M9BCF Teorie bifurkací, chaos a fraktály Lenka Přibylová pribylova@math.muni.cz Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity 13. června 2021 1. kapitola Dynamické systémy na varietách Dynamické systémy na varietách L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 2 / 344 1. kapitola Dynamické systémy na varietách Co se naučíme: zopakovat si základní pojmy teorie dynamických systémů a rozšířit je na variety L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 3 / 344 1. kapitola Dynamické systémy na varietách Co se naučíme: zopakovat si základní pojmy teorie dynamických systémů a rozšířit je na variety zopakovat Grobmanovu–Hartmanovu větu L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 3 / 344 1. kapitola Dynamické systémy na varietách Definice Dynamickým systémem rozumíme trojici {T, X, φt }, kde T je číselná množina (čas), X je metrický prostor, který nazýváme fázovým prostorem, a φt je parametrický systém evolučních operátorů s parametrem t ∈ T definovaných jako zobrazení φt : X → X, které zobrazuje počáteční stav x0 ∈ X na nějaký stav xt = φt x0 ∈ X. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 4 / 344 1. kapitola Dynamické systémy na varietách Definice Dynamickým systémem rozumíme trojici {T, X, φt }, kde T je číselná množina (čas), X je metrický prostor, který nazýváme fázovým prostorem, a φt je parametrický systém evolučních operátorů s parametrem t ∈ T definovaných jako zobrazení φt : X → X, které zobrazuje počáteční stav x0 ∈ X na nějaký stav xt = φt x0 ∈ X. Definice Deterministickým dynamickým systémem rozumíme systém {T, X, φt } splňující podmínku φ0 = id, kde id je identita na X, tj. ∀x ∈ X : idx = x. Tato vlastnost říká, že systém spontánně nemění svůj stav. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 4 / 344 1. kapitola Dynamické systémy na varietách Definice Invariantní množinou S rozumíme podmnožinu X splňující x0 ∈ S ⇒ φt x0 ∈ S ∀t ∈ T. Definice Invariantní množina S se nazývá stabilní, jestliže ∀U ⊃ S libovolně malé okolí invariantní množiny existuje okolí V ⊃ S takové, že ∀x ∈ V a ∀t > 0 platí φt x ∈ U (tento typ stability nazýváme ljapunovskou stabilitou), existuje okolí U0 ⊃ S takové, že (φt x, S) → 0 pro x ∈ U0 a t → ∞, kde je metrikou ve fázovém prostoru. Tento typ stability nazýváme asymptotickou stabilitou. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 5 / 344 1. kapitola Lineární systém Definice Lineárním autonomním systémem m diferenciálních rovnic rozumíme systém ˙x = Ax, (1) kde matice A ∈ Rm×m a x ∈ Rm je vektor stavových proměnných, které jsou funkcemi času, tj. x = x(t) = (x1(t), . . . , xm(t))T , kde přitom xi : R → R pro i ∈ {1, . . . , m}. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 6 / 344 1. kapitola Lineární systém Definice Lineárním autonomním systémem m diferenciálních rovnic rozumíme systém ˙x = Ax, (1) kde matice A ∈ Rm×m a x ∈ Rm je vektor stavových proměnných, které jsou funkcemi času, tj. x = x(t) = (x1(t), . . . , xm(t))T , kde přitom xi : R → R pro i ∈ {1, . . . , m}. Poznámka Řešením (1) rozumíme vektorovou funkci x(x0, t) splňující počáteční podmínku x(0) = x0. Dynamický systém reprezentovaný rovnicí (1) je tedy dán evolučním operátorem neboli tokem φt , pro který platí φt (x0) = x(x0, t). L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 6 / 344 1. kapitola Lineární systém Připomeňme, že maticová exponenciální funkce je definována nekonečnou řadou etA = I + tA + t2 2 A2 + · · · + tn n! An + . . . L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 7 / 344 1. kapitola Lineární systém Připomeňme, že maticová exponenciální funkce je definována nekonečnou řadou etA = I + tA + t2 2 A2 + · · · + tn n! An + . . . Tato řada konverguje pro libovolné t ∈ R. Zkuste si sami ověřit, že Věta Řešením rovnice (1) s počáteční podmínkou x(0) = x0 je φt (x0) = x(x0, t) = etA x0 jako vektorová funkce v proměnné t. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 7 / 344 1. kapitola Lineární systém Pokud má A m lineárně nezávislých vlastních vektorů vj s vlastními čísly λj, je xj (t) = eλjt vj , pro j ∈ {1, . . . m} m nezávislých vektorových funkcí, které jsou řešením rovnice (1) s počáteční podmínkou xj (0) = vj . L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 8 / 344 1. kapitola Lineární systém Pokud má A m lineárně nezávislých vlastních vektorů vj s vlastními čísly λj, je xj (t) = eλjt vj , pro j ∈ {1, . . . m} m nezávislých vektorových funkcí, které jsou řešením rovnice (1) s počáteční podmínkou xj (0) = vj . Obecné řešení rovnice (1) splňující počáteční podmínku x(0) = x0 tak lze napsat jako x(t) = m j=1 cjxj (t) = m j=1 eλjt cjvj , kde koeficienty cj jsou souřadnice vektoru x0 v bázi tvořené vlastními vektory, protože x(0) = m j=1 cjvj = x0. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 8 / 344 1. kapitola Lineární systém V případě násobných vlastních čísel může být nezávislých vlastních vektorů méně a lze definovat zobecněné vlastní vektory (viz Braun 1978 a PřF:M6201 Nelineární dynamika a její aplikace) a m lineárně nezávislých řešení rovnice (1). Tato řešení tvoří tzv. fundamentální matici řešení rovnice (1) X(t) = [x1 (t), . . . , xm (t)]. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 9 / 344 1. kapitola Lineární systém V případě násobných vlastních čísel může být nezávislých vlastních vektorů méně a lze definovat zobecněné vlastní vektory (viz Braun 1978 a PřF:M6201 Nelineární dynamika a její aplikace) a m lineárně nezávislých řešení rovnice (1). Tato řešení tvoří tzv. fundamentální matici řešení rovnice (1) X(t) = [x1 (t), . . . , xm (t)]. Zřejmě platí etA = X(t)X(0)−1 . L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 9 / 344 1. kapitola Lineární systém Rovnici (1) můžeme řešit také transformací x = Ty splňující J = T−1 AT, která matici A převádí do Jordanova kanonického tvaru a rovnici do tvaru ˙y = Jy. Matice T je po sloupcích tvořena vlastními vektory vj, případně zobecněnými vlastními vektory. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 10 / 344 1. kapitola Lineární systém Rovnici (1) můžeme řešit také transformací x = Ty splňující J = T−1 AT, která matici A převádí do Jordanova kanonického tvaru a rovnici do tvaru ˙y = Jy. Matice T je po sloupcích tvořena vlastními vektory vj, případně zobecněnými vlastními vektory. Ověřte si, že platí etA = TetJ T−1 . L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 10 / 344 1. kapitola Lineární systém Matice etA reprezentuje zobrazení φt : Rm → Rm. Každý bod x0 ∈ Rm je zobrazen do bodu φt (x0) = x(x0, t) = etAx0. Operátor etA tak nese informaci o množině všech řešení rovnice (1) a definuje tok generovaný vektorovým polem Ax na Rm. V teorii Lieových grup je tento operátor základním spojením mezi Lieovou algebrou a odpovídající Lieovou grupou1. 1 Lieova grupa je grupa, která je zároveň diferencovatelnou varietou. Lieova algebra je vektorový prostor doplněný bilineární antisymetrickou operací, která se nazývá Lieova závorka (ta představuje zjednodušeně změnu vektorového pole vzhledem k jinému), která splňuje Jacobiho identitu. Celá ta věc velmi dobře slouží k popisu infinitezimálních změn vektorového pole, které je dáno systémem diferenciálních rovnic. O tom asi jinde později. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 11 / 344 1. kapitola Lineární systém Tok etA : Rm → Rm je také množinou řešení rovnice (1), přitom některá řešení mají významné vlastnosti. Rovnováha 0 je první takové významné řešení. Je invariantní vzhledem k operátoru etA. Jsou ale i jiné podmnožiny – vektorové podprostory Rm – invariantní vzhledem k operátoru etA. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 12 / 344 1. kapitola Lineární systém Tok etA : Rm → Rm je také množinou řešení rovnice (1), přitom některá řešení mají významné vlastnosti. Rovnováha 0 je první takové významné řešení. Je invariantní vzhledem k operátoru etA. Jsou ale i jiné podmnožiny – vektorové podprostory Rm – invariantní vzhledem k operátoru etA. Každý vlastní vektor vj generuje vektorový podprostor, který je invariantní vzhledem k operátoru etA. Je jím samozřejmě jeho lineární obal span{vj}. Pro řešení rovnice (1) totiž platí x(cjvj , t) = etλj cjvj ∈ span{vj }. Podobně jsou významné a invariantní také vektorové podprostory z následující definice: L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 12 / 344 1. kapitola Lineární systém Definice Stabilním podprostorem operátoru (toku) etA nebo rovnice (1) rozumíme Es = span{v1 , . . . , vm− }, kde v1, . . . , vm− je m− vlastních vektorů (případně zobecněných), jejichž vlastní čísla mají zápornou reálnou část. Podobně nestabilním podprostorem rozumíme Eu = span{u1 , . . . , um+ }, kde u1, . . . , um+ je m+ vlastních vektorů (případně zobecněných), jejichž vlastní čísla mají kladnou reálnou část a centrálním podprostorem rozumíme Ec = span{w1 , . . . , wm0 }, kde w1, . . . , wm0 je m0 vlastních vektorů (případně zobecněných), jejichž vlastní čísla mají nulovou reálnou část. Platí m− + m+ + m0 = m. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 13 / 344 1. kapitola Nelineární systém Definice Autonomním systémem diferenciálních rovnic rozumíme systém ˙x = f (x), (2) kde x ∈ X = Rm a vektorová funkce f : Rm → Rm je dostatečně hladká. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 14 / 344 1. kapitola Nelineární systém Definice Autonomním systémem diferenciálních rovnic rozumíme systém ˙x = f (x), (2) kde x ∈ X = Rm a vektorová funkce f : Rm → Rm je dostatečně hladká. Poznámka Řešením (2) rozumíme vektorovou funkci x(x0, t) splňující počáteční podmínku x(0) = x0. Pro dynamický systém reprezentovaný rovnicí (2) můžeme alespoň v okolí t = 0 lokálně definovat tok φt , pro který platí φt (x0) = x(x0, t). Křivku γ(t) = φt (x0) pak nazýváme trajektorií. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 14 / 344 1. kapitola Nelineární systém Definice Pro systém (2) s konstantním řešením neboli rovnováhou x(x0, t) = x0 se lineární systém ˙x = Df (x0)x (3) s tokem etDf (x0) nazývá linearizací systému (2) v okolí rovnováhy x0. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 15 / 344 1. kapitola Nelineární systém Definice Pro systém (2) s konstantním řešením neboli rovnováhou x(x0, t) = x0 se lineární systém ˙x = Df (x0)x (3) s tokem etDf (x0) nazývá linearizací systému (2) v okolí rovnováhy x0. Poznámka Rovnovážné body autonomního systému (2) splňují systém rovnic f (x) = 0. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 15 / 344 1. kapitola Nelineární systém Definice Dynamický systém D1 = {T, Rm, φt } se nazývá topologicky ekvivalentní dynamickému systému D2 = {T, Rm, ψt }, jestliže existuje homeomorfismus h: Rm → Rm, které zobrazuje trajektorie systému D1 na trajektorie systému D2, přičemž zachovává jejich orientaci. Často v takovém případě mluvíme také o (topologicky) ekvivalentních fázových portrétech. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 16 / 344 1. kapitola Nelineární systém Definice Dynamický systém D1 = {T, Rm, φt } se nazývá topologicky ekvivalentní dynamickému systému D2 = {T, Rm, ψt }, jestliže existuje homeomorfismus h: Rm → Rm, které zobrazuje trajektorie systému D1 na trajektorie systému D2, přičemž zachovává jejich orientaci. Často v takovém případě mluvíme také o (topologicky) ekvivalentních fázových portrétech. Definice Dynamický systém D1 = {T, Rm, φt } se nazývá lokálně topologicky ekvivalentní v okolí O1 bodu x1 dynamickému systému D2 = {T, Rm, ψt } v okolí O2 bodu x2, jestliže existuje homeomorfismus h: O1 → O2, které zobrazuje trajektorie systému D1 v okolí O1 na trajektorie systému D2 v okolí O2, přičemž zachovává jejich orientaci. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 16 / 344 1. kapitola Nelineární systém Definice Rovnováha x0 systému (2) se nazývá hyperbolická, jestliže centrální vektorový podprostor jeho linearizace v jejím okolí má dimenzi m0 = 0. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 17 / 344 1. kapitola Nelineární systém Definice Rovnováha x0 systému (2) se nazývá hyperbolická, jestliže centrální vektorový podprostor jeho linearizace v jejím okolí má dimenzi m0 = 0. Věta (Grobmanova–Hartmanova věta, věta o linearizaci) Systém (2) ˙x = f (x) je v okolí své hyperbolické rovnováhy x0 lokálně topologicky ekvivalentní se svou linearizací (3). L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 17 / 344 1. kapitola Nelineární systém Grobmanova–Hartmanova věta zaručuje, že v okolí hyperbolické rovnováhy existuje homeomorfismus h, který zobrazuje trajektorie nelineárního toku φt na trajektorie lineárního toku etDf (x0). Tento homeomorfismus jako spojité a invertibilní zobrazení zaručuje lokálně také existenci stabilní a nestabilní variety v okolí U hyperbolické rovnováhy, pro které platí Ws loc(x0) = h−1 (Es ) = {x ∈ U | φt (x) → x0 pro t → ∞ a φt (x) ∈ U ∀t: t ≥ 0}, Wu loc(x0) = h−1 (Eu ) = {x ∈ U | φt (x) → x0 pro t → −∞ a φt (x) ∈ U ∀t: t ≤ 0}. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 18 / 344 1. kapitola Nelineární systém Věta Předpokládejme, že systém (2) ˙x = f (x) má hyperbolickou rovnováhu x0. Pak existuje lokálně stabilní varieta Ws loc(x0) dimenze m− tečná v bodě x0 k podprostoru Es lineárního toku etDf (x0) a nestabilní varieta Wu loc(x0) dimenze m+ tečná v bodě x0 k podprostoru Eu lineárního toku etDf (x0). L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 19 / 344 1. kapitola Nelineární systém Věta Předpokládejme, že systém (2) ˙x = f (x) má hyperbolickou rovnováhu x0. Pak existuje lokálně stabilní varieta Ws loc(x0) dimenze m− tečná v bodě x0 k podprostoru Es lineárního toku etDf (x0) a nestabilní varieta Wu loc(x0) dimenze m+ tečná v bodě x0 k podprostoru Eu lineárního toku etDf (x0). Lokální stabilní a nestabilní varieta jsou invariantní množiny a stejně jako podprostory Es a Eu mají v ryzím okolí hyperbolické rovnováhy prázdný průnik. Právě případný průnik stabilních a nestabilních variet vede ke složitému – komplexnímu – chování dynamických systémů. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 19 / 344 1. kapitola Nelineární systém Metrický prostor X = Rm, ve kterém jsme doposud pracovali s dynamickým systémem, můžeme nahradit m-rozměrnou (hladkou) varietou. Naprosto analogicky totiž můžeme všechny předchozí lokální pojmy definovat na varietě M. Hladká varieta je totiž opatřena atlasem map – lokálními zobrazeními (difeomorfismy) do Rm. Protože lokální difeomorfismus je také homeomorfismus, můžeme definovat lokální pojmy skrze tečné m-rozměrné vektorové prostory na tzv. tečném bandlu variety M. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 20 / 344 1. kapitola Nelineární systém Metrický prostor X = Rm, ve kterém jsme doposud pracovali s dynamickým systémem, můžeme nahradit m-rozměrnou (hladkou) varietou. Naprosto analogicky totiž můžeme všechny předchozí lokální pojmy definovat na varietě M. Hladká varieta je totiž opatřena atlasem map – lokálními zobrazeními (difeomorfismy) do Rm. Protože lokální difeomorfismus je také homeomorfismus, můžeme definovat lokální pojmy skrze tečné m-rozměrné vektorové prostory na tzv. tečném bandlu variety M. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 21 / 344 1. kapitola Nelineární systém Torus z úvodního obrázku kapitoly je příkladem 2-rozměrné variety a na něm vidíme vektorové pole představující tok φt . Zobrazený tok je na toru velmi jednoduchým zobrazením (lineárním), přestože ve 3-rozměrném prostoru bychom jej popisovali velice složitě. Pro hyperbolickou rovnováhu na hladké varietě platí Grobmanova–Hartmanova věta ([Irw01], str. 113). L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 22 / 344 1. kapitola Nelineární systém Na tok φt nelineárního systému nebo etA lineárního systému diferenciálních rovnic je možné nahlížet také jako na zobrazení. Pokud zvolíme například fixní t = τ, je konstantní matice B = eτA maticí diferenčního systému x(n + 1) = Bx(n), (4) který reprezentuje diskrétní dynamický systém indukovaný spojitým tokem. Stejně tak mluvíme o iteracích zobrazení x → Bx. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 23 / 344 1. kapitola Nelineární systém Na tok φt nelineárního systému nebo etA lineárního systému diferenciálních rovnic je možné nahlížet také jako na zobrazení. Pokud zvolíme například fixní t = τ, je konstantní matice B = eτA maticí diferenčního systému x(n + 1) = Bx(n), (4) který reprezentuje diskrétní dynamický systém indukovaný spojitým tokem. Stejně tak mluvíme o iteracích zobrazení x → Bx. Protože je tok φt hladká vektorová funkce, je takto definované diskrétní zobrazení difeomorfismus. Dalším příkladem, kdy tok indukuje diskrétní zobrazení, je Poincarého zobrazení (viz PřF:M6201 Nelineární dynamika a její aplikace). L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 23 / 344 1. kapitola Nelineární systém S lineárními zobrazeními x → Bx umíme pracovat. Známe pojem vlastního čísla a vektoru, Jordanův kanonický tvar matice zobrazení, atd. Podobně jako v předchozím případě můžeme i pro diskrétně definovaný dynamický systém s nulovou rovnováhou definovat stabilní vektorový podprostor Es = span{v1 , . . . , vm− }, kde v1, . . . , vm− je m− vlastních vektorů (případně zobecněných), jejichž vlastní čísla mají velikost menší než 1. Podobně nestabilním podprostorem rozumíme Eu = span{u1 , . . . , um+ }, kde u1, . . . , um+ je m+ vlastních vektorů (případně zobecněných), jejichž vlastní čísla mají velikost větší než 1 a centrálním podprostorem rozumíme Ec = span{w1 , . . . , wm0 }, kde w1, . . . , wm0 je m0 vlastních vektorů (příp. zobecněných), jejichž vl. čísla mají jednotkovou velikost. Platí m− + m+ + m0 = m. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 24 / 344 1. kapitola Nelineární systém Věta (Grobmanova–Hartmanova věta, věta o linearizaci) Nechť G: Rm → Rm je (C1) difeomorfismus a x0 je jeho hyperbolický pevný boda. Pak existuje homeomorfismus h definovaný na nějakém okolí x0 tak, že platí h ◦ G = DG(x0) ◦ h. Mluvíme o topologicky konjugovaných zobrazeních G a jeho linearizaci DG(x0) v okolí pevného bodu x0. a Rovnováha je hyperbolická, jestliže centrální vektorový podprostor linearizovaného systému v jejím okolí má dimenzi m0 = 0. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 25 / 344 1. kapitola Nelineární systém Věta Předpokládejme, že G: Rm → Rm je (C1) difeomorfismus a x0 je jeho pevný bod (rovnováha). Pak existuje lokálně stabilní varieta Ws loc(x0) dimenze m− tečná v bodě x0 k podprostoru Es zobrazení DG(x0) a nestabilní varieta Wu loc(x0) dimenze m+ tečná v bodě x0 k podprostoru Eu zobrazení DG(x0). L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 26 / 344 2. kapitola Redukce na centrální varietu Redukce na centrální varietu L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 27 / 344 2. kapitola Redukce na centrální varietu Co se naučíme: porozumět pojmu centrální varieta L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 28 / 344 2. kapitola Redukce na centrální varietu Co se naučíme: porozumět pojmu centrální varieta umět redukovat dynamický systém na centrální varietu L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 28 / 344 2. kapitola Redukce na centrální varietu Věta (Věta o centrální varietě) Nechť x0 = 0 je rovnováha systému (2) ˙x = f (x) pro f ∈ Cr (r ≥ 2), která není hyperbolická (tj. počet vlastních čísel Df (x0) s nulovou reálnou částí m0 = 0). Pak v okolí počátku existuje hladká invariantní varieta Wc loc(0), která je lokálně dána grafem funkce ν : Rm0 → Rm− × Rm+ , která splňuje ν(0) = 0 a Dν(0) = 0. Varietu Wc loc(0) nazýváme centrální varietou. Důkaz této věty je založen na Banachově větě o kontrakci. Lze jej nalézt např. v Chicone: Ordinary Differential Equations with Applications, Springer 1999 str. 286-297. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 29 / 344 2. kapitola Redukce na centrální varietu Věta (Věta o centrální varietě) Nechť x0 = 0 je rovnováha systému (2) ˙x = f (x) pro f ∈ Cr (r ≥ 2), která není hyperbolická (tj. počet vlastních čísel Df (x0) s nulovou reálnou částí m0 = 0). Pak v okolí počátku existuje hladká invariantní varieta Wc loc(0), která je lokálně dána grafem funkce ν : Rm0 → Rm− × Rm+ , která splňuje ν(0) = 0 a Dν(0) = 0. Varietu Wc loc(0) nazýváme centrální varietou. Důkaz této věty je založen na Banachově větě o kontrakci. Lze jej nalézt např. v Chicone: Ordinary Differential Equations with Applications, Springer 1999 str. 286-297. V okolí počátku existují stejně jako v hyperbolickém případě také hladké invariantní variety Ws loc(0) a Wu loc(0) dimenze m− a m+ tečné k Es, resp. Eu. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 29 / 344 2. kapitola Redukce na centrální varietu Uvažujme systém (2) s rovnováhou x0 a vlastními hodnotami Df (x0) s nekladnými reálnými částmi (tj. m0 = 0, m− = 0 a m+ = 0) převedený do tvaru ˙x = Acx + g1(x, y), ˙y = Asy + g2(x, y), (5) kde matice Ac a As mají m0, resp. m− vlastních čísel s nulovou reálnou částí, resp. se zápornou reálnou částí, g1(0, 0) = 0, g2(0, 0) = 0, Dg1(0, 0) = 0, Dg2(0, 0) = 0. Nulové řešení je v takovém případě stabilní (ne nutně asymptoticky). L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 30 / 344 2. kapitola Redukce na centrální varietu Podle věty o centrální varietě existuje v okolí počátku invariantní lokální centrální varieta Wc loc(0) daná grafem funkce ν : Rm0 → Rm− , tj. y = ν(x). Dynamika na centrální varietě bude v okolí počátku dána rovnicí ˙u = Acu + g1(u, ν(u)), u ∈ Rm0 . (6) Trajektorie systému (5), které neleží na centrální varietě, se k ní exponenciálně přibližují pro t → ∞. Chování takového systému je tudíž možné redukovat na chování na jeho atraktoru, kterým je invariantní centrální varieta. Definice Rovnice (6) se nazývá redukcí systému (5) na centrální varietu. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 31 / 344 2. kapitola Redukce na centrální varietu Poznámka Je evidentní, že pokud je stabilní počátek redukovaného systému, je stabilní také rovnováha x0 původního systému (2) s m+ = 0. Vzhledem k tomu, že centrální varieta je v okolí počátku hladká, bude platit ˙y = Dν(x)˙x, tj. dosazením y = ν(x) a pravých stran rovnic systému (5) dostáváme rovnici pro centrální varietu Asν(x) + g2(x, ν(x)) = Dν(x)(Acx + g1(x, ν(x))). (7) Řešení y = ν(x) můžeme aproximovat Taylorovým polynomem alespoň 2. stupně (pro dostatečně hladkou f máme lokálně zaručenu dostatečnou hladkost), navíc nutně ν(0) = 0 a Dν(0) = 0. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 32 / 344 2. kapitola Redukce na centrální varietu Obdobně můžeme využít redukce na centrální varietu i v případě, že dynamický systém závisí na parametrech. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 33 / 344 2. kapitola Redukce na centrální varietu Obdobně můžeme využít redukce na centrální varietu i v případě, že dynamický systém závisí na parametrech. Uvažujme rodinu systémů ˙x = f (x, ε), (8) kde x ∈ X = Rm je stavová proměnná, ε ∈ Rk je vektor parametrů a funkce f : Rm × Rk → Rm je dostatečně hladká. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 33 / 344 2. kapitola Redukce na centrální varietu Nyní předpokládejme, že (8) má rovnováhu x0(ε) v nějakém okolí ε = 0 a Jacobiho matice Df (x0, 0) má vlastní čísla s nekladnými reálnými částmi (tj. m0 = 0, m− = 0 a m+ = 0). Posunutím rovnováhy do počátku můžeme převést systém (8) do tvaru: ˙x = Acx + g1(x, y, ε), ˙y = Asy + g2(x, y, ε), (9) kde matice Ac a As mají pro ε = 0 m0, resp. m− vlastních čísel s nulovou reálnou částí, resp. se zápornou reálnou částí, g1(0, 0, 0) = 0, g2(0, 0, 0) = 0, Dg1(0, 0, 0) = 0, Dg2(0, 0, 0) = 0. Doplněním parametrů mezi stavové závislé proměnné můžeme využít předchozího postupu. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 34 / 344 2. kapitola Redukce na centrální varietu Dynamiku na centrální varietě systému (9) ˙x = Acx + g1(x, y, ε), ˙y = Asy + g2(x, y, ε), ˙ε = 0 pak popisuje systém ˙u = Acu + g1(u, ν(u, ε), ε), ˙ε = 0. kde (u, ε) ∈ Rm0 × Rk. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 35 / 344 2. kapitola Redukce na centrální varietu Obdobně lze redukovat na centrální varietu i dynamiku obecného systému (2) (resp. systémů (8), které závisejí na parametrech). V obecném případě mají stabilní i nestabilní variety nenulové dimenze m− > 0 a m+ > 0 a dynamiku na centrální varietě musíme redukovat na rozloženém systému ˙x = Acx + g1(x, y, z), ˙y = Asy + g2(x, y, z), ˙z = Auz + g3(x, y, z), kde matice Ac, As a Au mají m0, m−, resp. m+ vlastních čísel s nulovou, zápornou, resp. kladnou reálnou částí, přičemž centrální varieta pak splňuje: Wc loc(0) = {(x, y, z) ∈ Rm0 × Rm− × Rm+ | y = ν1(x), z = ν2(x), ν1(0) = 0, ν2(0) = 0, Dν1(0) = 0, Dν2(0) = 0} a pro dostatečně hladké funkce ν1, ν2 platí L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 36 / 344 2. kapitola Redukce na centrální varietu ˙x = Acx + g1(x, ν1(x), ν2(x)), ˙y = Dν1(x)˙x = Asν1(x) + g2(x, ν1(x), ν2(x)), ˙z = Dν2(x)˙x = Auν2(x) + g3(x, ν1(x), ν2(x)), Lokální dynamiku na centrální varietě popisuje první rovnice, aproximaci variety v okolí rovnováhy můžeme vypočítat porovnáním koeficientů z druhé a třetí rovnice, pokud funkce ν1, ν2 v blízkosti 0 nahradíme Taylorovým rozvojem. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 37 / 344 2. kapitola Redukce na centrální varietu Příklady na redukci na centrální varietu Všechny úlohy si vyzkoušejte zobrazit v programech XPPAUT a Maple. Maple worksheety: Výpočet centrální variety v rovině Výpočet centrální variety v prostoru Výpočet centrální variety pro Lorenzův systém v okolí vidličkové bifurkace Lorenzův model – PřF:M6201 Nelineární dynamika a její aplikace L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 38 / 344 2. kapitola Redukce na centrální varietu Obdobná tvrzení platí pro zobrazení (viz např. [Wig03] str. 257), uvedeme jen to první, ostatní tvrzení lze analogicky odvodit (pro m+ = 0, parametrizovaná zobrazení). Věta (Věta o centrální varietě) Nechť G: Rm → Rm je difeomorfismus z Cr (r ≥ 2) a x0 je jeho pevný bod, který není hyperbolický (tj. počet vlastních čísel DG(x0) s jednotkovou velikostí m0 = 0). Pak v okolí počátku existuje hladká invariantní varieta Wc loc(0), která je lokálně dána grafem funkce ν : Rm0 → Rm− × Rm+ , která splňuje ν(0) = 0 a Dν(0) = 0. Varietu Wc loc(0) nazýváme centrální varietou. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 39 / 344 2. kapitola Redukce na centrální varietu Uvažujme difeomorfismus G: Rm → Rm (Cr, r ≥ 2) s pevným bodem x0 a vlastními hodnotami Df (x0) s maximálně jednotkovou velikostí (tj. m0 = 0, m− = 0 a m+ = 0) a jeho iterace převedené do tvaru x(n + 1) = Acx(n) + g1(x(n), y(n)), y(n + 1) = Asy(n) + g2(x(n), y(n)), (10) kde matice Ac a As mají m0, resp. m− vlastních čísel s jednotkovou velikostí, resp. s velikostí menší než 1, g1(0, 0) = 0, g2(0, 0) = 0, Dg1(0, 0) = 0, Dg2(0, 0) = 0. Nulová rovnováha je v takovém případě stabilní (ne nutně asymptoticky). L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 40 / 344 2. kapitola Redukce na centrální varietu Podle věty o centrální varietě existuje v okolí počátku invariantní lokální centrální varieta Wc loc(0) daná grafem funkce ν : Rm0 → Rm− , tj. y = ν(x). Dynamika na centrální varietě bude v okolí počátku dána rovnicí u(n + 1) = Acu(n) + g1(u(n), ν(u(n))), u(n) ∈ Rm0 . (11) Iterace systému (10), které neleží na centrální varietě, se k ní exponenciálně přibližují pro n → ∞. Chování takového systému je tudíž možné redukovat na chování na jeho atraktoru, který leží na invariantní centrální varietě. Definice Rovnice (11) se nazývá redukcí systému (10) na centrální varietu. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 41 / 344 3. kapitola Normální formy Normální formy L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 42 / 344 3. kapitola Normální formy Co se naučíme: porozumět principu a využití normálních forem L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 43 / 344 3. kapitola Normální formy Co se naučíme: porozumět principu a využití normálních forem umět převést systém do vhodného tvaru L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 43 / 344 3. kapitola Normální formy Dynamické systémy, které jsme viděli, jsou definovány v konečně-dimenzionálním prostoru Rm nebo na m-rozměrných varietách, kde můžeme lokálně přejít do takového prostoru pomocí zavedení nějaké souřadné soustavy a zobrazení na tečný prostor izomorfní s Rm. Pro jednoduchost tedy zůstaneme přímo v Rm. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 44 / 344 3. kapitola Normální formy Dynamické systémy, které jsme viděli, jsou definovány v konečně-dimenzionálním prostoru Rm nebo na m-rozměrných varietách, kde můžeme lokálně přejít do takového prostoru pomocí zavedení nějaké souřadné soustavy a zobrazení na tečný prostor izomorfní s Rm. Pro jednoduchost tedy zůstaneme přímo v Rm. Dynamický systém ale lze i v takovém případě zapsat různě – můžeme zvolit různé souřadné soustavy a můžeme přecházet k zápisu systému pomocí matice přechodu od jedné báze k jiné. Viděli jsme, že v okolí rovnováhy je velmi výhodným zápisem blokový Jordanův tvar linearizace, ve kterém vidíme dimenze stabilní, nestabilní a centrální variety. V případě m0 = 0, kdy je rovnováha hyperbolická, máme navíc k dispozici Grobmanovu–Hartmannovu větu a nelineární dynamiku si můžeme lokálně „nahradit“ tou lineární. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 44 / 344 3. kapitola Normální formy Podívejme se na systém ˙x = x − y − x(x2 + y2 ), ˙y = x + y − y(x2 + y2 ), kde x, y ∈ R s triviální rovnováhou. Matice linearizovaného systému je matice rotace, vlastní čísla jsou 1 ± i. Počátek je nestabilní. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 45 / 344 3. kapitola Normální formy Podívejme se na systém ˙x = x − y − x(x2 + y2 ), ˙y = x + y − y(x2 + y2 ), kde x, y ∈ R s triviální rovnováhou. Matice linearizovaného systému je matice rotace, vlastní čísla jsou 1 ± i. Počátek je nestabilní. Zavedením komplexní proměnné z = x + iy dostaneme ˙z = ˙x + i˙y = x + iy + i(x + iy) − (x + iy)(x2 + y2 ), tj. ˙z = (1 + i)z − z |z|2 . L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 45 / 344 3. kapitola Normální formy Eulerův tvar komplexního čísla z = ρeiϕ pak dává polární tvar ˙ρ = ρ(1 − ρ2 ), ˙ϕ = 1 téhož dynamického systému, který byl původně zapsán v kartézských souřadnicích. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 46 / 344 3. kapitola Normální formy Eulerův tvar komplexního čísla z = ρeiϕ pak dává polární tvar ˙ρ = ρ(1 − ρ2 ), ˙ϕ = 1 téhož dynamického systému, který byl původně zapsán v kartézských souřadnicích. V takto zapsaném systému vidíme kromě nestability rovnováhy v počátku typu ohniska i nelokální chování trajektorií. Limitní cyklus (kružnici) s poloměrem ρ = 1, dokonce vidíme, že je stabilní invariantní množinou. Můžeme také najít explicitní řešení systému. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 46 / 344 3. kapitola Normální formy Mohli bychom to stejné udělat pro parametrický systém ˙x = x − y − εx(x2 + y2 ), ˙y = x + y − εy(x2 + y2 ), kde ε ∈ R je nule blízký parametr? L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 47 / 344 3. kapitola Normální formy Mohli bychom to stejné udělat pro parametrický systém ˙x = x − y − εx(x2 + y2 ), ˙y = x + y − εy(x2 + y2 ), kde ε ∈ R je nule blízký parametr? V takovém případě dostaneme polární tvar ˙ρ = ρ(1 − ερ2 ), ˙ϕ = 1. Samozřejmě, že lokálně se v okolí počátku nic nemění, je nestabilním ohniskem. Přesto pro ε = 0 dostáváme kvalitativně jinou dynamiku než v případě ε > 0. V okolí rovnováhy neexistuje cyklus. Tuto věc nijak nepostihuje a ani nemůže postihnout Grobmanova–Hartmanova věta, ale nás samozřejmě tato informace velmi zajímá. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 47 / 344 3. kapitola Normální formy Umíme dynamický systém vždy převést alespoň v okolí rovnováhy do nějakého jednoduchého tvaru, který kvalitativně zachová dynamiku? L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 48 / 344 3. kapitola Normální formy Umíme dynamický systém vždy převést alespoň v okolí rovnováhy do nějakého jednoduchého tvaru, který kvalitativně zachová dynamiku? Lokálně nám zaručuje Grobmanova–Hartmanova věta, že můžeme přejít k linearizaci v blízkosti hyperbolické rovnováhy. Dokážeme najít podobný jednoduchý tvar systému i pro nehyperbolickou rovnováhu? L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 48 / 344 3. kapitola Normální formy Umíme dynamický systém vždy převést alespoň v okolí rovnováhy do nějakého jednoduchého tvaru, který kvalitativně zachová dynamiku? Lokálně nám zaručuje Grobmanova–Hartmanova věta, že můžeme přejít k linearizaci v blízkosti hyperbolické rovnováhy. Dokážeme najít podobný jednoduchý tvar systému i pro nehyperbolickou rovnováhu? Nalezneme nějaký algoritmus, který by systém upravil do „hezkého“ tvaru a nalezl tyto významné situace alespoň lokálně? L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 48 / 344 3. kapitola Normální formy Umíme dynamický systém vždy převést alespoň v okolí rovnováhy do nějakého jednoduchého tvaru, který kvalitativně zachová dynamiku? Lokálně nám zaručuje Grobmanova–Hartmanova věta, že můžeme přejít k linearizaci v blízkosti hyperbolické rovnováhy. Dokážeme najít podobný jednoduchý tvar systému i pro nehyperbolickou rovnováhu? Nalezneme nějaký algoritmus, který by systém upravil do „hezkého“ tvaru a nalezl tyto významné situace alespoň lokálně? Z předchozího příkladu jsme viděli, že i v případě, že centrální varieta má nulovou dimenzi a lokálně se dynamika nemění, z globálního pohledu to tak nemusí být. Pomůže nám ten „hezký“ tvar k nalezení nějakých typických nelokálních chování systému? L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 48 / 344 3. kapitola Normální formy Otázky, které si klademe, nemají jednoduché odpovědi a uvidíte, že povedou k dalším otázkám. Ale začněme tak, jak to v minulém století dělalo mnoho tvůrců dnešní teorie dynamických systémů – od singulární matice linearizace. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 49 / 344 3. kapitola Normální formy Otázky, které si klademe, nemají jednoduché odpovědi a uvidíte, že povedou k dalším otázkám. Ale začněme tak, jak to v minulém století dělalo mnoho tvůrců dnešní teorie dynamických systémů – od singulární matice linearizace. Slovo bifurkace – větvení – použil poprvé Henri Poincaré ve smyslu rozvětvení variety rovnováh dynamického systému (8) ˙x = f (x, ε) závislého na parametru (dnes se nazývá fold bifurkace, transkritická a vidličková bifurkace). Větvení tedy znamená, že rovnovážná varieta v kritickém rovnovážném bodě x0 bifurkace nemůže být funkcí parametru, tj. není hladkou varietou implicitně zadanou předpisem f (x, ε) = 0 a nesplňuje podmínku regularity matice Df (x0) z věty o implicitně dané funkci, ale rovnováhy se v kritickém bodě „větví“. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 49 / 344 3. kapitola Normální formy „Hezký“ tvar systému v okolí rovnováhy v případě hyperbolické rovnováhy a regulární matice Df (x0) zaručuje alespoň lokálně Grobmanova–Hartmanova věta, singulární matice implikuje existenci nulového vlastního čísla a nás napadne, že do hry vstoupí asi další nelineární členy funkce f v Taylorově rozvoji této funkce v okolí rovnováhy. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 50 / 344 3. kapitola Normální formy „Hezký“ tvar systému v okolí rovnováhy v případě hyperbolické rovnováhy a regulární matice Df (x0) zaručuje alespoň lokálně Grobmanova–Hartmanova věta, singulární matice implikuje existenci nulového vlastního čísla a nás napadne, že do hry vstoupí asi další nelineární členy funkce f v Taylorově rozvoji této funkce v okolí rovnováhy. Fakticky se tak dostáváme do algebraické geometrie a teorie singularit, respektive k teorii katastrof. Pokud se chcete dozvědět víc, můžete si zapsat předmět doc. Šilhana PřF:M4190 Diferenciální geometrie křivek a ploch nebo doc. Vokřínka PřF:M8140 Algebraická geometrie a PřF:MD140 Teorie singularit nebo se začíst do prací Reného Thoma či Vladimira Arnolda. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 50 / 344 3. kapitola Normální formy V roce 1965 navštěvoval Vladimir Arnold seminář Reného Thoma o teorii katastrof v Institut des hautes études scientifiques v Paříži. Tyto přednášky jej natolik ovlivnily, že se teorie singularit stala jednou z významných vědeckých oblastí studia pro něj i mnoho jeho studentů. Jedním z jeho významných výsledků je klasifikace jednoduchých singularit v článku Normal forms of functions near degenerate critical points, the Weyl groups of Ak, Dk, Ek and Lagrangian singularities (rusky). L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 51 / 344 3. kapitola Normální formy Pro praktické využití má tato klasifikace obrovský význam. Ukazuje, že v případě, že měníme parametry systému (v Arnoldově článku až 5), můžeme jak v okolí hyperbolické rovnováhy, tak v případě nehyperbolických rovnováh klasifikovat topologicky ekvivalentní dynamické systémy v okolí rovnováh. Navíc uvidíme, že určuje typické (generické) chování systému a možné změny tohoto chování při změně jednoho či více parametrů. V reálných dynamických systémech tak porozumíme typickým jevům jako jsou zánik rovnováh, hysterese, vznik oscilací, zánik oscilací splynutím cyklů nebo na separatrix sedla apod., které se objevují napříč všemi vědními obory – od neuronů, přes ekonomické cykly až po biochemické přepínače apod. Více se aplikacemi zabývá předmět PřF:M6201 Nelineární dynamika a její aplikace. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 52 / 344 3. kapitola Princip transformace Pro jednoduchost budeme předpokládat, že je systém (2) již ve tvaru ˙x = Jx + F(x), (12) kde J = Df (x0) je Jacobiho matice linearizace (2) v okolí jeho izolované rovnováhy x0 a nelineární část F(x) má Taylorův rozvoj k-tého stupně v okolí počátku tvaru F(x) = F2(x) + F3(x) + · · · + Fk(x) + O( x k ). L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 53 / 344 3. kapitola Princip transformace Uvažujme nyní lokální transformaci souřadnic, která bude blízká identitě (to můžeme udělat jak v Rm, tak na m-rozměrné varietě), tj. x = y + h2(y), (13) kde h2 je polynom 2. stupně, tedy má nulovou funkční hodnotu i první parciální derivace. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 54 / 344 3. kapitola Princip transformace Uvažujme nyní lokální transformaci souřadnic, která bude blízká identitě (to můžeme udělat jak v Rm, tak na m-rozměrné varietě), tj. x = y + h2(y), (13) kde h2 je polynom 2. stupně, tedy má nulovou funkční hodnotu i první parciální derivace. Dynamický systém (12) ˙x = Jx + F(x), můžeme v nových souřadnicích napsat jako ˙x = (I + Dh2(y))˙y = Jy + Jh2(y) + F(y + h2(y)). (14) L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 54 / 344 3. kapitola Princip transformace Pro dostatečně malé y je matice I + Dh2(y) regulární a existuje k ní inverzní matice, pro kterou platí (I + Dh2(y))−1 = I − Dh2(y) + O( y 2 ), L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 55 / 344 3. kapitola Princip transformace Pro dostatečně malé y je matice I + Dh2(y) regulární a existuje k ní inverzní matice, pro kterou platí (I + Dh2(y))−1 = I − Dh2(y) + O( y 2 ), takže ˙y = (I + Dh2(y))−1 Jy + Jh2(y) + F(y + h2(y)) = = I − Dh2(y) + O( y 2 ) Jy + Jh2(y) + F(y + h2(y)) = = Jy + Jh2(y) + F(y + h2(y)) − −Dh2(y) Jy + Jh2(y) + F(y + h2(y)) + O( y 3 ) = = Jy + Jh2(y) + F2(y + h2(y)) − Dh2(y)Jy + O( y 3 ) = Jy + Jh2(y) + F2(y) − Dh2(y)Jy + O( y 3 ) L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 55 / 344 3. kapitola Princip transformace Volbou h2 tak, aby platilo F2(y) = Dh2(y)Jy − Jh2(y), (15) se umíme zbavit kvadratických členů a dynamický systém budeme umět převést do mnohem jednoduššího tvaru ˙y = Jy + O( y 3 ). L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 56 / 344 3. kapitola Princip transformace Volbou h2 tak, aby platilo F2(y) = Dh2(y)Jy − Jh2(y), (15) se umíme zbavit kvadratických členů a dynamický systém budeme umět převést do mnohem jednoduššího tvaru ˙y = Jy + O( y 3 ). Jak najít řešení tzv. homologické rovnice (15)? L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 56 / 344 3. kapitola Princip transformace Volbou h2 tak, aby platilo F2(y) = Dh2(y)Jy − Jh2(y), (15) se umíme zbavit kvadratických členů a dynamický systém budeme umět převést do mnohem jednoduššího tvaru ˙y = Jy + O( y 3 ). Jak najít řešení tzv. homologické rovnice (15)? Ve správném vektorovém prostoru je to jen lineární algebraická rovnice :-) L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 56 / 344 3. kapitola Princip transformace Ve vektorovém prostoru Vk polynomů stupně k můžeme každý polynom zapsat jako lineární kombinaci homogenních polynomů, které tvoří jeho bázi. Stejně tak můžeme najít bázi vektorového prostoru polynomů k-tého stupně. Například pro dvojrozměrné systémy, y = y1 y2 , je prostor V2 = span y2 1 0 , y1y2 0 , y2 2 0 , 0 y2 1 , 0 y1y2 , 0 y2 2 . L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 57 / 344 3. kapitola Princip transformace Ve vektorovém prostoru Vk polynomů stupně k můžeme každý polynom zapsat jako lineární kombinaci homogenních polynomů, které tvoří jeho bázi. Stejně tak můžeme najít bázi vektorového prostoru polynomů k-tého stupně. Například pro dvojrozměrné systémy, y = y1 y2 , je prostor V2 = span y2 1 0 , y1y2 0 , y2 2 0 , 0 y2 1 , 0 y1y2 , 0 y2 2 . Protože h2(y) ∈ V2 a Dh2(y)Jy − Jh2(y) ∈ V2, řešíme vlastně lineární úlohu v prostoru V2. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 57 / 344 3. kapitola Princip transformace Obecněji platí, že také hk(y) ∈ Vk a Lk J (hk(y)) = −(Dhk(y)Jy − Jhk(y)) ∈ Vk, přičemž operátor Lk J se nazývá Lieova derivace a značí se také pomocí Lieovy závorky: [hk(y), Jy] = Jhk(y) − Dhk(y)Jy. Arnold nazýval Lieovu derivaci jako rybářovu derivaci. Transformaci blízkou identitě id + h2, kterou jsme změnili souřadnice v Rm na nové si totiž můžeme představit jako tok (vektorový tok) řeky, ve které se pohybuje ryba (dynamický systém, jiný vektorový tok). Zvenku rybář vidí pohyb ryby v toku řeky (změna vektorového toku vůči jinému). L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 58 / 344 3. kapitola Princip transformace Vraťme se nyní k naší původní úloze F2(y) = Dh2(y)Jy − Jh2(y) = −L2 J (h2(y)). Z lineární algebry víme, že vektorový prostor V2 lze rozložit na L2 J (V2) a jeho komplement W2, tedy V2 = L2 J (V2) ⊕ W2. Pokud je F2(y) ∈ L2 J (V2), umíme h2 najít a eliminovat všechny kvadratické členy. Pokud ne, pak F2(y) = Felim 2 (y) + Fr 2(y), kde Felim 2 (y) lze eliminovat a Fr 2(y) ∈ W2 ne. Tyto členy se nazývají (historicky) rezonanční. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 59 / 344 3. kapitola Princip transformace Naprosto analogicky pak lze pokračovat s dalšími nelineárními členy v prostorech Vk a eliminovat nelineární členy až na rezonanční členy v prostoru Wk. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 60 / 344 3. kapitola Princip transformace Naprosto analogicky pak lze pokračovat s dalšími nelineárními členy v prostorech Vk a eliminovat nelineární členy až na rezonanční členy v prostoru Wk. Věta (Normální tvar) Systém (12), resp. (2), lze převést konečným počtem analytických transformací souřadnic v okolí počátku do tvaru ˙y = Jy + Fr 2(y) + Fr 3(y) + · · · + Fr k(y) + O( y k+1 ), (16) kde k ∈ N a Fr i (y) ∈ Wi pro i ∈ {2, . . . , k}. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 60 / 344 3. kapitola Princip transformace Několik poznámek, které by měly být vyřčeny. Rozklad prostoru Vk = Lk J (V2) ⊕ Wk není jednoznačný, a proto ani normální tvar systému (12), resp. (2) není jednoznačně určen. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 61 / 344 3. kapitola Princip transformace Několik poznámek, které by měly být vyřčeny. Rozklad prostoru Vk = Lk J (V2) ⊕ Wk není jednoznačný, a proto ani normální tvar systému (12), resp. (2) není jednoznačně určen. Pevně je ale dána dimenze prostorů Vk i Wk, a tedy i počet rezonančních nelineárních homogenních vektorových polynomů. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 61 / 344 3. kapitola Princip transformace Několik poznámek, které by měly být vyřčeny. Rozklad prostoru Vk = Lk J (V2) ⊕ Wk není jednoznačný, a proto ani normální tvar systému (12), resp. (2) není jednoznačně určen. Pevně je ale dána dimenze prostorů Vk i Wk, a tedy i počet rezonančních nelineárních homogenních vektorových polynomů. Místo variety v Rm je někdy vhodné pracovat v prostoru Cm/2, jak uvidíme např. u Hopfovy bifurkace L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 61 / 344 3. kapitola Princip transformace Několik poznámek, které by měly být vyřčeny. Rozklad prostoru Vk = Lk J (V2) ⊕ Wk není jednoznačný, a proto ani normální tvar systému (12), resp. (2) není jednoznačně určen. Pevně je ale dána dimenze prostorů Vk i Wk, a tedy i počet rezonančních nelineárních homogenních vektorových polynomů. Místo variety v Rm je někdy vhodné pracovat v prostoru Cm/2, jak uvidíme např. u Hopfovy bifurkace V případě, že lineární zobrazení z Rm do Rm reprezentované maticí J zachovává nějakou symetrii (mluvíme pak o ekvivariantním zobrazení), pak lze Wk volit tak, aby byly invariantní vůči této symetrii (např. záměna stavových proměnných, rotace apod.). L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 61 / 344 3. kapitola Princip transformace Několik poznámek, které by měly být vyřčeny. Rozklad prostoru Vk = Lk J (V2) ⊕ Wk není jednoznačný, a proto ani normální tvar systému (12), resp. (2) není jednoznačně určen. Pevně je ale dána dimenze prostorů Vk i Wk, a tedy i počet rezonančních nelineárních homogenních vektorových polynomů. Místo variety v Rm je někdy vhodné pracovat v prostoru Cm/2, jak uvidíme např. u Hopfovy bifurkace V případě, že lineární zobrazení z Rm do Rm reprezentované maticí J zachovává nějakou symetrii (mluvíme pak o ekvivariantním zobrazení), pak lze Wk volit tak, aby byly invariantní vůči této symetrii (např. záměna stavových proměnných, rotace apod.). Postup lze použít i pro parametrické systémy tvaru (8). L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 61 / 344 3. kapitola Princip transformace Několik poznámek, které by měly být vyřčeny. Rozklad prostoru Vk = Lk J (V2) ⊕ Wk není jednoznačný, a proto ani normální tvar systému (12), resp. (2) není jednoznačně určen. Pevně je ale dána dimenze prostorů Vk i Wk, a tedy i počet rezonančních nelineárních homogenních vektorových polynomů. Místo variety v Rm je někdy vhodné pracovat v prostoru Cm/2, jak uvidíme např. u Hopfovy bifurkace V případě, že lineární zobrazení z Rm do Rm reprezentované maticí J zachovává nějakou symetrii (mluvíme pak o ekvivariantním zobrazení), pak lze Wk volit tak, aby byly invariantní vůči této symetrii (např. záměna stavových proměnných, rotace apod.). Postup lze použít i pro parametrické systémy tvaru (8). Analogický postup i tvrzení o existenci normální formy platí pro zobrazení, přičemž lineárním operátorem je J ◦ h − h ◦ J, přičemž eliminaci členů zaručíme zobrazením id + h, kde h je řešením homologické rovnice J ◦ h − h ◦ J + F = 0. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 61 / 344 3. kapitola Příklady Příklady na normální formy Normální formy Hopfovy a Neimarkovy-Sackerovy bifurkace v programu Maple L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 62 / 344 4. kapitola Normální formy jednoparametrických lokálních bifurkací – spojité systémy L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 63 / 344 4. kapitola Co se naučíme: zopakovat základní jednoparametrické bifurkace rovnováh spojitých dynamických systémů L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 64 / 344 4. kapitola Co se naučíme: zopakovat základní jednoparametrické bifurkace rovnováh spojitých dynamických systémů využít znalosti redukce na centrální varietu L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 64 / 344 4. kapitola Co se naučíme: zopakovat základní jednoparametrické bifurkace rovnováh spojitých dynamických systémů využít znalosti redukce na centrální varietu zopakovat a rozšířit metodiku výpočtu základních bifurkačních variet L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 64 / 344 4. kapitola Co se naučíme: zopakovat základní jednoparametrické bifurkace rovnováh spojitých dynamických systémů využít znalosti redukce na centrální varietu zopakovat a rozšířit metodiku výpočtu základních bifurkačních variet metodu průměrování L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 64 / 344 4. kapitola Normální forma fold bifurkace Věta Předpokládejme, že jednodimenzionální jednoparametrický systém (rovnice) ˙x = f (x, α), x ∈ R, α ∈ R, (17) kde f je hladká funkce, má pro α = α0 rovnovážný bod x = x0 a λ = fx(x0, α0) = 0. Předpokládejme, že jsou splněny fxx(x0, α0) = 0 podmínka nedegenerovanosti, fα(x0, α0) = 0 podmínka transverzality. Pak je (17) v okolí rovnováhy lokálně topologicky ekvivalentní systému v normální formě fold bifurkace ˙y = ±ε ± y2 v okolí počátku. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 65 / 344 4. kapitola Normální forma fold bifurkace Normální forma bifurkace typu fold: ˙x = α − x2 L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 66 / 344 4. kapitola Normální forma fold bifurkace Domácí úkol: Ověřte podmínky nedegenerovanosti a transversality nalezením vhodné funkce δ(α) tak, aby transformace souřadnic y = x + δ(α) převedla rovnici (17) na její normální formu (tentokrát eliminujeme lineární členy). Proč se nemusíme zabývat členy O(y3)? Návod viz [Kuz13] str. 83. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 67 / 344 4. kapitola Normální forma transkritické bifurkace Věta Předpokládejme, že jednodimenzionální jednoparametrická rovnice ˙x = f (x, α), x ∈ R, α ∈ R, (18) kde f je hladká funkce, která má pro α = α0 nehyperbolickou rovnováhu x = x0 (λ = fx(x0, α0) = 0), která leží na průsečíku dvou větví rovnováh, tj. platí také fα(x0, α0) = 0. Předpokládejme, že jsou navíc splněny podmínky fxx(x0, α0) = 0 podmínka nedegenerovanosti, fxα(x0, α0) = 0 podmínka transverzality. Pak je (18) v okolí rovnováhy x0 lokálně topologicky ekvivalentní systému v okolí počátku v normální formě transkritické bifurkace ˙y = ±εy ± y2 . L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 68 / 344 4. kapitola Normální forma transkritické bifurkace Normální forma transkritické bifurkace: ˙x = αx − x2 [0, 0] x α L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 69 / 344 4. kapitola Normální forma vidličkové bifurkace Věta Předpokládejme, že jednodimenzionální jednoparametrická rovnice ˙x = f (x, α), x ∈ R, α ∈ R, (19) kde f (x − x0) je v okolí počátku lichá funkce, která má pro α = α0 nehyperbolickou rovnováhu x = x0 (λ = fx(x0, α0) = 0). Předpokládejme, že jsou splněny podmínky fxxx(x0, α0) = 0 podmínka nedegenerovanosti, fxα(x0, α0) = 0 podmínka transverzality. Pak je (19) v okolí rovnováhy lokálně topologicky ekvivalentní systému v normální formě vidličkové bifurkace ˙y = ±εy ± y3 v okolí počátku. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 70 / 344 4. kapitola Normální forma vidličkové bifurkace Video prof. Ghrista Vidličková superkritická a subkritická bifurkace L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 71 / 344 4. kapitola Normální forma vidličkové bifurkace Video prof. Ghrista Vidličková superkritická a subkritická bifurkace Normální forma vidličkové (pitchfork) bifurkace: ˙x = αx − x3 [0, 0] x α L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 71 / 344 4. kapitola Normální forma vidličkové bifurkace Co mají společného tyto typy bifurkací? L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 72 / 344 4. kapitola Normální forma vidličkové bifurkace Co mají společného tyto typy bifurkací? V čem se odlišují? L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 72 / 344 4. kapitola Normální forma vidličkové bifurkace Co mají společného tyto typy bifurkací? V čem se odlišují? Proč neuvádíme další typy normálních forem, např. ˙x = ε − x4 nebo ˙x = εx − x4 ? L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 72 / 344 4. kapitola Normální forma vidličkové bifurkace Co mají společného tyto typy bifurkací? V čem se odlišují? Proč neuvádíme další typy normálních forem, např. ˙x = ε − x4 nebo ˙x = εx − x4 ? Existují tyto bifurkace pouze v prostoru R1? Můžeme je nalézt ve vícerozměrných prostorech nebo na varietách? L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 72 / 344 4. kapitola Normální forma vidličkové bifurkace Odpověď na poslední otázku nám dává aparát, který jsme vybudovali dříve – redukce na centrální varietu. Na jednorozměrné centrální varietě nalezneme právě (topologicky vzato) tyto tři typy lokálních jednoparametrických bifurkací: fold, transkritickou a vidličkovou. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 73 / 344 4. kapitola Normální forma vidličkové bifurkace Odpověď na poslední otázku nám dává aparát, který jsme vybudovali dříve – redukce na centrální varietu. Na jednorozměrné centrální varietě nalezneme právě (topologicky vzato) tyto tři typy lokálních jednoparametrických bifurkací: fold, transkritickou a vidličkovou. Vysvětlete, proč se fold bifurkaci v R2 říká také bifurkace sedlo-uzel. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 73 / 344 4. kapitola Normální forma vidličkové bifurkace Odpověď na poslední otázku nám dává aparát, který jsme vybudovali dříve – redukce na centrální varietu. Na jednorozměrné centrální varietě nalezneme právě (topologicky vzato) tyto tři typy lokálních jednoparametrických bifurkací: fold, transkritickou a vidličkovou. Vysvětlete, proč se fold bifurkaci v R2 říká také bifurkace sedlo-uzel. Můžeme tak jednoduše ověřit, že příklad vede opravdu na generickou vidličkovou bifurkaci s jednorozměrnou stabilní varietou. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 73 / 344 4. kapitola Normální forma vidličkové bifurkace Odpověď na poslední otázku nám dává aparát, který jsme vybudovali dříve – redukce na centrální varietu. Na jednorozměrné centrální varietě nalezneme právě (topologicky vzato) tyto tři typy lokálních jednoparametrických bifurkací: fold, transkritickou a vidličkovou. Vysvětlete, proč se fold bifurkaci v R2 říká také bifurkace sedlo-uzel. Můžeme tak jednoduše ověřit, že příklad vede opravdu na generickou vidličkovou bifurkaci s jednorozměrnou stabilní varietou. Výpočet centrální variety pro Lorenzův systém v okolí vidličkové bifurkace L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 73 / 344 4. kapitola Normální forma Hopfovy bifurkace Věta Předpokládejme, že dvoudimenzionální jednoparametrický systém ˙x = f (x, α), kde x ∈ R2, α ∈ R, f = (f1, f2)T je hladká funkce, má pro α z okolí α0 rovnováhu x = x0 a Df (x, α) má vlastní hodnoty λ1,2 = µ(α) ± iω(α), kde µ(α0) = 0 a ω(α0) = ω0 > 0. Předpokládejme, že jsou splněny podmínky l1(α0) = 0 podmínka nedegenerovanosti, µα(α0) = 0 podmínka transverzality. Pak je (12) v okolí rovnovážného bodu lokálně topologicky ekvivalentní systému v normální formě Hopfovy bifurkace ˙u = εu − v + sgn l1(α0) · u(u2 + v2 ), ˙v = u + εv + sgn l1(α0) · v(u2 + v2 ). L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 74 / 344 4. kapitola Normální forma Hopfovy bifurkace Poznámka Číslo l1(α0) = Re(c1)/ω0 se nazývá první Ljapunovův koeficient nebo první Ljapunovovo číslo, které jsme odvodili pomocí metody normálních forem. Jeho znaménko určuje znaménko u nelineárních členů v normálním tvaru. V případě, že l1(α0) < 0, je systém ekvivalentní systému se vznikajícím stabilním limitním cyklem, mluvíme o superkritické Hopfově bifurkaci. V případě l1(α0) > 0 jde o subkritickou Hopfovu bifurkaci s nestabilním limitním cyklem. Znaménko u ε určuje podmínka transversality. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 75 / 344 4. kapitola Normální forma Hopfovy bifurkace ˙z = (µ + i)z − z |z|2 , resp. pro z = ρeiϕ ˙ρ = ρ(µ − ρ2 ), ˙ϕ = 1. ρ ρ ρ x x x y y y µ < 0 µ = 0 µ > 0 0 0 0 √ µ video prof. Ghrista – fázový portrét video prof. Ghrista – µ × x × y L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 76 / 344 4. kapitola Normální forma Hopfovy bifurkace Tento typ bifurkace vzniká v případě, že právě dvě vlastní čísla genericky přecházejí přes imaginární osu. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 77 / 344 4. kapitola Normální forma Hopfovy bifurkace Tento typ bifurkace vzniká v případě, že právě dvě vlastní čísla genericky přecházejí přes imaginární osu. Perioda cyklu vznikajícího v okolí počátku je T = 2π ω0 , protože vznikající periodické řešení je blízké funkci eiω0t = cos ω0t + i sin ω0t. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 77 / 344 4. kapitola Normální forma Hopfovy bifurkace Tento typ bifurkace vzniká v případě, že právě dvě vlastní čísla genericky přecházejí přes imaginární osu. Perioda cyklu vznikajícího v okolí počátku je T = 2π ω0 , protože vznikající periodické řešení je blízké funkci eiω0t = cos ω0t + i sin ω0t. Amplituda oscilací vznikajících Hopfovou bifurkací je úměrná změně parametru s jeho druhou odmocninou. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 77 / 344 4. kapitola Normální forma Hopfovy bifurkace Pro nalezení 1. Ljapunovova čísla musíme provést následující transformace: převést rovnováhu systému do počátku L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 78 / 344 4. kapitola Normální forma Hopfovy bifurkace Pro nalezení 1. Ljapunovova čísla musíme provést následující transformace: převést rovnováhu systému do počátku nalézt redukci na dvojrozměrnou centrální varietu L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 78 / 344 4. kapitola Normální forma Hopfovy bifurkace Pro nalezení 1. Ljapunovova čísla musíme provést následující transformace: převést rovnováhu systému do počátku nalézt redukci na dvojrozměrnou centrální varietu transformovat do komplexního tvaru L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 78 / 344 4. kapitola Normální forma Hopfovy bifurkace Pro nalezení 1. Ljapunovova čísla musíme provést následující transformace: převést rovnováhu systému do počátku nalézt redukci na dvojrozměrnou centrální varietu transformovat do komplexního tvaru provést transformaci na normální formu L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 78 / 344 4. kapitola Normální forma Hopfovy bifurkace Matice J linearizace systému ˙x = F(x), převedeného na centrální varietu má podle předpokladů dvě ryze imaginární vlastní hodnoty λ1,2 = ±iω0. Jim příslušné (komplexní) vlastní vektory v, v jsou také komplexně sdružené. Matice T = (2Rev, 2Imv) převádí T−1 JT = 0 −ω0 ω0 0 L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 79 / 344 4. kapitola Normální forma Hopfovy bifurkace Matice J linearizace systému ˙x = F(x), převedeného na centrální varietu má podle předpokladů dvě ryze imaginární vlastní hodnoty λ1,2 = ±iω0. Jim příslušné (komplexní) vlastní vektory v, v jsou také komplexně sdružené. Matice T = (2Rev, 2Imv) převádí T−1 JT = 0 −ω0 ω0 0 a transformace x = Tu pak převádí systém na centrální varietě na systém ˙u = T−1 JTu + T−1 F(Tu). (20) L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 79 / 344 4. kapitola Normální forma Hopfovy bifurkace Nelineární část P(u1, u2) Q(u1, u2) = T−1 F(Tu) spolu s transformací z = u1 + iu2 pak dává reálný tvar pro výpočet prvního Ljapunovova koeficientu l1(α0) a určuje stabilitu nebo nestabilitu limitního cyklu vznikajícího v okolí kritické hodnoty Hopfovy bifurkace. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 80 / 344 4. kapitola Normální forma Hopfovy bifurkace Nelineární část P(u1, u2) Q(u1, u2) = T−1 F(Tu) spolu s transformací z = u1 + iu2 pak dává reálný tvar pro výpočet prvního Ljapunovova koeficientu l1(α0) a určuje stabilitu nebo nestabilitu limitního cyklu vznikajícího v okolí kritické hodnoty Hopfovy bifurkace. Označme P111 3. derivaci nelineární části prvního řádku podle první složky u1 vektoru u = (u1, u2)T v nule, tj. P111 = ∂3P(u1,u2) ∂u3 1 |u1=0,u2=0. Podobně např. Q12 bude značit 2. derivaci nelineární části druhého řádku podle první a druhé složky vektoru u v nule, tj. Q12 = ∂2Q(u1,u2) ∂u1∂u2 |u1=0,u2=0. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 80 / 344 4. kapitola Normální forma Hopfovy bifurkace První Ljapunovův koeficient pak vypočteme podle vzorce l1(α0) = 1 16ω0 (P111 + P122 + Q112 + Q222) + 1 16ω2 0 [P12(P11 + P22) − Q12(Q11 + Q22) − P11Q11 + P22Q22]. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 81 / 344 4. kapitola Normální forma Hopfovy bifurkace První Ljapunovův koeficient pak vypočteme podle vzorce l1(α0) = 1 16ω0 (P111 + P122 + Q112 + Q222) + 1 16ω2 0 [P12(P11 + P22) − Q12(Q11 + Q22) − P11Q11 + P22Q22]. Můžete si ověřit, že toto číslo odpovídá reálné části koeficientu c1 = i f20f11 ω0 − i |f11|2 ω0 − i 2|f02|2 3ω0 + f21 u rezonančního kubického členu z příkladu na výpočet normální formy Hopfovy bifurkace po vydělení ω0, což odpovídá časové normalizaci, tj. periodě 2π vznikajícího cyklu systému v normální formě. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 81 / 344 4. kapitola Normální forma Hopfovy bifurkace První Ljapunovův koeficient pak vypočteme podle vzorce l1(α0) = 1 16ω0 (P111 + P122 + Q112 + Q222) + 1 16ω2 0 [P12(P11 + P22) − Q12(Q11 + Q22) − P11Q11 + P22Q22]. Můžete si ověřit, že toto číslo odpovídá reálné části koeficientu c1 = i f20f11 ω0 − i |f11|2 ω0 − i 2|f02|2 3ω0 + f21 u rezonančního kubického členu z příkladu na výpočet normální formy Hopfovy bifurkace po vydělení ω0, což odpovídá časové normalizaci, tj. periodě 2π vznikajícího cyklu systému v normální formě. Všichni jste DÚ určitě udělali, tak zde je za odměnu Maple worksheet pro kontrolu ... Odvození Ljapunovova prvního koeficientu. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 81 / 344 4. kapitola Normální forma Hopfovy bifurkace Druhou možnost výpočtu nabízí přímo metoda nalezení řešení homologické rovnice v komplexním tvaru normální formy. Tento přístup je vhodný pro obecný zápis algoritmu, který používá k výpočtu např. Matcont (viz Scholarpedia). V obou případech je dobré mít k dispozici nějaký software. Metody výpočtu Ljapunovova koeficientu Model Bruselátor L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 82 / 344 4. kapitola Normální forma Hopfovy bifurkace Druhou možnost výpočtu nabízí přímo metoda nalezení řešení homologické rovnice v komplexním tvaru normální formy. Tento přístup je vhodný pro obecný zápis algoritmu, který používá k výpočtu např. Matcont (viz Scholarpedia). V obou případech je dobré mít k dispozici nějaký software. Metody výpočtu Ljapunovova koeficientu Model Bruselátor Je vhodné poznamenat, že první zmínky o této bifurkaci najdeme již kolem roku 1892 v pracech Henriho Poincarého a větu v dvojrozměrném případě zformuloval A. A. Andronov v roce 1929. Obecný n-rozměrný případ pak uvedl Eberhard Hopf v roce 1942 (což bylo před znalostí věty o centrální varietě). Stojí za mnoha jevy v neurovědě (opakující se vzruchy neuronů), biochemii (biochemické oscilace), fyzice (pískot), epidemiologii (vlny epidemií), ale také za vznikem vzorů (Turingova nestabilita) apod. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 82 / 344 4. kapitola Metody hledání bifurkačních variet Metody hledání bifurkačních variet Základní principy numerických kontinuačních metod a analytických metod pro hledání bifurkačních variet naleznete v 8. kapitole předmětu PřF:M6201 Nelineární dynamika a její aplikace. Zde si ukážeme spíše metodiku přístupu pro vícerozměrné systémy – pomocí bialternativního součinu a pomocí Routhova–Hurwitzova kritéria. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 83 / 344 4. kapitola Metody hledání bifurkačních variet Nejprve definujeme zvláštní operátor a ukážeme si některé jeho vlastnosti. Definice Pro matice A, B ∈ Cn×n s prvky aij, bij, i, j ∈ {1, . . . , n} (n ≥ 2) definujeme jejich bialternativní součin jako matici A B ∈ Cm×m, kde m = 1 2n(n − 1) a prvky jsou označeny multiindexy a splňují A B(p,q),(r,s) = 1 2 apr aps bqr bqs + bpr bps aqr aqs , kde multiindexy splňují n ≥ p > q ≥ 1 a n ≥ r > s ≥ 1 a řadí se lexikograficky pro p > q a r > s. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 84 / 344 4. kapitola Metody hledání bifurkačních variet Nejprve definujeme zvláštní operátor a ukážeme si některé jeho vlastnosti. Definice Pro matice A, B ∈ Cn×n s prvky aij, bij, i, j ∈ {1, . . . , n} (n ≥ 2) definujeme jejich bialternativní součin jako matici A B ∈ Cm×m, kde m = 1 2n(n − 1) a prvky jsou označeny multiindexy a splňují A B(p,q),(r,s) = 1 2 apr aps bqr bqs + bpr bps aqr aqs , kde multiindexy splňují n ≥ p > q ≥ 1 a n ≥ r > s ≥ 1 a řadí se lexikograficky pro p > q a r > s. Poznámka Lexikografickým řazením rozumíme řazení používané pro slova ve slovníku, tj. (p1, q1) < (p2, q2), pokud p1 < p2 nebo p1 = p2 a zároveň q1 < q2. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 84 / 344 4. kapitola Metody hledání bifurkačních variet Poznámka Bialternativní součin reprezentuje antisymetrický operátor na bivektorech vektorového prostoru Cn (tj. vnějších – wedge – součinech vektorů) (v ∧ w) → (A B)(v ∧ w) = 1 2(Av ∧ Bw − Aw ∧ Bv). Vnější součin vektorů v, w ∈ Cn je definován jako prvek Cm splňující (v ∧ w)(i, j) = viwj − vjwi pro n ≥ i > j ≥ 1. Platí např. v ∧ w = −w ∧ v, v ∧ (λw) = λ(v ∧ w), v ∧ (u + w) = v ∧ u + v ∧ w. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 85 / 344 4. kapitola Metody hledání bifurkačních variet Lemma Pro jednotkovou matici stejného typu jako A platí (A A)(v ∧ w) = Av ∧ Aw a (2A I)(v ∧ w) = Av ∧ w + v ∧ Aw. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 86 / 344 4. kapitola Metody hledání bifurkačních variet Lemma Pro jednotkovou matici stejného typu jako A platí (A A)(v ∧ w) = Av ∧ Aw a (2A I)(v ∧ w) = Av ∧ w + v ∧ Aw. Lemma Platí A B = −B A, A (λB) = λ(A B), A (B + C) = A B + A C, (A A)(B B) = AB AB. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 86 / 344 4. kapitola Metody hledání bifurkačních variet Lemma Nechť P je regulární, pak platí (P P)−1 = P−1 P−1 , (PAP−1) (PAP−1) = (P P)(A A)(P P)−1, 2(PAP−1) I = (P P)(2A I)(P P)−1. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 87 / 344 4. kapitola Metody hledání bifurkačních variet Lemma Nechť P je regulární, pak platí (P P)−1 = P−1 P−1 , (PAP−1) (PAP−1) = (P P)(A A)(P P)−1, 2(PAP−1) I = (P P)(2A I)(P P)−1. Věta (Stéphanos 1900) Pokud má matice A ∈ Cn×n vlastní čísla λ1, ..., λn, pak matice A A má vlastní čísla λiλj a matice 2A I má vlastní čísla λi + λj, kde n ≥ i > j ≥ 1. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 87 / 344 4. kapitola Metody hledání bifurkačních variet Uvažujme nyní náš parametrizovaný dynamický systém (8) ˙x = f (x, ε). L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 88 / 344 4. kapitola Metody hledání bifurkačních variet Uvažujme nyní náš parametrizovaný dynamický systém (8) ˙x = f (x, ε). Věta Funkce f (x, ε) a det Df (x, ε) se nulují v bodech fold bifurkace, transkritické bifurkace i vidličkové bifurkace. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 88 / 344 4. kapitola Metody hledání bifurkačních variet Uvažujme nyní náš parametrizovaný dynamický systém (8) ˙x = f (x, ε). Věta Funkce f (x, ε) a det Df (x, ε) se nulují v bodech fold bifurkace, transkritické bifurkace i vidličkové bifurkace. Poznámka Fold bifurkace jako generická lokální bifurkace odpovídá jednonásobným kořenům determinantu, vzniká na ohybu variety rovnováh. Transkritická a vidličková bifurkace jsou průsečíkem dvou variet (větví) rovnováh. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 88 / 344 4. kapitola Metody hledání bifurkačních variet Věta Funkce f (x, ε) a det(2Df (x, ε) I) se nulují v bodech Hopfovy bifurkace. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 89 / 344 4. kapitola Metody hledání bifurkačních variet Věta Funkce f (x, ε) a det(2Df (x, ε) I) se nulují v bodech Hopfovy bifurkace. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 89 / 344 4. kapitola Metody hledání bifurkačních variet Věta Funkce f (x, ε) a det(2Df (x, ε) I) se nulují v bodech Hopfovy bifurkace. Poznámka Je třeba si uvědomit, že uvedená podmínka nezaručuje existenci dvou komplexně sdružených opačných vlastních čísel, ale pouze existenci opačných vlastních čísel. Proto tato implicitně daná varieta může obsahovat body, kterým se říká neutrální sedla (λ1 = −λ2 ∈ R) a bifurkační hraniční body se dvěma nulovými vlastními čísly. Tímto případem se budeme zabývat v následující kapitole o víceparametrických bifurkacích. Jde o Bogdanovovu–Takensovu bifurkaci, jejíž normální formy jsme si také již odvodili. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 89 / 344 4. kapitola Metody hledání bifurkačních variet Maple worksheet pro výpočet bialternativního součinu a některé další vhodné funkce a příklady nalezení bifurkačních variet najdete již na Maplesoft Application Center (disertační práce dr. V. Hajnové): Výpočet bialternativního součinu v Maple [Haj19] Poznámka V případě Hopfovy bifurkace odpovídá podmínka det(2Df (x, ε) I) vynulování jednoho z determinantů v Routhových–Hurwitzových podmínkách (tr Df pro n = 2). Tento postup je historicky starší a je stále běžně používaný. Routhovy–Hurwitzovy podmínky se ale používají jako podmínky stability rovnováhy, tedy v případě nestabilního ohniska nejsou splněny. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 90 / 344 4. kapitola Metody hledání bifurkačních variet Routhovo–Hurwitzovo kritérium Předpokládejme, že Jacobiho matice systému (2) v rovnováze je tvaru A =        a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2n · · · · · · · · · · · · an1 an2 ... ann        a charakteristický polynom det(λI − A) = a0λn + a1λn−1 + a2λn−2 + · · · + an−1λ + an. (21) L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 91 / 344 4. kapitola Metody hledání bifurkačních variet Definujme Hurwitzovu matici H =          a1 a0 0 0 ... 0 a3 a2 a1 a0 ... 0 a5 a4 a3 a2 ... 0 · · · · · · · · · · · · · · · · · · 0 0 0 0 ... an          a její hlavní minory ∆1 = a1, ∆2 = a1 a0 a3 a2 , ∆3 = a1 a0 0 a3 a2 a1 a5 a4 a3 , . . . L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 92 / 344 4. kapitola Metody hledání bifurkačních variet Věta (Routhova–Hurwitzova) Kořeny charakteristického polynomu (21) (vlastní čísla A) mají negativní reálné části právě tehdy, když jsou všechny hlavní minory Hurwitzovy matice H kladné. V případě, že jsou kladné až na ∆n = 0, což implikuje an = det A = 0, leží rovnováha na hranici aperiodické stability. V případě, že jsou kladné až na ∆n−1 = 0, což implikuje existenci ryze komplexních sdružených vlastních čísel, leží rovnováha na hranici periodické stability. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 93 / 344 4. kapitola Metoda průměrování Metoda průměrování Uvažujme úlohu ˙x = εf (x, t, ε), (22) kde x ∈ U ⊂ Rm, 0 < ε 1, f je dostatečně hladká T-periodická funkce z Cr. Definujme k f v čase průměrnou funkci ¯f (y) = 1 T T 0 f (y, t, ε) dt. Pak obdobnou metodou, jako jsme používali při hledání normálních forem, tj. nalezením vhodné identitě blízké transformace, lze nahradit periodický systém průměrným systémem s obdobnou dynamikou. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 94 / 344 4. kapitola Metoda průměrování Věta Existuje w ∈ Cr tak, že x = y + εw(y, t, ε) převádí systém (22) na ˙y = ε¯f (y) + ε2 g(y, t, ε), (23) kde g je T-periodická a řešení x(t) systému (22) a řešení y(t) systému (23) s počáteční podmínkou x(0) = x0, resp. y(0) = y0, splňují x0 − y0 = O(ε) ⇒ x(t) − y(t) = O(ε) pro t ∈ 0, 1 εL , kde L je lipschitzovská konstanta ¯f . Je-li y∗ rovnováha (23), pak existuje ε0 > 0: ∀ε: 0 < ε < ε0 systém (22) má periodické řešení (nebo konstatní) γε(t) = y∗ + O(ε) stejného typu stability. Stabilní (nestabilní) variety řešení y∗ a γε(t) se také liší maximálně o násobek ε pro t ∈ 0, ∞). L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 95 / 344 4. kapitola Metoda průměrování Pokud f závisí na parametru α, může zprůměrovaný systém projít bifurkací. Pak platí následující tvrzení: Věta Nechť α = α0 je kritická hodnota fold nebo Hopfovy bifurkace systému (23). Pak pro dost malé ε > 0 a α blízké α0 prochází stejným typem bifurkace také Poincarého zobrazení systému (22). L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 96 / 344 4. kapitola Metoda průměrování Pokud f závisí na parametru α, může zprůměrovaný systém projít bifurkací. Pak platí následující tvrzení: Věta Nechť α = α0 je kritická hodnota fold nebo Hopfovy bifurkace systému (23). Pak pro dost malé ε > 0 a α blízké α0 prochází stejným typem bifurkace také Poincarého zobrazení systému (22). Úlohy tohoto typu jsou běžné ve fyzice. Typickou úlohou jsou slabě nelineární buzené oscilátory s rovnicí tvaru ¨x + ω2 x = εf (x, ˙x, t). Konkrétní tvar pravé strany s kubickou nelinearitou vede např. na známou Duffingovu rovnici, kterou lze modelovat buzené kyvadlo, nucený oscilátor nebo také vetknutý nosník. Fold bifurkace s hysteresí zde vytváří přepínač mezi různými frekvencemi oscilací. Dynamika ale zahrnuje také chaotické oscilace – video prof. Ghrista. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 96 / 344 5. kapitola Normální formy víceparametrických bifurkací – spojité systémy L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 97 / 344 5. kapitola Co se naučíme: znát základní typy víceparametrických bifurkací rovnováh spojitých systémů a jejich normální formy L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 98 / 344 5. kapitola Co se naučíme: znát základní typy víceparametrických bifurkací rovnováh spojitých systémů a jejich normální formy seznámit se s typickými aplikacemi a jevy, které s těmito bifurkacemi souvisí L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 98 / 344 5. kapitola Co se naučíme: znát základní typy víceparametrických bifurkací rovnováh spojitých systémů a jejich normální formy seznámit se s typickými aplikacemi a jevy, které s těmito bifurkacemi souvisí umět vytvořit bifurkační diagram složitějšího dynamického systému L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 98 / 344 5. kapitola Co se stane, pokud budeme měnit více než jeden parametr dynamického systému? L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 99 / 344 5. kapitola Co se stane, pokud budeme měnit více než jeden parametr dynamického systému? V okolí hyperbolické rovnováhy nic moc, rovnováha v nějakém okolí zůstane stále hyperbolická. Pokud ale budeme sledovat křivku kritického parametru nějaké jednoparametrické bifurkace, může druhý parametr způsobit L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 99 / 344 5. kapitola Co se stane, pokud budeme měnit více než jeden parametr dynamického systému? V okolí hyperbolické rovnováhy nic moc, rovnováha v nějakém okolí zůstane stále hyperbolická. Pokud ale budeme sledovat křivku kritického parametru nějaké jednoparametrické bifurkace, může druhý parametr způsobit že ještě další vlastní hodnoty dosáhnou kritické hodnoty, což je doprovázeno změnou dimenze centrální variety, tedy i změnou normální formy L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 99 / 344 5. kapitola Co se stane, pokud budeme měnit více než jeden parametr dynamického systému? V okolí hyperbolické rovnováhy nic moc, rovnováha v nějakém okolí zůstane stále hyperbolická. Pokud ale budeme sledovat křivku kritického parametru nějaké jednoparametrické bifurkace, může druhý parametr způsobit že ještě další vlastní hodnoty dosáhnou kritické hodnoty, což je doprovázeno změnou dimenze centrální variety, tedy i změnou normální formy nebo pouze narušením některé z podmínek zaručujících bifurkaci daného typu – podmínky nedegenerovanosti nebo transversality. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 99 / 344 5. kapitola Ve spojitém případě může jít např. o bifurkaci typu cusp (bod vratu), kdy je narušena podmínka nedegenerovanosti bifurkace typu fold (sedlo-uzel), L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 100 / 344 5. kapitola Ve spojitém případě může jít např. o bifurkaci typu cusp (bod vratu), kdy je narušena podmínka nedegenerovanosti bifurkace typu fold (sedlo-uzel), Bogdanovova–Takensova bifurkace, kdy ryze komplexní vlastní hodnoty splynou v nule L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 100 / 344 5. kapitola Ve spojitém případě může jít např. o bifurkaci typu cusp (bod vratu), kdy je narušena podmínka nedegenerovanosti bifurkace typu fold (sedlo-uzel), Bogdanovova–Takensova bifurkace, kdy ryze komplexní vlastní hodnoty splynou v nule Bautinova neboli zobecněná Hopfova bifurkace, kdy je porušena podmínka nedegenerovanosti Hopfovy bifurkace L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 100 / 344 5. kapitola Ve spojitém případě může jít např. o bifurkaci typu cusp (bod vratu), kdy je narušena podmínka nedegenerovanosti bifurkace typu fold (sedlo-uzel), Bogdanovova–Takensova bifurkace, kdy ryze komplexní vlastní hodnoty splynou v nule Bautinova neboli zobecněná Hopfova bifurkace, kdy je porušena podmínka nedegenerovanosti Hopfovy bifurkace fold-Hopf bifurkace, kdy vzniká kromě ryze komplexního páru vlastních hodnot ještě další nulová vlastní hodnota, L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 100 / 344 5. kapitola Ve spojitém případě může jít např. o bifurkaci typu cusp (bod vratu), kdy je narušena podmínka nedegenerovanosti bifurkace typu fold (sedlo-uzel), Bogdanovova–Takensova bifurkace, kdy ryze komplexní vlastní hodnoty splynou v nule Bautinova neboli zobecněná Hopfova bifurkace, kdy je porušena podmínka nedegenerovanosti Hopfovy bifurkace fold-Hopf bifurkace, kdy vzniká kromě ryze komplexního páru vlastních hodnot ještě další nulová vlastní hodnota, Hopf-Hopf bifurkace se dvěma páry ryze imaginárních vlastních čísel spojená se vznikem toru a další a další ... L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 100 / 344 5. kapitola Ve spojitém případě může jít např. o bifurkaci typu cusp (bod vratu), kdy je narušena podmínka nedegenerovanosti bifurkace typu fold (sedlo-uzel), Bogdanovova–Takensova bifurkace, kdy ryze komplexní vlastní hodnoty splynou v nule Bautinova neboli zobecněná Hopfova bifurkace, kdy je porušena podmínka nedegenerovanosti Hopfovy bifurkace fold-Hopf bifurkace, kdy vzniká kromě ryze komplexního páru vlastních hodnot ještě další nulová vlastní hodnota, Hopf-Hopf bifurkace se dvěma páry ryze imaginárních vlastních čísel spojená se vznikem toru a další a další ... L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 100 / 344 5. kapitola Ve spojitém případě může jít např. o bifurkaci typu cusp (bod vratu), kdy je narušena podmínka nedegenerovanosti bifurkace typu fold (sedlo-uzel), Bogdanovova–Takensova bifurkace, kdy ryze komplexní vlastní hodnoty splynou v nule Bautinova neboli zobecněná Hopfova bifurkace, kdy je porušena podmínka nedegenerovanosti Hopfovy bifurkace fold-Hopf bifurkace, kdy vzniká kromě ryze komplexního páru vlastních hodnot ještě další nulová vlastní hodnota, Hopf-Hopf bifurkace se dvěma páry ryze imaginárních vlastních čísel spojená se vznikem toru a další a další ... Při navyšování počtu parametrů a dimenze stavového prostoru se dynamika výrazně zesložiťuje a do hry vstupují další rezonance a symetrie. Vznikají tak jevy jako blue-sky katastrofa, breathing torus atd. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 100 / 344 5. kapitola Ve spojitém případě může jít např. o bifurkaci typu cusp (bod vratu), kdy je narušena podmínka nedegenerovanosti bifurkace typu fold (sedlo-uzel), Bogdanovova–Takensova bifurkace, kdy ryze komplexní vlastní hodnoty splynou v nule Bautinova neboli zobecněná Hopfova bifurkace, kdy je porušena podmínka nedegenerovanosti Hopfovy bifurkace fold-Hopf bifurkace, kdy vzniká kromě ryze komplexního páru vlastních hodnot ještě další nulová vlastní hodnota, Hopf-Hopf bifurkace se dvěma páry ryze imaginárních vlastních čísel spojená se vznikem toru a další a další ... Při navyšování počtu parametrů a dimenze stavového prostoru se dynamika výrazně zesložiťuje a do hry vstupují další rezonance a symetrie. Vznikají tak jevy jako blue-sky katastrofa, breathing torus atd. Uvedeme si pouze některé normální tvary a nakreslíme bifurkační diagramy v okolí počátku. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 100 / 344 5. kapitola Cusp bifurkace Věta Předpokládejme, že jednodimenzionální dvouparametrický systém (rovnice) ˙x = f (x, α), x ∈ R, α = (α1, α2)T ∈ R2 , kde f je hladká funkce, má pro α = 0 rovnováhu x = 0 a platí λ = fx(0, 0) = 0, fxx(0, 0) = 0. Předpokládejme, že jsou splněny podmínky fxxx(0, 0) = 0 podmínka nedegenerovanosti, (fα1 fxα2 − fα2 fxα1 )(0, 0) = 0 podmínka transverzality. Pak je uvedený nelineární systém v okolí počátku lokálně topologicky ekvivalentní systému v normální formě bifurkace bodu vratu - cusp ˙y = ε1 + ε2y ± y3 L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 101 / 344 5. kapitola Cusp bifurkace Na příkladu této bifurkace cusp (bodu vratu) si ukážeme, jak vypadá bifurkační diagram pro dva parametry. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 102 / 344 5. kapitola Cusp bifurkace Na příkladu této bifurkace cusp (bodu vratu) si ukážeme, jak vypadá bifurkační diagram pro dva parametry. Rovnovážné body rovnice ˙y = ε1 + ε2y ± y3 leží na varietě M: ε1 + ε2y ± y3 = 0, L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 102 / 344 5. kapitola Cusp bifurkace Na příkladu této bifurkace cusp (bodu vratu) si ukážeme, jak vypadá bifurkační diagram pro dva parametry. Rovnovážné body rovnice ˙y = ε1 + ε2y ± y3 leží na varietě M: ε1 + ε2y ± y3 = 0, přitom nulová první derivace, tedy podmínka pro bifurkaci typu fold (sedlo-uzel) je splněna na křivce splňující navíc ε2 ± 3y2 = 0. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 102 / 344 5. kapitola Cusp bifurkace Pokud z těchto dvou rovnic vyloučíme y, dostaneme křivku typického tvaru V 27ε2 1 + 4ε3 2 = 0 resp. 27ε2 1 − 4ε3 2 = 0 s bodem vratu v počátku. ε1 ε2 y M T1 T2 Jednotlivé větve T1, T2 odpovídají zánikům dvojice rovnovážných bodů v ohybech variety M bifurkací fold. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 103 / 344 5. kapitola Cusp bifurkace Bifurkace bodu vratu (cusp) implikuje vznik hystereze. 27ε2 1 = 4ε3 2 ε1 ε2 T1 T2 1 2 0 0 T2 2 T1 1 Oblasti označené 1 a 2 jsou strukturálně stabilní oblasti, ve kterých má systém 3, resp. 1, rovnovážný bod. T1 a T2 odpovídají jednoparametrické bifurkaci typu fold, jsou to hranice kodimenze 1 v 2-rozměrném prostoru parametrů. Jejich průnikem je bod vratu, který má dimenzi 0, tedy kodimenzi 2 v 2-rozměrném prostoru parametrů. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 104 / 344 5. kapitola Cusp bifurkace Varieta cusp bifurkace Hysterese Obecně v k-rozměrném prostoru parametrů bude mít jednoparametrická bifurkace kodimenzi 1, bude tedy (k − 1)-rozměrnou varietou. Průniky variet příslušných jednoparametrické bifurkaci budou variety příslušné víceparametrickým bifurkacím vyšší kodimenze. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 105 / 344 5. kapitola Bautinova (GH) bifurkace Věta Předpokládejme, že dvoudimenzionální dvouparametrický systém ˙x = f (x, α), x ∈ R2 , α ∈ R2 , kde f = (f1, f2)T je hladká funkce, má pro α = 0 rovnováhu x = 0 a J = Df (0, 0) má vlastní hodnoty λ1,2 = µ(α) ± iω(α), kde µ(0) = 0, ω(0) = ω0 > 0 a l1(0) = 0. Předpokládejme, že jsou splněny podmínky l2(0) = 0, α → (µ(α), l1(α))T je v α = 0 regulární. Pak je uvedený nelineární systém v okolí počátku lokálně topologicky ekvivalentní systému v komplexní normální formě Bautinovy bifurkace ˙z = (ε1 + i)z + ε2z|z|2 + sgn l2(0)z|z|4 . L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 106 / 344 5. kapitola Bautinova (GH) bifurkace Číslo l2(0) je tzv. druhý Ljapunovův koeficient a jeho výpočet je založen na podobném principu, jako výpočet prvního, tj. převodu komplexní normální formy s nulovým kubickým členem z2z do polárních souřadnic. Všechny členy stupně 4 lze v kritické hodnotě parametru eliminovat a zbylý rezonantní člen v polárním tvaru přísluší z3z2 . Nebudeme jej zde uvádět, lze jej najít v literatuře (např. [Kuz13] str. 310.), Matcont jej umí numericky spočítat. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 107 / 344 5. kapitola Bautinova (GH) bifurkace Číslo l2(0) je tzv. druhý Ljapunovův koeficient a jeho výpočet je založen na podobném principu, jako výpočet prvního, tj. převodu komplexní normální formy s nulovým kubickým členem z2z do polárních souřadnic. Všechny členy stupně 4 lze v kritické hodnotě parametru eliminovat a zbylý rezonantní člen v polárním tvaru přísluší z3z2 . Nebudeme jej zde uvádět, lze jej najít v literatuře (např. [Kuz13] str. 310.), Matcont jej umí numericky spočítat. Bautinova bifurkace způsobuje, že vlivem druhého parametru dochází k narušení podmínky nedegenerovanosti u Hopfovy bifurkace. V polárních souřadnicích tak dostáváme normální formu ve tvaru ˙ρ = ρ(ε1 + ε2ρ2 ± ρ4 ), ˙ϕ = 1, Přitom rovnovážná řešení první rovnice odpovídají limitním cyklům. Je zřejmé, že ρ = 0 odpovídající počátku je vždy rovnovážným bodem. Kvadratická rovnice ale může mít 0 až 2 řešení - mohou tedy vznikat a zanikat limitní cykly. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 107 / 344 5. kapitola Bautinova (GH) bifurkace Bifurkační diagram normální formy superkritické Bautinovy bifurkace (případ sgn l2(0) = −1) ukazuje hraniční křivku Hopfovy bifurkace H = {(ε1, ε2): ε1 = 0 } a křivku zániku dvou limitních cyklů T = {(ε1, ε2): ε2 2 + 4ε1 = 0, ε2 > 0} rozdělující parametrickou rovinu na strukturálně stabilní oblasti spolu s příslušnými fázovými portréty. ε1 ε2 T 1 2 0 0 3 T 1 H+ H− 3 2 L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 108 / 344 5. kapitola Bogdanovova–Takensova bifurkace Věta Předpokládejme, že dvoudimenzionální dvouparametrický systém ˙x = f (x, α), x ∈ R2 , α ∈ R2 , (24) kde f = (f1, f2)T je hladká funkce, má pro α = 0 rovnováhu x = 0 a J = Df (0, 0) = 0 má dvě nulové vlastní hodnoty. Předpokládejme, že jsou splněny podmínky s = sgn(b20(a20 + b11)) = 0, (x, α) → (f (x, α), tr Df (x, α), det Df (x, α)) je v počátku regulární. Pak je systém (24) v okolí počátku lokálně topologicky ekvivalentní systému v normální formě Bogdanovovy–Takensovy bifurkace ˙y1 = y2 ˙y2 = ε1 + ε2y1 + y2 1 + sy1y2 L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 109 / 344 5. kapitola Bogdanovova–Takensova bifurkace Čísla a20, b11 a b20, z podmínky nedegenerovanosti jsou příslušné koeficienty Taylorových rozvojů F1(y1, y2) = 1 2a20y2 1 + . . . a F2(y1, y2) = 1 2b20y2 1 + b11y1y2 + . . . transformované pravé strany systému (24) transformací x = Ty na tvar ˙y1 ˙y2 = 0 1 0 0 y1 y2 + F1(y1, y2) F2(y1, y2) pomocí matice T složené z vlastních vektorů Df (0, 0). Normální forma není jediná, jak jsme odvodili v příkladu na odvození normální formy Bogdanovovy–Takensovy bifurkace. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 110 / 344 5. kapitola Bogdanovova–Takensova bifurkace ˙y1 = y2 ˙y2 = ε1 + ε2y1 + y2 1 + sy1y2 Bogdanovova–Takensova bifurkace se někdy nazývá také double-zero, protože v kritické hodnotě parametrů ε = 0 má systém dvě nulové vlastní hodnoty. V okolí ε = 0 mohou tedy vlastní hodnoty měnit znaménko a mohou přecházet i přes imaginární osu. Dochází k degenerování Hopfovy bifurkace i bifurkace sedlo-uzel (fold), což způsobuje zánik limitního cyklu na tzv. smyčce separatrix sedla. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 111 / 344 5. kapitola Bogdanovova–Takensova bifurkace ˙y1 = y2 ˙y2 = ε1 + ε2y1 + y2 1 + sy1y2 Analýzou systému v normálním tvaru Bogdanovovy–Takensovy bifurkace pro s = −1 získáme bifurkační diagram s hraniční křivkou Hopfovy bifurkace H = {(ε1, ε2): ε1 = 0, ε2 < 0} a křivkou zániku dvou rovnovážných bodů T = {(ε1, ε2): 4ε1 − ε2 2 = 0} rozdělující parametrickou rovinu na strukturálně stabilní oblasti spolu s příslušnými fázovými portréty. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 112 / 344 5. kapitola Bogdanovova–Takensova bifurkace H = {(ε1, ε2): ε1 = 0, ε2 < 0}, T = {(ε1, ε2): 4ε1 − ε2 2 = 0} Ve třetím kvadrantu musí dojít k nelokální bifurkaci zániku smyčky separatrix (jde o tzv. homoklinickou bifurkaci smyčky separatrix sedla), která má v okolí počátku tvar P = {(ε1, ε2): ε1 = − 6 25ε2 2 + o(ε2 2), ε2 < 0}. εI ε2 T− 1 0 0 4 1 T+ H 3 P 4 T+ T− 3 P , H L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 113 / 344 5. kapitola Bogdanovova–Takensova bifurkace Všechny uvedené jedno a dvouparametrické bifurkace spojitých systémů byly lokálními bifurkacemi v okolí rovnovážných bodů. V jejich blízkosti ale obecně vznikají také nelokální bifurkace (zdvojení limitního cyklu, smyčka separatrix sedla). Další bifurkace mohou vznikat např. v okolí homoklinických a heteroklinických trajektorií, tedy trajektorií „vystupujících“ z jedné rovnováhy a navracejících se do její blízkosti nebo do blízkosti jiného bodového atraktoru. Samozřejmě mohou existovat trajektorie „spojující“ i jiné invariantní množiny. Obecný topologický přístup k takovým úlohám nabízí teorie Conleyho indexů, která je ovšem již nad rámec našeho učiva. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 114 / 344 5. kapitola Bifurkace cyklů V předchozím textu jsme se studiem lokálním bifurkací v okolí rovnováh seznámili s bifurkacemi dalších základních invariantních množin – cyklů. Zde si shrneme základní (jednoparametrické) bifurkace cyklů, které jsou známy a které mají významné aplikace. Jde o globální bifurkace (kromě Hopfovy), a proto nemáme jejich normální formy. V dalším textu o diskrétních bifurkacích ale uvidíme, že tomu může být jinak v případě popisu jejich Poincarého zobrazení. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 115 / 344 5. kapitola Bifurkace cyklů V předchozím textu jsme se studiem lokálním bifurkací v okolí rovnováh seznámili s bifurkacemi dalších základních invariantních množin – cyklů. Zde si shrneme základní (jednoparametrické) bifurkace cyklů, které jsou známy a které mají významné aplikace. Jde o globální bifurkace (kromě Hopfovy), a proto nemáme jejich normální formy. V dalším textu o diskrétních bifurkacích ale uvidíme, že tomu může být jinak v případě popisu jejich Poincarého zobrazení. Uchýlíme se zde ke geometrickým představám – obrázkům (z knihy Leonida Shilnikova [Shi01]). L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 115 / 344 5. kapitola Bifurkace cyklů Hopfova bifurkace – vznik cyklu z ohniska Vzniká v blízkosti slabého ohniska. Je příčinou vzniku oscilací – pískot, chvění, konvekční proudění, vibrace rotorů apod. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 116 / 344 5. kapitola Bifurkace cyklů Fold bifurkace cyklu – zánik dvou cyklů ohybem Vzniká v blízkosti Bautinovy (zobecněné Hopfovy) bifurkace. Je příčinou skokové změny z rovnováhy na oscilace – aeroelastický jev u letadel, mostů, odpovědi neuronů apod. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 117 / 344 5. kapitola Bifurkace cyklů Homoklinická bifurkace – zánik cyklu na separatrix sedla Vzniká v blízkosti Bogdanovovy–Takensovy bifurkace. Je příčinou globální změny dynamiky systému – vyhynutí populací, zánik vysílání vzruchu u neuronů, ale také umožňuje stabilitu masivního rotoru na magnetických ložiscích. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 118 / 344 5. kapitola Bifurkace cyklů SNIPER – zánik cyklu vlivem fold bifurkace dvou rovnováh Vzniká v blízkosti fold bifurkace na cyklu. Je příčinou jevu synchronizace oscilátorů (společné oscilace neuronů, vázané rotace planet apod.). L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 119 / 344 5. kapitola Bifurkace cyklů Zdvojení periody cyklu Vzniká flip bifurkací Poincarého zobrazení cyklu. Je předstupněm chaotického chování a objevuje se například při arytmii srdce, vzniku turbulencí apod. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 120 / 344 5. kapitola Bifurkace cyklů Vznik toru Vzniká v blízkosti Neimarkovy–Sackerovy bifurkace. Dynamika může být periodická, kvasiperiodická, je často předstupněm chaotického chování. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 121 / 344 5. kapitola Bifurkace cyklů Shilnikovova bifurkace Exotická bifurkace cyklu, který vzniká z homoklinické trajektorie na sedlo-ohnisku v blízkosti fold–Hopfovy (ZH, zero-Hopf) bifurkace. Souvisí se vznikem chaotického chování známého jako Shilnikovův atraktor. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 122 / 344 5. kapitola Bifurkace cyklů Shilnikovova bifurkace a blue-sky katastrofa Torus vznikající ze ZH-bodu pro blízké parametry prochází různými bifurkacemi – např. fold bifurkace cyklu na toru, zánik toru nebo právě Shilnikovova bifurkace. Objevuje se ve slow-fast systémech (např. u neuronů s hysteresí při skoku z rovnováhy do stabilních oscilací. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 123 / 344 5. kapitola Bifurkace cyklů Blue-sky katastrofa L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 124 / 344 5. kapitola Bifurkace cyklů Model neuronu (obrázky z Andrey Shilnikov [Shi12], [SK08]) L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 125 / 344 6. kapitola Jednoparametrické bifurkace rovnováh v diskrétních systémech L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 126 / 344 6. kapitola Co se naučíme: znát základní typy jednoparametrických bifurkací rovnováh diskrétních systémů L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 127 / 344 6. kapitola Co se naučíme: znát základní typy jednoparametrických bifurkací rovnováh diskrétních systémů zopakovat a rozšířit souvislosti bifurkací rovnováh diskrétních systémů s bifurkacemi cyklů spojitých systémů L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 127 / 344 6. kapitola Po spojitých bifurkacích podobně analyzujme diskrétní jednoparametrické bifurkace. Znovu půjde o situaci, kdy se chování systému lokálně kvalitativně mění díky nehyperbolicitě pevného bodu. Začneme s bifurkacemi závislými na změně jednoho parametru, která způsobí, že některá z vlastních hodnot přechází přes hranici jednotkového kruhu v Gaussově rovině. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 128 / 344 6. kapitola Normální forma fold bifurkace Věta Předpokládejme, že jednodimenzionální jednoparametrický systém (rovnice) x(n + 1) = f (x(n), α), x(n) ∈ R, α ∈ R, (25) kde f je hladká funkce, má pro α = α0 pevný bod x = x0 a λ = fx(x0, α0) = 1. Předpokládejme, že jsou splněny podmínky fxx(x0, α0) = 0 podmínka nedegenerovanosti, fα(x0, α0) = 0 podmínka transverzality. Pak je (25) v okolí rovnováhy lokálně topologicky ekvivalentní systému v normální formě fold bifurkace y(n + 1) = ±ε + y(n) ± y(n)2 v okolí počátku. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 129 / 344 6. kapitola Normální forma fold bifurkace Normální forma bifurkace typu fold (x0 = 0, α0 = 0): x(n + 1) = f (x(n), α) ≡ α + x(n) + x(n)2 x2 x1 f(x(n), α) x(n) α < 0 α = 0 α > 0 f(x(n), α) f(x(n), α) x(n) x(n) x(n + 1) x(n + 1) x(n + 1) L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 130 / 344 6. kapitola Normální forma flip bifurkace Věta Předpokládejme, že jednodimenzionální jednoparametrický systém (rovnice) x(n + 1) = f (x(n), α), x(n) ∈ R, α ∈ R, (26) kde f je hladká funkce, má pro α = α0 pevný bod x = x0 a λ = fx(0, 0) = −1. Předpokládejme, že jsou splněny podmínky 1 2(fxx(x0, α0))2 + 1 3 fxxx(x0, α0) = 0 podmínka nedegenerovanosti, fxα(x0, α0) = 0 podmínka transverzality. Pak je (26) v okolí rovnováhy lokálně topologicky ekvivalentní systému v normální formě flip bifurkace y(n + 1) = −(1 + ε)y(n) ± y3 (n) v okolí počátku. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 131 / 344 6. kapitola Normální forma flip bifurkace Normální forma bifurkace typu flip (x0 = 0, α0 = 0): x(n + 1) = f (x(n), α) ≡ −(1 + α)x(n) + x(n)3 x2 x1 f (x(n), ) x(n) <0 = 0 >0 f (x(n), ) f (x(n), ) x(n) x(n) x(n +1) x(n +1) x(n +1) x =00x =00 x =00 L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 132 / 344 6. kapitola Neimarkova–Sackerova bifurkace Neimarkova–Sackerova bifurkace Jde o analogii Hopfovy bifurkace pro spojité systémy. Vzniká při přechodu komplexně sdružených vlastních hodnot přes hranici jednotkového kruhu a v její souvislosti se objevuje invariantní smyčka. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 133 / 344 6. kapitola Neimarkova–Sackerova bifurkace Neimarkova–Sackerova bifurkace Jde o analogii Hopfovy bifurkace pro spojité systémy. Vzniká při přechodu komplexně sdružených vlastních hodnot přes hranici jednotkového kruhu a v její souvislosti se objevuje invariantní smyčka. Normální formu jsme již odvodili a našli jsme vyjímečné rezonanční členy v prvních čtyřech odmocninách z jedné. V rezonančních hodnotách dochází k jistým symetriím a kvalitativně odlišnému chování. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 133 / 344 6. kapitola Neimarkova–Sackerova bifurkace Neimarkova–Sackerova bifurkace Jde o analogii Hopfovy bifurkace pro spojité systémy. Vzniká při přechodu komplexně sdružených vlastních hodnot přes hranici jednotkového kruhu a v její souvislosti se objevuje invariantní smyčka. Normální formu jsme již odvodili a našli jsme vyjímečné rezonanční členy v prvních čtyřech odmocninách z jedné. V rezonančních hodnotách dochází k jistým symetriím a kvalitativně odlišnému chování. Koeficient c1 u členu z2z v normální formě v komplexním tvaru má stejnou funkci jako první Ljapunovův koeficient u Hopfovy bifurkace a lze jej nalézt v [Kuz13] na str. 134 (nebo spočítat jako dobrovolnou domácí úlohu). L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 133 / 344 6. kapitola Neimarkova–Sackerova bifurkace Věta Předpokládejme, že dvojrozměrný jednoparametrický systém x(n + 1) = f (x(n), α), x(n) ∈ R2 , α ∈ R, (27) kde dostatečně hladká funkce f má pro α = α0 pevný bod x = x0 a s vlastními čísly λ±(α0) = e±iθ0 . Předpokládejme, že jsou splněny podmínky eikθ0 = 1 pro k ∈ {1, 2, 3, 4} nenastává rezonance, d|λ(α)| dα = 0 podmínka transverzality, Re(c1(α0)e−iθ0 ) = 0 podmínka nedegenerovanosti Pak je (27) v okolí rovnováhy lokálně topologicky ekvivalentní systému v normální formě Neimarkovy–Sackerovy bifurkace v okolí počátku z(n + 1) = λ(α)z(n) + c1(α)z(n)2 z(n) + O( z(n) 4 ). L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 134 / 344 6. kapitola Neimarkova–Sackerova bifurkace Normální forma má v polárním tvaru z(n) = ρ(n)eiϕ(n) zápis: ρ(n + 1) = ρ(n)(1 + α + a(α)ρ2 (n)) + ρ4 (n)R(ρ(n), α), ϕ(n + 1) = ϕ(n) + θ(α) + ρ2 (n)Q(ρ(n), α), kde a(α) = Re(c1(α)e−iθ(α)) a R a Q jsou hladké funkce. 2 zobrazením na kružnici se budeme více věnovat v kap. 9 L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 135 / 344 6. kapitola Neimarkova–Sackerova bifurkace Normální forma má v polárním tvaru z(n) = ρ(n)eiϕ(n) zápis: ρ(n + 1) = ρ(n)(1 + α + a(α)ρ2 (n)) + ρ4 (n)R(ρ(n), α), ϕ(n + 1) = ϕ(n) + θ(α) + ρ2 (n)Q(ρ(n), α), kde a(α) = Re(c1(α)e−iθ(α)) a R a Q jsou hladké funkce. Podobně jako v případě Hopfovy bifurkace je pro a(α0) < 0 ρ = 0 stabilní pevný bod pro α < α0 a nestabilní pro α > α0. Pro α > α0 blízká této kritické hodnotě parametru má navíc zobrazení stabilní pevný bod ρ0(α) = − α a(α) + O(α), který odpovídá vzdálenosti od počátku. Vzniká tedy stabilní limitní invariantní množina na S1, přitom rotace v přibližné vzdálenosti ρ0(α) od x0 je přibližně o úhel θ(α)2. 2 zobrazením na kružnici se budeme více věnovat v kap. 9 L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 135 / 344 6. kapitola Neimarkova–Sackerova bifurkace Normální forma Neimark-Sackerova bifurkace pro a(α0) < 0: α < 0 α = 0 α > 0 x x x y y y L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 136 / 344 6. kapitola Neimarkova–Sackerova bifurkace Podobně jako ve spojitém případě, i dochází buď k superkritické bifurkaci (vzniku stabilní limitní smyčky) pro a(α0) < 0 nebo k subkritické bifurkaci (vzniku nestabilní limitní smyčky) pro a(α0) > 0. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 137 / 344 6. kapitola Neimarkova–Sackerova bifurkace Podobně jako ve spojitém případě, i dochází buď k superkritické bifurkaci (vzniku stabilní limitní smyčky) pro a(α0) < 0 nebo k subkritické bifurkaci (vzniku nestabilní limitní smyčky) pro a(α0) > 0. Oproti spojitému systému s Hopfovou bifurkací, kde bylo možné člen O( z(n) 4) vynechat, v diskrétním případě tomu tak není, protože i malé změny ovlivňují strukturu uzavřené invariantní smyčky, která Neimarkovou–Sackerovou bifurkací vzniká, protože úhel θ(α) rotace implikuje dva základní typy dynamiky na S1. Invariantní smyčka tak může být složena z periodických trajektorií nebo je tzv. kvaziperiodickou trajektorií. Libovolně malá změna parametru může změnit její topologii, nikoliv však její existenci a jednoznačnost. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 137 / 344 6. kapitola Neimarkova–Sackerova bifurkace Podobně jako ve spojitém případě, i dochází buď k superkritické bifurkaci (vzniku stabilní limitní smyčky) pro a(α0) < 0 nebo k subkritické bifurkaci (vzniku nestabilní limitní smyčky) pro a(α0) > 0. Oproti spojitému systému s Hopfovou bifurkací, kde bylo možné člen O( z(n) 4) vynechat, v diskrétním případě tomu tak není, protože i malé změny ovlivňují strukturu uzavřené invariantní smyčky, která Neimarkovou–Sackerovou bifurkací vzniká, protože úhel θ(α) rotace implikuje dva základní typy dynamiky na S1. Invariantní smyčka tak může být složena z periodických trajektorií nebo je tzv. kvaziperiodickou trajektorií. Libovolně malá změna parametru může změnit její topologii, nikoliv však její existenci a jednoznačnost. Asi vás napadne, že se tu začne s dynamikou kromě topologie potkávat i teorie čísel a teorie grup (konkrétně unitární grupa na jednotkové kružnici) a že symetrie a rezonance budou mít něco společného. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 137 / 344 6. kapitola Neimarkova–Sackerova bifurkace Uvažujme nyní parametrizovaný dynamický diskrétní systém ve vícerozměrném prostoru x(n + 1) = f (x(n), ε). Pokud na centrální varietě dochází k předchozím jednoparametrickým bifurkacím pevných bodů, přechází vlastní číslo genericky přes jednotkový kruh. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 138 / 344 6. kapitola Neimarkova–Sackerova bifurkace Uvažujme nyní parametrizovaný dynamický diskrétní systém ve vícerozměrném prostoru x(n + 1) = f (x(n), ε). Pokud na centrální varietě dochází k předchozím jednoparametrickým bifurkacím pevných bodů, přechází vlastní číslo genericky přes jednotkový kruh. Věta Funkce f (x, ε) − x a det(Df (x, ε) − I) se nulují v bodech fold bifurkace (resp. transkritické bifurkace i vidličkové bifurkace). L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 138 / 344 6. kapitola Neimarkova–Sackerova bifurkace Uvažujme nyní parametrizovaný dynamický diskrétní systém ve vícerozměrném prostoru x(n + 1) = f (x(n), ε). Pokud na centrální varietě dochází k předchozím jednoparametrickým bifurkacím pevných bodů, přechází vlastní číslo genericky přes jednotkový kruh. Věta Funkce f (x, ε) − x a det(Df (x, ε) − I) se nulují v bodech fold bifurkace (resp. transkritické bifurkace i vidličkové bifurkace). Poznámka Fold bifurkace pevného bodu jako generická lokální bifurkace odpovídá jednonásobným kořenům determinantu, vzniká na ohybu variety rovnováh. Transkritická a vidličková bifurkace jsou průsečíkem dvou variet (větví) rovnováh. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 138 / 344 6. kapitola Neimarkova–Sackerova bifurkace Věta Funkce f (x, ε) − x a det(Df (x, ε) + I) se nulují v bodech flip bifurkace. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 139 / 344 6. kapitola Neimarkova–Sackerova bifurkace Věta Funkce f (x, ε) − x a det(Df (x, ε) + I) se nulují v bodech flip bifurkace. Věta Funkce f (x, ε)) − x a det(Df (x, ε) Df (x, ε) − I) se nulují v bodech Neimarkovy-Sackerovy bifurkace. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 139 / 344 6. kapitola Neimarkova–Sackerova bifurkace Věta Funkce f (x, ε) − x a det(Df (x, ε) + I) se nulují v bodech flip bifurkace. Věta Funkce f (x, ε)) − x a det(Df (x, ε) Df (x, ε) − I) se nulují v bodech Neimarkovy-Sackerovy bifurkace. Maple worksheet pro výpočet bialternativního součinu a funkce k nalezení bifurkačních variet i příklady najdete na Maplesoft Application Center (a v disertační práci dr. V. Hajnové): Výpočet bialternativního součinu v Maple [Haj19] L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 139 / 344 6. kapitola Složitá dynamika Do tohoto okamžiku bylo možné vést přednášku velice kontinuálně. Ale teď dochází k bifurkacím i v případě výkladu látky. Diskrétní bifurkace jsou totiž mnohem komplikovanější, než tomu bylo u bifurkací spojitých, kde jsme si stihli ukázat i bifurkace vyšší kodimenze než 1. Je ale pravda, že jsme se dotkli bifurkací cyklů a torů i popisu pomocí Poincarého zobrazení, tedy diskrétních bifurkací. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 140 / 344 6. kapitola Složitá dynamika Do tohoto okamžiku bylo možné vést přednášku velice kontinuálně. Ale teď dochází k bifurkacím i v případě výkladu látky. Diskrétní bifurkace jsou totiž mnohem komplikovanější, než tomu bylo u bifurkací spojitých, kde jsme si stihli ukázat i bifurkace vyšší kodimenze než 1. Je ale pravda, že jsme se dotkli bifurkací cyklů a torů i popisu pomocí Poincarého zobrazení, tedy diskrétních bifurkací. K pochopení komplexní (složité) dynamiky, která se běžně v přírodě objevuje, ale musíme nejprve velmi dobře pochopit jevy, které vznikají v blízkosti flip a Neimarkovy–Sackerovy bifurkace. Všechny spolu ale úzce souvisejí, a proto bude struktura přednášky nyní trochu jiná. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 140 / 344 6. kapitola Složitá dynamika Do tohoto okamžiku bylo možné vést přednášku velice kontinuálně. Ale teď dochází k bifurkacím i v případě výkladu látky. Diskrétní bifurkace jsou totiž mnohem komplikovanější, než tomu bylo u bifurkací spojitých, kde jsme si stihli ukázat i bifurkace vyšší kodimenze než 1. Je ale pravda, že jsme se dotkli bifurkací cyklů a torů i popisu pomocí Poincarého zobrazení, tedy diskrétních bifurkací. K pochopení komplexní (složité) dynamiky, která se běžně v přírodě objevuje, ale musíme nejprve velmi dobře pochopit jevy, které vznikají v blízkosti flip a Neimarkovy–Sackerovy bifurkace. Všechny spolu ale úzce souvisejí, a proto bude struktura přednášky nyní trochu jiná. Pokusíme se na příkladech či prototypech dynamik v blízkosti bifurkací pochopit, jaké úžasně složité dynamické chování nabízejí a proč, a teprve potom alespoň trochu zahlédneme obrázek, který příroda vytvořila. Uvidíme periodické i kvaziperiodické jevy, synchronizaci i skoro-periodickou intermitentní dynamiku, fraktály, chaos i řád. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 140 / 344 7. kapitola Chaos v diskrétních jednorozměrných systémech L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 141 / 344 7. kapitola Co se naučíme: zopakujeme a rozšíříme znalosti o logistickém zobrazení a zdvojování periody L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 142 / 344 7. kapitola Co se naučíme: zopakujeme a rozšíříme znalosti o logistickém zobrazení a zdvojování periody prozkoumáme cykly jednorozměrných zobrazení L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 142 / 344 7. kapitola Co se naučíme: zopakujeme a rozšíříme znalosti o logistickém zobrazení a zdvojování periody prozkoumáme cykly jednorozměrných zobrazení dokážeme Šarkovského větu L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 142 / 344 7. kapitola Co se naučíme: zopakujeme a rozšíříme znalosti o logistickém zobrazení a zdvojování periody prozkoumáme cykly jednorozměrných zobrazení dokážeme Šarkovského větu poznáme Schwarzovu derivaci a kritické body L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 142 / 344 7. kapitola Zdvojování periody a logistické zobrazení Logistické zobrazení Uvažujme logistickou rovnici x(n + 1) = f (x(n), a) ≡ ax(n)(1 − x(n)), (28) kde a je kladný parametr. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 143 / 344 7. kapitola Zdvojování periody a logistické zobrazení Logistické zobrazení Uvažujme logistickou rovnici x(n + 1) = f (x(n), a) ≡ ax(n)(1 − x(n)), (28) kde a je kladný parametr. pro parametr a = 1 dochází k transkritické bifurkaci L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 143 / 344 7. kapitola Zdvojování periody a logistické zobrazení Logistické zobrazení Uvažujme logistickou rovnici x(n + 1) = f (x(n), a) ≡ ax(n)(1 − x(n)), (28) kde a je kladný parametr. pro parametr a = 1 dochází k transkritické bifurkaci pevný bod 1 − 1/a ztrácí stabilitu pro a = 3 L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 143 / 344 7. kapitola Zdvojování periody a logistické zobrazení Logistické zobrazení Uvažujme logistickou rovnici x(n + 1) = f (x(n), a) ≡ ax(n)(1 − x(n)), (28) kde a je kladný parametr. pro parametr a = 1 dochází k transkritické bifurkaci pevný bod 1 − 1/a ztrácí stabilitu pro a = 3 pro parametr a = 3 dochází k flip bifurkaci L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 143 / 344 7. kapitola Zdvojování periody a logistické zobrazení Logistické zobrazení Uvažujme logistickou rovnici x(n + 1) = f (x(n), a) ≡ ax(n)(1 − x(n)), (28) kde a je kladný parametr. pro parametr a = 1 dochází k transkritické bifurkaci pevný bod 1 − 1/a ztrácí stabilitu pro a = 3 pro parametr a = 3 dochází k flip bifurkaci flip bifurkace cyklu délky 1 (rovnováhy) je zároveň fold bifurkací 2 cyklu L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 143 / 344 7. kapitola Zdvojování periody a logistické zobrazení Logistické zobrazení Uvažujme logistickou rovnici x(n + 1) = f (x(n), a) ≡ ax(n)(1 − x(n)), (28) kde a je kladný parametr. pro parametr a = 1 dochází k transkritické bifurkaci pevný bod 1 − 1/a ztrácí stabilitu pro a = 3 pro parametr a = 3 dochází k flip bifurkaci flip bifurkace cyklu délky 1 (rovnováhy) je zároveň fold bifurkací 2 cyklu fold bifurkace 2-cyklu není generická a stabilní 2-cyklus vzniká spolu s degenerovaných nestabilním 2-cyklem, který je zároveň 1-cyklem, tedy pevným bodem (ověřte) L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 143 / 344 7. kapitola Zdvojování periody a logistické zobrazení Pokud nyní stabilní větev rovnováhy zobrazení f 2 zanikne flip bifurkací, vznikne cyklus délky 4. Ten ale nespadne z nebe sám, ale fold bifurkací zobrazení f 4 spolu se svým nestabilním degenerovaným bratříčkem. Stane se tomu tak pro a = 1 + √ 6 < 4. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 144 / 344 7. kapitola Zdvojování periody a logistické zobrazení Pokud nyní stabilní větev rovnováhy zobrazení f 2 zanikne flip bifurkací, vznikne cyklus délky 4. Ten ale nespadne z nebe sám, ale fold bifurkací zobrazení f 4 spolu se svým nestabilním degenerovaným bratříčkem. Stane se tomu tak pro a = 1 + √ 6 < 4. Protože zobrazení f zobrazuje 0, 1 do 0, a 4 ⊆ 0, 1 , bude pro parametr a o málo větší než 1 + √ 6 v intervalu 0, a 4 kromě stabilního 4-cyklu také nestabilní degenerovaný 4-cyklus (2-cyklus) i nestabilní rovnováha, tj. 1-cyklus x = a−1 a . L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 144 / 344 7. kapitola Zdvojování periody a logistické zobrazení Pokud nyní stabilní větev rovnováhy zobrazení f 2 zanikne flip bifurkací, vznikne cyklus délky 4. Ten ale nespadne z nebe sám, ale fold bifurkací zobrazení f 4 spolu se svým nestabilním degenerovaným bratříčkem. Stane se tomu tak pro a = 1 + √ 6 < 4. Protože zobrazení f zobrazuje 0, 1 do 0, a 4 ⊆ 0, 1 , bude pro parametr a o málo větší než 1 + √ 6 v intervalu 0, a 4 kromě stabilního 4-cyklu také nestabilní degenerovaný 4-cyklus (2-cyklus) i nestabilní rovnováha, tj. 1-cyklus x = a−1 a . Takto se bude perioda zdvojovat dál a dál a budou vznikat stabilní a nestabilní větve všech délek 2k. Tomuto jevu se říká zdvojování periody. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 144 / 344 7. kapitola Zdvojování periody a logistické zobrazení 7. kapitola Zdvojování periody a logistické zobrazení L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·5. srpna 2020 140 / 180 L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 145 / 344 7. kapitola Zdvojování periody a logistické zobrazení Pokud si spočítáte všechny cykly délky 4 (což vede na polynom stupně 12 v proměnné x, což je asi poslední rozumně rychle spočitatelný případ, kromě cyklu délky 3), zjistíte, že v intervalu 0, 1 pro parametry blízké a = 4 vznikají ještě dva cykly délky 4. Tyto cykly vznikají generickou fold bifurkací a žádné cykly délky 2 ve svém okolí nemají. Na velmi malém intervalu parametru a < 4 blízko 4 tak musíme nutně najít lokálně stabilní 4-cyklus. Přitom ale hned uvidíme, že pro a = 4 nemůže být stabilní cyklus žádné délky. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 146 / 344 7. kapitola Zdvojování periody a logistické zobrazení Tent map - stanové zobrazení Tent map je nejjednodušší zobrazení 0, 1 na 0, 1 , které zde má jediné maximum. T(x) = 2x x ∈ 0, 1 2 2 − 2x x ∈ (1 2, 1 0 11 2 1 T(x) L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 147 / 344 7. kapitola Zdvojování periody a logistické zobrazení Logistické zobrazení pro a = 4, tj. f (x) = 4x(1 − x), je konjugované stanovému zobrazení, protože h: x → sin2 πx 2 je homeomorfismus na 0, 1 a platí f (h(x)) = h(T(x)). L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 148 / 344 7. kapitola Zdvojování periody a logistické zobrazení Logistické zobrazení pro a = 4, tj. f (x) = 4x(1 − x), je konjugované stanovému zobrazení, protože h: x → sin2 πx 2 je homeomorfismus na 0, 1 a platí f (h(x)) = h(T(x)). Protože |DT| = |λ| = 2 v každém bodě 0, 1 {1 2 }, je nutně každý cyklus libovolné délky stanového i logistického zobrazení pro a = 4, nestabilní. Přesto jsou trajektorie na 0, 1 omezené. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 148 / 344 7. kapitola Zdvojování periody a logistické zobrazení Logistické zobrazení pro a = 4, tj. f (x) = 4x(1 − x), je konjugované stanovému zobrazení, protože h: x → sin2 πx 2 je homeomorfismus na 0, 1 a platí f (h(x)) = h(T(x)). Protože |DT| = |λ| = 2 v každém bodě 0, 1 {1 2 }, je nutně každý cyklus libovolné délky stanového i logistického zobrazení pro a = 4, nestabilní. Přesto jsou trajektorie na 0, 1 omezené. V předmětu PřF:M6201 Nelineární dynamika a její aplikace jsme si navíc ukázali, že stanové zobrazení vykazuje citlivost na počáteční podmínky, topologickou transitivnost a hustotu trajektorií. Vykazuje základní znaky chaotického chování. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 148 / 344 7. kapitola Zdvojování periody a logistické zobrazení Další zajímavou vlastností logistické rovnice (28) je dynamika za hodnotou a = 4. V takovém případě totiž některé hodnoty zobrazením f z intervalu 0, 1 „vypadnou“ a jiné ne. Lépe řečeno f ( 0, 1 ) ⊂ 0, 1 . 7. kapitola Zdvojování periody a logistické zobrazení Další zajímavou vlastností logistické rovnice (26) je dynamika za hodnotou a = 4. V takovém případě totiž některé hodnoty zobrazením f z intervalu 0, 1 „vypadnou“ a jiné ne. Lépe řečeno f ( 0, 1 ) ⊂ 0, 1 . 0 1 1 p q A− A+ f(x) = ax(1 − x) x(n + 1) = x(n) x L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 149 / 344 7. kapitola Zdvojování periody a logistické zobrazení Označíme množinu K1 = f −1( 0, 1 ) = 0, p ∪ q, 1 . Platí, že f (K1) ⊆ 0, 1 . = K0. 7. kapitola Zdvojování periody a logistické zobrazení Další zajímavou vlastností logistické rovnice (26) je dynamika za hodnotou a = 4. V takovém případě totiž některé hodnoty zobrazením f z intervalu 0, 1 „vypadnou“ a jiné ne. Lépe řečeno f ( 0, 1 ) ⊂ 0, 1 . 0 1 1 p q A− A+ f(x) = ax(1 − x) x(n + 1) = x(n) x L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 150 / 344 7. kapitola Zdvojování periody a logistické zobrazení Podobně označíme množinu K2 = f −1(K1). Protože f (K2) ⊆ K1 platí, že f (2)(K2) ⊆ 0, 1 . 7. kapitola Zdvojování periody a logistické zobrazení Podobně označíme množinu K2 = f −1(K1). Protože f (K2) ⊆ K1 platí, že f (2)(K2) ⊆ 0, 1 . 0 1 1 p q A− A+ f(x) = ax(1 − x) x(n + 1) = x(n) x L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 151 / 344 7. kapitola Zdvojování periody a logistické zobrazení Podobně budeme definovat spočetně mnoho množin Kn = f −1(Kn−1) s vlastností, že f (n)(Kn) ⊆ 0, 1 . Protože jde o kompaktní množiny (do sebe vnořené), jejich průnik je neprázdný (obsahují např. 0 a 1) a tvoří Cantorovu množinu Λ = lim n→∞ n i=0 Ki L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 152 / 344 7. kapitola Zdvojování periody a logistické zobrazení Podobně budeme definovat spočetně mnoho množin Kn = f −1(Kn−1) s vlastností, že f (n)(Kn) ⊆ 0, 1 . Protože jde o kompaktní množiny (do sebe vnořené), jejich průnik je neprázdný (obsahují např. 0 a 1) a tvoří Cantorovu množinu Λ = lim n→∞ n i=0 Ki Množina Λ je invariantní množinou, je řídká (neobsahuje intervaly), ale nespočetná a jde o fraktál, tj. množinu neceločíselné (Hausdorffovy) dimenze. K tomu se ale dostaneme později. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 152 / 344 7. kapitola Zdvojování periody a logistické zobrazení Nejzajímavější dynamické chování má ale logistická rovnice jistě pro parametr a v intervalu 3, 4 . Slouží jako prototyp jedné z cest k chaotickému chování, přičemž zdvojování periody je zde vlastně jen začátek. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 153 / 344 7. kapitola Zdvojování periody a logistické zobrazení Nejzajímavější dynamické chování má ale logistická rovnice jistě pro parametr a v intervalu 3, 4 . Slouží jako prototyp jedné z cest k chaotickému chování, přičemž zdvojování periody je zde vlastně jen začátek. Vlastně těžko říct, protože ve fraktální struktuře bifurkačního diagramu je zdvojování periody všudypřítomné. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 153 / 344 7. kapitola Zdvojování periody a logistické zobrazení To, co vidíme, jsou atraktory. Cyklů a invariantních množin je tu víc. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 154 / 344 7. kapitola Zdvojování periody a logistické zobrazení Lemma Nechť f : R → R je spojité zobrazení. Mezi každými dvěma body cyklu délky n > 1 existuje periodický bod cyklu délky m < n. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 155 / 344 7. kapitola Zdvojování periody a logistické zobrazení Lemma Nechť f : R → R je spojité zobrazení. Mezi každými dvěma body cyklu délky n > 1 existuje periodický bod cyklu délky m < n. Důkaz: Nechť x1 < x2 jsou sousední body n-cyklu f . Uvažujme všechna m < n taková, že f m(x2) < x2 (takové m musí existovat, protože vlevo od x2 leží x1). Podobně najdeme i m takové, že 1 ≤ m < n a platí f m(x1) > x1 a f m(x2) < x2. Pokud je f m definované na x1, x2 , pak z věty o pevném bodě plyne existence c ∈ (x1, x2): f m(c) = c. Předpokládejme, že f m není nikde na (x1, x2) definované, pak f m(x1) ≥ x2 a f m(x2) ≤ x1, spor. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 155 / 344 7. kapitola Šarkovského věta Šarkovského věta Jeden z nejvýznamnějších a zároveň nejobecnějších výsledků o jednodimenzionálních spojitých zobrazeních, jako je třeba logistické zobrazení, zveřejnil na počátku 70. let 20. století ukrajinský matematik Alexandr Nikolajevič Šarkovskij. V té době, ale západní a východní vědecké světy příliš nekomunikovaly. Šarkovskij uveřejnil důkaz své věty dříve, než Li a Yorke svůj slavný článek „Perioda 3 implikuje chaos“, který je důsledkem Šarkovského věty. A právě tento článek publikovali aniž by o Šarkovského výsledku věděli a odstartovali jím nový způsob myšlení. Yorke a Šarkovskij se potkali v roce 1975 na konferenci ve východním Berlíně .... L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 156 / 344 7. kapitola Šarkovského věta Šarkovského věta Jeden z nejvýznamnějších a zároveň nejobecnějších výsledků o jednodimenzionálních spojitých zobrazeních, jako je třeba logistické zobrazení, zveřejnil na počátku 70. let 20. století ukrajinský matematik Alexandr Nikolajevič Šarkovskij. V té době, ale západní a východní vědecké světy příliš nekomunikovaly. Šarkovskij uveřejnil důkaz své věty dříve, než Li a Yorke svůj slavný článek „Perioda 3 implikuje chaos“, který je důsledkem Šarkovského věty. A právě tento článek publikovali aniž by o Šarkovského výsledku věděli a odstartovali jím nový způsob myšlení. Yorke a Šarkovskij se potkali v roce 1975 na konferenci ve východním Berlíně .... Větu i důkaz Li a Yorkeho najdete v PřF:M6201 Nelineární dynamika a její aplikace. Zde si uvedeme Šarkovského větu a způsob jejího důkazu. Pro zvídavější uvádím odkaz na precizní důkaz v tříhodinové přednášce prof. Ugur Abdulla (Florida Institute of Technology) . L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 156 / 344 7. kapitola Šarkovského věta Věta (Šarkovského věta) Nechť f : R → R je spojitá funkce, která má cyklus délky n. Pak má také cyklus délky m, pokud n m, kde značí následující Šarkovského řazení přirozených čísel: 3 5 7 · · · 2 · 3 2 · 5 · · · 22 · 3 22 · 5 . . . · · · 23 · 3 23 · 5 · · · · · · 23 22 2 1. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 157 / 344 7. kapitola Šarkovského věta Důkaz: Nejprve předpokládejme, n > 1 je liché a f má cyklus délky n a je to nejmenší takové n. Cyklus můžeme zapsat takto: x1 x2 x3 . . . xn f (x1) f (x2) f (x3) . . . f (xn) , kde x1 < x2 < · · · < xn (protože jde o permutaci, můžeme dokonce použít pro zápis jen indexy). L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 158 / 344 7. kapitola Šarkovského věta Důkaz: Nejprve předpokládejme, n > 1 je liché a f má cyklus délky n a je to nejmenší takové n. Cyklus můžeme zapsat takto: x1 x2 x3 . . . xn f (x1) f (x2) f (x3) . . . f (xn) , kde x1 < x2 < · · · < xn (protože jde o permutaci, můžeme dokonce použít pro zápis jen indexy). Evidentně platí, že f (x1) > x1 a f (xn) < xn. Umíme proto najít největší i takové, aby f (xi) > xi. Protože f (xi+1) < xi+1, musí interval I1 = xi, xi+1 pokrýt sám sebe pod f , tj. I1 ⊆ f (I1). L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 158 / 344 7. kapitola Šarkovského věta Máme tedy následující situaci: 7. kapitola Šarkovského věta Máme tedy následující situaci: x1 x2 xi xi+1 xn. . . . . . I1 L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·5. srpna 2020 153 / 180 L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 159 / 344 7. kapitola Šarkovského věta Přitom určitě nemůže I1 pokrýt POUZE sebe (šlo by o 2 cyklus). 7. kapitola Šarkovského věta Přitom určitě nemůže I1 pokrýt POUZE sebe (šlo by o 2 cyklus). x1 x2 xi xi+1 xn. . . . . . I1 L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·5. srpna 2020 154 / 180 L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 160 / 344 7. kapitola Šarkovského věta Umíme proto najít I2 s jedním stejným krajním bodem jako I1, pro nějž platí I1 = I2 a I2 ⊂ f (I1). 7. kapitola Šarkovského věta Umíme proto najít I2 s jedním stejným krajním bodem jako I1, pro nějž platí I1 = I2 a I2 ⊂ f (I1). x1 x2 xi xi+1 xn. . . . . . I1I2 L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·5. srpna 2020 155 / 180 L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 161 / 344 7. kapitola Šarkovského věta Umíme proto najít I2 s jedním stejným krajním bodem jako I1, pro nějž platí I1 = I2 a I2 ⊂ f (I1). 7. kapitola Šarkovského věta Umíme proto najít I2 s jedním stejným krajním bodem jako I1, pro nějž platí I1 = I2 a I2 ⊂ f (I1). x1 x2 xi xi+1 xn. . . . . . I1I2 L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·5. srpna 2020 155 / 180 Sjednocení všech takovýchto intervalů, které jsou pod f (I1) označíme O2. Takže I1 ⊂ O2, ale I1 = O2. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 161 / 344 7. kapitola Šarkovského věta Umíme proto najít I2 s jedním stejným krajním bodem jako I1, pro nějž platí I1 = I2 a I2 ⊂ f (I1). 7. kapitola Šarkovského věta Umíme proto najít I2 s jedním stejným krajním bodem jako I1, pro nějž platí I1 = I2 a I2 ⊂ f (I1). x1 x2 xi xi+1 xn. . . . . . I1I2 L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·5. srpna 2020 155 / 180 Sjednocení všech takovýchto intervalů, které jsou pod f (I1) označíme O2. Takže I1 ⊂ O2, ale I1 = O2. O3 označíme sjednocení všech intervalů tvaru I = xj, xj+1 takových, že jsou pokryty obrazem f nějakého intervalu z O2. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 161 / 344 7. kapitola Šarkovského věta Umíme proto najít I2 s jedním stejným krajním bodem jako I1, pro nějž platí I1 = I2 a I2 ⊂ f (I1). 7. kapitola Šarkovského věta Umíme proto najít I2 s jedním stejným krajním bodem jako I1, pro nějž platí I1 = I2 a I2 ⊂ f (I1). x1 x2 xi xi+1 xn. . . . . . I1I2 L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·5. srpna 2020 155 / 180 Sjednocení všech takovýchto intervalů, které jsou pod f (I1) označíme O2. Takže I1 ⊂ O2, ale I1 = O2. O3 označíme sjednocení všech intervalů tvaru I = xj, xj+1 takových, že jsou pokryty obrazem f nějakého intervalu z O2. Ol+1 označíme sjednocení všech intervalů tvaru I = xj, xj+1 takových, že jsou pokryty obrazem f nějakého intervalu z Ol L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 161 / 344 7. kapitola Šarkovského věta Pro každý interval Ij+1 ⊆ Oj+1 tak máme intervaly I1 → I2 → · · · → Il → Il+1 splňující I2 ⊆ O2, I3 ⊆ O3, ..., Il ⊆ Ol, přičemž máme jen konečný počet n bodů, a proto pro nějaké l obsahuje Ol = Ol+1 všechny intervaly tvaru xj, xj+1 . L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 162 / 344 7. kapitola Šarkovského věta Protože je n liché, je vpravo nebo vlevo od I1 lichý počet bodů, které se nemohou zobrazovat samy na sebe (šlo by o cyklus nižší délky) 7. kapitola Šarkovského věta Protože je n liché, je vpravo nebo vlevo od I1 lichý počet bodů, které se nemohou zobrazovat samy na sebe (šlo by o cyklus nižší délky) x1 x2 xi xi+1 xn. . . I1 x3 a ani se nemohou jako v případě sudého n všechny body přeskládat zleva doprava a naopak. Takže v Ol nutně existuje ještě alespoň jeden interval tvaru I = xj, xj+1 = I1, který pokrývá I1, tj. I1 ⊆ f (I). L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·5. srpna 2020 157 / 180 a ani se nemohou jako v případě sudého n všechny body přeskládat zleva doprava a naopak. Takže v Ol nutně existuje ještě alespoň jeden interval tvaru I = xj, xj+1 = I1, který pokrývá I1, tj. I1 ⊆ f (I). L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 163 / 344 7. kapitola Šarkovského věta Dostáváme tak kromě smyčky I1 → I1 (což díky větě o střední hodnotě implikuje existenci pevného bodu v intervalu I1), ještě jednu cestu z I1 do I1, která ale nutně musí obsahovat cyklus délky n, tedy projít všech n − 1 intervalů. 7. kapitola Šarkovského věta Dostáváme tak kromě smyčky I1 → I1 (což díky větě o střední hodnotě implikuje existenci pevného bodu v intervalu I1), ještě jednu cestu z I1 do I1, která ale nutně musí obsahovat cyklus délky n, tedy projít všech n − 1 intervalů. I1 I2 I3 In−3 In−2 In−1 I4 . . . L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·5. srpna 2020 158 / 180 L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 164 / 344 7. kapitola Šarkovského věta Protože jde o nejkratší cestu, musí být cyklus řazen jedním ze dvou zrcadlových způsobů (tzv. Štefanův cyklus): 7. kapitola Šarkovského věta Protože jde o nejkratší cestu, musí být cyklus řazen jedním ze dvou zrcadlových způsobů (tzv. Štefanův cyklus): x1 x2 xi xi+1 xn. . . . . . I1 xi−1 I2 I3In−1 In−2 xn−1 L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·5. srpna 2020 159 / 180 L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 165 / 344 7. kapitola Šarkovského věta Protože jde o nejkratší cestu, musí být cyklus řazen jedním ze dvou zrcadlových způsobů (tzv. Štefanův cyklus): 7. kapitola Šarkovského věta Protože jde o nejkratší cestu, musí být cyklus řazen jedním ze dvou zrcadlových způsobů (tzv. Štefanův cyklus): x1 x2 xi xi+1 xn. . . . . . I1 xi−1 I2 I3In−1 In−2 xn−1 L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·5. srpna 2020 159 / 180 To ale nutně znamená, že interval In−1 pokrývá i všechny intervaly napravo od I1 (nebo nalevo v zrcadlovém případě). Štefanův cyklus stále střídá strany, jsou to tedy všechny Ij s lichými indexy j. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 165 / 344 7. kapitola Šarkovského věta Dostáváme tedy následující cesty: 7. kapitola Šarkovského věta Dostáváme tedy následující cesty: I1 I2 I3 In−3 In−2 In−1 I4 . . . I5 In−4 Pevný bod je nutně v intervalu I1 → I1, 2 cyklus v In−1 → In−2 → In−1, 4 cyklus je buď In−1 → In−4 → In−3 → In−2 → In−1 nebo pro n = 3 projde cestu I1 → I2 → I3 → I1 → I1. Jediné, co nedostaneme jsou liché cykly nižších délek než n, které existovat nemohou. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·5. srpna 2020 160 / 180 Pevný bod je nutně v intervalu I1 → I1, 2 cyklus v In−1 → In−2 → In−1, 4 cyklus je buď In−1 → In−4 → In−3 → In−2 → In−1 nebo pro n = 3 projde cestu I1 → I2 → I3 → I1 → I1. Jediné, co nedostaneme jsou liché cykly nižších délek než n, které existovat nemohou. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 166 / 344 7. kapitola Šarkovského věta Pro cykly sudých délek lze podobně ukázat, že existuje nutně pevný bod a cyklus délky 2. Pro n = 2p a 1 < q < p je zobrazení g = f (k/2) pro k = 2q spojité a má cyklus délky 2, který je 2q cyklem f . Podobně lze na předchozí převést případ n = p · 2q. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 167 / 344 7. kapitola Šarkovského věta Důsledky Šarkovského věty: „perioda 3 implikuje chaos“ – tedy spojité zobrazení má cykly všech délek, pokud má cyklus délky 3, což v omezeném intervalu může znamenat hodně divný atraktor... L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 168 / 344 7. kapitola Šarkovského věta Důsledky Šarkovského věty: „perioda 3 implikuje chaos“ – tedy spojité zobrazení má cykly všech délek, pokud má cyklus délky 3, což v omezeném intervalu může znamenat hodně divný atraktor... pokud má spojité zobrazení konečný počet cyklů, jsou sudé L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 168 / 344 7. kapitola Šarkovského věta Důsledky Šarkovského věty: „perioda 3 implikuje chaos“ – tedy spojité zobrazení má cykly všech délek, pokud má cyklus délky 3, což v omezeném intervalu může znamenat hodně divný atraktor... pokud má spojité zobrazení konečný počet cyklů, jsou sudé naopak pokud má spojité zobrazení cyklus jiné délky, než mocniny 2, pak má nekonečně mnoho cyklů L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 168 / 344 7. kapitola Šarkovského věta Perioda 3 implikuje chaos je trochu přehnané. Vidíte ten stabilní 3 cyklus atrahující interval 0, 1 ? Tedy až na ty cykly ostatních délek – jenže do nich se většinou netrefíte, pokud se nebudete opravdu snažit. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 169 / 344 7. kapitola Šarkovského věta Domácí úkol: Najděte cyklus délky 2 pro logistické zobrazení (28) s parametrem a odpovídajícím vzniku 3 cyklu (fold bifurkace 3 cyklu). Ukažte, že je nestabilní. Zkuste ho prohnat Maplem a Matlabem. Jak to zvládne iterovat symbolický a numerický přístup? L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 170 / 344 7. kapitola Schwarzova derivace Schwarzova derivace Definice Schwarzova derivace je definována (i v komplexním oboru) jako operátor (Sf )(z) = f (z) f (z) − 3 2 f (z) f (z) 2 . Poznámka Protože v bodě [x0, α0] flip bifurkace platí f (x0, α0) = −1, je (Sf )(x0, α0) = 0 podmínkou nedegenerovanosti flip bifurkace. Uvidíme, že vlastnost (Sf )(x) < 0 ∀x, má ještě zajímavější důsledky. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 171 / 344 7. kapitola Schwarzova derivace Věta Nechť pro každé x ∈ R platí (Sf )(x) < 0 a (Sg)(x) < 0. Pak (S(f ◦ g))(x) < 0. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 172 / 344 7. kapitola Schwarzova derivace Věta Nechť pro každé x ∈ R platí (Sf )(x) < 0 a (Sg)(x) < 0. Pak (S(f ◦ g))(x) < 0. Důkaz: (f ◦ g) (x) = f (g(x)) · (g (x))2 + f (g(x)) · g (x) a (f ◦g) (x) = f (g(x))·(g (x))3 +3f (g(x))·g (x)·g (x)+f (g(x))·g (x), tj. (S(f ◦ g))(x) = (Sf )(g(x)) · (g (x))2 + (Sg)(x) < 0. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 172 / 344 7. kapitola Schwarzova derivace Důsledek Nechť pro každé x ∈ R platí (Sf )(x) < 0, pak (Sf (n))(x) < 0. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 173 / 344 7. kapitola Schwarzova derivace Důsledek Nechť pro každé x ∈ R platí (Sf )(x) < 0, pak (Sf (n))(x) < 0. Poznámka Všimněte si, že pro každé kvadratické zobrazení platí (Sf )(x) < 0, včetně kritického bodu xc, pro který platí f (xc) = 0, kde lze definovat (Sf )(xc) < −∞. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 173 / 344 7. kapitola Schwarzova derivace Platí dokonce silnější tvrzení: Věta Nechť P(x) je polynom, x ∈ R. Pokud P (x) má reálné a izolované kořeny (kritické body), pak ∀x ∈ R: (SP)(x) < 0. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 174 / 344 7. kapitola Schwarzova derivace Platí dokonce silnější tvrzení: Věta Nechť P(x) je polynom, x ∈ R. Pokud P (x) má reálné a izolované kořeny (kritické body), pak ∀x ∈ R: (SP)(x) < 0. Důkaz: Nechť P (x) = N i=1(x − xi). Pak P (x) = N j=1 N i=1(x−xi) (x−xj) a P (x) = N j=1 k=j N i=1(x−xi) (x−xj)(x−xk) . L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 174 / 344 7. kapitola Schwarzova derivace Platí dokonce silnější tvrzení: Věta Nechť P(x) je polynom, x ∈ R. Pokud P (x) má reálné a izolované kořeny (kritické body), pak ∀x ∈ R: (SP)(x) < 0. Důkaz: Nechť P (x) = N i=1(x − xi). Pak P (x) = N j=1 N i=1(x−xi) (x−xj) a P (x) = N j=1 k=j N i=1(x−xi) (x−xj)(x−xk) . Odtud (SP)(x) = N k=j 1 (x − xj)(x − xk) − 3 2 N j=1 1 x − xj 2 = − 1 2 N j=1 1 x − xj 2 − N j=1 1 x − xj 2 < 0 L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 174 / 344 7. kapitola Schwarzova derivace Definice Pevný bod xc hladkého zobrazení f : R → R, který je zároveň kritickým bodem, tj. f (xc) = 0, se nazývá superatrahující. (Stejně tak pro f : C → C.) L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 175 / 344 7. kapitola Schwarzova derivace Definice Pevný bod xc hladkého zobrazení f : R → R, který je zároveň kritickým bodem, tj. f (xc) = 0, se nazývá superatrahující. (Stejně tak pro f : C → C.) Pokud (Sf )(x) < 0 ∀x ∈ R, pak f (x) nemá kladné lok. minimum ani záporné lokální maximum, neboli pokud f (x0) = 0, pak f (x0) a f (x0) mají opačná znaménka. Po sobě jdoucí kritické body f tak implikují existenci bodu xc, pro který platí f (xc) = 0. x1 x2 x3 xc f′ x1 x2 xc f′ MAX MAX MAX MIN L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 175 / 344 7. kapitola Schwarzova derivace Lemma Předpokládejme, že f má konečně mnoho kritických bodů a (Sf )(x) < 0 ∀x ∈ R, pak f má pouze konečně mnoho periodických bodů periody m pro každé m. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 176 / 344 7. kapitola Schwarzova derivace Lemma Předpokládejme, že f má konečně mnoho kritických bodů a (Sf )(x) < 0 ∀x ∈ R, pak f má pouze konečně mnoho periodických bodů periody m pro každé m. Důkaz: Předpokládejme naopak, že g = f m má nekonečně mnoho pevných bodů. Tedy g (x) = 1 pro nekonečně mnoho x. Protože g není konstanta (Sf < 0), mezi třemi sousedními body nutně existuje bod x: g (x) < 1. Protože ale g nemůže mít kladné lok. minimum, musí g (x) < 0, tj. existuje nekonečně mnoho kritických bodů f m, spor. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 176 / 344 7. kapitola Schwarzova derivace Definice Nechť p je atrahující periodický bod zobrazení f s periodou m, kde Označme interval W(p) jako tu maximální souvislou část množiny {x: f (mj)(x) → p pro j → ∞}, která obsahuje p. Mluvíme o bezprostřední oblasti přitažlivosti bodu p (immediate basin of attraction). Předchozí vlastnosti (Sf ) implikují, že pokud f splňuje (Sf )(x) < 0 ∀x ∈ R a W(p) je omezená, pak obsahuje kritický bod ([Dev08]). V případě logistického zobrazení je jediný, a proto také nejvýše jediný z konečně mnoha cyklů délky m je atrahující a lze jej nalézt iterací z kritického bodu. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 177 / 344 7. kapitola Schwarzova derivace x f(x) f (x ) , c f(p)=p L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 178 / 344 7. kapitola Schwarzova derivace x f(x) f (x) (2) L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 179 / 344 7. kapitola Schwarzova derivace Šarkovského věta tedy zaručuje pro logistické zobrazení v intervalu 3, 4 existenci cyklů jistých délek pokud jsou lichých délek, je jich nekonečně mnoho L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 180 / 344 7. kapitola Schwarzova derivace Šarkovského věta tedy zaručuje pro logistické zobrazení v intervalu 3, 4 existenci cyklů jistých délek pokud jsou lichých délek, je jich nekonečně mnoho až na maximálně jeden jsou všechny nestabilní L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 180 / 344 7. kapitola Schwarzova derivace Šarkovského věta tedy zaručuje pro logistické zobrazení v intervalu 3, 4 existenci cyklů jistých délek pokud jsou lichých délek, je jich nekonečně mnoho až na maximálně jeden jsou všechny nestabilní navíc mezi každými dvěma body cyklu najdeme jiný cyklus L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 180 / 344 7. kapitola Schwarzova derivace Šarkovského věta tedy zaručuje pro logistické zobrazení v intervalu 3, 4 existenci cyklů jistých délek pokud jsou lichých délek, je jich nekonečně mnoho až na maximálně jeden jsou všechny nestabilní navíc mezi každými dvěma body cyklu najdeme jiný cyklus L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 180 / 344 7. kapitola Schwarzova derivace Šarkovského věta tedy zaručuje pro logistické zobrazení v intervalu 3, 4 existenci cyklů jistých délek pokud jsou lichých délek, je jich nekonečně mnoho až na maximálně jeden jsou všechny nestabilní navíc mezi každými dvěma body cyklu najdeme jiný cyklus Ups ...to je docela chaos. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 180 / 344 7. kapitola Schwarzova derivace Na tomto místě je třeba poznamenat, že zdvojování periody jako univerzální jev u unimodálních funkcí f : R → R popsal poprvé v roce 1976 Mitchell Jay Feigenbaum pomocí techniky zvané renormalizace. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 181 / 344 7. kapitola Schwarzova derivace Na tomto místě je třeba poznamenat, že zdvojování periody jako univerzální jev u unimodálních funkcí f : R → R popsal poprvé v roce 1976 Mitchell Jay Feigenbaum pomocí techniky zvané renormalizace. Přepsáním iterací funkce f jako složení zobrazení, při kterém dochází ke změně měřítka, dostal funkcionální rovnici T[f ](x) = −αf (f (− x α )), která má pro určité α pevný bod – tzv. univerzální funkci. Ta je řešením funkcionální rovnice g(x) = −αg(g(− x α)). L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 181 / 344 7. kapitola Schwarzova derivace Odhad univerzální změny měřítka α a rychlosti konvergence δ Feigenbaum udělal linearizací funkcionální rovnice v okolí jejího pevného bodu, tj. univerzální funkce g, a našel tak univerzální hodnoty nezávislé na funkci f : α . = 2.5028 a vlastní číslo δ . = 4.669, které se dnes nazývají Feigenbaumovy konstanty. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 182 / 344 8. kapitola Mandelbrotova množina a logistické zobrazení L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 183 / 344 8. kapitola Co se naučíme: základní vlastnosti rotace na jednotkové kružnici L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 184 / 344 8. kapitola Co se naučíme: základní vlastnosti rotace na jednotkové kružnici definujeme Juliovu a Mandelbrotovu množinu L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 184 / 344 8. kapitola Co se naučíme: základní vlastnosti rotace na jednotkové kružnici definujeme Juliovu a Mandelbrotovu množinu pochopíme základní vlastnosti těchto fraktálů a jejich souvislost s logistickým zobrazením L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 184 / 344 8. kapitola Co se naučíme: základní vlastnosti rotace na jednotkové kružnici definujeme Juliovu a Mandelbrotovu množinu pochopíme základní vlastnosti těchto fraktálů a jejich souvislost s logistickým zobrazením definujeme normální formu lokální m-fold bifurkace komplexní rovnováhy L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 184 / 344 8. kapitola Lemma Všechna kvadratická zobrazení jsou lineárně konjugovaná. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 185 / 344 8. kapitola Lemma Všechna kvadratická zobrazení jsou lineárně konjugovaná. Důkaz: Označme Q(z) = αz2 + βz + γ a Mc(z) = z2 + c. Pak lineární funkce h(z) = αz + β 2 je homeomorfismus mezi zobrazeními Q a M, tj. z // h  Q(z) h  w // Mc(w) pro c = αγ + 1 4β(2 − β), tj. h ◦ Q = Mc ◦ h. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 185 / 344 8. kapitola Dynamika logistické rovnice (28) je proto díky topologické konjugovanosti zobrazení Q(z) = az(1 − z) a Mc(z) = z2 + c topologicky ekvivalentní dynamice rovnice z(n + 1) = z(n)2 + c, (29) přičemž c = 1 4a(2 − a) a h(z) = −az + a 2. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 186 / 344 8. kapitola Dynamika logistické rovnice (28) je proto díky topologické konjugovanosti zobrazení Q(z) = az(1 − z) a Mc(z) = z2 + c topologicky ekvivalentní dynamice rovnice z(n + 1) = z(n)2 + c, (29) přičemž c = 1 4a(2 − a) a h(z) = −az + a 2. Zobrazení Mc(z) se nazývá Mandelbrotovo zobrazení. Je vidět, že logistická rovnice má vzhledem k parametru 2 symetrické části s topologicky ekvivalentní dynamikou v intervalech (−∞, 1) a (1, ∞). L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 186 / 344 8. kapitola L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 187 / 344 8. kapitola Dynamika na kružnici Dynamika na kružnici Nejprve si představíme nejjednodušší zobrazení M0(z) pro c = 0. Pro |z| < 1 platí M (n) 0 (z) = z2n → 0, pro |z| > 1 platí |M (n) 0 (z)| = |z|2n → ∞. Body, které leží na hranici konvergence M0(z) (v tomto případě na kružnici S1) patří do množiny, která nese jméno Gastona Maurice Julia – Juliova množina. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 188 / 344 8. kapitola Dynamika na kružnici Dynamika na kružnici Nejprve si představíme nejjednodušší zobrazení M0(z) pro c = 0. Pro |z| < 1 platí M (n) 0 (z) = z2n → 0, pro |z| > 1 platí |M (n) 0 (z)| = |z|2n → ∞. Body, které leží na hranici konvergence M0(z) (v tomto případě na kružnici S1) patří do množiny, která nese jméno Gastona Maurice Julia – Juliova množina. Pro ty, kteří se příliš nesetkali iteracemi nad komplexními čísly, natož s Juliovou množinou, ani s Mandelbrotovou množinou, doporučuji na úvod krásná videa, ve kterých (ve francouzské verzi) projektu Dimensions popisuje a animuje komplexní iterace přímo prof. Adrien Douady: 5. kapitola (ang.) a 6. kapitola (ang.), který spolu s Johnem H. Hubbardem dokázal souvislost Mandelbrotovy množiny. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 188 / 344 8. kapitola Dynamika na kružnici Zobrazení M0 : z → z2 na |z| = 1 můžeme přepsat do polárních souřadnic z = ρei2πϕ a dostáváme tak na kružnici lineární zobrazení – zdvojnásobení úhlů: ϕ(n + 1) = 2ϕ(n) mod 1 L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 189 / 344 8. kapitola Dynamika na kružnici Zobrazení M0 : z → z2 na |z| = 1 můžeme přepsat do polárních souřadnic z = ρei2πϕ a dostáváme tak na kružnici lineární zobrazení – zdvojnásobení úhlů: ϕ(n + 1) = 2ϕ(n) mod 1 Je evidentní, že pokud ϕ(0) = p q ∈ Q, dostáváme cyklus délky q. V opačném případě bude trajektorie hustá v S1. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 189 / 344 8. kapitola Dynamika na kružnici Toto chování je fakticky natolik blízké stochastickému, že jej nazýváme chaotické (nikoliv náhodné). Pokud ϕ(n) zapíšeme ve dvojkové soustavě ϕ(n + 1) má tentýž zápis ořezaný o první cifru a posunutý vlevo: ϕ(n) = 0.ω1ω2ω3 · · · = ω1 2 + ω2 22 + ω3 23 + . . . , kde ωk jsou cifry 0 nebo 1. ϕ(n + 1) = 2 · 0.ω1ω2ω3 . . . mod 1 = = 2 · (ω1 2 + ω2 22 + ω3 23 + . . . ) mod 1 = 0.ω2ω3 . . . . L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 190 / 344 8. kapitola Dynamika na kružnici Toto chování je fakticky natolik blízké stochastickému, že jej nazýváme chaotické (nikoliv náhodné). Pokud ϕ(n) zapíšeme ve dvojkové soustavě ϕ(n + 1) má tentýž zápis ořezaný o první cifru a posunutý vlevo: ϕ(n) = 0.ω1ω2ω3 · · · = ω1 2 + ω2 22 + ω3 23 + . . . , kde ωk jsou cifry 0 nebo 1. ϕ(n + 1) = 2 · 0.ω1ω2ω3 . . . mod 1 = = 2 · (ω1 2 + ω2 22 + ω3 23 + . . . ) mod 1 = 0.ω2ω3 . . . . Tomuto zobrazení se říká Bernoulliho posun – shift map L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 190 / 344 8. kapitola Dynamika na kružnici Toto chování je fakticky natolik blízké stochastickému, že jej nazýváme chaotické (nikoliv náhodné). Pokud ϕ(n) zapíšeme ve dvojkové soustavě ϕ(n + 1) má tentýž zápis ořezaný o první cifru a posunutý vlevo: ϕ(n) = 0.ω1ω2ω3 · · · = ω1 2 + ω2 22 + ω3 23 + . . . , kde ωk jsou cifry 0 nebo 1. ϕ(n + 1) = 2 · 0.ω1ω2ω3 . . . mod 1 = = 2 · (ω1 2 + ω2 22 + ω3 23 + . . . ) mod 1 = 0.ω2ω3 . . . . Tomuto zobrazení se říká Bernoulliho posun – shift map a modeluje se jím stochastický náhodný proces... L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 190 / 344 8. kapitola Dynamika na kružnici Chaotická trajektorie tak splňuje základní vlastnosti chaotické dynamiky: L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 191 / 344 8. kapitola Dynamika na kružnici Chaotická trajektorie tak splňuje základní vlastnosti chaotické dynamiky: citlivost na počáteční podmínky – předpokládejme, že známe počáteční podmínku x0 až do N-tého binárního místa. Uvažujme (nespočetnou) množinu čísel, která mají stejný začátek binárního zápisu, liší se až od mocniny 2−N a jejich trajektorie. Po N iteracích se tyto blízké trajektorie stávají zcela náhodnými a neexistuje žádný vztah k počáteční podmínce. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 191 / 344 8. kapitola Dynamika na kružnici Chaotická trajektorie tak splňuje základní vlastnosti chaotické dynamiky: citlivost na počáteční podmínky – předpokládejme, že známe počáteční podmínku x0 až do N-tého binárního místa. Uvažujme (nespočetnou) množinu čísel, která mají stejný začátek binárního zápisu, liší se až od mocniny 2−N a jejich trajektorie. Po N iteracích se tyto blízké trajektorie stávají zcela náhodnými a neexistuje žádný vztah k počáteční podmínce. topologická transitivnost (mixování) – uvažujme interval počátečních hodnot, které se liší poprvé na N-tém binárním místě. Po N iteracích dojde k posunu o těchto N míst a interval se rozprostře na celý 0, 1 . L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 191 / 344 8. kapitola Dynamika na kružnici Chaotická trajektorie tak splňuje základní vlastnosti chaotické dynamiky: citlivost na počáteční podmínky – předpokládejme, že známe počáteční podmínku x0 až do N-tého binárního místa. Uvažujme (nespočetnou) množinu čísel, která mají stejný začátek binárního zápisu, liší se až od mocniny 2−N a jejich trajektorie. Po N iteracích se tyto blízké trajektorie stávají zcela náhodnými a neexistuje žádný vztah k počáteční podmínce. topologická transitivnost (mixování) – uvažujme interval počátečních hodnot, které se liší poprvé na N-tém binárním místě. Po N iteracích dojde k posunu o těchto N míst a interval se rozprostře na celý 0, 1 . husté periodické trajektorie – binární zápis každého racionálního čísla je zakončen opakující se skupinou cifer, a proto generuje periodické trajektorie (včetně pevných bodů). Iracionální čísla mají binární zápis, který se neopakuje. Proto jsou periodické trajektorie husté (jsou libovolně blízko jiné dané trajektorii) v množině chaotických trajektorií. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 191 / 344 8. kapitola Juliova a Mandelbrotova množina Nyní se vraťme k zobrazení Mc(z) = z2 + c. Věta Nechť |z| ≥ |c| > 2. Pak |M (n) c (z)| → ∞ pro n → ∞. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 192 / 344 8. kapitola Juliova a Mandelbrotova množina Nyní se vraťme k zobrazení Mc(z) = z2 + c. Věta Nechť |z| ≥ |c| > 2. Pak |M (n) c (z)| → ∞ pro n → ∞. Důkaz: Nechť |z| = r ≥ |c|. Mc(z) = z2 + c zobrazuje kružnici o poloměru r se středem v 0, na níž leží z na kružnici s poloměrem r2 a středem c. Protože r2 > 2r, platí |Mc(z)| > |z|, tj. |M (n) c (z)| → ∞ pro n → ∞. z 0 rcz2 + c r2 L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 192 / 344 8. kapitola Juliova a Mandelbrotova množina Všimněte si, že Mc(0) = c a pro |c| > 2 tedy musí M (n) c (0) divergovat. Zároveň ale pro z = 0 platí Mc(z) = 0 a pro reálné hodnoty c jsme již ukázali, že je-li takový bod prvkem cyklu, je to superatrahující kritický bod a cyklus je nutně stabilní. Pro některé hodnoty c a z tedy musí být dynamika omezená. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 193 / 344 8. kapitola Juliova a Mandelbrotova množina Všimněte si, že Mc(0) = c a pro |c| > 2 tedy musí M (n) c (0) divergovat. Zároveň ale pro z = 0 platí Mc(z) = 0 a pro reálné hodnoty c jsme již ukázali, že je-li takový bod prvkem cyklu, je to superatrahující kritický bod a cyklus je nutně stabilní. Pro některé hodnoty c a z tedy musí být dynamika omezená. Ale kde je ta hranice? L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 193 / 344 8. kapitola Juliova a Mandelbrotova množina Všimněte si, že Mc(0) = c a pro |c| > 2 tedy musí M (n) c (0) divergovat. Zároveň ale pro z = 0 platí Mc(z) = 0 a pro reálné hodnoty c jsme již ukázali, že je-li takový bod prvkem cyklu, je to superatrahující kritický bod a cyklus je nutně stabilní. Pro některé hodnoty c a z tedy musí být dynamika omezená. Ale kde je ta hranice? Definice Hranice množiny bodů z ∈ C, pro které platí |M (n) c (z)| → ∞ pro n → ∞ se nazývá Juliova množina Jc. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 193 / 344 8. kapitola Juliova a Mandelbrotova množina Všimněte si, že Mc(0) = c a pro |c| > 2 tedy musí M (n) c (0) divergovat. Zároveň ale pro z = 0 platí Mc(z) = 0 a pro reálné hodnoty c jsme již ukázali, že je-li takový bod prvkem cyklu, je to superatrahující kritický bod a cyklus je nutně stabilní. Pro některé hodnoty c a z tedy musí být dynamika omezená. Ale kde je ta hranice? Definice Hranice množiny bodů z ∈ C, pro které platí |M (n) c (z)| → ∞ pro n → ∞ se nazývá Juliova množina Jc. Poznámka J0 = S1 a zobrazení h(z) = z + 1 z splňuje h ◦ M0 = M−2 ◦ h. Proto J−2 = h(S1) = −2, 2 . Zobrazení h sice není homeomorfismus (nejde o bijekci), ale zaručuje spojité zobrazení invariantní množiny J0 na J−2. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 193 / 344 8. kapitola Juliova a Mandelbrotova množina Při procházce různými body c ∈ C (s počáteční podmínkou z = 0) tak dostáváme různé Juliovy množiny. Lze ukázat, že pro všechna |c| > 2 je Jc topologicky ekvivalentní Cantorově množině. Lze ukázat, že nestabilní cykly náleží Jc. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 194 / 344 8. kapitola Juliova a Mandelbrotova množina Při procházce různými body c ∈ C (s počáteční podmínkou z = 0) tak dostáváme různé Juliovy množiny. Lze ukázat, že pro všechna |c| > 2 je Jc topologicky ekvivalentní Cantorově množině. Lze ukázat, že nestabilní cykly náleží Jc. Definice Množina bodů c ∈ C, pro kterou zůstává M (n) c (0) omezená, se nazývá Mandelbrotova množina M. Množina bodů c ∈ C, pro které má Mc atrahující cyklus M Mandelbrotova a Juliova množina L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 194 / 344 8. kapitola Juliova a Mandelbrotova množina Mandlebrotova množina nutně obsahuje body c ∈ C, pro které leží 0 v bezprostřední oblasti přitažlivosti stabilních cyklů. Tohoto se používá v algoritmu pro vykreslení M. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 195 / 344 8. kapitola Juliova a Mandelbrotova množina Mandlebrotova množina nutně obsahuje body c ∈ C, pro které leží 0 v bezprostřední oblasti přitažlivosti stabilních cyklů. Tohoto se používá v algoritmu pro vykreslení M. Uvažujme nejprve jedna cyklus (pevný bod) tohoto zobrazení splňující Mc(z) = z2 + c = z. Takové body jsou 2, ale stabilní je pouze ten, pro který platí |Mc(z)| = 2|z| < 1. Hranicí stability je tedy množina (kardioida) {c = z − z2 : |z| = 1 2} = {c = 1 2ei2πϕ − 1 4ei4πϕ : ϕ ∈ 0, 1)} L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 195 / 344 8. kapitola Juliova a Mandelbrotova množina Nyní uvažujme 2-cykly. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 196 / 344 8. kapitola Juliova a Mandelbrotova množina Nyní uvažujme 2-cykly. Hledáme pevné body zobrazení Mc(Mc(z)), které nejsou pevnými body Mc(z). L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 196 / 344 8. kapitola Juliova a Mandelbrotova množina Nyní uvažujme 2-cykly. Hledáme pevné body zobrazení Mc(Mc(z)), které nejsou pevnými body Mc(z). Musí tedy platit Mc(Mc(z)) − z Mc(z) − z = (z2 + c)2 + c − z z2 + c − z = z2 + z + 1 + c = 0 L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 196 / 344 8. kapitola Juliova a Mandelbrotova množina Nyní uvažujme 2-cykly. Hledáme pevné body zobrazení Mc(Mc(z)), které nejsou pevnými body Mc(z). Musí tedy platit Mc(Mc(z)) − z Mc(z) − z = (z2 + c)2 + c − z z2 + c − z = z2 + z + 1 + c = 0 Tyto body jsou zase 2: z1,2 = −1 2 ± √ −3−4c 2 , ale tentokrát jsou prvky téhož cyklu, protože z2 = Mc(z1) a z1 = Mc(z2). L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 196 / 344 8. kapitola Juliova a Mandelbrotova množina Pokud |Mc (2) (z)| < 1, je cyklus stabilní. Hranicí stability je proto množina c splňujících |2z1 · 2z2| = |4zMc(z)| = |4z(z2 + c)| = |4z(−1 − z)| = 4|1 + c| = 1. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 197 / 344 8. kapitola Juliova a Mandelbrotova množina Pokud |Mc (2) (z)| < 1, je cyklus stabilní. Hranicí stability je proto množina c splňujících |2z1 · 2z2| = |4zMc(z)| = |4z(z2 + c)| = |4z(−1 − z)| = 4|1 + c| = 1. Jde tedy o kružnici se středem v −1 a poloměrem 1 4, která se v bodě c = −3 4 dotýká kardioidy. V tomto bodě dvojice bodů cyklu splývá: z2 + z + 1 + c = (z + 1 2 )2 = 0 a Mc (2) (z) = 1 a platí Mc (−1 2) = −1. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 197 / 344 8. kapitola Juliova a Mandelbrotova množina Pokud |Mc (2) (z)| < 1, je cyklus stabilní. Hranicí stability je proto množina c splňujících |2z1 · 2z2| = |4zMc(z)| = |4z(z2 + c)| = |4z(−1 − z)| = 4|1 + c| = 1. Jde tedy o kružnici se středem v −1 a poloměrem 1 4, která se v bodě c = −3 4 dotýká kardioidy. V tomto bodě dvojice bodů cyklu splývá: z2 + z + 1 + c = (z + 1 2 )2 = 0 a Mc (2) (z) = 1 a platí Mc (−1 2) = −1. V reálném oboru zaniká pevný bod flip bifurkací a vzniká 2-cyklus fold bifurkací. Připomeňme, že námi v reálném oboru studované logistické zobrazení je konjugované s Mandelbrotovým, přičemž c = 1 4a(2 − a). Vznik 2-cyklu flip bifurkací pro a = 3 a a = −1 odpovídá c = −3 4. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 197 / 344 8. kapitola Juliova a Mandelbrotova množina L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 198 / 344 8. kapitola Juliova a Mandelbrotova množina L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 199 / 344 8. kapitola Juliova a Mandelbrotova množina O polynomiálních komplexních iteracích byly již napsány celé knihy, takže v této přednášce nemůžeme postihnout ani vzdáleně, co všechno je o Mandelbrotově množině a Juliových množinách známo. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 200 / 344 8. kapitola Juliova a Mandelbrotova množina O polynomiálních komplexních iteracích byly již napsány celé knihy, takže v této přednášce nemůžeme postihnout ani vzdáleně, co všechno je o Mandelbrotově množině a Juliových množinách známo. Jedna důležitá věc se ale zmiňuje v literatuře jen velmi zřídka, ačkoliv Julia i Fatou tímto směrem uvažovali již na počátku 20. století. Jde o chování cyklů zobrazení Mc, které mají vlastní číslo v blízkosti celočíselných odmocnin z 1. Flip a fold bifurkace vznikají pro celočíselné odmocniny z 1 – +1 a −1. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 200 / 344 8. kapitola Juliova a Mandelbrotova množina O polynomiálních komplexních iteracích byly již napsány celé knihy, takže v této přednášce nemůžeme postihnout ani vzdáleně, co všechno je o Mandelbrotově množině a Juliových množinách známo. Jedna důležitá věc se ale zmiňuje v literatuře jen velmi zřídka, ačkoliv Julia i Fatou tímto směrem uvažovali již na počátku 20. století. Jde o chování cyklů zobrazení Mc, které mají vlastní číslo v blízkosti celočíselných odmocnin z 1. Flip a fold bifurkace vznikají pro celočíselné odmocniny z 1 – +1 a −1. V literatuře tuto bifurkaci moc nenajdete. Výjimkou je např. Devaneyho monografie [Dev20] a samozřejmě původní článek Guckenheimera a McGeheeho s důkazem Mandelbrotovy hypotézy o bublinách v M a hlavně s odvozením normální formy m-fold bifurkace. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 200 / 344 8. kapitola m-fold bifurkace m-fold bifurkace S využitím našich znalostí o normálních formách můžeme odvození normální formy z [GM84] velmi zjednodušit. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 201 / 344 8. kapitola m-fold bifurkace m-fold bifurkace S využitím našich znalostí o normálních formách můžeme odvození normální formy z [GM84] velmi zjednodušit. Uvažujme komplexní polynomiální (nebo holomorfní) funkce f závislé na komplexním parametru a iterace zn+1 = f (zn, α). (30) Předpokládejme, že 0 je pevný bod zobrazení f s vlastním číslem λ(α), které pro kritickou hodnotu parametru α = α0 nabývá m-té primitivní odmocniny z 1, tj. m je nejmenší přirozené číslo splňující λ(α0)m = 1. V dalším budeme pro jednoduchost vynechávat parametr. Platí f (z) = λz + F(z) + O(zk+1 ), kde F = F2 + F3 + · · · + Fk zahrnuje vyšší mocniny z až do k-tého stupně. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 201 / 344 8. kapitola m-fold bifurkace V prostorech Vj = {zj}, j ∈ {2, . . . , k} budeme postupně eliminovat jednotlivé mocniny. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 202 / 344 8. kapitola m-fold bifurkace V prostorech Vj = {zj}, j ∈ {2, . . . , k} budeme postupně eliminovat jednotlivé mocniny. Konkrétně tedy pro postupnou eliminaci j-té mocniny dostáváme tvar po eliminaci mocniny j − 1 (pro j = 2 již v tomto tvaru rovnici máme): zn+1 = λzn + Fj(zn) + O(zj+1 ). L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 202 / 344 8. kapitola m-fold bifurkace V prostorech Vj = {zj}, j ∈ {2, . . . , k} budeme postupně eliminovat jednotlivé mocniny. Konkrétně tedy pro postupnou eliminaci j-té mocniny dostáváme tvar po eliminaci mocniny j − 1 (pro j = 2 již v tomto tvaru rovnici máme): zn+1 = λzn + Fj(zn) + O(zj+1 ). Identitě blízká transformace z = w + hj(w), kde hj je stupně j pak převádí tuto rovnici do tvaru zn+1 = wn+1 + hj(wn+1) = λ(wn + hj(wn)) + Fj(wn + . . . ) + . . . , L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 202 / 344 8. kapitola m-fold bifurkace V prostorech Vj = {zj}, j ∈ {2, . . . , k} budeme postupně eliminovat jednotlivé mocniny. Konkrétně tedy pro postupnou eliminaci j-té mocniny dostáváme tvar po eliminaci mocniny j − 1 (pro j = 2 již v tomto tvaru rovnici máme): zn+1 = λzn + Fj(zn) + O(zj+1 ). Identitě blízká transformace z = w + hj(w), kde hj je stupně j pak převádí tuto rovnici do tvaru zn+1 = wn+1 + hj(wn+1) = λ(wn + hj(wn)) + Fj(wn + . . . ) + . . . , wn+1 = λwn + λhj(wn) − hj(λwn + . . . ) + Fj(wn + . . . ) + . . . . L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 202 / 344 8. kapitola m-fold bifurkace Došli jsme tak samozřejmě ke známému operátoru hj(z) → L(hj(z)) = λhj(z) − hj(λz) a homologické rovnici Fj(z) + L(hj(z)) = 0. Řešení této v prostoru Vj lineární rovnice je jednoznačné a existuje, pokud je operátor L invertibilní. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 203 / 344 8. kapitola m-fold bifurkace Došli jsme tak samozřejmě ke známému operátoru hj(z) → L(hj(z)) = λhj(z) − hj(λz) a homologické rovnici Fj(z) + L(hj(z)) = 0. Řešení této v prostoru Vj lineární rovnice je jednoznačné a existuje, pokud je operátor L invertibilní. To platí pokud pro j ∈ 1, . . . , k λzj − (λz)j = λ(1 − λj−1 )zj = 0 v ryzím okolí z = 0. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 203 / 344 8. kapitola m-fold bifurkace Došli jsme tak samozřejmě ke známému operátoru hj(z) → L(hj(z)) = λhj(z) − hj(λz) a homologické rovnici Fj(z) + L(hj(z)) = 0. Řešení této v prostoru Vj lineární rovnice je jednoznačné a existuje, pokud je operátor L invertibilní. To platí pokud pro j ∈ 1, . . . , k λzj − (λz)j = λ(1 − λj−1 )zj = 0 v ryzím okolí z = 0. Protože λ je m-tá primitivní odmocnina z 1, platí tato nerovnost pro každou mocninu až do k = m, přičemž pro k = m + 1 dostáváme první rezonanční člen. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 203 / 344 8. kapitola m-fold bifurkace Odvodili jsme normální formu komplexní m-fold bifurkace (30): zn+1 = λ(α)zn + c(α)zm+1 n + O(zm+2 n ) (31) s podmínkou nedegenerovanosti c(α0) = 0. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 204 / 344 8. kapitola m-fold bifurkace Odvodili jsme normální formu komplexní m-fold bifurkace (30): zn+1 = λ(α)zn + c(α)zm+1 n + O(zm+2 n ) (31) s podmínkou nedegenerovanosti c(α0) = 0. Tato bifurkace je ve skutečnosti více podobná reálné transkritické bifurkaci, protože v okolí kritické hodnoty α0 vždy existuje kromě pevného bodu z = 0 zobrazení f také m-cyklus zobrazení f , které v kritické hodnotě parametru α = α0 splynou. Toto lze lehce vidět, protože pro g(z) = λz + czm+1 + O(zm+2) je g(m)(z) = λmz + O(z2). Pro λ(α) v ryzím okolí α0 tedy existuje nenulové řešení rovnice z = g(m)(z). L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 204 / 344 8. kapitola m-fold bifurkace Odvodili jsme normální formu komplexní m-fold bifurkace (30): zn+1 = λ(α)zn + c(α)zm+1 n + O(zm+2 n ) (31) s podmínkou nedegenerovanosti c(α0) = 0. Tato bifurkace je ve skutečnosti více podobná reálné transkritické bifurkaci, protože v okolí kritické hodnoty α0 vždy existuje kromě pevného bodu z = 0 zobrazení f také m-cyklus zobrazení f , které v kritické hodnotě parametru α = α0 splynou. Toto lze lehce vidět, protože pro g(z) = λz + czm+1 + O(zm+2) je g(m)(z) = λmz + O(z2). Pro λ(α) v ryzím okolí α0 tedy existuje nenulové řešení rovnice z = g(m)(z). Guckenheimer a McGehee ve svém článku [GM84] také ukázali, že podmínka nedegenerovanosti m-fold bifurkace v bodě z0 je v případě Mandelbrotova zobrazení vždy splněna. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 204 / 344 8. kapitola m-fold bifurkace Abychom měli lepší představu o m-fold bifurkaci, ukážeme si 3-fold bifurkaci pevného bodu 0 komplexního logistického zobrazení f (z) = az(1 − z) v okolí a0 = −1 2 + √ 3 2 i. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 205 / 344 8. kapitola m-fold bifurkace Abychom měli lepší představu o m-fold bifurkaci, ukážeme si 3-fold bifurkaci pevného bodu 0 komplexního logistického zobrazení f (z) = az(1 − z) v okolí a0 = −1 2 + √ 3 2 i. Opravdu dochází k 3-fold bifurkaci, protože pevný bod 0 má vlastní číslo f (0) = a0 = −1 2 + √ 3 2 i = 3 √ 1. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 205 / 344 8. kapitola m-fold bifurkace Abychom měli lepší představu o m-fold bifurkaci, ukážeme si 3-fold bifurkaci pevného bodu 0 komplexního logistického zobrazení f (z) = az(1 − z) v okolí a0 = −1 2 + √ 3 2 i. Opravdu dochází k 3-fold bifurkaci, protože pevný bod 0 má vlastní číslo f (0) = a0 = −1 2 + √ 3 2 i = 3 √ 1. Protože neumíme zobrazit 4-rozměrný bifurkační diagram, zobrazíme pouze 3D řez. Procházíme skrz hranici komponenty příslušné stabilnímu pevnému bodu 0 kolmo do komponenty příslušné stabilnímu 3-cyklu a zobrazujeme v závislosti na reálné složce parametru a. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 205 / 344 8. kapitola m-fold bifurkace „Mandelbrotova“ množina logistického zobrazení je zobrazena v rohu obrázku, přičemž platí samozřejmě c = 1 4a(2 − a). a stabilní pevný bodstabilní 3-cyklus nestabilní pevný bod nestabilní 3-cyklus L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 206 / 344 8. kapitola m-fold bifurkace Protože pro logistické zobrazení je komponenta M příslušná stabilnímu pevnému bodu 0 kružnice o poloměru 1 se středem v 0 a f (0) = a, dotýkají se komponenty příslušné stabilním m-cyklům vznikajícím m-fold bifurkací ve všech bodech tvaru e i2π p q , kde p q ∈ Q je zlomek v základním tvaru, tj. (p, q) = 1. Tyto primitivní odmocniny z jedné jsou proto okolo kružnice seřazeny v tzv. Fareyho posloupnosti: L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 207 / 344 8. kapitola m-fold bifurkace Vzhledem k tomu, že Douady, Hubbard a Sullivan ukázali, že pro komponenty M příslušné stabilním k-cyklům platí, že vlastní čísla těchto cyklů lze jednoznačně konformě zobrazit na jednotkové kruhy (viz např. [CG13] str. 134), vyskakuje na každé komponentě fraktální struktura Mandelbrotovy množiny daná pořadím primitivních odmocnin z jedné. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 208 / 344 8. kapitola m-fold bifurkace L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 209 / 344 8. kapitola m-fold bifurkace Cykly, které vznikají 1-fold bifurkací k-cyklů libovolné délky pak vytvářejí nové a nové vnořené fraktální struktury. A to jsme stále v M ⊂ M. Na hranici Mandelbrotovy množiny mezi těmito m-fold body, kde hustě vznikají nové komponenty M , najdeme ještě nespočetně mnoho bodů ... Mimochodem, ta hranice ∂M je souvislá a má dimenzi 2. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 210 / 344 8. kapitola m-fold bifurkace Cykly, které vznikají 1-fold bifurkací k-cyklů libovolné délky pak vytvářejí nové a nové vnořené fraktální struktury. A to jsme stále v M ⊂ M. Na hranici Mandelbrotovy množiny mezi těmito m-fold body, kde hustě vznikají nové komponenty M , najdeme ještě nespočetně mnoho bodů ... Mimochodem, ta hranice ∂M je souvislá a má dimenzi 2. No a tady je nakonec jedno pěkné video se sloučením Mandelbrotovy množiny a bifurkačního diagramu logistické rovnice. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 210 / 344 9. kapitola A další chaos L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 211 / 344 9. kapitola Co se naučíme: prozkoumáme nelineární dynamiku na kružnici L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 212 / 344 9. kapitola Co se naučíme: prozkoumáme nelineární dynamiku na kružnici poznáme Anosovovo zobrazení na toru (a Arnoldovu kočku) L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 212 / 344 9. kapitola Co se naučíme: prozkoumáme nelineární dynamiku na kružnici poznáme Anosovovo zobrazení na toru (a Arnoldovu kočku) poznáme Hénonovo zobrazení L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 212 / 344 9. kapitola Co se naučíme: prozkoumáme nelineární dynamiku na kružnici poznáme Anosovovo zobrazení na toru (a Arnoldovu kočku) poznáme Hénonovo zobrazení ukážeme si princip Smaleovy podkovy L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 212 / 344 9. kapitola Zobrazení na kružnici Zobrazení na kružnici V této kapitole se budeme zabývat hladkými zobrazeními na kružnici, které zachovávají pořadí bodů na kružnici (nevracejí se, tedy nemají kritické body). Jedno takové už známe: L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 213 / 344 9. kapitola Zobrazení na kružnici Zobrazení na kružnici V této kapitole se budeme zabývat hladkými zobrazeními na kružnici, které zachovávají pořadí bodů na kružnici (nevracejí se, tedy nemají kritické body). Jedno takové už známe: z → z2 L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 213 / 344 9. kapitola Zobrazení na kružnici Se zobrazením na kružnici S1 z → z2 jsme se setkali v předchozí kapitole. Víme, že je citlivé na počáteční podmínky, transitivní a má husté trajektorie, je topologicky ekvivalentní Bernoulliho posunu. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 214 / 344 9. kapitola Zobrazení na kružnici Se zobrazením na kružnici S1 z → z2 jsme se setkali v předchozí kapitole. Víme, že je citlivé na počáteční podmínky, transitivní a má husté trajektorie, je topologicky ekvivalentní Bernoulliho posunu. Kvadratické zobrazení v komplexním oboru jsme výhodně přepsali na interval 0, 1) pomocí transformace z = ei2πx = cos 2πx + i sin 2πx na lineární zobrazení E2 : x → 2x mod 1. Na kružnici jde tedy o pořadí zachovávající funkci, která násobí úhel dvěma. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 214 / 344 9. kapitola Zobrazení na kružnici Definujme nyní lineární zobrazení Em : x → mx mod 1, kde m > 1 je přirozené číslo. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 215 / 344 9. kapitola Zobrazení na kružnici Definujme nyní lineární zobrazení Em : x → mx mod 1, kde m > 1 je přirozené číslo. Lemma Na kružnici S1 existuje bod ei2πx takový, že trajektorie {E (k) 3 (x): k ∈ N} hustá v Cantorově množině K. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 215 / 344 9. kapitola Zobrazení na kružnici Definujme nyní lineární zobrazení Em : x → mx mod 1, kde m > 1 je přirozené číslo. Lemma Na kružnici S1 existuje bod ei2πx takový, že trajektorie {E (k) 3 (x): k ∈ N} hustá v Cantorově množině K. Důkaz: Body Cantorovy množiny mají v zápise v trojkové soustavě pouze cifry 0 a 2. Zobrazení E3 je Bernoulliho posun na Cantorově množině. K je E3-invariantní a hustá v 0, 1 . Navíc platí h ◦ E3 = E2 ◦ h, kde h přepisuje cifry z trojkového zápisu pravidlem h(0.ω1ω2 . . .3) = 0.ω1 2 ω2 2 . . .2. Toto zobrazení je monotónní a spojité h: K → 0, 1 , tedy existuje h−1. Pokud tedy vezmeme iracionální číslo x a jeho iterovanou trajektorii E2, která je hustá v 0, 1 , její vzor je iterovaná trajektorie zobrazení E3 z h−1(x) hustá v K. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 215 / 344 9. kapitola Zobrazení na kružnici Podobné trajektorie můžeme sestrojit i pro zobrazení Em, m > 3. Definice Zobrazení π: R → S1 dané předpisem π(x) = ei2πx se nazývá nakrytí. 3 resp. 0, 2π) pokud S1 ztotožníme s tímto intervalem L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 216 / 344 9. kapitola Zobrazení na kružnici Podobné trajektorie můžeme sestrojit i pro zobrazení Em, m > 3. Definice Zobrazení π: R → S1 dané předpisem π(x) = ei2πx se nazývá nakrytí. Definice Zobrazení F : R → R je lift (vynesení) funkce f : S1 → S1, jestliže je dané předpisem π ◦ F = f ◦ π. 3 resp. 0, 2π) pokud S1 ztotožníme s tímto intervalem L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 216 / 344 9. kapitola Zobrazení na kružnici Podobné trajektorie můžeme sestrojit i pro zobrazení Em, m > 3. Definice Zobrazení π: R → S1 dané předpisem π(x) = ei2πx se nazývá nakrytí. Definice Zobrazení F : R → R je lift (vynesení) funkce f : S1 → S1, jestliže je dané předpisem π ◦ F = f ◦ π. Lift vynáší funkci definovanou původně na S1 ∼ R/Z ( tj. mod 1 ) z intervalu 0, 1)3 na celé R. Lift není dán pro funkce f jednoznačně, může se lišit o celé číslo. 3 resp. 0, 2π) pokud S1 ztotožníme s tímto intervalem L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 216 / 344 9. kapitola Zobrazení na kružnici V případě zobrazení Em : R/Z → R/Z, které na kružnici reprezentuje vynásobení úhlu m× je tedy liftem libovolná přímka splňující F (x) = m splňující F(x) mod 1 = Em(x mod 1). 0 1 1 E2 L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 217 / 344 9. kapitola Zobrazení na kružnici Lemma Nechť F je lift f , pak platí F(x + 1) − F(x) ∈ Z a nezávisí na volbě x ani F. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 218 / 344 9. kapitola Zobrazení na kružnici Lemma Nechť F je lift f , pak platí F(x + 1) − F(x) ∈ Z a nezávisí na volbě x ani F. Důkaz: π(F(x + 1)) = f (π(x + 1)) = f (π(x)) = π(F(x)) tedy F(x + 1) a F(x) se mohou lišit pouze o celé číslo. Pokud ˜F je jiný lift, pak π(˜F(x)) = f (π(x)) = π(F(x)). L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 218 / 344 9. kapitola Zobrazení na kružnici Lemma Nechť F je lift f , pak platí F(x + 1) − F(x) ∈ Z a nezávisí na volbě x ani F. Důkaz: π(F(x + 1)) = f (π(x + 1)) = f (π(x)) = π(F(x)) tedy F(x + 1) a F(x) se mohou lišit pouze o celé číslo. Pokud ˜F je jiný lift, pak π(˜F(x)) = f (π(x)) = π(F(x)). Definice Číslo deg(f ) = F(x + 1) − F(x) se nazývá stupeň f . L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 218 / 344 9. kapitola Zobrazení na kružnici Difeomorfismus kružnice f zachovávající pořadí má stupeň 1. 0 1 1 f F 2π 2π L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 219 / 344 9. kapitola Zobrazení na kružnici Difeomorfismus kružnice f zachovávající pořadí má stupeň 1. 0 1 1 f F 2π 2π Definice Zobrazení f : S1 → S1 se nazývá expandující, jestliže ∃ε > 0 a λ > 1 taková, že ∀x, y ∈ R, x = y, pro které |x − y| < ε, platí |F(x) − F(y)| > λ|x − y| L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 219 / 344 9. kapitola Zobrazení na kružnici Pro expandující hladké zobrazení platí |F(x + 1) − F(x)| = 1 0 F (x + t) dt > λ > 1, musí být tedy alespoň 2. stupně. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 220 / 344 9. kapitola Zobrazení na kružnici Pro expandující hladké zobrazení platí |F(x + 1) − F(x)| = 1 0 F (x + t) dt > λ > 1, musí být tedy alespoň 2. stupně. Věta Každé expandující zobrazení na kružnici stupně k je topologicky ekvivalentní zobrazení Ek. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 220 / 344 9. kapitola Zobrazení na kružnici Pro expandující hladké zobrazení platí |F(x + 1) − F(x)| = 1 0 F (x + t) dt > λ > 1, musí být tedy alespoň 2. stupně. Věta Každé expandující zobrazení na kružnici stupně k je topologicky ekvivalentní zobrazení Ek. Důkaz: Je konstruktivní, lze jej najít v [KH97] na str. 74 a 75. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 220 / 344 9. kapitola Difeomorismy na kružnici Expandující zobrazení na kružnici tedy vykazují chování, které můžeme přirovnat ke stochastickému – Bernoulliho posunu. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 221 / 344 9. kapitola Difeomorismy na kružnici Expandující zobrazení na kružnici tedy vykazují chování, které můžeme přirovnat ke stochastickému – Bernoulliho posunu. Jak je to s difeomorfismy kružnice, tedy se zobrazeními, které jsou stupně 1? L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 221 / 344 9. kapitola Difeomorismy na kružnici Expandující zobrazení na kružnici tedy vykazují chování, které můžeme přirovnat ke stochastickému – Bernoulliho posunu. Jak je to s difeomorfismy kružnice, tedy se zobrazeními, které jsou stupně 1? Budete možná překvapeni, ale tak úplně jednoduché to není ... L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 221 / 344 9. kapitola Difeomorismy na kružnici Prozkoumáme chování zobrazení na jednotkové kružnici (θ měříme v radiánech): f : θ → θ + 2πω + ε sin θ, (32) vzhledem k parametrům ω a ε. Bude nám sloužit jako prototyp vzniku Arnoldových jazyků4, které úzce souvisí s Neimarkovou–Sackerovou bifurkací a jevem synchronizace neboli vázané rotace. 4 stejně tak jako objeviteli tohoto jevu Vladimíru Arnoldovi, po němž nesou jméno L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 222 / 344 9. kapitola Difeomorismy na kružnici Prozkoumáme chování zobrazení na jednotkové kružnici (θ měříme v radiánech): f : θ → θ + 2πω + ε sin θ, (32) vzhledem k parametrům ω a ε. Bude nám sloužit jako prototyp vzniku Arnoldových jazyků4, které úzce souvisí s Neimarkovou–Sackerovou bifurkací a jevem synchronizace neboli vázané rotace. Všimněte si, že pro ε = 0 jde pouze o pootočení kružnice o úhel 2πω. V takovém případě je pro ω = p q ∈ Q každá trajektorie periodická s periodou q a pro ω ∈ R Q je tzv. kvaziperiodická (translace je konstantní, ale nedojde k „potkání“, takže hustě vyplní S1). 4 stejně tak jako objeviteli tohoto jevu Vladimíru Arnoldovi, po němž nesou jméno L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 222 / 344 9. kapitola Difeomorismy na kružnici Jako příklad periodického chování zde vidíte trajektorii 2-cyklu pro ε = 0 a ω = 1 2 a libovolně zvolenou počáteční hodnotu θ0. q qp 2p0 0 p 2p f( )q L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 223 / 344 9. kapitola Difeomorismy na kružnici Jako příklad kvaziperiodického chování zde vidíte trajektorii pro ε = 0 a ω ≈ 0.25 ∈ R Q libovolně zvolenou počáteční hodnotu θ0. q qp 2p0 0 p 2p f( )q L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 224 / 344 9. kapitola Difeomorismy na kružnici V případě, že začneme měnit hodnotu ε pro ω = 1 2 , lift F funkce f bude nelineární spojitou funkcí. Stejně tak F ◦ F = F(2). Volbou F tak, aby F(0) ∈ 0, 1), musí platit F(2)(0) = 1, protože ω = 1 2. Lift F(2)(x) − 1 musí mít pevný bod 0 a protože pro malá ε platí F(2)(0) = f (0) · f (π) = (1 + ε)(1 − ε) < 1, je stabilní. F(F(x)) F(F(x)) F(x) stabilní 2 cyklus nestabilní 2 cyklus f( ) 0x q qp 2p0 p 2p q L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 225 / 344 9. kapitola Difeomorismy na kružnici Obecný difeomorfismus f zachovávající pořadí kružnici zobrazí na kružnici tak, že některé body se zobrazí pootočeně o nějaký úhel, jiné o jiný úhel. Pokud tedy kružnici zobrazením f otáčíme mnohokrát za sebou a hodnotu zprůměrujeme, dostaneme jakési průměrné otočení. Budeme jej nazývat rotační číslo. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 226 / 344 9. kapitola Difeomorismy na kružnici Obecný difeomorfismus f zachovávající pořadí kružnici zobrazí na kružnici tak, že některé body se zobrazí pootočeně o nějaký úhel, jiné o jiný úhel. Pokud tedy kružnici zobrazením f otáčíme mnohokrát za sebou a hodnotu zprůměrujeme, dostaneme jakési průměrné otočení. Budeme jej nazývat rotační číslo. Musíme jej ale definovat korektně, tj. nezávisle na x a nezávisle na počtu provedených rotací. Měřit jej budeme v částech kruhu a použijeme tedy lift. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 226 / 344 9. kapitola Difeomorismy na kružnici Obecný difeomorfismus f zachovávající pořadí kružnici zobrazí na kružnici tak, že některé body se zobrazí pootočeně o nějaký úhel, jiné o jiný úhel. Pokud tedy kružnici zobrazením f otáčíme mnohokrát za sebou a hodnotu zprůměrujeme, dostaneme jakési průměrné otočení. Budeme jej nazývat rotační číslo. Musíme jej ale definovat korektně, tj. nezávisle na x a nezávisle na počtu provedených rotací. Měřit jej budeme v částech kruhu a použijeme tedy lift. V případě předchozího zobrazení (32) f : θ → θ + 2πω + ε sin θ, zřejmě platí, že rotační číslo odpovídá ω. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 226 / 344 9. kapitola Difeomorismy na kružnici Nejprve si připomeňme, že rotační číslo chceme definovat pro difeomorfismus f , tedy deg(f ) = 1 a pro každý jeho lift F platí F(x + 1) − F(x) = 1. Proto F(x + 1) − (x + 1) = F(x) − x, takže spojitá funkce F − id je periodická s periodou 1. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 227 / 344 9. kapitola Difeomorismy na kružnici Nejprve si připomeňme, že rotační číslo chceme definovat pro difeomorfismus f , tedy deg(f ) = 1 a pro každý jeho lift F platí F(x + 1) − F(x) = 1. Proto F(x + 1) − (x + 1) = F(x) − x, takže spojitá funkce F − id je periodická s periodou 1. Podobně to platí i pro n-tou iteraci f , f (n), jejíž lift je F(n). Spojitá funkce F(n) − id musí být tedy také 1-periodická a omezená. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 227 / 344 9. kapitola Difeomorismy na kružnici Lemma Pro lift F zobrazení f číslo ρ0(F) = lim n→∞ F(n)(x) − x n nezávisí na volbě x. Pro různé lifty F a ˜F se liší o celé číslo ρ0(F) − ρ0(˜F) = F − ˜F ∈ Z. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 228 / 344 9. kapitola Difeomorismy na kružnici Lemma Pro lift F zobrazení f číslo ρ0(F) = lim n→∞ F(n)(x) − x n nezávisí na volbě x. Pro různé lifty F a ˜F se liší o celé číslo ρ0(F) − ρ0(˜F) = F − ˜F ∈ Z. Důkaz: Pro různé x, y ∈ 0, 1) je |x −y| < 1, tedy |F(n)(x)−F(n)(y)| < 1. Proto F(n)(x) − x n − F(n)(y) − y n ≤ 1 n |F(n) (x) − F(n) (y)| + |x − y| < 2 n . L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 228 / 344 9. kapitola Difeomorismy na kružnici Definice Číslo ρ(f ) = π(ρ0(F)) se nazývá rotační číslo zobrazení f . L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 229 / 344 9. kapitola Difeomorismy na kružnici Definice Číslo ρ(f ) = π(ρ0(F)) se nazývá rotační číslo zobrazení f . Ukázali jsme, že definice je korektní, ale ne, že je vždy použitelná – chybí nám dokázat, že limita vždy existuje. Důkaz je technický, můžete jej na jít v [Dev08] na str. 105-106 nebo v [KH97] na str. 388. Zde také najdete následující významné tvrzení. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 229 / 344 9. kapitola Difeomorismy na kružnici Definice Číslo ρ(f ) = π(ρ0(F)) se nazývá rotační číslo zobrazení f . Ukázali jsme, že definice je korektní, ale ne, že je vždy použitelná – chybí nám dokázat, že limita vždy existuje. Důkaz je technický, můžete jej na jít v [Dev08] na str. 105-106 nebo v [KH97] na str. 388. Zde také najdete následující významné tvrzení. Věta Orientaci zachovávající homeomorfismus na kružnici zachovává rotační číslo. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 229 / 344 9. kapitola Difeomorismy na kružnici Lemma Pokud ρ(f ) = 0, pak má f pevný bod. Důkaz: Předpokládejme, že ρ(f ) = 0 a f nemá pevný bod. Nechť F je lift splňující F(0) ∈ 0, 1). Pokud by F(x) − x ∈ Z, byl by bod π(x) pevným bodem f , takže F(x) − x ∈ R Z pro každé x ∈ R a existuje δ > 0 takové, že 0 < δ ≤ F(x) − x ≤ 1 − δ < 1. Volbou x = F(i)(0) pro i ∈ {0, . . . , n − 1} a sečtením přes všechna i pak dostáváme δn ≤ F(n) (0) ≤ (1 − δ)n a ρ(f ) = limn→∞ F(n)(0) n = 0, spor. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 230 / 344 9. kapitola Difeomorismy na kružnici Věta ρ(f ) ∈ Q ⇐⇒ f má periodický bod. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 231 / 344 9. kapitola Difeomorismy na kružnici Věta ρ(f ) ∈ Q ⇐⇒ f má periodický bod. Důkaz: Nechť ρ(f ) = p q ∈ Q. Pak ρ(f (q)) = qρ(f ) mod 1 = 0 a f má nutně pevný bod. Naopak, pokud má periodický bod s periodou q, pak v tomto bodě x platí ρ(f (q)) = limn→∞ F(qn)(x)−x n = qρ(f ) mod 1 = 0, tedy qρ(f ) ∈ Z. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 231 / 344 9. kapitola Difeomorismy na kružnici Když tedy zkusíme pro zobrazení (32) f : θ → θ + 2πω + ε sin θ popsat dynamiku pro různá ω a ε, dostáváme bifurkační diagram rozdělující parametrický prostor do oblastí, ve kterých existují cykly různých délek a které jsou zde poskládány podle Fareyho posloupnosti. Neviděli jsme to už někde? Říká se jim Arnoldovy jazyky. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 232 / 344 9. kapitola Difeomorismy na kružnici Když tedy zkusíme pro zobrazení (32) f : θ → θ + 2πω + ε sin θ popsat dynamiku pro různá ω a ε, dostáváme bifurkační diagram rozdělující parametrický prostor do oblastí, ve kterých existují cykly různých délek a které jsou zde poskládány podle Fareyho posloupnosti. Neviděli jsme to už někde? Říká se jim Arnoldovy jazyky. Totéž platí i pro jiné nelineární difeomorfismy kružnice blízké translaci. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 232 / 344 9. kapitola Difeomorismy na kružnici Stabilní cykly existují tedy pro racionální rotační číslo v určitých intervalech. Pokud pro ε = 1 zakreslíme rotační číslo jako funkci ω, dostaneme tzv. ďábelské schosiště. Je to totiž po částech konstantní funkce a fraktál – Cantorova funkce. Je skoro všude konstantní, spojitá a přesto pokrývá interval 0, 1 : L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 233 / 344 9. kapitola Difeomorismy na kružnici Zde jsou mnohem lepší ilustrace jejichž autorem je prof. Linas Vepstas. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 234 / 344 9. kapitola Difeomorismy na kružnici Pokud se nyní vrátíte k normální formě Neimarkovy–Sackerovy bifurkace, ρ(n + 1) = ρ(n)(1 + α + a(α)ρ2 (n)) + ρ4 (n)R(ρ(n), α), ϕ(n + 1) = ϕ(n) + θ(α) + ρ2 (n)Q(ρ(n), α), vidíme, že v blízkosti kritické hodnoty této bifurkace je dynamika na vznikající invariantní smyčce systému blízká translaci o úhel θ(α). L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 235 / 344 9. kapitola Difeomorismy na kružnici Pokud se nyní vrátíte k normální formě Neimarkovy–Sackerovy bifurkace, ρ(n + 1) = ρ(n)(1 + α + a(α)ρ2 (n)) + ρ4 (n)R(ρ(n), α), ϕ(n + 1) = ϕ(n) + θ(α) + ρ2 (n)Q(ρ(n), α), vidíme, že v blízkosti kritické hodnoty této bifurkace je dynamika na vznikající invariantní smyčce systému blízká translaci o úhel θ(α). Drobná změna α tak může způsobit změnu dynamiky z kvaziperiodické na periodickou trajektorii na smyčce a naopak. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 235 / 344 9. kapitola Difeomorismy na kružnici Dvouparametrické oblasti Arnoldových jazyků jsou pak oblasti vznikající na N-S křivce omezené křivkami fold bifurkace. Kontinuovaná N-S křivka v prostoru dvou parametrů (např. α, β) totiž může měnit rotační číslo vznikající smyčky. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 236 / 344 9. kapitola Difeomorismy na kružnici Dvouparametrické oblasti Arnoldových jazyků jsou pak oblasti vznikající na N-S křivce omezené křivkami fold bifurkace. Kontinuovaná N-S křivka v prostoru dvou parametrů (např. α, β) totiž může měnit rotační číslo vznikající smyčky. Rotační číslo pro vznikající invariantní smyčku na N-S křivce odpovídá θ0 = θ(α0, β0). Pro rotační číslo θ0 = 2πp/q jde o q-fold bifurkaci zobrazení na rodící se invariantní smyčce a Arnoldovy jazyky jsou oblasti, kde existuje reálná varieta vzniklého q-cyklu. Hranice stability takového jazyka se jako variety fold bifurkace tohoto q-cyklu dotýkají v cusp bifurkaci (v q-fold) na varietě N-S. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 236 / 344 9. kapitola Difeomorismy na kružnici Pokud zobrazení přestane být difeomorfismem kružnice, může k tomu dojít buď změnou stupně, kdy dojde k vzniku expandujícího zobrazení nebo pokud zobrazení přestane zachovávat pořadí. V takovém případě vzniká ohyb podobný tomu u logistického zobrazení. Obojí je spojeno se vznikem topologicky odlišné a složité dynamiky až k transitivnímu, mixujícímu – chaotickému chování. Oba typy chování jsme si již představili dříve. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 237 / 344 9. kapitola Difeomorismy na kružnici Diskrétní dynamika na kružnici není z hlediska aplikací žádnou exotikou. Stačí spojit dva oscilátory (třeba kyvadla či metronomy nebo Zemi a Měsíc) s různými frekvencemi a dostanete dynamiku na 4-rozměrném toru. Poincarého řezem pak dostaneme diskrétní dynamiku. Oblasti stability s konstantním rotačním číslem pak odpovídají synchronizaci. V aplikacích se tomuto jevu říká vázaná rotace (mode-locking). Kromě toho, že díky tomuto jevu denně koukáme na stejnou stranu Měsíce, tak jej využíváme při laserových operacích očí, nanotechnologiích, femtosekundových synchronizacích hodin nebo pro optické ukládání dat. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 238 / 344 9. kapitola Difeomorismy na kružnici Podobně Neimarkova–Sackerova bifurkace je běžným jevem, přičemž vznik a zánik oscilací u jednoho z oscilátorů typicky vede ke vzniku toru. Ve 4D se nezobrazuje vznikající torus příliš rozumně, ale v 3D řezu je to moc pěkné (viz bakalářská práce Jana Ševčíka):Kapitola 4. Matematické modely ¹íøení reklamy 45 -1 1.4 -0.5 1.2 0 1.4 v 0.5 x2 1.21 x1 1 1 0.8 0.8 0.6 0.6 (a) Poincarého øezy v prostoru (x1, x2, v) 1.3 L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 239 / 344 9. kapitola Difeomorismy na kružnici Podobně Neimarkova–Sackerova bifurkace je běžným jevem, přičemž vznik a zánik oscilací u jednoho z oscilátorů typicky vede ke vzniku toru. Ve 4D se nezobrazuje vznikající torus příliš rozumně, ale v 3D řezu je to moc pěkné (viz bakalářská práce Jana Ševčíka):Kapitola 4. Matematické modely ¹íøení reklamy 46 (a) Poincarého øezy v prostoru (x1, x2, v) L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 239 / 344 9. kapitola Difeomorismy na kružnici Podobně Neimarkova–Sackerova bifurkace je běžným jevem, přičemž vznik a zánik oscilací u jednoho z oscilátorů typicky vede ke vzniku toru. Ve 4D se nezobrazuje vznikající torus příliš rozumně, ale v 3D řezu je to moc pěkné (viz bakalářská práce Jana Ševčíka):Kapitola 4. Matematické modely ¹íøení reklamy 47 (a) Poincarého øezy v prostoru (x1, x2, v) L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 239 / 344 9. kapitola Anosovův automorfismus na toru a Arnoldova kočka Anosovův automorfismus na toru a Arnoldova kočka Přiblížíme si nyní diskrétní dynamiku na toru. Již jsme zmínili dvě varianty porušení difeomorfismu na kružnici – expandující zobrazení a ohyb. Totéž lze pozorovat na toru. Torus dimenze n je varieta T n = S1 × · · · × S1. Vše, co bylo řečeno o zobrazení na kružnici lze tudíž aplikovat i na kartézský součin kružnic. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 240 / 344 9. kapitola Anosovův automorfismus na toru a Arnoldova kočka Anosovův automorfismus na toru a Arnoldova kočka Přiblížíme si nyní diskrétní dynamiku na toru. Již jsme zmínili dvě varianty porušení difeomorfismu na kružnici – expandující zobrazení a ohyb. Totéž lze pozorovat na toru. Torus dimenze n je varieta T n = S1 × · · · × S1. Vše, co bylo řečeno o zobrazení na kružnici lze tudíž aplikovat i na kartézský součin kružnic. Známým zobrazením na toru, které vykazuje chaotické mixování v důsledku expanze je L: x y → 2 1 1 1 x y mod 1 (33) Toto zobrazení se někdy nazývá Anosovův automorfismus na toru a někdy zobrazení Arnoldovy kočky. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 240 / 344 9. kapitola Anosovův automorfismus na toru a Arnoldova kočka Zobrazení x y → 2 1 1 1 x y zobrazuje vektor 1 0 na vektor 2 1 a vektor 0 1 na vektor 1 1 , takže se čtverec 0, 1 × 0, 1 zešikmí. 0 1 1 2 3 2 L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 241 / 344 9. kapitola Anosovův automorfismus na toru a Arnoldova kočka Při této transformaci nedojde ke změně obsahu zobrazovaného čtverce, protože det 2 1 1 1 = 1. Zobrazení je proto invertibilní a navíc směry, ve kterých dochází pouze k natažení či smrštění – tj. vlastní vektory – jsou na sebe kolmé. Vlastní čísla jsou λ1,2 = 3± √ 5 2 , tj. λ1 > 1 a λ2 < 1. 0 1 1 L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 242 / 344 9. kapitola Anosovův automorfismus na toru a Arnoldova kočka Na toru S1 × S1 toto zobrazení ale „obejde“ kružnici (i 2×) a zobrazí se na torus ( mod 1) takto: 0 1 1 2 3 2 To, že v jednom ze směrů „obcházíme“ 2× (existuje vlastní číslo λ1 = 3+ √ 5 2 > 1), způsobuje, že je zobrazení ve směru vlastního vektoru v1 expandující. Protože λ1 ∈ R Q, odpovídá Bernoulliho posunu. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 243 / 344 9. kapitola Anosovův automorfismus na toru a Arnoldova kočka Není těžké ukázat (domácí úloha), že body s racionálními souřadnicemi jsou právě preperiodické body (leží na periodických trajektoriích). L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 244 / 344 9. kapitola Anosovův automorfismus na toru a Arnoldova kočka Není těžké ukázat (domácí úloha), že body s racionálními souřadnicemi jsou právě preperiodické body (leží na periodických trajektoriích). Arnoldova kočka po 300 iteracích L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 244 / 344 9. kapitola Anosovův automorfismus na toru a Arnoldova kočka Není těžké ukázat (domácí úloha), že body s racionálními souřadnicemi jsou právě preperiodické body (leží na periodických trajektoriích). Arnoldova kočka po 300 iteracích Víte proč vidíte zase kočku? L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 244 / 344 9. kapitola Anosovův automorfismus na toru a Arnoldova kočka Není těžké ukázat (domácí úloha), že body s racionálními souřadnicemi jsou právě preperiodické body (leží na periodických trajektoriích). Arnoldova kočka po 300 iteracích Víte proč vidíte zase kočku? Napadá vás, jak toho využít k zašifrování dat? L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 244 / 344 9. kapitola Anosovův automorfismus na toru a Arnoldova kočka Druhou varianotu porušení difeomorfismu na kružnici je ohyb. Na kružnici můžeme definovat např. logistické zobrazení a chaos se projeví na 0, 1 tak, jak ho známe. Na toru to bude podobné. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 245 / 344 9. kapitola Anosovův automorfismus na toru a Arnoldova kočka Druhou varianotu porušení difeomorfismu na kružnici je ohyb. Na kružnici můžeme definovat např. logistické zobrazení a chaos se projeví na 0, 1 tak, jak ho známe. Na toru to bude podobné. Ohyb spolu s dostatečným natažením totiž, jak jsme viděli už v jednorozměrném případě kvadratické diskrétní dynamiky, vede k chaosu nezávisle na tom, zda je varieta topologicky ekvivalentní s rovinou, kružnicí, torem nebo čímkoli jiným. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 245 / 344 9. kapitola Hénonovo zobrazení Hénonovo zobrazení Astronom Michel Hénon navrhl jednoduché zobrazení jako zjednodušený model Poincarého řezu Lorenzovým atraktorem. Lorenzův atraktor jsme již objevovali v předmětu PřF:M6201 Nelineární dynamika a její aplikace. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 246 / 344 9. kapitola Hénonovo zobrazení Hénonovo zobrazení Astronom Michel Hénon navrhl jednoduché zobrazení jako zjednodušený model Poincarého řezu Lorenzovým atraktorem. Lorenzův atraktor jsme již objevovali v předmětu PřF:M6201 Nelineární dynamika a její aplikace. Jednou z významných vlastností Lorenzova atraktoru je kromě existence chaotického chování také to, že spustíme-li trajektorie z nějakého objemu v prostoru, tento objem se bude exponenciálně zmenšovat, přičemž trajektorie konvergují na atraktor. Ten má tedy nulový objem. Přesto se trajektorie skládají do nekonečně mnoha povrchů a má proto nekonečný povrch. Jde o fraktál. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 246 / 344 9. kapitola Hénonovo zobrazení Hénonovo zobrazení h : R2 → R2 má obdobné vlastnosti pro vhodně zvolené parametry, konkrétně Hénon volil a = 1.4 a b = 0.3. x(n + 1) = 1 + y(n) − ax2 (n), (34) y(n + 1) = bx(n). (35) L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 247 / 344 9. kapitola Hénonovo zobrazení Hénonovo zobrazení h : R2 → R2 má obdobné vlastnosti pro vhodně zvolené parametry, konkrétně Hénon volil a = 1.4 a b = 0.3. x(n + 1) = 1 + y(n) − ax2 (n), (34) y(n + 1) = bx(n). (35) Pokud oblast A zobrazíme tímto zobrazením na oblast A = h(A), pak její obsah splňuje A 1 dx(n + 1) dy(n + 1) = A 1 det Dh dx(n) dy(n) , kde Jacobián det Dh = −2ax(n) 1 b 0 = −b. Pro b ∈ (−1, 1) se tedy při každé iteraci zmenší obsah b×. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 247 / 344 9. kapitola Hénonovo zobrazení Všimněte si, že pro b = 0 se zobrazení redukuje na jednorozměrné kvadratické, jehož ohyb způsobuje zdvojování periody a Šarkovského řazení cyklů. Pro malé b = 0 se tedy dá očekávat, že bifurkační diagram bude podobný. Zde volíme b = 0.1 a zobrazujeme samozřejmě x(n) v závislosti na parametru a ∈ (0.5, 1.5): L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 248 / 344 9. kapitola Hénonovo zobrazení Úkol: Prostudujte Hénonovo zobrazení a zobrazte si trajektorie v okolí flip bifurkace cyklů, Neimarkovy–Sackerovy bifurkace i v oblasti chaosu. Nemusíte úplně všechno dělat sami, nechte se inspirovat. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 249 / 344 9. kapitola Princip Smaleovy podkovy Princip Smaleovy podkovy Video to vysvětlí nejlíp ... L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 250 / 344 9. kapitola Princip Smaleovy podkovy Princip Smaleovy podkovy Video to vysvětlí nejlíp ... Ve skutečnosti jsme teď viděli „přednášku“ ze symbolické dynamiky. Unimodální zobrazení (jeden ohyb, jako parabola) i Smaleova podkova (horseshoe map) jsou strukturálně stabilní – nezáleží na funkci jako takové, ale na topologii, symbolice, tvaru. Natažení, ohyb, překlopení, natažení, ohyb, překlopení – to stačí k chaosu. Pekaři to dobře vědí, mixují tak částice v těstě, je to nejúčinnější metoda. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 250 / 344 9. kapitola Princip Smaleovy podkovy Na první pohled by se mohlo zdát, že takové chování dynamiky je výjimkou, ale opak je pravdou. Smaleova podkova vzniká vždy v blízkosti homoklinické trajektorie diskrétního hyperbolického sedla. Dokonce platí Smale–Birkhoffova věta, která zaručuje tuto dynamiku vždy, když dojde k transversálnímu průsečíku p stabilní variety Ws (x0) a nestabilní variety Wu (x0) pevného bodu x0. x0 Ws (x0) Wu (x0) p f−1 (p) f−2 (p) f−3 (p) f(p) f2 (p) f3 (p) L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 251 / 344 10. kapitola Typické cesty k chaosu L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 252 / 344 10. kapitola Co se naučíme: Souvislosti mezi spojitými a diskrétními systémy L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 253 / 344 10. kapitola Co se naučíme: Souvislosti mezi spojitými a diskrétními systémy Typické změny atraktorů L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 253 / 344 10. kapitola Co se naučíme: Souvislosti mezi spojitými a diskrétními systémy Typické změny atraktorů Typické cesty k chaosu L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 253 / 344 10. kapitola Poté, co jsme prostudovali dynamiku spojitých a diskrétních dynamických systémů a její kvalitativní změny, tj. bifurkace, měli bychom v předmětu s názvem Teorie bifurkací, chaos a fraktály, definovat chaos. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 254 / 344 10. kapitola Poté, co jsme prostudovali dynamiku spojitých a diskrétních dynamických systémů a její kvalitativní změny, tj. bifurkace, měli bychom v předmětu s názvem Teorie bifurkací, chaos a fraktály, definovat chaos. Je mi líto, definici neznám. Zatím se na ní neshodli ani jiní matematici. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 254 / 344 10. kapitola Viděli jsme „divokou“ dynamiku v mnoha podobách. Většina nás zavedla do naprosto abstraktních struktur – Cantorovy množiny, rozložení racionálních čísel, komplexního prostoru a podobně. Většina matematiků se shoduje, že úzká souvislost dynamiky s teorií čísel ještě čeká na mnoho objevů. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 255 / 344 10. kapitola Viděli jsme „divokou“ dynamiku v mnoha podobách. Většina nás zavedla do naprosto abstraktních struktur – Cantorovy množiny, rozložení racionálních čísel, komplexního prostoru a podobně. Většina matematiků se shoduje, že úzká souvislost dynamiky s teorií čísel ještě čeká na mnoho objevů. Zatím ale matematici a aplikovaní matematici chaos studují a používají, přičemž se drží známých a objevených věcí – vlastností chaosu a typických cest, které k chaosu vedou. V této kapitole tak shrneme to, jaký úzus byl v této oblasti přijat. Takže nejde o matematickou kapitolu, ale spíše sociologickou studii na množině matematiků, kteří se dynamikou a jejími aplikacemi zabývali a zabývají. Shrnuje to, jaké názvosloví používají. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 255 / 344 10. kapitola Vlastnosti chaosu Vlastnosti chaosu Základními vlastnostmi chaotických trajektorií deterministických dynamických systémů jsou citlivost na počáteční podmínky L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 256 / 344 10. kapitola Vlastnosti chaosu Vlastnosti chaosu Základními vlastnostmi chaotických trajektorií deterministických dynamických systémů jsou citlivost na počáteční podmínky topologická transitivnost (mixování) L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 256 / 344 10. kapitola Vlastnosti chaosu Vlastnosti chaosu Základními vlastnostmi chaotických trajektorií deterministických dynamických systémů jsou citlivost na počáteční podmínky topologická transitivnost (mixování) husté periodické trajektorie L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 256 / 344 10. kapitola Vlastnosti chaosu Vlastnosti chaosu Základními vlastnostmi chaotických trajektorií deterministických dynamických systémů jsou citlivost na počáteční podmínky topologická transitivnost (mixování) husté periodické trajektorie L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 256 / 344 10. kapitola Vlastnosti chaosu Vlastnosti chaosu Základními vlastnostmi chaotických trajektorií deterministických dynamických systémů jsou citlivost na počáteční podmínky topologická transitivnost (mixování) husté periodické trajektorie Citlivost na počáteční podmínky se někdy označuje jako motýlí efekt. Další zkratkou je označení, že trajektorie má kladný Ljapunovův exponent. Trajektorie se od sebe ale exponenciálně vzdalují např. i v případě hyperbolického lineárního repeleru, takže chybí zmínit uzavřenost trajektorií v nějaké omezené pozitivně invariantní množině někdy označované jako oblast zachycení (trapping region). Další zkratkou je sousloví, že systém vykazuje neperiodické chování pro skoro všechny počáteční podmínky. To ale kvaziperiodicita také, a tu chaosem nenazýváme. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 256 / 344 10. kapitola Vlastnosti chaosu Podobně je obtížné definovat podivný atraktor. Většinou se pod tímto pojmem rozumí chaotický atraktor. Hénonův nebo Lorenzův atraktor jsou typické příklady diskrétního a spojitého podivného atraktoru: L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 257 / 344 10. kapitola Vlastnosti chaosu Podobně je obtížné definovat podivný atraktor. Většinou se pod tímto pojmem rozumí chaotický atraktor. Hénonův nebo Lorenzův atraktor jsou typické příklady diskrétního a spojitého podivného atraktoru: L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 257 / 344 10. kapitola Vlastnosti chaosu Existují ale i nechaotické podivné atraktory. Jedním z nich je kvaziperiodicky buzený atraktor – např. logistické rovnice – u kterého lze sledovat i přechod od nechaotického kvaziperiodického podivného atraktoru k chaotickému. Rovnice takového systému jsou např. x(n + 1) = ax(n)(1 − x(n)) + ε sin(2πθ(n)) θ(n + 1) = θ(n) + ω mod 1, kde ω ∈ R Q. Pro ε = 0 dostáváme logistickou rovnici, můžeme fixovat a tak, aby atraktor logistické rovnice byl stabilní cyklus. Při zvýšení ε > 0 dochází k buzení kvaziperiodickým signálem a objeví se podivný atraktor. Dokud není ε dost velké, případně dokud nezvedneme dostatečně a, podivný atraktor není chaotický. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 258 / 344 10. kapitola Vlastnosti chaosu 6115FRACTALIZATION OF A TORUS AS A STRANGE . . . L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 259 / 344 10. kapitola Vlastnosti chaosu Pojem atraktoru můžeme definovat různě, zde je definice Johna Milnora: Definice Uvažujme hladkou varietu M a dynamický systém na této varietě. Předpokládejme, že je na M definována míra (v lokálním souřadnicovém systému ekvivalentní Lebesgueově míře). Uzavřená množina A ⊂ M se nazývá atraktor, pokud oblast přitažlivosti A definovaná jako ρ(A) ≡ {x: x(t) → A pro t → ∞} má kladnou Lebesgueovu míru a neexistuje menší uzavřená A ⊂ A taková, že ρ(A ) = ρ(A) (až na množinu míry 0). Množinou míry nula tedy v dynamickém systému na jednorozměrné varietě rozumíme spočetnou množinu, na dvojrozměrné třeba křivku. Atraktor tedy definujeme tak, aby přitahoval skoro všechny body z uzávěru své oblasti přitažlivosti, takže jej odtud spuštěná trajektorie mine s pravděpodobností 0. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 260 / 344 10. kapitola Vlastnosti chaosu Slovo podivný se nedefinuje nijak, většinou se jím myslí to, že má atraktor fraktální strukturu. Vzhledem k tomu, jaké množství bifurkací jsme již poznali, jaké množství složitých dynamik jsme analyzovali, dá se předpokládat, že ani žádná korektní formální definice podivného atraktoru nikdy nepřijde. Co je podivné a co už ne? L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 261 / 344 10. kapitola Vlastnosti chaosu Slovo podivný se nedefinuje nijak, většinou se jím myslí to, že má atraktor fraktální strukturu. Vzhledem k tomu, jaké množství bifurkací jsme již poznali, jaké množství složitých dynamik jsme analyzovali, dá se předpokládat, že ani žádná korektní formální definice podivného atraktoru nikdy nepřijde. Co je podivné a co už ne? Ale jsou krásné, to se musí nechat... L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 261 / 344 10. kapitola Vlastnosti chaosu U složitých dynamik, které jsou citlivé na počáteční podmínky, neumíme z principu predikovat jejich chování po delší dobu. To ale neznamená, že nemůžeme o dynamice a budoucím chování systému nic říct. Pro aplikace je v případě složitých dynamik vhodnější studovat pravděpodobnosti, tedy tzv. ergodické míry daného atraktoru a definovat např. horizont prediktability. Podobně je velmi vhodné znát typické cesty nejen k chaosu, ale i k nechaotickým, jednodušším atraktorům, abychom je byli schopni rozeznat a očekávat v dynamických systémech, které modelujeme, nebo naopak z jejich existence odvozovat nutné vztahy uvnitř systémů jaksi zpětně. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 262 / 344 10. kapitola Vlastnosti chaosu U složitých dynamik, které jsou citlivé na počáteční podmínky, neumíme z principu predikovat jejich chování po delší dobu. To ale neznamená, že nemůžeme o dynamice a budoucím chování systému nic říct. Pro aplikace je v případě složitých dynamik vhodnější studovat pravděpodobnosti, tedy tzv. ergodické míry daného atraktoru a definovat např. horizont prediktability. Podobně je velmi vhodné znát typické cesty nejen k chaosu, ale i k nechaotickým, jednodušším atraktorům, abychom je byli schopni rozeznat a očekávat v dynamických systémech, které modelujeme, nebo naopak z jejich existence odvozovat nutné vztahy uvnitř systémů jaksi zpětně. Tato kapitola tedy shrne různé „pomůcky“ pro znalé modeláře. Nebudou rozhodně výčtem všech známých cest k daným dynamikám, spíš souhrnem těch typických. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 262 / 344 10. kapitola Vznik, zánik a topologická změna atraktoru Vznik, zánik a topologická změna atraktoru Diskrétnímu případu jsme se významně věnovali v předchozích kapitolách. Ve spojitém případě jsme základní bifurkace cyklů probrali v 5. kapitole. Limitní cykly a tory ve spojitých systémech jsou ale natolik časté a aplikace natolik významné, že je třeba příslušné jevy shrnout. Aplikace jsou všudypřítomné L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 263 / 344 10. kapitola Vznik, zánik a topologická změna atraktoru Vznik, zánik a topologická změna atraktoru Diskrétnímu případu jsme se významně věnovali v předchozích kapitolách. Ve spojitém případě jsme základní bifurkace cyklů probrali v 5. kapitole. Limitní cykly a tory ve spojitých systémech jsou ale natolik časté a aplikace natolik významné, že je třeba příslušné jevy shrnout. Aplikace jsou všudypřítomné fyzika (astronomie, kosmologie, elektromagnetismus, optika, ...) L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 263 / 344 10. kapitola Vznik, zánik a topologická změna atraktoru Vznik, zánik a topologická změna atraktoru Diskrétnímu případu jsme se významně věnovali v předchozích kapitolách. Ve spojitém případě jsme základní bifurkace cyklů probrali v 5. kapitole. Limitní cykly a tory ve spojitých systémech jsou ale natolik časté a aplikace natolik významné, že je třeba příslušné jevy shrnout. Aplikace jsou všudypřítomné fyzika (astronomie, kosmologie, elektromagnetismus, optika, ...) geofyzika, evoluční a populační biologie, hydrologie, klimatologie L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 263 / 344 10. kapitola Vznik, zánik a topologická změna atraktoru Vznik, zánik a topologická změna atraktoru Diskrétnímu případu jsme se významně věnovali v předchozích kapitolách. Ve spojitém případě jsme základní bifurkace cyklů probrali v 5. kapitole. Limitní cykly a tory ve spojitých systémech jsou ale natolik časté a aplikace natolik významné, že je třeba příslušné jevy shrnout. Aplikace jsou všudypřítomné fyzika (astronomie, kosmologie, elektromagnetismus, optika, ...) geofyzika, evoluční a populační biologie, hydrologie, klimatologie neurověda (vzruchy neuronů, bursting, synchronizace neuronů) L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 263 / 344 10. kapitola Vznik, zánik a topologická změna atraktoru Vznik, zánik a topologická změna atraktoru Diskrétnímu případu jsme se významně věnovali v předchozích kapitolách. Ve spojitém případě jsme základní bifurkace cyklů probrali v 5. kapitole. Limitní cykly a tory ve spojitých systémech jsou ale natolik časté a aplikace natolik významné, že je třeba příslušné jevy shrnout. Aplikace jsou všudypřítomné fyzika (astronomie, kosmologie, elektromagnetismus, optika, ...) geofyzika, evoluční a populační biologie, hydrologie, klimatologie neurověda (vzruchy neuronů, bursting, synchronizace neuronů) biochemie (autokatalytické reakce v buňkách, zpětnovazebné systémy, genová exprese, buněčné cykly, cirkadiánní rytmy, ...) L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 263 / 344 10. kapitola Vznik, zánik a topologická změna atraktoru Vznik, zánik a topologická změna atraktoru Diskrétnímu případu jsme se významně věnovali v předchozích kapitolách. Ve spojitém případě jsme základní bifurkace cyklů probrali v 5. kapitole. Limitní cykly a tory ve spojitých systémech jsou ale natolik časté a aplikace natolik významné, že je třeba příslušné jevy shrnout. Aplikace jsou všudypřítomné fyzika (astronomie, kosmologie, elektromagnetismus, optika, ...) geofyzika, evoluční a populační biologie, hydrologie, klimatologie neurověda (vzruchy neuronů, bursting, synchronizace neuronů) biochemie (autokatalytické reakce v buňkách, zpětnovazebné systémy, genová exprese, buněčné cykly, cirkadiánní rytmy, ...) inženýrství (aeroelastický jev, stavitelství, ...) L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 263 / 344 10. kapitola Vznik, zánik a topologická změna atraktoru Vznik, zánik a topologická změna atraktoru Diskrétnímu případu jsme se významně věnovali v předchozích kapitolách. Ve spojitém případě jsme základní bifurkace cyklů probrali v 5. kapitole. Limitní cykly a tory ve spojitých systémech jsou ale natolik časté a aplikace natolik významné, že je třeba příslušné jevy shrnout. Aplikace jsou všudypřítomné fyzika (astronomie, kosmologie, elektromagnetismus, optika, ...) geofyzika, evoluční a populační biologie, hydrologie, klimatologie neurověda (vzruchy neuronů, bursting, synchronizace neuronů) biochemie (autokatalytické reakce v buňkách, zpětnovazebné systémy, genová exprese, buněčné cykly, cirkadiánní rytmy, ...) inženýrství (aeroelastický jev, stavitelství, ...) computer science a numerické metody L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 263 / 344 10. kapitola Vznik, zánik a topologická změna atraktoru Vznik, zánik a topologická změna atraktoru Diskrétnímu případu jsme se významně věnovali v předchozích kapitolách. Ve spojitém případě jsme základní bifurkace cyklů probrali v 5. kapitole. Limitní cykly a tory ve spojitých systémech jsou ale natolik časté a aplikace natolik významné, že je třeba příslušné jevy shrnout. Aplikace jsou všudypřítomné fyzika (astronomie, kosmologie, elektromagnetismus, optika, ...) geofyzika, evoluční a populační biologie, hydrologie, klimatologie neurověda (vzruchy neuronů, bursting, synchronizace neuronů) biochemie (autokatalytické reakce v buňkách, zpětnovazebné systémy, genová exprese, buněčné cykly, cirkadiánní rytmy, ...) inženýrství (aeroelastický jev, stavitelství, ...) computer science a numerické metody ekonomie a epidemiologie (endogenní cykly) L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 263 / 344 10. kapitola Vznik, zánik a topologická změna atraktoru Částečně tak zopakujeme uvedené bifurkace, ale tentokrát je dáme do souvislosti s diskrétní dynamikou. Poincarého řez atraktorem spojitého systému je totiž atraktorem odvozeného diskrétního systému a tak diskrétní dynamika, kterou jsme prostudovali a popsali v řezu reprezentuje typické změny spojitých atraktorů. V případě vzniku chaotických trajektorií se dokonce podle nich rozlišují tzv. cesty k chaosu (routes to chaos) flip bifurkace – zdvojování periody L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 264 / 344 10. kapitola Vznik, zánik a topologická změna atraktoru Částečně tak zopakujeme uvedené bifurkace, ale tentokrát je dáme do souvislosti s diskrétní dynamikou. Poincarého řez atraktorem spojitého systému je totiž atraktorem odvozeného diskrétního systému a tak diskrétní dynamika, kterou jsme prostudovali a popsali v řezu reprezentuje typické změny spojitých atraktorů. V případě vzniku chaotických trajektorií se dokonce podle nich rozlišují tzv. cesty k chaosu (routes to chaos) flip bifurkace – zdvojování periody Neimarkova–Sackerova bifurkace – kvaziperiodicita, vznik toru L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 264 / 344 10. kapitola Vznik, zánik a topologická změna atraktoru Částečně tak zopakujeme uvedené bifurkace, ale tentokrát je dáme do souvislosti s diskrétní dynamikou. Poincarého řez atraktorem spojitého systému je totiž atraktorem odvozeného diskrétního systému a tak diskrétní dynamika, kterou jsme prostudovali a popsali v řezu reprezentuje typické změny spojitých atraktorů. V případě vzniku chaotických trajektorií se dokonce podle nich rozlišují tzv. cesty k chaosu (routes to chaos) flip bifurkace – zdvojování periody Neimarkova–Sackerova bifurkace – kvaziperiodicita, vznik toru fold bifurkace 3 cyklu (n-cyklu) – intermitence L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 264 / 344 10. kapitola Vznik, zánik a topologická změna atraktoru Částečně tak zopakujeme uvedené bifurkace, ale tentokrát je dáme do souvislosti s diskrétní dynamikou. Poincarého řez atraktorem spojitého systému je totiž atraktorem odvozeného diskrétního systému a tak diskrétní dynamika, kterou jsme prostudovali a popsali v řezu reprezentuje typické změny spojitých atraktorů. V případě vzniku chaotických trajektorií se dokonce podle nich rozlišují tzv. cesty k chaosu (routes to chaos) flip bifurkace – zdvojování periody Neimarkova–Sackerova bifurkace – kvaziperiodicita, vznik toru fold bifurkace 3 cyklu (n-cyklu) – intermitence Smaleova podkova – homoklinická trajektorie L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 264 / 344 10. kapitola Vznik, zánik a topologická změna atraktoru Částečně tak zopakujeme uvedené bifurkace, ale tentokrát je dáme do souvislosti s diskrétní dynamikou. Poincarého řez atraktorem spojitého systému je totiž atraktorem odvozeného diskrétního systému a tak diskrétní dynamika, kterou jsme prostudovali a popsali v řezu reprezentuje typické změny spojitých atraktorů. V případě vzniku chaotických trajektorií se dokonce podle nich rozlišují tzv. cesty k chaosu (routes to chaos) flip bifurkace – zdvojování periody Neimarkova–Sackerova bifurkace – kvaziperiodicita, vznik toru fold bifurkace 3 cyklu (n-cyklu) – intermitence Smaleova podkova – homoklinická trajektorie Shilnikovova bifurkace, ... L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 264 / 344 10. kapitola Vznik, zánik a topologická změna atraktoru Nejčastěji je vznik cyklu spojen s Hopfovou bifurkací. V případě pozvolného nárůstu oscilací v závislosti na změně nějakého parametru jde o superkritickou Hopfovu bifurkaci a chování je pravděpodobně vratné. Pokud amplituda oscilací naroste skokově, jde o subkritickou Hopfovu bifurkaci a jev vykazuje hysterezi, lze jej tudíž zvrátit obtížněji. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 265 / 344 10. kapitola Vznik, zánik a topologická změna atraktoru Nejčastěji je vznik cyklu spojen s Hopfovou bifurkací. V případě pozvolného nárůstu oscilací v závislosti na změně nějakého parametru jde o superkritickou Hopfovu bifurkaci a chování je pravděpodobně vratné. Pokud amplituda oscilací naroste skokově, jde o subkritickou Hopfovu bifurkaci a jev vykazuje hysterezi, lze jej tudíž zvrátit obtížněji. Příkladem jsou např. vzruchy neuronu (Hodgkin–Huxleyho, FitzHugh–Nagumův), aeroelastický jev, pískání, pištění brzd apod. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 265 / 344 10. kapitola Vznik, zánik a topologická změna atraktoru Skokový zánik cyklu, kterému většinou nepředchází zmenšení jeho amplitudy bývá spojen se zánikem dvou cyklů fold bifurkací nebo zánikem cyklu na separatrix sedla. Lze je rozlišit časovou nesymetrií v blízkosti sedla. Tento jev je většinou nevratný. Fold bifurkace LC Homoklinická bifurkace L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 266 / 344 10. kapitola Vznik, zánik a topologická změna atraktoru Další zániky cyklů jsou méně časté a mohou se objevit až od dimenze 3 – homoklinická trajektorie sedlo-ohniska a zánik stabilního cyklu subkritickou flip bifurkací. Tento případ je někdy v Poincarého řezu nazýván nekorektně vidličkovou bifurkací, která v případě symetrie může nastat také, šlo by ale o dva nestabilní cykly, nikoliv o jeden na varietě topologie Möbiova proužku. Homoklinická trajektorie ohnisko-sedla Subkritická flip bifurkace cyklu L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 267 / 344 10. kapitola Vznik, zánik a topologická změna atraktoru Stabilní cyklus, který se rozdvojí na varietě topologie Möbiova proužku je v Poincarého řezu flip bifurkací pevného bodu, který je jednou z cest k chaotické dynamice, která nese název zdvojování periody nebo subharmonická kaskáda. Superkritická flip bifurkace cyklu Typickým příkladem spojitého dynamického systému s chaotickým atraktorem, který vzniká z cyklu zdojováním periody je Rösslerův systém. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 268 / 344 10. kapitola Vznik, zánik a topologická změna atraktoru Parametry dynamického systému ale nemusí projít celou kaskádu Šarkovského řazení. Např. x(n + 1) = (3.6 − b2)x(n)(1 − x(n)) pro parametr b ∈ (−1.5, 1.5) se v okolí b = 0 navrací zpět k 2-cyklu a rovnováze. Tyto „bubliny“ jsou v bifurkačních diagramech docela častým jevem: b x L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 269 / 344 10. kapitola Vznik, zánik a topologická změna atraktoru Další exotické změny jsme zmínili u bifurkací cyklů v 5. kapitole. Zánik stabilního cyklu a vznik velmi zvláštní struktury katastrofou „z čistého nebe“: Subkritická flip bifurkace cyklu Subkritická Neimarkova-Sackerova bifurkace cyklu Blue-sky katastrofa Fold bifurkace limitního cyklu na toru L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 270 / 344 10. kapitola Vznik, zánik a topologická změna atraktoru Zánik stability cyklu, v jehož okolí existuje nestabilní torus subkritickou NS bifurkací:Subkritická flip bifurkace cyklu Subkritická Neimarkova-Sackerova bifurkace cyklu Blue-sky katastrofa L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 271 / 344 10. kapitola Vznik, zánik a topologická změna atraktoru Superkritická Neimarkova–Sackerova bifurkace stabilního cyklu je naopak jednou z cest k chaosu, která může vést na podivný atraktor vznikající z toru. Stabilní varieta v okolí nestabilního cyklu je zprvu úzkým torem s kvaziperiodickou nebo periodickou trajektorií, díky existenci Arnoldových jazyků může vzniknout jak stabilní cyklus na toru, tak podivný atraktor. Bifurkační diagram Poincarého řezu torem vypadá třeba takto: L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 272 / 344 10. kapitola Vznik, zánik a topologická změna atraktoru V blízkosti Neimarkovy–Sackerovy bifurkace cyklu tak můžeme na toru sledovat např. zdvojování periody cyklu (vedoucí až k chaosu): v¹echny stabilní trajektorie studovaného systému k atrahujícímu limitnímu (1, 1)-cyklu (obrázek 4.19a). Z obrázku 4.19b je zøejmé, ¾e pøi pøekroèení køivky PD1 dojde ke ztrátì stability tohoto atraktoru a souèasnému vzniku stabilního (2, 2)-cyklu v jeho okolí. Prùbìh pøechodu pøes køivku PD2 je analogický, tj. (2, 2)-cyklus ztrácí svou stabilitu a v jeho okolí vzniká stabilní (4, 4)-cyklus (obrázek 4.19c). -1 6 0 6 v x2 3 x1 1 3 0 0 0 3 6 x1 0 3 6 x2 0 2 0 2 (a) Oblast 3: stabilní limitní (1, 1)-cyklus 0 3 6 x1 0 3 6 x2 0 2 0 2 (b) Oblast 4: stabilní limitní (2, 2)-cyklus 0 3 6 x1 0 3 6 x2 0 2 0 2 (c) Oblast 4: stabilní limitní (4, 4)-cyklus L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 273 / 344 10. kapitola Vznik, zánik a topologická změna atraktoru Stejně tak může na toru zaniknout stabilní cyklus splynutím s nestabilním fold bifurkací LC a vznikne torus. Blue-sky katastrofa Fold bifurkace limitního cyklu na toru L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 274 / 344 10. kapitola Vznik, zánik a topologická změna atraktoru Příklad zániku toru fold bifurkací cyklu na něm: Kapitola 4. Matematické modely ¹íøení reklamy 48 (a) Oblast 2: stabilní kvaziperiodická trajektorie (b) Pøechod mezi oblastmi 2 a 3: slabì stabilní limitní (1, 1)-cyklus (c) Oblast 3: stabilní limitní (1, 1)-cyklus Obrázek 4.17: Ilustrace fold bifurkace limitních cyklù v prostoru (x1, x2, v)L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 275 / 344 10. kapitola Vznik, zánik a topologická změna atraktoru Další cestou k chaosu je fold bifurkace cyklu, jehož Poincarého řez je cyklus liché periody, nejčastěji 3 cyklus. V takovém případě se nacházíme na hranici stabilního okna a dynamika vykazuje tzv. intermitenci typu I, občasné přerušení oscilací chaotickým chováním. Existují intermitence typu II a III spojené s komplexním vlastním číslem a −1. a x fold 3-cyklu L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 276 / 344 10. kapitola Vznik, zánik a topologická změna atraktoru Stabilní 3-cyklus logistického zobrazení pro a = 1 + √ 8 + 0.0001: 0 20 40 60 80 100 120 140 160 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 n x L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 277 / 344 10. kapitola Vznik, zánik a topologická změna atraktoru Intermitence v blízkosti nestabilního 3-cyklu logistického zobrazení pro a = 1 + √ 8 − 0.0001: 0 20 40 60 80 100 120 140 160 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 n x L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 278 / 344 10. kapitola Vznik, zánik a topologická změna atraktoru Za zmínění stojí ještě výsledek autorů S.E. Newhouse, D. Ruelleho a F. Takense z roku 1976, kteří ukázali, že každé konstantní vektorové pole na toru T n, pro n ≥ 3 je strukturálně nestabilní, jinak řečeno libovolná malá perturbace vede k jeho kolapsu na chaotický atraktor. Ve více dimenzionálním systému tedy kvaziperiodický torus v přírodě moc nepotkáte. Tento argument shodil uznávanou Landau—Hopfovu teorii o vzniku turbulencí v kapalinách, kteří předpokládali, že vzniká navyšováním počtu frekvencí. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 279 / 344 11. kapitola Fraktály L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 280 / 344 11. kapitola Co se naučíme: definovat Haussdorfovu dimenzi L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 281 / 344 11. kapitola Co se naučíme: definovat Haussdorfovu dimenzi definovat Ljapunovovy exponenty a metody jejich nalezení L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 281 / 344 11. kapitola Co se naučíme: definovat Haussdorfovu dimenzi definovat Ljapunovovy exponenty a metody jejich nalezení ukážeme si metodu konstrukce fraktálu systémy iterovaných funkcí (IFS) L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 281 / 344 11. kapitola Všimli jste si, kolikrát jsme narazili na slovo fraktál? Mnohokrát jsme využili Cantorovu množinu, Fareyho posloupnost a rozložení racionálních čísel, opakující se strukturu v Šarkovského řazení nebo v Mandelbrotově množině, Arnoldovy jazyky v blízkosti Neimarkovy–Sackerovy bifurkace, zdvojování periody, to všechno byly fraktální struktury. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 282 / 344 11. kapitola Všimli jste si, kolikrát jsme narazili na slovo fraktál? Mnohokrát jsme využili Cantorovu množinu, Fareyho posloupnost a rozložení racionálních čísel, opakující se strukturu v Šarkovského řazení nebo v Mandelbrotově množině, Arnoldovy jazyky v blízkosti Neimarkovy–Sackerovy bifurkace, zdvojování periody, to všechno byly fraktální struktury. Ani jednou jsme fraktál nedefinovali. Stejně jako chaos. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 282 / 344 11. kapitola Všimli jste si, kolikrát jsme narazili na slovo fraktál? Mnohokrát jsme využili Cantorovu množinu, Fareyho posloupnost a rozložení racionálních čísel, opakující se strukturu v Šarkovského řazení nebo v Mandelbrotově množině, Arnoldovy jazyky v blízkosti Neimarkovy–Sackerovy bifurkace, zdvojování periody, to všechno byly fraktální struktury. Ani jednou jsme fraktál nedefinovali. Stejně jako chaos. Ani jeden pojem nemá zatím matematicky korektní definici. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 282 / 344 11. kapitola Jedna z nejlepších „definic“ fraktálu je tato: L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 283 / 344 11. kapitola Jedna z nejlepších „definic“ fraktálu je tato: Fractál je soběpodobný objekt, jehož fraktální (Hausdorffova) dimenze převyšuje topologickou dimenzi. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 283 / 344 11. kapitola Jedna z nejlepších „definic“ fraktálu je tato: Fractál je soběpodobný objekt, jehož fraktální (Hausdorffova) dimenze převyšuje topologickou dimenzi. Ale i Mandelbrot, který tuto definici zavedl (mimochodem vymyslel i slovo fraktál) od ní upustil, protože je příliš úzká v obou částech. Používal nakonec něco v tom smyslu, že fraktál je tvar vytvořený z částí, které se celku nějakým způsobem podobají. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 283 / 344 11. kapitola Pokud je fraktál složen z kopií sebe sama, můžeme tyto menší kopie použít k definici jeho dimenze. Změna měřítka se totiž projevuje v běžné dimenzi změnou objemu – ovšem s mocninou odpovídající dimenzi D. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 284 / 344 11. kapitola Pokud je fraktál složen z kopií sebe sama, můžeme tyto menší kopie použít k definici jeho dimenze. Změna měřítka se totiž projevuje v běžné dimenzi změnou objemu – ovšem s mocninou odpovídající dimenzi D. Vezměne např. jednotkový čtverec a čtverec o 3× delší straně. Obsah zvětšeného čtverce se zvětší 32×. Číslo 2 je dimenze D prostoru, ve kterém dvojrozměrné čtverce měříme. V trojrozměrném prostoru by měla krychle o hraně délky a objem aD = a3. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 284 / 344 11. kapitola Podobně se můžeme dívat i na soběpodobné objekty. Je vidět, že 1-rozměrná úsečka se rozdělí na půl a její délka také. Čtverec při změně měřítka 1 : 2 změní obsah v poměru 1 : 22, krychle v poměru 1 : 23. Sierpinského trojúhelník má tedy analogicky dimenzi D splňující 1 3 = 1 2 D , tj. D = log2 3 . = 1.585 L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 285 / 344 11. kapitola Hausdorffova dimenze Ne všechny fraktály jsou vytvořeny z kopií sebe sama, a proto vznikly různé způsoby, jak definovat jejich dimenzi. Hausdorffova dimenze je nejobecnější a vznikla ještě před zavedením slova fraktál. Definice Vnější Hausdorffovou d-dimensionální mírou množiny X v nějakém metrickém prostoru rozumíme Hd (X) = lim r→0 inf K(X) Ki rd i : kde 0 ≤ ri ≤ r a Ki ∈ K(X) , tj. ri jsou poloměry koulí Ki z pokrytí K(X) množiny X. Vybíráme tedy „nejmenší“ míru (pro d = 1 opravdu délku) tak, že projdeme všechna pokrytí koulemi různých poloměrů až do velikosti r a toto r limitně zmenšíme až k nule. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 286 / 344 11. kapitola Hausdorffova dimenze Aby Hausdorffova míra odpovídala obsahům a objemům běžných těles, bývá ještě vynásobena číslem πd/2 Γ(d/2+1). Pro definici dimenze je to nepodstatné, protože ta je definována jako následující vybrané d: Definice Hausdorffovou dimensí množiny X rozumíme dimH(X) = inf{d ≥ 0: Hd (X) = 0} L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 287 / 344 11. kapitola Hausdorffova dimenze Aby Hausdorffova míra odpovídala obsahům a objemům běžných těles, bývá ještě vynásobena číslem πd/2 Γ(d/2+1). Pro definici dimenze je to nepodstatné, protože ta je definována jako následující vybrané d: Definice Hausdorffovou dimensí množiny X rozumíme dimH(X) = inf{d ≥ 0: Hd (X) = 0} Taková definice je zcela v pořádku, ale vůbec se nehodí k výpočtům. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 287 / 344 11. kapitola Hausdorffova dimenze Místo toho se nejčastěji používá Minkowského box-counting dimenze, které někdy říká mřížková. Hodí se pro počítače, protože sčítá počet čtverců (krychlí), které množinu X pokrývají. Zmenšováním mřížky dělení se odhadne dimbox(X) = lim ε→0 ln N(ε) ln(1/ε) . L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 288 / 344 11. kapitola Hausdorffova dimenze Je asi na první pohled jasné, že taková definice nemusí být dobrá, protože limita nemusí existovat, proto někdy najdete místo limity lim sup, pak mluvíme o Kolmogorovově nebo horní Minkowského dimenzi. Všechny uvedené fraktální míry jsou používané – a nejsou ekvivalentní. Pro mnoho „rozumných“ množin (včetně fraktálů) dávají totéž, jako např. pro Sierpinského trojúhelník nebo Kochovu křivku. Na druhou stranu ale platí 0 = dimH(Q) = dimbox(Q) = 1. Hausdorffova dimenze je samozřejmě z definice menší nebo rovna Minkowského dimenzi. Pro odhad Hausdorffovy dimenze atraktorů navrhli Kaplan a Yorke využití Ljapunovových exponentů, a proto se jí někdy říká Ljapunovova dimenze. Později se ukázalo, že je pro typické chaotické atraktory totožná s tzv. informační dimenzi, která je jejich přirozenou mírou. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 289 / 344 11. kapitola Ljapunovovo spektrum Ljapunovovo spektrum Na varietě X opatřené metrikou mějme diskrétní dynamický systém daný hladkým zobrazením f : X → X a nějaký bod x, ze kterého spustíme trajektorii. Míru změny infinitesimálně blízké trajektorie spuštěné z bodu posunutého od x ve směru normovaného vektoru y můžeme měřit exponentem λ, který splňuje dn ε = |f (n) (x + εy) − f (n) (x)| ε = eλn , ε → 0 x+ y f (x) f (x + y) f (n) (x+ y) f (n) (x) dn x L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 290 / 344 11. kapitola Ljapunovovo spektrum Definice Číslo λ(x, y) = lim n→∞ 1 n ln Df (n) (x)y nazýváme Ljapunovovým exponentem z bodu x s počátečním posunutím ve směru y. Pokud x leží v oblasti přitažlivosti atraktoru, pak Osedelecova věta zaručuje existenci a nezávislost této limity na x až na množinu Lebesgueovy míry 0. Toto číslo ale bude záviset na směru posunu, přičemž na m-rozměrné varietě máme m nezávislých směrů. Pokud tedy v některém směru dojde k expanzi, bude toto λ > 0. Trajektorie v oblasti přitažlivosti chaotického atraktoru tak mají maximální Ljapunovův exponent kladný. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 291 / 344 11. kapitola Ljapunovovo spektrum Ljapunovovo spektrum je složené ze všech charakteristických Ljapunovových exponentů v tzv. hlavních směrech matice Df (x). Tyto směry odpovídají expanzi, resp. kontrakci, hlavních poloos m-rozměrného elipsoidu se středem x. Lze je získat QR rozkladem Df (x) = Q · R na ortogonální matici Q a horní trojúhelníkovou R. Matice Q rotuje, matice R natahuje nebo zkracuje dané směry. x f(x) Df(x) L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 292 / 344 11. kapitola Ljapunovovo spektrum Pokud nás zajímá, zda je atraktor chaotický, stačí vědět, že startujeme v oblasti přitažlivosti atraktoru a najít maximální Ljapunovův exponent. Pokud si uvědomíme, že Hn = Df (n) (x)T · Df (n) (x) = QT R(n)T R(n)Q, dostaneme mnohem pohodlnější postup pro jeho nalezení. Pootočení maticí Q zase QT navrátí a matice RT · R má vlastní čísla R umocněna na druhou. Můžeme tak definovat Ljapunovovo spektrum jako λi = lim n→∞ 1 2n ln yi T Hnyi , kde yi jsou vlastní vektory Hn. Libovolně zvolené y bude lineární kombinací vlastních vektorů a pro velké n tak tato limita bude konvergovat k maximálnímu Ljapunovovu exponentu. V prostoru kolmém k příslušnému vlastnímu vektoru pak můžeme hledat další exponent atd. (viz [Ott02]). L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 293 / 344 11. kapitola Ljapunovovo spektrum Seskládejme nyní Ljapunovovy exponenty dle velikosti a najdeme index j takový, že j i=1 λi ≥ 0 a n i=j+1 λi < 0 Definice Kaplanova–Yorkova dimenze atraktoru je dimKY = j + j i=1 λi |λj+1| Kaplanova–Yorkova hypotéza říká, že takto definovaná dimenze odpovídá Hausdorffově dimenzi. Toto bylo dokázáno pro dvojrozměrné diskrétní systémy. Ukázalo se ale, že je pouze odhadem Hausdorffovy dimenze a typicky platí pro informační dimenzi, která je podobná Minkowského dimenzi, ale zahrnuje nerovnoměrnost „hustoty“ atraktoru. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 294 / 344 11. kapitola Ljapunovovo spektrum Počítačové algoritmy pro výpočet fraktální dimenze mají široké využití v průmyslu (např. automatická kontrola kvality povrchu), medicíně (např. klasifikace poškození tkáně) a mnoha dalších oblastech jako součást metod rozpoznávání obrazu. Objevují se ale také aplikace na časové řady (např. finanční trhy, burzovní indexy apod.) L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 295 / 344 11. kapitola Ljapunovovo spektrum Počítačové algoritmy pro výpočet fraktální dimenze mají široké využití v průmyslu (např. automatická kontrola kvality povrchu), medicíně (např. klasifikace poškození tkáně) a mnoha dalších oblastech jako součást metod rozpoznávání obrazu. Objevují se ale také aplikace na časové řady (např. finanční trhy, burzovní indexy apod.) Fraktální dimenze a Ljapunovovy exponenty slouží k rozlišení typu atraktoru. Stabilní rovnováha má dimenzi 0, cyklus dimenzi 1, m-torus dimenzi m, přičemž stabilní cyklus má nulový jediný maximální Ljapunovův exponent, m-torus má m nulových Ljapunovových exponentů. Chaotický atraktor má nutně kladný maximální Ljapunovovův exponent a alespoň jeden nulový exponent. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 295 / 344 11. kapitola Ljapunovovo spektrum Maximální Ljapunovův exponent je také velice důležitou hodnotou pro horizont prediktability dynamiky na chaotickém atraktoru, protože chyba s ním roste exponenciálně. Řekněme, že jsme schopni na počátku rozlišit počáteční podmínky s chybou δ(0) = δ0 a jsme ochotni akceptovat za čas t predikci maximálně s chybou δ(t) = a, přičemž maximální Ljapunovův exponent je λ1, tj. δ(t) ≈ δ(0)eλ1t ≤ a, Pak t ≈ 1 λ1 ln a δ0 je maximální čas, po který zůstává nejvíce vychýlená trajektorie v této toleranci. To je základní problém, protože ln a δ0 roste velmi pomalu a takže se doba prediktability velmi obtížně zvětšuje. 1 λ1 se nazývá Ljapunovův čas a je to střední doba setrvání v daném prediktabilním stavu. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 296 / 344 11. kapitola Ljapunovovo spektrum Předpokládejme, že jsme schopni měřit poč. podmínky s chybou δ0 = 10−7 a akceptujeme max. chybu a = 10−3. Objevíme novou metodu měření nebo nový přístroj, který dokáže naměřit poč. podmínky s chybou milionkrát nižší, tj. δ0 = 10−13. Jak zlepšíme horizont prediktability? L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 297 / 344 11. kapitola Ljapunovovo spektrum Předpokládejme, že jsme schopni měřit poč. podmínky s chybou δ0 = 10−7 a akceptujeme max. chybu a = 10−3. Objevíme novou metodu měření nebo nový přístroj, který dokáže naměřit poč. podmínky s chybou milionkrát nižší, tj. δ0 = 10−13. Jak zlepšíme horizont prediktability? Původní horizont byl t1 = 1 λ1 ln 10−3 10−7 = 1 λ1 ln 104 = 4 1 λ1 ln 10 a nový horizont bude t2 = 1 λ1 ln 10−3 10−13 = 1 λ1 ln 1010 = 10 1 λ1 ln 10. Protože pracujeme s exponenty, původní horizont t1 je jen 2.5× menší než nový t2. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 297 / 344 11. kapitola Ljapunovovo spektrum Předpokládejme, že jsme schopni měřit poč. podmínky s chybou δ0 = 10−7 a akceptujeme max. chybu a = 10−3. Objevíme novou metodu měření nebo nový přístroj, který dokáže naměřit poč. podmínky s chybou milionkrát nižší, tj. δ0 = 10−13. Jak zlepšíme horizont prediktability? Původní horizont byl t1 = 1 λ1 ln 10−3 10−7 = 1 λ1 ln 104 = 4 1 λ1 ln 10 a nový horizont bude t2 = 1 λ1 ln 10−3 10−13 = 1 λ1 ln 1010 = 10 1 λ1 ln 10. Protože pracujeme s exponenty, původní horizont t1 je jen 2.5× menší než nový t2. A čím víc chceme, tím hůř to jde ... L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 297 / 344 11. kapitola Ljapunovovo spektrum Úkol: Co si myslíte o dynamice Sluneční soustavy? Je stabilní nebo je to chaotický atraktor? Co se píše na webu? Taky si přečtěte něco o rotaci Saturnova měsíce Hyperionu. Jaké jsou horizonty prediktability? L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 298 / 344 11. kapitola IFS Systémy iterovaných funkcí - IFS Iterated Function Systems Abychom si ukázali tuto základní metodu konstrukce fraktálů, musíme definovat Hutchinsonův operátor a IFS v metrickém prostoru X. Definice Nechť 2X je množina všech podmnožin X a F1, F2, ...Fn kontrakce na X. Definujeme sjednocení F kontrakcí F1, F2, ...Fn jako Hutchinsonův operátor F : 2X → 2X : F(S) = n i=1 Fi(S) pro neprázdnou kompaktní S ∈ 2X . Systému s danými F1, F2, ...Fn se říká systém iterovaných funkcí. Operátor je kontrakcí na 2X a má proto pevný bod S0 : S0 = F(S0). Navíc pro každou neprázdnou S platí F(n) (S) → S0 pro n → ∞. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 299 / 344 11. kapitola IFS Slavný Barnsleyho fraktál kapradí je tvořen lineárními zobrazeními v R2, které algortimus spouští s danými pravděpodobnostmi: Fi : x y → a b c d · x y + e f L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 300 / 344 11. kapitola IFS Slavný Barnsleyho fraktál kapradí je tvořen lineárními zobrazeními v R2, které algortimus spouští s danými pravděpodobnostmi: Fi : x y → a b c d · x y + e f a b c d = 0 0 0 0.16 , e f = 0 0 s pravděpodobností p = 0.01 L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 300 / 344 11. kapitola IFS Slavný Barnsleyho fraktál kapradí je tvořen lineárními zobrazeními v R2, které algortimus spouští s danými pravděpodobnostmi: Fi : x y → a b c d · x y + e f a b c d = 0 0 0 0.16 , e f = 0 0 s pravděpodobností p = 0.01 a b c d = 0.85 0.04 −0.04 0.85 , e f = 0 1.6 s prstí p = 0.85 L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 300 / 344 11. kapitola IFS Slavný Barnsleyho fraktál kapradí je tvořen lineárními zobrazeními v R2, které algortimus spouští s danými pravděpodobnostmi: Fi : x y → a b c d · x y + e f a b c d = 0 0 0 0.16 , e f = 0 0 s pravděpodobností p = 0.01 a b c d = 0.85 0.04 −0.04 0.85 , e f = 0 1.6 s prstí p = 0.85 a b c d = 0.2 −0.26 0.23 0.22 , e f = 0 1.6 s prstí p = 0.07 L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 300 / 344 11. kapitola IFS Slavný Barnsleyho fraktál kapradí je tvořen lineárními zobrazeními v R2, které algortimus spouští s danými pravděpodobnostmi: Fi : x y → a b c d · x y + e f a b c d = 0 0 0 0.16 , e f = 0 0 s pravděpodobností p = 0.01 a b c d = 0.85 0.04 −0.04 0.85 , e f = 0 1.6 s prstí p = 0.85 a b c d = 0.2 −0.26 0.23 0.22 , e f = 0 1.6 s prstí p = 0.07 a b c d = −0.15 0.28 0.26 0.24 , e f = 0 0.44 s prstí p = 0.07 L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 300 / 344 11. kapitola IFS Barnsleyho kapradí: L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 301 / 344 11. kapitola IFS A nelineární jsou ještě lepší – najdete je pod heslem fractal flames. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 302 / 344 12. kapitola Lorenzův atraktor L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 303 / 344 12. kapitola Co se naučíme: zopakujeme znalosti o Lorenzově systému L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 304 / 344 12. kapitola Co se naučíme: zopakujeme znalosti o Lorenzově systému dokážeme zmenšování objemu v systému L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 304 / 344 12. kapitola Co se naučíme: zopakujeme znalosti o Lorenzově systému dokážeme zmenšování objemu v systému naučíme se používat Ljapunovskou funkci L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 304 / 344 12. kapitola Co se naučíme: zopakujeme znalosti o Lorenzově systému dokážeme zmenšování objemu v systému naučíme se používat Ljapunovskou funkci prozkoumáme, které cesty k chaosu tu jsou L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 304 / 344 12. kapitola Lorenzův model Lorenzův model Byl by hřích, kdybychom v tomto předmětu minuli slavný Lorenzův model. Lorenzův chaotický atraktor je téměř synonymem chaosu a pozná jej snad každý. Zjednodušený model pohybu atmosféry uveřejnil v roce 1963 Edward Lorenz. Rovnice jsou tři: ˙x = −σ(x − y) (36) ˙y = rx − y − xz (37) ˙z = −bz + xy (38) L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 305 / 344 12. kapitola Lorenzův model Lorenzův model Byl by hřích, kdybychom v tomto předmětu minuli slavný Lorenzův model. Lorenzův chaotický atraktor je téměř synonymem chaosu a pozná jej snad každý. Zjednodušený model pohybu atmosféry uveřejnil v roce 1963 Edward Lorenz. Rovnice jsou tři: ˙x = −σ(x − y) (36) ˙y = rx − y − xz (37) ˙z = −bz + xy (38) x(t): rychlost rotace konvekčního proudění y(t): rozdíl teplot spodní a horní vrstvy z(t): odchylka teploty od její střední hodnoty L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 305 / 344 12. kapitola Lorenzův model ˙x = −σ(x − y) ˙y = rx − y − xz ˙z = −bz + xy Parametry jsou σ = ν κ: Prandtlovo číslo (kinematická viskozita/součinitel tepl. vodivosti), r = R Rc ∼ Rayleigho číslo, b = 4 (1+a2) ∼ šířka / délka konvekční buňky L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 306 / 344 12. kapitola Lorenzův model Rovnice popisující proudění vznikající vedením tepla si uvádět nebudeme (jde o parciální diferenciální rovnice). Anglický fyzik John William Strutt, 3. baron Rayleigh ukázal, že pokud R ≡ gαH3∆T νκ > Rc ≡ π4(1+a2)3 a2 , vznikají periodická řešení těchto PDR. Číslo R se proto nazývá Rayleigho číslo. Jak se zvyšuje rozdíl teplot povrchů ∆T, vedení tepla se stává nestabilní a vzniká cirkulace kapaliny. Můžete ho sledovat v hrnku horké kávy jako tmavé skvrny.... L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 307 / 344 12. kapitola Lorenzův model Model (38) potvrzuje Rayleigho výsledky o vzniku konvekčního proudění a ukazuje vznik turbulencí. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 308 / 344 12. kapitola Lorenzův model Model (38) potvrzuje Rayleigho výsledky o vzniku konvekčního proudění a ukazuje vznik turbulencí. Pro r < 1 má systém jedinou stabilní rovnováhu, která fyzikálně odpovídá systému bez proudění (vyrovnání teplot) a r = 1 je bod symetrického větvení. Převedením na centrální varietu v okolí počátku a r = 1 jsme již ukázali, že jde o bod generické vidličkové bifurkace. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 308 / 344 12. kapitola Lorenzův model Model (38) potvrzuje Rayleigho výsledky o vzniku konvekčního proudění a ukazuje vznik turbulencí. Pro r < 1 má systém jedinou stabilní rovnováhu, která fyzikálně odpovídá systému bez proudění (vyrovnání teplot) a r = 1 je bod symetrického větvení. Převedením na centrální varietu v okolí počátku a r = 1 jsme již ukázali, že jde o bod generické vidličkové bifurkace. Pokud zvyšujeme rozdíl teplot dál, vznikají turbulence – chaotický atraktor. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 308 / 344 12. kapitola Disipativita Disipativita Lorenzova systému Než si ukážeme, jak dochází v tomto modelu k chaotické dynamice, dokážeme dvě základní vlastnosti, které tento systém má: disipativitu neboli kontrakci objemu a existenci globální pozitivně invariantní množiny. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 309 / 344 12. kapitola Disipativita Disipativita Lorenzova systému Než si ukážeme, jak dochází v tomto modelu k chaotické dynamice, dokážeme dvě základní vlastnosti, které tento systém má: disipativitu neboli kontrakci objemu a existenci globální pozitivně invariantní množiny. Disipativitou dynamického systému se rozumí vlastnost, kdy kompaktní množina o objemu V(t) ve fázovém prostoru s časem zmenšuje svůj objem. Mluvíme proto o kontrakci objemu. Takové systémy jsou v přírodě běžné. Např. tlumené oscilace kyvadla v reálném prostředí s třením. Naopak konzervativní systémy zachovávají (konzervují) objem. Příkladem může být ideální kyvadlo ve vakuu – bez tření. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 309 / 344 12. kapitola Disipativita Jaká je v případě Lorenzova modelu změna objemu? L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 310 / 344 12. kapitola Disipativita Jaká je v případě Lorenzova modelu změna objemu? Představme si nějakou kompaktní množinu ve fázovém prostoru Lorenzova modelu. Spustíme trajektorie z této množiny a podíváme se, jak se za čas ∆t změní její objem. Označíme pro jednoduchost u = (˙x, ˙y, ˙z). n n n u u u dA dA nu kolm´y pr˚umˇet vektoru u na jednotkov´y norm´alov´y n je L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 310 / 344 12. kapitola Disipativita Jaká je v případě Lorenzova modelu změna objemu? Představme si nějakou kompaktní množinu ve fázovém prostoru Lorenzova modelu. Spustíme trajektorie z této množiny a podíváme se, jak se za čas ∆t změní její objem. Označíme pro jednoduchost u = (˙x, ˙y, ˙z). n n n u u u dA dA nu kolm´y pr˚umˇet vektoru u na jednotkov´y norm´alov´y n je V(t + ∆t) = V(t) + ∆t ∂V u · n dA L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 310 / 344 12. kapitola Disipativita Infinitesimální změna objemu je tedy lim ∆t→0 V(t + ∆t) − V(t) ∆t = ˙V(t) = ∂V u · n dA Podle Gaussovy věty ∂V u · n dA = V · u dV L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 311 / 344 12. kapitola Disipativita Infinitesimální změna objemu je tedy lim ∆t→0 V(t + ∆t) − V(t) ∆t = ˙V(t) = ∂V u · n dA Podle Gaussovy věty ∂V u · n dA = V · u dV Je to totéž, jako bychom „sečetli“ v každém bodě naší množiny divergenci vektorového pole. Od toho se taky divergence jmenuje divergence – je to míra toho, jak moc trajektorie divergují od daného bodu. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 311 / 344 12. kapitola Disipativita Infinitesimální změna objemu je tedy lim ∆t→0 V(t + ∆t) − V(t) ∆t = ˙V(t) = ∂V u · n dA Podle Gaussovy věty ∂V u · n dA = V · u dV Je to totéž, jako bychom „sečetli“ v každém bodě naší množiny divergenci vektorového pole. Od toho se taky divergence jmenuje divergence – je to míra toho, jak moc trajektorie divergují od daného bodu. · u = ∂ ˙x ∂x + ∂ ˙y ∂y + ∂˙z ∂z = −(σ + 1 + b) < 0 L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 311 / 344 12. kapitola Disipativita Infinitesimální změna objemu je tedy lim ∆t→0 V(t + ∆t) − V(t) ∆t = ˙V(t) = ∂V u · n dA Podle Gaussovy věty ∂V u · n dA = V · u dV Je to totéž, jako bychom „sečetli“ v každém bodě naší množiny divergenci vektorového pole. Od toho se taky divergence jmenuje divergence – je to míra toho, jak moc trajektorie divergují od daného bodu. · u = ∂ ˙x ∂x + ∂ ˙y ∂y + ∂˙z ∂z = −(σ + 1 + b) < 0 ˙V(t) = −(σ + 1 + b)V(t) ⇒ V(t) = V(0)e−(σ+1+b)t Nejenže je Lorenzův systém disipativní. Každá množina se zmenšuje exponenciálně rychle. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 311 / 344 12. kapitola Ljapunovská funkce Ljapunovská funkce Lorenzova systému Druhou vlastností je existence pozitivně invariantní množiny M, která atraktor obsahuje. Na jednoduchém příkladě si ukážeme, jak se taková množina může nalézt. Používá se k tomu Ljapunovská funkce. Definice Nechť (2) ˙x = f (x) má rovnovážný bod 0. L: Rm → R je Ljapunovská funkce, pokud je definovaná v okolí 0, je pozitivně definitní, tj. L(x) > 0 ∀x = 0 a L(0) = 0, má spojité parciální derivace a klesá podél vektorového pole dynamického systému, tj. ˙L(x(t)) = L · ˙x = L · f (x) je negativně definitní ve vhodně zvolené množině. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 312 / 344 12. kapitola Ljapunovská funkce Věta Pokud je L Ljapunovská funkce a ˙L(x(t)) je negativně definitní v celém X, pak je počátek globálně atrahující. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 313 / 344 12. kapitola Ljapunovská funkce Věta Pokud je L Ljapunovská funkce a ˙L(x(t)) je negativně definitní v celém X, pak je počátek globálně atrahující. Uvažujme systém ˙x = −x ˙y = −2y a funkci L: R2 → R danou předpisem L(x, y) = x2 + y2. Pak ˙L(x(t), y(t)) = 2x˙x + 2y ˙y = −2x2 − 4y2 < 0. Počátek je tedy globálně atrahující. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 313 / 344 12. kapitola Ljapunovská funkce Geometricky jde o velmi jednoduchou úvahu. Označíme-li vektorové pole dynamického systému u = (˙x, ˙y) = (−x, −2y) a vrstevnici L(x, y) = c, což je kružnice s vnějším normálovým vektorem L(x, y) = (2x, 2y), pak pro každou vrstevnici (c = 0) je úhel mezi vnější normálou a směrem trajektorie tupý, takže trajektorie vstupují do kružnic. L · u = | L||u| cos ϕ < 0 0 c x y L(x, y)z x y L(x, y) = x2 + y2 = c ϕ u L L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 314 / 344 12. kapitola Ljapunovská funkce Nyní použijeme velmi podobnou úvahu pro Lorenzův systém (38), ale uvažovat budeme Ljapunovskou funkci L(x, y, z) = rx2 + σy2 + σ(z − 2r)2 . Její vrstevnice jsou elipsoidy se středem [0, 0, 2r]. Ukážeme, že od jistého R > 0 elipsoid L(x, y, z) ≤ R globálně atrahuje trajektorie systému. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 315 / 344 12. kapitola Ljapunovská funkce Nyní použijeme velmi podobnou úvahu pro Lorenzův systém (38), ale uvažovat budeme Ljapunovskou funkci L(x, y, z) = rx2 + σy2 + σ(z − 2r)2 . Její vrstevnice jsou elipsoidy se středem [0, 0, 2r]. Ukážeme, že od jistého R > 0 elipsoid L(x, y, z) ≤ R globálně atrahuje trajektorie systému. Platí ˙L(x, y, z) = 2rx˙x + 2σy ˙y + 2σ(z − 2r)˙z, L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 315 / 344 12. kapitola Ljapunovská funkce Nyní použijeme velmi podobnou úvahu pro Lorenzův systém (38), ale uvažovat budeme Ljapunovskou funkci L(x, y, z) = rx2 + σy2 + σ(z − 2r)2 . Její vrstevnice jsou elipsoidy se středem [0, 0, 2r]. Ukážeme, že od jistého R > 0 elipsoid L(x, y, z) ≤ R globálně atrahuje trajektorie systému. Platí ˙L(x, y, z) = 2rx˙x + 2σy ˙y + 2σ(z − 2r)˙z, ˙L(x, y, z) = 2rx(y − x) + 2σy(rx − y − xz) + 2σ(z − 2r)(xy − bz) L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 315 / 344 12. kapitola Ljapunovská funkce Nyní použijeme velmi podobnou úvahu pro Lorenzův systém (38), ale uvažovat budeme Ljapunovskou funkci L(x, y, z) = rx2 + σy2 + σ(z − 2r)2 . Její vrstevnice jsou elipsoidy se středem [0, 0, 2r]. Ukážeme, že od jistého R > 0 elipsoid L(x, y, z) ≤ R globálně atrahuje trajektorie systému. Platí ˙L(x, y, z) = 2rx˙x + 2σy ˙y + 2σ(z − 2r)˙z, ˙L(x, y, z) = 2rx(y − x) + 2σy(rx − y − xz) + 2σ(z − 2r)(xy − bz) Po úpravě dostaneme ˙L(x, y, z) = −2σ rx2 + y2 + b(z − r)2 + 2σbr2 , takže v R3 je ˙L shora omezená a nezáporná je jen na kompaktní množině D. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 315 / 344 12. kapitola Ljapunovská funkce Pokud označíme R = max D L(x, y, z), pak pro libovolné ε > 0 bude na elipsoidu L(x, y, z) = R + ε platit ˙L(x, y, z) < 0 a tím jsme našli pozitivně invariantní L(x, y, z) ≤ R. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 316 / 344 12. kapitola Ljapunovská funkce Pokud označíme R = max D L(x, y, z), pak pro libovolné ε > 0 bude na elipsoidu L(x, y, z) = R + ε platit ˙L(x, y, z) < 0 a tím jsme našli pozitivně invariantní L(x, y, z) ≤ R. Lze ukázat, že R =    br2 pro r ≤ 1 3√ 3σ2 27 16 br4σ2 pro r > 1 3√ 3σ2 L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 316 / 344 12. kapitola Cesta k chaosu Cesta k chaosu v Lorenzově systému Nejprve tedy vidličkovou bifurkací při přechodu přes r = 1 (zvýšením rozdílu teplot horního a dolního povrchu ∆T) dochází v systému ke vzniku dvou symetrických rovnováh [± b(r − 1), ± b(r − 1), r − 1], přičemž stabilní počátek odpovídající stacionárnímu stavu bez rotace se stane nestabilním sedlem. Toto sedlo má vždy pro r > 1 jednorozměrnou nestabilní a dvojrozměrnou stabilní varietu, což lze lehce ověřit, protože Jacobiho matice v počátku Df (0) =   −σ σ 0 r −1 0 0 0 −b   má vlastní číslo −b < 0 a dvě další vlastní čísla λ1 a λ2 splňují λ1λ2 = σ(1 − r) < 0. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 317 / 344 12. kapitola Cesta k chaosu Ukázali jsme si, že nestabilní separatrix počátku (stejně tak jako ostatní trajektorie) jsou uzavřeny v pozitivně invariantní množině a musí zůstat v jistém okolí počátku. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 318 / 344 12. kapitola Cesta k chaosu Ukázali jsme si, že nestabilní separatrix počátku (stejně tak jako ostatní trajektorie) jsou uzavřeny v pozitivně invariantní množině a musí zůstat v jistém okolí počátku. Pro r < 1 jediný stabilní počátek atrahuje všechny trajektorie v R3, pro r > 1 vidličkovou bifurkací vzniklé stabilní rovnováhy (ohniska) vytvoří své oblasti přitažlivosti a obě nestabilní separatrix počátku náleží každá jedné z oblastí přitažlivosti nově vzniklých rovnováh. x z L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 318 / 344 12. kapitola Cesta k chaosu Stabilní ohniska ovšem pro σ > b + 1 a parametr rHB = σ(σ + b + 3) σ − b − 1 svou stabilitu ztratí subkritickou Hopfovou bifurkací. Lorenz používal hodnoty σ = 10 a b = 8/3, pro ně pak bifurkační diagram vypadá nějak takto: r x 0 1 rHB stabiln´ı ohnisko nestabiln´ı nestabiln´ı ohnisko cyklus rhom L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 319 / 344 12. kapitola Cesta k chaosu Všimněte si, že subkritická bifurkace znamená, že v okolí stabilního ohniska existuje nestabilní cyklus. Vzhledem k symetrii systému existuje rhom, ve kterém se oba cykly najednou rozpadnou na separatrix sedla – počátku. x z L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 320 / 344 12. kapitola Cesta k chaosu Pokud budeme sledovat oblast parametrů, kde rhom < r < rHB (pro standardní parametry asi 13, 9 < r < 24, 7), zde existuje dvojí chování. V okamžiku, kdy oblast přitažlivosti zachytí trajektorii v blízkosti stabilního ohniska, je dynamika predikovatelná, odpovídá tlumeným oscilacím. Mimo tuto oblast se trajektorie přechodně chová chaoticky. Mluvíme o přechodném chaosu – transient chaos. Připomíná to preperiodické body Bernoulliho posunu, racionální čísla s velmi vysokým jmenovatelem v základním tvaru. x z L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 321 / 344 12. kapitola Cesta k chaosu Přechodný chaos v Lorenzově systému L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 322 / 344 12. kapitola Cesta k chaosu Úplný chaos vzniká v okamžiku zániku stabilních ohnisek pro r = rHB. Trajektorie jsou „polapeny“ v oblasti přitažlivosti podivného atraktoru a protože rovnováhy nejsou stabilní a cykly zmizely, střídají křídla atraktoru. Ale jaký typ chaosu tu je? L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 323 / 344 12. kapitola Cesta k chaosu Úplný chaos vzniká v okamžiku zániku stabilních ohnisek pro r = rHB. Trajektorie jsou „polapeny“ v oblasti přitažlivosti podivného atraktoru a protože rovnováhy nejsou stabilní a cykly zmizely, střídají křídla atraktoru. Ale jaký typ chaosu tu je? To prozkoumáme na Poincarého řezu atraktorem v oblasti úplného chaosu: L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 323 / 344 12. kapitola Cesta k chaosu Vzhedem k tomu, co již víme o jednodimenzionálních zobrazeních, tvar stanu (ač není jednodimenzionální) nás okamžitě směřuje ke zdvojování periody. Jde ovšem o zdvojování periody cyklu, takže vznikají Möbiovy proužky a proužky z proužků atd. V blízkosti fold bifurkace cyklu (např. 3-cyklu Poincarého zobrazení) vzniká samozřejmě intermitence. To všechno si osaháme na cvičení. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 324 / 344 12. kapitola Cesta k chaosu Vzhedem k tomu, co již víme o jednodimenzionálních zobrazeních, tvar stanu (ač není jednodimenzionální) nás okamžitě směřuje ke zdvojování periody. Jde ovšem o zdvojování periody cyklu, takže vznikají Möbiovy proužky a proužky z proužků atd. V blízkosti fold bifurkace cyklu (např. 3-cyklu Poincarého zobrazení) vzniká samozřejmě intermitence. To všechno si osaháme na cvičení. Pro velká r Lorenzův atraktor kolabuje do stabilního cyklu, přičemž stabilní okna jsou pro σ = 10, b = 8 3 např. r ∈ (99.534, 100.795), r ∈ (145.96, 166.07) nebo r ∈ (214.364, ∞). Některé cykly jsou uzly, což není překvapivé. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 324 / 344 12. kapitola Cesta k chaosu Vzhedem k tomu, co již víme o jednodimenzionálních zobrazeních, tvar stanu (ač není jednodimenzionální) nás okamžitě směřuje ke zdvojování periody. Jde ovšem o zdvojování periody cyklu, takže vznikají Möbiovy proužky a proužky z proužků atd. V blízkosti fold bifurkace cyklu (např. 3-cyklu Poincarého zobrazení) vzniká samozřejmě intermitence. To všechno si osaháme na cvičení. Pro velká r Lorenzův atraktor kolabuje do stabilního cyklu, přičemž stabilní okna jsou pro σ = 10, b = 8 3 např. r ∈ (99.534, 100.795), r ∈ (145.96, 166.07) nebo r ∈ (214.364, ∞). Některé cykly jsou uzly, což není překvapivé. Najdete zde samozřejmě mnoho cest k chaosu - intermitenci, homoklinickou trajektorii, zdvojování periody .... To, že zde dochází k ohybu a střídání „křídel“ umožňuje vysvětlit také tvar centrální variety triviální rovnováhy. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 324 / 344 12. kapitola Fraktální dimenze a Ljapunovovo spektrum Fraktální dimenze a Ljapunovovo spektrum Z definice musí platit, že Ljapunovovo spektrum Lorenzova atraktoru splňuje λ1 + λ2 + λ3 = −(σ + 1 + b) < 0, takže na chaotickém atraktoru musí být λ1 > 0, λ2 = 0 a λ3 = −(σ + 1 + b) − λ1. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 325 / 344 12. kapitola Fraktální dimenze a Ljapunovovo spektrum Fraktální dimenze a Ljapunovovo spektrum Z definice musí platit, že Ljapunovovo spektrum Lorenzova atraktoru splňuje λ1 + λ2 + λ3 = −(σ + 1 + b) < 0, takže na chaotickém atraktoru musí být λ1 > 0, λ2 = 0 a λ3 = −(σ + 1 + b) − λ1. Kaplanova–Yorkova dimenze chaotického Lorenzova atraktoru (L) je pak dána vztahem dimKY (L) = 2 + λ1 λ1+σ+1+b > 2. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 325 / 344 12. kapitola Fraktální dimenze a Ljapunovovo spektrum Fraktální dimenze a Ljapunovovo spektrum Z definice musí platit, že Ljapunovovo spektrum Lorenzova atraktoru splňuje λ1 + λ2 + λ3 = −(σ + 1 + b) < 0, takže na chaotickém atraktoru musí být λ1 > 0, λ2 = 0 a λ3 = −(σ + 1 + b) − λ1. Kaplanova–Yorkova dimenze chaotického Lorenzova atraktoru (L) je pak dána vztahem dimKY (L) = 2 + λ1 λ1+σ+1+b > 2. Pro standardní parametry σ = 10, b = 8 3 a r = 28 je numericky vypočtená hodnota maximálního Ljapunovova exponentu λ1 = 0.9056, tedy dimKY . = 2.062. Haussdorfova dimenze pro standardní parametry je odhadována numericky na 2.06 ± 0.01. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 325 / 344 12. kapitola Fraktální dimenze a Ljapunovovo spektrum V roce 2016 Genadij A. Leonov s kolegy našli analytický přístup založený na Ljapunovských funkcích a v [LKKK16] publikovali exaktní vzorec pro kvalitní horní odhad Kaplanovy–Yorkovy dimenze chaotického Lorenzova atraktoru na široké množině parametrů, včetně standardních, tvaru: dimKY (L) = 3 − 2 σ + 2 b + 2 σ + 1 + (σ − 1)2 + 4 σ r L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 326 / 344 12. kapitola Fraktální dimenze a Ljapunovovo spektrum V roce 2016 Genadij A. Leonov s kolegy našli analytický přístup založený na Ljapunovských funkcích a v [LKKK16] publikovali exaktní vzorec pro kvalitní horní odhad Kaplanovy–Yorkovy dimenze chaotického Lorenzova atraktoru na široké množině parametrů, včetně standardních, tvaru: dimKY (L) = 3 − 2 σ + 2 b + 2 σ + 1 + (σ − 1)2 + 4 σ r Horní hranici Kaplanovy–Yorkovy dimenze (shodnou s informační dimenzí) tak odhaduje pro standardní parametry na 3 − 82 33 + 3 √ 1201 . = 2.4 L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 326 / 344 13. kapitola Řízení chaosu a synchronizace L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 327 / 344 13. kapitola Co se naučíme: OGY metodu L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 328 / 344 13. kapitola Co se naučíme: OGY metodu popsat synchronizaci oscilací L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 328 / 344 13. kapitola Co se naučíme: OGY metodu popsat synchronizaci oscilací znát synchronizaci chaotické dynamiky L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 328 / 344 13. kapitola Řízení chaosu Řízení chaosu V roce 1982 plánovala NASA vyslání rakety k Giaccobiniho–Zinnerově kometě. Napadla je ale levněší varianta, než posílat loď ze Země. Využít sondu, která již ukončila svou misi v blízkosti Měsíce, ale měla zbytky paliva. Dynamický systém Země-Měsíc-sonda je chaotický a vyčkáním na vhodný okamžik bylo možné využít gravitace Měsíce k urychlení sondy a k jejímu vyslání ke kometě hluboko do Sluneční soustavy. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 329 / 344 13. kapitola Řízení chaosu Pravděpodobně šlo o první využití chaotické trajektorie a tzv. řízení (kontroly) chaosu. Možnost řízení chaotické dynamiky (chaos control) a synchronizace se tak na konci minulého století dostaly do popředí vědeckého zájmu vzhledem k možným aplikacím v šifrovaném přenosu dat, v elektrotechnice a mechatronice (boost convertery), aplikacích využívajících tunelového jevu kvantové mechaniky (Josephsonův jev), mechanice, fyzice (řízení turbulencí, laserů, chaosu v plazmě), strojírenství (řízení oscilací), chemickém a zpracovatelském průmyslu (míchání, zpracování tekoucích materiálů), biologii, ekologii, ekonomii a medicíně (mikro biosensory). L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 330 / 344 13. kapitola Řízení chaosu Pravděpodobně šlo o první využití chaotické trajektorie a tzv. řízení (kontroly) chaosu. Možnost řízení chaotické dynamiky (chaos control) a synchronizace se tak na konci minulého století dostaly do popředí vědeckého zájmu vzhledem k možným aplikacím v šifrovaném přenosu dat, v elektrotechnice a mechatronice (boost convertery), aplikacích využívajících tunelového jevu kvantové mechaniky (Josephsonův jev), mechanice, fyzice (řízení turbulencí, laserů, chaosu v plazmě), strojírenství (řízení oscilací), chemickém a zpracovatelském průmyslu (míchání, zpracování tekoucích materiálů), biologii, ekologii, ekonomii a medicíně (mikro biosensory). V roce 1990 Ott, Grebogi a Yorke uvedli praktickou metodu (úspěšnou i v aplikacích) stabilizace nestabilních chaotických cyklů. Metoda je založena na faktu, že chaotický atraktor obsahuje nekonečné husté množství nestabilních cyklů. Ty jsou stabilizovány malými perturbacemi kontrolního parametru. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 330 / 344 13. kapitola Řízení chaosu Uvažujme zobrazení x(n + 1) = f (x(n), a), (39) kde a je dostupný parametr, který můžeme změnit v nějakém okolí své „nominální“ hodnoty a0. Označme x∗(a) nestabilní pevný bod zobrazení (39). V malém okolí a0 můžeme aproximovat x(n + 1) − x∗ (a0) = Df (x∗ (a0), a0)(x(n) − x∗ (a0)) + c(a − a0), (40) kde c = ∂f ∂a (x∗(a0), a0) je sloupcový vektor. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 331 / 344 13. kapitola Řízení chaosu Vzhledem k transitivnosti a hustotě chaotické trajektorie musí v nějakém malém okolí x∗(a0) pro nějaké x(n) platit a − a0 = −k · (x(n) − x∗ (a0)) (41) L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 332 / 344 13. kapitola Řízení chaosu Vzhledem k transitivnosti a hustotě chaotické trajektorie musí v nějakém malém okolí x∗(a0) pro nějaké x(n) platit a − a0 = −k · (x(n) − x∗ (a0)) (41) Substitucí (41) do (40) dostaneme x(n + 1) − x∗ (a0) = (Df (x∗ (a0), a0) − ck)(x(n) − x∗ (a0)). Volbou k = (k1, . . . , km) můžeme dosáhnout stability regulovaného pevného bodu, tj. najdeme k tak, aby |Df (x∗ (a0), a0) − ck| < 1. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 332 / 344 13. kapitola Synchronizace Podobně jako řízení dynamiky v blízkosti nestabilních cyklů a jejich stabilizace je v praxi velice využitelná synchronizace cyklů více oscilátorů nebo chaotických atraktorů. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 333 / 344 13. kapitola Synchronizace Podobně jako řízení dynamiky v blízkosti nestabilních cyklů a jejich stabilizace je v praxi velice využitelná synchronizace cyklů více oscilátorů nebo chaotických atraktorů. Periodické nebo chaotické oscilátory je možné synchronizovat pomocí vnější síly L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 333 / 344 13. kapitola Synchronizace Podobně jako řízení dynamiky v blízkosti nestabilních cyklů a jejich stabilizace je v praxi velice využitelná synchronizace cyklů více oscilátorů nebo chaotických atraktorů. Periodické nebo chaotické oscilátory je možné synchronizovat pomocí vnější síly vzájemně spřažením L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 333 / 344 13. kapitola Synchronizace Podobně jako řízení dynamiky v blízkosti nestabilních cyklů a jejich stabilizace je v praxi velice využitelná synchronizace cyklů více oscilátorů nebo chaotických atraktorů. Periodické nebo chaotické oscilátory je možné synchronizovat pomocí vnější síly vzájemně spřažením šumem L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 333 / 344 13. kapitola Synchronizace Podobně jako řízení dynamiky v blízkosti nestabilních cyklů a jejich stabilizace je v praxi velice využitelná synchronizace cyklů více oscilátorů nebo chaotických atraktorů. Periodické nebo chaotické oscilátory je možné synchronizovat pomocí vnější síly vzájemně spřažením šumem sdružením mnoha oscilátorů L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 333 / 344 13. kapitola Synchronizace Podobně jako řízení dynamiky v blízkosti nestabilních cyklů a jejich stabilizace je v praxi velice využitelná synchronizace cyklů více oscilátorů nebo chaotických atraktorů. Periodické nebo chaotické oscilátory je možné synchronizovat pomocí vnější síly vzájemně spřažením šumem sdružením mnoha oscilátorů L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 333 / 344 13. kapitola Synchronizace Podobně jako řízení dynamiky v blízkosti nestabilních cyklů a jejich stabilizace je v praxi velice využitelná synchronizace cyklů více oscilátorů nebo chaotických atraktorů. Periodické nebo chaotické oscilátory je možné synchronizovat pomocí vnější síly vzájemně spřažením šumem sdružením mnoha oscilátorů Rozlišujeme úplnou synchronizaci L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 333 / 344 13. kapitola Synchronizace Podobně jako řízení dynamiky v blízkosti nestabilních cyklů a jejich stabilizace je v praxi velice využitelná synchronizace cyklů více oscilátorů nebo chaotických atraktorů. Periodické nebo chaotické oscilátory je možné synchronizovat pomocí vnější síly vzájemně spřažením šumem sdružením mnoha oscilátorů Rozlišujeme úplnou synchronizaci fázovou synchronizaci L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 333 / 344 13. kapitola Synchronizace Podobně jako řízení dynamiky v blízkosti nestabilních cyklů a jejich stabilizace je v praxi velice využitelná synchronizace cyklů více oscilátorů nebo chaotických atraktorů. Periodické nebo chaotické oscilátory je možné synchronizovat pomocí vnější síly vzájemně spřažením šumem sdružením mnoha oscilátorů Rozlišujeme úplnou synchronizaci fázovou synchronizaci zobecněnou synchronizaci L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 333 / 344 13. kapitola Synchronizace Pro popis úplné nebo fázové synchronizace můžeme použít následujícího triku. Na typickém periodickém atraktoru (limitním cyklu, toru nebo vhodném chaotickém atraktoru) definujeme průsečíky Poincarého řezem v čase ti θ(t) = 2π t − tn tn+1 − tn Pro limitní cyklus je x(tn) = x(tn+1) a čas T = tn+1 − tn je periodou cyklu a ˙θ = f (θ), kde f je difeomorfismem na kružnici. Synchronizaci fáze tedy lze vysvětlit Arnoldovými jazyky. Jednoduchý příklad jsme si uvedli v předmětu Nelineární dynamika jako synchronizaci dvou spřažených oscilátorů fold bifurkací na kružnici, zvanou také SNIPER – Saddle-Node Infinite PERiod bifurcation. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 334 / 344 13. kapitola Synchronizace Uvažujme dva dynamické systémy v Rm vzájemně provázané C ∈ Rm × Rm (matice sil, např. diagonální). ˙x = f (x) + C(y − x), ˙y = f (y) + C(x − y). (42) Předpokládejme, že nejprve pro C = 0 systémy dokonvergují do blízkosti svého globálního atraktoru (cyklu, toru, chaotického atraktoru) v m-rozměrném stavovém prostoru. Pokud budeme měnit C, např. zvyšovat hodnoty na diagonále, bude systém (42) v 2m-rozměrném prostoru, přičemž u = x + y, v = x − y splňují následující: ˙u = ˙x + ˙y = f (x) + f (y), trajektorie popsaná pomocí u(t) je tedy trajektorie na atraktoru. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 335 / 344 13. kapitola Synchronizace Druhá proměnná představuje rozdíl mezi trajektoriemi. ˙v = ˙x − ˙y = f (x) − f (y) − 2Cv a v = 0 je rovnováhou. Tato rovnováha představuje synchronizovanou dynamiku na atraktoru. Linearizací ale dostáváme, že ˙v = Df (ξ(t)) − 2C v, kde ξ(t) je trajektorie na atraktoru. Proto dostatečná velikost provázání C vede nutně k synchronizaci. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 336 / 344 13. kapitola Synchronizace Dalším typickým příkladem synchronizace jsou systémy typu „master–slave“, kdy řídící signál hlavního systému (master) synchronizuje podřízený systém (slave). Zde si ukážeme synchronizaci podřízeného systému s hlavním systémem – Lorenzovým chaotickým atraktorem, tj. ˙x = −σ(x − y), ˙y = rx − y − xz, ˙z = −bz + xy se standardními parametry. Podřízený systém z hlavního přebírá pouze x(t), tj. jde o dvojrozměrný neautonomní systém ˙ys = rx(t) − ys − x(t)zs, ˙zs = −bzs + x(t)ys. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 337 / 344 13. kapitola Synchronizace Úplnou synchronizaci master a slave chaotických signálů lze dokázat nalezením Ljapunovské funkce pro systém, který je rozdílem stavových proměnných obou atraktorů. Označme ey = y − ys a ez = z − zs. Pak platí ˙ey = −ey − x(t)ez, ˙ez = −bez + x(t)ey, což je systém s nulovou rovnováhou. Ljapunovská funkce L(ey, ez) = e2 y + e2 z je pozitivně definitní a platí ˙L(t) = 2ey ˙ey + 2ez ˙ez = −2e2 y − 2be2 z < 0 všude kromě počátku, takže se podřízený systém musí synchronizovat s hlavním dokonce exponenciálně rychle. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 338 / 344 13. kapitola Synchronizace Podobně může dostatečně silný bílý šum, kterému jsou vystaveny dva totožné systémy, způsobit to, že se synchronizují. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 339 / 344 13. kapitola Literatura [CG13] Lennart Carleson and Theodore W Gamelin, Complex dynamics, Springer Science & Business Media, 2013. [Dev08] Robert Devaney, An introduction to chaotic dynamical systems, Westview press, 2008. [Dev20] Robert L Devaney, A first course in chaotic dynamical systems: Theory and experiment, second edition, CRC Press, Taylor & Francis Group, 2020. [GM84] John Guckenheimer and Richard McGehee, A proof of the mandelbrot n2 conjecture, Institut Mittag-Leffler, 1984. [Haj19] Veronika Hajnova, Bialternate matrix products and its application in bifurcation theory, 2019. [Irw01] Michael Charles Irwin, Smooth dynamical systems, vol. 17, World Scientific, 2001. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 340 / 344 13. kapitola Literatura [KH97] Anatole Katok and Boris Hasselblatt, Introduction to the modern theory of dynamical systems, vol. 54, Cambridge university press, 1997. [Kuz13] Yuri A Kuznetsov, Elements of applied bifurcation theory, vol. 112, Springer Science & Business Media, 2013. [LKKK16] GA Leonov, NV Kuznetsov, NA Korzhemanova, and DV Kusakin, Lyapunov dimension formula for the global attractor of the lorenz system, Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation 41 (2016), 84–103. [Ott02] Edward Ott, Chaos in dynamical systems, Cambridge university press, 2002. [Shi01] Leonid P Shilnikov, Methods of qualitative theory in nonlinear dynamics, vol. 5, World Scientific, 2001. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 341 / 344 13. kapitola Literatura [Shi12] Andrey Shilnikov, Complete dynamical analysis of a neuron model, Nonlinear Dynamics 68 (2012), no. 3, 305–328. [SK08] Andrey Shilnikov and Marina Kolomiets, Methods of the qualitative theory for the hindmarsh–rose model: A case study–a tutorial, International Journal of Bifurcation and chaos 18 (2008), no. 08, 2141–2168. [Wig03] Stephen Wiggins, Introduction to applied nonlinear dynamical systems and chaos, vol. 2, Springer Science & Business Media, 2003. L. Přibylová ·Bifurkace, chaos a fraktály ·13. června 2021 342 / 344 Děkuji Vám za pozornost!