Binární relace

příkady (řešené)   |   neřešené úlohy   |   řešení 



Výroková logika

Výrokové formy

Množinové vztahy

Množinové operace

Složené výrokové formy

Kartézský součin

Binární relace

Relace ekvivalence

Relace uspořádání

Relace zobrazení






Vytvoř písemku

Příklady (řešené)

1.  Je dána relace T = {(x,y)  R x R;  y2 = 3x + 4}. Rozhodněte zda uspořádané dvojice (-2,5) , (-1,-1) jsou prvky této relace.

Řešení :
Do výrokové formy  y2 = 3x + 4  dosadíme x = -2 , y = 5.  Pak dostaneme  52 ≠ 3*(-2)+4. Z tohoto vztahu vyplyne, že (-2,5)  T.
Obdobným způsobem postupujeme i při rozhodování o uspořádané dvojici (-1,-1): -12=3*(-1)+4; tzn. 
(-1,-1)T



2.  Sestrojte graf relace T = {(x,y) R x R; x<2,6) y ≥ 9 - x y ≤ 8}. Určete první a druhý obor relace.

Postupně znázorníme množiny

{(x,y) R x R; x<2,6)}
{(x,y) R x R; y ≥ 9 - x}
{(x,y) R x R; y ≤ 8)}

Grafem relace T je průnik uvedených tří množin.

O1 = {xR; x <2,6)},
O2 = {yR; y (3,8>}.





Neřešené úlohy :


1.  Množiny A, B a relace R a S jsou dány graficky. Zakreslete  R ∩ S a R S





2.  Množiny A, B a relace R jsou dána graficky. Zakreslete doplňkovou relaci  k relaci R.





3.  Množiny A, B, C a relace R a S jsou dány graficky. Zakreslete RS, součin relací R a S.

 



4.  Množiny A, B a relace R jsou dána graficky. Zakreslete inverzní relaci R-1 k relaci R.




5.  Pět členů rodiny Procházků bydlí ve společné domácnosti. Otec má 39 let, matka 36, dcera 16, babička 63 a teta 34 let. Zapište relaci S výčtem prvků, je li dána výrokovou formou "osoba x je mladší než osoba y". Sestrojte její uzlový graf, zapište její obory.


6.  Rozhodněte, zda dvojice
a)  (9,6), (-1,3) patří do relace S = {(x,y)Q2; y2 = 4x},
b)  (3,4), (7,-2), (4,1), (-1,-3) patří do relace T = {(x,y)C2; x ≤ 2y+2}.


7. V množině všech úseček, jejichž krajní body jsou vrcholy kosočtverce, je dána relace R výrokovou formou: „úsečka x je shodná s úsečkou y". Charakteristickou vlastností i výčtem prvků zapište relaci R v množině M. Případně sestrojte šachovnicový a uzlový graf.


8.  Je dán obdélník o stranách a, b,c,d a úhlopříčkách e, f a relace R1, R2 před­pisem:
(x, y)  R1 <=> úsečka x je rovnoběžná s úsečkou y, (x, y)  R2 <=> úsečka x je kolmá na úsečku y. Charakteristickou vlastností i výčtem prvků zapište relace R1, R2 a sestrojte jejich kartézský i uzlový graf.


9.  V množině M = {1, 2,..., 7} jsou dány relace :
a)  R1 = {(x,y)  M2; nejmenší společný násobek čísel x, y se rovná 12},
b)  R2 = {(x,y)  M2; největší společný dělitel čísel x, y se rovná 2}.
Obě relace znázorněte na uzlovém grafu.


10.  V množině M = {1,2,3,4,5} je dána relace S = {(x,y)  M2; y + 3  ≥ x2}. Výčtem prvků zapište relace S, S' a S-1. Sestrojte jejich kartézské grafy.


11.  V množině přirozených čísel jsou dány relace
a)  R={(x,y)N2; x = y},
b)  R={(x,y)N2; x < y},
c)  R={(x,y)N2; x | y},
d)  R={(x,j/)N2; x = 8 - y},
Charakteristickou vlastností zapište k daným relacím relace doplňkové a in­verzní.


12. V množině M = {1,2,..., 5} jsou dány relace R1, R2 předpisem
(x, y)  R1 <=>  x - y < 0,
(x, y)  R2 <=>  x I y.
Charakteristickou vlastností i výčtem prvků určete relace R1, R2, sestrojte jejich uzlový graf. Jaký je vztah mezi relacemi R1, R2?



13.  Zapište následující relace v množině reálných čísel a graficky znázorněte.
a)  číslo x je větší než y + 2;
b)  číslo x je rovno dvojnásobku druhé mocniny čísla y;
c)  číslo y je rovno 3 - 2x + x2;
d)  číslo y je menší než  - 4 - x.



14. Rozhodněte, zda dvojice
a)  (9,6), (-1,3) patří do relace S = {(x,y)  Q2; y2 = 4x},
b)  (3,4), (7,-2), (4,1), (-1,-3) patří do relace T = {(x,y)  C2;x ≤ 2y + 2}.  



15. Na množině všech obdelníků (v rovině), jejichž rozměry jsou vyjádřeny celými čísly v cm, určete pomocí rozměrů a, b obdelníky, jejichž obsah je S = 24cm2. Který z nich bude mít největší a který nejmenší obvod?



16. M je množina všech úseček na obrázku (celkem 7 úseček). Relace R1 obsahuje všechny dvojice, kde úsečka z je shodná s úsečkou y. Relace R2 obsahuje všechny dvojice, kde úsečka x je rovnoběžná s úsečkou y. Na šachovnicovém grafu znázorněte relaci R1, R2, R'1,R'2.
Určete R1  R2,  R1 ∩ R2.





17. Je dána relace A = {(x,y)  R2 ; y  ≥ 1 + 2x}. Charakteristickou vlastností zapište relaci inverzní a sestrojte jejich kartézský graf.



18. Je dána relace B = {(x, y)  R2 ; y - 1 = x2}. Na kartézském grafu ji znázorněte. Na tomto grafu znázorněte i relaci inverzní.



Řešení :


1.  




2.  




3.  




4.  




5.  P = {o,m,d,b,t}
S = {(x,y) P x P; x je mladší než y},
S = {(d,o), (d,m), (d,b), (d,t), (t,o), (t,m), (t,b), (m,o), (m,b), (o,b)},
O1(S) = {d,t,m,o},  O2(S) = {o,m,b,t}




6.  
a)   (9,6) S,  (-1,3) S;
b)  (3,4)  T, (7,-2)  T,  (4,1)  T,  (-1,-3)  T.




7. M = {a,b,c,d,e,f }, R = {(x,y)  M2; x  y} = {(a,a), (6,6), (c,c), (d,d), (e,e), (f,f), (a,b), (b,a), (b,c), (c,b), (c,d), (d,c), (a,d), (d,a), (a,c), (c,a), (b,d), (d,b)}.




8.  M = {a,b,c,d,e,f}, R1 = {(x,y)  M2; x || y} = {(a,a), (b,b), (c,c), (d,d), (e,e), (f,f), (a,c), (c,a), (b,d), (d,b)},  R2 = {(x,y)  M2;x  y} = {(a,d), (d,a), (d,c), (c,d), (c,b), (b,c), (a,b), (b,a)}.




9.  




10.  
a) S = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),
b) S' = (M x M) - S,
c )S-1 = {(1,1), (2,1), (3,1), (4,1), (5,1), (2,2), (3,2), (4,2), (5,2)}.





11.  
a) R' = {(x, y)  N2; x ≠ y}, R-1 = R;
b)  R' = {(x,y)  N2;x  ≥ y}, R-1 = {(x,y)  N2;y < x};
c)  R' = {(x,y)  N2;x y}, R-1 = {(x,y)  N2;y | x};
d)  R' = {(x,y)  N2;x ≠  8 - y}, R-1 = {(x,y)  N2;y = 8 - x}.



12.
R1 = {(x,y)  M2; x - y < 0 } - {(1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (2,3), (2,4), (2,5), (3,4), (3,5), (4,5),
R2 = {(x,y)  M2;x | y} = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (2,4)}.


13.  
a)  A = {(x,y) R x R ; x > y+2} ;
b)  B = {(x,y) R x R ; x = 2y2} ;
c)  C = {(x,y) R x R ; y = 3 - 2x + x2 } = {(x,y) R x R ; y = 2 + (1 - x)2} ;
d)  D = {(x,y) R x R ; y < -4 -x} ;




14.  
a) (9,6)  S, (-1,3) S,
b) (3,4) T, (7,-2)  T, (4,1) T, (-1,-3) T.



15.  A = {(1,24) ,(24,1) ,(2,12) ,(12,2) ,(3,8) ,(8,3) ,(4,6) ,(6,4)}, nejmenší obvod má obdelník o rozměrech 6, 4,  největší obvod má obdelník o rozměreh 1, 24.



16.  




17.  A-1 = {(x,y)  R2 ; 2y  ≤ x - 1 }




18.