2. vnitrosemestrální písemka - MIN101 - podzim 2019 - 26. 11. Veškeré odpovědi musí být zdůvodněny a výpočty musí být doprovozeny komentářem. (Řešení sestávající pouze z odpovědí budou považována za opsaná a hodnocena 0 body.) 1. (1 bod) Mějme matici A s parametry a,b,c G IR, a) Určete parametry a, b, c tak, aby řádky této matice tvořily ortogonální bázi IR3. b) Určete parametry a, b, c tak, aby matice A měla vlastní vektor w = (1, 0,2) a zároveň měla nulový determinant. c) Rozhodněte, zda existují parametry a, b, c takové, že homogenní soustava rovnic s maticí A má dvoudimenzionální prostor řešení. 2. (1 bod) Nechť ip je lineární zobrazení prostoru IR3 do sebe, které je symetrií podle přímky p (tj. osová symetrie), přičemž přímka p prochází počátkem a má směrový vektor (3, 0,-1). Určete matici zobrazení ip ve standardní bázi. 3. (1 bod) Mějme lineární zobrazení ip : Rľ[x] —> M^x] a ip : M^x] —> Mi[x] zadané předpisy pro p(x) G Mi[rr] a q(x) G Ma[rr]. Zde q"(x) označuje druhou derivaci polynomu q{x). Dále uvažme lineární zobrazení a) Určete f\(ax + b) a f'2(ax3 + bx2 + cx + ď). b) Určete matici zobrazení /2 v bázi a = (x3,x2,x, 1) prostoru B^rc]. b) Určete vlastní čísla f'2 a najděte nějakou bázi Ms[x] složenou z vlastních vektorů fi- (p{p{x)) = (x2 + 1) • p(x) a ip(q(x)) = q"(x) ^■^ipo^-.R^xl-^R^x] a f2 := poý : R3[x] ^R3[x]. Řešení a bodování a) [0.3 bodu] Označme řádky matice v\ (první řádek), v2 (druhý řádek) a f3 (třetí řádek). Podmínka ortogonality znamená {v\,v2) = l+ 2a = 0, (v1, v3) = c + 6 = 0, (v2, v3) = c + 3a + b = 0, [0.1b za úvahu]. Tato soustava rovnic má řešení a = — ^, b = ^ a c = —6, [0.2b]. b) [0.5 bodu] Vektor w je vlastní, jestliže Aw = Xw, tj. \ A\ [0.1b], pro nějaké Ael. Tři složky poslední rovnosti jsou A = 1, l + 26 = 0ac + 2 = 2A. Tedy w je vlastní vektor pro vlastní číslo A = 1, což znamená b = — | ac = 0 (pro libovolné a E R), [0.2b]. Pro tyto hodnoty parametrů spočteme determinant n \ = a-i [0.1b]. \U O LI Tedy a=\, [0.1b]. c) [0.2 bodu] Tato soustava rovnic má dvoudimenzionální prostor řešení právě, když má matice A hodnost jedna, tj. lze ji řádkovými elementárními úpravami převést na matici, kde jsou dva řádky nulové. Spočteme /l 2 0\ /l 2 0^ A = [í a 6 ~ 0 a-2 b \c 3 1/ \0 3-2c 1, tedy druhý řádek je nulový pro volbu a = 2 a b = 0, nicméně třetí řádek je vždy nenulový. Parametry a, b, c tedy nelze zvolit tak, aby soustava měla dvoudimenzionální prostor řešení, [0.1b za úvahu a 0.1b za správně zdůvodněnou odpověď]. [1 bod] Označme v\ = (3, 0, —1) směrový vektor přímky p a dále zvolíme dva vektory kolmé k v\\ např. t>2 = (1, 0, 3) a v3 = (0,1, 0), [0.2b za výběr vhodné báze]. V bázi a = (t>i, t>2, ^3) má zobrazení ip matici [0.2b]. Použijeme vztah (f)c,c = (id)c,a ■ (f)a,a ■ (iď)a,e, [0.1b], kde pro matici (iď)£,a máme (id)e,a = [0.1b]. Matice (iď)ae se určí jako matice inverzní k matici (iď)ea, [0.1b za úvahu], tj. -2- 0 10 u {iď)a,t = {{iď)t,a) = \ TÔ 0 0 1 [0.1b]. Celkem dostaneme = I o [0.2b]. 3. a) [0.2 bodu] Platí fi(ax + b) = ({x2 + í)(ax + b))" = (ax3 + bx2 + ax + b)" = 6ax + 2b, [0.1b] f2(ax3 + bx2 + cx + d) = (x2 + í)(6ax + 2b) = 6ax3 + 2bx2 + 6ax + 2b, [0.1b]. b) [0.2 bodu] Mánie f2(x3) = 6x3 + 6x, /2(a;2) = 2x2 + 2, f2(x) = 0 a /2(1) = 0, tedy hledaná matice je /6 0 0 0\ 0 2 0 0 [02bl 6 0 0 0' [U J' \0 2 0 0/ b) [0.6 bodu] Toto lze spočíst pomocí vlastních čísel a vektorů matice z části b), nicméně rychlejší pracovat přímo s předpisem f2{ax3 + bx2 + cx + ď) = 6ax3 + 2bx2 + 6ax + 2b. Zejména f2(x) = 0 a /2(1) = 0 znamená, že polynomy x a 1 jsou vlastní vektory příslušející vlastnímu číslu 0, [0.2b]. Dále si všimneme, že f2(x3 + x) = 6(x3 + x) a f2(x2 + 1) = 2(x2 + 1), tj. x3 + x je vlastní vektor příslušející vlastnímu číslu 6 a x2 + 1 je vlastní vektor příslušející vlastnímu číslu 2, [0.3b]. Tedy báze z vlastních vektorů je a = (í,x,x2 + í,x3 + 1), [0.1b].