Ako integrovat Maxwell-Boltzmannove (MB)
rozdelenie
Integraly rozdelovacej funkcie
Makroskopicke veliciny (koncentracia, tlak, teplota,. . . ) su
definovane ako integraly z rozdelovacej funkcie.
Napr. pre ziskanie teploty z MB rozdelenia budete potrebovat
vyriesit takyto integral:
v
v2
fMB(v)d3
v = (1)
K
∞
−∞
∞
−∞
∞
−∞
(v2
x + v2
y + v2
z )e− m
2kT
(v2
x +v2
y +v2
z )
dvx dvy dvz (2)
Integraly rozdelovacej funkcie
Po uprave budeme musiet vyriesit integraly:
∞
−∞
v2
x e− m
2kT
v2
x dvx
∞
−∞
e− m
2kT
v2
x dvx (3)
Obecne integraly mozu byt integraly zapisane ako:
v
vi
e−av2
dv i ∈ {0, 1, 2, . . .} (4)
Substitucia t = v2 by vam pomohla len v neparnych mocninach i –
tieto integraly sa bez navodu pocitaju tazko.
Symetrie
Obcas je mozne pouzit symetriu, napr.:
∞
−∞
ve−av2
dv = 0, (5)
pretoze e−av2
je parna funkcia ⇒ ve−av2
je neparna a
kladny prispevok presne vyrusi zaporny prispevok v integrale.
Alebo:
∞
−∞
v2
e−av2
dv = 2
∞
0
v2
e−av2
dv (6)
pretoze funkcia je symetricka okolo v = 0.
Gamma funkcia
V inych pripadoch je uzitocne vediet o Gamma funkcii, ktora je
definovana ako integral:
Γ(z) ≡
∞
0
tz−1
e−t
dt (7)
Gamma funkcia ako faktorial
Γ(z) =
∞
0
tz−1
e−t
dt = −tz−1
e−t
∞
0
+
∞
0
(z − 1)tz−2
e−t
dt =
(8)
= (z − 1)
∞
0
tz−2
e−t
dt ≡ (z − 1)Γ(z − 1) (9)
Γ(1) = 1 (10)
Γ(2) = 1 · Γ(1) (11)
Γ(3) = 2 · Γ(2) = 2 (12)
Γ(4) = 3 · Γ(3) = 6 (13)
Ako to suvisi s nasimi integralmi?
Substitucia je x2 = t:
x2
= t ⇒ x =
√
t (t ≥ 0) (14)
⇒ dt = 2xdx = 2
√
tdx ⇒ dx =
1
2
√
t
dt (15)
f (y) =
∞
0
xy
e−x2
dx =
∞
0
√
t
y
e−t 1
2
√
t
dt =
1
2
∞
0
√
t
y−1
e−t
dt =
(16)
=
1
2
∞
0
t
y−1
2 e−t
dt =
1
2
∞
0
t
y+1
2
−1
e−t
dt =
1
2
Γ
y + 1
2
(17)
Príklad:
∞
0
x2
e−x2
dx =
1
2
Γ
2 + 1
2
=
1
2
Γ
3
2
(18)
Γ 3
2 je tabulovana a rovna
√
π
2 .
Transformacia integralu
Podobnou transformaciou mozete overit (skuste si to!), ze:
∞
0
xy
e−ax2
dx =
1
2a
y+1
2
Γ
y + 1
2
(19)
Hodnoty Gamma funkcie
Γ(1) = 1 Γ(
1
2
) =
√
π (20)
Γ(2) = 1 Γ(
3
2
) =
1
2
√
π (21)
Γ(3) = 2 Γ(
5
2
) =
3
4
√
π (22)
Γ(4) = 6 Γ(
7
2
) =
15
8
√
π (23)
Priklad - Bittencourt 6.2 a) a d)
f (v) = n0
m
2πkT⊥
m
2πkT
1/2
e
− m
2k
v2
⊥
T⊥
+
v2
T
(24)
v = vz v2
⊥ = v2
x + v2
y (25)
1. Overte, ze koncentracia je n0.
2. Overte:
1
2
m v2
=
kT
2
1
2
m v2
⊥ = kT⊥ (26)
Riesenie
n0 =
∞
−∞
f (v)d3
v = n0A e
− m
2k
v2
x
T⊥ e
− m
2k
v2
y
T⊥ e
− m
2k
v2
z
T
d3
v
(27)
∞
−∞
e
− m
2k
y2
Ti dy = 2
1
2
m
2kTi
−0−1
2
Γ(1/2) =
2kTi π
m
(28)
2 kvoli medziam a parnosti funkcie v integrale.
Riesenie
1
2
m v2
=
1
2
m
1
n0
∞
−∞
v2
z f (v)d3
v = (29)
1
2
mA
2kT⊥π
m
2kT⊥π
m
2
∞
0
v2
z e
− m
2k
v2
z
T
dvz = (30)
2
1
2
1
2
m
m
2πkT
1/2
m
2kT
−2−1
2
Γ(3/2) = (31)
m
m
2kT
−1
1
√
π
1
4
√
π =
1
2
kT (32)
Riesenie
1
2
m v2
⊥ = (33)
1
2
m
m
2πkT⊥
∞
−∞
v2
x e
− m
2k
v2
x
T⊥ e
− m
2k
v2
y
T⊥ dvx dvy + (34)
1
2
m
m
2πkT⊥
∞
−∞
v2
y e
− m
2k
v2
x
T⊥ e
− m
2k
v2
y
T⊥ dvx dvy = (35)
m
m
2πkT⊥
∞
−∞
v2
x e
− m
2k
v2
x
T⊥ e
− m
2k
v2
y
T⊥ dvx dvy = (36)
m
m
2πkT⊥
1/2 ∞
−∞
v2
x e
− m
2k
v2
x
T⊥ dvx = (37)
m
m
2πkT⊥
1/2
m
2kT⊥
−3
2
Γ(3/2) = (38)
kT⊥ (39)