Diskrétní deterministické modely – cvičné písemky
Písemka obsahuje tři úlohy, dvě na explicitní řešení diferenčních rovnic, jednu na kvalitativní
analýzu řešení autonomní rovnice nebo systému.
Explicitní řešení rovnic:
• Lineární rovnice homogenní i nehomogenní.
• Lineární rovnice vyššího řádu s konstantními koeficienty,
– nehomogenní rovnice se speciální pravou stranou,
– nehomogenní rovnice řešené užitím variace konstant nebo Duhamelova principu.
• Systémy lineárních rovnic s konstantní maticí homogenní a nehomogenní.
• Rovnice transformovatelné na rovnice lineární:
– Riccatiho rovnice,
– rovnice homogenní.
Kvalitativní analýza autonomních rovnic:
• hledání stacionárních řešení skalární rovnice (prvního nebo druhého řádu) nebo dvojrozměrného
systému,
• vyšetřování stability stacionárních řešení,
• hledání cyklů skalární rovnice a vyšetřování jejich stability,
• určení typu bifurkace stacionárního bodu autonomní rovnice s parametrem.
1
1. Najděte obecné řešení rovnice
x(t + 1) =
2x(t) + 4
x(t) − 1
.
2. Najděte obecné řešení systému rovnic
x(t + 1) = −x(t) + y(t)
y(t + 1) = 2y(t) +t.
3. Uvažujte autonomní rovnici druhého řádu
x(t + 1) = rx(t) 1 −
x(t − 1)
K
;
parametry r a K jsou kladné. Najděte všechny její rovnovážné body a vyšetřete jejich
stabilitu.
Uvedenou rovnici interpretujte.
Řešení:
1. Riccatiho rovnice
x(t) =
4(1 + x0)(−3)t − (4 − x0)2t
(1 + x0)(−3)t + (4 − x0)2t
= 1−
2(4 − x0)
4 − x0 + (1 + x0) −3
2
t +
3(1 + x0)
1 + x0 + (4 − x0) −2
3
t
2. x(t) = 2tA + (−1)tB − 1
2t − 1
4,
y(t) = 3 · 2tA − t − 1,
podrobněji:
x(t) = 1
3 3x0 − y0 + 1
2 t0 − 1
4 (−1)t−t0 + 1
3 y0 + t0 + 1)2t−t0 − 1
2t − 1
4,
y(t) = y0 + t0 + 1)2t−t0 − t − 1
3. Rovnovážné body jsou x∗
1 = 0 a x∗
2 = K
r − 1
r
.
• 0 < r < 1 ⇒ x∗
1 je stabilní, x∗
2 je nestabilní
• 1 < r < 2 ⇒ x∗
1 je nestabilní, x∗
2 je stabilní
• 2 < r ⇒ x∗
1 oba rovnovážné body jsou nestabilní
Rovnice může modelovat vývoj velikosti populace, u níž vnitrodruhová konkurence působí
se zpožděním jedné generace. Parametr r je vnitřní koeficient růstu (maximální možný
přírůstek velikosti populace, růstový koeficient populace bez vnitrodruhové konkurence,
biotický potenciál modelované populace), parametr K vyjadřuje kapacitu (úživnost) prostředí;
ta závisí na růstovém koeficientu a je 1 −
1
r
-násobkem parametru K.
2
1. Najděte řešení počáteční úlohy
x(t + 1)2
− (2 + t)x(t + 1)x(t) + 2tx(t)2
= 0, x(1) = 1.
2. Najděte obecné řešení rovnice
x(t + 2) − x(t) = 2t
t sin
π
2
t .
3. Uvažujte autonomní systém
H(t + 1) = rH(t) exp − aP(t) ,
P(t + 1) = cH(t) 1 − exp − aP(t) ;
parametry r, a a c jsou kladné. Najděte rovnovážný bod systému s oběma souřadnicemi
kladnými a vyšetřete jeho stabilitu.
Řešení:
1. Homogenní rovnice, dvě řešení: x1(t) = 2t−1, x2(t) = (t − 1)!
2. x(t) = A + (−1)tB + 1
252t(8 − 5t) sin π
2 t
3. • r ≤ 1 rovnovážný bod uvnitř prvního kvadrantu neexistuje
• r > 1 rovnovážný bod
1
ac
r ln r
r − 1
,
ln r
a
je nestabilní
3
1. Najděte obecné řešení rovnice
x(t + 1) =
1 − x(t)
2x(t) 1 − x(t) + 1 − x(t)
2 x(t).
2. Najděte řešení počáteční úlohy pro diferenční rovnici druhého řádu
∆2
x + 2∆x = t, x(0) = 0, x(1) = −1
4
.
3. Najděte hodnoty parametru µ, při kterých dochází k bifurkaci stacionárních bodů
diferenční rovnice
x(t + 1) = 2x(t) µ − x(t) + µ
a určete typy bifurkace.
Řešení:
1. Riccatiho rovnice, x(t) =
C
1 + Ct
2. x(t) = 1
4 t2 − 2t
3. Označení: f(x, µ) = 2x(µ − x) + µ.
∂f
∂x
(x, µ) = 2µ − 4x,
∂2f
∂x2
(x, µ) = −4,
∂3f
∂x3
(x, µ) = 0,
∂f
∂µ
(x, µ) = 2x + 1,
∂2f
∂µ∂x
(x, µ) = 2.
Stacionární body x∗
1 = µ, x∗
2 = −1
2.
Jejich stabilita:
•
∂f
∂x
(x∗
1, µ) = −2µ ∈ (−1, 1) pro µ ∈ (−1
2 , 1
2)
•
∂f
∂x
(x∗
2, µ) = 2(µ + 1) ∈ (−1, 1) pro µ ∈ (−3
2, −1
2 )
(x∗, µ0) = (−1
2, −1
2):
∂f
∂x
(−1
2, −1
2 ) = 1,
∂2f
∂x2
(−1
2 , −1
2) = −4 = 0,
∂f
∂µ
(−1
2, −1
2) = 0,
∂2f
∂µ∂x
(x, µ) = 2 = 0 ⇒ transkritická (to je už vidět z obrázku)
(x∗, µ0) = (1
2, 1
2):
∂f
∂x
(1
2, 1
2) = −1, 2
∂3f
∂x3
(1
2, 1
2 ) + 3
∂2f
∂x2
(1
2, 1
2)
2
= 48 = 0,
2
∂2f
∂µ∂x
(1
2 , 1
2) +
∂2f
∂x2
(1
2, 1
2)
∂f
∂µ
(1
2 , 1
2 ) = −4 = 0 ⇒ zdvojení periody (flip)
(x∗, µ0) = (−1
2, −3
2):
∂f
∂x
(−1
2, −3
2 ) = −1, 2
∂3f
∂x3
(−1
2 , −3
2) + 3
∂2f
∂x2
(−1
2, −3
2 )
2
= 48 = 0,
2
∂2f
∂µ∂x
(−1
2, −3
2 ) +
∂2f
∂x2
(−1
2 , −3
2)
∂f
∂µ
(−1
2, −3
2 ) = 4 = 0 ⇒ zdvojení periody (flip)
x∗
µ
−3
2 −1
2
1
2
−1
2
µ
4