a ztrátu —20 • 0,6 = —12 Kč na opcích (každá opce jde dolů o 0,6 Kč). 32 A opční pozice je 0, 6 • (—20) = —12. A pozice v akciích je 12 • 1 = 12. Celková A portfolia je -12 + 12 = 0. A = 0 ... A-neutrální portfolio Hodnota takového portfolia se nemění při malém pohybu ceny akcie. A se ale s časem mění, závisí na S. Musíme tedy provádět dynamický hedg-ing. Platí A(call) = $(di), Me , HSo/K) + (r + a2/2)T di =- Z put-call parity máme P + S = C + K- e~rT Derivováním podle S dostaneme d_ dP_ _ dC_ dš'' dS+ ~ dS+ ' tedy A(put) = A(call) - 1 = $(di) - 1 Analogicky definujeme Delta portfolia. Necht n je hodnota portfolia A. Pak A(-4) = as- Necht portfolio obsahuje w,i i-té opce, pak A(A) = ^2wí-Aí, i kde Aj. je A i-té opce (z linearity derivace). Příklad 33. Česká banka má 3 pozice v opcích na euro: 33 1. dlouhou pozici na 105 call opcí s K = 27 Kč a T = 3 měsíce. A = 0, 533, 2. krátkou pozici na 2-105 call opcí s K = 28 Kč a T = 5 měsíců. A = 0,468, 3. krátkou pozici na 5-104 put opcí s K = 28 Kč a T = 2 měsíce. A = — 0,508. Celkové delta portfolia tedy bude A(l + 2 + 3) = 105• (0, 533) -2-105(0,468) -5.104(—0,508) = —14 900 Banka může tedy udělat portfolio A-neutrální nakoupením 14 900 Euro. A závisí na S, musíme tedy portfolio dynamicky "rebalancovat," aby bylo A-neutrální (prodej akcií + nákup opcí, nebo naopak). Transakční náklady: pro 1 opci je A-hedging neúnosně drahý kvůli transakčním nákladům. Pro velké portfolio je ale schůdný, je třeba jen jedna transakce pro celé portfolio (v daném čase). 4.3.3 Theta 0 měří citlivost portfolia (hodnoty opce) na změnu času, tedy dT S0 • $'K) ■ a 2 ©(call) =----^--rKe-rl§(d kde $'(di) = 4=e-^. v 2-7T 0 je jiný typ parametru než A, protože čas je deterministická proměnná, proti plynutí času se nemá smysl jistit. 0 se v praxi používá jako náhražka za r. 4.3.4 Gamma r měří rychlost změny A vzhledem ke změně ceny S, tedy <9A d2C dS dS2' Malé T znamená, že A se mění pomalu, není třeba tak často rebalancovat pro udržení A-neutrálního portfolia. 34 Velké T naopak říká, že A je citlivé na změny S. Je tedy nutné častější rebalancování. r měří křivost grafu závislosti ceny opce na ceně podkladového aktiva. Pro A-neutrální portfolio platí přibližně: att = 0 -At + A^AS+lT ■ (aS)2 + o(aí). =0 T-neutrální portfolio: Pozice v akcii má T = 0. Je třeba nástroj (např. opce), který má ľ / 0, tedy který závisí nelineárně na ceně akcie. Je-li gamma portfolia A a gamma opce je To, pak přidáním Wt počtu opcí do portfolia máme r = V a + wtTq- Pro wt = -r=— 1 o dostaneme T = 0, tedy T neutrální portfolio. Přidáním opce se změní A portfolia, nebude tedy A-neutrální. Proto musíme ještě změnit pozici v akciích Tím se nezmění T-neutralita, protože r(akcie)=0. Portfolio sA = 0aT = 0je imunní i proti větším výkyvům ceny podkladové akcie. Příklad 34. Uvažujeme A-neutrální portfolio s T = —3000. A a T opce jsou 0,62 a 1,5. Pak portfolio bude T-neutrální, jestliže přidáme dlouhou pozici v = 2000 call opcích. Tím se změní A portfolia z 0 na 2000 • 0, 62 = 1240. Musíme ještě prodat 1240 akcií, abychom dostali portfolio, které je A-neutrální (a současně T-neutrální). Přímým výpočtem dostaneme hodnotu T, r(call) =^=ÍW. 0. 35 4.3.5 Taylorův rozvoj hodnoty portfolia v parametrech Připomeňme, že Taylorův polynom 2. stupně pro funkci 2 proměnných má tvar f(x,y)=f(x0,y0) + ^(x0,y0)(x - x0) + ^(x0,y0)(y - yo) + \^(x ~ xof -{x - xQ){y - yQ) +-—r{y - yQ) dxdy 2 dy2 Označme d f = f (x, y) — f(xo, yo) ... přírůstek funkce d x = x — xq ... přírůstek x 9y = y — y o ■ ■ ■ přírůstek y Pak máme d f = ^fdx + ?fdy + l^idxY + f(- dxdy + l^idyY ox ôy 2 ô x ôxôy 2 oyz Necht 7t je hodnota portfolia, kde r, a bereme konstantní. Uvažujeme tedy 7t jen jako funkci S a t. Dosazením dostaneme ^ . dn ^ dn „ ld2n,^^9 d2n „ ^ l<927r.^.9 =a =e =r Tedy (po zanedbání členů vyššího řádu) dn=AdS + Qdt + ^T(dS)2 Speciálně, pro A-neutrální portfolio máme dn=Qdt + ^T(dS)2, Pokud je portfolio A i T neutrální, pak dostaneme dn=Odt. 36 4.3.6 Vega V měří citlivost na změnu volatility ( vega není řecké písmeno, v matematicky orientované literatuře se původně používalo písmeno v). Máme V(call) = Platí V(call) = S0 ■ VŤ- Velké vega znamená velkou citlivost portfolia na změny volatility. Pozice v akcii má vega rovno 0. T-neutrální portfolio má obvykle nenulové V a naopak. K sestavení T i V neutrálního portfolia jsou potřeba nejméně dva různé deriváty na podkladovou akcii. Příklad 35. Uvažujme A-neutrální portfolio A s T (A) = -5000, V (Ä) = - 8000. Obchodovaná opce O má gamma 0, 5, vega 2, 0 a delta 0, 6. Sestavte gamma neutrální portfolio. Řešeni. Portfolio bude V-neutrální pokud koupíme 8000/2 = 4000 opcí. To zvýší A na 4000 • 0, 6 = 2400, tedy je třeba prodat 2400 akcií, aby bylo opět A-neutrální. T se změní na -5000 + 4000 • 0, 5 = -3000. Pro T a současně V neutrální portfolio musíme mít k dispozici ještě další opci. Příklad 36. Necht navíc další obchodovaná opce O2 má gamma 0, 8, vega 1,2 a delta 0, 5. Sestavte gamma i vega neutrální portfolio. Řešeni. Máme-li w\ opcí O a w2 opcí O2 pak chceme: T : -5000 + 0, 5wi + 0, 8w2 = 0 37 V : -8000 + 2, Owi + 1, 2w2 = O Odtud dostaneme: w1 = 400 w2 = 6000 Tedy koupíme-li 400 opcí O a 6000 opcí 02, pak portfolio bude T i V neutrální. Jeho A bude 400 -0,6 + 6000 -0,5 = 3240. Tedy musíme ještě prodat 3240 akcií, aby bylo portfolio i A-neutrální. Taylorův rozvoj v proměnných S, t, a bude mít tvar =AdS + Qdt + Vda + ^T(dS)2 4.3.7 Rho p měří změnu hodnoty opce (portfolia) v závislosti na změně úrokové míry. dC p(call) = — Přímým výpočtem dostaneme p(call) = K - T ■ e~rT ■ $(d2). 4.3.8 Vztah mezi A, 6 a ľ Připomeňme si tvar Black-Scholesovy rovnice pro cenu derivátu / (například f = c,p,...y. df , q df 1 2 2 d2f Pro hodnotu 7r portfolia derivátů (na jednu stejnou podkladovou akcii) tedy dostaneme dn dn 1 2 2 <927r W + r'5'äš + 2(J ^ •^=r'7r- Odtud 0 + r • 5 • A + -a2 ■ S2 ■ T = r • tt. 2 Pro A-neutrální portfolio máme 0 + -a2 ■ S2 ■ T = r • 7t. 2 Je-li 0 velké kladné, pak T je velké záporné a naopak. V A-neutrálním portfoliu lze tedy 0 použít jako náhražku T. 39 4.4 Příklady Příklad 37. Uvažujeme A-neutrální portfolio s ľ = 700. A a T opce jsou 0,35 a 2,1. Sestrojte T-neutrální portfolio). Příklad 38. Investor vlastní A-neutrální portfolio které má r(7r) = 250 a V(7r) = —600. Sestavte gamma i vega neutrální portfolio s využitím dvou opcí, z nichž první má gamma 0,3, vega 1,0 a delta 0,7 a druhá opce má gamma 0, 5, vega 0, 8 a delta 0, 3. Příklad 39. Dokažte, že platí vztah S0<^'(d1) = Ke-rT&(d-2) Příklad 40. S využitím předchozího příkladu dokažte, že platí AcaZZ = $(di). Příklad 41. Dokažte vztah pro 0 call opce, ecall = -rKe rT$(d2)--^/f-- Příklad 42. Odvodte vztah pro Y call opce, Vypočtete limitu Příklad 43. Odvodte vztah pro vega call opce, Příklad 44. Vypočtete limitu Y pro S —> oo a S —> 0. Příklad 45. Dokažte, že cena call opce je rostoucí funkcí volatility. Příklad 46. Odvodte vztahy pro parametry citlivosti vyšších řádů - Speed, Vanna, Vomma. Příklad 47. Pomocí vztahu pro Speed najděte hodnotu S pro kterou je Gamma maximální. 40 Chapter 5 Implikovaná volatilita Mezi všemi parametry Black-Scholesova modelu, tedy Sq, K, T, r, a, je u je jediný parametr, který nelze pozorovat. Existují dva základní způsoby počítání s volatilitou: - odhad z historických dat - používání implikované volatility Volatilita o měří naši nejistotu ohledně zisku z akcie. V Black-Scholesově modelu předpokládáme dSt = fJ,St dt + aSt dWt tedy dSt fidt + a dWt Z Itôova lemmatu dostaneme odtud zlogaritmováním In S In S< '0 ln St — ln Sq má tedy rozdělení 41 odpovídající Brownově pohybu s driftem. Odtud plyne že ln St má střední hodnotu ln So + (^í- y^j T a rozptyl o"2T. Náhodná veličina St má log-normální rozdělení, jinak řečeno, ln St má normální rozdělení.. Máme xT kde a x má rozdělení ^ = So e 1 . ST x = ř 'ln "F" J Do a2 a2 ^ 2 ' T " Střední směrodatná odchylka rr je tedy -^=. Definice 5.1. Veličina x se nazývá razra zisku akcie, x ~ iV /i--, — V 2 T 5.1 Měření volatility Volatilita je míra nejistoty o výnosech akcie. Typické hodnoty a jsou 0,15-0,60. Z předchozího víme, že x ~ N (ji — , tedy a je střední směrodatná odchylka míry zisku akcie za 1 rok. Pro malé T =Aŕ máme ^ ~ iV (/íaí, (j2aí) . d Odtud plyne, že o\[Ť je tedy střední směrodatná odchylka relativní změny ceny akcie za čas T. 42 Příklad 48. Předpokládejme, že o = 0, 3 (30% ročně) a So = 50 Kč. Střední směrodatná odchylka procentuální změny ceny akcie za 1 týden je pak Tedy pohyb o 1 odchylku je 50 • 0, 0416 = 2, 08 Kč. 5.2 Odhad volatility z historických dat Označme n + 1 ... počet pozorování Si ... cena akcie na konci i-tého intervalu, i = 0,1,..., n t ... délka časového intervalu v letech Dále necht kde u je střední hodnota itj. Víme, že střední směrodatná odchylka Ui je o ■ yfř a je tedy odhadem (Tyfř. Odhad o je pak Ui = ln( i~>i-l a necht s je střední směrodatná odchylka u,i s Obchodní x kalendářní dny: V praxi se ignorují dny, ve kterých se neobchoduje, tedy počet obch. dnů za rok (=252) 43 5.3 Implikovaná volatilita a volatility smile Připomeňme, že podle předpokladů Black-Scholesova modelu ceny akcie sledují geometrický Brownův pohyb, tedy pravděpodobnostní rozdělení cen akcie St je lognormální. Empirické výsledky naopak ukazují významnou odchylku od tohoto předpokladu. Následující tabulka obsahuje procenta dnů kdy pohyby kursů jsou větší než 1, 2, 3, 4, 5, 6 středních směrodatných odchylek. realita (% dnů) lognormální B.-S. model (% dnů) > 1 sso 25,00 32,00 > 2 SSO 5,00 5,00 > 3 SSO 1,30 0,27 > 4 SSO 0,30 0,01 > 5 SSO 0,08 0,00 > 6 SSO 0,03 0,00 Jak toho využít? V začátcích používání Black-Scholesova vzorce šlo na této velké odchylce profitovat. Stačilo nakoupit opce hluboko mimo peníze, podle Black-Scholesova modelu jsou velmi levné, a čekat. Protože velké výkyvy mají daleko větší pravděpodobnost než v lognormálním modelu, některé opce se dostaly do peněz. Při použití Black-Scholesova modelu v praxi se dovolí, aby volatilita závisela na realizační ceně opce a čase do expirace. Ze skutečných tržních cen opcí dopočítáme volatilitu v Black-Scholesově vzorci, která vede k této ceně. To je implikovaná volatilita. Pokud by Black-Scholesův model beze zbytku platil, pak by tato volatilita byla stejná pro všechny realizační ceny K. Ve skutečnosti ale o závisí na K (volatility smile, skew). Tvar této závislosti závisí na povaze podkladového aktiva. Budeme uvažovat dva základní případy. 44 Figure 5.1: Volatility smile Figure 5.2: Volatility skew 5.3.1 Opce na směnné kurzy Připomeňme, že hodnota opce v čase t = 0 je rovna diskontovanému očekávání hodnoty opce v čase expirace t = T, vzhledem k risk-neutrální pravděpodobnost míře. Levý i pravý chvost skutečného rozdělení je "těžší" (větší) než u lognormálního rozdělení. Uvažujeme call opci s realizační cenou K2. Opce bude v penězích pro St > K2. Pravděpodobnost toho, že St > K2 je větší pro skutečné rozdělení než pro lognormální. Z toho plynou následující důsledky: Větší pravděpodobnost =>- větší očekávání =>- větší cena opce =>- větší volatilita =>- zvednutí grafu implikované volatility =>- "půlka" volatility smile. Tak dostaneme levou půlku volatility smile. Analogicky pro K\ uvažujeme put opci s realizační cenou K\. Z put-call parity plyne, že implikovaná volatilita je stejná pro put i call opci se stejnými parametry. Stejným argumentem dostaneme druhou půlku volatility smile. 5.3.2 Opce na akcie Levý chvost je u skutečného rozdělení větší než u lognormálního rozdělení, pravý chvost je menší Dostaneme tedy jen levou půlku volatility smile, celkově dostaneme graf směřující šikmo dolů, který se nazývá skew. 45 Ukazuje se, že velké rozšíření stejných jistící strategií sice snižuje riziko každému jednotlivému investorovi, ale vede naopak k větší volatilitě celého trhu. Mechanismus který A-hedging působí funguje takto: pohyb ceny nahoru =>- nákup =>- další růst ceny pohyb ceny dolů =>- prodej =>- další pokles Jištění tedy zesiluje pohyb cen a tím zvyšuje celkovou volatilitu na trhu. 5.4 Plocha implikované volatility Jak se ukazuje, u skutečných ceny opcí nezávisí implikovaná volatilita jen na realizační ceně, ale také na čase expirace. Tak vzniká "časová struktura" volatility (volatility term structure). Volatilita bývá rostoucí funkcí času pokud je současná volatilita historicky nízká. Důvodem je očekávání investorů že dojde k jejímu nárůstu. Naopak, pokud je současná volatilita historicky vysoká, pak volatita bude klesající funkcí času, opět kvůli očekávání jejího poklesu. Plocha implikované volatility dává současně závislost implikované volatility na čase a na realizační ceně. Když obchodník s opcemi chce ocenit nový opční kontrakt, požije příslušnou volatilitu kterou mu dává plocha implikované volatility. Jednotlivými časovými řezy plochy volatility dostaneme volatility smiles pro různé doby expirace. Jak čas do expirace roste, volatility smile obvykle bývá méně výrazný. V souvislosti s předchozími fakty se nabízí otázka jaká je reálná role Black-Scholesova modelu při praktickém oceňování opcí. Podle některých názorů slouží především jako interpolační nástroj, který pomáhá k tomu, aby konkrétní opce (zejména OTC opce) byly oceněny konzistentně s ostatními opcemi dostupnými na trhu. 46 5.5 Příklady Příklad 49. Jaký typ volatility smile budeme pravděpodobně pozorovat pokud oba chvosty pravděpodobnostního rozdělení cen akcie jsou lehčí než u lognormálního rozdělení? Příklad 50. Jaký typ volatility smile budeme pravděpodobně pozorovat pokud pravý chvosty pravděpodobnostního rozdělení cen akcie je těžší a levý lehčí než u lognormálního rozdělení? Příklad 51. Dokažte, že implikovaná volatilita je stejná pro put i call opci se stejnými parametry (využijte k důkazu put-call paritu). Příklad 52. Jaký typ volatility smile budeme pravděpodobně pozorovat při skocích v cenách podkladového aktiva? Bude výraznější pro opce s kratší nebo delší dobou splatnosti? Příklad 53. Použijte reálná data pro opce na zvolenou akcii (například z databáze Bloomberg) a vypočtěte implikovanou volatilitu v závislosti na realizační ceně a na čase do expirace. Znázorněte graficky výslednou plochu implikované volatility. 47 Chapter 6 Exotické opce V této kapitole se budeme zabývat méně obvyklými opčními kontrakty, pro které se ujalo označení exotické opce Evropské a americké opce se obvykle označují jako plain vanilla (obyčejné). Mají standardní vlastnosti a obchodují se ve velkém množství. Ostatní méně standardní produkty se označují jako exotické. 6.1 Packages Jako první příklad uveďme balíčky, představující portfolia složená z evropských opcí, forwardů, podkladových akcií, hotovosti. S příklady balíčků jsme se již setkali v části věnované opčním strategiím. Jako příklad takového balíčku uveďme flexibilní forward Příklad 54. Flexibilní forward sestavíme z jedné put opce nakrátko s realizační cenou K\ a jedné call opce nadlouho s realizační cenou K2 > K\. - krátká pozice: zaručuje, že podkladové aktivum můžeme prodat za nějakou cenu mezi K\ a K2 - dlouhá pozice: zaručuje, že podkladové aktivum můžeme koupit za nějakou cenu mezi K\ a K2 48 6.2 Nestandardní americké opce Nestandardní americké opce jsou charakterizovány omezením na dobu uplatnění. Připomeňme, že standardní americké opce můžeme uplatnit kdykoli do času expirace. Uveďme několik příkladů typických omezení na dobu uplatnění: a) uplatnění opce je omezené na určitá data (Bermudské opce) b) uplatnění opce je možné jen po část životnosti opce, např.: od jistého data c) realizační cena se může měnit během životnosti opce 6.3 Složené opce Složené opce jsou opce, jejichž podkladovým aktivem je opět opce. Dávají tedy právo koupit, případně prodat podkladovou opci s danými parametry ve stanovaném čase za stanovenou cenu. V závislosti na typu jak opce samotné tak její podkladové opce rozlišujeme 4 typy složených opcí - call na call - call na put - put na call - put na put K popsání takové opce tedy potřebujeme 2 realizační ceny a 2 realizační data. Tyto opce se dají ocenit za předpokladů Black-Scholesova modelu, pomocí 2-dimenzionálního normálního rozdělení Uvažujme pro konkrétnost ocenění opce Call na call. Pro ostatní typy je situace zcela analogická. V čase 1. expirace T\ má držitel právo koupit call opci za cenu Ki, která mu dává v čase T2 právo koupit podkladové aktivum (akcii) za cenu K2. Evropská call na call má v čase t = 0 hodnotu V0 = So-Miauh; ^/ŤJt2)-K2- e-rT*M(a2,b2; ^TxjT2) - e^Tl-Kx-<í>(a2), 49 kde MSo/S*) + (r + pZfflT! r-ai = -=-, a2 = a1-a\/l1, HSo/K) + (r + **/2)T2 r-°i =-1=-, 62 = »1 - o"V-^2, M (a, b; p) je sdružená distribuční funkce 2-dimenzionálního normálního rozdělení s korelačním koeficientem p, tedy M(a, b;p)= P(X < a k Y < b), kde X a Y mají 2-dimenzionálního normální rozdělení s korelačním koeficientem p. S* je cena aktiva v čase T\ pro kterou je cena call opce v čase T\ rovna K\. Tedy pokud S\ > S* složená opce bude uplatněna (v čase Tí), Si < S* složená opce bude uplatněna (v čase Tí). 6.4 Chooser options Chooser options jsou opce "na výběr" (alternativní anglický název - "as you like it") V předem daném čase Tí se držitel rozhodne, zda jde o call nebo put opci. Tedy hodnota v čase T\ je max(C, P), kde C je hodnota příslušné call opce a P je hodnota příslušné put opce. Pokud realizační ceny obou jsou stejné, rovny K, potom máme podle put-call parity: max(C,P) =max(C,C + Ke-riT2-Tl) - Sľ) = C + max(0, K q-^-^) - Sľ). Tedy chooser opce je ekvivalentní dvěma opcím: - 1 call opci s realizační cenou K a dobou expirace T2 - 1 put opci s realizační cenou K ■ e~r(T2~Tl^ a časem expirace T\. Tyto dvě opce můžeme ocenit podle Black-Scholesova modelu. 50 6.5 Bariérové opce Bariérové opce rozlišujeme jednak podle typu bariéry, podle toho zda její dosažení aktivuje nebo deaktivuje opci, a dále podle vzájemné polohy bariéry a současné ceny. Knock-in: opce začíná platit jen pokud cena akcie dosáhne bariéry H v čase 0 až T. Knock-out: opce je bezcenná pokud cena akcie dosáhne bariéry H v čase 0 až T. Podle polohy bariéry a současné ceny rozlišujeme opce v závislosti na tom, zda H > Sq Necht (bariéra shora), nebo H < Sq (bariéra zdola). H < Sq : down-and-in H > Sq : up-and-in down-and-out up-and-out Pro konkrétnost uvažujme hodnotu Cdi down-and-in call opce. Hodnota v čase t = 0 této opce je «.-*(|)"-»W-*-e-(f)""-.(»-Wř kde A =-—-, y=-j=--\-Á a V1 . Platí C = Cdi + C do odkud plyne, že call down-and-out opce má hodnotu C do = C — Cdi- Analogicko vztahy platí pro Cwi a Cuo (up-and-in, up-and-out call opce). 6.6 Binární opce Binární opce je charakteristická nespojitou výplatní funkcí. 51 Opce typu Cash-or-nothing call má výplatu _ ÍO pokud ST < K }Q pokud St > K ' kde Q je pevně daná hodnota. Vzhledem k risk-neutrální míře je pravděpodobnost, že cena v čase ex-pirace bude větší než K, rovna Q(d2). Tedy cena cash-or-nothing call opce je rovna: e-rT -Q-$(d2). Analogicky cash-or-nothing put opce má hodnotu e-rT -Q.$(-d2). Dalším typem binární opce je Asset-or-nothing call, který má výplatní funkci .0 pokud ST < K ST pokud ST > K Obyčejná call opci je zřejmě rovna asset-or-nothing — cash-or-nothing, pro Q = K. 6.7 Look back opce Výplata look back opce závisí na maximu (případně minimu) ceny aktiva během života opce. Pro evropskou look back call opci bude výplata rovna ST — min St. te(o,T) Tedy opce nám umožní koupit akcii za minimální cenu dosaženou během života opce. 52 Pro put opci je výplata max St — St- íe(o,T) Opce nám umožňuje prodat za maximální cenu dosaženou během života opce. Pro stanovení maxima, případně minima musí být v opčním kontraktu stanoven přesný algoritmus ze kterých hodnot se maximální (minimální) hodnota určuje. Například to mohou být uzavírací ceny podkladové akcie každý obchodovací den na konkrétním trhu. 6.8 Shout options Držitel shout opce má možnost 1-krát za dobu života opce "zavolat" na prodejce opce. Na konci obdrží buď obvyklou výplatu, nebo vnitřní hodnotu opce v čase zavolání. Označme čas zavolání r. Výplata tedy je max(0, St — ST) + (ST — K). Hodnota v čase r je tedy současná hodnota (ST — K) plus hodnota evropské call opce s expirační cenou ST. Další postup ocenění je analogický jako u americké opce. 6.9 Asijské opce Výplata u asijských opcí závisí na průměru ceny aktiva za období životnosti opce. Jedním z důvodů používání těchto opcí je fakt, že znemožňují velkým investorům manipulovat s cenami podkladového aktiva těsně před vypršením opčního kontraktu. Asijská call opce má výplatní funkci max(0, iSprijměr — K) Asijská put opce má výplatní funkci max(0, K — Sommer) Pro geometrický průměr existuje oceňovací formule zatímco pro aritmetický průměr neexistuje. 53 6.10 Příklady Příklad 55. Odvodte alternativní rozklad chooser option na call opci s ex-pirací v čase T\ a put opci s expirací v čase T-i- Příklad 56. Bude lookback call opce hodnotnější nebo méně hodnotná když se zvýší frekvence pozorování ceny aktiva pro výpočet minima? Příklad 57. Bude down-and-out call opce hodnotnější nebo méně hodnotná když se zvýší frekvence pozorování ceny aktiva pro určení zda byla překročena hranice? Příklad 58. Vysvětlete, proč je možné obyčejnou evropskou call opci zapsat jako součet down-and-out a down-and-in evropské call opce. Příklad 59. Vyjádřete standardní evropskou put opci jako součet dvou bariérových opcí typu up-and-out a up-and-in Příklad 60. Necht S0 < H < K. Vypočtete cenu up-and-out call opce. Příklad 61. Necht Ci,pi jsou ceny asijských opcí typu average price, c2,P2 jsou ceny asijských opcí typu average strike, a c3,p3 jsou ceny standardních evropskýxh opcí. Dokažte, že platí Ci + c2 - c3 =Pl+P2~ P3- Příklad 62. Odvodte vztah pro cenu Forward start opce (Hull). 54 Chapter 7 Deriváty úrokových měr V předchozích kapitolách jsme předpokládali, že úroková míra r je konstantní. Ted tento zjednodušující předpoklad opustíme a dovolíme, aby se r měnilo v čase. 7.1 Tržní cena rizika Uvažujeme derivát, jehož hodnota závisí na jediné proměnné 9. Předpokládejme, že 9 se řídí stochastickou diferenciální rovnicí d9 — = m ■ dt + s ■ dW, 9 kde W je standardní Wienerův proces, mas mohou záviset na 9 a na t. 9 může být např. cena akcie, cena ropy, ... Necht fi a f2 jsou ceny 2 derivátů závislých jen na 9 a t. Jejich výplata je funkcí 9 v nějakém budoucím čase. Předpokládejme, že f\ a /2 splňují rovnice d/i —— = //i dt + o"i dW7, Ji ^p- = /i2 dŕ + o-2 dW7, /2 55 kde //i, /í2, o"i, o"2, jsou funkce 9 a. t. W je tentýž proces ve všech třech rovnicích. Náhodný člen AľV můžeme vhodnou kombinací f\ a /2 eliminovat: a/i = /ii/iAr + vifi&W j ■ a2f2 a/2 = ^2/2 aí + o-2/2Avy / • (-0-1/1) Uvažujme portfolio, které obsahuje množství 02/2 1- derivátu a množství —o"i/i 2. derivátu. Necht 7r je hodnota tohoto portfolia. Pak 7T = 0-2/2/1 - 0-1/1/2 A7T = O2/2A/1 - o-1/1A/2 = /Xl/20"2/lAÍ - o-1/1/X2/2AÍ Takové portfolio je tedy bezrizikové a musí platit (z neexistence arbitráže) A7T = r • 7T -aí, kde r je bezriziková úroková míra. Dosazením dostaneme: A7T = 02/2A/1 - 0-1/1A/2 = r(a2f2fi - o-i/i/2)aí (0-2/^1/1/2 - o"i/í2/2/i)aí = r(o-2/2/i - o-i/i/2)aí (72/Xl - /X20"1 = ^0"2 - rO"i 0-2(^1 - r) = o"i(/i2 - r) /ii - r /i2 - r ^i_^ parametry/1 ^2_^ parametry/2 závisí pouze na Dokázali jsme tedy, že je-li cena derivátu závislého jen na 9 a t rovna /, splňující rovnici d/ / /i dŕ + o- dľV, pak /i — r o" platí pro všechny takové deriváty. 56 Definice 7.1. A se nazývá tržní cena rizika veličiny 9 Obecně je A funkcí 9 a t. Hodnota /i — r = A • o je míra rizika související s 9 obsažená v /. Máme tedy: A ... cena rizika pravá strana = míra rizika • cena rizika levá strana = očekávaný zisk přidaný k bezrizikové míře, který kompenzuje toto riziko Příklad 63. Uvažujme derivát, jehož hodnota je závislá na ceně ropy (v kladném směru; t.j. roste-li cena ropy, roste cena derivátu) a nezávisí na jiných proměnných. Předpokládejme, že očekávaný zisk je 12% ročně, volatilita je 20% ročně a necht r = 8%. Tržní cena rizika ropy je tedy M2-M8 0,2 Připomeňme, že výměnou pravděpodobnostní míry za ekvivalentní můžeme dosáhnout změny koeficientu driftu (Cameron-Martinova věta pro konstantní drift, Girsanova věta pro obecný stochastický drift). Používá se také následující alternativní terminologie: výběr pravděpodobnostní míry určuje "svět," ve kterém platí určitá cena rizika ("míra" ~ cena rizika). Cena rizika = 0 pak odpovídá risk-neutrálnímu světu. Necht opět / je cena derivátu závislého na proměnné 9. Předpokládejme, že se řídí stochastickou diferenciální rovnicí d f = fifdt + a f dW, kde W je standardní Wienerův proces, /i a o jsou funkce t a, 9. 57 Hodnota /x závisí na vztahu investora vůči riziku. Ve světě, kde cena rizika je rovna 0 (risk-neutrální svět), máme fi — r A =-= 0 -<=>- /i = r, a tedy df = rfát + a f dW. To platí v standardním risk-neutrálním světě (cena rizika odpovídá výběru pravděpodobnostní míry). Připomeňme si v této souvislosti ještě matematický popis vztahu investora k riziku. Příklad 64. Volba I: dostaneme s jistotou 50 Kč Volba II: s pravděpodobností | dostaneme 100 Kč, s pravděpodobností | dostaneme 0 Kč Očekávání je pro obě volby stejné (50 Kč). Volba I má rozptyl 0 (nulové riziko), volba II má nenulové riziko. Investor je 1. rizikově neutrální, pokud obě volby jsou ekvivalentní 2. rizikově averzní, pokud volba I je pro něj lepší (většina investorů) 3. vyhledávající riziko, pokud volba II je pro něj lepší (hazardní hráči) Jiné předpoklady o tržní ceně rizika dávají "jiné světy." Obecně máme fi = r + \a a d/ = (r + Xa)- fdt + afdW. (7.1) Tržní cena rizika tedy určuje míru růstu všech derivátů závislých na dané proměnné. Při přechodu od jedné ceny rizika k jiné se mění koeficient růstu, ale volatilita zůstává stejná. 58 Pro určitou hodnotu ceny rizika dostaneme reálný svět, to co pozorujeme v praxi. Připomenutí: Itoův proces je martingal právě tehdy, když koeficient u dt je identicky rovný nule, tedy dd = a(t, 0) ■ dW. Víme, že pro martingal platí E(9T) = 6>o 7.2 Numeraire Pojem numeraire zachycuje volbu jednotek které použijeme pro vyjádření ceny aktiva. Necht f a g jsou ceny obchodovatelných aktiv, závisející na jednom zdroji nejistoty. Definice 7.2. Hodnota 9 se nazývá relativní cena f vzhledem ke g. $ můžeme chápat jako cenu / vyjádřenou v jednotkách g, namísto korun. Aktivum g se nazývá numeraire. Věta 7.3. Za předpokladu neexistence arbitráže je $ martingal pro nějakou volbu tržní ceny rizika. Touto volbou je volatilita g. Proof. Necht volatility / a g jsou a f a ag. Z rovnice 7.1 máme (za tržní cenu rizika bereme volatilitu g, tedy ag): df=(r + ag- af) f dt + af f dW dg = (r + ag2) g dt + ag g dW. 59 Itôovo lemma (použité na funkci In) dává d In / = ( r + ag ■ a f - y- ) dt + af dW dlng = {r + J dt + a3dW. Tedy d(ln/-ln^ = ^ag . af - ?l - Zjpj dt + (af - ag^j dW Aplikací Itôova lemmatu na proces ^ a funkci ln dostaneme Tedy $ = ^ je martingal. □ Svět, ve kterém je cena rizika rovna volatilitě g, budeme nazývat (forward)-risk-neutrální vzhledem k g. , f Podii — je tedy martingal, odkud plyne 9 9o \9t a fo = 9o E3 ( — \9t kde E„ je očekávaná hodnota v risk-neutrálním světě vzhledem ke g. Volby numeraire: 1. Peněžní trh jako numeraire: Peněžní trh je aktivum, které v čase t = 0 má hodnotu 1 Kč a získává okamžitou bezrizikovou míru r v libovolném čase, (kde r může být stochastické). 60 Je-li g hodnota peněžního trhu, pak dg = r ■ g ■ dt Drift je stochastický, ale volatilita g je rovna 0. V risk-neutrálním světě vzhledem ke g je tedy cena rizika rovna 0. Máme /o=9oE fr 9t kde E je očekávání ve standardním risk-neutrálním světě. Dále tedy neboli kde 9o = l a gT= eIordt /o = Ě(e-J?'rdí-/r) Jo = E(e -ft Ít) T r át je aritmetický průměr hodnoty r mezi časy 0 a T. 2. Bezkuponový dluhopis jako numeraire: Necht P (t,T) je cena v čase t bezkuponového dluhopisu, který vyplatí 1$ v čase T. Položme g rovno P (t,T). Et bude označovat očekávání ve světě, který je risk-neutrální vzhledem k P(í,T). Protože gT = P(T,T) = 1 a g0 = P(0,T), rovnice fo = 9o ■ E3 (— \9t dává /o = P(0,T)-ET(/T) (7.2) Tedy oproti peněžnímu trhuje diskontovaní (pomocí P(0, T)) mimo operátor očekávání. To zjednoduší oceňování derivátů, které závisí jen na hodnotách v čase T. 61 Necht 9 je stochastická proměnná, různá od úrokové míry. Forwardový kontrakt na 9 se splatností v čase T je definován jako kontrakt s výplatou 9T-K v čase T, kde 9T je hodnota v čase T a K je realizační cena. Necht / označuje hodnotu kontraktu. Dále máme f0 = P(0,T)-[ET(9T)-K]. Forwardová cena F je ta hodnota K, pro kterou je fo = 0. Tedy P(0,T) • [ET(0T) - F] = 0 odkud plyne F = Et(9t). Tedy forwardová cena proměnné 9 je očekávání budoucí ceny ve světě risk-neutrálním vzhledem k P (t, T). 7.3 Rozšíření Black-Scholesova modelu pro stochastickou úrokovou míru Uvažujeme evropskou call opci s časem expirace T. Podle (7.2) máme C = P(0, T) • ET[max(S'T - K, 0)], kde St je cena akcie v čase T, K je realizační cena opce. Necht R je zero rate (T-roční okamžitá úroková míra T-roční), P(0,T)=e-RT, tedy C = e-RT ■ ET[max(S'T - K, 0)]. Předpokládejme, že St je lognormální v risk-neutrálním světě vůči P (t,T) se střední směrodatnou odchylkou W. Dostaneme (jako při odvození standardního Black-Scholesova vzorce) ET[max(S'T - K, 0)] = ET(ST) ■ - K ■ $(d2), 62 kde _ \n[ET(ST)/K] + W2/2 _ \n[FT(ST)/K} - W2/2 dl ~ w ' d2 ~ w • Fit (St) je forwardová cena akcie pro kontrakt se splatností v čase T. Z neexistence arbitráže plyne, že Ft(St) = S0 ■ eRT. Celkem tedy C = So ■ - K ■ e-RT-$(d2), kde _ \n[S0/K] +RT + W2/2 _ \n[S0/K] + RT - W2/2 dl ~ w ' d2 ~ w • Platí-li W = a ■ y/T, pak dostaneme přesně Black-Scholesův vzorec s r nahrazeným R. 7.4 Oceňování derivátů úrokových měr Výplata takových derivátů závisí na úrovni úrokové míry. Oceňování je složitější než u opcí, protože - pro řadu produktů je třeba mít model, který popisuje chování celé výnosové křivky, - úrokové míry jsou použity jak pro diskontovaní, tak pro definici výplaty z derivátu. 7.4.1 Blackův model Mějme evropskou call opci na proměnnou V. Označme: 63 T čas do expirace opce F forwardová cena V na kontrakt s expirací v čase T F0 hodnota F v čase 0 (kontrakt uzavřený v čase 0) K realizační cena opce P(t,T) . cena v čase t dluhopisu vyplácejícího 1$ v čase T VT hodnota V v čase T a volatilita F Pro oceňování opce: 1. Předpokládejme, že ln Vr má normální rozdělení se střední hodnotou F0 a směrodatnou odchylkou ay/T. 2. Diskontujeme očekávanou výplatu pomocí T-roční okamžité úrokové míry (což je ekvivalentní vynásobení výplaty faktorem P(0,T)). Výplata z opce je max(Vr - K,0). Z lognormálního rozdělení dostaneme (jako u Black-Scholesova vzorce): E(max(VT - K, 0)) = E(VT) ■ - K ■ $(d2), kde E(Vt) je očekávaná hodnota VT a \n[ET(VT)/K] + a2T/2 di a T ln[ET(VT)/K] - a2T/2 r-«2 =-1=-= di — o"V 1 . a T Protože předpokládáme, že E(Vx) = Fq, máme C = P(0,T)-[F0$(d1)-K$(d2)], kde di \n[F0/K] + a2T/2 d2 = di — a\[Ť. (7.3) Podobně pro put opci: P = P(0,T) • [K $(-d2) - F0 $(-di)]. V tomto modelu nepředpokládáme geometrický Brownův pohyb pro vývoj ceny (uvolnění předpokladů Black-Scholesova modelu). 64 7.4.2 Opce na dluhopisy Některé dluhopisy mají opce "zabudované v sobě." Callable bond: dluhopis, který dovoluje firmě, která ho vydala, odkoupit jej zpátky za určenou cenu, v určených časech v budoucnosti. Tedy držitel vlastně prodává call opci na tento dluhopis firmě, která ho vydala. Na ocenění evropské call opce na dluhopis použijeme Blackův model. Předpokládejme, že cena dluhopisu v čase T je lognormální. Rovnici (7.3) můžeme použít (s Fq rovnou forwardové ceně dluhopisu Fb a o rovno forwardové volatilitě dluhopisu ob)- Dostaneme C = P(0,T) ■ [FB $(di) - K $(d2)] pro call a P = P(0,T) • [K $(-d2) - FB pro put, kde HFb/K] + aB2T/2 r- di =--=- a «2 = di — o b V 1 ■ crBVT Fb se vypočítá podle vztahu F B°~I 3 P(0,T)' kde J je současná hodnota kuponů a B0 je cena dluhopisů v čase 0. 65 Chapter 8 Numerické metody oceňování evropských opcí V této kapitole ukážeme jak oceňovat evropské opce numericky. V tomto případě máme explicitní vzorec pro jejich hodnotu a numerické metody použít nemusíme. Nicméně v případě amerických opcí nemáme jinou možnost než použít numerické metody, které jsou založeny právě na rozšíření příslušných numerických metod pro evropské opce. Tomu se budeme věnovat v následující kapitole. Black-Scholesovu rovnici nejdříve převedeme na standardní rovnici vedení tepla (viz. Stochastická analýza). Uvažujme tedy rovnici na oblasti IR x (0,T), s počáteční podmínkou (transformovanou výplatní funkcí příslušné opce) a pretransformovanými okrajovými podmínkami pro x —> ±00 (připomeňme že například pro hodnotu call opce V(S, t) platí V —> 0 pro S —> 0 a V —> S pro S —> 00). Jako první krok budeme diskretizovat oblast IR x (0,T). Zvolíme prostorový krok h > 0 a časový krok k > 0. Předpokládejme, že k = —, jinak 8.1 Explicitní metoda du d2u dt dx2 66 řečeno m je počet dělících podintervalů intervalu (0,T). V oblasti IR x (0,T) uvažujme sít mřížových bodů Xi = ih, i E Z, t j = jk, j = 0,..., m. (8-3) Aproximaci řešení v mřížovém bodě (xi,tj) označme uj, tedy uÍfau(xhtj). (8.4) Parciální derivace budeme aproximovat příslušnými diferencemi. Uvažujme Taylorův rozvoj 2. řádu v bodě (xi,tj) . Máme xi+1 — x,i = x,i — Xí_i = h, tedy du 1 d2u u(xi+1, tj) = u(xh tj) + —h + -—h2 + 0(h3) (8.5) a analogicky du. 1 d2u u(xi-utj) = u(xh tj) - —h + 7;g^2h + °(h)- (8-6) Odečtením dii • 0. To je aproximace první derivace pomocí centrální diference. Sečtením rovnic (s přidáním členů 3. řádu, které se vyruší) dostaneme po úpravě a vydělení h2 aproximaci druhé derivace g(lj)íj))„lkzM±^. (8.9) Pro časovou derivaci použijeme aproximaci pomocí dopředně diference. Máme du u(xhtj+1) = u(xl,tj) + —k + 0(k2) (8.10) Odtud du , u{+1 — u! m[Xt,t]}~ k íi_(x.>t.)«_!__L (8.11) 67 s chybou 0(k). Dosazením aproximací do rovnice vedení tepla dostaneme pro u\ rovnici u J + 1 o,Í u\ - 2u3 + u\_x s chybou 0(k + h2) pro h, k —> 0. Tedy hodnotu na časové vrstvě j + 1 lze explicitně vyjádřit pomocí hodnot na vrstvě j, uí+1 = lu\-i + (1 - 2l)uí + 7^+i, (8.13) kde 7 = A. Pro konečnost výpočtu musíme ještě omezit obor proměnné x. Zvolíme N tak velké, abychom hraniční hodnoty u3_N a u3N mohli aproximovat pomocí okrajových podmínek. Označme u3 vektor řešení na časové vrstvě j, tedy v? = (u3_N+1,..., u3_l, u3q,u\, ..., u3N_1) je vektor v M.2N~ľ. V maticovém zápisu tak dostaneme uj+i = Auj + y pro j = 0,..., m — 1, kde A je tridiagonální matice tvaru / 1 - 27 7 7 1 — 27 7 7 (8.14) (8.15) \ 7 V (8.16) 7 1 - 27 / / 7^-tv N 0 6* (8.17) 0 V 7< / Pokud platí takzvaná Courant-Lewy-Frídríchsova podmínka stability 0<7<5, (8.18) tedy k 1 / Tš * 2< (819) pak je explicitní metoda stabilní. To znamená, že přibližná řešení konvergují pro h, k —> 0 k přesnému řešení. 8.2 Metoda binomického stromu Pokud zvolíme h = V2k (8.20) bude 7 = | a člen s koeficientem 1 — 27 = 0 v (8.13) vypadne. Metoda pak má tvar = + (8-21) tedy je aritmetický průměr hodnot řešení ve vrstvě tj. Výpočet je tedy analogický oceňování opce pomocí binomického modelu, tak jak je probírán v předcházejícím textu. 8.3 Implicitní metoda V implicitní metodě pro aproximaci časové derivace namísto dopředné diference použijeme zpětnou diferenci, du u\ — u^1 — (X^tj)** - (X.>t.) «_!__!_ (8.22) s chybou 0(k). Tedy u\ splňuje rovnici u\ - uf1 u3i+1 - 2u{ + ul_t (8.23) k h2 opět s chybou O (k + h2) pro h, k —y 0. Tedy -7*4_i + (1 + 27K - 7 0. Graf ceny americké call opce tedy nikdy neprotne graf výplatní funkce opce. Na druhé straně, ukážeme že pro evropskou put opci i pro call s dividendou graf ceny protne graf výplatní funkce. VAC(S,t) > VEC(S,t) VAC(S,t) > max(St-K,0). 75 Pro evropskou put opci (bez dividendy) máme VEP(S, 0) = Ke-rTN{-d2) - SN(-d1) (10.3) tedy VEP(0, 0) = Ke-rT max(S' — K, 0) a opci budeme dále držet. Pro malou změnu času platí stejný jistící argument jako pro evropskou opci. Tedy v oblasti 0 < t < T a S < Su(t) platí Black-Scholesova rovnice. — Je-li S > Su(t), pak VAC(S,t) = max(S — K, 0) a opci uplatníme Matematická formulace vypadá následovně: Chceme najít funkci VAC(S,t) společně s funkcí Su(t) popisující hranici předčasného uplatnění, tak, aby platilo — Funkce V = VAC\S, t) splňuje Black-Scholesovu diferenciální rovnici. dV o-2 d2V dV 76 na časově proměnné oblasti 0 < t < T a S < Su(t). — jsou splněny koncové podmínky pro call opci V(S,T) = max(ST - K, 0) (10.9) jsou splněny okrajové podmínky pro americkou call opci V(0,t) = 0 (10.10) V(Su(t),t) = Su(t)-K dV (10.11) (10.12) (pro odvození třetí podmínky viz. cvičení). V další části si ukážeme jak tuto úlohu řešit numericky. 10.2 Iterační metoda řešení soustav lineárních rovnic V této části si ukážeme iterační metodu řešení systému lineárních rovnic, nazývanou SOR metoda, kterou lze adaptovat i na řešení úloh lineární komplementarity, tedy problému na který vede oceňování amerických opcí. Necht uj > 0 je zvolený parametr (tzv. relaxační parametr). Necht je rozklad matice A na diagonální část (D) a dolní a horní trojúhelníkovou matici [L a U). Chceme řešit rovnici A = L + D + U (10.13) Au = b. (10.14) To je ekvivalentní rovnici Du = Du + u(b - Au). (10.15) Z rozkladu A = L + D + U dostaneme (10.16) 77 Matice D + oj L je invertovatelná, tedy u řeší úlohu u = Tu)u + cu) (10.17) kde Tw = (D + ujL)-1((1-uj)Du-ujU) (10.18) a cw = ^(D + ujL)-1^ (10.19) Pomoci matice Tw definujeme rekurentní posloupnost přibližných řešení úlohy Au = b, u° = C (10.20) pro zvolený vektor C (např. C = 0) a ;p+1 = Twup + cw (10.21) pro p = 1,2,..., Pokud posloupnost wp konverguje k nějakému vektoru u, pak zřejmě platí u = TUJu + Cu>, (10.22) tedy -u je řešení původní úlohy Au = b. Konvergenci dostaneme pomocí Banachovy věty o kontrakci. Pokud dokážeme, že ve vhodné normě (např. spektrální, kdy je norma rovna maximu z absolutních hodnot vlastních čísel) \\TJ < 1, (10.23) pak zobrazení u —y Twu + cw (10.24) je kontrakce Platí následující věta: Věta 10.1. Pro tridiagonální diagonálně dominantní matici existuje u)q G (1,2) pro které je spektrální norma minimální, a platí |TJ|<1. (10.25) 78 10.3 Lineární komplementarita pro americké opce Pro americkou call a put opci platí parciální diferenciální nerovnost dV a2d2V , „fíV St ■ 2 3Si+ir-d>S3Š-rV^° Su(t) pak V(S,t) = max(S- K,0) = S- K (10.27) nebot Su(ť) > K. Dosazením funkce S — K do levé strany Black-Scholesovy rovnice dostaneme (r - d)S - r(S - K) = rK - dS < rK - DSu{t) < 0, (10.28) nebot platí Su(t) > Jřímax(^,l) (10.29) (dk.: cvičení). Tedy hodnota americké call opce splňuje následující úlohu lineární komplementarity dV a2 d2V dV ň + TW^-Wm-"*0 (ia30) V(S,t) > max(S- K,0) (10.31) + + (r - d)S^ - W)(V(S, t) - max(S - K, 0)) = 0 (10.32) pro S G (0, oo) a ŕ G (0,T). 10.4 Řešení úlohy o lineární komplementaritě Máme dánu matici A a vektory bag. Chceme řešit úlohu o lineární komplementaritě v diskrétním tvaru Au > 6, u > g (10.33) 79 a (Au - b)(u - g) = O, (10.34) kde všechny tři vztahy jsou chápány po složkách. Necht A je tridiagonální a diagonálně dominantní matice, tedy platí at > |A| + h\, (10.35) pro každé i, kde on jsou hodnoty na hlavní diagonále a /3j,7j hodnoty na vedlejších diagonálách. 10.4.1 Projektovaná SOR metoda V každém jednotlivém kroku přejdeme od vektoru aproximace up k up+1 tak aby platilo up+1 > g. (10.36) Pak se ukáže že limita těchto aproximací je opravdu řešení úlohy. Definujeme posloupnost aproximací řešení úlohy vztahy u° = C, up+1 = max(TUJup + cw, g), kde maximum opět bereme po složkách. Platí Věta 10.2. Pokud posloupnost up konverguje k u, pak u je řešením úlohy. Označme F(u) = max(Tw-u + cw, g). (10.38) Zřejmě F je nelineární zobrazení. Nicméně důkaz toho že je to kontrakce se redukuje na ověření stejné vlastnosti pro lineární operátor T. Věta 10.3. F je kontrakce pokud ||TW|| < 1, tedy pokud T samo o sobě je kontrakce. (10.37) 80 10.5 Numerické metody pro americké opce Chceme řešit úlohu lineární komplementarity du d2u du d2u dt dx2 > 0 (10.39) (10.40) u(x,t) -g(x,t)) > 0 (10.41) pro všechna x G IR, 0 < t < T. Funkce g(x,t) je transformovaná výplata příslušného typu opce. Provedeme diskretizaci jako v případě evropských opcí. Pro příslušné aproximace funkcí u a, g označíme v? a gi hodnoty na časové vrstvě tj, tedy u] = (uÍN+1,.. G R2N-ľ (10.42) Opět zvolíme N tak velké, abychom mohli v krajních bodech aproximovat řešení pomocí okrajových podmínek, jako u evropských opcí. Můžeme vzít = g(x-N,tj), u N g(xN,tj (10.43) protože pro velké hodnoty x je okrajová podmínka přibližně rovna příslušné počáteční podmínce. Pak diskrétní verze úlohy o lineární komplementaritě má vektorový tvar Auj+1 >u3 +b>, (Au3+l -b)i(u 9 j = 0,...,m- 1 J+1\ = 0, (10.44) (10.45) pro všechna i = 1,..., 2N — 1. Matice A je stejná jako u implicitní metody pro evropské opce, tedy tridiagonální matice tvaru / 1 + 27 7 \ 7 i + 27 7 A 7 7 (10.46) 7 i + 27 / ( ig(x-n,tj+i) \ o (10.47) \ jg(xN,tj+1) J Řešení najdeme opět pomocí projektované SOR metody. 82 10.6 Příklady Příklad 70. Najděte hodnotu americké call opce s dividendovým výnosem 3% ročně. Volatilita akcie je 0.3, úroková míra je 5% ročně, čas expirace je 0.5 roku. Realizační cena Ä' = 15 Kč je rovna současné ceně akcie. Příklad 71. Najděte hodnotu americké put opce na akcii bez dividendy, je-li volatilita akcie je 0.15, úroková míra je 8% ročně, čas expirace jsou 4 měsíce, realizační cena je K = 50 Kč a současná cena akcie je 45 Kč. Příklad 72. Odvoďte okrajovou podmínku pro derivaci ceny americké call opce v bodě uplatnění (podmínka (10.12)). Příklad 73. Platí pro americké opce vždy put-call parita? Ilustrujte svoji odpověď na příkladu. Příklad 74. Jakým způsobem závisí hodnota hranice předčasného uplatnění na čase? Je to rostoucí nebo klesající závislost? 83 Chapter 11 Pravděpodobnostní rozdělení se silnými chvosty V této kapitole se budeme věnovat distribucím se silnými chvosty. V Black-Scholesově modelu je předpoklad normality rozdělení zdůvodněn zejména centrální limitní větou. Připomeňme, že Black-Scholesův model má tři základní předpoklady: • lognormální rozdělení cen podkladového aktiva • spojitost trajektorií cen aktiva • nezávislost přírůstků cen za disjunktní časové intervaly Na druhé straně, empirické výsledky ukazují odchylky od těchto předpokladů: • silné chvosty pravděpodobnostních rozdělení • skoky v cenách aktiv (při příchodu důležité informace, při přerušení obchodování, ...) • krátkodobé korelace v pohybech cen (do cca 30 minut) 11.1 Charakterizace chvostů distribucí Jedním ze způsobů jak kvantitativně sílu chvostu charakterizovat je pomocí existence nebo neexistence momentů. Připomeňme, že k-tý obecný moment 84 je definován jako mk = I x"f(x)dx, (11.1) kde f(x) je hustota příslušné náhodné veličiny. Pokud m k existuje, tedy integrál je konečný, pak musí platit f(x) < —!— (11.2) \x n+ pro \x\ —> oo. Pravděpodobnostní rozdělení se řídí tzv. mocninným zákonem, jestliže platí pro \x\ —> oo (tedy limita podílu obou stran je rovna jedné). V tom případě je zřejmě pro k > n nik = oo. (11-4) Speciálně pro n < 2 distribuce nemá konečný rozptyl. Zřejmě musí vždy být n > 0, jinak by integrál z f(x) divergoval. 11.2 Charakterizace pomocí funkce přežití Připomeňme, že funkce přežití Sx{x) náhodné veličiny X je definována jako pravděpodobnost, že X je větší než x, tedy Sx(x) = P(X >x) = l- Fx(x). Pro relativní míru síly chvostu, řekneme že X\ má lehčí chvost než X2 pokud podíl funkcí přežití X\ a X2 diverguje do nekonečna, tedy i- ^i lim —— = oo. Pomocí ĽHospitalova pravidla můžeme vypočet limity redukovat na vztah pro hustoty náhodné veličiny, lim = lim —y1- = 85 = lim {Xl. x^°° -Jx2 11.3 Charakterizace pomocí funkce rizika Připomeňme, že funkce rizika (hazard rate function) hx{x) náhodné veličiny X je definována jako podíl hustoty a funkce přežití, tedy hx{x) S{x)' Chování funkce rizika také úzce souvisí s chováním chvostů pravděpodobnostního rozdělení. Je-li funkce rizika pravděpodobnostního rozdělení rostoucí, má rozdělení lehké chvosty. Je-li klesající, pak má těžké chvosty. Obecně samozřejmě nemusí být ani rostoucí ani klesající, ale pro standardní rozdělení používaná v praxi tomu tak bude. Hraničním případem je exponenciální rozdělení, pro které je funkce rizika konstantní. Příklad 75. Jako příklad uveďme Paretovo rozdělení s parametry a, b, tedy s hustotou f(x) = aba(x + b)-a-\ Funkce přežití je rovna S(x) = ba(x + b)-a. Celkem tedy aba(x + 6)_íl_1 a h(x) — — ba(x + b)-a x + b což je zřejmě klesající funkce. Toto rozdělení má tedy těžké chvosty. Analogicky je možné charakterizovat chování chvostů pomocí funkce očekávané ztráty. Ta je definovaná vztahem ex(y) = E(X-y\X>y). Pokud je tato funkce klesající, má rozdělení těžký chvost, pokud je rostoucí, má lehký chvost. 86 11.4 Stabilní distribuce Lévyho rozdělení je speciální případ mocninného zákona, které má navíc vlastnost stability. Objevuje se proto v obecné verzi centrální limitní věty. Používají se při popisu "víceúrovňových jevů", jako je velikost příjmu, amplituda zemětřesení, atd. Označme L^(x) hustotu Lévyho rozdělení s parametrem fi, kde fi G [1, 2]. Platí kde A± jsou konstanty popisující přesnou sílu pravého a levého chvostu. Pokud platí A^ = At, (11.6) pak mluvíme o symetrickém Lévyho rozdělení. Obecné Lévyho rozdělení pak charakterizuje ještě parametr asymetrie R = + ~ (117) S výjimkou případu krajních hodnot a fi = | neexistuje pro hustotu analytické vyjádření. Jednoduchý popis ale existuje pro charakteristickou funkci. Pro krajní hodnoty parametru dostaneme nejdříve pro fi = 1 Cauchyho rozdělení s hustotou Pro charakteristickou funkci máme obecně následující popis, LM(0=exp(-aM|er), (11.9) kde aM je konstanta úměrná konstantě A^. V limitě pro fi = 2 dostaneme Gaussovo rozdělení, pro které L2(0 = exp(-<2). (11.10) Pokud součet n náhodných veličin se stejným rozdělením má opět totéž rozdělení, pak mluvíme o stabilní distribuci. Tato vlastnost je velmi silná a 87 vzácná. Stabilními distribucemi jsou právě Lévyho distribuce (včetně limitního případu Gaussovy distribuce). Lévyho distribuce má také vlastnost nekonečné dělitelnosti, jak uvidíme dále. 11.5 Limitní rozdělení V obecné verzi centrální limitní věty, bez předpokladu konečnosti rozptylu, hrají stabilní distribuce zcela analogickou roli jako Gaussovo rozdělení hraje v klasickém případě. Stabilní distribuce, tedy Lévyho a Gaussova (jako limitní případ), jsou z definice pevnými body konvoluce. Pro jejich hustoty tedy platí, symbolicky zapsáno, /*/ = /• (11-11) Navíc ale také fungují jako "atraktory" pro konvoluci. Libovolná distribuce při velkém počtu nezávislých sčítanců s tímto rozdělením konverguje ke stabilnímu rozdělení. To je obsah Centrální limitní věty. Pro IID náhodné veličiny s konečným rozptylem platí standardní Centrální limitní věta, limitní distribucí je Gaussovo rozdělení. Věta 11.1. NechiXi, i = 1, 2,...; je posloupnost nezávislých stejně rozdělených náhodných veličin s hustotou pravděpodobnosti f, kde f E C2(IR). Necht E (Xi) = 0 a E(Xf) = 1. Pak hustota pravděpodobnosti X\ + • • • + Xn y/ň se blíží k hustotě standardizovaného normálního rozdělení, t.j. Pr\a< -=- < b\ —> —= e * dx y/ň yľh^Ja pro n —y oo. Důležité při aplikaci této věty je mít na paměti, že chvosty součtu se mohou velmi lišit od chvostů normálního rozdělení. CLV dává aproximaci v 88 centrálni oblasti, o chování chvostů neříká nic. Chvosty konečného součtu jsou kvalitativně stále stejné jako pro jednotlivé sčítance. Poznamenejme, že tato verze CLV platí v daleko větší obecnosti. Na místo nezávislosti stačí předpokládat že korelace Xi a Xj klesají dostatečně rychle pro \i — j\ —> oo . Podobně lze oslabit i předpoklad stejného rozdělení. Stačí, aby rozptyly jednotlivých Xi si byly "dostatečně podobné". S vlastností atraktoru pro operaci konvoluce normálního rozdělení souvisí další významná vlastnost normálního rozdělení. Mezi všemi distribucemi s daným konečným rozptylem má normální rozdělení nejmenší Shannonovu informační entropii. Ta měří informační obsah daného pravděpodobnostního rozdělení, nej větší je pro konstantní náhodnou veličinu, kdy hodnotu známe s jistotou. Shannonova informační entropie je definována jako Minimalizace entropie těsně souvisí s tím že při sčítání náhodných veličin ztrácíme informaci. Z hodnoty součtu nemůžeme zjistit téměř nic o hodnotách jednotlivých sčítanců Pokud uvažujeme posloupnost IID náhodných veličin s mocninným zákonem s parametrem fi < 2, tedy s nekonečným rozptylem, pak limitní distribuce je Lévyho distribuce. 11.6 Lévyho procesy V této kapitole se budeme zabývat širokou třídou procesů, které poskytují přirozené zobecnění Wienerova procesu. Jejich hlavní výhodou je fakt že dovolují do pravděpodobnostního popisu vývoje cen aktiv zahrnout skoky a také rozdělení se silnými chvosty. Obě tyto vlastnosti jsou klíčové pro věrohodnost modelu. Definice 11.2. Adaptovaný stochastický proces X se nazývá Lévyho proces, jestliže platí: (11.12) 1. Xi o — 0 89 2. X má přírůstky nezávislé na minulosti, tedy Xt — Xs je nezávislé na hodnotách procesu do času s 3. X má stacionární přírůstky, tedy Xt — Xs má stejné rozdělení jako Xt-s- 4. X je stochasticky spojitý, tedy pro každé e a t > 0 platí Um P(\Xt+h - Xt\ >e) =0 (11.13) Věta 11.3. Necht X je Lévyho proces. Pak existuje jednoznačně určená funkce ip tak, že xAZ) = et*® (H.14) Funkce z předchozí věty se nazývá Lévyho exponent. Definice 11.4. X je nekonečně dělitelná náhodná veličina, jestliže pro každé N existují stejně rozdělené nezávislé náhodné veličiny Xi,... ,Xn tak, že X = X1+X2 + --- + XN. S využitím charakteristické funkce můžeme otázku dělitelnosti převést na problém kdy je (ipx)^ charakteristická funkce nějakého pravděpodobnostního rozdělení. Věta 11.5. Necht X je Lévyho proces. Pak Xt je nekonečně dělitelné pro každé t a platí xt(o = (xAor (11-15) Příklad 76. V případě Wienerova procesuje Lévyho exponent zřejmě roven 0xt(O = e-i(^ (11-16) tedy m = -j (11-17) Pro Wienerův proces s driftem a a volatilitou b dostaneme b2r 0 platí m(cX) = cm(X) (homogenita) 4. pro libovolnou konstantu c > 0 platí m(X + c) = m(X) (invariance na posunutí). Uveďme několik poznámek k jednotlivým vlastnostem. 1. vlastnost, subaditivita, říká, že riziko vzniklé zkombinováním dvou aktiv nemůže být větší než obě rizika dohromady. Volně řečeno, diverzifikace 91 nemůže nikdy zvyšovat riziko. 2. vlastnost, monotonost, znamená že pokud je ztráta z jednoho aktiva za všech okolností větší než z druhého, pak toto aktivum má nutně větší riziko. 3. vlastnost, homogenita říká že míra rizika nezávisí na jednotkách ve kterých riziko měříme. 4. vlastnost, invariance na posunutí lze interpretovat tak, že riziko zůstává stejné pokud přidáme aktivum které neobsahuje žádnou nejistotu. Jak jsme se již zmínili, SSO není koherentní mírou rizika (viz. příklad níže). Jak uvidíme v další části, často používaná veličina Value-at-Risk (VaR) také nedává koherentní míru rizika. 12.2 Value-at-Risk Obecně řečeno, hodnota Value-at-Risk popisuje vystavení riziku tak, že udává množství kapitálu které je potřeba abychom se s jistou danou vysokou pravděpodobností (např. 0,995) nedostali do platební neschopnosti. Definice 12.1. Uvažujme náhodnou veličinu X měřící naši možnou ztrátu. Hodnota Value-at-Risk na úrovni 100p%, označovaná jako VaRp(X) je definována jako lOOp percentil rozdělení veličiny X. Jinak řečeno, je to taková hodnota, pro kterou platí P(X > VaRp(X)) = l-p. Jak ukážeme v následující části, přes značnou oblibu VaR neposkytuje koherentní míru rizika. V následující podkapitole budeme definovat přirozenější míru rizika, která má již všechny požadované vlastnosti. 12.3 Tail-Value-at-Risk Definice 12.2. Uvažujme náhodnou veličinu X měřící naši možnou ztrátu. Tail-Value-at-Risk (TVaRp) náhodné veličiny X na úrovni 100p% je defi- 92 nován jako očekávaná ztráta za podmínky že ztráta překročila lOOp percentil rozdělení X. Tail-Value-at-Risk můžeme tedy zapsat takto: TVaRp(X) = E(X\X > VaRp) a TVaRp(X) Jy xf(x)dx 1 - F(VP) kde Var, Dále integrací per partes dostaneme vztah TVaRp(X) J™VaRu(X)du 1 — p 12.4 Příklady nekoherence V této části ukážeme dva příklady, které demonstrují že dvě v praxi nejčastěji používané hodnoty k měření rizika, SSO a VaR, nesplňují požadavky na koherenci, zformulované v předchozí podkapitole. První příklad se týká VaR. Příklad 77. Uvažujme náhodnou veličinu X, jejíž distribuční funkce nabývá následující hodnoty: tedy 96 procentní kvantil je roven 100. Uvažujme dále rozklad této náhodné veličiny na dvě části, Z a, Y (nikoliv nezávislé), tedy X = Y + Z, definované následovně F* (1) = 0,95 FA-(100) = 0,96 Fy (110) = 0,99, 93 Y X pokud X < 110 0 pokud X > 110 0 pokud X < 110 X pokud X > 110 Máme tedy X = Y + Z. Distribuční funkce pro náhodnou veličinu Y splňuje FY(1) = 0,96 Fy(100) = 0,99 Fy(110) = 1. Je tedy Analogicky platí VaR9e%(Y) = 1. Fz(0) = 0.99 je tedy 99% pravděpodobnost žádné ztráty. Odtud plyne, že 96% kvantil musí splňovat VaR9e% (Z) < 0. Celkem dostáváme, že součet 96% kvantilů veličin Y a, Z ]e menší než 96% kvantil veličiny X, tedy subaditivita je porušena. V dalším příkladu ukážeme že ani SSO nesplňuje všechny předpoklady koherence. V tomto případě bude porušena monotonie Příklad 78. Uvažujme dvojici náhodných veličin (X, Y) popisujících naši ztrátu. S pravděpodobností 0,5 nabývají hodnoty (0,10) a s pravděpodobností 0,5 nabývají hodnoty (10,10). Zřejmě ve všech scénářích platí X(uj) < Y(uj). Na druhé straně ale náhodná veličina Y má nulovou SSO, zatímco X má SSO větší než nula. Je tedy a(X) > a(Y) a monotonie je porušena. 94 Chapter 13 Rozdělení extrémních hodnot 13.1 Maxima náhodných veličin Uvažujme posloupnost nezávislých realizací stejné náhodné veličiny. V analýze rizika je klíčové znát rozdělení, které má maximální pozorovaná hodnota mezi prvními n realizacemi. V praxi může jít o maximální pokles hodnoty finančního aktiva, největší škodu při automobilové havárii, atd. Ze zákona velkých čísel plyne, že jev který má pravděpodobnost q se při n pozorováních objeví v průměru nq krát. Heuristicky se tedy dá říct, že při n pozorováních očekáváme se setkat s událostmi, jejichž pravděpodobnost je alespoň K Řádově by tedy pro maximální hodnotu pozorovanou do n-té realizace mělo platit kde F je příslušná distribuční funkce dané náhodné veličiny. Abychom získali přesnější představu o rozdělení maximální hodnoty, uvažujme náhodnou veličinu 1 n Distribuční funkci 95 získáme snadno. Maximum je menší než y právě tehdy když jsou všechny pozorované hodnoty menší než y. Z nezávislosti tedy máme Fmax(y)=F(y)n. Pro velké hodnoty n můžeme použít aproximaci Fmax(y) = (l-F(y))n^e-nF^ kde F(y) = l-F(y) = P(X>y). Z tohoto vztahu můžeme získat například pravděpodobnost kvantilu F (Qi) = -, max \ v — / ^7 tedy ,^ \ ln4 FmaxiQl) = 1 - (-)n ~ -• 4 A n Obecně pak budeme mít Fmax(Qi) = 1 - Pn Tedy hodnota Mmax pro kterou platí i ln p n bude přibližně rovna F(Admax) ~ . n 1 p pa - pa 0,37. e Jinak řečeno, pravděpodobnost, že Mmax bude ještě větší je asi 0,63. Kdybychom tedy například chtěli odhadnout největší denní ztrátu S příští rok s pravděpodobností 99%, dostaneme F (S)~-HOm) 1 max \ ) ~ kde F je distribuční funkce denních změn ceny a 252 je počet obchodních dnů. 96 Důležité je, že pro velké hodnoty n závisí rozdělení maxima pouze na asymptotickém chování původního rozdělení pro x —> oo. Například, je-li rozdělení exponenciální, tedy F(x) e pak platí M, ln n max a a vypočteme rozdělení okolo maximální hodnoty. To je dáno Gumbelovým rozdělením Jeho nejpravděpodobnější hodnota je 0. V tomto případě je tedy hodnota Mmax nejpravděpodobnější hodnotou maxima. 13.2 Gumbelovo rozdělení Obecně je distribuční funkce tohoto rozdělení definována vztahem Go^e(x) = exp(-exp(-^y^)), kde /i je parametr polohy a 9 je parametr měřítka. Normovanou distribuční funkci Gumbelova rozdělení dostaneme pro /i = 0 a 9 = 1, tedy /(*) = e e-1 -í e . G o (x) = exp(— exp(—x)). 13.3 Fréchetovo rozdělení Distribuční funkce tohoto rozdělení je Gi^eix) = exp(-( x — /i 9 97 kde /i je parametr polohy, 9 je parametr měřítka a a je parametr tvaru. Fréchetovo rozdělení je definováno pouze pro hodnoty x > /i. Jeho normalizovaná verze má tvar Gi,a{x) = exp(—x~a). 13.4 Weibullovo rozdělení V obecném případě máme pro toto rozdělení distribuční funkci kde /i je parametr polohy, 9 je parametr měřítka a a je parametr tvaru. Weibullovo rozdělení je naopak definováno pouze pro hodnoty x < /i. Normalizovaný tvar Weibullova rozdělení pak bude G2,a(x) = exp(-(-x)~a)). 13.5 Zobecněné rozdělení extrémních hodnot Toto rozdělení obsahuje předchozí tři rozdělení jako speciální případy. Normovaná distribuční funkce tohoto rozdělení je dána vztahem F(x) = exp(-(l + ^)-a), neboli Gj(x) = exp (1 + jx)~^ , V limitě pro 7—^0 dostaneme v exponentu e~x, tedy Gq je normalizované Gumbelovo rozdělení. 13.6 Stabilita Uvažujme nejdříve Gumbelovo rozdělení. Zřejmě platí Gq(x + lnn)n = exp(—n exp(—x — ln n)) = 98 exp(— exp(—x)) = Go(x), neboli G0(x + lnn)n = G0(x). Odtud plyne, že rozdělení maxima n pozorování z normalizovaného Gum-belova rozdělení má stále Gumbelovo rozdělení, pouze s posunutým parametrem měřítka o \nn. Pro obecnou situaci s libovolnou polohou a měřítkem dostaneme Go,^e{x)n = G0(—0^~)n x-fi x-fi-0\nn = °oy—0--lnn) = Go(-q-) = Go(^) kde — ^0^*^(1), //=// + 0 ln 0. Stejná vlastnost platí i pro Fréchetovo rozdělení. Pro normalizovanou verzi mame neboli G\,a{n<*x)n = exp (^—n(n<*x) = exp(—x~a) = Gita(x), Gi)0!(x)n = Gi)0!(xn~~). Odtud plyne že rozdělení n maxim z normalizovaného Fréchetova rozdělení má samo také Fréchetovo rozdělení, jenom se změněným měřítkem. Pro obecný tvar dostaneme GitoL^e{.x)n — Gi)a(———) — Gi^/j,fl*(x), dna kde 99 EV rozdělení jsou tedy stabilní vůči maximům. Jak ukážeme dále rozdělení maxim velké většiny rozdělení konverguje pro n —> oo právě k takovému EV rozdělení. Tato rozdělení tedy hrají pro maxima zcela analogickou roli jako hraje normální rozdělení pro součty, podle Centrální limitní věty. 100 Chapter 14 Konvergence rozdělení maximálních hodnot Tvrzení zformulované na konci minulé kapitoly formalizuje následující věta Fischer - Tippetova. Věta 14.1. Nechi pro distribuční funkci F daného rozdělení má nedegenerovanou limitu pro n —> oo pro nějaké konstanty an, bn. Pak pro n —> oo, kde G je jedno z EV rozdělení pro nějakou hodnotu parametrů polohy a měřítka. Jako příklad uvažujme exponenciální rozdělení. Zvolíme-li konstanty an = l, bn = \nn, pak dostaneme a. •n P(X < anx + bn)n = P(X < x + lnn) n 101 exp(—x) n 1 — exp(—x — In n) n (1 n což konverguje pro n —> oo k exp (— exp (—x)) Limitní rozdělení maxim exponenciálního rozdělení pro vhodně zvolené normovači konstanty je tedy Gumbelovo rozdělení. V této části se budeme zabývat otázkou jak poznat pro dané rozdělení že jeho maxima lze asymptoticky popsat Gumbelovým nebo Fréchetovým rozdělením. V případě Fréchetova rozdělení je popis celkem jednoduchý. 14.1.1 Oblasti přitažlivosti pro Fréchetovo rozdělení Oblastí přitažlivosti pro danou stabilní distribuci G rozumíme množinu všech rozdělení takových, že normalizovaná maxima konvergují k tomuto rozdělení. Taková vlastnost by zřejmě měla záviset pouze na vlastnostech chvostů těchto rozdělení. Následující věta to potvrzuje. Věta 14.2. Pravděpodobnostní rozdělení patří do oblasti přitažlivosti dané EV rozdělením G i, s normalizačními konstantami an, bn, právě tehdy, když platí Příklad 79. Uvažujme normalizované exponenciální rozdělení. Pro normalizační konstanty CLfi — 1 cl bn = ln n dostaneme pro maximum 14.1 Oblasti přitažlivosti lim nS(anx + bn) \tlGí(x). n ■oo nS(x + bn) nP(X > x + lnn) = n exp(—x — lnn) nexp(—x — lnn) = exp(—x) ln Gq(x) 102 Tedy pro tyto normalizační konstanty je limitním rozdělením Gumbelovo rozdělení. V následující větě zformulujeme podmínku pro to, aby normalizovaná limitní distribuce maxima bylo Fréchetovo rozdělení. Definice 14.3. Funkce f(x) je pomalu se měnící v nekonečnu, pokud platí pro x —> oo f(tx) « f(x) pro všechna t > 0. Věta 14.4. Pokud má dané pravděpodobnostní rozdělení chvost splňující S(x) « T(x)x~a, kde T{x) je pomalu se měnící funkce, pak patří do oblasti přitažlivosti Fréchetova rozdělení. Následující postačující podmínku formuloval Von Mises. Věta 14.5. Necht pro pravděpodobnostní rozdělení platí xf(x) lim = a > 0. Pak toto rozdělení patří do oblasti přitažlivosti Fréchetova rozdělení. Příklad 80. Uvažujme nyní Paretovo rozdělení s parametrem a = — 1, tedy s funkcí přežití x + b b s normovacími konstantami an = bn a bn = 0. Pak maximum má v limitě Fréchetovo rozdělení. 103 14.1.2 Oblasti přitažlivosti pro Gumbelovo rozdělení Charakterizace rozdělení která patří do oblasti přitažlivosti Gumbelova rozdělení není tak jednoduchá jako pro Fréchetovo rozdělení. Obecně řečeno sem patří rozdělení které mají lehčí chvosty než mocninné. Speciálně, taková rozdělení musí nutně mít momenty všech řádů. Patří sem například Gamma rozdělení, exponenciální, lognormální. Chování chvostů jsou ale značně různá, patří sem jak normální rozdělení s lehkým chvostem, tak inverzní Gaussovo rozdělení s relativně těžkým chvostem. Jako hlavní nástroj popisu oblasti přitažlivosti se používají tzv. Von Misesovy funkce. Definice 14.6. Necht F je distribuční funkce náhodné veličiny X. Předpokládejme, že existuje z E R takové, že S(x) lze zapsat ve tvaru pro nějakou kladnou konstantu K a funkci a(t), která je kladná a absolutně spojitá, s derivací a'(x), pro kterou platí Pak F se nazývá Von Misesova funkce, s doprovodnou funkcí a. Základní vlastnosti shrnuje následující věta Věta 14.7. Von Misesova funkce je absolutně spojitá s hustotou f. Doprovodnou funkci můžeme zvolit ve tvaru lim a'(x) = 0. x ■oo Dále platí Zřejmě je a-\X) 104 rovno funkci rizika. Následující věta dává postačující podmínku pro to aby rozdělení patřilo do oblasti přitažlivosti Gumbelova rozdělení. Věta 14.8. Nechi distribuční funkce náhodné veličiny F je Von Misesova funkce. Pak tato náhodná veličina patří do oblasti přitažlivosti Gumbelova rozdělení. Pro úplnou charakterizaci musíme zobecnit tvar Von Misesovy funkce. Věta 14.9. Distribuční funkce F patří do oblasti přitažlivosti Gumbelovy distribuce právě tehdy když můžeme S(x) zapsat ve tvaru '* b{t) S{x) = K{x) exp ^— J dt a(ť) kde K a b jsou měřitelné funkce splňující lim K(x) = K > 0 lim b(x) = 1 a a(t) je kladná a absolutně spojitá funkce s hustotou a!(x), pro kterou platí lim a'(x) = 0. x—>oo Za normalizační konstanty můžeme vzít 1 dn = F(l--), cn = a(dn). n Dále můžeme vzít r s(t), a{X) = Jx W) Analogicky jako u Von Misesovy funkce, funkce a se nazývá doprovodná funkce k funkci F. Funkce a(x) je definována jako a(x) = E(X — x\X > x), jde tedy o ztrátovou funkci. 105 Chapter 15 Optimální jištění opční pozice V této části se budeme zabývat otázkou jak provést prakticky optimální zajištění opční pozice, bez zjednodušujících (a leckdy nereálných) předpokladů Black-Scholesova modelu. 15.1 Statické zajištění Uvažujme investora který v čase t = 0 upsal jednu evropskou call opci a chce zajistit tuto pozici. Předpokládejme že (například z důvodu velkých transakčních nákladů) má možnost provést jen jednou, hned na začátku, nákup určitého množství podkladového aktiva. Označme toto množství A. Našim cílem je najít optimální hodnotu A která bude minimalizovat investorovo riziko. Celková bilance zisku pro investora je rovna AB = C - max^n - K, 0) + A ASk- k kde ASk = Sk- Sk-i Pokud je očekávání přírůstků ceny aktiva rovno nule, t.j. E(ASk) = 0 pro všechna k, pak dostaneme pro rozptyl konečného zisku investora V = AS2 - (AS)2 106 vztah V = nDAtA2 - 2A(Sn - S0) max((Sn - K, 0) + V0, kde Vq je riziko samotné nekryté opce, tedy V0 = E(max((Sn - K, O)2) - E(max((Sn - K, O))2 Dostali jsme tedy jednoduchou kvadratickou závislost rizika na hodnotě A. Snadno tedy najdeme optimální hodnotu A která minimalizuje riziko, derivováním rovnice podle A. Dostaneme DAtn jK A = —— / (S - K)(S - S0)P(S\S0)dS. Pokud by pravděpodobnostní rozdělení hodnot aktiva bylo normální, pak lze integrál explicitně vypočíst. Dostaneme zajímavý výsledek, totiž hodnota A bude přímo rovna pravděpodobnosti že opce bude uplatněna, A= P(S\S0)dS. J K V další části budeme uvažovat investora který má možnost provádět dynamický (ale samozřejmě diskrétní) jištění. 15.2 Dynamické jištění opční pozice Uvažujme investora který provádí dynamické jištění v časech t = 0,1,... n. Množství aktiva které bude držet v čase k označíme A^. Závisí jak na čase tak na současné dosažené ceně aktiva. Celková bilance zisku investora bude rovna AB = C(l + r)n - max((Sn - K, 0)) + ^ Ak{Sk) ASk. k Stejně jako v předchozím případě vypočteme celkové riziko, které je opět kvadratickou funkcí hodnot Ak. Konstantní členy pro optimalizaci uvažovat 107 nemusíme. Dále budeme předpokládat, že přírůstky jsou nekorelované, tedy platí E(ASkASj) = 0 pro k ý j- Lineární a kvadratická část nám dává E(Al)Ek(ASk) - 2 Ek(AkASk max(Sn - K, 0)), k k kde očekávání Ek bereme podmíněné informacemi dostupnými v čase k. Uvažujme pravděpodobnostní rozdělení v jednotlivých časech t = k. Opět chceme minimalizovat riziko vzhledem k hodnotám Ak. Dostaneme tak 1 f°° M*) = ň / E(ASk)(s,k)^s',n)(S' - K)P(S',n\S,k)dS. kde D = Ek{ASl) 108 Bibliography [1] Hull J. C: Options, Futures and Other Derivatives, Prentice Hall 2012 [2] Melicherčík L, Olšarová L., Úradníček V.: Kapitoly z finančnej matematiky, EPOS Bratislava 2005 [3] Bouchaud P., Potters, M.: Theory of Financial Risk and Derivative Pricing: From Statistical Physics to Risk Management, Cambridge University Press 2003 [4] Willmott P., Howison S., Dewynne, J.: The Mathematics of Financial derivatives, A Student Introduction, Cambridge University Press 1996 [5] Klugman S., Panjer H., Willmot C: Loss Models: From Data to Decisions, Wiley 2006 [6] Ševčovič D., Stehlíková B., Mikula K.: Analytické a numerické metódy oceňovania finančných derivátov, Slovenská technická univerzita 2009 [7] Etheridge A.: A Course in Financial Calculus, Cambridge University Press 2002 [8] Baxter M., Rennie A.: Financial Calculus: An Introduction to Derivative Pricing, Cambridge University Press 1996 [9] Wilmott P.: Paul Wilmott on Quantitative Finance, 3 Volume Set, Wiley 2006 [10] Wilmott P.: Frequently Asked Questions in Quantitative Finance, Wiley 2007 109 Černý A.: Mathematical Techniques in Finance: Tools for Incomplete Markets Princeton University Press 2009 Bachelier L.: Louis Bachelier's Theory of Speculation: The Origins of Modern Finance, translated and commented by Davis and Etheridge, Princeton University Press 2006 110