Kartézský součin

příkady (řešené)   |   neřešené úlohy   |   řešení 



Výroková logika

Výrokové formy

Množinové vztahy

Množinové operace

Složené výrokové formy

Kartézský součin

Binární relace

Relace ekvivalence

Relace uspořádání

Relace zobrazení






Vytvoř písemku

Příklady (řešené)

1. Doplňte graf (viz obrázek) tak, aby představoval uzlový graf kartézského součinu A x B. Množiny A, B zapište výčtem prvků.

Řešení:  
Z uzlů y, z grafu (viz obrázek) vystupují orientované hrany, prvky y, z patří do téže množiny (jsou prvními složkami uspořádaných dvojic) A. Zbývající prvky x, u, v jsou druhými složkami uspořádaných dvojic (do uzlů vstupují orientované hrany), patří do jedné a téže množiny B, tedy A = {y,z}, B = {x,u,v}. Doplníme uspořádané dvojice (y,v), (z,u), kde jsou orientované hrany na následujícím obrázku znázorněny čárkovaně.


2.  Na kartézském grafu znázorněte kartézský součin množin S a T, je li 
Řešení: 




Neřešenéúlohy :


1.  Nechť A, B, C, D jsou množiny, přičemž A má n prvků, B má m prvků, C má k prvků. Kolik prvků má množina :
a) A x B x C
b) A4 x B x C
c) A x B x C x A



2.  Nechť A, B, C jsou množiny. Za jakých předpokladů je množina A x B x C neprázdná?



3.  Nechť A, B jsou množiny, přičemž A má m prvků a B má n prvků. Kolik prvků mají množiny P(A) x P(B)  a  P(A x B)?



4.  Oddíl plážového volejbalu má 3 chlapce a 4 dívky. Uveďte všechny možnosti vytvoření týmů, když v každém z nich bude jeden chlapec a jedna dívka.



5.  Sestrojte kartézský, uzlový a šachovnicový graf kartézského součinu A x B, jsou-li dány množiny A, B výčtem prvků.A= { - 3, 3, 5 } a B = { 1, 2 }.



6. Utvořte všechna dvojciferná čísla, která mají na místě desítek některou z číslic 3, 5, 6 a na místě jednotek některou z číslic 0, 2. Jakou vlastnost mají utvořená dvojciferná čísla?



7.  Zapište množiny A,B, z nichž jsou vytvořeny kartézské součiny:

    a)  A x B = {(7,5), (1,2), (1,4), (7,2), (7,4), (1,5)},

    b)  A x B = {(5,0), (5,1), (5,2), (5,3)},

    c)  A x B = {(2,3), (2,2), (3,2), (3,3)},

    d)  A x B = {(m,a),(n,a),(p,a),(m,i),(n,i),(p,i)}

a sestrojte jejich kartézské grafy.



8. Sestrojte graf kartézského součinu K x L, je-li K = {1,2,5}, L = R,



9. Sestrojte graf kartézského součinu K x L, je-li K = {xR ; x < -4,0>}, L = {yR ; y < -1,2>}.



10. Určete množiny A, B, jejichž kartézský součin A x B má uzlový graf zakreslený na obrázcích:





11. Sestrojte kartézský graf kartézského součinu A x B, je-li  A = {xR ; -2 < x < 5}, B = R.



12. Sestrojte kartézský graf kartézského součinu A x B, je-li  A = {xR ; x ≤ 1},
B = {yR ; y ≥ 3}.



13. Sestrojte kartézský graf kartézského součinu K x L, je-li K = {xC ; x | 5},
L = {yR ; y - 1 ∨ 1 ≤ y ≤ 3}.




14. Znázorněte kartézským grafem kartézský součin W x V, je-li
V = {yR ; y (-3,-1) (2,4},  W = {xC ; x | 3}.


15. Znázorněte kartézským grafem kartézský součin S x T, je-li
S = {xR ; -5 ≤ x  -2 ∨ 1< x ≤ 3 ) (2,4},  T = {yN ; y | 4}.


16. Znázorněte kartézským grafem kartézský součin A x B, je-li
A = {xQ ;log( 7x + 3 ) = 1},  B = {yR ; y(-4,-2)  (< 2,4)}.


17. Zapište množiny A, B, z nichž vznikne následující graf kartézského součinu :




18. Zapište množiny A, B, C, D z nichž vznikne následující graf kartézského součinu :



Řešení :


1.  
a) nmk
b) n4 mk
c) n2 mk


2.  Jsou-li množiny A, B, C neprázdné.


3. 2m+n , 2mn


4. Chlapce označíme např. a, b, c a dívky k, I, m, n. potom
    {(a, k), (a, l), (a, m), (a, n), (b, k), (b, l), (b, m), (b, n), (c, k), (c, l), (c,m),(c,n)}.

5. Kartézský graf : např


6. A = {3,5,6} , B = {0,2}

    A x B = M = {(3,0),(3,2),(5,0),(5,2),(6,0),(6,2)}

    M = {30,32,50,52,60,62}, všechna takto vzniklá čísla jsou lichá.


7.
a) A = {7,1}, B = {5,2,4} b) A = {5}, B = {0,1,2,3}
    c) A = {2,3}, B = {2,3} d) A = {m,n,p}, B = {a,i}


8.  



9.  




10.  
a) A = {3,5,7,9}, B = {2}
b) A = {y,z}, B = {u,x,z}
c) A = {1,4,5}, B = {2,3}


11.  



12.  



13.



14.



15.  



16.  



17.   A = {xR ; x (-, -3 )  (3,)},  B = {2}.



18.  A x B, A = {-1}, B =  {yC ; y < -1,1>}, C x D, C = {1}, D = {-1,1}, (A x B) (C x D).