1
fay tUu   Y^^u p^U^ 0 t
^ r (9.    ., ^aA'v
ďjM" "^Ai '/{/y^y ?š sr (Š)
1 í f°
1 ipJLf   A. ry^j/U ^
Vil     'A / 1/1
4
A/A)* i (Ä)
1
0
4
i
/o
v/Aft W/w^fJtrÁ Jhý/ktn^ (L)  . [u/O]
6r;
1
1/\ .
Vrty V^M (i) AwK     M^MiiAt A^J^
-/xHa&'W*^/fat   A$ A^j^
f
Kapitola 1. Základy kvalitativní teorie autonomních systémů
Obr. 1.10: stabilní ohnisko
Obr. 1.11: nestabilní ohnisko
Kapitola 1. Základy kvalitativní teorie autonomních systémů
21
Tím dostaneme systém
= fx{xo,yo)u+fy(xo,yo)v v' = gx(xo,yo)u+gy(xo,yo)v,
který je kýženou linearizací systému (1.4.2). V maticovém tvaru máme
fx(xo,yo) fy(xo,yo) jSxfayo) 8y(xo,yo)
(1.4.3)
Matice tohoto lineárního systému se nazývá Jacobiho matice vyčíslená v bodě [xo,yo] a typ stacionárního bodu [jco,yo] zjistíme nalezením vlastních čísel této matice. Mají-li nenulovou reálnou část, stacionární bod lze klasifikovat, přičemž vlastní čísla odpovídají stejnému typu, jako u lineárních systémů.
Jsou-li ale vlastní čísla ryze imaginární, nelze tento stacionární bod tímto způsobem přesně klasifikovat. Tím se dostáváme k problémům spojeným s ryze imaginárními vlastními čísly u nelineárních systémů. Jediné, co můžeme o takovém bodě říct je, že je buď ohnisko, nebo střed, nebo bod rotace. Přesně klasifikovat takový bod vyžaduje náročnější techniky, kterým se v této práci bohužel věnovat nebudeme. Přesto v druhé kapitole narazíme na nelineární systém, ve kterém se uzavřené trajektorie vyskytují a v tom konkrétním případě si ukážeme, jak uzavřené trajektorie odhalit. Ilustrační obrázek bodu rotace lze vidět na obrázku 1.13.
y(t)
x(t)
Obrázek 1.13: Bod rotace
/o
l ^   4ii )     ( 1 /    J /
1) Ad$*<f
o i
1
l sví
Ať- --s .    - /^^W7
4-1
M
s>    Ja -
— fiMí U/r l -yS ^
16.
. Kapitola 1. Základy kvalitativní teorie autonomních systémů
-.Ta, A
q<0			sedlo
	p>0	4q<p2	nestabilní uzel
q>0		4q>p2	nestabilní ohnisko
	p<0	4q<p2	stabilní uzel
		4q > p2	stabilní ohnisko
	P	= 0	střed
Tabulka 1.1: Klasifikace stacionárních bodů podle stopy a determinantu matice A
'5
->
^ ' t% *■ \ J3 * % 4l2 -4<       - O
h,2 e K.	h,i < 0	stabilní uzel
	Al>2 > 0	nestabilní uzel
	Ai < 0 < A2	sedlo
Ai)2 = a±)3í	a<0	stabilní ohnisko
	a>0	nestabilní ohnisko
	a = 0	střed
Tabulka 1.2: Klasifikace stacionárních bodů podle vlastních čísel matice A
1lf