Elektronová optika a mikroskpie
Motivace, eikonál, index lomu
Tomáš Radlička
6. 10. 2020
Ústav přístrojové techniky, AV ČR, v.v.i.
Obsah
1. Náplň předmětu a podmínky zápočtu
2. Základní oblasti optiky nabitých částic
3. Hamiltonovská optika pro systémy nabitých částic
1
Náplň předmětu a podmínky zápočtu
Náplň předmětu
• Základy Hamiltonovské optiky
• Zdroje elektronů
• Metody pro popis optických vlastností
• Vlnově optický popis elektronově optických systémů
• Rastrovací elektronová mikroskopie
• Transmisní elektronová mikroskopie
2
Podmínky udělení zápočtu
Vypracování zápočtových příkladů - ke každému okruhu jeden příklad. Jejich následná
obhajoba.
3
Základní oblasti optiky nabitých
částic
Elektronová mikroskopie a spektroskopie
• Rastrovací elektronová mikroskopie (SEM)
• Prozařovací elektronová mikroskopie (TEM)
4
Elektronová mikroskopie a spektroskopie
• Rastrovací elektronová mikroskopie (SEM)
• Prozařovací elektronová mikroskopie (TEM)
4
Elektronová mikroskopie a spektroskopie
• Energiové filtry pro analýzu signálních či prošlých elektronů
• Spektroskopie energiových ztrát - Electron Energy Lost Spectroscopy (EELS)
4
Elektronová mikroskopie a spektroskopie
• Energiové filtry pro analýzu signálních či prošlých elektronů
• Energiové filtry SE a BSE
4
Hamiltonovská optika pro systémy
nabitých částic
Nabitá částice v elektromagnetickém poli
Lagrangean částice o klidové hmotnosti m s nábojem q ve statickém
elektromagnetickém poli ( ϕ(r) a A(r)).
L = mc2
1 −
v2
c2
+ qvA − qϕ (1)
kde c je rychlost světla, v rychlost nabité částice.
Kinematický impulz g = mγv, (γ = (1 − v2/c2)−1/2)
E2
c2
− g2
= m2
c2
(2)
Kanonický impulz
p =
∂L
∂v
= g + qA . (3)
5
Nabitá částice v elektromagnetickém poli
Hamiltonián
H(r, p) = pv − L (4)
užitím vztahu E = γmc2 a (2) dostaneme pro relativistický faktor γ
γ = 1 +
g2
m2c2
(5)
a pro rychlost
v = c
p − qA
m2c2 + (p − qA)2
(6)
Dosazením těchto vztahů do (4)
H = c (p − qA(r))2 + m2c2 + qϕ(r) = mc2
(7)
6
Nabitá částice v elektromagnetickém poli
Volba aditivní konstanty elektrostatické potenciálu: ϕ = 0 v místě v němž mají
částice nulovou rychlost ⇒ −qϕ = Ek ,
Ek = −qϕ (8)
E = mc2
− qϕ (9)
γ = 1 −
qϕ
mc2
(10)
| g | =
E2
c2
− m2c2 = −2mqϕ 1 −
qϕ
2mc2
= −2mqϕ∗ (11)
kde jsme zavedli relativisticky korigovaný elektrostatický potenciál
ϕ∗
= ϕ 1 −
qϕ
2mc2
7
Fázový prostor, pohybové rovnice a Liouvillův teorém
Pohyb nabité částice v poli je pak dán Hamiltonovými pohybovými rovnicemi
d
dt
q =
∂H
∂p
,
d
dt
p = −
∂H
∂q
(12)
Trajektorie nabité částice ve fázové prostoru je pak jednoznačně určená počáteční
polohou a impulzem (bodem ve fázovém prostoru, kterým prochází). Trajektorie se ve
fázové prostoru neprotínají! Pro hustotu náboje ve fázovém prostoru platí rovnice
kontinuity:
j +
∂ρ
∂t
= 0 (13)
jde j = ρv je proud ve fázové prostoru (v = ( ˙q, ˙p) je šestirozměrná rychlost ve
fázovém prostoru). Pro divergenci toku pravděpodobnosti dostaneme
j =
∂
∂q
(ρ ˙q) +
∂
∂p
(ρ ˙p) = ρ
∂ ˙q
∂q
+
∂ ˙p
∂p
+
∂ρ
∂q
˙q +
∂ρ
∂p
˙p (14)
= ρ
∂2H
∂q∂p
−
∂2H
∂p∂q
+
∂ρ
∂q
˙q +
∂ρ
∂p
˙p =
∂ρ
∂q
˙q +
∂ρ
∂p
˙p
Po dosazení do rovnice kontinuity dostaneme Liouvillův teorém (hustota náboje je
konstantní podél trajektorie ve fázovém prostoru):
∂ρ
∂q
˙q +
∂ρ
∂p
˙p +
∂ρ
∂t
=
dρ
dt
= 0
8
Brightness
Proudová směrová hustota - Brightness
B =
dI
dSdΩ
(15)
dI =
dQ
dt
=
ρd3rd3p
dt
= ρdSvg2
dgdΩ = ρg2
dSdΩdE (16)
kde jsem použilivdg = dE. Pokud uvažujeme monoenergetický zdroj dostaneme:
dI = ρdSdΩ (17)
a po dosazení do vztahu pro brightness dostaneme
B = ρg2
⇒
B
g2
= konst. (18)
Také se zavádí tzv. redukovaná brightness
Br =
B
ϕ∗
=
dI
dSdΩϕ∗
= konst. (19)
9
Brightness
To nám umožůje spočítat minimální
velikost obrazu (dS = 1/4πd2, dΩ = πα2)
d =
2
π
I
Br ϕ∗
1
α
9
Charakteristická funkce a eikonál
Charakteristická funkce - stacionární hodnota akce
W = W (r0, t0; r, t) = Ex
t
t0
L(r, ˙r)dt (15)
podél skutečné trajektorie se zachovává hodnota energie
W (r0, t0; r, t) = Ex
t
t0
(pv − H(r, p)) dt = Ex
r
r0
pdr − E(t − t0) (16)
kde poslední integrál je přes reálnou trajektorii spojující body r0, r a definuje eikonál:
S(r0, r, E) = Ex
r
r0
pdr. (17)
Trajektorie v systému pak lze najít jako extremály funcionálu
r
r0
pdr.
10
Charakteristická funkce a eikonál
Při změně r → r + δr a t → t + δt
δW =
∂W
∂r
δr +
∂W
∂t
δt =
∂S
∂r
δr − Eδt (18)
ekvivalentně
δW = W (r0, t0; r + δr, t + δt) − W (r0, t0; r, t) = (19)
=
t+δt
t0
(p + δp)(˙r + δ˙r) − H(p + δp, r + δr)dt −
t
t0
p˙r − H(p, r)dt =
=
t
t0
pδ˙r + δp˙r −
∂H
∂r
δr −
∂H
∂p
δp dt + p1v1δt − Eδt
Užitím pδ˙r = d/dt(pδr) − ˙pδr a Hamiltonových rovnic dostaneme
δW = p1δr1 + p1v1δt − Eδt = p1δr − Eδt (20)
srovnáním (18) a (20) pak pro eikonál dostaneme
r S(r0, r, E) − qA = g (21)
11
Charakteristická funkce a eikonál
r S(r0, r, E) − qA = g (22)
z tohoto vztahu plyne, že trajektorie částic jsou v případě absence magnetického pole
kolmé na plochy konstantního eikonálu S(r0, r, R). Kvadrátem obou stran (22)
dostaneme Hamilton-Jacobiho rovnici,
( S − qA)2
= g2
= −2mqϕ∗
(r) (23)
12
Index lomu
δ
r
r0
pdr = δ
s
s0
mγv
t
| t |
− qA tds = −2mqϕ∗
0 δ
s
s0
n(r, t)ds (24)
kde t je tečný vektor trajektorie t =
dr(s)
ds
a
n(r, t) =
ϕ∗
ϕ∗
0
1
2
| t | − −
q
2mϕ∗
0
At (25)
je index lomu.
13
Index lomu
Parametrizace délkou oblouku centrální trajektorie
Souřadnicový systém: (a) nezávislá proměnná - délka oblouku centrální trajektorie (osa
z) (b) osy x a y jsou kolmé na centrální trajektorii (Frenet-Serret trihedral)
14
• systémy s přímou osou: s = z, t = x ex + y ey + ez
• systémy s mid-section symmetry (rovina y = 0): s = z,
dl2
= dx2
+ dy2
+ dz2 ρ − x
ρ
2
= dx + dy + dz(1 − xΓ)2
kde ρ je poloměr křivosti a Γ je křivost trajektorie. Tečný vektor trajektorie pak
vychází t = x ex + y ey + ez g3 a jeho velikost | t |= g2
3 + x 2 + y 2, kde jsme
označily g3 = 1 − xΓ
15
Index lomu
Pro index lomu pak můžeme psát
n =
ϕ∗
ϕ0∗
1
2
g2
3 + x 2 + y 2 − −
q
2mϕ∗
0
g3Az + Ax x + Ay y (26)
16