Písemná práce Geometrie 2, 27.10.2017 Ukázka řešení AI Určete příklad rovin a a (3 v A4, které jsou různoběžné a mají společný právě jeden bod. Řešením jsou například roviny a a (3: a = X =[0,0, 0, 0] + t(l, 0, 0, 0) + s(0,1, 0, 0) /3 = X = [0,0, 0, 0] + m(0, 0,1, 0) + n{0, 0, 0,1) Tyto roviny se protínají v bodě P = [0, 0, 0, 0], vektory musí odpovídat našemu schématu //>< />< />< />< \ tXj " / >> / >> / >> />< ^ j * k určení rovin potřebujeme celkem čtyři nezávislé vektory. tXj tXj tXj \o o o 0/ Bl Určete příklad rovin a a (3 v Ai, které jsou mimoběžné a mají společný jeden směr. Pro //>< />> />> />> \ tXj " />> />> />> />< tento případ vypadá naše schéma takto: 0 0 0 0 , tedy jeden z určujících vektorů / použiji dvakrát (směr určený tímto vektorem bude právě ten společný) a body musím volit tak, aby určovaly vektor LN s předchozími třemi (nejjednodušeji dám jedničku do souřadnice, kde nemají jedničku vektory). Takové podmínky splňují například roviny: a = X =[0,0, 0, 0] + r(l, 0, 0, 0) + s(0,1, 0, 0) /3 = X = [0,0, 0,1] + m(l, 0, 0, 0) + n{0, 0,1, 0). A2 V A3 určete parametrické vyjádření nějaké přímky, která prochází bodem M = [1, 3, 2] a je různoběžná s rovinou uj = x + y — z = 0. B2 V As určete parametrické vyjádření nějaké přímky, která prochází bodem M = [1, 2, 3] a je různoběžná s rovinou i] = x + y + z = 0. Jsou-li přímka a rovina různoběžné, mají společný bod. Stačí tedy zvolit, v kterém bodě se přímka do roviny zabodne. Jeho souřadnice samozřejmě musí vyhovovat zadané rovnici roviny. Zvolíme tedy nějaký takový bod (například tak, že si zvolíme nějaké dvě jeho souřadnice a třetí z rovnice dopočítáme). Takto získáme druhý bod hledané přímky, díky kterému určíme směrový vektor přímky. Pro pro variantu A rovnici roviny vyhovuje např. bod P = [1,1,2], který nám spolu se zadaným bodem M učí vektor u = (0,2,0) ~ (0,1,0), dostaneme přímku p = X = [l,3,2]+í(0,l,0). Pro variantu B funguje např. bod P = [1,1,-2], určující spolu s M vektor u = (0,l,5),p = X = [l,2,3]+í(0,l,5). Nebo stačilo prostě něco tipnout. To by byla velká náhoda, abyste se trefili zrovna do přímky, která by byla rovnoběžná. A3 V As je dán rovnoběžnostěn ABCDEFGH. Zvolte si vhodný repér a vyjádřete s jeho pomocí souřadnice vrcholů rovnoběžnostěnu a bodu K na polopřímce FG, pro nějž platí \FK\ : \FG\ =2:1. 1 ě Zvolíme-li si například repér n = (A,AÉ,AĎ, AÉ) mají body následující souřadnice: A[0, 0, 0] protože je to počátek -B[1,0,0] dostanu se do něj po prvním vektoru C[l, 1,0] A~Ó = A~É + A~Ď D[0,1,0]... E[0,0,1] F[1,0,1] G[l,l,l] ^[0,1,1] [1,2,1] • B3 V A3 je dán rovnoběžnostěn KLMNOPQR. Zvolte si vhodný repér a vyjádřete s jeho pomocí souřadnice vrcholů rovnoběžnostěnu a bodu A který je středem hrany PQ. Zvolíme-li si například repér 11 = (K,KL,KN,KO) mají body následující souřadnice: K[0, 0, 0] protože je to počátek L[l, 0, 0] dostanu se do něj po prvním vektoru M[l, 1, 0]KÉ = KÍ + YŮ ÍV[0,1,0]... O[0,0,l] P[1,0,1] Q[l,l,l] #[0,1,1] A[l, 1/2,1] 2 A4 V IR4 jsou dány báze U = {ui,U2, ^3,^4} a W = {wi,W2, W3, uu},ui = (1,2, 3,4), «2 = (0,1 (0,0, 2,1)~^~( ~2, l,0),m= (1,0,0,0),^ (0,1,0, 0), w% = (0, 0,1,0), W4 = (0, 0, 0,1). Pomocí matice přechodu od U k W určete, jakou orientaci má báze W, prohlásíme-li U za kladnou. B4 V IR4 jsou dány báze U = {ui,U2, «3, «4} a W = {wi,W2, W3, W4}, u\ = (1, 2,3,4), «2 = (0,1,-1,1),^ = (o,o,2,i),^~(17271,0),m =Tl,T"m),^2 "(1,-1,1,1),^ = (1,1,— 1,1), = (1,1,1,—1) Pomocí matice přechodu od U k W určete, jakou orientaci má báze W, prohlásíme-li U za kladnou. Matici přechodu od U k W dostanu tak, že si do matice sepíšu po sloupcích prvně vektory báze ti, poté W. Upravím-li řádkovými úpravami U vlevo na jednotkovou matici, dostanu vpravo hledanou matici přechodu. Protože se ve variantě A i B báze U shodují, provedeme oba případy naráz: / 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 \ 2 1 0 2 0 1 0 0 1 -1 1 1 3-12 1 0 0 1 0 1 1 -1 1 ^411 1 0 0 0 1 1 1 1 -1 / /1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 \ 0 1 0 0 -2 1 0 0 -1 -3 -1 -1 0 - -12- -2 -3 0 1 0 -2 -2 -4 -2 1 1 - -4 -4 0 0 1 -3 -3 -3 -5 J 0 0 0 7 -3 -1 2 5 11 7 1 \ 0 1 0 0 2 1 0 0 -1 -3 -1 -1 ... r^j 0 0 6 0 — 16 6 4 -2 -8 -20 -16 -4 \o 0 0 6 1 3 1 -2 1 -5 -1 / 1 0 0 0 7/6 -1/2 -1/6 1/3 5/6 11/6 7/6 1/6 \ 0 1 0 0 -2 1 0 0 -1 -3 -1 -1 0 0 1 0 -8/3 1 2/3 -1/3 -4/3 -10/3 -8/3 -2/3 ^00 0 1 -1/6 1/2 1/6 -1/3 1/6 -5/6 -1/6 5/6 yi Matice přechodu je tedy v případě A: a v případě B: 7/6 -1/2 -1/6 1/3 \ -2 1 0 0 -8/3 1 2/3 -v v -1/6 1/2 1/6 -1/3 J 5/6 11/6 7/6 1/6 \ -1 -3 -1 -1 -4/3 -10/3 -8/3 -2/3 v 1/6 -5/6 -1/6 5/6 / Je-li determinant matice přechodu kladné číslo, jsou báze shodně orientovány, je-li to číslo záporné, jsou orientovány opačně. 7/6 -1/2 -1/6 1/3 detA -2 1 -8/3 1 -1/6 1/2 0 2/3 1/6 0 -1/3 -1/3 -1/6, tj. báze je opačně záporně orientovaná. 3 detB 5/6 -1 -4/3 1/6 11/6 -3 -10/3 -5/6 7/6 1/6 -1 -1 -8/3 -2/3 -1/6 5/6 4/3, tj. báze je stejně (kladně) orientovaná. Orientaci lze samozřejmě zjistit i pomocí výpočtů dvou determinantů: 10 0 1 detU detWA 2 10 2 3-121 4 111 10 0 0 0 10 0 0 0 10 0 0 0 1 -6 !ale pozor! báze je definována jako kladná! tj. je opačného znamínka a tedy záporně orientovaná. detWs -8, je tedy shodně (kladně) orientovaná. A5 V A% určete neparametrické vyjádření roviny g, která obsahuje přímky p = {A; L(u)} aq = {B;L(v)}, kde A = [3, -1,2], u = (5,2,4), B = [8,1,6], í; = (3,1,-2). Dvě různoběžky určují rovinu (p a q jsou různoběžky, protínají se v bodě B, pro potvrzení stačí dosadit t = 1). Rovina má parametrické vyjádření g = X = [3, —1, 2] + ŕ(5, 2,4) + s(3,1, —2). Pro převod do neparametrického vyjádření použijme např. metodu vyloučení parametrů, rovina je nadrovinou v A3, potřebujeme proto 1 rovnici, ve které se nám odupraví parametry. Z rovnic pro jednotlivé souřadnice bodů roviny vytvoříme matici a pod čarou vytvoříme na místě tas nuly: \ /1 s X y z b s x y z b 5 3 -1 0 0 -3 5 3 -1 0 0 -3 2 1 0 -i 0 1 0 -1 2 - 5 0 11 \4 -2 0 0 -1 -2 / -22 4 0 -5 2 ( 1 s X y b \ 5 3 -1 0 0 -3 0 -1 2 -5 0 11 0 -40 110 -5 -240 j V posledním řádku už máme vyloučené parametry, získáváme hledanou rovnici roviny —AOx + 110?/ — 5,2 = —240, což je po úpravě 8x — 22y + z = 48. B5 V A3 určete neparametrické vyjádření roviny g, která prochází bodem M = [4, 0, — 1] obsahuje přímku p = {A; L(u)}, kde A = [2,1, 2], u = (—2,1, 3). Bod M leží na přímce p, tedy pomocí něj nemůžeme vytvořit další vektor, který by spoluurčil rovinu. Řešením jsou všechny roviny, které prochází přímkou p. Roviny mají parametrické vyjádření g = X = [2,1, 2]+ŕ(—2,1,3) + s(a, b, c).Jejich neparametrické vyjádření zjistíme např. metodou vyloučení parametrů. \ t s x y z b \ f t s x y z 6 -2 a -1 0 0 -2 1 b 0 -i 0 -1 1 b 0 -i 0 -1 -2 a -1 0 0 -2 v 3 c 0 0 -1 -2 y1 \ 3 c 0 0 -1 -2 4 í t s 1 6 O a + 26 \ O 36 c O y z 1 O 2 O 1 O a 26 V 0 o x O O Ž/ -1 -2 -3 1 z O O & \ -1 -4 1 / 36 -3a-2c a+ 26 -1 -4 106-4c / Naše roviny mají tedy tvar (36 — c)x — (3a + 2c)y + (a + 26)z = —a + 106 roviny dostaneme volbou za parametry a, b, c. Namátkou například: 4c. Konkrétní a = 1,6 = c = 0 6 = l,a = c = 0 c = l,a = 6 = 0 -3y + z = -1; 3x + 2^ = 10; -x -2y = -4. 5