Obsah
Předmluva 2
2 Lineární algebra 3
3 Polynomy, racionální lomené funkce a parciální zlomky 5
4 Vlastnosti funkce a jednoduché limity 6
5 Derivace funkce 8
6 L’Hospitalovo pravidlo, aplikace derivací 10
7 Průběh funkce 12
8 Neurčitý integrál I 14
9 Neurčitý integrál II 16
10 Výpočet určitého integrálu 17
11 Aplikace určitého integrálu 18
12 Nevlastní integrály a interpolace 19
13 Nekonečné řady 21
1
Předmluva
Tato sbírka slouží jako doplňek knihy Matematika pro nematematické obory (Došlá, Liška), případně
skript Matematika pro chemiky I (Došlá). Obsahem jsou příklady, které mohou být použity ve výuce
předmětu M1020 Matematika I - seminář, případně při domácí přípravě. Řazení jednotlivých kapitol se
řídí orientačním harmonogramem předměte M1020.
Sbírka rozšiřuje uvedené učebnice o příklady, které se typicky vyskytují na zkoušce z předmětu M1010
Matematika I, případně o další příklady na důležitá témata (derivace, průběh funkce, integrální počet)
tak, aby byla další možnost jejich procvičení. Přirozeným doplňkem sbírky je elektronický učební text .
Sbírka byla vytvořena v rámci projektu Matematika pro chemiky podpořeného Fondem rozvoje Masarykovy
univerzity.
2
Týden 2
Lineární algebra
1. Uveďtě příklad matice 3 × 2, která má hodnost 2.
2. Uveďtě příklad matice 3 × 3, která má hodnost 2.
3. Udejte příklad systému dvou lineárních rovnic o dvou neznámých, který nemá žádné řešení.
4. Udejte příklad systému dvou lineárních rovnic o dvou neznámých, který má nekonečně mnoho řešení.
5. Určete inverzní matici k matici
A =
1 2
3 1
A =
− 1
5
2
5
3
5
− 1
5
6. Gaussovou metodou řešte systém lineárních rovnic (jedno řešení)
a) x + 2y − z = 2
2x + 2y + z = 7
3x − y +2z = 7
b) 2x + 2y + z = 0
x + 2y = −1
3x − y +4z = 4
c) 2x − y + z = 5
3x + y +2z = 2
x + 2y −3z = 1
d) 2x − y +z = 4
x + 2y −z = 3
3x − y −z = 4
a) 17
11
, 12
11
, 19
11
, b) [1 − 1, 0], c) [2, −2, −1], d) [2, 1, 1].
7. Gaussovou metodou řešte systém lineárních rovnic (nemá řešení)
a) a + 3b − 2c + d = 0
2a + 5b − 3c + 3d = 0
a + 2c − 2d = 9
4a + 10b − 6c + 6d = 1
b) a − 2b + 3c − d + 2e = 2
3a − b + 5c − 3d − e = 6
2a + b + 2c − 2d − 3e = 8
3
Matematika pro chemiky Sbírka příkladu
8. Gaussovou metodou řešte systém lineárních rovnic (nekonečně mnoho řešení)
a) x − 2y +z = 4
2x + 3y −z = 3
4x − y +z = 11
b) a + 3b + 5c − 4d = 1
a + 3b + 2c − 2d + e = −1
a − 2b + c − d − e = 3
a − 4b + c + d − e = 3
a + 2b + c − d + e = −1
c) a + b + c + d = 1
2a + 2b + 2c = 0
a + b + 5c − d + 6e = 1
a + b − 3c + d − 6e = −1
d) a − 2b + c + d − e = 0
2a + b − c − d + e = 0
a + 7b − 5c − 5d + 5e = 0
3a − b − 2c + d − e = 0
a) 18
7
− 1
7
t, 3
7
t − 5
7
, t , b) (−t, −1 − t, 0, −1 − t, 2t), c) − 1
2
− s + 3
2
t, s, 1
2
− 3
2
t, 1, t , d) (0, 0, 0, t, t).
9. Vypočtěte determinant matice:
a) 1 3 4
0 −2 1
1 2 3
b) 5 3 4
5 −2 1
1 2 3
c) 3 2 −1
−2 1 3
1 −3 −2
d) 5 4 −1
4 −1 5
−1 5 4
a) 3, b) −34, c) 14, d) −248.
Týden 3
Polynomy, racionální lomené funkce a
parciální zlomky
1. Vyřešte nerovnici (x3 − x2)(x − 2) ≥ 0.
x ∈ (−∞, 1) ∪ (2∞)
2. Určete intervaly, kde je funkce y = x2(x − 1) kladná, resp. záporná, a načrtněte její graf.
kladná pro x > 1, záporná pro x < 1
3. Určete všechny reálné kořeny polynomu P(x) = x3 − 5x2 + 6x.
x1 = 0, x2 = 2, x3 = 3
4. Určete reálné kořeny polynomu P(x) = (x3 − 1)(x − 2). Načrtněte graf tohoto polynomu.
x1 = 1, x2 = 2
5. Napište polynom třetího stupně, který má jednoduché kořeny x = −1, x = 0 a x = 1. Načrtněte graf
tohoto polynomu.
x(x2 − 1)
6. Napište polynom třetího stupně, který má jednoduchý kořen x = 2 a dvojnásobný kořen x = 0.
Určete, kde je tento polynom kladný a kde záporný. Načrtněte jeho graf.
x2(x − 2)
7. Rozložte racionální funkci na parciání zlomky
a) R(x) = x2+2x−2
x3−x2 , b) R(x) = x2−3x+2
x(x+1)2 ,
c) R(x) = 2x2+2x+2
x(x2+1)
, d) R(x) = 2x−1
x(x+1)2 ,
e) R(x) = 5x−14
(x−1)(x2−4)
, f) R(x) = 3x+16
x2−x−6
,
g) R(x) = x2−x
(x+1)3 , h) R(x) = x2−3x−2
(x2+4)(x+2)
.
a) 1
x−1
+ 2
x2 , b) 2
x
− 1
x+1
− 6
(x+1)2 , c) 2
x
+ 2
x2+1
, d) 1
x+1
+ 3
(x+1)2 − 1
x
, e) 3
x−1
− 2
x+2
− 1
x−2
, f) 5
x−3
− 2
x−2
,
g) 1
x+1
− 3
(x+1)2 + 2
(x+1)3 , h) 1
x+2
− 3
x2+4
.
5
Týden 4
Vlastnosti funkce a jednoduché limity
1. Najděte inverzní funkci k dané funkci (a nakreslete graf)
a) y = ln(x − 2), b) y = 1
x+1,
c) y = 10x−1, d) y = e−x,
e) y = 3ex, f) y = 2 log x,
g) y = ex + 1, h) y = tg x
3 , x ∈ −π
2 , π
2 .
a) y = ex + 2, b) y = 1
x
− 1, c) y = log x + 1, d) y = − ln x, e) y = ln x
3
, f) y = 10
x
2 , g) y = ln(x − 1),
h) y = arctg 3x
2. Nakreslete graf závislosti pH
pH = − log[H3O+
]
na koncentraci oxoniových kationtů v dané látce. Co se stane s hodnotou pH, zvýší-li se koncentrace
oxoniových kationtů?
3. Nakreslete graf závislosti objemu plynu V = RT
P na tlaku P. S rostoucím tlakem objem roste nebo
klesá?
4. Množství dané látky x je v čase t dáno vztahem
x(t) =
2et − 2
et − 1
.
Pomocí limity určete, kolik bude této látky pro t → ∞.
5. Množství dané látky x je v čase t dáno vztahem
x(t) = 100 − e−2t
.
S rostoucím časem bude této látky přibývat nebo ubývat? Kolik jí bude pro t → ∞?
6. Vypočtěte limity v nevlastním bodě
a) lim
x→∞
(2x4 − x3 + 2x + 1), b) lim
x→−∞
(x3 + 5x + 6),
c) lim
x→∞
x2+6x+2
x3−x+1
, d) lim
x→−∞
x4−5x−1
x3+2x+7
,
e) lim
x→∞
7x3−x2+2
x2+2x+7
, f) lim
x→−∞
x3+4x+9
5x3−x2+3x
.
a) ∞, b) −∞, c) 0, d) −∞, e) ∞, f) 1
5
.
6
Matematika pro chemiky Sbírka příkladu
7. Vypočtěte limity číslo
0 .
a) lim
x→3
1−x
x−3, b) lim
x→2
x+3
(x−2)2 ,
c) lim
x→1
3−x
ln x , d) lim
x→0
4−x
1−cos x .
a) neexistuje, b) ∞, c) neexistuje, d) ∞.
Týden 5
Derivace funkce
1. Určete derivaci funkce (základní vzorce a úpravy)
a) f(x) = x3 + 3x2 − 5x, b) f(x) = 2x4 − 3x3 + x − 5,
c) f(x) = sin π
2 + 2ex + x
2 , d) f(x) = e + 3 cos x − 4,
e) f(x) = ln x − log x, f) f(x) = 3
√
x + 1√
x
,
g) f(x) =
√
x − 2
5x2 + 6
5
√
x3, h) f(x) = x
√
x − x2+1
x .
a) 3x2+6x−5, b) 8x3−6x2+1, c) 2ex+ 1
2
, d) −3 sin x, e) 1
x
− 1
x ln 10
, f) 1
3x
2
3
− 1
2x
3
2
, g) 1
2
√
x
+ 4
5x3 + 18
5x
2
5
,
h) 1
x2 + 3
√
x
2
− 1
2. Určete derivaci funkce (derivace součinu a podílu)
a) f(x) = x3 ln x, b) f(x) =
√
x cos x,
c) f(x) = ln x · arctg x, d) f(x) = 3 cos x · tg x,
e) f(x) = ex(x2 − 2x + 4), f) f(x) = x2ex ln x,
g) f(x) = x
x2−2
, h) f(x) = 1−x
x2+1
,
i) f(x) = 1−ln x
1+ln x , j) f(x) = 1+
√
x
2
√
x
,
k) f(x) = cos x
1−sin x, l) f(x) = 3−x
ln x .
a) x2(3 ln x + 1), b) cos x
2
√
x
−
√
x sin x, c) arctg x
x
+ ln x
x2+1
, d) 3 cos x, e) ex(x2 + 2), f) xex[(x + 2) ln x + 1],
g) − x2
+2
(x2−2)2 , h) x2
−2x−1
(x2+1)2 , i) − 2
x(ln x+1)2 , j) − 1
4x
3
2
, k) 1
1−sin x
, l) x−x ln x−3
x ln2 x
8
Matematika pro chemiky Sbírka příkladu
3. Určete derivaci funkce (derivace složené funkce)
a) f(x) = (x2 + 3x)4, b) f(x) = ln(5x + 1),
c) f(x) =
√
x2 − 1, d) f(x) = sin2
x,
e) f(x) = ln
√
cos x, f) f(x) = ln3
(x2 − 1),
g) f(x) = cos2(3x + 2), h) f(x) = cos(3x + 2)2,
i) f(x) = arctg x+1
x−1, j) f(x) = x sin 2x,
k) f(x) = ln2
cos3 x5, l) f(x) = ln ln(x2 − 3),
m) f(x) = 1
ln(sin2 x)
, n) f(x) = ln 1−sin x
1+sin x.
a) 4(x2 + 3x)3(2x + 3), b) 5
5x+1
, c) x√
x2−1
, d) 2 sin x cos x e) − tg x
2
, f)
6x ln2
(x2
−1)
x2−1
,
g) −6 sin(3x + 2) cos(3x + 2), h) −6(3x + 2) sin(3x + 2)2, i) − 1
x2+1
, j) sin 2x + 2x cos 2x,
k) −30x4tg x · ln cos3 x5, l) 2x
(x2−3) ln(x2−3)
, m) − cotg x
ln2 sin2 x
, n) − 1
cos x
Týden 6
L’Hospitalovo pravidlo, aplikace derivací
1. Pomocí L’Hospitalova pravidla vypočtěte limity (základní použití)
a) lim
x→1
x5−1
2x3−x−1
, b) lim
x→2
x2−4
x2−x−2
,
c) lim
x→0
x
2−
√
x+4
, d) lim
x→1
x2−1
ln x ,
e) lim
x→0
1−cos x
x sin x , f) lim
x→0
ln(1+sin x)
sin 4x ,
g) lim
x→∞
x
ln2
x
, h) lim
x→1
ln x−x+1
x ln x .
a) 1, b) 4
3
, c) −4, d) 2, e) 1
2
, f) 1
4
, g) ∞, h) 0.
2. Pomocí L’Hospitalova pravidla vypočtěte limity (těžší příklady)
a) lim
x→0+
xe
1
x , b) lim
x→0−
xe
1
x ,
c) lim
x→ π
2
(1 − sin x)tg x, d) lim
x→0+
x ln x,
e) lim
x→1
1
x−1 − 1
ln x , f) lim
x→0+
1
x − 1
sin x ,
g) lim
x→0
(cos 3x)
1
x2 , h) lim
x→0+
(cotg x)sin x.
a) ∞, b) 0, c) 0, d) 0, e) − 1
2
, f) 0, g) e− 9
2 , h) 1.
3. Napište rovnice tečny ke grafu funkce f v bodě x0 a nakreslete obrázek.
a) f(x) = sin x, x0 = π b) f(x) = ln x, x0 = 1
c) f(x) = 1
x+1, x0 = 0 d) f(x) = arctg x , x0 = 0.
a) y = −x + π, b) y = x − 1, c) y = −x + 1, d) y = x.
10
Matematika pro chemiky Sbírka příkladu
4. Určete lokální extrémy funkce (tréninkové příklady)
a) y = x3 − 12x − 6, b) y = x3 − 6x2 + 9x − 1,
c) y = 2x
x2−4
, d) y = x2
x2−1
,
e) y = ln(x2 + x + 1), f) y = ln x
x ,
g) y = x2ex, h) y = arctg x2.
a) max[−2, 10], min[2, −22], b) max[1, 3], min[3, −1], c) nejsou, d) max[0, 0], e) min − 1
2
, ln 3
4
,
f) max e, 1
e
, g) max −2, 4
e2 , min[0, 0], h) min[0, 0].
5. Určete intervaly, ve kterých je daná funkce konvexní/konkávní (tréninkové příklady)
a) y = x3 − 3x2 + 3x − 4, b) y = x4 − 2x3 − 12x2 + 7x − 3,
c) y = x2
x2−1
, d) y = 6x
(x−1)3 ,
e) y = 1
1−ex , f) y = x − ln2
x.
a) konvexní na (1, ∞), konkávní na (−∞, 1), b) konvexní na (−∞, −1) ∪ (2, ∞), konkávní na (−1, 2),
c) konvexní na (−∞, −1) ∪ (1, ∞), konkávní na (−1, 1), d) konvexní na (−∞, −1) ∪ (1, ∞),
konkávní na (−1, 1), e) konvexní na (−∞, 0), konkávní na (0, ∞), f) konvexní na 1
e
, ∞ ,
konkávní na 0, 1
e
.
Týden 7
Průběh funkce
1. Vyšetřete průběh funkce a nakreslete její graf (písemkové příklady)
a) y = x3+1
x2 , b) y = x2+3
x−1 ,
c) y = x+2
x2 , d) y = x3
1−x2 ,
e) y = x
1+x2 , f) y = (x−1)2
x−2 ,
g) y = 1−x2
1+x2 , h) y = ex
x+1.
0
y
x3
√
2
0
y
x
−1
1 3
−2
6
a) b)
0
y
x
−4−6
0
y
x
−
√
3
√
3−1 1
c) d)
12
Matematika pro chemiky Sbírka příkladu
0
y
x
−
√
3
√
3
−1
1
1
2
− 1
2
0
y
x
1
2 3
e) f)
0
y
x
−1 1
−
√
3
3
√
3
3
1
−1
0
y
x−1
1
g) h)
Týden 8
Neurčitý integrál I
1. Vypočtěte neurčitý integrál (základní vzorce a úpravy)
a) (2x3 − x2 + 3x + 2) dx, b) (x5 − 3x2 − x + 5) dx,
c) 2 3
√
x + 3
√
x − 1
3√
x
dx, d)
√
x 3
√
x + 2x − 5√
x
dx,
e) (x + 1)2(
√
x − 1) dx, f) x
2
3 + 2x
1
3 3
√
x dx.
a) 1
2
x4 − 1
2
x3 + 3
2
x2 + 2x, b) 1
6
x6 − x3 − 1
2
x2 + 5x, c) 3
2
x
4
3 + 2x
3
2 − 3
2
x
2
3 , d) 3
2
x2 + 4
5
x
5
2 − 5x,
e) 2
3
x
3
2 − x + 4
5
x
5
2 − x2 + 2
7
x
7
2 − 1
3
x3, f) 1
2
x2 + 6
5
x
5
3 .
2. Vypočtěte neurčitý integrál (použití vzorce f′(x)
f(x) dx = ln |f(x)| + c)
a) 1
x+1 + 4
2x−1 dx, b) x2
x3+5
dx,
c) cos x sin x
cos2 x+2
dx, d) 2x2
x3+2
dx,
e) ex
ex−1 dx, f) 2cotg x dx.
a) ln |x+1|+2 ln |2x−1|, b) 1
3
ln |x3 +5|, c) − 1
2
ln(cos2 x+2), d) 2
3
ln |x3 +2|, e) ln |ex −1|, f) 2 ln | sin x|.
3. Vypočtěte neurčitý integrál (použití vzorce f(ax + b) dx = 1
aF(ax + b) + c)
a) e3x+2 dx, b)
√
5x − 1 dx,
c) sin x + π
2 dx, d) 1
(2x+1)5 dx,
e) 1
4x + 9
3
dx, f) cos 2x dx.
a) 1
3
e3x+2, b) 2
15
(5x − 1)3, c) − cos x + π
2
, d) − 1
8(2x+1)4 , e) 1
4
x + 9
4
, f) 1
2
sin 2x.
4. Vypočtěte neurčitý integrál (použití vzorce 1
(x−x0)2+a2 dx = 1
aarctg x−x0
a + c, případně kombinace)
a) 1
x2+4
dx, b) 3
9x2+1
dx,
c) 1
x2+2x+5
dx, d) x2+4x+29
dx,
e) x+1
x2−2x+5
dx, f) x−2
x2+6x+10
dx.
a) 1
2
arctg 1
2
, b) arctg 3x, c) 1
2
arctg x+1
2
, d) 1
5
arctg x+2
5
, e) 1
2
ln |x2 − 2x + 5| + arctg x−1
2
, f) 1
2
ln |x2 +
6x + 10| − 5arctg (x + 3).
14
Matematika pro chemiky Sbírka příkladu
5. Vypočtěte neurčitý integrál (rozklad na parciální zlomky)
a) x2+2x−2
x3−x2 dx, b) x2−3x+2
x(x+1)2 dx,
c) 2x2+2x+2
x(x2+1)
dx, d) 2x−1
x(x+1)2 dx,
e) 5x−14
(x−1)(x2−4)
dx, f) 3x+16
x2−x−6
dx,
g) x2−x
(x+1)3 dx, h) x2−3x−2
(x2+4)(x+2)
dx.
a) 1
x−1
+ 2
x2 , ln |x−1|− 2
x
, b) 2
x
− 1
x+1
− 6
(x+1)2 , 2 ln |x|−ln |x+1|+ 6
x+1
, c) 2
x
+ 2
x2+1
, 2 ln |x|+2arctg x,
d) 1
x+1
+ 3
(x+1)2 − 1
x
, ln |x+1|−ln |x|− 3
x+1
, e) 3
x−1
− 2
x+2
− 1
x−2
, 3 ln |x−1|−2 ln |x+2|−ln |x−2|,
f) 5
x−3
− 2
x−2
, 5 ln |x−3|−2 ln |x+2|, g) 1
x+1
− 3
(x+1)2 + 2
(x+1)3 , ln |x+1|+ 3
x+1
− 1
(x+1)2 , h) 1
x+2
− 3
x2+4
,
ln |x + 2| − 3
2
arctg x
2
.
Týden 9
Neurčitý integrál II
1. Vypočtěte neurčitý integrál (metoda per-partes)
a) x cos 2x dx, b) (3x + 2)ex dx,
c) x2 ln x2 dx, d) xarctg x dx,
e) ln(x2 + 1) dx, f) x ln2
x dx,
g) xe−x dx, h) (x2 + 1) cos x dx.
a) 1
2
x sin 2x + 1
4
cos 2x, b) (3x − 1)ex, c) x2
9
(3 ln x2 − 2), d) 1
2
(x2 + 1)arctg x − 1
2
x, e) x ln(x2 + 1) −
2x + 2arctg x, f) 1
4
x2(2 ln2
x − 2 ln x + 1), g) −(x + 1)e−x, h) (x2 − 1) sin x + 2x cos x.
2. Vypočtěte neurčitý integrál (základní substituce)
a) 1
x ln x dx, b) x
x4+16
dx,
c) x sin(3x2 + 2) dx, d) xcotg x2 dx,
e) 6x√
x2+1
dx, f)
√
ln x
x dx,
g) arctg 2x
1+x2 dx, h) x2e−x3
dx.
a) ln | ln x|, b) 1
8
arctg x2
4
, c) − 1
6
cos(3x2 + 2), d) 1
2
ln | sin x2|, e) 6
√
x2 + 1, f) 2
3
√
ln3
x, g) arctg 3
x
3
,
h) − 1
3
e−x3
.
3. Vypočtěte neurčitý integrál
a) sin3 x
cos2 x+1
dx, b) 1
sin x dx,
c) cos3 x dx, d) sin5
x cos3 x dx.
a) cos x − 2arctg cos x, b) − 1
2
ln 1+cos x
1−cos x
, c) sin x − sin3
x
3
, d) 1
6
sin6 x − 1
8
sin8 x.
4. Vypočtěte neurčitý integrál
a) 3
x
√
x+4
dx, b) 1
(3−x)
√
x+1
dx,
c)
3√
x
x(
√
x+ 3√
x)
dx, d) x√
x+1+ 3√
x+1
dx.
a) − 3
2
ln 2+
√
x+4
2−
√
x+4
, b) 1
2
ln 2+
√
x+1
2−
√
x+1
, c) 6 ln
6√
x
1+ 6√
x
, d)
√
x+1
3
+
3√
x+1
2
+ 6
√
x + 1 − ln(1 + 6
√
x + 1).
16
Týden 10
Výpočet určitého integrálu
1. Vypočtěte určiteý integrál
a)
π
2
0 cos x dx, b)
2
−1 x3 dx,
c)
1
0
3
1+x2 dx, d)
1
2
− 1
2
1√
1−x2
dx.
a) 1, b) 15
4
, c) 3
4
π, d) π
3
.
2. Vypočtěte určitý integrál (metoda per-partes)
a)
π
0 x sin x dx, b)
e
1 x ln2
x dx,
c)
1
0 arctg x dx, d)
1
0 xe3x dx.
a) π, b) 1
4
(e2 − 1), c) π
4
− 1
2
ln 2, d) 1
9
(2e3 + 1).
3. Vypočtěte určitý integrál (metoda substituce)
a)
π
2
0 cos3 x dx, b)
√
6
1 x
√
x2 + 3 dx,
c)
e8
1
1
x
√
ln x+1
dx, d)
3
2
x−3
4+2
√
x−2
dx.
a) 2
3
, b) 4, c) 19
3
, d) 7
3
+ 6 ln 2
3
.
17
Týden 11
Aplikace určitého integrálu
1. Vypočtěte neurčitý integrál (zkouškové příklady)
a) y = x2, y = 1
x, x = 2, y = 0
b) y = 2
x , y = 3 − x,
c) y = 2x3, y = 2
x, x = e, y = 0
d) y = x2 − x − 6, y = −x2 + 5x + 14
e) y = 8 − x2, y = x2 − 6x,
f) y = x2 + 4x, y = x + 4.
a) 1
3
+ ln 2, b) 3
2
− ln 4, c) 5
2
, d) 343
3
, e) 125
3
, f) 125
6
.
2. Vypočítejte objem rotačního tělesa vzniklého rotací útvaru ohraničeného zadanými křivkami kolem
osy x:
a) y =
√
x, y = x b) y = sin x, x ∈ [0, π].
a) π
6
, b) π2
2
.
3. Odvoďte vzorec pro výpočet objemu
a) válce o poloměru podstavy r a výšce v,
b) koule o poloměru r,
c) komolého kužele s poloměry podstvy r1, r2 a výškou v.
a) πr2v, b) 4
3
πr3, c) 1
3
πv(r2
1 + r1r2 + r2
2).
4. Jsou dány funkce
f(x) = x2
+ 1, g(x) = 2x + 4.
Načrtněte obrázek a počítaný objekt vyznačte.
a) Vypočítejte obsah plochy ohraničené grafy funkcí f a g.
b) Přímka g vytíná z paraboly f ohraničený kus. Jaký je objem tělesa, které vznikne rotací tohoto
kusu paraboly f kolem osy x.
c) Parabola f ohraničuje kus přímky g. Jaký je povrch pláště komolého kužele, který vznikne rotací
tohoto kusu přímky kolem osy x?
d) Určete objem tělesa, které vznikne rotací plochy těmito funkcemi omezené kolem osy x.
e) Parabola f ohraničuje kus přímky g. Určete délku tohoto kusu přímky g.
a) 32
3
, b) 1072
15
π, c) 48π
√
5, d) 1408
15
π, e) 4
√
5.
18
Týden 12
Nevlastní integrály a interpolace
1. Vypočtěte nevlastní integrál (zkouškové)
a)
1
0
1√
x
dx, b)
∞
1
1√
x
dx,
c)
∞
1 e−3x dx, d)
∞
1
1
x2 dx,
e)
∞
1
1
x4 dx, f)
1
0
1
x4 dx.
a) 2, b) diverguje, c) 1
3e3 , d) 1, e) 1
3
, f) diverguje.
2. Určete obsah P plochy pod grafem funkce y = 1
x pro x ∈ [1, ∞]. Jaký je objem tělesa, které vznikne
rotací tohoto útvaru? Odhadněte povrch tohoto tělesa.
P = ∞, V = π, S = ∞
1
1
x
x4+1
x4 dx > ∞
1
1
x
dx = ∞.
3. Sestrojte Lagrangeův interpolační polynom funkce f:
a) f(−1) = 12, f(0) = 6, f(1) = 0, f(2) = 0,
b) f(−1) = 8, f(−2) = 12, f(1) = 6, f(2) = 44,
c) f(1) = 0, f(−1) = 0, f(0) = 3, f(2) = 15.
a) L(x) = x3 − 7x + 6, b) L(x) = 3x3 + 7x2 − 4x, c) L(x) = x3 + 3x2 − x − 3.
4. Sestrojte Lagrangeův polynom funkce f, je-li známo
f(1) = 0, f(2) = 8, f(−2) = 0, f(−1) = 2 .
Vypočtěte hodnotu polynomu v bodě x = 0.
L(x) = x3 + x2 − 2x, L(0) = 0.
5. Sestrojte Lagrangeův polynom funkce f, je-li známo
f(−2) = 0, f(−1) = 3, f(0) = −4, f(2) = 0 .
Vypočtěte hodnotu polynomu v bodě x = 1.
L(x) = 2x3 + x2 − 8x − 4, L(1) = −9.
19
Matematika pro chemiky Sbírka příkladu
6. Sestrojte Lagrangeův polynom funkce f, je-li známo
f(1) = −5, f(−1) = 5, f(2) = −7 .
Najděte lokální extrémy tohoto polynomu.
L(x) = x2 − 5x − 1, min v 5
2
, − 21
4
.
7. Sestrojte Lagrangeův polynom funkce f, je-li známo
f(1) = −5, f(−1) = 5, f(2) = −7 .
Určete hodnotu derivace tohoto polynomu pro x = 2.
L(x) = x2 − 3x + 3, L′(2) = 1.
Týden 13
Nekonečné řady
1. Určete součet řady
a)
∞
n=1
1
(3n−2)(3n+1) , b)
∞
n=1
1
n(n+3) .
a) 1
3
, b) 11
18
.
2. Rozhodněte, zda-li řada
∞
n=1
1
n3
konverguje nebo diverguje.
konverguje (srovnávací nebo integrální kritérium)
3. Rozhodněte, zda-li řada
1 +
1
3
+
1
32
+
1
33
+ · · ·
konverguje. Pokud ano, určte její součet.
3
2
4. Určete součet řady
x − x2
+ x3
− x4
. . . .
Pro která x tento součet platí?
x
1+x
, |x| < 1.
21