Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity Ustav teoretické fyziky a astrofyziky Základy astronomie I Sbírka praktických a laboratorních úloh Miloslav Zejda Brno 2020 INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Obsah Pozorování dalekohledem 1 1) Otočná mapka a orientace na hvězdné obloze 7 2a) Mapka Plejád 14 2b) Zpracování dat v programovacím jazyku 21 3) Astronomické souřadnice 24 4a) Dírková komora 30 4b) Sluneční cyklus 36 5a) Vzdálenost hvězdokupy 41 5b) Mezihvězdné čáry a vzdálenosti ke hvězdám 46 6a) Rotace Merkuru 51 6b) Objev pátého měsíce Jupiteru 57 7) Vlastnosti exoplanet 62 V předkládaném sborníčku je uvedeno 12 laboratorních či praktických úloh z astronomie. Nejde vždy o zcela nové a původní úlohy. Jsou převzaty, inovovány, opraveny případné chyby a doplněny. U všech úloh je samozřejmě uveden i původní zdroj (e), takže uživatel může porovnat úlohu s jejím předobrazem. Soubor bude nadále doplňován. Vznikl v rámci projektu Inovace výuky aplikované fyziky na Přírodovědecké fakultě Masarykovy Univerzity, CZ. 1.07/2.2.00/15.0181. \ 1/ základy astronomie 1 Hlavní praktikum M- Pozorování dalekohledem 1 Úvod Oko bylo základním přístrojem astronoma, základním detektorem světla po dlouhá staletí ba tisíciletí, a zůstalo jím dokonce i tři století po vynálezu dalekohledu a jeho využití v astronomii. Dnes už prostý pohled do dalekohledu zůstal v podstatě jen doménou návštěvníků hvězdáren a milovníků astronomie. Odborná pozorování se vizuálně již téměř neprovádějí. Také fotoelektrický fotometr nebo fotografická deska jsou už překonané a byly v naprosté většině nahrazeny snímáním zorného pole dalekohledu CCD kamerou. Přesto se v tomto praktickém cvičení tak trochu vrátíme zpět a ukážeme si vlastnosti oka a optického dalekohledu. Lidské oko je velmi důmyslný nástroj, zejména ve spojení s lidským mozkem. Jeho rozlišovací schopnost si vyzkoušíme jednoduchým pokusem. Budeme zjišťovat z jaké vzdálenosti jste ještě schopni pozorovat dva malé objekty a rozlišit je jako oddělené. Získanou rozlišovací schopnost porovnáme s rozlišovací schopností dalekohledu. S dalekohledem se ve své astronomické praxi setká i ten nejzavilejší teoretik. I on musí být schopen jednoduchý dalekohled nastavit a spočítat jeho parametry. A právě to je mimo jiné cílem této praktické úlohy Obr. 1: Snímek Plejád pořídil Robert Gendler v roce 2004 během 20 hodinové expozice. 2 Pracovní postup Rozlišovací schopnost oka vyjádříme pomocí úhlu ů, pod nímž budeme pozorovat vzdálenost dvou bodových objektů d (viz obrázek 2). Bude-li vzdálenost D dvou bodů od oka velká ve srovnání se vzdáleností samotných bodů, můžeme psát zjednodušeně ů = d/D, kde úhel ů je vyjádřen v radiánech. Převedení na stupně je triviální záležitostí, uvědomíte-li si, že plný úhel 360° odpovídá 2tv radiánů. Získaná rozlišovací schopnost je však do značné míry závislá na konkrétní situaci, kdy a kde budete měření provádět. Pro zjištění hodnoty úhlu ů si připravte čtvrtku papíru a na ní dva body 1 D Obr. 2: Pokus na rozlišovací schopnost oka. vzdálené 5 až 8 mm o průměru přibližně 1 mm. Hledáme samozřejmě největší vzdálenost, z níž ještě rozlišíte oba body, tedy nejmenší, mezní hodnotu úhlu ů. Navrhněte sami způsob realizace měření, podrobně jej popište včetně tabulky provedených měření. K praktické části praktika je samozřejmě nutné mít k dispozici dalekohled - můžete použít svůj vlastní nebo se dohodnout s pracovníkem hvězdárny. Je doporučeno, aby jste pracovali ve skupinkách. Nej ideálnějším řešením by bylo společně vycestovat do oblasti s nižším světelným znečištěním než je v Brně, pokud to okolnosti dovolují. Při spolupráci však berte ohled na to, aby každý provedl měření na místě pozorovaní samostatně (kopírovaní výsledků praktik je možné považovat za plagiát!). Vaším úkolem bude pozorovat jeden z více zajímavých úkazů na noční obloze (fáze Venuše, prstence Saturnu, měsíce Jupitera, v nejhorším případě nějakou hvězdokupu nebo mlhovinu) viditelných i malým dalekohledem. Pozorovaný objekt si zakreslete a zaznamenejte si čas a podmínky pozorování. Nezapomeňte si zjistit parametry použitého dalekohledu. Použité zdroje a další materiály ke studiu Steve Joiner http://threeaxis.sourceforge.net/simulator.html http://astro.unl.edu/classaction/animations/telescopes/telescopelO.html PRAKTICKÁ ČÁST * _ Úloha: Pozorování dalekohledem Jméno:..................... Datum odevzdání: Shrnutí úkolů: 1. Změřte rozlišovací schopnost oka. Navrhněte sami metodu a průběh měření. Zaznamenejte všechna měření do tabulky, kterou si připravíte. Zaznamenejte všechny okolnosti měření, například místo, čas, podmínky. Veškeré záznamy a diskusi přiložte k protokolu. Než se pustíte do realizace rozmyslete si odpovědi na následující otázky. Odpovědi stručně zapište. • Bude se nějak lišit, jestliže pozorované body budou černé na bílém podkladě nebo bílé na černém pozadí? • Změní se nějak situace, pokud ty dva body budou samy zářit? • Bude mít vliv osvětlení na výsledek pokusu? Bude rozlišovací schopnost lepší na prudkém slunečním světle nebo pokud bude pod mrakem? 2. V roce 2009 probíhal Mezinárodní rok astronomie. V jeho rámci byl jako jedna z aktivit prodáván galileoskop - jednoduchý dalekohled srovnatelný velikostí s dalekohledem používaným Galileo Galileim na začátku 17. století. Jeho dalekohledy měly průměry objektivů 51 mm, 26 mm, 37 mm a 58 mm, ale většinou byly kvůli optickým vadám čočky zacloněny na zhruba polovinu průměru. Dosahoval až 34-násobného zvětšení. Galileoskop sestává z objektivu o průměru 50 mm s ohniskovou vzdáleností 50 cm a okulárem s ohniskovou vzdáleností 20 mm. Jaké zvětšení sestava galileoskopu dává? Je možné použít na pozorování s galileoskopem okulár o ohniskové vzdálenosti 2 mm? Svou odpověď zdůvodněte. 3. V novinách jste zahlédli inzerát: "Prodám z pozůstalosti jeden a půl metru dlouhý astronomický dalekohled zvětšující 300x. Cena 3000 Kč." Dejme tomu, že Vás nabídka zaujala a chcete si takový přístroj zakoupit. Nicméně, jistě budete vyžadovat o přístroji další údaje. Na co především se budete prodávajícího ptát? Jinak řečeno, jaké základní údaje by měl astronom znát o svém dalekohledu? 3 4. Při použití galileoskopu pro vizuální pozorování, žádnou montáž nepotřebujeme. Dalekohled budeme držet v ruce. Nicméně větší přístroje montáž vyžadují a kvalitní montáž je opravdu nezbytná pro astrofotografii nebo pozorování se CCD kamerou. Z kurzu víte, že montáží je celá řada typů. Některé jsou jednoduché na stavbu, například typ Dobson, ale mají určité nedostatky při použití. Zkuste nyní odpovědět na několik otázek. • Jednou z nejběžnějších montáží je německá montáž. Jaké výhody nebo nevýhody spatřujete v jejím použití? • Jakou nevýhodu má oproti německé montáži montáž typu Dobson? • Je možné se všemi typy montáží pozorovat hvězdy v okolí světových pólů? 5. V dnešní době používají dalekohledy tzv. goto systémy. To znamená, že je možné zadat dalekohledu název objektu, on si jej najde v katalogu a nastaví se na něj. Případně zadáme souřadnice hledaného objektu (rektascenzi a deklinaci) a dalekohled se na ně nastaví. Dříve se ale u větších přístrojů1) na hvězdárnách využívalo nastavování pomocí souřadných dělených kruhů na montáži dalekohledu. K tomu se využívala jednoduchá závislost mezi délkovou souřadnicí první a druhé rovníkové soustavy souřadnic. Ve druhé rovníkové souřadné soustavě je délkovou souřadnicí rektascenze a, která se měří od jarního bodu proti směru otáčení hodinových ručiček při pohledu od severního světového pólu. V první soustavě rovníkových souřadnic je délkovou souřadnicí tzv. hodinový úhel, což je úhel mezi rovinou místního poledníku a rovinou kolmou na rovinu světového rovníku (deklinační rovinou) procházející sledovaným objektem. Mezi rektascenzi objektu a a jeho hodinovým úhlem 0 je jednoduchý vztah a + 0 = místní hvězdný čas. Jinak řečeno místní hvězdný čas udává aktuální hodinový úhel jarního bodu a všech ostatních objektů s nulovou rektascenzi (viz obrázek 15). Rozuměj přístrojů v rozmezí průměrů 20-100 cm. 4 rovník Obr. 3: Hodinový úhel. Převzato z http://www.aldebaran.cz. • Jaký je hodinový úhel hvězdy, která při pozorování z Brna právě vrcholí nad jižním obzorem? • Jaký úhel bude svírat polární osa pomyslného dalekohledu na německé montáži s vodorovnou rovinou? • Nastavme nyní náš pomyslný přístroj na deklinaci 50° a otáčením podle hodinové osy postavíme dalekohled do svislé polohy. Jakou hodnotu můžeme odečíst na hodinovém kruhu montáže? 6. Přejděme nyní k praxi. Vykonejte libovolným astronomickým dalekohledem alespoň dvě (!) pozorování zajímavého kosmického úkazu (fáze Venuše, prstence Saturnu, měsíce Jupitera, jasná hvězdokupa nebo mlhovina). Pozorovaný objekt zakreslete. Zaznamenejte si i podmínky a čas pozorování. Pokud používáte pozorovací deník, pořiďte kopii zápisu v deníku a přiložte k protokolu. Jinak přiložte originál. Podrobně popište parametry použitého dalekohledu - typ, průměr, použitý okulár, použité zvětšení, případně použité filtry na odstranění rušivého městského osvětlení atd. Pokud nemáte vlastní dalekohled, pokuste se jej vypůjčit nebo provést pozorování na blízké hvězdárně. Věnujte pozornost zápisu času a data. Pokud pozorujete v noci běžně se zapisuje datum pozorování ve tvaru večerní datum/ranní datum, měsíc, rok, například 3./4. listopadu 2011, nebo 3./4. XI. 2011. Aby nedocházelo k různým zmatkům ohledně použitého času, zda byl či nebyl letní apod., zapisujte čas přímo jako světový, tedy UT = SEC — 1 = SELČ - 2. 5 7. Kontrolní otázky K zodpovězení závěrečných otázek vám pomohou přednášky, ale třeba i internet: • Jaký je největší čočkový dalekohled světa? Jaký má průměr a kde se nachází? • Proč se observatoře s největšími dalekohledy budují na nehostinných místech vysoko v horách? • Jakým největším dalekohledem jste pozoroval/a? • Jakým dalekohledem byla pořízena fotografie na obrázku 1? Reflektorem nebo refraktorem? Svou odpověď zdůvodněte. • Co je to seeing? 6 základy astronomie 1 Praktikum 1. Otočná mapka a orientace na hvězdné obloze 1 Úvod Každý, kdo se chtěl zadívat na oblohu plnou hvězd a naučit se na ní orientovat, zcela jistě použil mapku hvězdné oblohy, nejlépe tu otočnou. V této praktické úloze se pokusíme takovou otočnou mapku hvězdné oblohy sestrojit a naučit se ji používat. K tomu využijeme speciální program. Takový program zřejmě využijeme jen jednou, ale měli bychom se naučit používat i další dostupné programy zobrazujících hvězdnou oblohu jako Stellarium, Worl-dWideTelescope, nebo Guide, Megastar či internetové zdroje Aladin, SDSS a podobně. 2 Pracovní postup 2.1 Vytvoření otočné mapky hvězdné oblohy Připravte si dva listy tužšího papíru formátu A4. Na stránkách kurzu http://www.physics. muni. cz/~zejda/student .html#zal si stáhněte program Otočná mapka 2.0, který vytvořil Jan Tošovský (om_setup20.exe). Program se ovládá intuitivně. Vytvořte otočnou mapku hvězdné oblohy pro pozorovací stanoviště na 50. stupni severní zeměpisné šířky. Zvolte zobrazení dnů v měsíci a na připravený tužší papír vytiskněte verzi s jemně naznačenými spojnicemi jasných hvězd v souhvězdích a názvy souhvězdí. Zvlášť si pak připravte verze bez spojnic i bez názvů. Takovouto „slepou" mapu stranu 2 z výstupu programu si vytiskněte (stačí na obyčejný papír) a používejte ji dále pro vlastní potřebu. Neodevzdávejte ji. 7 2.2 Znalosti souhvězdí Do mapky hvězdné oblohy na obrázku zakreslete známé skupiny hvězd a souhvězdí. Vyznačte spojnice hvězd tak, aby vynikly známé obrazce. Případně označte i jména jasných nebo významných hvězd, pokud je znáte. 2.3 Orientace na hvězdné obloze Připravte si krátkou prezentaci (maximálně na 10 min), ve které představíte souhvězdí a jejich nejvýraznější objekty ve zvolené části hvězdné oblohy. Půjde o jednu z následujících skupin souhvězdí - jarní, letní, podzimní, zimní, cirkumpolární, případně jižní souhvězdí. Zaměřte se zejména na orientaci, tedy, kde se jaké souhvězdí nachází, kdy je viditelné, s jakým sousedí a případně jaký zajímavý objekt v něm lze pozorovat pouhýma očima nebo malým dalekohledem a jak jej najdeme. Do tohoto pracovního listu napište velmi stručně obsah prezentace. Uveďte, která souhvězdí, významné skupiny hvězd, objekty byly prezentovány, kdy a jak je lze najít apod. Místo výpisu obsahu prezentace můžete přiložit i prezentaci vytištěnou. Prezentaci je možné připravovat ve dvojicích nebo trojicích. O konkrétním zadání - tedy spolutvůrci(-ích) a skupině souhvězdí, kterou máte prezentovat rozhoduje vyučující na cvičení. 2.4 Pozorování hvězdné oblohy Předchozí úkoly byly vesměs teoretické, ale měly vás připravit na praktickou část této úlohy. K jejímu splnění bude zapotřebí dobré počasí a vhodné pozorovací stanoviště, ze kterého budete moci pozorovat dostatečně velkou část hvězdného nebe na obloze a kde vás nebude příliš rušit městské osvětlení. Vyberte si pro toto praktikum také noc bez Měsíce (alespoň po dobu pozorování). Poznačte si do pozorovacího deníku čas a místo pozorování, pozorovací podmínky (rušivé prvky - pouliční osvětlení, projíždějící auta...), počasí a samozřejmě také, co jste pozorovali. Pokud pozorovací deník (někdy též zvaný nočník) nemáte, je nejvyšší čas k jeho založení. Klasická papírová podoba by měla mít podobu sešitu minimálně formátu A5, nejlépe A4 s tuhými deskami. Samozřejmě je možná i elektronická podoba. Na aktuální obloze najděte alespoň pět významných skupin hvězd nebo souhvězdí. Jejich pozorování si poznačte do deníku. Pokuste se nalézt planety, pokud jsou pozorovatelné, a proveďte nákres orientační mapky podle níž by například vaši kolegové měli být schopni planetu na obloze najít. Pokud nebude viditelná žádná planeta, vyberte si jedno z pozorovaných souhvězdí a zakreslete orientační mapku tohoto souhvězdí. Nezapomeňte v nákresu vyznačit obzor a světový směr pro orientaci. 2.5 Demonstrační měření paralaxy Po prvotním seznámení se s hvězdnou oblohou je možné přistoupit i k prvním měřením. Nebudou to měření nijak náročná a navíc, měřící přístroj máte vlastně k dispozici. Jsou jím vaše ruce. Půjde o měření úhlových vzdáleností dvou objektů na obloze, tedy o vzdálenost dvou směrů k těmto objektům.2 K odhadu velikosti tohoto úhlu lze jednoduše použít různých částí ruky na natažené paži. Úvaha je vcelku prostá. Snadno ověříte, že 1 cm dlouhou úsečku kolmou na směr od našeho oka vidíme pod úhlem téměř přesně 1° ve vzdálenosti 57,3 cm. Délka natažené paže u dospělého člověka odpovídá přibližně vzdálenosti 58 cm. To znamená, že pomocí zhruba 2 cm širokého palce můžeme odhadnout úhel 2°. Šířka zavřené pěsti nám pokryje vzdálenost zhruba 10° a vzdálenost mezi malíčkem a palcem rozevřené ruky představuje 20° (viz obrázek 2). Samozřejmě lidé jsou různí, rozměry částí těla se liší, jak poprvé ověřil a prokázal A. Bertillion 3. Proto si před vlastním měřením na obloze nejprve zjistěte rozměry vaší paže a ruky, zapište do tabulky 5 a zjistěte, jak velké úhly lze s vašimi fyzickými parametry zjišťovat. Nyní přistupte k vlastnímu měření. Vaším úkolem je změřit, odhadnout 2Připomínám, že směr definujeme v našem kurzu jako polopřímku vycházející z vašeho oka a mířící na daný objekt. 3Antropolog a vedoucí oddělení identifikace pachatelů pařížské policie Alphonse Bertillion hledal způsob, který by mu umožnil identifikovat již jednou odsouzené zločince. Roku 1822 zveřejnil svoji metodu, která spočívala v měření fyzických znaků člověka a byla po něm nazvána bertilionáž. 8 vzájemné úhlové vzdálenosti hvězd ve Velkém voze a úhlovou vzdálenost hvězdy Dubhe od Polárky. Výsledky uveďte do tabulky 5. Chybu v tabulce můžete určit jako směrodatnou odchylku nebo jako směrodatnou odchylku aritmetického průměru. 2° 10° Obr. 2: Měření úhlů pomocí rukou. Použité zdroje a další materiály ke studiu Kleczek, J., 1986, Naše souhvězdí, Albatros, Praha Pudivítr, P., 2004, Disertační práce, MFF UK Praha Tošovský, J., 2011, http://nio.astronomy.cz/om/index_cz.html Zajonc, I., 2009, Teleskopie XIX, http://www.jiast.cz PRAKTICKÁ CAST Úloha: Otočná mapka a orientace na hvězdné obloze Jméno:..................... Datum odevzdání: Shrnutí úkolů: 1. Vytvoření otočné mapky a slepé mapy hvězdné oblohy 2. Vyznačení skupiny hvězd a souhvězdí na mapce. ♦ Obr. 3: Část hvězdné oblohy. Vyznačte skupiny hvězd a souhvězdí, která znáte. 10 3. Prezentace části hvězdné oblohy Prezentovaná část hvězdné oblohy_ Další členové týmu, kteří se podíleli na prezentaci_ Stručný popis prezentace dle pokynů v zadání úkolu 4. Záznam pozorování hvězdné oblohy Na tomto místě přilepte kopii záznamu z vašeho pozorovacího deníku o pozorování hvězdné oblohy. Pokud je záznam delší než vymezený prostor, přiložte jej na zvláštním listu. 11 5. Měření úhlových vzdáleností Změřte délku své paže, přesněji řečeno vzdálenost od očí k palci při natažené paži a dále šířku palce, šířku zaťaté pěsti a vzdálenost mezi koncem palce a koncem malíčku když budou prsty ruky maximálně roztažené od sebe. Zapište hodnoty do tabulky a spočtěte jak velké úhly můžete pomocí výše uvedených rozměrů zjišťovat. Diskutujte, jak se nepřesnost vašeho měření a nepřesnost v nastavení paže projeví na přesnosti určení úhlových vzdáleností na obloze. Tabulka 1: Rozměry paže měřená vzdálenost [cm] odpovídající úhel [°] vzdálenost oko-palec při natažené paži — šířka zaťaté pěsti šířka roztažené pěsti šířka palce Změřte vzájemné úhlové vzdálenosti hvězd ve Velkém voze a vzdálenost nejjasnější hvězdy ze souhvězdí Velké Medvědice Dubhe ke hvězdě Polárce. Parametry vozu jsou zobrazeny na obrázku 4. Pozorování provádějte během jedné noci s odstupem alespoň jedné až dvou hodin nebo v různých nocích tak aby pozice Velkého vozu na obloze nebyla stejná. Nezapomeňte si poznamenat čas a místo pozorování. Odhadněte poziční úhel Dubhe vůči Polárce. Tabulka 2: Měřené úhlové vzdálenosti Měření č. 1 č. 2 č. 3 č. 4 č. 5 průměr chyba délka vozu a vzdálenost spodních kol b délka korby c délka oje d výška vozu e poziční úhel Dubhe-Polárka čas měření Obr. 4: Parametry Velkého vozu. Diskuse výsledků v tabulkách 1 a 2: 12 6. Kontrolní otázky Na závěr ještě odpovězte na následující otázky. K jejich zodpovězení budou třeba nejen zkušenosti z pozorování, ale i znalosti z přednášek a cvičení: a) Jak se pohybují souhvězdí na hvězdné obloze? b) Pohybují se všechna souhvězdí na obloze stejným směrem? c) Kolik je definováno souhvězdí? d) Kolik je takzvaných zvířetníkových souhvězdí a kolik souhvězdí leží na ekliptice? e) Kolik souhvězdí jste dosud našel/našla na skutečné obloze? f) Zřejmě znáte znamení, ve kterém jste se narodil/-a. Kdy je nejlépe pozorovatelné na noční obloze v CR souhvězdí stejného jména. Souhlasí toto období s datem vašeho narození? Pokud ne, uveďte rozdíl a vysvětlete jej. g) Mohou některá souhvězdí změnit svou orientaci na obloze až o 360°? h) Kde na Zemi můžeme pozorovat postavu Oriona v příslušném souhvězdí stát, ležet, vzhůru nohami? Je možné, aby postava Oriona změnila svou orientaci na obloze alespoň o 90° během jedné noci? Jestliže ano, napište kdy a za jakých podmínek. 13 základy astronomie 1 Praktikum 2. A) Mapka Plejád 1 Úvod Mapa hvězdné oblohy a dalekohled jsou dvě pomůcky, které jsou neodmyslitelně spjaty s astronomy nebo i jen milovníky astronomie. V této praktické úloze se zaměříme na hvězdné mapy. V minulosti bylo vytvoření kompletní mapy hvězdné oblohy velice časově i technicky náročné. Proto je z předpočítačového období tak malý počet kvalitních atlasů hvězdné oblohy. K nejlepším dílům světové kartografie patří v tomto smyslu atlasy Antonína Bečváře (Atlas Coeli, Atlas Borealis, Atlas Eclipticalis a Atlas Australis. Dnes převzal tuto práci počítač, který na základě našich příkazů vykreslí jakoukoli mapu. Nicméně autor mapy musí mít stále na paměti stejné zásady, jaké dodržovali kreslíři map dříve. Mapa by měla být dobře čitelná, mít správně orientované souřadnice, velikosti kotoučků hvězd apod. Proto se pokusíme vykreslit mapu malé části hvězdné oblohy obsahující otevřenou hvězdokupu Plejády. Nejprve to zkusíme ručně ať již bráno doslova a mapku budeme ručně kreslit nebo si vše připravíme a využijeme pro vytvoření mapky nějaký grafický program nebo vlastnoručně napsanou proceduru. Poté náš výsledek porovnáme vykreslením stejné oblasti hvězdné oblohy pomocí některého z dostupných programů zobrazujících hvězdnou oblohu jako Stellarium, Guide, Megastar, WorldWideTelescope, Aladin nebo jiného zdroje. 2 Pracovní postup V oblasti otevřené hvězdokupy Plejády se nachází přes dvě desítky hvězd jasnějších než 7,0 mag. V tabulce 4 jsou vypsány jejich rovníkové souřadnice (rektascenze a a deklinace 5) vztažené k ekvinokciu 2000.0) a hvězdné velikosti. Našim úkolem je vytvořit ze zadaných hodnot mapku Plejád. Níže uvedený postup je primárně určen pro ty, kdo si chtějí vyzkoušet opravdu klasickou cestu výroby mapky - tedy ruční vykreslení. Jen pro jednoduchost inkoust či tuš nahradíme tužkou. Samozřejmě řada zásad je platná i moderní způsob, kdy využijeme výpočetní techniku a mapku vykreslíme na počítači. Při využití počítače je možné využít jakýkoli software vhodný pro vykreslování grafů, případně si takový program napsat. Při sestavení mapky musí být použito údajů z tabulky. Pro úspěšné splnění první části úlohy není dovoleno využívat speciální programy pro tvorby hvězdných map, různých planetárií a podobně. Ty využijeme až následně pro porovnání našeho výsledku. Postup: 1. Nejprve určete rozsah souřadnic v rektascenzi a a deklinaci S, aby byly v grafu vykresleny všechny hvězdy tabulky 4. Protože jsou Plejády blízko světového rovníku a zobrazujeme jen malou část hvězdné oblohy lze použít nejjednodušší možné zobrazení, tedy pravoúhlé se stejným měřítkem v obou osách (lh = 15°). Pozor na orientaci os! Rektascenze narůstá směrem doleva. Stanovené rozsahy zapište do řádků pod tabulkou 4. 2. Pro všechny hvězdy z tabulky 4 vypočítejte pravoúhlé souřadnice x,y s přesností na desetinu milimetru a výsledky zapište do tabulky.4 3. Aby byla mapka dobře čitelná, je třeba věnovat pozornost škále velikostí kotoučků hvězd na mapce. Praxe ukázala, že je výhodné, když rozdíly ve velikostech kotoučků hvězd jsou větší u hvězd málo jasných než u hvězd jasných. Pokud bychom použili stejné 4Pokud využíváte např. Excel jde o velmi jednoduchý a rychlý úkol. Výsledné hodnoty samozřejmě nebudete ručně přepisovat do protokolu, ale tabulku vytisknete a přiložíte. 14 poměry průměrů nebo ploch kotoučků u slabých i jasných hvězd (při stejném rozdílu hvězdných velikostí 1 mag), byly by kotoučky jasných hvězd příliš veliké. Mapka je pak hůře čitelné a velké kotoučky jasných hvězd jsou na ní velmi rušivé. Spatně čitelná je mapka i v opačném případě, kdy by naopak byly rozdíly ve velikostech kotoučků malé (viz obr 5). Obr. 5: Příklady nevhodně zvolených kotoučků hvězd při vykreslení mapky ve srovnání s korektním řešením - oblast Plejád z Bečvářova atlasu. Na obr. 6 je graficky znázorněn doporučený poměr velikostí kotoučků. Cistě matematicky lze závislost aproximovat vztahem f(x) = —0, 0077378x3+0, 037263x2 + l, 1416x + 1,0603. Číslo na svislé ose udává průměr kotoučku hvězdy vyjádřený v jednotkách průměru nejmenšího kotoučku. Na vodorovné ose je uvedeno, o kolik magnitud je hvězda jasnější než nejslabší zakreslovaná hvězda. Tak např. hvězda o 2,0 magnitudy jasnější bude mít průměr kotoučku 3,3krát větší. Nejmenší průměr kotoučku doporučujeme zvolit v intervalu 1,0 až 1,5 mm. Skála velikostí kotoučků hvězd bude odstupňována po půl magnitudě. Z obr. 6 případně pomocí výše uvedeného vztahu odvoďte průměry kotoučků hvězd s přesností na desetiny milimetru a zapište do tabulky 5. Pro názornost: pokud zvolíme průměr kotoučku č. 1 například 1,5 mm, budou hvězdy s kotoučkem č. 5 o 2 magnitudy jasnější než s kotoučkem č. 1 a z obr. 6 odečteme, že pro hvězdy s rozdílem jasností odpovídajícím 2 magnitudám je doporučený poměr průměrů 3,3. Průměr kotoučku č. 5 bude tedy 1,5 x 3,3 = 5,0 mm. Po vyplnění celé tabulky 5 si ověřte, že poměr průměrů (i ploch) kotoučků hvězd lišících se o 1 magnitudu je jiný u hvězd slabých a jasných. 4. Podle údajů z tabulky 5 nyní doplňte pořadová čísla kotoučků hvězd do tabulky 4. 5. Nyní už můžeme přejít k vlastnímu vykreslení mapky. Pokud budete kreslit ručně, použijte ostrou tvrdou tužku (tvrdost 3H až 5H) a snažte se zakreslovat polohy hvězd (v pravoúhlých souřadnicích x, y) s přesností 0,1 až 0,2 mm. Kreslit můžete na čistý nebo milimetrový papír. Hvězdu zakreslete jako malý křížek, u něhož uvedete pořadové číslo kotoučku. Někdy nelze vykreslit křížek celý (zasahoval by do křížku hvězdy v těsném sousedství). Zakreslete proto jen část křížku, ale hlavně dbejte na to, aby se nezaměnila pořadová čísla kotoučků (jsou-li různá). U proměnných hvězd uveďte pořadová čísla kotoučků odpovídající hvězdným velikostem v maximu a minimu jasnosti, hvězdu označte písmenem V (viz příklad na obr. 7). Po skončení práce, zakreslené polohy ještě jednou zkontrolujte. Tradiční postup tvorby mapky by nyní velel připevnit k papíru se zákresy poloh hvězd pauzovací papír a pomocí nulátka vykreslovat tuší kotoučky hvězd. Pro 15 pomčr prúmérú I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I 0 1 2 3 4 5 6 roľdil hvÍ7idných velikosti (rnagniUidY) Obr. 6: Doporučená škála velikostí kotoučků hvězd. jednoduchost však použijeme původní papír se zákresy poloh a do něj pomocí měkké tužky (tvrdost B) budeme vykreslovat kotoučky stanovené velikosti. Kotoučky hvězd, které by se překrývaly, nekreslete celé, podívejte se do některého z atlasů hvězdné oblohy a použijte vhodný způsob oddělení. V 3/1 3 1 Obr. 7: Zakreslování křížků poloh hvězd. Pokud se rozhodnete kreslit mapku s pomocí počítače, bude postup samozřejmě odlišný. Například v excelu je vhodné zvolit pro vykreslení bublinový typ grafu. Není třeba nejprve vykreslovat polohy a pak kotoučky hvězd. Vše je možné udělat najednou. Bohužel není možné korektně odlišit a zakreslit hvězdy v těsném sousedství, kdy se kotoučky překrývají. Vlastní program by si ale s takovou nástrahou poradit mohl. V každém případě dbejte na to, aby výsledné velikosti kotoučků na vytištěné mapce odpovídaly zvolené škále. 6. Každá mapka má být řádně popsána. Doplňte popisy os (v astronomických souřadnicích), jména nebo označení jasných hvězd, orientace mapky. 7. V současné době je k dispozici velké množství nejrůznějších programů pro zobrazení, vykreslení map celé hvězdné oblohy nebo jejích částí. Pomůže vám malý přehled v tabulce 3, který však ani zdaleka není kompletní. Vašim úkolem je zvolit si dva z těchto programů a s jeho pomocí vykreslit stejnou oblast hvězdné oblohy - vytvořit tedy opět mapku Plejád. Tyto programy za vás ohlídají například správný chod souřadných os ale v řadě z nich je třeba se přece jen zamyslet nad správným nastavením velikosti kotoučků hvězd. Výsledné mapy vytiskněte a přiložte k protokolu. 16 Tabulka 3: Přehled nejrozšířenějšího softwaru k tvorbě map a tzv. planetárií. Název Typ Odkaz Coelix freeware http://www.ngc7000.com/en/coelix WorldWideTelescope freeware http://worldwidetelescope.org/webclient/ Stellarium freeware http://www.stellarium.org Aladin free online http://aladin.u-strasbg.fr/ Your Sky free online http://www.fourmilab.ch/yoursky/ Cartes du Ciel freeware http://www.ap-i.net/skychart/ Guide placený http://www.proj ectpluto.com Megastar placený http://www.willbell.com/software/megastar/index.htm The Sky placený https://www.bisque.com/product/theskyx-pro/ Xephem freeware http://www.clearskyinstitute.com/xephem/xephem.html Celestia freeware https://celestia.space/ Starry Night placený http://www.starrynight.com/ SkyORB freeware http://www.realtech-vr.com/home/skyorb Použité zdroje a další materiály ke studiu Bečvář, A., Atlas Coeli Guide 8.0, http://www.projectpluto.com Pokorný, Z., Vademecum. Hvězdárna a planetárium M. Koperníka v Brně, 2006 internetové zdroje - viz tabulka 3 17 PRAKTICKÁ CAST Úloha: Mapka Plejád Jméno:..................... Datum odevzdání: Shrnutí úkolů: 1. Určete rozsah kreslené oblasti dle postupu bod 1 a zapište do následujících řádků n _ h m _ °- n _ hm _ o. "začátku --- --- ---> "konce --- --- ---> rozdíl akonce - "začátku = —° = — mm; ^začátku =---°; ikonce =---°; rozdíl C>konce " ^začátku =---° =---mm- 2. Do tabulky 4 vepište spočtené pravoúhlé souřadnice x,y. 3. Určete velikosti kotoučků vykreslovaných hvězd a výsledky zapište do tabulky 4, 5. 4. Vykreslení poloh hvězd, velikostí kotoučků. Vytvoření mapky Plejád. Popisky mapky. Vykreslenou nebo vytištěnou mapku přiložte. Pokud použijete kreslení s pomocí počítače, nezapomeňte napsat jaký software jste použili a jak jste postupovali, případně přiložit výpis vlastního programu. 5. Vyberte si z programů v tabulce 3, případně i z jiných podobných programů dva a s jejich pomocí vytvořte mapku stejné oblasti, jakou jste vykreslovali ze zadaných dat. Vždy uveďte s pomocí jakého programu mapka vznikla a případně i jaké nastavení jste při tvorbě použili. Proveďte srovnání a diskutujte výsledek. Vytvořené mapky přiložte k protokolu. 18 Tabulka 4: Hvězdy v otevřené hvězdokupě Plejády jasnější než 7,0 mag. a ]h m sj 5 [°] X [mm] y [mm] Hv. vel. [mag] Pořad. č. kotoučku Poznámka 3 44 48 24 17 22 5,45 16 Tau 3 44 53 24 06 48 3,70 17 Tau 3 45 10 24 50 21 5,65 18 Tau 3 45 12 24 28 02 4,30 19 Tau 3 45 49 23 08 48 6,85 3 45 50 24 22 04 3,88 20 Tau 3 45 54 24 33 17 5,76 21 Tau 3 46 03 24 31 40 6,42 22 Tau 3 46 20 23 56 57 4,18 23 Tau 3 46 59 24 31 13 6,81 3 47 21 23 48 13 6,99 3 47 21 24 06 58 6,30 3 47 29 24 06 18 2,87 25 r) Tau 3 47 29 24 17 19 6,81 3 48 07 24 59 19 6,46 3 48 21 23 25 16 5,44 3 48 30 24 20 43 6,94 3 48 57 23 51 26 6,6 3 49 10 24 03 12 3,63 27 Tau 3 49 11 24 08 12 4,9-5,3 28 Tau = BU Tau 3 49 22 24 22 50 6,62 3 49 44 23 42 42 6,16 3 49 58 23 50 55 6,74 3 50 52 23 57 43 6,93 19 Tabulka 5: Velikosti kotoučků hvězd na mapce. Pořadové číslo kotoučku Hvězdná velikost (mag) Průměr (mm) 1 6,76 - 7,25 2 6,26 - 6,75 3 5,76 - 6,25 4 5,26 - 5,75 5 4,76 - 5,25 6 4,26-4,75 7 3,76-4,25 8 3,26 - 3,75 9 2,76 - 3,25 20 Bil \ 1 f základy astronomie 1 ■v ■, \ \ 1 1 Praktikum 2. -.......\ B) Zpracování dat v programovacím jazyku 1 Úvod Je těžké si představit, že v dobách antického Recka neexistoval kalkulus či algebra. Matematici té doby prováděli výpočty prakticky výhradně za pomoci geometrie (příkladem je Euklidova práce Základy). I když se může zdát, že takový postup musí mít veliké omezení, podařilo sa několika astronomům dosáhnout velice přesných měření týkajících se i naší planety. Například, Eratosthenovi z Kyrény se podařilo určit poloměr Země s poměrně dobrou přesností - odchýlka, v porovnaní se současnou hodnotou, je menší ako 5 % (vždyť tehdy ani nebylo obecně akceptováno, že Země je kulatá!). Formálně jsou zásluhy za založení moderní matematiky v 17. století připisovány Isaacu Newtonovi a Gottfriedu Leibnizovi. Invence diferenciálního a integrálního počtu představovala důležitý skok kupředu i pro fyziku a astronomií. Řešení rovnic bylo omezeno jenom časem potřebným pro výpočet. Jak už jistě víte, některé výpočty jsou časově celkem náročné - určit složky polohového vektoru pro deset častíc by vám zabralo maximálne pár minut s použitím moderné kalkulačky. Sice v druhé polovině 17. století mechanice kalkulačky již existovali, bylo je možné použít jenom ja sčítavaní či odečítavaní malých čísel. V průběhu dalších dvou století byli funkce kalkulaček výrazně vylepšeny - arithmometr představoval velice přesnou (a poměrně drahou) kalkulačku v 19. století. Mela však stále velikou nevýhodu - kdybychom chtěli rychle vypočíst hodnotu logaritmu nebo trigonometrické funkce, museli bychom mít poruče tabulky s jejich hodnotami. Mechanické počítače a následně jejich elektronické verze vedli k postupnímu zkracovaní výpočetního času, (nejenom) pro vědce (mějme však na vědomí, že komerčně dostupní mechanické kalkulačky byli dostupné až do druhé poloviny 20. století, například Curta). V dnešní době vlastní pomaly každý člověk alespoň jeden mobilní telefon, který je schopen provést několik miliard operací za vteřinu! Moderní procesory CPU a GPU pro osobní počítače jsou ještě výkonnější a cenově dostupné i pro běžého člověka. Tohle je pro astrofyziku velice dobrá správa - obrovské množství dat, které máme v současnosti k dispozici vyžaduje taky obrovskou výpočetní kapacitu pro jejich zpracování. Programovací jazyk slouží na komunikaci mezi uživatelem a procesorem počítače. V tomto praktiku si skúsime několik základních postupů, bez kterých se při efektivním zpracování dat nezaobejdeme. Pracovat budeme především v jazyce Python, ale můžete použít i jiný jazyk pro řešení zadaných problémů (nejužitočnejšími jsou v astrofyzice jazyky C, C++, Python, Fortran). 2 Pracovní postup 2.1 Příprava Jestli je tohle vaše první setkání s programovacím jazykem, není důvod pro obavy. Na stránce předmětu můžete naleznout jednoduchý návod pro úvod do programovaní v jazyce Python. Vyskoušejte si sami vyřešit všechny příklady uvedené v návodu, aby jste si zvykli na základy psaní v programovacím jazyku. 21 Pro psaní kódu si budete muset Python nainstalovat (je doporučeno nejprve skusit editor Visual Studio Code, který můžete stáhnout zdarma, alternativně si stáhněte Python pro váš operační systém a pracujte v konzoli). Další možností je využít online programovaní v prostředí Jupyter (https://jupyter.org/try). Obr. 8: Znázornění projekce vektoru na jiný vektor. 2.2 Radiálni složka vektoru rychlosti Teď, když jsme se již obeznámili se základmi programování, pustíme se do prvního problému, který by jsme bez počítače řešili celkem dlouho. Každý student má k dispozici vlastní vygenerovaný seznam několika stovek hvězd (s jejich polohami a složkami rychlosti). Načítejte si váš soubor pomocí příkazu with open(;cesta/prakt2data.txt;,'r') as filedata: alldata= [x.split() for x in filedata.readlinesO] soubor=array([list(map(str,x)) for x in alldata[l:]]) (příklad na použití je uveden v návodu). Pozorovatel se nachází ve středu souřadnicové soustavy. Vaším úkolem je určit průměrnou hodnotu radiálních složek všech vektorů rychlosti. K tomu využijeme vztah pro skalární součin dvou vektorů, u ■ v = \u\\v\ cos6, kde 6 je uhel, který svírají vektory u a v. Protože wproj = \v\ cos 6 (obr. 8), dostávame pro hodnotu projekce vektoru v na vektor u Wproj = V - i^j" • í1) 2.3 Mapka hvězdokopy Použijte knižnici matplotlib .pyplot a vykreslete si polohy hvězd na obloze. Velikost bodů si můžete zvolit v příkazu pit.plot() s použitím parametru ms=1.0, odporoučíme taky změnit průhlednost bodů pomocí parametru alpha=0.5. Nezapomeňte doplnit popisky grafu. Dávejte pozor na orientaci os (ovládate pomocí příkazu pit .xlim(od,do) v osi x, a podobně pro druhou osu)! Graf si vytiskněte a přiložte k praktiku. Použité zdroje a další materiály ke studiu https://jupyter.org/try https://www.w3schools.com/python/default.asp 22 PRAKTICKÁ CAST Úloha: Zpracování dat v programovacím jazyku Jméno: Datum odevzdání: Shrnutí úkolů: 1. Nainstalujte si do svého počítače Python. Vyskoušejte si naprogramovat úlohy řešené v poskytnutém návodu. 2. Stáhněte si soubor hvězd, který vám byl přidělen. Soubor ma následující strukturu: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 m [mag] a [°] S [°] x [pc] y [pc] z [pc] vx [km/s] Vy [km/s] vz [km/s] kde m je pozorovaná hvězdná velikost, a je rektascenze a 5 je deklinace. Nejprve vypočítejte radiální složky vektorů rychlosti. K tomu si za vektory Ú & v v rovnici 1 zvolte v = {vx , Vy, v z) a u = {x, y, z). Následne vypočítejte průměrnou hodnotu < ^rad >• Nezapomeňte na to, že uhly musíte dosazovat do trigonometrických funkcií Python-u v radianech. Průměrná hodnota radiálních rychlostí hvězd je.........km/s. Stručně vysvětlete, proč musíme (obecně) vložit nerovnost do v-—)^{v)- —— \u\ / (u) 3. Vykreslete do grafu mapku vaši hvězdokopy na hvězdné obloze. Graf si vytiskněte a přiložte jej k praktiku. 23 / úhlová výška \ základy astronomie 1 / \ Sever \ Praktikum 3. azimut Astronomické souřadnice 1 Úvod Znalost a správné používání astronomických souřadnic patří k základní výbavě astronoma. Bez nich se prostě neobejdete. Nejde ale jen o znalost terminologie, je třeba i pochopit vzájemné vztahy a dokázat si některé jednodušší situace představit. K takové výuce se nejlépe hodí návštěva planetária a výklad s praktickými ukázkami pod umělou oblohou. Pokud není taková výuka možná, vypomůžeme si nejrůznějšími simulátory. Jedny z těch zdařilých najdeme na stránkách Nebrasca-Lincoln University http: //astro. unl. edu/. Přestože využívají pro zobrazování souřadnic pomyslnou nebeskou sféru, jejíž představu jsme odmítli a nahradili směrovými vektory, využijeme právě těchto povedených simulátorů při řešení úkolů tohoto praktika. První část praktické úlohy věnujeme procvičení obzorníkové soustavy souřadnic. Základními pojmy zde jsou vodorovná rovina, místní poledník (meridián) a souřadnice - úhlová výška h a azimut A. Velmi důležité je pochopit a uvědomit si, jak závisí úhlová výška Polárky na zeměpisné šířce pozorovacího stanoviště. K tomu nám poslouží první sada úloh. Druhá část se zabývá pohyby Slunce na obloze a hvězdné obloze a třetí část praktické úlohy bude věnována rovníkovým souřadnicím. Základními pojmy zde jsou rovina světového rovníku, světové póly, hodinový úhel, jarní bod, podzimní bod, rektascenze a a deklinace S. Motions of the Sun Simulator reset help about Information The horizon diagram is shown for an observer at latitude 49,0° N on 11 November at 16:17 (4:17 PM). sun's hour angle: 4h 23m sidereal time: 19h 42m equation of time: 15:53 □ show ana lemma sun's altitude: 0.1° sun's azimuth: 242.3° sun's right ascension: 15h 9m sun's declination: -17.7° Time and Location Controls the day of year: | 11 | | November" I Jan I Feb I Mar I Apr I Nay I Jun I Jul I Aug I Sep I Oct I Nov I Dec I the time of day: 16:17 Animation Controls start animation animation mode: ® continuous O step by day loop day animation speed: 3.0 hrs/sec use lower quality graphics when animating to improve performance General Settings show the sun's M declination circle 0 show the ecliptic 1 I 5how month labels show underside of - celestial sphere show stickfigure and its shadow dragging the inn's di*k changes the ... isJ time of day O day of year Obr. 9: Simulátor pohybu Slunce. Převzato z University of Nebraska-Lincoln. 24 shift map + 90° +60° +30" -30° -60° -90° 15 h 12 h IS h 12 h point location declination: 24.2° right ascension: 3.7 h decimal O seragesima 0 hi 21 h IS h M show celestial equator 0 show ecliptic 0 show equinoxes and solstices D show galactic equator I show zodiac constellations + 90° + 60° +30" -30° -60° -90° click on the the rnap to change the cursor location shift-click to drag trie map left and right point location declination: 24.2° right ascension: 3.7h ® decimal O sexagesima □ show celestial equator _ show ecliptic □ stiow equinoxes and solstices _ show galactic equator show celestial poles Z show zodiac constellations geometry <3 viewing [respective celestial spliere dičk eft tfto Sŕ/?Ľŕir tu Change trie ČUf-Suť location, shift-click to change the sphere's orientation Obr. 10: Simulátor rovníkových souřadnic a polohy objektu na hvězdné obloze. Převzato z University of Nebraska-Lincoln. Použité zdroje a další materiály ke studiu http://astro.unl.edu/naap Zejda, M., 2011, Základy astronomie, MU, učební texty Pokorný, Z., Vademecum. Hvězdárna a planetárium M. Koperníka v Brně, 2006 25 PRAKTICKÁ ČÁST Úloha: Astronomické souřadnice Jméno:..................... Datum odevzdání: Shrnutí úkolů: 1. Doplňte v následujících tabulkách úhlovou výšku objektu na meridiánu (místním poledníku) a v obrázcích načrtněte (severní nebo jižní) světový pól, světový rovník, zenit a směr ke hvězdě a vyznačte úhly mezi zobrazenými směry. V obrázku jsou zobrazeny vodorovné směry k jihu a severu a zenit. Poloha Objekt -7- Uhlová výška na meridiánu Severní pól (s.zem.š. 90°) Betelgeuse (<5=+7°) z I j-m j Obr. 11: Náčrt situace (J - jih, Z - zenit). Poloha Objekt Uhlová výška na meridiánu Brno (s.zem.š. 49°) Capella (č=+46°) z I s-• J Obr. 12: Náčrt situace (S - sever, J - jih, Z - zenit). Poloha Objekt -7- Uhlová výška na meridiánu Brno (s.zem.š. 49°) Slunce v den letního slunovratu Brno (s.zem.š. 49°) Slunce v den zimního slunovratu 26 Obr. 13: Náčrt situace (S - sever, J - jih, Z - zenit). 2. Zjistěte z obrázku zeměpisnou šířku pozorovacího stanoviště a určete úhlovou výšku Síria při horní kulminaci. Zkuste najít nějaké větší americké město, které odpovídá této zeměpisné šířce (tolerance 2° zeměpisné šířky). Město a poloha Objekt -7- Uhlová výška na meridiánu Sirius (<5=-16°) s Obr. 14: Náčrt situace (SR - světový rovník, JSP - jižní světový pól, S - sever, J - jih, Z -zenit). 3. Využijte nyní simulátoru pohybu Slunce na http://astro.unl.edu/classaction/ animations/coordsmotion/sunmotions.html. a) Pro zeměpisnou šířku Brna určete, který den v roce bude mít postavička v simulátoru v pravé poledne nejdelší a nejkratší stín. Uhlovou výšku Slunce na obloze v tyto dva dny ověřte výpočtem. b) Stále se nacházíme v Brně. Představte si, že v den se zajímavým datem 11.11. je Měsíc právě v úplňku. Odhadněte pomocí simulátoru, kdy na území města Brna Měsíc v tento den vychází. c) Pojem "bílé noci"je často spojován s letní návštěvou Petrohradu, který se nachází na takřka 60° severní zeměpisné šířky. Představte si, že se vydáte ještě dál na sever, až za polární kruh na 80. rovnoběžku. Pomocí simulátoru zkuste odhadnout období polární noci a polárního dne. Srovnejte délku polárního dne a polární noci pro 80. stupeň jižní zeměpisné šířky. 27 Pro upevnění našich znalostí použijeme tentokráte tyto dva simulátory: http://astro.unl.edu/naap/motionl/animations/cec_flat.html http://astro.unl.edu/naap/motionl/animations/tc_flat.html a) Pokud to ještě neznáte, naučte se anglickou terminologii - zejména jarní a podzimní bod a letní a zimní slunovrat. Nicméně, jestliže víte, jak je jarní bod definován, najdete ho na simulátoru, i kdyby byl popsán čínsky. Určitě bude ale velmi snadné odpovědět na následující otázky. Jaké jsou rovníkové souřadnice jarního bodu? V jakém souhvězdí se nachází? Jaká je jeho úhlová vzdálenost od podzimního bodu? (Výslednou hodnotu napište jak v úhlové, tak i časově-úhlové míře). b) Určete maximální elongaci (úhlovou vzdálenost) Slunce od světového rovníku v průběhu roku. Kdy k ní dochází? c) Na obrázku 10 je vyznačen jeden objekt. Dokážete určit, o jaký objekt se jedná? d) Vybrali jsme několik jasných hvězd. Identifikujte je podle souřadnic. Napište jejich jméno, latinský název i zkratku souhvězdí, kam patří. Vše zapište do tabulky. Číslo Souřa RA [hod] inice DEC [°] Jméno Souhvězdí Zkratka 1 10,1 12 2 4,6 16,5 3 16,5 -26,5 4 5,9 7,4 e) O kolik hodin dříve vyjde Slunce ve Washingtonu (USA) než v Pekingu (Čína)? A jaký je tento časový posun mezi Canberrou (Austrálie) a Sao Paulem (Brazílie)? Dosud jsme mluvili zejména o rovníkových souřadnicích druhého typu a i tam, kde nebyl typ uveden, jsme mlčky předpokládali, že jde právě o typ 2. Rovníkové souřadnice prvního typu mají místo rektascenze souřadnici hodinový úhel t, která se mění v průběhu noci, jak plyne hvězdný čas. Právě hvězdný čas obě délkové souřadnice rovníkových soustav spojuje jednoduchým vztahem hodinový úhel = hvězdný čas - rektascenze. Pro lepší pochopení se podívejte na obrázek 15 a zkuste simulátor http: //astro. unl. edu/classaction/animations/2001evel/siderealTimeAndHourAngleDemo.html. Aktuální hvězdný čas lze najít například na stránkách Stefánikovy hvězdárny v Praze http: //observátory. cz/static/0bloha°/„20dnes/hvezdnycas .php. Při pozorování potřebuji během noci pozorovat jisté referenční hvězdy (s danou deklinaci) v různých úhlových výškách větších než 30°. Vím, že o pravé půlnoci bude hvězdný čas 1 h 30 min. Referenční hvězdy jakých rektascenzí mohu použít právě o půlnoci? 28 6. Na závěr jen několik dotazů: a) V simulátoru pohybu Slunce je možnost zobrazit analemu. Co je to? Vložte si ji do simulátoru, prohlédněte si ji a vyzkoušejte a pak se pokuste vytvořit jednoduchou formulaci, co by toto slovo mohlo znamenat. b) Jakou deklinaci mají hvězdy, které jsou cirkumpolární pro Brno? c) Kde na Zemi uvidím v průběhu roku celou hvězdnou oblohu? d) Mohu někde vidět celou hvězdnou oblohu za dobu kratší než 12 hodin? e) Mohu najít na Zemi místo, kde budou vycházet a zapadat v průběhu jedné noci hvězdy prakticky všech deklinací? Sidereal Time and Hour Angle Demonstrator reset about Obr. 15: Simulátor rovníkových souřadnic a hodinového úhlu. Převzato z University of Nebraska-Lincoln. 29 základy astronomie 1 Praktikum 4. A) dírková komora 1 Uvod Pozorování Slunce nepochybně patří k nejstarším pozorováním, jaká kdy člověk prováděl. Samozřejmě zpočátku sledoval jen sluneční kotouč - jeho polohu, pohyby. Všímal si času a místa, kde Slunce vychází a zapadá o rovnodennostech, slunovratech. Teprve mnohem později si občas mohl povšimnout, že na tom zlatavém slunečním kotouči je někdy možné vidět tmavší skvrny. Slunce už nebylo tak božsky čisté a neposkvrněné. S objevem dalekohledu bylo možné sledovat tyto skvrny na slunečním povrchu častěji. Jenže přímé pozorování Slunce končilo zpravidla katastrofálním poškozením zraku a mnohdy slepotou. Dnes existují speciální dalekohledy nebo alespoň speciální filtry, které vám umožní pozorovat Slunce přímo a přitom bezpečně. Ale bezpečně lze pozorovat Slunce i bez speciální výbavy, stačí použít projekci nebo sledovat kotouček Slunce pomocí dírkové komory (camera obscura5). První vyobrazení dírkové komory (a hned využité při sledování Slunce) publikoval v roce 1545 astronom Gemma Frisius, který s její pomocí pozoroval zatmění Slunce v předchozím roce (viz obr. 16). i E!u m irt Tibcrla pe r f id ios So] is, tju i m i ricotlo curi tjn-gif: 1 iOC tfl /i i ii c (zde uveden přiklad p.^ < 0) 4- 15uacosri rektascenze a (zde uveden přiklad ua > 0) Obr. 24: Příklad zákresu hvězdy a jejího vlastního pohybu. Znázorněte v grafu polohy všech hvězd a úsečkami znázorněte jejich vlastní pohyby. Graf je doporučeno vytvořit na počítači. V každém případě ale dbejte na správný popis os, na směr, ve kterém se zvětšuje rektascenze a deklinace, tedy na správnou orientaci souřadných os. Výsledný graf přiložte k protokolu. 2.3 Nalezení úběžníku Výsledný graf nám poslouží pro další úkol. Prodloužíme v něm všechny úsečky vlastních pohybů hvězd a pokusíme se najít polohu úběžníku. Z grafu lze také odečíst přibližnou hodnotu úhlu ů. Pro přesné řešení je třeba vypočítat úhel ů ze základních vztahů sférické trigonometrie pro úhlovou vzdálenost dvou bodů daných svými sférickými souřadnicemi. Vzdálenost mezi dvěma bodmi na sféře je možné určit pomoci vztahu ů = arccos [sin 8± sin 82 + cos 8± cos 82 cos (a\ — 0.2)} • (6) Kdyby jsme chtěli použít rovinnou aproximaci (podobně jako při vlastním pohybu) a vzdálenost mezi dvěma body spočítat z Pytagorovi věty, mohli bychom se dopustit takové chyby, že výslední uhlová vzdálenost by mohla vyjít až dvakrát větší! (Tahle aproximace je užitečná pouze pro dostatočne malé uhly, kdy můžeme pozorovanou část sféry aproximovat rovinou.) 42 2.4 Určení vzdálenosti K dispozici máme nyní hodnoty všech veličin, které potřebujeme pro výpočet paralaxy dle vztahu 4, respektive vzdálenosti. Ze vzdáleností hvězd členů otevřené hvězdokupy spočtěte průměrnou hodnotu a její chybu. Spočítejte také vzdálenost hvězdokupy v parsecích a světelných letech včetně příslušných chyb. Diskutujte dosaženou přesnost a velikost chyby aritmetického průměru s reálnou chybou určení vzdálenosti hvězdokupy pomocí ůběžníku. Získanou vzdálenost srovnejte s hodnotou uváděnou v literatuře. Nezapomeňte správně citovat zdroj uvedené hodnoty vzdálenosti. Použité zdroje a další materiály ke studiu Cantat-Gaudin, T., et al., 2018, A&A, 618, 93 Gaia Collaboration, Brown. A. G. A., Vallenari, A., et al. 2018, A&A, 616, Al (DR2) Minnaert, M. G. J., Practical Work in Elementary Astronomy, D. Reidel, Dordrecht, 1969 Minnaert, M. G. J., Praktická astronómia, překlad L. Druga, Obzor, Bratislava 1979 Pokorný, Z., Vademecum. Hvězdárna a planetárium M. Koperníka v Brně, 2006 Röser, S., Schiibach, E., k Goldman, B., 2019, A&A 621, L2 Van Bueren, H., Bull. Astron. Inst. Netherl. 11, 385, 1952 43 PRAKTICKÁ ČÁST Úloha: Vzdálenost hvězdokupy Jméno: Datum odevzdání: Shrnutí úkolů: 1. Odvoďte vztah 4 7T = 4.74/i ivtgi? 2. Spočtěte dle vztahu 5 vlastní pohyb fi hvězd ze zvolené otevřené hvězdokupy 3. Zakreslete do grafu polohy a vlastní pohyby hvězd. Graf přiložte k protokolu. 4. V grafu protáhněte úsečky vlastních pohybů a najděte úběžník. 5. Vypočtěte uhlové vzdálenosti hvězd od úběžníku a pak vzdálenosti samotných hvězd. Spočtěte průměrnou vzdálenost a chybu. Diskutujte chybu určení. Srovnejte s hodnotou vzdálenosti nalezenou v literatuře. Vzdálenost hvězdokupy............ určená pomocí vlastních pohybů hvězd je............pc. Vzdálenost hvězdokupy z literatury................pc. (zdroj:............................................................) Diskuse: 44 6. Navrhněte alespoň jednu metodu, jak jinak by bylo možné zjistit vzdálenost hvězdokupy Popište nejen navrženou metodu/-y ale i jaké údaje jsou pro ni potřebné a zda jsou dostupné například na internetu. 45 základy astronomie 1 I Praktikum 5. B) Mezihvězdné čáry a H9HS vzdálenosti ke hvězdám 1 Uvod Jistě už víte, že prostor mezi hvězdami není docela prázdný. Mimo fotonů, kozmického záření, neutrin a gravitačních vln se zde setkáme i s "klasickou" hmotou, která je tvořená především vodíkem a héliem. Samotní stav této hmoty (hustota, teplota, ionizační stav) se pak mění v závislosti na tom, kterým směrem (a do jaké vzdálenosti) v naši Galaxii se dívame. U atomů to však nekončí, některé části prostoru obsahují taky (ze spektroskopického hlediska) nezanedbatelné množství molekul. Mezi ně patří hlavně molekuly vodíku (H2) a oxidu uhelnatého (CO), které představují většinu molekul v hustějších částech mezihvězdného prostředí. Setkáme se zde však taky s výrazně většími molekulami, jako např. methylamin (CH3NH2, Kaifu et al. 1975) nebo dokonce buckminsterfullerene (Cqo, Campbell et al. 2015). I když se můžeme setkat s emisními čárami složek mezihvězdného prostředí (např. emisní složka mlhoviny M 42 nebo reflexní mlhovina M 78), často se astronomové zajímají o absorpční část spektra mezihvězdné látky. Důvod je ten, že absorpce (ale i rozptyl) mezihvězdné látky odstraňuje fotony z původního směru záření. Výsledkem je zčervenání pozorované hvězdy (rozptyl světla kvůli klasické hmotě je typicky efektivnější pro kratší vlnové délky) a znížení její jasnosti oproti situaci, kdy by se žádná látka mezi pozorovatelem a hvězdou nenacházela. Tohle má nezanedbatelný vplyv na fotometrická měření vzdáleností. Zajímavostí však je, že měření absorpce v některých mezihvězdných čarách může posloužit jako odhad pro určení vzdáleností hvězd! "1: »'■ * »■ Obr. 25: Snímky mlhovin: vlevo M 42 (NASA, ESA, M. Robberto, https://www.nasa.gov/ f eature/goddard/2017/messier-42-the-orion-nebula), vpravo M 78 (Richard S. Wright Jr., https: //apod.nasa.gov/apod/ap 190308.html). Beals & Oke v roce 1953 představili jednoduché vztahy pro výpočet vzdálenosti ke hvězdě pomocí měření ekvivalentních šířek (míra absorpce) čar. Tohle ukázali na čárách vápníku (393.4 nm) a sodíku (589.0 nm, 589.6 nm). Celá úvaha za touhle metodou se zakládá na tom, že mezihvězdné prostředí je dobře promícháno, co je do jisté míry pravda, ale i malé odchylky můžou spůsobit nepřesnosti. V závislosti na skutečné vzdálenosti pozorované hvězdy (kterou zde předem neznáme) bude existovat jistá pravděpodobnost, že se ve směru ke hvězdě nacházejí i zhustky mezihvězdného prostředí, které představují nedokonalost v promíchání. I když metoda statisticky funguje, není vhodná pro přesná měření. 46 2500 2000 1500 1000 500 v ----- - / J • LJ tmo fwnujycii ' i 1 /V PAHALU£Tlť MQTlŮhS Q ECUF5IIW filMUin P —- i £ CA y«j íiLda-i Lna UTir- BTiTATb™jj iO 20 30 40 50 Fic. 4. Otdinatet: Dit tance, parsičs* Abídtme: Calciutn intensity (JE). 60 2000 ;soo 1000 500 10 20 30 Flo. 5. Ordinůtei: Distance, parsecs. Abidttae: Sadium intensity Obr. 26: Lineární korelace mezi vzdálenostmi a ekvivalentům šířkami čar vápníku a sodíku (Beals & Oke 1953). 47 2 Pracovní postup V práci Beals k Oke (1953) jsou uvedeny nasledujíci vztahy mezi absorpcí v čárách (EW [km/s]) a vzdáleností (d [pc]): dK = 34.83 EWK (7) <ídi,D2 = 30.75--- (8) Na stránce předmětu nalezněte data k úloze (Kos k Zwitter 2013). První sloupec obsahuje označení hvězd (HD), druhý a třetí sloupec představují Galaktické sférické souřadnice (Galaktická dloužka l, Galaktická výška b), čtvrtý sloupec pak poměrně přesně určenou vzdálenost k dané hvězdě. Další sloupce postupně obsahují hodnoty polohy středu spektrální čáry (v jednotkách 0.1 nm) a její ekvivalentní šířku (v jednotkách 0.1 pm = 0.0001 nm) pro čáry D2, Dl, K a H (jedná se o označení Fraunhoferovych čar neutrálního sodíku a ionizovaného vápniku). 2.1 Převod jednotek Než začnete počítat, je nutno si uvědomit, že vztahy 7 a 8 jsou vytvořené pro ekvivalentní šířky v jednotkách km/s. Převod uděláte jednoduše s pomocí EW (km/s) = c (km/s) , (9) kde c je rychlost světla (300 000 km/s) a A je vlnová délka dané spektrální čáry. 2.2 Výpočet vzdáleností podle Beals & Oke S pomocí vztahů 7 a 8 spočítejte vzdálenosti všech 48 hvězd. Výstupem by měla být tabulka obsahující názvy hvězd, EW [km/s] a vzdálenosti z čáry K, a EW [km/s] a vzdálenosti z čar Dl a D2. Vzdálenosti zaokrouhlete na celé parseky nebo na desítky parseků. Platnost vztahů ověřte vykreslením histogramů rozdílů mezi vypočtenými hodnotami vzdáleností a hodnotami z datového souboru. Pokud vše funguje jak má, střed histogramu by měl obsahovat maximum, které se nachází blízko nuly na x-ové osi. 2.3 Výpočet vzdáleností podle Megier et al. Megier et al. ve své práci z roku 2009 uvedli přesnější (i když poněkud komplikovanejší) vztah pro určení vzdálenosti z absorpce ve vápníkových čarách K a H dcaii = 77 + EWH (^2.78 + , (10) kde EW jsou v jednotkách 0.1 pm a vzdálenost v parsecích. Zopakujte postup z předchozí úlohy - vašim výstupem by opět měla být tabulka a histogram. Použité zdroje a další materiály ke studiu Beals, C. S., k Oke, J. B. 1953, MNRAS, 113, 530 Campbell, E. K., et al. 2015, Nature, 523, 322 Kaifu, N., Takagi, K., k Kojima, T. 1975, ApJ, 198, 85 Kos, J., k Zwitter, T. 2013, ApJ, 774, 72 Megier, A., et al. 2009, A&A, 507, 833 48 PRAKTICKÁ CAST Úloha: Mezihvězdné čáry a vzdálenosti ke hvězdám Jméno:..................... Datum odevzdání: Shrnutí úkolů: 1. Převeďte hodnoty ekvivalentních šířek na km/s (rovnice 9). 2. Určete vzdálenost ke hvězdám pomocí vztahů 7 a 8. Vaše výsledky vložte do tabulky a přiložte k praktiku. 3. Spočítejte rozdíly mezi vašimi vzdálenosti a hodnotami v datovém souboru. Tyto hodnoty vykreslete do histogramu (osobitne pro vápnik a sodík). Diskutujte vzhled histogramů. 4. Postup zopakujte pro vápníkové čáry za použití vztahu 10. Pozor - vztah funguje pouze pro situaci EWk/EWh > 1-3. Výslednou tabulku a histogram přiložte k praktiku. Diskutujte vzhled histogramu. 5. Práce od Megier et al. obsahuje tvrzení, že vztah 10 je užitečný pouze v případe, že se pozorované hvězdy nacházejí blízko k rovině naši Galaxie. Absolutní hodnotu vzdálenosti od roviny Galaxie můžete určit jako \z\ = |cž sin6|, kde b je Galaktická šířka (ve vašem souboru ve sloupci označeném jako "GLAT") a za hodnotu d dosaďte vzdálenost ze souboru. Pro situaci kdy \z\ < 100 pc, určete rozdíly mezi vzdálenostmi. Vykreslete si opět histogram a přiložte k praktiku. Došlo k pozorovatelnému zlepšení? 49 6. Jestli známe ekvivalentní šířky čar vápniku, můžeme odhadnout koncentraci částic v mezihvězdném prostředí. Představte si, že směr pozorování tvoří sloupec válcovitého tvaru o nějakém průřezu a s délkou o hodnotě vzdálenosti k pozorované hvězdě. Sloupcovou hustotu častíc vypočítejte pomocí q / 11.4 \ TVcaii = 109EWH 12.2 + kterou dostanete v jednotkách [počet částic / cm2]. Jestli chcete dostat objemovou hustotu (v cm-3), stačí vydělit sloupcovou hustotu vzdáleností (v cm). Vyberte si jednu hvězdu ze seznamu a vypočítejte objemovou hustotu vápniku Ca II. Vybraná hvězda: HD. Zjištěná vzdálenost v úloze 4: cicali = ............... Pc- Odhadnuta hustota částic ionizovaného vápniku Ca II: 7icall = ............... cm -3 Počet částic v krychly o hraně 20 metrů: ./V 50 základy astronomie 1 Praktikum 6. A) Rotace Merkuru 1 Úvod Určování velikosti planet, doby jejich oběhu kolem mateřské hvězdy, délky rotace či hmotnosti jsou důležitou úlohou pozorovací astronomie. Tyto informace jsou vlastně prvním krokem a nezbytným předpokladem pro další studium planetárních světů. Přestože nyní tyto parametry určujeme u vzdáleností planetárních světů mimo naši Sluneční soustavu, ještě před půl stoletím byl problém zjistit tyto parametry například u planety Merkur. Do roku 1900 bylo jedinou možností, jak určit dobu rotace planety, přímé pozorování jejího povrchu. Do 80. let 19. století byl všeobecně přijímán názor, že den na Merkuru trvá přibližně 24 pozemských hodin. V roce 1889 G. V. Schiaparelli zveřejnil zprávu, že pozoroval jisté trvalé útvary na povrchu Merkuru a z nich vyvodil, že doba rotace je stejná jako doba oběhu, tedy 88 dní. Další pozorovatelé, zejména například P. Lowell vázanou rotaci u Merkuru potvrdili. Kolem roku 1900 bylo možné začít studovat planety ve Sluneční soustavě také spektroskopicky. Bohužel pro Venuši nebo Merkur nebyla tato metoda příliš účinná. Astronomové byli schopni jen potvrdit, že doba rotace je několik dní, ale větší přesnosti nedosáhli. Mnohem výkonnější se ukázala metoda radarového odrazu od studovaných planet. Poprvé byl radarový odraz od Merkuru realizován v roce 1963. O dva roky později už bylo možné na otázku rotace Merkuru dát jasnou a jednoznačnou odpověď. Obr. 27: Staré mapy Merkuru, a) Schiaparelli (1889), b) Lowell (1896), c) Jarry-Desloges (1920). Převzato z http://www.lpl.arizona.edu. V srpnu 1965 provedli R. B. Dyce, G. H. Pettengill a I. I. Shapiro sérii rádiových pozorování Merkuru. S využitím 300m radioteleskopu v Arecibu vyslali k Merkuru sérii pulsů o délce 0,1 ms a 0,5 ms o frekvenci 430 MHz. Protože doba cesty paprsku k Merkuru a zpět byla mnohem delší než délka pulsů, bylo možné pozorovat rozšíření signálu ve frekvenci způsobené rotací Merkuru. Samozřejmě, frekvenční posun může být způsoben i pohybem mezi planetami nebo pohybem antény kolem zemské osy. Většina z těchto efektů ale byla pečlivým zpracováním signálů odstraněna. Když je ostrý radarový puls odražen od rotující kulové planety, je přijatý signál rozšířený, jakoby rozmytý, v čase i frekvenci. Vyslaný signál dopadne na celý kotouček planety, ale nejdříve se vrátí odraz z nejbližšího bodu, tedy ze středu kotoučku, z tzv. subradarového bodu. S malou prodlevou se pak vrací odraz ze vzdálenějších a vzdálenějších oblastí symetricky rozložených kolem subradarového bodu (viz obrázek 28). Na obrázku 30 je pět radarových 51 odrazů od Merkuru s rozdílným časovým zpožděním. Všimněte si, že čím delší je časové zpoždění, tím větší je rozsah frekvencí vráceného signálu. Rozšíření signálu ve frekvenci je dáno tím, že jedna okrajová část disku se pohybuje směrem k Zemi a tedy k radaru, zatímco druhá od něj (viz obrázek 29). Jde o známý Dopplerův jev, takže radarový odraz z okraje, který se vzdaluje, se vrátí s menší frekvencí, zatímco odraz z přibližujícího se okraje bude mít frekvenci větší. subradarový bod I <- 2<=- Obr. 28: Rozklad signálu v čase. Určení rotační rychlosti pomocí radarového odrazu by mělo být v principu snadnou záležitostí, jenže odražený signál směrem k okraji slábne a signál přímo z okraje není použitelný. Proto pro určení složky rotační rychlosti ve směru k nám používáme odražený signál z prstence mezi subradarovým bodem a okrajem kotoučku planety (viz obrázek 28). V obrázku 30 je u každého signálu uvedeno zpoždění v mikrosekundách. Doba zpoždění odpovídá vzdálenosti, kterou musí signál navíc urazit oproti situaci, kdy dopadá přímo do subradarového bodu. Platí tedy At = Ir j c (neboť r = cAí/2), kde c je velikost rychlosti světla. Z obr. 28 plyne x = R-r,y= ^/(R2 -x2), (11) kde R = 2420 km je poloměr Merkuru. Z obrázku 28 je také zřejmé, že složku rychlosti Vo, kterou se od nás vzdaluje (nebo k nám přibližuje) právě ta část povrchu, od níž se signál odrazil, určíme z frekvenčního posunu A f na základě Dopplerova jevu: 2V0/c = Af/f, (12) kde / značí frekvenci vyslaného impulsu. Z podobnosti trojúhelníků na obrázku 28 plyne V/V0 = R/y, (13) kde V je hledaná rychlost rotace. Odtud již triviálně určíme periodu rotace P = 2ttR/V. (14) 52 2 Pracovní postup 2.1 Frekvenční posun V obrázku 30 vyznačte u křivek signálů zachycených po návratu z Merkuru body, kde úroveň signálu začíná klesat k základní úrovni. Nyní pro každý z těchto bodů určete velikost frekvenčního posunu. Spočtěte pro každý signál průměrnou hodnotu frekvenčního posunu a zapište do tabulky 8. 2.2 Výpočet periody Pomocí výše uvedených vztahů vypočítejte postupně veličiny r, x, y, \q, V a P v jednotkách, uvedených v tabulce 9 a zapište do tabulky. Pokud jste četli pozorně, frekvenci vysílání / již znáte. Hodnoty periody P získané pro čtyři různá časová zpoždění zprůměrujte. Porovnejte získanou hodnotu s hodnotou v literatuře. Použité zdroje a další materiály ke studiu Hoff, D. B., Schmidt, G.: Laboratory Exercises in Astronomy - the Rotation of Mercury, 1979, Sky and Telescope 58, č. 3, 219-221 Dyce, B. R., Pettengill, G. H., & Shapiro, I. I., 1967, Astronomical journal 72, 351 Pokorný, Z., Vademecum. Hvězdárna a planetárium M. Koperníka v Brně, 2006 53 prijatý tok záření dané frekvence -3-2-10123 změna frekvence (Hz) Obr. 30: Záznamy radarových signálů odražených od Merkuru (Ai uvedené u každého záznamu je v mikrosekundách). Pozorování je ze 17. 8. 1965, radioteleskop Arecibo, Portoriko. Frekvence vyslaného impulsu byla 430 MHz. 54 PRAKTICKÁ ČÁST * _ Úloha: Rotace Merkuru Jméno:..................... Datum odevzdání: Shrnutí úkolů: 1. Obrázek 30 si vytiskněte třikrát. Vyznačte na zobrazených křivkách body, kde úroveň signálu začíná klesat, v záporné i kladné oblasti. Změřte co nejpřesněji velikost frekvenčního posunu pro každý z těchto bodů. Hodnoty představují velikost posunu (budou tedy kladné). Vyznačení bodů a měření opakujte na druhém a poté třetím grafu. Nové grafy pro další měření používáte kvůli minimalizaci ovlivnění předchozím určením. Všechny naměřené hodnoty zapište do tabulky 8. Spočtěte pro každý signál průměrnou hodnotu frekvenčního posunu v hertzích a chybu určení a zapište do tabulky 8. Diskutujte, jak se liší spočtená chyba aritmetického průměru a chyba odpovídající nejistotě s jakou jste měření frekvenčního posunu prováděli. Tabulka 8: Měření frekvenčního posunu Signál At 1. kopie 2. kopie 3. kopie Průměr Chyba [fis] L [mm] P [mm] L [mm] P [mm] L [mm] P [mm] [Hz] [Hz] 120 210 300 390 2. Pomocí výše uvedených vztahů a zjištěných průměrných hodnot frekvenčních posunů pro všechny čtyři signály vypočítejte postupně veličiny r,x,y, Vq, V a P v jednotkách, uvedených v tabulce 9 a zapište do tabulky. Pokud jste četli pozorně úvod, frekvenci vysílání / již znáte. 3. Hodnoty periody P získané pro čtyři různá časová zpoždění zprůměrujte. Porovnejte získanou hodnotu s hodnotou v literatuře. Nezapomeňte uvést zdroj informace. Zjištěná perioda rotace Merkuru................ Perioda rotace Merkuru nalezená v literatuře................ Zdroj................................ 55 Tabulka 9: Vypočtené hodnoty veličin Signál At A/ r X y V0 V P [fis] [Hz] [km] [km] [km] [kms-1] [kms-1] [dny] 120 210 300 390 4. V den pozorování Merkuru 17. 8. 1965 nastala tato konfigurace Slunce, Země a Merkuru: Merkur byl 0.3977 AU od Slunce, Země 1.0116 AU od Slunce a úhel Slunce-Země-Merkur byl roven 4°. Vyslaný impuls z radaru se po odrazu od Merkuru vrátil zpět na Zemi za 616.125 s. Vypočtěte ze zadaných veličin velikost astronomické jednotky v kilometrech. Rychlost světla c = 299 790 km.s-1. Postup výpočtu zapište do pracovního listu. (Nápověda: Je třeba využít jedné ze základních rovnic pro obecný trojúhelník.) Zjištěná délka 1 AU =...........km. 5. Vysvětlete, proč je ve vztahu (12) uveden koeficient 2? 6. Zjistěte a zapište, kdy bude v nejbližším období Merkur v maximálni elongaci. Kdy dojde k dalšímu tranzitu Merkuru (pozorovatelnému ze Země) přes sluneční disk? 56 □základy astronomie 1 Praktikum 6. B) Objev pátého měsíce Jupiteru 1 Úvod Galileo Galilei vytvořil své první záznamy pozorování měsíců Jupiteru v rocích 1609 a 1610. Jeho teleskop byl dostatečnej na to, aby rozlišil čtyři měsíce obíhající kolem své mateřské planety - Ganymedes (nebo Ganymed), Calliso, Io a Europa. Dnes již víme, že se jedná o poměrně kulatá tělesa s poloměri většími než 1500 km. Do dnes lákají pozoronost astronomů, protože ostatní objevené měsíce jsou minimálně o řád menší a tvarovo nepravidelné. Je taky poměrně zajímavé, že u některých z nich pozorujeme aktivitu na povrchu, za co můžou slapové sily spůsobené Jupiterem kvůli malým oběžným dráham v kombinaci s orbitálními rezonancemi. Tenhle efekt je nejvýraznejší u měsíce Io, kde na povrchu pozorujeme vuklanickou aktivitu (obrázek 31). Obr. 31: Snímek ze sondy Galileo, zachycující erupci na povrchu měsíce Io. Převzato z https: //solarsystém.nasa.gov/. Tabulka 10: Některé parametry Galileovskych měsíců. Jupiter Ganymedes Calliso Io Europa M [kg] 1.898 • 1027 1.482 • 1023 1.076 • 1023 0.893 • 1023 0.480 • 1023 R [km] 71500 2630 2410 1820 1560 a [km] - 1 070 400 1 882 700 421800 671100 P[d] - 7.15 16.69 1.77 3.55 57 Žádný další měsíc nebyl nalezen až do konce 19. století, kdy Edward Emerson Barnard pozoroval pátý měsíc (Amalthea). Pomohl mu k tomu vyše 90-cm (36-inch) refraktor. První pokus analyzovat dráhu objektu počas první noci zlyhal, protože došlo k nečekanému poškození dalekohledu a nově pozorovaná "malá hvězda" se Bardnardovi stratila ze zorního pole. Během následujících nocí se mu však podařilo již měsíc pozorovat bez většího přerušení. Protože měl tušení, že se jedná o nový měsíc, rozhodl se mimo polohy měsíce vůči Jupiteru měřit i poloměr Jupiteru (který mu pomohl přesně stanovit vzdálenost měsíce od planéty). V tomhle praktiku si zkusíte postupovat podobně, jak to dělal Barnard v roce 1892. Vzhledem k tomu, že by byl potřebný trochu větší dalekohled, než je typicky dostupný, budeme používat hodnoty Barnardova měření. Původní měření vycházelo z použití mikrometrového šroubu, pro vás však bude situace zjednudušena tím, že budete používat přímo hodnoty v uhlových sekundách, jak je vypočetl Barnard. 2 Pracovní postup V tabulce 11 jsou k dispozici data ze tří nocí. Na základě Bardnardovych měření, určete velikost hlavní poloosi měsíce A (absolutní poloměr Jupiteru na rovníku i?j = 71 500 km). Je výhodnější měřit vzdálenost pouze k okraji Jupiteru a pak vzdálenost ke středu určit pomocí zjištěného průměru kotoučku Jupiteru. Následně pomocí (upraveného) třetího Keplerovho zákona určete oběžní dobu. Za referenční soustavu hodnot v rovnici dosaďte za hodnotu m hmotnost Země (5.97 • 1024 kg), za a hlavní poloosu nášho Měsíce (384400 km) a za p jeho siderickou oběžní dráhu (27.32 d). (15) 58 Tabulka 11: Část Barnardovych měření z roku 1892. Standard Vzdálenost měsíce Rovníkový Pacific Time od okraje Jupiteru průměr Jupiteru (10.9.1892) 12 45 10 36.01" 48.93" 12 48 40 36.22" - 12 54 10 36.48" - 13 01 40 36.83" - 13 04 00 35.97" - 13 06 25 34.93" - (12.9.1892) 12 19 46 35.15" 48.97" 12 23 12 36.93" - 12 28 51 36.51" - 12 32 46 37.13" - 12 37 50 37.46" - 12 42 31 36.94" - 12 45 19 36.24" - 12 51 04 36.11" - 12 56 01 36.23" - 13 03 43 35.04" - (14.9.1892) 11 54 02 34.12" 49.18" 12 00 03 35.12" - 12 04 30 35.87" - 12 10 10 36.32" - 12 15 22 36.63" - 12 18 48 37.01" - 12 21 37 36.86" - 12 25 15 37.01" - 12 29 25 36.76" - 12 32 35 36.95" - 12 39 25 35.77" - 12 44 15 35.04" - 12 48 25 35.54" - Použité zdroje a další materiály ke studiu Barnard, E.E. 1892, AJ, 12, 81 https://solarsystem.nasa.gov/ 59 PRAKTICKÁ CAST Úloha: Objev pátého měsíce Jupiteru Jméno:..................... Datum odevzdání: Shrnutí úkolů: 1. Vypočítejte hlavní poloosu pro všechny tři dny z pozorvání měsíce Amalthea (tabulka 11). K tomu budete muset nejprve určit uhlovou vzdálenost 9 mezi středem kotoučku Jupiteru a měsícem - pokuste se najít uhel největší elongace (svůj výběr zdůvodněte). Pak hodnotu hlavní poloosi dostanete ze vztahu A = Rj ^ • (16) Dne 10.9.1892 je vzdálenost měsíce Amalthea od středu Jupitera 6 Hlavní poloosa je A\$ = .............. km. Dne 12.9.1892 je vzdálenost měsíce Amalthea od středu Jupitera 6 Hlavní poloosa je A±2 = .............. km. Dne 14.9.1892 je vzdálenost měsíce Amalthea od středu Jupitera 6 Hlavní poloosa je A14 = .............. km. Porovnejte velikost orbity s Galileovskymi měsíci a diskutujte. 2. Tvar měsíce Amalthea není sférický, jak tomu (přibližně) je u Galileovskych měsíců, ale spíše představuje rotační elipsoid (a / 6 = c). Řekněme, že Barnard v roce 1892 pozoroval měsíc přivrácen svojí delší osou (průmětem na rovinu pozorovatele je kruh). Předpokládejte, že odrazivost měsíce je rovnaká na celým povrchu, hlavní a vedlejší osa rotačního elipsoidu jsou v poměru a:b = 5:3 a Barnard naměřil hvězdní velikost 13 mag. Určete hvězdní velikost v případě, že by tehdy byl měsíc přivrácen jednou ze svých kratších osí (průmětem je elipsa). K výpočtu potřebujete pouze Pogsonovu rovnici. 60 3. Pomocí rovnice 15 určete průměrnou hodnotu oběžné doby měsíce. Ve vztahu 15 jsme uvažovali m = Mzemé, co Je pouze aproximace. Vypočítejte, jak se změní perioda pokud budete uvažovat m = Mzemě + -^Měsíc (-^Měsíc ~ 0.01Mzemě). 4. Orbitální rezonance může mít velký vplyv na dráhy měsíců. K takovéto rezonanci dochází tehdy, když na sebe (např.) dva měsíce působí periodicky gravitační silou. Pokud je poměr oběžných period iracionálním číslem, výsledek vzájemného působení bude prakticky nulový. Pokud však budou periody v celočíselném poměru n:m (typicky jsou důležitá hlavně čísla n & m menší než 10), výsledek vzájemního působení bude nenulový - velikost změny dráh bude dána počtem uplynulých period. Podívejte se na tabulku Galileovskych měsíců a zjistěte, jestli jsou některé v orbitální rezonanci. Je Amalthea v rezonanci s některým z nich? 61 základy astronomie 1 Praktikum 7. Vlastnosti exoplanet 1 Úvod Když byly v devadesátých letech minulého století objeveny první extrasolární planety, jen málokdo dokázal odhadnout další rozvoj tohoto odvětví astronomie. Dnes je studium exoplanet jednou z nejrychleji se rozvíjejících částí astronomie. Počet nově objevených planet a planetárních soustav obíhajících jiné mateřské hvězdy než naše Slunce rychle roste. Katalogy exoplanet utěšeně bobtnají, ale nejen to. Dnes dokážeme studovat i atmosféry těchto vzdálených světů a promýšlet možnosti výskytu života na těchto planetách. Nové poznatky o exoplanetách ale nejen rozšiřují naše vědomosti, někde naopak zcela nabourávají naše dosavadní představy o vzniku planetárních soustav, jejich vývoje, dynamice. V této praktické úloze se pokusíme zjistit o zvolené transitující exoplanetě co nejvíce. Postupně budete zjišťovat periody oběhu planety kolem mateřské hvězdy, její vzdálenost od této hvězdy, hmotnost exoplanety, oběžnou rychlost, polohu planety vzhledem k zóně života, povrchovou teplotu, poloměr a hustotu. Uvidíte, že i s poměrně skromnými vědomostmi se o vzdálených planetách můžete dozvědět spoustu zásadních informací. Data ke spracovaní (graf změn radiálních rychlostí a světelnou křivku) vám poskytne cvičící. Každý student bude určovat vlastnosti jiné exoplanety. Orbital Phase Obr. 32: Hvězdná velikost hvězdy v průběhu transitu exoplanety. Vlevo měření družice COROT transitu exoplanety Corot 11b. Vpravo měření přechodu exoplanety HD 189733b pořízená Petrem Svobodou v Brně dalekohledem o průměru 34 mm! (Opravdu nejde o překlep. Dalekohled, vlastně jen fotografický objektiv měl využitý průměr necelých tři a půl centimetru.) 62 -5 1 ■ ■ ■ ■ 1 ■ ■ ■ ■ 1 ■ ■ ■ ■ 1 ■ ■ ■ ■ 1----I .... I .... I .... I .... I .... I----I , , , , I , , , , I , , , , I O 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 spektrální typ F5, m = 11 mag, ú = 330 pc dny Obr. 33: Příklad grafu ukazujícího měřenou změnu jasnosti hvězdy. Uveden je i její spektrální typ. Když planeta přechází před diskem hvězdy, nastane transit, malá část hvězdy je zacloněna podstatně chladnější planetou a dojde k poklesu pozorované jasnosti hvězdy. 2 Pracovní postup 2.1 Určení oběžné periody exoplanety První veličinou, kterou se pokusíme u exoplanety zjistit bude její oběžná doba kolem mateřské hvězdy. Metod, které slouží k detekci exoplanet a určování jejich orbitálních period je celá řada. My si vybereme jen dvě z nich - metodu radiálních rychlostí a měření jasnosti hvězdy pro transitující exoplanety. Pokud obíhá kolem hvězdy jiné dosud nedetekované těleso (jiná hvězda, planeta), projeví se její existence v pravidelném posunu spektrálních čar hvězdy střídavě k červenému a modrému konci spektra. Z těchto posunů čar můžeme pak určit dobu oběhu, hmotnost tělesa a další parametry. Měření transitů, tedy přechodů, planety přes disk mateřské hvězdy předpokládá, že zorný paprsek od nás ze Země se přibližně nachází v rovině oběhu exoplanety kolem mateřské hvězdy. V průběhu transitů je zakryta malá část disku hvězdy chladnějším diskem planety a dojde tak k velmi mírnému, ale přesto měřitelnému poklesu jasnosti hvězdy. Opakování poklesů pak samozřejmě odpovídá době oběhu planety. Periodu je tedy možné určit z grafu změny jasnosti hvězdy nebo z grafu křivky radiálních rychlostí. 2.2 Vzdálenost exoplanety od mateřské hvězdy Pohyb planety kolem hvězdy popisují Keplerovy zákony a samozřejmě Newtonův gravitační zákon. Jejich využitím spočtěte vzdálenost planety od své hvězdy. Chybějící údaj o hmotnosti hvězdy lze odhadnout. Později v kurzu se dozvíte, že pro hvězdy na tzv. hlavní posloupnosti v HR diagramu je možné psát empirické vztahy pro jejich různé parametry. Vztah mezi hmotností (případně poloměrem) hvězdy a její teplotou můžeme popsat polynomickou rovnicí šestého řádu íog(^) =^Pn(iogrr, (17) kde X je hmotnost M nebo poloměr R (samozřejmě, koeficienty pn nejsou stejné pro obě veličiny). Pozor na logaritmy v rovnici - nejlepší je nejprve určit hodnotu log T a až pak přejít k výpočtu. Povšimněte si, že hmotnost i poloměr z rovnice dostaneme v jednotkách slunečních (ale v logaritmu!). Všechny koeficienty potřebné pro určení hmotnosti a poloměru 63 hvězdy pro tuhle úlohu naleznete v tabulce 14. Parametry je nutno zadávat přesně, bez zaokrouhlování. 2.3 Hmotnost exoplanety Abychom mohli určit hmotnost exoplanety, budeme potřebovat hmotnost hvězdy (určena v předchozí úloze), oběžnou rychlost mateřské hvězdy a teorém středu hmotnosti soustavy. Pro zjištění oběžné rychlosti hvězdy využijeme křivku radiálních rychlostí, z které určíme polovinu amplitudy změn rychlosti (polovina rozdílu mezi maximálni a minimálni rychlostí). Avšak musíme mít na vědomí, že tohle představuje jenom minimálni odhad oběžné rychlosti. Ve skutečnosti je rovina oběhu skloněna vůči rovine kolmé na směr pohledu pozorovatele pod uhlem, který nazývame inklinace (i). Pro exoplanetu tranzitujíci přes střed kotouče hvězdy (ideálni případ) je uhel sklonu přesně i = 90° a pro tento případ bude naša úvaha fungovat. Pro jiné uhly sklonu (i < 90°) se však už nebude promítat do směru pohledu celá velikost vektoru rychlosti. V následujícím postupu budeme uvažovat, že na soustavu těles nepůsobí žádné vnější sily. Pokud si umístníme polohu středu hmotnosti soustavy hvězdy a exoplanety do středu souřadnicové soustavy, a využijeme toho, že v Keplerově úloze přímka procházející polohou hvězdy a exoplanety vždy prochází i těžištěm soustavy, dostaneme m\r\ = M\R kde mar jsou hmotnost exoplanety a její vzdálenost od těžiště, M a R jsou stejné veličiny pro hvězdu. Dále budeme aproximovat trajektorii hvězdy pohybem po kružnici (s rychlostí rovnou polovině amplitudy změn radiálních rychlostí) V = ^. (18) z čeho můžeme odhadnout vzdálenost R. Abychom mohli postupovat dále, musíme si uvědomit, že existuje vztah mezi vzdálenostmi od těžiště a velikostí hlavní poloosi a = r + R. Vztah pro hmotnost exoplanety pak po menších úpravách nabývá tvar m = M/J_ir (19) \pv 1j Musíme si však uvědomit, že vzhledem k závislosti na oběžné rýchlosti hvězdy bude výpočet udávat pouze minimální hodnotu hmotnosti exoplanety (ta obecně závisí na inklinaci). 2.4 Oběžná rychlost Podobně jak tomu bylo v poslední úloze, použijeme vztah pro střed hmotnosti na určení oběžné rýchlosti exoplanety. Pokud si zvolíme vztažní soustavu tak, aby bylo těžiště v jejím středu a svou polohu neměnilo, dostaneme ze vztahu pro pohyb středu hmotnosti m\v\ = M\V\ . (20) Opět, skuteční hodnota v je zavísla na inklinaci soustavy. Ze vztahu můžeme vidět, že větší poměr hmotnosti hvězdy ke hmotnosti planety znamená větší poměr rychlosti planety ke rychlosti hvězdy. 2.5 Je planeta obyvatelná? Naše názory na život ve vesmíru a obyvatelnost planet se mohou i dost podstatně lišit, ale v současnosti převládá názor, že život ve vesmíru ke své existenci potřebuje vodu a to nejlépe vodu ve všech třech skupenstvích. Hledáme tedy planety, kde by panovaly takové podmínky, aby existence zejména tekuté vody byla možná. Na planetě tedy musí být vhodná teplota a tlak atmosféry, což je určeno parametry planety a její vzdáleností od mateřské hvězdy. Navíc předpokládáme, že pro vznik a udržení života je nutné, aby planeta měla pevný povrch, 64 Graf umístění obyvatelné zóny u hvězd 10 : TD N > (ň O O E 10 : 10 o# -1- srn Zóna života i i F • M VZ M J S UNP ♦ ♦♦♦ ♦ ♦ ••• : M# 10 Polomer hvězdy 10 10 Vzdálenost planety [AU] Obr. 34: V grafu je vykreslena hmotnost hvězdy v hmotnostech Slunce v závislosti na vzdálenosti planety od mateřské hvězdy. Příslušným spektrálním typem (O, B, A, F, G, K, M) jsou také označeny odpovídající poloměry hvězd. Písmeno označuje vždy hodnotu pro podtyp 0, tedy A znamená A0. Přibližná poloha planet Sluneční soustavy je vyznačena podél vodorovné linie odpovídající 1 M0 a je vyznačena vždy prvním písmenem názvu planety. Graf sestavil David Koch na základě práce Kastinga a kol. (1993). nikoli plynný jako například Jupiter. V každém případě, pokud by planeta byla příliš daleko, nedostávala by dost energie od mateřské hvězdy a byla by příliš chladná. Naopak, malá vzdálenost by planetu rozpálila na vysokou teplotu, jak můžeme pozorovat například u tzv. horkých Jupiterů. Pokud má planeta optimální vzdálenost, nachází se v tzv. zóně života. Podoba zóny života samozřejmě závisí na parametrech mateřské hvězdy. Na obrázku 34 jsou uvedeny zóny života dle Kastinga a kol. (1993). 2.6 Povrchová teplota exoplanety Zatím jsme z měření určili dobu oběhu exoplanety kolem mateřské hvězdy, následně spočítali její vzdálenost, hmotnost, rychlost a rozhodli o její poloze vzhledem k zóně života. Jak ale určit povrchovou teplotu planety? To přece musí být obtížná a náročná metoda! Budete zřejmě překvapeni, ale řešení je poměrně snadné. Kvalifikovaný odhad teploty povrchu exoplanety můžete provést sami na základě znalostí z kurzu a údajů v této praktické úloze. Na teplotu exoplanety má vliv několik faktorů. Tak především teplota mateřské hvězdy a její vzdálenost. Důležité jsou i albedo a emisivita. Zatímco albedo je míra odrazivosti, tedy poměr mezi množstvím odraženého a dopadajícího záření, emisivita určuje, jak dokáže planeta vyzařovat tepelnou energii - je to poměr mezi množstvím skutečně vyzářené energie ku energii vyzářené absolutně černým tělesem o stejné teplotě. Pro obyvatelnou planetu je nezbytné, aby měla dostatečně silnou a hustou atmosféru. Jestliže tato podstatná atmosféra je navíc perfektní absorbér a zářič (albedo i emisivitu lze zanedbat), pak můžeme průměrnou teplotu povrchu planety odhadnout ze vztahu rr Rhvězda, rr /m \ IPl = \ -1 hvězda, (^ij kde Tpi je průměrná povrchová teplota planety v kelvinech, -Rhvězda Je poloměr hvězdy, a je velká poloosa trajektorie exoplanety a Thvězda Je povrchová teplota mateřské hvězdy v kelvi- 65 nech. Je třeba si uvědomit, že pro obyvatelnou planetu je rozmezí možných povrchových teplot velmi malé. Abychom splnili zatím všeobecně přijímanou premisu o nezbytnosti tekuté vody, musí být v podstatě menší než sto stupňů - od bodu mrazu do bodu varu vody. Samozřejmě tento interval se může měnit v závislosti na tlaku, který na povrchu planety panuje. 2.7 Velikost exoplanety Jak již víme, lze při vhodné orientaci roviny oběhu planety kolem mateřské hvězdy vůči směru k Zemi detekovat pokles jasnosti hvězdy způsobený přechodem planety přes disk hvězdy. Takové pozorování transitů lze v dnešní době vykonávat i v amatérských podmínkách s relativně malými dalekohledy a CCD kamerami (viz obrázek 32b). Samozřejmě nejpřesnější měření jsme donedávna získvali z družic COROT nebo KEPLER (viz obrázek 32a), v současnosti je však nahrazejí TESS, CHEOPS a v dohledné době (doufejme) taky James Webb Space Telescope. Ale pečlivým zpracováním a analýzou měření malých pozemských dalekohledů lze taky získat data vhodná k určení poloměru exoplanety. Nebudeme postupovat zcela rigorózně, ale úlohu si opět zjednodušíme. Ideální případ, kdy směr k Zemi, k pozorovateli, leží přímo v rovině oběhu exoplanety kolem mateřské hvězdy, tedy kdy planeta přechází přímo přes střed disku hvězdy, příliš často nenastává. Můžeme si ale pomoci zanedbáním okrajového ztemnění hvězdy. Budeme předpokládat, že disk hvězdy je všude stejně jasný, což znamená, že ať již bude zakrývána jakákoli část hvězdy, vždy bude pokles jasu záviset pouze na zakryté ploše disku. Její maximální hodnota je samozřejmě totožná s plochou disku exoplanety vřižpj. Pozorovaný relativní pokles jasnosti AF je pak dán jednoduše jako poměr čtverců poloměrů planety a hvězdy AF = -3L_ . (22) -^hvězda 2.8 Výpočet hustoty exoplanety Vzhledem k tomu, že hmotnost exoplanety i její poloměr již známe, výpočet hustoty se stáva triviálním jestliže aproximujeme její tvar jako sféru. Budeme však zanedbávat vplyv slapových sil pocházejících z interakce mezi planetou a hvězdou (pro malé vzdálenosti od hvězdy může být tenhle vplyv poměrně veliký!). Hustotu exoplanety však můžeme určit i na základě odhadu. Využijeme dva velmi jednoduché modely. Budeme předpokládat, že hustota planety závisí jen na jedné veličině - buď na její velikosti, tedy poloměru, nebo na její vzdálenosti od mateřské hvězdy. Dlužno říci, že ani pro naši Sluneční soustavu, to není přesné, jak je vidět z obrázků 35. V prvním modelu (obrázek 35, nahoře) je závislost hustoty planet Sluneční soustavy na jejich poloměru v logaritmické škále. Zobrazená křivka představuje nejlepší proložení, ale je jasně vidět, že pro řadu planet rozhodně nejde o optimální řešení. Navíc je třeba si uvědomit, že průběh hustoty v každém planetárním systému nemusí být stejný. Nicméně pro naše účely získaný odhad postačí. V druhém modelu (obrázek 35, dolu) je podstatně lepší proložení pro závislost hustoty planety na její vzdálenosti od Slunce. I zde je však vidět odchylky pro některé planety, byť nejsou tak veliké jako v předchozím případě. Použité a další materiály ke studiu Eker, Z., Bakis, V., Bilir, S., et al., 2018, MNRAS, 479, 5491 Kasting, J. F., Whitmire, D. P., k Reynolds, R. T., 1993, Icarus, 101, 108 http://www.exoplanety.cz https://www.nasa.gov/mission_pages/kepler/overview/index.html 66 Závislost hustoty na poloměru planety 10 |-.—........-—........-- E Merkur Země / ■ *Mars\ /pluto ^ ^Neptun •V •Jupiter Urarrv............ ♦Saturn 10"1 10° 101 102 Poloměr planety [R ] Závislost hustoty na vzdálenosti od Slunce ; Saturn ;_i_;_ 10 20 30 40 50 Vzdálenost od Slunce [AU] Obr. 35: Závislosti hustoty planet Sluneční soustavy na jejich velikosti a vzdálenosti od Slunce. 67 PRAKTICKÁ ČÁST Úloha: Vlastnosti exoplanet Jméno:..................... Datum odevzdání:......... Shrnutí úkolů: 1. Každý student dostane záznam s měřenou křivkou radiálních rychlostí a jasností hvězdy Všechna další úkoly pak budete provádět s údaji dle zvoleného záznamu. Efektivní teplota zadané hvězdy je..... Pro zvolenou exoplanetu odměřte z grafu čas mezi poklesy jasnosti hvězdy a spočítejte průměrný čas mezi transity exoplanety. Měření opakujte 10 krát a zapište do tabulky 12. Měřte různé úseky, například dvě nebo tři periody nebo od prvního poklesu do posledního. V případě, že použijete pravítko, několikrát proměřte i měřítko grafu, aby byl přepočet mezi jednotkami délkovými a zobrazovanými časovými co nejpřesnější. Při všech měřeních se nespokojte s přesností použitého měřidla, zpravidla milimetry, ale jistě můžete měřit s přesností na jednu až dvě desetiny milimetru. Tabulka 12: Měření periody oběhu Číslo měření 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Délka [mm] Počet period Délka 1 periody [dny] Měřítko grafu 1 mm odpovídá.....dní, bylo zjištěno na základě.....měření s chybou..... Průměrná hodnota oběžné periody z provedených měření je.....dní =......roků. 2. V této chvíli vystačíme s tím, že známe teplotu mateřské hvězdy. Pomocí parametrů v tabulce 14 a vztahu 17 zjistěte příslušnou hmotnost hvězdy, M =......M0. Povšimněte si, závislosti spektrální třídy hvězdy a hmotnosti. Které hvězdy jsou zde nejhmotnější? Chladné nebo žhavé?......... Tabulka 13: Teploty hvězd na hlavní posloupnosti Spektr, třída 05 B0 B5 A0 A5 F0 F5 G0 G5 K0 K5 M0 M5 Teplota [K] 35000 21000 13500 9700 8100 7200 6500 6000 5400 4700 4000 3300 2600 Máme samozrejmé na mysli pozemský den 1 d = 86400 s a juliánsky pozemský rok v délce 365.25 dne. 68 Vraťme se zpět k našemu úkolu. Máme určit velkou poloosu oběžné trajektorie exopla-nety. Využijeme třetího Keplerova zákona, ale lze jej využít v následujícím tvaru nebo ve vztahu něco chybí? P2M = a3 . (23) Pokud ve vztahu něco chybí, napište správný tvar. Svou odpověď zdůvodněte! Dosaďte do vztahu, spočtěte velkou poloosu trajektorie exoplanety. a =......m=.....AU 3. Určete hodnotu poloviny amplitudy radiálních rychlostí a pomocí vztahů 18 a 19 hmotnost exoplanety. Hmotnost Země je přibližně Mzemě = 5.97 • 1024 kg. Polovina amplitudy změn radiálních rychlostí hvězdy......m/s , Hmotnost exoplanety.......kg =.....Mzemě 4. Pomocí vztahu 20 vypočítejte oběžnou rychlost exoplanety. Oběžná rychlost exoplanety......km/s , Podívejme se ještě jednou na hodnotu amplitudy změn radiálních rychlostí hvězdy V. Je v současnosti možné pozorovat takovou změnu? Svoji odpověď zdůvodněte. 5. Zjistěte poloměr mateřské hvězdy exoplanety pomocí parametrů v tabulce 14 a vztahu 17 a poté do obrázku 34 vyznačte polohu hvězdy. Dávejte pozor na měřítka os, jsou obě logaritmická! A nyní odpovězte na otázku, kde se nachází sledovaná exoplaneta (označte jednu z následujících možností). Exoplaneta se nachází: a) nepochybně v zóně života na grafu, b) zcela jistě mimo zónu života, c) poblíž hranice zóny života. 6. Odhadněte povrchovou teplotu planety ze vztahu 21. Ve zvoleném případě je mateřská hvězda spektrální třídy .... a to znamená, že její povrchová teplota je......a poloměr.......Povrchová teplota sledované exoplanety je pak...... Určete velikost exoplanety dle vztahu 22. Poloměr Země na rovníku je Rzemě = 6378 km. Poloměr exoplanety je.......m , což je ... . poloměrů Země. 69 7. Do grafu 35 (nahoře) vyznačte nalezený poloměr exoplanety a odečtěte z něj odhadovanou hustotu planety (pozor - graf je v logaritmické škále!). Obdobně do grafu 35 (dolu) vyznačte zjištěnou střední vzdálenost exoplanety od mateřské hvězdy a odečtěte odhadovanou hustotu exoplanety. Hodnoty porovnejte s hustotou závislou na zjištěné hmotnosti a velikosti exoplanety a diskutujte. odhad hustoty (model 1)........kg/m3 odhad hustoty (model 2)........kg/m3 3mp1 i / s 8. Diskutujte zjištěné parametry exoplanety. Odhadněte, jak se projevily různé zjednodušující předpoklady na výsledných parametrech. Tabulka 14: Parametry rovnice 17. Platí pro hvězdy o hmotnosti O.2M0 < M < 3OM0 (Eker et al. 2018), nacházející se na hlavní posloupnosti HR diagramu X M R Pe> -2.55239583 ■101 -7.02481661 ■101 P5 6.29784742 ■ 102 1.73644705 ■ 103 P4 -6.46457141 ■ 103 -1.78456073 ■ 104 P3 3.53353833 ■ 104 9.75956686 ■ 104 P2 -1.08476447 ■ 105 -2.99546024 ■ 105 Pl 1.77339819 ■ 105 4.89209256 ■ 105 Po -1.20623440 ■ 105 -3.32132138 ■ 105 70