Derivace a integrály v praxi
Zuzana Došlá
Masarykova univerzita, Brno
20. října 2020
Zuzana Došlá  (Masarykova univerzita)		Derivace a integrály v praxi	20. října 2020       1 / 30
Myšlenka na úvod
Skutečným problémem (aplikované) matematiky je, že je jako vzduch, který dýcháme. Je životně důležitá pro všechno, co děláme, aleje neviditelná a lehko ignorovatelná.
— Chris Budd
Seminář 6.října 2020
O Jak si naplánovat cestu?
Evoluce je dokonalá. Iva Michalcové
O Chemické úlohy: jak se mění koncentrace roztoku Iva Rambousková, Aneta Benešová
Q Koncentrace látky v krvi. Adriana Kabátová, Natálie Kozlovská O Úloha z ekonomie I. David Daniš
Seminář 13.října 2020
O Problém letecké společnosti. Marika Kaňová
Q Problém stavby silážní jámy. Lucie Vytlačilová
O Problém středověkého stavitele. Petra Trkanová
O Problém gondoliera. Zdeněk Lukeš
Zuzana Došlá  (Masarykova univerzita)		Derivace a integrály v praxi	20. října 2020       3 / 30
Seminář 20.října
O Problém líného kosa
Q Problém náruživého kafaře
O Odhad ideální váhy (BMI)
O Problém lomu světla (Snellův zákon)
bemmar zľ.rijna
O Jak vzniká duha
Model růstu populace (logistická diferenciální rovnice) O Model radioaktivního rozpadu
Zuzana Došlá  (Masarykova univerzita)		Derivace a integrály v praxi	20. října 2020       4 / 30
Seminář 3. listopadu
O Numerické řešení počáteční úlohy (Eulerova metoda)
O Podávání glukózy do krevního oběhu
O Rychlost chemických reakcí I
O Rychlost chemických reakcí II
Seminář 10. listopadu
O Druhý Newtonův zákon a pohyb iontů O Okrajová úloha
O Úlohy z kvantové mechaniky (energie částic)
Zuzana Došlá  (Masarykova univerzita)		Derivace a integrály v praxi	20. října 2020       5 / 30
Jak si naplánovat cestu?
Zuzana Došlá  (Masarykova univerzita)		Derivace a integrály v praxi	20. října 2020       6 / 30
Něco na zahřátí
Jak se co nejrychleji dostat z ostrova domů, když ostrov je 2 km daleko od pobrežia domov je dalších 6 km daleko? Předpokládejme, že jsme v dobré kondici a tak plaveme rychlostí 4 km/h a jdeme rychlostí 8 km/h.
Zuzana Došlá  (Masarykova univerzita)		Derivace a integrály v praxi	20. října 2020       7 / 30
Něco na zahřátí
s
Zuzana Došlá  (Masarykova univerzita)		Derivace a integrály v praxi	20. října 2020       8 / 30
Evoluce je dokonalá
Zuzana Došlá  (Masarykova univerzita)		Derivace a integrály v praxi	20. října 2020       9 / 30
Evoluce je dokonalá
Pro ryby plovoucí relativní rychlostí v vůči plynoucí vodě je výdaj energie E za jednotku času přímo úměrný v3. Předpokládá se, že se ryby snaží minimalizovat energii potřebnou k překonání dané vzdálenosti. Jakou rychlostí mají ryby tedy ideálně plavat, aby minimalizovaly energii vydanou na cestu proti proudou o rychlosti u do vzdálenosti L.
Zuzana Došlá  (Masarykova univerzita)
Derivace a integrály v praxi
20. října 2020       10 / 30
<□►    < [f? ►    <  -E  ►    <  -Ž  ►        Š       'O Q, O
Zuzana Došlá  (Masarykova univerzita)		Derivace a integrály v praxi	20. října 2020       11 / 30
E (y) = k-t-v3 = k
L
■v
v — u
Zuzana Došlá  (Masarykova univerzita)		Derivace a integrály v praxi	20. října 2020       11 / 30
Chemické úlohy
Zuzana Došlá  (Masarykova univerzita)		Derivace a integrály v praxi	20. října 2020       12 / 30
Jak se mění pH roztoku
Základní charakteristikou kyselosti, či zásaditosti látek je tzv. pH (power of hydrogen). Je dáno vztahem
pH = -log [H30
(1)
kde [HsO+] značí koncentraci oxoniových iontů v roztoku.
a) Nakreslete graf funkce pH.
b) Co se stane s hodnotou pH, zvýší-li se koncentrace oxoniových iontů?
c) Vyjádřete koncentraci oxoniových iontů v závisloti na pH roztoku.
Zuzana Došlá  (Masarykova univerzita)		Derivace a integrály v praxi	20. října 2020       13 / 30
Jak se mění molární koncentrace roztoku
Molární koncentrace cy vyjadřuje množství látky (počet molů) v jednom litru roztoku. Je dána vztahem
cy =
n V
(2)
kde n je látkové množství rozpuštěné látky a V je objem rozpouštědla
Co se stane s hodnotou molární koncetrace, zvýší-li se objem rozpouštědla V dvakrát a látkové množství rozpuštěné látky zůstane stejné?
Zuzana Došlá  (Masarykova univerzita)		Derivace a integrály v praxi	20. října 2020       14 / 30
Koncentrace látky v krvi
Zuzana Došlá  (Masarykova univerzita)		Derivace a integrály v praxi	20. října 2020       15 / 30
Jak se mění koncentrace drogy
Koncentrace C (i) jisté drogy v krevním oběhu za dobu t hodin po jejím vpichu do svalové tkáně je dána vztahem
C(t) =
2t
16 +13'
a) Určete, kdy je koncentrace nejvyšší.
b) Načrtněte graf funkce C(t).
(3)
□
Zuzana Došlá (Masarykova univerzita)		Derivace a integrály v praxi		20. října 2020       16 / 30
Koncentrace účinné látky v krvi
Účinná látka je vstříknuta do krve v čase t = 0. Koncentrace c(t) této látky v krevním oběhu je dána vztahem
c(t) = e~l - e~2t. (4)
a) Určete, kdy je koncentrace látky v krvi nejvyšší.
b) Načrtněte graf funkce c(í).
Zuzana Došlá  (Masarykova univerzita)		Derivace a integrály v praxi	20. října 2020       17 / 30
Úlohy z ekonomie
Zuzana Došlá  (Masarykova univerzita)
Derivace a integrály v praxi
20. října 2020
18 / 30
Maximální zisk
Výrobce může prodat x výrobků v ceně
C = 200 - 0,01 x
za výrobek, přičemž náklady na výrobu x výrobků jsou
N = 50x + 20000.
Při jaké produkci bude zisk maximální?
Zuzana Došlá  (Masarykova univerzita)		Derivace a integrály v praxi	20. října 2020       19 / 30
beminar 13. ríjna
<□►    < [f? ►    <  -E  ►    <  -Ž  ►        Š       'O Q, O
Zuzana Došlá  (Masarykova univerzita)		Derivace a integrály v praxi	20. října 2020       20 / 30
Problém letecké společnosti
<□►    < [f? ►    <  -E  ►    <  -Ž  ►        Š       'O Q, O
Zuzana Došlá  (Masarykova univerzita)
Derivace a integrály v praxi
20. října 2020
21 / 30
1. Problém letecké společnosti
Cena letenky vyhlídkového letu je 100 EUR, jestliže se ho zúčastní 50 — 100 turistů. Za každého pasažéra nad 100 se snižuje jeho cena o 0,5 EUR každému z nich. Letadlo má 200 míst.
Při jakém počtu účastníků bude mít letecká společnost maximální zisk?
Zuzana Došlá  (Masarykova univerzita)		Derivace a integrály v praxi	20. října 2020       22 / 30
2. Problém stavby silážní jámy
Silářní jáma má tvar pravoúhlého rovnoběžnostěnu s objemem 200 m. Délka je čtyřnásobkem šírky; 1 m2 základny je dvakrát levnější než 1 m2
stěny.
Jaké mají být rozměry silážní jámy, aby její stavba byla co nejlevnější?
Zuzana Došlá  (Masarykova univerzita)
Derivace a integrály v praxi
20. října 2020       23 / 30
3. Problém stredovekého stavitele
Středověký stavitel má tento problém:
Má železný pás o délce 200 palců a chtěl by z něj udělat rám románského okna.
Jakou má zvolit šířku okna, aby do chrámu procházelo co nejvíce světla (resp. aby okno mělo co největší plochu)?
Zuzana Došlá  (Masarykova univerzita)		Derivace a integrály v praxi	20. října 2020       24 / 30
4. Problém gondoliera
Představte si, že jste v Benátkach a řídíte gondolu plnou turistů. Náhle před sebou vidíte ostrou pravoúhlou zatáčku.
Předpokládejme, že se nacházíte v kanálu šířky a a druhý kanál má šířku b.
Najděte nejdelší možnou tyč, kterou se můžete dostat z jednoho kanálu do druhého.
Zuzana Došlá  (Masarykova univerzita)		Derivace a integrály v praxi	20. října 2020       25 / 30
Seminár 20. října
<□►    < [f? ►    <  -E  ►    <  -Ž  ►        Š       'O Q, O
Zuzana Došlá  (Masarykova univerzita)		Derivace a integrály v praxi	20. října 2020       26 / 30
1. Problém líného kosa
Na plotě, jehož výška je 1 m, sedí kos. Ve vzdálenosti 15 m od plotu roste strom, který má větev ve výšce 3 m. Na zemi mezi plotem a stromem jsou hustě rozesety žížaly.
V jaké vzdálenosti od plotu má kos sezobnout žížalu, aby proletěl trasu plot - žížala - větev po přímkách a po nejkratší dráze?
Zuzana Došlá  (Masarykova univerzita)		Derivace a integrály v praxi	20. října 2020       27 / 30
2. Problém náruživého kafaře
Jako milovník kávy máte následující problém. Máte papír na kávový filtr kruhového tvaru o poloměru 10 cm, vystřihnutím kruhové úseče o úhlu p vznikne kávový filtr.
Jak zvolíte úhel p, aby se do něj vešlo co nejvíce kávy? Kolik si budete moci maximálně přefiltrovat kávy [cm3]?
Zuzana Došlá  (Masarykova univerzita)		Derivace a integrály v praxi	20. října 2020       28 / 30
3. Odhad ideálni váhy (BMI)
Index tělesné hmotnosti (BMI - Body Mass Index) je číslo používané jako merítko obezity, umožňující statistické porovnaní lidí s různou výškou. Index tělesné hmotnosti B je veličina vypočtená podle vzorce
B =
m
kde m je hmotnost člověka v kilogramech a v je jeho výška v metrech. Ideální BMI je v rozmezí 19 až 24.
Považujme hodnotu BMI B = 22 za ideálni. Potom ideální hmotnost člověka o výšce v je
m{y) = 22v2.
a) Proveďte lineární aproximaci této funkce v okolí bodu vo = 1, 8 (což představuje typickou lidskou výšku vyjádřenou v metrech).
b) Odtud stanovte rychlý odhad ideální tělesné hmotnosti.
Zuzana Došlá  (Masarykova univerzita)		Derivace a integrály v praxi	20. října 2020       29 / 30
4. Problém lomu světla (Snellův zákon)
Podle Fermatova principu se světlo šíri z bodu A do bodu B po takové dráze, aby doba šírení byla minimální. Bod A leží v prostředí, v němž je rychlost světla ci, bod B v prostředí, v němž je rychlost světla C2.
Určete dráhu paprsku z bodu A do bodu B.
Zuzana Došlá  (Masarykova univerzita)		Derivace a integrály v praxi	20. října 2020       30 / 30