1/ Poissonův proces Budeme se zabývat matematickým modelem časového sledu částic kosmického záření, jejichž energie dosahuje výše potřebné k vyvolání impulsu v Gei-gerově-Mullerově čítači (obr. 1). Zajímá nás vstupní proud. Proud, který čítač skutečně registruje, je ovlivněn mrtvými dobami po registraci impulsů. Omezujeme se na časové úseky, během nichž se intenzita záření nemění. Učiníme o proudu částic tyto předpoklady: 1. Počty částic na vstupu do čítače v disjunktních časových intervalech jsou vzájemně nezávislé náhodné veličiny. 2. Čas počítáme od nuly. Pro libovolné f ^ 0 je pravděpodobnost příchodu částic v časovém intervalu (f, f + fc] rovna qh + o(h), h->0 + . Jinak řečeno, tato pravděpodobnost je až na nekonečně malé veličiny vyššího řádu úměrná délce intervalu, q je kladná konstanta charakterizující intenzitu záření. 3. Pro t ^ 0 je pravděpodobnost výskytu dvou nebo více částic v časovém intervalu (r, t + h] veličina řádu o(h), h -» 0 +. Tento předpoklad vylučuje současný příchod několika částic. Označme N, celkový počet částic na vstupu do času í, tj. částic přišlých během časového intervalu [0, f]. N = {iV,,f^0} je náhodný proces (náhodná funkce). Naším cílem je zjistit, jaké vlastnosti procesu N z předpokladů 1—3 vyplývají. Nejprve vypočteme pravděpodobnosti Obr. 1 Pk(t) = P(Nt = k), k = 0,1,... 11 Pro Po(t) máme p0(í + h) = P(N, = 0)P(Nt + h - N, = 0) = Po(t)(l - qh + o(h)). Odkud lim h~\p0(t + h)- p0(t)) = -%-p0(t) = -qp0(t). (1) Dále pro k - 1,2,... k k - 2 pk(t + h) = £ P(N,=j)P(N, + h -N, = k-j) = £ p/t)oW + J=0 j=0 + fc^ííMgfc + o(/j)) + -qh + o(h)). Odtud ^-P^) = A-iWí-P*(í)9. 1,2,... (2) Protože je P(N0 = 0) = 1, máme pro odvozenou soustavu diferenciálních rovnic počáteční podmínku Po(0)=l, Pl(0) = p2(0)= ... =0. Řešením prvé rovnice plyne p0(ř) = exp j —qt}. Dále úpravou -^(^pk(t)) = q(C,Pk_l(t)), k =1,2,..., což dává Celkem Pt(í) = ^fe-", /c = 0,1,2,... Dospěli jsme k Poissonovu rozložení. Proces, který jsme charakterizovali předpoklady 1 — 3, se nazývá Poissonův. Pro rozložení počtu částic na intervalu (fj, f2] máme stejný výsledek P(Nl2 - Nti = k) = pk(t2 - fl) = (qih ~ tl))k e-""-'", fe = 0, 1, ... Jejich očekávaný počet je £(JV(2 - N,t) = £ /cPk(r2 - t,) = q(t2 - tl). k = 0 Poissonův proces s konstantní intenzitou q lze proto také definovat jako proces s nezávislými přírůstky, jehož přírůstek na intervalu délky s > 0 má Poissonovo 12 (1) rozložení se střední hodnotou qs. Nezávislost přírůstků je předpoklad 1, pro disjunktní intervaly (tv 12], (r3, f4], (í5, f6],... jsou Nt2 — Nh, Nu — Nti, Nt6 - N,5,... vzájemně nezávislé náhodné veličiny. Stanovíme rozložení dob mezi příchody částic. Budiž t, okamžik prvého příchodu, ti = inf{í :Nt > 0}. Máme Ffr, á 0 - W > 0) = 1 - p0(ř) = 1 - e"*. tj má exponenciální rozložení se střední hodnotou l/q. t2 budiž doba mezi prvým a druhým příchodem, t2 = inf (t: N, + Tl - Nti > 0}. Určíme sdružené rozložení (t1( t2), P(t, g>í,t2 g s), t > 0, s > 0. Pro h celé kladné, splňující tn"1 < s, rozdělme interval [0, f] na n stejných dílků délky h. Máme podle obrázku 2 É m*~w = 0)P(Nkh - N{k_ i)h = í)P(N{k_1)h+s - Nkh > 0) ^ k = 1 ^ Ptti i£ í, t2 s) ^ t P(N(k_i)h = 0)(P(Ntt - N(k_í)h = 1). • PiNa + , ~ Nkh > 0) + P{Nkh - N(k_1)h > 1)). (k-lTh ikh. kh»s t (k-1)h* Obr. 2 Dosazením plyne f e-«|l-'Ve"'*(l - e-^-"1) ^ P(t, íí,t2^s)^ k = 1 ^ j e-€(*-i*(qhe-*(l - e~qs) + o{h)). k = 1 S ohledem na rovnost Le ~ i _ e-4/. dostáváme při n -* co, tj. h -» 0 + , P(t! ^ í,t2 š s) = (1 - e-«')(l - e"«s). 13 Vidíme, že Tj,t2 jsou vzájemně nezávislé náhodné veličiny s exponenciálním rozložením o střední hodnotě l/q. Stejným postupem bychom tuto vlastnost rozšířili na doby mezi dalšími příchody t3, t4, .... Realizací náhodné veličiny je číslo. Realizací náhodného procesuje funkce — trajektorie. Trajektorie procesu N je znázorněna obrázkem 3. Z předchozích úvah vyplývá další charakterizace Poissonova procesu s intenzitou q. Je to náhodný proces, jehož (zprava spojitá) trajektorie je po částech konstantní s jednotkovými skoky v bodech nespojitosti. Délky intervalů mezi body nespojitosti jsou vzájemně nezávislé náhodné veličiny s exponenciálním rozložením o střední hodnotě l/q. •N, 0 ^ Obr. 3 Realizaci Poissonova procesu lze také popsat pomocí posloupnosti bodů na časové ose ax,o2,.... V našem modelu jsou to okamžiky příchodů částic. Hovoříme o bodovém procesu X = {on, n = 1, 2, ...}, zatímco N je jemu příslušný načítací proces N,= t ^ t). X{ } značí indikátor náhodného jevu ve svorkách, rovný 1, když jev nastal, a rovný 0 v opačném případě. Máme vztah P(N, < k) = P(ak > f), 1,2,... (?) ak je součtem k nezávislých veličin o hustotě í/exp[ — qx). Hustota rozložení veličiny ak,fk(x), proto splňuje fk(x) = jqe-^-fif^Mdy, k = 2, 3, ... o Odkud Mx) = x) = P\(tk , - ak > x + s | ak+, - ak > s) = = e~ «(v"s)/e~',s - e"«*. ffk«i Obr. 4 V libovolném časovém okamžiku f má doba čekání na první následující příchod rovněž exponenciální rozložení se střední hodnotou l/q. Zvolíme-li r za nový počátek pozorování, je následující realizace procesu N opět Poissonovým procesem s intenzitou q, nezávislým na průběhu N v intervalu [0, f]. Totéž platí, když za počátek zvolíme okamžik k-tého příchodu ak. V tabulce 1 je uvedena ukázka jedné řady pozorování z Lomnického štítu. Rada obsahuje 544 dob mezi příchody částic. Převrácená hodnota průměru těchto dob je odhadem intenzity q = 0,135. Teoretické četnosti jsou proto počítány pro distribuční funkci 1 - exp {-0,135x}. Tabulka 1 Interval. Četnosti Interval. Četnosti Interval, Četnosti mm. pozorované teoretické min. pozorované teoretické min. pozorované teoretické -1.5 94 100 7,5-8,5 18 25 14,5-15.5 11 10 1.5-2^ 64 56 8,5-9,5 14 22 15,5-17.5 17 16 2-5-3.5 57 49 9.5-10,5 21 19 17,5-19,5 9 12 3L5-4.5 39 43 10.5-11.5 13 17 19,5-21,5 10 9 43-5.5 42 37 11,5-12,5 13 14 21.5-23,5 8 7 . 53-6.5 34 33 12.5-13,5 15 13 23,5-25.5 5 5 43-7.5 28 29 13.5-14,5 13 11 25,5- 19 17 K Poissonovu procesu s proměnnou intenzitou dospíváme změnou předpokladu 2 takto: 2. Pro t ^ 0 je pravděpodobnost příchodu částic v časovém intervalu ií. ř + /i] rovna q(t)h + o(h), h -» 0 + . q(t) budiž po částech spojitá funkce. Mějme 0 ^ s < f. Označme Pkis,t) = P{N,- Ns = k), k = 0, 1, 15