Příklady
(řešení)
1.
Určete,
zda relace S = {(1,4), (2,3), (3,2), (4,5), (5,4)} je zobrazení v
množině A = {1,2,3,4,5}. Pokud ano, určete definiční obor a obor
hodnot. Dále rozhodněte, zda S
-1 je teké
zobrazení v množině A.
Řešení:
Relaci S znázorníme na kartézském, případně uzlovém grafu:
Na
kartézském grafu je v každém sloupci znázorněn jeden prvek relace,
tzn. že relace S je zobrazení. V uzlovém grafu z každého uzlu vychází
nejvýše jedna orientovaná hrana a tím se opět potvrdil předchozí závěr.
Definiční obor, tj. O
1(S) =
{1,2,3,4,5} = A. Jde o množinu všech prvnich složek
uspořádaných dvojic relace zobrazení S. Obor hodnot O
2(S)
= {2,3,4,5} = A \ {1} je množina všech druhých složek uspořádaných
dvojic ze zobrazení S.
Relace S
-1 = {(4,1), (3,2), (2,3), (5,4), (4,
5)} není zobrazení, neboť obsahuje dvě uspořádané dvojice, které mají
stejné první složky, druhé se sobě nerovnají. Z uvedeného vyplývá, že
jeden vzor má dva různé obrazy. Závěrem můžeme konstatovat, že
zobrazení S není zobrazení prosté.
2.
V množině A = {x
N;
3 ≤
x ≤ 9} přiřadíme každému číslu x největší prvočíslo y, pro
které platí y≤x. Znázorněte uvedenou relaci S na kartézském grafu a
zjistěte, zda je zobrazení.
Řešení:
Množinu A zapíšeme výčtem prvků: A = {3,4,5,6,7,8,9}.
Vybereme
uspořádané dvojice kartézského součinu A x A, pro které platí příslušná
výroková forma.
Znázornění:
Relace
S je zobrazení, které není prosté.
Neřešené úlohy :
1.
Určete, které z následujících relací v množině A = {0,1,2,...,6} jsou
zobrazení. V případě zobrazení zapište definiční obor a obor hodnot.
Zobrazení znázorněte graficky
a) R1 = {(0,0), (0,1), (4,4), (3,2),
(2,3)},
b) R2 = {(4,6), (2, 5), (3,4), (2,3),
(2,0), (1,1), (0,0)},
c) R3 = {(2, 3), (3,4), (1,3), (4, 5),
(0,3)},
d) R4 = {(3,2), (2,3), (1,5), (3,4),
(1,2)}.
2.
Rozhodněte, zda následující relace jsou zobrazení z množiny M = {a, b,
c, d, e} do množiny
P = {1, 3, 5, 7, 9}.
a) S1 = {(a, 5), (b,3), (c, 9), (d,
7), (e, 3)},
b) S2 = {(d,7),(e,9),(b,1),(a,5)},
c) S3 =
{(c,3),(a,3),(e,3),(d,3),(b,3)},
d) S4 =
{(b,9),(a,7),(c,5),(b,1),(e,3)},
e) S5 =
{(e,1),(d,7))(c,3),(b,9),(a,5)}.
Určete typ zobrazení a rozhodněte, které je prosté.
3.
Je dána množina A = {x

Z; 4|x}, přičemž
Z = {1,2,..., 19}. Doplňte uspořádané dvojice (4, ), (12, ), ( ,8) tak,
že relace bude:
a) prostým zobrazením,
b) zobrazením, které není prosté.
4.
Relace R v množině M = {0,1,2,... ,6} obsahuje všechny prvky (a,b), kde
b je zbytek při dělení čísla a třemi. Určete R výčtem, graficky
znázorněte; určete, zda R je zobrazení a zapište obor
hodnot.
5.
Znázorněte relaci M = {(x,y)
N
x
N; y-1 = x}
a rozhodněte, zda jde o zobrazení.
6.
Znázorněte relaci N = {(x,y)
N
x
N; x = 2y} a
rozhodněte, zda jde o zobrazení.
7.
Znázorněte relaci O = {(x,y)
N
x
N; x = y
2}
a rozhodněte, zda jde o zobrazení.
8.
Je relace S = {(x,y)
C
x
C; 1=y-2x
2} zobrazení?
Znázorněte ji graficky.
Určete O
1(S) aO
2(S).
9. Znázorněte
danou relaci v množině R, určete její obory.
Vyslovte
závěr, zda jde o zobrazení, případně prosté zobrazení.
S : y =
2 - x
10.
Na kartézském grafu znázorněte následující relace. Rozhodněte, jestli
jde o zobrazení (zobrazení prosté) a určete jejich obory.
a) V
1: |y| = 2

y - x = 0,
b) V
2 : y + x = 0

x
2 ≥
1,
c) V
3: x ≤ y
2 -
1

y
2
+ x - 1 = 0.
11. Znázorněte
danou relaci v množině R, určete její obory.
Vyslovte
závěr, zda jde o zobrazení, případně prosté zobrazení. S
: y =
log(x + 1)
12. Znázorněte
danou relaci v množině R, určete její obory.
Vyslovte
závěr, zda jde o zobrazení, případně prosté zobrazení. S
: y =
sin(x) - 0,5
13. Znázorněte
danou relaci v množině R, určete její obory.
Vyslovte
závěr, zda jde o zobrazení, případně prosté zobrazení. S
: x =
y-1
14. Znázorněte
danou relaci v množině R, určete její obory.
Vyslovte
závěr, zda jde o zobrazení, případně prosté zobrazení. S
: (x -
3)2 + (y + 2)2 = 9
15. Znázorněte
danou relaci v množině R, určete její obory.
Vyslovte
závěr, zda jde o zobrazení, případně prosté zobrazení.
S : x =
1 + y2
16. Znázorněte
danou relaci v množině R, určete její obory.
Vyslovte
závěr, zda jde o zobrazení, případně prosté zobrazení. S : y
+ x2
- 4
17. Znázorněte
danou relaci v množině R, určete její obory.
Vyslovte
závěr, zda jde o zobrazení, případně prosté zobrazení. S
: 2x
≥ y - 3
Řešení :
1.
a) R
1 není zobrazení,
b) R
2 není zobrazení,
c) R
3 je zobrazení; O
1(R
3)
= {0,1,2,3,4}, O
2(R
3) =
{3,4,5},
d) R
4 není zobrazení.
2.
a) S
1 je zobrazení množiny M
do množiny P,
b) S
2 je zobrazení z množiny M do
množiny P; prosté,
c) S
3 je zobrazení množiny M do
množiny P,
d) S
4 není zobrazení,
e) S
5 je zobrazení množiny M na
množinu P; bijekce.
3.
A = {4,8,12,16}.
a) Např. (4,16), (12,4), (8,8).
b) Např. (4,8), (12,12), (16,8).
4.
R = {(0,0),(1,1),(2,2),(3,0),(4,1),(5,2),(6,0)} Relace je
zobrazení. O
2(R) = {0,1,2}.
5.
Upozornění: x,y
N!,
Body na přímce y = x - 1, M je
zobrazení.
6.
Upozornění: x,y
N!,
Body na přímce y = x / 2 ,
N je
zobrazení.
7.
Upozornění: x,y
N!,
Body na parabole y =
± x
1/2,
O není zobrazení.
8.
Relace S je zobrazení (body na parabole y = 2x
2
+ 1), O
1(S) =
C, O
2(S)
= {1,3,9,19,33,...}.
9. S
- zobrazení prosté, O
1(S)
=
R; O
2(S)
=
R.

10.
a) Zobrazení prosté, O
1(V
1)
= {-2,2}, O
2(V
1)
= {-2,2}

b)
Zobrazení prosté,
O
1(V
2) = {x
R;
x

(-

,-1>

<1,

)},
O
2(V
2) = {y
R;
y

(-

,-1>

<1,

)},

c)
Není zobrazení,
O
1(V
3) = {x
R;
x

<0, 1>},
O
2(V
3) = {y
R;
y

<-1,1>},

11. S - zobrazení prosté, O
2(S)
=
{x
R;
x

(-1,

)}, O
2(S)
=
R.

12. S
- zobrazení,
O
1(S) =
R,
O
2(S) = {y
R;
y

<-1.5 ;
0.5>}.

13. S - zobrazení prosté,
O
1(S)
=
R \ {0}; O
2(S)
=
R \ {0}.
14. S - není zobrazení, O
1(S)
= {x
R;
x

<0,6>}, O
2(S)
= {y
R;
y

<-5,1>}.

15. S - není zobrazení, O
1(S)
= {x
R;
x
≥ 1}, O
2(S) =
R
16. S - zobrazení, O
1(S)
=
R; O
2(S) = {y
R;
y
≤ 4}.
>
17. S - není zobrazení,
O
1(S)
=
R; O
2(S)
=
R.
