Derivace a integrály v praxi Zuzana Došlá Masarykova univerzita, Brno 5. října 2020 Zuzana Došlá (Masarykova univerzita) Derivace a integrály v praxi 5. října 2020 1 / 17 Myšlenka na úvod Skutečným problémem (aplikované) matematiky je, že je jako vzduch, který dýcháme. Je životně důležitá pro všechno, co děláme, aleje neviditelná a lehko ignorovatelná. Chris Budd Zuzana Došlá (Masarykova univerzita) Derivace a integrály v praxi 5. října 2020 2 / 17 O Jak si naplánovat cestu? O Evoluce je dokonalá. O Chemické úlohy: jak se mění koncentrace roztoku O Koncentrace látky v krvi Q Úlohy z ekonomie Zuzana Došlá (Masarykova univerzita) Derivace a integrály v praxi 5. října 2020 3 / 17 Jak si naplánovat cestu? Zuzana Došlá (Masarykova univerzita) Derivace a integrály v praxi 5. října 2020 4 / 17 Něco na zahřátí Jak se co nejrychleji dostat z ostrova domů, když ostrov je 2 km daleko od pobrežia domov je dalších 6 km daleko? Předpokládejme, že jsme v dobré kondici a tak plaveme rychlostí 4 km/h a jdeme rychlostí 8 km/h. Zuzana Došlá (Masarykova univerzita) Derivace a integrály v praxi 5. října 2020 5 / 17 Něco na zahřátí s Zuzana Došlá (Masarykova univerzita) Derivace a integrály v praxi 5. října 2020 6 / 17 Evoluce je dokonalá Zuzana Došlá (Masarykova univerzita) Derivace a integrály v praxi 5. října 2020 7 / 17 Evoluce je dokonalá Pro ryby plovoucí relativní rychlostí v vůči plynoucí vodě je výdaj energie E za jednotku času přímo úměrný v3. Předpokládá se, že se ryby snaží minimalizovat energii potřebnou k překonání dané vzdálenosti. Jakou rychlostí mají ryby tedy ideálně plavat, aby minimalizovaly energii vydanou na cestu proti proudou o rychlosti u do vzdálenosti L. Zuzana Došlá (Masarykova univerzita) Derivace a integrály v praxi 5. října 2020 8 / 17 <□► < [f? ► < -E ► < -Ž ► Š 'O Q, O Zuzana Došlá (Masarykova univerzita) Derivace a integrály v praxi 5. října 2020 9 / 17 E (y) = k-t-v3 = k L ■v v — u Zuzana Došlá (Masarykova univerzita) Derivace a integrály v praxi 5. října 2020 9 / 17 Chemické úlohy <□► < [f? ► < -E ► < -Ž ► -Š 'O Q, O Zuzana Došlá (Masarykova univerzita) Derivace a integrály v praxi 5. října 2020 10 / 17 Jak se mění pH roztoku Základní charakteristikou kyselosti, či zásaditosti látek je tzv. pH (power of hydrogen). Je dáno vztahem pH = -log [H30 (1) kde [HsO+] značí koncentraci oxoniových iontů v roztoku. a) Nakreslete graf funkce pH. b) Co se stane s hodnotou pH, zvýší-li se koncentrace oxoniových iontů? c) Vyjádřete koncentraci oxoniových iontů v závisloti na pH roztoku. Jak se mění molární koncentrace roztoku Molární koncentrace cy vyjadřuje množství látky (počet molů) v jednom litru roztoku. Je dána vztahem cv = f (2) kde n je látkové množství rozpuštěné látky a V je objem rozpouštědla. Co se stane s hodnotou molární koncetrace, zvýší-li se objem rozpouštědla V dvakrát a látkové množství rozpuštěné látky zůstane stejné? Koncentrace látky v krvi Zuzana Došlá (Masarykova univerzita) Derivace a integrály v praxi 5. října 2020 13 / 17 Jak se mění koncentrace drogy Koncentrace C (i) jisté drogy v krevním oběhu za dobu t hodin po jejím vpichu do svalové tkáně je dána vztahem C(t) = 2t 16 +13' a) Určete, kdy je koncentrace nejvyšší. b) Načrtněte graf funkce C(t). (3) □ Zuzana Došlá (Masarykova univerzita) Derivace a integrály v praxi 5. října 2020 14 / 17 Koncentrace účinné látky v krvi Účinná látka je vstříknuta do krve v čase t = 0. Koncentrace c(t) této látky v krevním oběhu je dána vztahem c(t) = e~l - e~2t. (4) a) Určete, kdy je koncentrace látky v krvi nejvyšší. b) Načrtněte graf funkce c(í). Zuzana Došlá (Masarykova univerzita) Derivace a integrály v praxi 5. října 2020 15 / 17 Úlohy z ekonomie Zuzana Došlá (Masarykova univerzita) Derivace a integrály v praxi 5. října 2020 16 / 17 Maximální zisk Výrobce může prodat x výrobků v ceně C = 200 - 0,01 x za výrobek, přičemž náklady na výrobu x výrobků jsou N = 50x + 20000. Při jaké produkci bude zisk maximální? Zuzana Došlá (Masarykova univerzita) Derivace a integrály v praxi 5. října 2020 17 / 17