1. vnitrosemestrální písemka - MIN101 - podzim 2019 - 21. 10.
Veškeré odpovědi musí být zdůvodněny a výpočty musí být doprovozeny komentářem. (Řešení sestávající pouze z odpovědí budou považována za opsaná a hodnocena 0 body.)
1. (1.4 bodu) V rovině IR2 uvažujme body A, B, R, počátek O a přímku p,
A = [8, 3],   B =[2,5],   i? =[9,7],   O =[0,0]   a  p : [7, -4] + í(2, 3).
a) Určete obsah trojúhelníku ABO.
b) Nechť q je přímka procházející body A a B. Určete průsečík přímek p a q.
c) Určete body C a D tak, aby AB byla strana čtverce ABCD, který celý leží v 1. kvadrantu.
d) Určete bod P na úsečce AB, jehož vzdálenost od bodu R je rovna 5. V částech c) a d) určete všechna řešení, existuje-li jich více.
2. (0.9 bodu) Skupina osmi spolužáků (čtyři dívky a čtyři chlapci) chce jít do kina, mezi nimi jsou Petr, Honza a Eva. V kině si všichni sednou do stejné řady, ve které je osm sedadel. Do sálu přijdou až za tmy, takže se do této řady rozmístí náhodně. Uvažme následující jevy:
• Jev A: Alespoň jeden z dvojice Petr, Honza sedí na krajním sedadle.
• Jev B: Mezi Petrovými sousedy není Honza.
• Jev C: Petr si sedne vedle Evy.
• Jev D: Žádné dvě dívky nesedí vedle sebe.
Určete pravděpodobnost jevů A, B, C a D. Dále určete pravděpodobnost, že Petr si sedne vedle Evy za předpokladu, že žádné dvě dívky nesedí vedle sebe (což je podmíněná pravděpodobnost P(C\D)).
Poznámka : Výsledek stačí napsat pomocí zlomků a faktoriálů, tj. není třeba ho dále upravovat.
3. (0.7 bodu) Je dána relace p na množině M. Ve všech případech rozhodněte, zda se jedná o relaci ekvivalence. Je-li tomu tak, popište třídy rozkladu množiny M podle relace p.
a) M = R2 a
(a, b)p(c, d)        det ^  ^ = 0.
b) M = M2\{(0,0)} a
(a,b)p(c,d) ^h(ac  bdj = 1.
c) M = M2\{(0,0)} a
Cl C
(a,b)p(c,d)       h[b  d ) = 2.
d) M = [y = ax + b \ (a, b) G M2, (a, b) ^ (0, 0)} je množina přímek v rovině, které nejsou rovnoběžné s osou y a nesplývají s osou x, a
(a, b)p(c, d)        det ^  ^ = 0. Zde h{ ) označuje hodnost matice.
Řešení a bodování
a) [0.2 bodu] Hledaný obsah S je roven
^^!|det (H) ^l|det (2 s)^'40-6'-17'
[0.1 b za postup a 0.1b za správný výsledek].
b) [0.3 bodu] Potřebujeme řešení soustavy
[7,-4] + í(2, 3) = [8,3] + s(-6,2),
což je t = 2 a s = —\. Průsečík je tedy [7, —4] + 2(2, 3) = [11, 2], [0.2b za postup a 0.1b za správný výsledek].
c) [0.4 bodu] Platí A~Ě = (-6,2), tedy směr kolmý na je dán vektorem n = (2,6), [0.1b], kde ||n|| = ||Ao||. Jelikož AB má být strana čtverce, nutně buď C = B + n a D = A + n nebo C = B —n a D = A — n (rozmyslete si obrázek!), [0.1b]. V prvním případě máme
C* = [2,5]+ (2,6) = [4,11]   a   D = [8, 3] + (2, 6) = [10, 9],
a tedy všechny body A, B, C i D leží v 1. kvadrantu, [0.1b]. V druhém případě máme D = [8, 3] — (2, 6) = [6, —3], tj. bod D by se ocitl mimo 1. kvadrant, [0.1b]. Existuje tedy jediné řešení.
d) [0.5 bodu] Bod P je tvaru P = [8, 3] + r(-6, 2), kde 0 < r < 1, [0.1b], přičemž chceme = 5, [0.1b]. Tedy
5 = ||fíP|| = ||(-1 - 6r,-4 + 2r)|| = y/(-í - 6r)2 + (-4 + 2r)2 = V^Or2 - 4r + 17.
Toto vede na rovnici 10r2 — r — 2 = 0, [0.1b], která má kořeny \ a —|, [0.1b]. Pouze jedno řešení tedy vyhovuje podmínce: 0 < \, tedy jediným řešením je bod P = [8, 3] + ^(—6, 2) = [5, 4], [0.1b].
2. Jev A, [0.2 bodu]: Pro případ, kdy Petr a Honza sedí na krajních sedadlech, existuje 2(8 — 2)! možností. Případů, kde právě jeden z dvojice Honza, Martin je na krajním sedadle, je 4 • 6 • 6!. Tedy
= 2-6Í+4.6-6! = 13 1 ' 8! 28'
Jev B, [0.2 bodu]: Sedí-li Petr na jednom z krajních sedadel, pak je 6 • 6! možností. Sedí-li Petr na některém pevně zvoleném sedadle „uvnitř", máme 6 • 5 • 5!. Tedy
= 2 -(6 -6!) + 6 -(6 -5 -5!) = 3 1  ' 8! 4'
Jiná úvaha: doplněk Bc jevu B znamená, že Petr a Honza sedí vedle sebe. Tedy P(BC) = P(C) = 2'g,6! = ^ (viz úvaha níže).
Jev C, [0.1 bodu]: Dvojici Petr + Eva chápeme jako jednu osobu, tedy
™ = 2-£ = k-
Jev D, [0.1 bodu]: Máme dvě možnosti pro „střídavé" rozmístění CDCDCDCD nebo DCDCDCDC, tedy celkem 2 • (4!)2 rozesazení. [Už za tuto úvahu je 0.1b]. Dále jsou možné případy, kde je právě jedna dvojice sousedních chlapců, např. DCCDCDCD. Pak jsou nutně dívky na krajních sedadlech a pro umístění dvojice sousedních chlapců máme 3 možností. Celkem tedy
1   ' 8! 14
P(C\D), [0.3 bodu]: Máme P(C\D) = P{p^] ■ Sousední dvojici Petr + Eva lze umístit 2 • 7 způsoby do „střídavých" rozesazení a 3 • 6 způsoby do „nestřídavých" rozesazení, tj.
3.    a) [0.1 bodu]: Relace p není tranzitivní: např. (0, 0)p(l,l) a (0, 0)p(l,2), ale (1,1)^/(1,2).
b) [0.2 bodu]: Relace p je ekvivalence, přičemž třída rozkladu určená prvkem (a, b) je
[(a, b)]p = {(ka, kb)\keR,k^ 0},
což lze interpretovat jako přímku v rovině procházející počátkem, ze které počátek odstraníme.
c) [0.1 bodu]: Relace p není reflexivní: např. (1,1)//(1,1).
d) [0.3 bodu]: Relace p je ekvivalence. Třída rozkladu určená prvkem (a,b), tj. přímkou y = ax + b, je tvořena přímkami y = k(ax + b), k ^ 0; všechny takové přímky se protínají v bodě [—^, 0] pro a 7^ 0. Tedy třída rozkladu [ax + 6]p pro a ^ 0 je tvořena přímkami z M procházejícími bodem [— ^, 0] a třída rozkladu [ax + b]p pro a = 0, b =/= 0 je tvořena přímkami z M, které jsou rovnoběžné s osou x.