Derivace a integrály v praxi Zuzana Došlá Masarykova univerzita, Brno 13. října 2020 Zuzana Došlá (Masarykova univerzita) Derivace a integrály v praxi 13. října 2020 1 / 24 Myšlenka na úvod Skutečným problémem (aplikované) matematiky je, že je jako vzduch, který dýcháme. Je životně důležitá pro všechno, co děláme, aleje neviditelná a lehko ignorovatelná. — Chris Budd Seminář 6.října 2020 O Jak si naplánovat cestu? Evoluce je dokonalá. Iva Michalcové O Chemické úlohy: jak se mění koncentrace roztoku Iva Rambousková, Aneta Benešová Q Koncentrace látky v krvi. Adriana Kabátová, Natálie Kozlovská O Úloha z ekonomie I. David Daniš Seminář 13.října 2020 O Problém letecké společnosti. Marika Kaňová Q Problém stavby silážní jámy. Lucie Vytlačilová O Problém středověkého stavitele. Petra Trkanová O Problém gondoliera. Zdeněk Lukeš Zuzana Došlá (Masarykova univerzita) Derivace a integrály v praxi 13. října 2020 3 / 24 Seminář 20.října O Problém líného kosa O Problém lomu světla (Snellův zákon) O Jak vzniká duha Zuzana Došlá (Masarykova univerzita) Derivace a integrály v praxi 13. října 2020 4 / 24 Jak si naplánovat cestu? Zuzana Došlá (Masarykova univerzita) Derivace a integrály v praxi 13. října 2020 5 / 24 Něco na zahřátí Jak se co nejrychleji dostat z ostrova domů, když ostrov je 2 km daleko od pobrežia domov je dalších 6 km daleko? Předpokládejme, že jsme v dobré kondici a tak plaveme rychlostí 4 km/h a jdeme rychlostí 8 km/h. Zuzana Došlá (Masarykova univerzita) Derivace a integrály v praxi 13. října 2020 6 / 24 Něco na zahřátí s Zuzana Došlá (Masarykova univerzita) Derivace a integrály v praxi 13. října 2020 7 / 24 Evoluce je dokonalá Zuzana Došlá (Masarykova univerzita) Derivace a integrály v praxi 13. října 2020 8 / 24 Evoluce je dokonalá Pro ryby plovoucí relativní rychlostí v vůči plynoucí vodě je výdaj energie E za jednotku času přímo úměrný v3. Předpokládá se, že se ryby snaží minimalizovat energii potřebnou k překonání dané vzdálenosti. Jakou rychlostí mají ryby tedy ideálně plavat, aby minimalizovaly energii vydanou na cestu proti proudou o rychlosti u do vzdálenosti L. Zuzana Došlá (Masarykova univerzita) Derivace a integrály v praxi 13. října 2020 9 / 24 Zuzana Došlá (Masarykova univerzita) Derivace a integrály v praxi 13. října 2020 10 / 24 E (y) = k-t-v3 = k L ■v v — u Zuzana Došlá (Masarykova univerzita) Derivace a integrály v praxi 13. října 2020 10 / 24 Chemické úlohy <□► < [f? ► < -E ► < -Ž ► -Š 'O Q, O Zuzana Došlá (Masarykova univerzita) Derivace a integrály v praxi 13. října 2020 11 / 24 Jak se mění pH roztoku Základní charakteristikou kyselosti, či zásaditosti látek je tzv. pH (power of hydrogen). Je dáno vztahem pH = -log [H30 (1) kde [HsO+] značí koncentraci oxoniových iontů v roztoku. a) Nakreslete graf funkce pH. b) Co se stane s hodnotou pH, zvýší-li se koncentrace oxoniových iontů? c) Vyjádřete koncentraci oxoniových iontů v závisloti na pH roztoku. Zuzana Došlá (Masarykova univerzita) Derivace a integrály v praxi 13. října 2020 12 / 24 Jak se mění molární koncentrace roztoku Molární koncentrace cy vyjadřuje množství látky (počet molů) v jednom litru roztoku. Je dána vztahem cy = n V (2) kde n je látkové množství rozpuštěné látky a V je objem rozpouštědla Co se stane s hodnotou molární koncetrace, zvýší-li se objem rozpouštědla V dvakrát a látkové množství rozpuštěné látky zůstane stejné? Zuzana Došlá (Masarykova univerzita) Derivace a integrály v praxi 13. října 2020 13 / 24 Koncentrace látky v krvi Zuzana Došlá (Masarykova univerzita) Derivace a integrály v praxi 13. října 2020 14 / 24 Jak se mění koncentrace drogy Koncentrace C (i) jisté drogy v krevním oběhu za dobu t hodin po jejím vpichu do svalové tkáně je dána vztahem C(t) = 2t 16 +13' a) Určete, kdy je koncentrace nejvyšší. b) Načrtněte graf funkce C(t). (3) □ ä? Zuzana Došlá (Masarykova univerzita) Derivace a integrály v praxi 13. října 2020 15 / 24 Koncentrace účinné látky v krvi Účinná látka je vstříknuta do krve v čase t = 0. Koncentrace c(t) této látky v krevním oběhu je dána vztahem c(t) = e~l - e~2t. (4) a) Určete, kdy je koncentrace látky v krvi nejvyšší. b) Načrtněte graf funkce c(í). Zuzana Došlá (Masarykova univerzita) Derivace a integrály v praxi 13. října 2020 16 / 24 Úlohy z ekonomie Zuzana Došlá (Masarykova univerzita) Derivace a integrály v praxi 13. října 2020 17 / 24 Maximální zisk Výrobce může prodat x výrobků v ceně C = 200 - 0,01 x za výrobek, přičemž náklady na výrobu x výrobků jsou N = 50x + 20000. Při jaké produkci bude zisk maximální? Zuzana Došlá (Masarykova univerzita) Derivace a integrály v praxi 13. října 2020 18 / 24 beminar 13. ríjna <□► < [f? ► < -E ► < -Ž ► Š 'O Q, O Zuzana Došlá (Masarykova univerzita) Derivace a integrály v praxi 13. října 2020 19 / 24 Problém letecké společnosti <□► < [f? ► < -E ► < -Ž ► Š 'O Q, O Zuzana Došlá (Masarykova univerzita) Derivace a integrály v praxi 13. října 2020 20 / 24 1. Problém letecké společnosti Cena letenky vyhlídkového letu je 100 EUR, jestliže se ho zúčastní 50 — 100 turistů. Za každého pasažéra nad 100 se snižuje jeho cena o 0,5 EUR každému z nich. Letadlo má 200 míst. Při jakém počtu účastníků bude mít letecká společnost maximální zisk? Zuzana Došlá (Masarykova univerzita) Derivace a integrály v praxi 13. října 2020 21 / 24 2. Problém stavby silážní jámy Silářní jáma má tvar pravoúhlého rovnoběžnostěnu s objemem 200 m. Délka je čtyřnásobkem šírky; 1 m2 základny je dvakrát levnější než 1 m2 stěny. Jaké mají být rozměry silážní jámy, aby její stavba byla co nejlevnější? Zuzana Došlá (Masarykova univerzita) Derivace a integrály v praxi 13. října 2020 22 / 24 3. Problém stredovekého stavitele Středověký stavitel má tento problém: Má železný pás o délce 200 palců a chtěl by z něj udělat rám románského okna. Jakou má zvolit šířku okna, aby do chrámu procházelo co nejvíce světla (resp. aby okno mělo co největší plochu)? Zuzana Došlá (Masarykova univerzita) Derivace a integrály v praxi 13. října 2020 23 / 24 4. Problém gondoliera Představte si, že jste v Benátkach a řídíte gondolu plnou turistů. Náhle před sebou vidíte ostrou pravoúhlou zatáčku. Předpokládejme, že se nacházíte v kanálu šířky a a druhý kanál má šířku b. Najděte nejdelší možnou tyč, kterou se můžete dostat z jednoho kanálu do druhého. Zuzana Došlá (Masarykova univerzita) Derivace a integrály v praxi 13. října 2020 24 / 24