Složené výrokové formy

příkady (řešené)   |   neřešené úlohy   |   řešení 



Výroková logika

Výrokové formy

Množinové vztahy

Množinové operace

Složené výrokové formy

Kartézský součin

Binární relace

Relace ekvivalence

Relace uspořádání

Relace zobrazení






Vytvoř písemku

Příklady (řešené)


1.  Nechť A(x) : x | 6, B(x) : x 5. Jejich oborem proměnné O = N, definičním oborem D = N. Množina A={xD : x | 6} = {1,2,3,6} je obor pravdivosti výrokové formy x | 6, množina B={xD : x5} = {1,2,3,4,5} je obor pravdivosti výrokové formy x5. Konjukcí výrokových forem A(x)  B(x) je x | 6  x5. Obor pravdivosti konjukce výrokových forem je {xD : x | 6 x5} = {1,2,3} = A ∩ B.

Disjunkcí výrokových forem A(x), B(x) o jedné proměnné x  s týmž definičním oborem nazýváme výrokovou formou A(x)  B(x) o téže proměnné x s týmž definičním oborem, z níž vznikne pravdivý výrok, právě když za proměnnou x dosadíme takový prvek společného definičního oboru jenž dává pravdivé výroky po dosazení alespoň do jedné z výrokových forem  A(x), B(x)


2.  Jsou dány výrokové formy A(x) : 43xx+10, B(x) : 2 | x s oborem proměnné O = {0,1,...,9}. Určete:
a) definiční obor D obou výrokových forem,

b) obor pravdivosti konjukce a ostré disjunkce výrokových forem A(x), B(x) charakteristickou vlastností a výčtem prvků,

c) obor pravdivosti  ¬B(x),  B(x) => A(x),  A(x) <=> B(x)  charakteristickou vlastností a výčtem prvků.


Řešení :

a) D = 0,

b) určíme obory pravdivosti obou výrokových forem:
A={xD : 43xx+10} = {xD : < x 5} = {2,3,4,5}
B={xD : 2 | x} = {0,2,4,6,8}, určíme obory pravdivosti A(x)  B(x)  a  A(x)  B(x),
potom {xD :A(x)  B(x)} = {xD : (43xx+10)(2 | x)} = {2,4} = A ∩ B.

c) {xD :  ¬B(x)} =  {xD : 2  x} = {1,3,5,7,9} = B', {xD : B(x) => A(x)} = {xD : (2 | x) => (43xx+10)} = {1,2,3,4,5,7,9} = B'  A = ( B - A )' , {xD :A(x) <=> B(x)} = 
{xD : (43xx+10)<=>(2 | x)} = {1,2,4,7,9} = (A ∩ B)  (AB) = (AB)'


Neřešené úlohy :

1.  Jsou dány výrokové formy A(x) : 2x<5,  B(x) : 3x<4x-10  s týmž definičním oborem C. Určete obory pravdivosti výrokových forem :
a) A(x)  B(x)
b) A(x)  B(x)



2.  Jsou dány výrokové formy A(x) : x | 8,  B(x) : x3< 100  s definičním oborem D = {xC : 1x < 10}.  Určete obory pravdivosti výrokových forem :
a) A(x)  B(x)
b) A(x)  B(x)
c) A(x)  B(x)



3.  Jsou dány výrokové formy A(x) : ,  B(x) : x2 < 35  s definičním oborem Z = {1,2,...,7}.  Určete obory pravdivosti výrokových forem :
a) ¬B(x)
b) ¬A(x)  B(x)
c) A(x) <=> B(x)



4. Určete obor pravdivosti výrokové formy  V(x) : 3x ≤ 81 => 2 | x , je li definiční obor Z = {1,2,...,8}.





5.  Jsou dány výrokové formy A(x) : 2x<5,  B(x) : 3x<4x-10  s týmž definičním oborem C. Určete obory pravdivosti výrokových forem :
a) A(x)  ¬B(x)
b) A(x)  B(x)



6.  Jsou dány výrokové formy A(x) : 2x<5,  B(x) : 3x<4x-10  s týmž definičním oborem C. Určete obory pravdivosti výrokových forem :
a) ¬A(x)  B(x)
b) A(x) => B(x)
c) A(x) <=> B(x)



7.  Jsou dány výrokové formy A(x) : x | 8,  B(x) : x3< 100  s definičním oborem D = {xC : 1x < 10}.  Určete obory pravdivosti výrokových forem :
a) ¬A(x)  ¬B(x)
b) A(x) => B(x)
c) ¬B(x) => ¬A(x)
d) A(x) <=> B(x)



8.  Jsou dány výrokové formy A(x) : x | 9,  B(x) : x2< 48  s definičním oborem D = {xN : 1x < 10}.  Určete obory pravdivosti výrokových forem :
a) A(x)  ¬B(x)
b) A(x) => B(x)
c) ¬B(x) => ¬A(x)
d) A(x) <=> B(x)



9.  Jsou dány výrokové formy A(x) : 2 | x,  B(x) : 3 | x,  C(x) : 5 | x
s definičním oborem D = {xN : x < 16}. Určete obory pravdivosti výrokových forem :
a) A(x)  B(x) 2,3,4,6,8,9,10,12,14,15
b) A(x)  ∧ B(x)  ∧ C(x) Ø
c) A(x) => B(x) 1,3,5,6,7,9,11,12,13,15
d) ¬A(x) 1,5,7,11,13



10. Jsou dány výrokové formy A(x) : 2 | x,  B(x) : 3 | x,  C(x) : 5 | x
s definičním oborem D = {xN : x < 16}. Určete obory pravdivosti výrokových forem :
a) B(x) ∧ C(x) 15
b) A(x)   B(x)   C(x) 2,3,4,5,6,8,9,10,12,14,15
c) [A(x) ∧ B(x)]  C(x) 5,6,10,12,15




11. Jsou dány výrokové formy A(x) : 2 | x,  B(x) : 3 | x,  C(x) : 5 | x
s definičním oborem D = {xN : x < 16}. Určete obory pravdivosti výrokových forem :
a) [A(x) B(x)] ∧ C(x) 10,15
b) B(x)  => A(x) 1,2,4,5,6,7,8,10,11,12,113,14
c) A(x)  B(x) 2,3,4,8,9,10,14,15



12. Jsou li dány výrokové formy A(x) : 1 ≤ x ≤ 5 , B(x) : 1 < x < 5 , s definičním oborem D = R určete :
a) A(x)  B(x)
b) A(x) ∧ B(x)
c) A(x)  B(x)



13. Jsou li dány výrokové formy A(x) : - ≤ x ≤  , B(x) : 2 < x < 3 ,
s definičním oborem D = R určete :
a) A(x)  B(x)
b) A(x) ∧ B(x)
c) A(x)  B(x) 



14. Jsou li dány výrokové formy A(x) : -1 < x ≤ 3 , B(x) : 2 ≤ x ≤ 5 ,
s definičním oborem D = R určete :
a) A(x)  B(x)
b) A(x) ∧ B(x)
c) A(x)  B(x) 


Řešení:


1.  A = {...,-2,-1,0,1,2},  B = {...,7,8,9},  A  B
a)  A
b)  B




2.  a)  {1,2,3,4,8}
b)  {1,2,4}
c)  {3,8}




3.  
a)  {6,7}
b)  {4,5}
c)  {1,2,3,6,7}
d)  {1,2,3,6,6}
e)  {4,5}
f)   {1,2,3,6,7}


4.  {2,4,5,6,7,8}



5.  A = {...,-2,-1,0,1,2},  B = {...,7,8,9},  A  B
a)  
b)  {3,4,5,6,7,8,9}


6.  A = {...,-2,-1,0,1,2},  B = {...,7,8,9},  A  B
a)  {3,4,5,6,7,8,9}
b)  C
c)  {...,-2,-1,0,1,2,10,11,12,...} = AB'


7.  
a)  {3,5,...,9}
b)  {1,2,...,7,9}
c)   (A \ B)'
d)  {1,2,4,5,6,7,9}


8.  
a) {1,3,7,8,9}
b) {1,2,3,4,5,6,7,8}
c) {1,3,7,8,9}
d) {1,3,7,8}



9.  
a) {2,3,4,6,8,9,10,12,14,15}
b) {Ø}
c) {1,3,5,6,7,9,11,12,13,15}
d) {1,5,7,11,13}



10.
a) {15}
b) {2,3,4,5,6,8,9,10,12,14,15}
c) {5,6,10,12,15}
 

11.  
a) {10,15}
b) {1,2,4,5,6,7,8,10,11,12,113,14}
c) {2,3,4,8,9,10,14,15}


12.  
a) < 1, 5 >
b) ( 1, 5 )
c) { 1, 5 }


13.  
a) ( -, )
b) ( 2, 3 )
c) ( -, 2 >  < 3, )


14.  
a) ( -1, 5 >
b) < 2, 3 >
c) ( -1, 2 )  ( 3, 5 >