Kapitola 3. Čebyševova aproximácia pomocou polynómov_2
Preto bod x2 je minimom funkcie f (x) - p\ (x). Z tohto dôvodu platí
f(x2) - p\ (x2) = f'(x2) - a = 0. (3.14)
Zo vzťahu (3.14) plynie a = f'(x2).
Pretože je f" (x) > 0, je funkcia f'(x) > 0 rýdzo rastúca a v otvorenom intervale (a, b) neexistujú ďalšie extrémy rozdielu f (x) — p\ (x). Preto zvyšné dva body alternanty tvoria krajné body intervalu [a,b], resp. x\ = a,x^= b. Pre zjednodušenie položme x2 = c. Platí
f (a) - Pl (a) = f (b) - p, (b) = -(f (c) - Px (c)). (3.15)
Vypočítajme hodnotu koeficientu a polynomu p\(x). Zo vzťahu (3.15) máme
f (a) - Pl (a) = f (a) -aa-fi= f (b) -ab-$= f (a) - p, (a).
jednoduchými úpravami získame hodnotu a ako
f(b)-f(a)
a = JK í JK }. (3.16)
b —a
Na výpočet konštanty j3 využijeme rovnicu
f(a)-aa-p = aj + p-f(c). I &,
Hodnota /3 je rovná
n = f{a)+f{c)    aa + c 2 2
Po dosadení za a zo vzťahu (3.16) dostávame
f(a)+f(c)    f(b)-f(a)a + c 2 b-a 2
Celkovo môžeme využitím vzťahov (3.16) a (3.17) polynóm p\{x) napísaťv tvare
M    ňb)-f ja)      f(a)+f{c)    f(b)-f(a)a + c
P\\x) =---x H---------—. (3.18)
b—a 2 b—a 2
V predchádzajúcich úvahách sme uviedli, že dvomi bodmi alternanty funkcie f (x) — — P\(x) sú krajné body intervalu. Tretí bod, označený ako c, získame v konkrétnych príkladoch pomocou jednoduchej rovnosti. Zo vzťahu (3.14) a vzťahu (3.16) získavame
fV.SStM. (3,9)
b — a
Príklad 3.1. Využit.m vzťahu (3.18) spočítame polynóm P\ £ TL\ najlepšej aproximácie funkcie f (x) = x2 na intervale [—1,1]. Výsledok získaný týmto spôsobom neskôr porovnáme s výsledkami, ktoré vychádzajú z odlišných postupov i úvah vysvetlených v Kapitole 4 a Kapitole 5.
Overme či funkcia f (x) = x2 spĺňa potrebné predpoklady. Derivácia f (x) = 2x je spojitá funkcia na intervale [—1,1]. Druhá derivácia f" (x) — 2]t spojitá a kladná na celom