Teoretická mechanika
Úlohy ke cvičení
Šikmý vrh Mimozemšťan o hmotě m skáče na povrchu Měsíce. Pomocí aparátu analytické mechaniky vypočtěte co nejobecnější parametrickou křivku popisující jeho pohyb. (15. října 20201)
Harmonický oscilátor Odvoďte pohybové rovnice harmonického oscilátoru přímou variací akce, tj. bez použití Euler-Lagrange rovnic. (15. října 2020)
Zahradní houpačka Na obrázku vidíme zahradní houpačku. Vypočtěte pohybové rovnice hmotných bodů na koncích a určete podmínku rovnováhy. (23. října 2020)
Kyvadlo a Langrangeovy multiplikátory Rovinné kyvadlo s hmotou m je zavěšeno na tenkém vlákně o délce l. Systém je umístěn v homo-gením gravitačním poli. Vypočtěte pohybové rovnice kyvadla dvěma metodami:
1. Zavedením zobecněných souřadnic.
2. Pomocí metody Langrangeových multiplikátorů. Ověřte, že obě metody řešení si navzájem odpovídají. Tento postup interpretujte v rámci Newtonovy mechaniky. (23. října 2020)
Kladkostroj Zařízení se skládá ze dvou kladek: první kladky, pevně uchycené ke stropu, a druhé volné kladky pohybující se vertikálně. Kladky samotné jsou nehmotné. Pod volnou kladkou je umístěn hmotný bod í?i2. Přes kladky je nataženo vlákno konstantní délky l na jehož konci je hmotný bod m\. Vypočtěte zrychlení obou hmotných bodů v homogenním gravitačním poli. Nápověda: změní-li se poloha m\ o Ay, pak poloha rri2 bude změněna o ^Ay jako důsledek dvou pohyblivých konců vlákna. (29. října 2020)
xJde o datum zadání. Odevzdání je očekáváno následující týden
m
• mi
m2
Skluz po pohyblivé rampě Tělísko o hmotnosti m se pohybuje bez tření po nakloněné rovinně s neměnným vrcholovým úhlem a o hmotnosti M, která se také může pohybovat bez tření po vodorovné podložce. Vyšetřete pohyb systému. (29. října 2020)
Harmonický oscilátor S uvážením zákonů zachování nalezněte funkci popisující časovou závislost polohy harmonického oscilátoru: Zjistěte které veličiny se zachovávají, vypočtěte zobecněnou energii, převeďte problém na diferenciální rovnici prvního řádu, a vyřešte ji. Interpretujte výsledek. Nepoužívejte Euler-Lagrangeovu rovnici. (5. listopadu 2020)
Sférické kyvadlo Vypočtěte Euler-Lagrange rovnice pro sférické kyvadlo: Hmotný bod m na niti konstantní délky l, který se může bez odporu kývat vertikálně, a zároveň opisovat horizontální elipsu. Zjistěte, které fyzikální veličiny se zachovávají. (5. listopadu 2020)
Třetí Keplerův zákon Ukažte, že třetí Keplerův zákon vyjádřený obecně
lze pro Slunce a Zemi !/u = 1/m@ + 1/ms>, k = GMqM© zapsat ve tvaru a3 = T2, kdy a vyjadřujeme v astronomických jednotkách a T v rocích. Dále spočtěte vzdálenost středu Slunce od středu soustavy Slunce - Země v poloměrech Slunce Rq. (12. listopadu 2020)
Na niti Dvě tělesa jsou spojena nehmotnou nití o pevné délce l. Jedno z nich, o hmotě M, se může pohybovat bez tření po stole v němž je malý otvor. Tímto otvorem je protažena nit, na níž je zavěšeno druhé těleso o hmotě m. Předpokládejme, že se spodní těleso m může pohybovat pouze vertikálně. Systém je umístěn v gravitačním poli. Pokuste se popsat pohyb systému:
i) Kolik stupňů volnosti má daná soustava?
ii) Ve vhodných souřadnicích sestavte Lagrangián L
iii) Zjistěte cyklické souřadnice a jim příslušné fyzikální veličiny.
iv) Vypočtěte zobecněnou energii.
v) Nakreslete graf efektivního potenciálu.
vi) Pohybuje-li se horní těleso M po kružnici, vypočtete její poloměr. Energie odpovídající tomuto pohybu odpovídá energii v minimu efektivního potenciálu.
vii) Zapište řešení pro r (i) ve tvaru diferenciální rovnice prvního řádu, ale neztrácejte čas jejím analytickým řešením. (12. listopadu 2020)
M
m
Hamiltonián relativistické částice Lagrangián částice o klidové hmotě m, a pohybující se rychlostí v < c srovnatelnou s rychlostí světla, jest
Najděte zobecněnou hybnost a Hamiltonián takové částice. Vypočtěte aproximaci hybnosti i Hamiltoniánu pro v « c. Jak moc překvapivý je výsledek? (19. listopadu 2020)
Hamiltonián neznámého systému Mějmež Lagrangián
L = ^mq2 + ^kq2.
Spočtěte Hamiltonián, vypočtete hamiltonovy rovnice. Tyto rovnice vyřešte. Pro jistotu, užijte dva možné způsoby. Nakreslete fázový portrét. O jaký se jedná systém? (19. listopadu 2020)
Pohyb po šroubovici Částice o hmotě m se v gravitačním poli pohybuje podél šroubovice z = k9 s konstantním poloměrem r = konst., kde k je konstanta a z vertikální souřadnice. Z lagrangiánu nalezněte hamiltonián, sestavte hamiltonovy rovnice, a tyto rovice vyřešte. Ukažte, že pro r     0, z = -g. (26. listopadu 2020)
V elektromagnetickém poli Předpokládejme, že lagrangián pro nabitou
částici v elektromagnetickém poli jest
1 e L = -mv2 — e<í> H—v • A, [cgs]
kde e je náboj a v rychlost částice v elektrickém $(x,y,z,t) a vektorovém A(x,y, z,t) potenciálu. Vztah mezi nimi a magnetickou či elektrickou intensitou je
1 d A
B = V x A,    E =---=7 - V$. [cgs]
c ot
Odvoďte pohybovou rovnici pro tuto částici, a dokažte, že na ni pole působí silou
F = e (E + ^ x s) . [cgs]
Dále vypočtete hamiltonián a zobecněnou hybnost. Pozor, všechny vztahy jsou uvedeny v systému jednotek cgs, je-li vám bližší SI, bez obav jej užijte.
Nápověda: totální časová derivace obecné funkce G(x, y, z, t) podél dráhy částice je
dG ÔG
— = — + v ■ VG.
dt dt
Možná též shledáte užitečnou identitu a x (b x c) = (a • c)b — (a ■ b)c aplikovatelnou na vektory i jejich gradienty. (26. listopadu 2020)
Ve výtahu částice s hmotou m se nachází ve výtahu přičemž se může pohybovat pouze ve směru osy z. Výtah je urychlován s konstantním zrychlením a. Nalezněte hamiltonián pro případ, že se celý systém nachází v homogenním gravitačním poli se zrychlením g. Komentujte zachování energie. V jakém případě se bude částice chovat jako volná částice? (3. prosince 2020)
V Poissonových závorkách Pro moment hybnosti L = r x p spočtěte Po-
issonovu závorku výrazů [Ly,Lz], [L2,LX], [py,Lz]. (3. prosince 2020)
Poissonův poměr Nalezněte vhodný materiál a předmět (s vhodnou strukturou, mající malý Youngův modul, příhodný tvar a velikost), vystavte ho působení síly, a zdokumentujte, fotograficky či z měření, změny jeho tvaru. (10. prosince 2020)
Tenzor deformace a napětí Posunutí bodů rovinného tělesa při deformaci je dáno vektorem u = (ux,uy,uz) = (—Ax,Bz + Cy,By) . Určete:
(a) tenzor deformace (včetně členů vyšších řádů),
(b) popište deformaci slovně,
(c) rozdělte tenzor deformace na objemovou a smykovou část,
(d) vypočtěte relativní změnu objemu,
(e) dochází-li ke smyku, určete smykový úhel,
(f) sestavte tenzor napětí,
(g) vyčíslete veličiny z (d) - (f), pro A = i/iooo, B = 2/iooo, C = 3/iooo, a hodnoty elastických koeficientů: K = 107 Pa,   /x = 106 Pa. (10. prosince 2020)
Kosmická trubice Kosmická stanice je tvořena dlouhou trubkou o vnitřním poloměru R\ a vnějším R2, jež byly změřeny před startem. Určete o kolik se změní vnější poloměr trubky po vynesení na oběžnou dráhu Země. Předpokládejte, že stěny trubice jsou tvořeny homogenním materiálem popsaným konstantami E a a. (17. prosince 2020)
Izotermický model atmosféry Vypočtete jak se mění tlak p, a hustota g, s výškou pro jednoduchý model atmosféry Země, jenž předpokládá vrstvu ideálního plynu podléhající stavové rovnici:
— = konst. Q
Zdůvodněte, proč jej nazýváme izotermickým modelem. (7. ledna 2021) Eulerova rovnice Odvoďte zrychlení elementu kontinua
a = - + (,.V)„
nejméně dvěma možnými způsoby. (7. ledna 2021)