Kapitola 3. Cebyševova aproximácia pomocou polynómov_24
Na záver tejto podkapitoly uvedieme polynomy pn G n„, n = 0,1, najlepšej aproximácie funkcie / G C[a,b), pričom využijeme práve Cebyševovu alternačnú vlastnosť. Idey, ktoré predstavíme v ďalšej časti, pochádzajú z [11, strana 59-61].
Nech najskôr n = 0. Tento prípad je pomerne nenáročný z výpočetného hľadiska. Pre funkciu / G C[a,ž>] a hľadáme polynom po G TIq ju aproximuje v Cebyševovom zmysle. Ide teda o aproximáciu konštantou, resp. polynómom nultého stupňa. Označme
Po(*) = fi),   Po€R, x e [a,b],
a hodnoty extrémov
M= max f (x),   m= min f (x).
x€[a,b] xe[a,b]
Ukážme, že najlepšia aproximácia Po je tvaru
M + m
pričom chyba aproximácie je
M — m
E0(/)= max \f(x) - P0\ = ——.
xe[a,b] l
Bod,v ktorom funkcia f (x) nadobúda minimum, označme x\ G [a,b]. Obdobne pre maximum majme bod xi G [a,b]. V bodoch x\,xi platí
r,   n    ~       M —m /(*,)-Po = —y~ '
^   \    ~     M—m
V týchto bodoch dosahuje funkcia f {x) — Po svoje absolútne extrémy so striedavým znamienkom, a preto sú x\ a xi bodmi Čebyševovej alternanty. Polynom Po je najlepšou aproximáciou funkcie f (x) na intervale [a,b].
Prípad pre n = 1 je zaujímavejší, no mierne pracnější. Konštrukcia polynomu p\(x) vyžaduje dodatočný predpoklad na funkciu /, a to z dôvodu jednoznačného určenia bodov alternanty. O predpokladoch zaručujúcich jednoznačnosť pojednávala Veta 3.8.
Nech je / G C2[a,b], pričom f"(x) nemení znamienko na intervale (a,b). Bez ujmy na všeobecnosti môžeme predpokladať f" (x) > 0.
Hľadáme polynóm najlepšej aproximácie prvého stupňa v tvare
\  px(x) = ax+P, a,j3Gj^ Podľa Čebyševovej vety existujú tri body x\ ,*2,*3 € [a,b] alternanty tak, že E\ = mzx.\f(x)-p\(x)\ = \f{xi)-p\{xi)\,   i =1,2,3.
x€[a,b]
Evidentne bod X2 G (a, b). Je zároveň extrémom funkcie f {x) — p\(x) a platí preň
(/(*J-pi(*)f = /'(*) >0  V*<E {<*,*].