Vícerozměrné statistické metody 
Smysl a cíle vícerozměrné analýzy dat a modelování, vztah 
jednorozměrných a vícerozměrných statistických metod
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová
Vícerozměrné statistické metody 
Smysl a cíle vícerozměrné analýzy dat
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody 
Význam a cíle vícerozměrné analýzy dat
• většina dat pořízených při výzkumu jsou data vícerozměrná – chceme zjistit celou 
řadu vlastností daných subjektů či objektů
3
ID Pohlaví Věk Váha
MMSE
skóre
Objem
hipokampu
…
1 muž 84 85,5 29 7030
2 žena 25 62,0 28 6984
…
PROMĚNNÉ (VLASTNOSTI)
SUBJEKTY
• zpravidla nestačí analyzovat každou proměnnou zvlášť – pro úplně
pochopení vztahů většinou potřeba analyzovat proměnné současně
→ použití VÍCEROZMĚRNÝCH METOD
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody 
• vícerozměrné metody umožňují:
– znázornit a popsat vícerozměrná data
– zjišťovat vztahy mezi jednotlivými proměnnými a mezi subjekty (resp. objekty)
4
Význam a cíle vícerozměrné analýzy dat II
• mnoho způsobů dělení vícerozměrných metod do skupin – např. dělení
podle cíle, kterého chceme vícerozměrnou analýzou dosáhnout:
1. Testování hypotéz o vícerozměrných datech
2. Vytvoření shluků subjektů, objektů nebo proměnných 
3. Redukce vícerozměrných dat
4. Klasifikace subjektů či objektů
5. Predikce spojitých hodnot
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody 
Příklady:
• ověření, zda má vliv pohlaví a typ léku na počet uzdravených pacientů s daným 
onemocněním
• výzkum vztahu typu onemocnění na objem hipokampu,  amygdaly a mozkových komor
• zjištění, zda je rozdílná spotřeba elektrické energie ve městech a na vesnicích během 
týdne a o víkendu
5
Hippocampus_volume(mm3)
Gender: M
Gender: F
CN MCI AD
5600
5800
6000
6200
6400
6600
6800
7000
7200
7400
7600
Cíle vícerozměrné analýzy dat
1. Testování hypotéz o vícerozměrných datech
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody 
Příklady:
• vytvoření skupin diagnóz onemocnění s podobnými léčebnými náklady
• vytvoření skupin lokalit podle výskytu určitých druhů rostlin a živočichů
• vytvoření skupin genů a subjektů na základě dat genové exprese
• vytvoření skupin subjektů se schizofrenií podle kognitivních skóre a 
neurologických parametrů
6
Cíle vícerozměrné analýzy dat
2. Vytvoření shluků subjektů, objektů nebo proměnných 
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody 
Cíle vícerozměrné analýzy dat
3. Redukce vícerozměrných dat
Příklady:
• vytvoření souhrnného skóre odpovědi pacientů na radioterapii z původních 
několika proměnných
• vytvoření menšího počtu nových proměnných z původních dat, které nám umožní 
znázornit vícerozměrná data ve 2‐D či 3‐D grafech
• výběr oblastí mozku, které nejvíce odlišují pacienty s neuropsychiatrickým 
onemocněním od zdravých subjektů
7
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody 
Cíle vícerozměrné analýzy dat
4. Klasifikace subjektů či objektů
Příklady:
• zjištění (diagnostika) schizofrenie na základě kognitivních testů
• rozhodnutí, zda banka poskytne či neposkytne hypotéku danému subjektu na 
základě jeho příjmů, rodinné situace atd.
• diagnostika demence (tzn. zařazení nového subjektu do skupiny pacientů či 
kontrol) podle obrázku mozku
8
Pacienti
Zdravé 
subjekty
Nový subjekt
Pacient? x Zdravý?
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody 
• Obecným cílem je snaha vysvětlit 
variabilitu predikované 
proměnné (endpoint, Y) pomocí 
prediktorů (vysvětlující 
proměnná, faktor, X)
• Jak predikovaná proměnná, tak 
prediktor mohou být různého 
typu
– Binární 
– Kategoriální
– Ordinální
– Spojitá
– Cenzorovaná (‐> analýza přežití)
• Kombinace datového typu 
predikované proměnné a 
prediktoru určuje použitou 
metodu analýzy
9
4
4 .5
5
5 .5
6
6 .5
7
7 .5
8
8 .5
Proč
variabilita
?
4
4 .5
5
5 .5
6
6 .5
7
7 .5
8
8 .5
Vysvětluje kategoriální 
prediktor?
0
0 .2
0 .4
0 .6
0 .8
1
1 .2
1 .4
1 .6
1 .8
2
2 .2
2 .4
2 .6
4
4 .5
5
5 .5
6
6 .5
7
7 .5
8
8 .5 Vysvětluje spojitý 
prediktor?
Cíle vícerozměrné analýzy dat
5. Predikce spojitých hodnot
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody 
Cíle vícerozměrné analýzy dat ‐ doplnění
• Každý objekt reálného světa můžeme popsat 
jeho pozicí v mnohorozměrném prostoru, 
v extrémním případě jde až o desetitisíce 
dimenzí 
• Více než 3D prostor je pro nás vizuálně 
neuchopitelný a hledání vztahů ve více než 3 
dimenzích je problematické 
• Vícerozměrná analýza se tento problém snaží 
řešit různými přístupy:
– Redukce dimenzionality dat „sloučením“ 
korelovaných proměnných do menšího počtu 
„faktorových“ proměnných 
– Identifikace shluků objektů ve vícerozměrném 
prostoru a následná redukce 
vícedimenzionálního problému kategorizací 
objektů do zjištěných shluků
10
Zjednodušení
Interpretace 
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody 
Příklad vícerozměrného popisu objektů
11
Dimenze 1 Dimenze 2 Dimenze 3 Dimenze 4
ID objektu SEPALLEN SEPALWID PETALLEN PETALWID
SETOSA 5.0 3.3 1.4 0.2
VIRGINIC 6.4 2.8 5.6 2.2
VERSICOL 6.5 2.8 4.6 1.5
VIRGINIC 6.7 3.1 5.6 2.4
VIRGINIC 6.3 2.8 5.1 1.5
SETOSA 4.6 3.4 1.4 0.3
VIRGINIC 6.9 3.1 5.1 2.3
VERSICOL 6.2 2.2 4.5 1.5
VERSICOL 5.9 3.2 4.8 1.8
SETOSA 4.6 3.6 1.0 0.2
… … … …
SEPALLEN
SEPALWID
PETALLEN
PETALWID
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody 
Vícerozměrná analýza dat = pohled ze správného úhlu
• Vícerozměrná analýza nám pomáhá nalézt v x‐dimenzionálním prostoru 
nejvhodnější pohled na data poskytující maximum informací o analyzovaných 
objektech
12
Všechny obrázky ukazují stejný objekt z různých úhlů v 3D prostoru.
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody 
Obecný princip redukce dimenzionality dat
• V převážné většině případů existují mezi dimenzemi korelační vztahy, tedy dimenze 
se navzájem vysvětlují a pro popis kompletní informace v datech není třeba všech 
dimenzí vstupního souboru
• Všechny tzv. ordinační metody využívají principu identifikace korelovaných dimenzí 
a jejich sloučení do souhrnných nových dimenzí zastupujících několik dimenzí 
vstupního souboru
• Pokud mezi dimenzemi vstupního souboru neexistují korelace, nemá smysl hledat 
zjednodušení vícerozměrné struktury takovéhoto souboru !!!
13
Jednoznačný vztah dimenzí x a y umožňuje 
jejich nahrazení jedinou novou dimenzí z 
x
y z
x
y ?
?
?
?
??
?
?
V případě neexistence vztahu mezi x a y nemá 
smysl definovat nové dimenze – nepřináší 
žádnou novou informaci oproti x a y
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody 
Obecný princip hledání shluků v datech
• Vzájemnou pozici objektů ve vícerozměrném prostoru lze popsat jejich vzdáleností
• Dle vzdálenosti objektů je můžeme slučovat do shluků a přiřazení  objektů ke 
shlukům ve vícerozměrném prostoru následně využít pro zjednodušení jejich x‐
dimenzionálního popisu 
• Smysluplnost výsledků shlukování závisí jednak na objektivní existenci shluků v 
datech, jednak na arbitrárně nastavených kritériích definice shluků 
14
Jednoznačné odlišení existujících 
shluků v datech (obdoba 
multimodálního rozložení)
Shluková analýza je možná i v tomto 
případě, nicméně hranice shluků jsou 
dány pouze naším rozhodnutím.
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody 
Omezení vícerozměrné analýzy dat
• Vícerozměrná analýza může přinést zjednodušení dimenzionality dat pouze v případě, kdy data 
skrývají nějakou identifikovatelnou vícerozměrnou strukturu 
– Mezi dimenzemi existují vztahy (korelace) umožňující nahrazení korelovaných dimenzí zástupnou 
souhrnnou dimenzí
– Objekty vytváří v x‐dimenzionálním prostoru shluky nebo jiné nenáhodné struktury
• Pro náhodně rozmístěné objekty bez korelací mezi dimenzemi jejich x‐dimenzionálního prostoru 
nepřináší vícerozměrná analýza žádné nové informace oproti původním dimenzím
• Důležitý je poměr počtu objektů (řádky tabulky) a dimenzí (sloupce tabulky). Čím je tento poměr 
menší tím větší je šance, že výsledky analýzy jsou ovlivněny náhodnými procesy.  Za minimální 
poměr pro získání validních výsledků je považováno 10 objektů na 1 dimenzi. 
• Pro vícerozměrné analýzy platí obdobné předpoklady jako pro jednorozměrnou statistickou analýzu; 
vzhledem k jejich možnému porušení na úrovni kombinace několika dimenzí  je tyto předpoklady 
třeba kontrolovat ještě pečlivěji než u jednorozměrné analýzy 
• Kromě klasických statistických předpokladů je při vícerozměrných analýzách třeba věnovat 
pozornost výběru metrik vzdáleností mezi objekty (klíčové ovlivnění interpretace výsledků) a jejich 
předpokladům 
• Pokud výsledky vícerozměrné analýzy nejsou interpretovatelné je třeba zvážit, zda použití 
vícerozměrné analýzy přináší oproti sadě jednorozměrných analýz nějakou přidanou hodnotou
• Využitelná vícerozměrná analýza by měla být:
– Vybrána vhodná metoda pro řešení daného problému
– korektně spočítána za dodržení všech předpokladů 
– Interpretovatelná a přinášející novou informaci oproti analýze původních dimenzí 
15
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody 
Korelace jako princip výpočtu vícerozměrných analýz
• Kovariance a Pearsonova korelace je základem analýzy hlavních komponent, 
faktorové analýzy jakož i dalších vícerozměrných analýz pracujících s lineární 
závislostí proměnných
• Předpokladem výpočtu kovariance a Pearsonovy korelace je:
– Normalita dat v obou dimenzích 
– Linearita vztahu proměnných
• Pro vícerozměrné analýzy je nejzávažnějším problémem přítomnost odlehlých 
hodnot
16
x
y
x
y
x
y
Lineární vztah –
bezproblémové použití 
Personovy korelace
Korelace je dána dvěma skupinami 
hodnot – vede k identifikaci skupin 
objektů v datech
Korelace je dána odlehlou 
hodnotu – analýza popisuje 
pouze vliv odlehlé hodnoty 
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody 
Analýza kontingenčních tabule jako princip výpočtu 
vícerozměrných analýz
• Abundance taxonů (nebo počet jakýchkoliv objektů) na lokalitách lze brát jako 
kontingenční tabulku a mírou vztahu mezi řádky (lokality) a sloupci (taxony) je 
velikost chi‐kvadrátu
17

2
)1(
pozorovaná
četnost
očekávaná
četnost
očekávaná četnost=
2
‐
Počítáno pro 
každou buňku 
tabulky
 
A 10 0
B 0 10
Pozorovaná tabulka
 
A 5 5
B 5 5
Očekávaná tabulka
Hodnota chi‐kvadrátu definuje míru odchylky dané buňky (v našem kontextu vztahu 
taxon‐lokalita) od situace, kdy mezi řádky a sloupci (taxon‐lokalita) není žádný vztah
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody 
Euklidovská vzdálenost jako princip výpočtu 
vícerozměrných analýz
• Nejsnáze představitelným měřítkem vztahu dvou objektů ve vícerozměrném 
prostoru je jejich vzdálenost
• Nejjednodušším typem této vzdálenosti (bohužel s omezeným použitím na data 
společenstev) je Euklidovská vzdálenost vycházející z Pythagorovy věty
18
a
b
c
y11 y12
y21
y22
2
211211 )(),( jj
p
j yyxxD  
X1
X2
• vytváření shluků objektů na základě 
jejich podobnosti
• identifikace typů objektů
• Na základě vícerozměrné 
kombinace prediktorů zařazujeme 
objekty do skupin (klasifikace) nebo 
predikujeme spojitou proměnnou 
(predikce)
• zjednodušení vícerozměrného 
problému do menšího počtu 
rozměrů
• principem je tvorba nových 
rozměrů, které lépe vyčerpávají 
variabilitu dat
SHLUKOVÁ ANALÝZA ORDINAČNÍ METODY
Základní typy vícerozměrných analýz  
KLASIFIKACE / PREDIKCE
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody 
Typy vícerozměrných analýz
20
Diskriminační prostor
y
x
SHLUKOVÁ ANALÝZA
ORDINAČNÍ METODY
x
y Faktorové osy
y
x
podobnost
KLASIFIKACE / PREDIKCE
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody 
Pojmy vícerozměrných analýz 
21
• Vícerozměrné metody: Název vícerozměrné vychází z typu vstupních dat, tato data jsou tvořena 
jednotlivými objekty (i.e. klienti) a každý z nich je charakterizován svými parametry (věk, příjem atd.) a 
každý z těchto parametrů můžeme považovat za jeden rozměr objektu.
• Maticová algebra: Základem práce s daty a výpočtů vícerozměrných metod je maticová algebra, matice 
tvoří jak vstupní, tak výstupní data a probíhají na nich výpočty.
• NxP matice: N objektů s p parametry pak vytváří tzv. NxP matici, která je prvním typem vstupu dat do 
vícerozměrných analýz. 
• Asociační matice: Na základě těchto matic jsou počítány matice asociační na nichž pak probíhají další 
výpočty, jde o čtvercové matice obsahující informace o podobnosti nebo rozdílnosti (tzv. metriky) buď 
objektů (Q mode analýza) nebo parametrů (R mode analýza).Měřítko podobnosti se liší podle použité 
metody a typu dat, některé metody umožňují použití uživatelských metrik. 
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody 
Vstupní matice vícerozměrných analýz 
22
Hodnoty parametrů pro jednotlivé objekty
NxP MATICE ASOCIAČNÍ MATICE
Korelace, kovariance, vzdálenost, podobnost
Výpočet metriky 
podobností/
vzdáleností
Vícerozměrné statistické metody 
Jednorozměrná  statistická analýza jako předpoklad vícerozměrné 
analýzy dat 
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody 
Význam statistické analýzy dat
• Výzkum na základě sběru dat je naším způsobem porozumění realitě
• Ale jak přesné a pravdivé je naše porozumění? 
24
Statistika je jedním z 
nástrojů vnášejících do 
našich výsledků určitou 
spolehlivost.
Statistiku můžeme 
považovat za ekvivalent k 
mikroskopu či jinému 
laboratornímu nástroji
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody 
Variabilita jako základní pojem ve statistice
• Naše realita je variabilní a statistika je vědou zabývající se variabilitou 
• Korektní analýza variabilita a její pochopení přináší užitečné informace o naší 
realitě
• V případě deterministického světa by statistická analýza nebyla potřebná
25
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody 
Práce s variabilitou v analýze dat
• V analýze dat existují dva hlavní přístupy k práci s variabilitou
26
Variabilita 
dat
Popisná analýza: charakterizace variability
Testování hypotéz: vysvětlení  variability
?
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody 
Co může statistika říci o naší realitě? 
• Statistika není schopna činit 
závěry o jevech 
neobsažených v našem 
vzorku.
• Statistika je nasazena v 
procesu získání informací z 
vzorkovaných dat a je 
podporou v získání naší 
znalosti a pochopení 
problému.
• Statistika není náhradou 
naší inteligence !!!
27
Možnosti
Realita
Vzorek
Data
Informace
Znalost
Pochopení
Statistika
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody 
Statistika a zobecnění výsledků
• Cílem analýzy není pouhý popis 
a analýza vzorku, ale zobecnění 
výsledků ze vzorku na jeho 
cílovou populaci 
• Pokud vzorek nereprezentuje 
cílovou populaci, vede 
zobecnění k chybným závěrům
28
Neznámá 
cílová populace
Vzorek
Analýza
Díky zobecnění výsledků 
známe vlastnosti cílové 
populace
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody 
Vzorkování a jeho význam ve statistice
• Statistika hovoří o realitě prostřednictvím vzorku!!!
• Statistické předpoklady korektního vzorkování je 
nutné dodržet
• Náhodný výběr z cílové populace
• Representativnost: struktura vzorku musí 
maximálně reflektovat realitu
• Nezávislost: několikanásobné vzorkování téhož 
objektu nepřináší ze statistického hlediska žádnou 
novou informaci
29
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody 
Velikost vzorku a přesnost statistických výstupů
• Existuje skutečné rozložení a skutečný 
průměr měřené proměnné
• Z jednoho měření nezjistíme nic 
• Vzorek určité velikosti poskytuje odhad 
reálné hodnoty s definovanou spolehlivostí
• Vzorkování všech existujících objektů 
poskytne skutečnou hodnotu dané popisné 
statistiky, nicméně tento přístup je ve 
většině případech nereálný. 
30
???
Odhad 
průměru atd.
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody 
Předpoklady statistické analýzy
• WWW.WIKIPEDIA.ORG:
– Statistika je matematickou vědou zabývající se shromážděním, 
analýzou, interpretací, vysvětlením a prezentací dat. Může být 
aplikována v širokém spektru vědeckých disciplín od přírodních 
až po sociální vědy. Statistika je využívána i jako podklad pro 
rozhodování, kdy nicméně může být záměrně i nevědomky 
zneužita. 
• Statistika využívá matematické modely reality k zobecnění 
výsledků experimentů a vzorkování. 
• Statistika funguje korektně pouze pokud jsou splněny 
předpoklady jejích metod a modelů. 
31
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody 
Normální rozložení jako předpoklad statistické analýzy 
dat
• Normální rozložení (Gaussova křivka) je jedním z hlavních modelů ve statistické analýze dat
• Řada metod popisné statistiky je založena na modelu normálního rozložení
– Průměr, směrodatná odchylka atd.
• Řada metod testování hypotéz je založena na modelu normálního rozložení
– T‐test, ANOVA, korelace, regrese 
• Použití modelu je možné pouze pokud reálná data odpovídají danému modelovému 
rozložení
32
Průměr a směrodatná odchylka 
dobře popisují realitu
Průměr a směrodatná odchylka 
nepopisují realitu
Reálná data
Model normálního 
rozložení
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody 
Obecné schéma aplikace statistické analýzy
33
Vzorkování
Experimentální 
design
Jak velký vzorek je nezbytný pro statisticky relevantní výsledky? 
Klíčová stratifikační kritéria cílové populace.
Vzorkovací plán zabezpečující náhodnost a reprezentativnost vzorku.
Uložení a 
management dat
Uložení dat ve vhodné formě a jejich vyčištění předcházející vlastní analýze je 
klíčovým krokem statistické analýzy.
Vizualizace dat
Grafická inspekce dat je nezbytným krokem analýzy vzhledem ke schopnosti 
lidského mozku primárně akceptovat obrazová data. Poskytne vhled do dat, 
představu o jejich rozložení, vazbách proměnných apod.
Popisná analýza
Popisná analýza umožňuje vyhodnotit srovnáním s existující literaturou 
realističnost naměřených rozsahů dat.
Testování hypotéz
Testování vazeb mezi různými proměnnými s cílem navzájem vysvětlit jejich 
variabilitu a tím přispět k pochopení řešeného problému.
Modelování
Možným vyvrcholením analýzy je využití získaných znalostí a pochopení 
problému k vytvoření prediktivních modelů.
Vícerozměrné statistické metody 
Popisná statistika a její spolehlivost
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody 
Typy proměnných a jejich popisné statistiky
• Kvalitativní/kategorická
– binární  ‐ ano/ne
– nominální  ‐ A,B,C … několik kategorií
– ordinální ‐ 1<2<3 …několik kategorií a můžeme se ptát, která je větší
– Popis procentuálním zastoupením kategorií
• Kvantitativní
– nespojitá – čísla, která však nemohou nabývat všech hodnot (např. počet porodů)
– spojitá – teoreticky jsou možné všechny hodnoty (např. krevní tlak)
– Popis celou řadou deskriptivních statistik (průměr, medián, percentily, směrodatná 
odchylka, rozsah hodnot apod.)
35
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody 
Řada dat a její vlastnosti
36
Kategorie Četnost
B 5
C 8
D 1
Kvalitativní data
Tabulka s četností jednotlivých kategorií.
Kvantitativní data
Četnost hodnot rozložení v 
jednotlivých intervalech.
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody 
Populace a vzorek
• Populace představuje veškeré možné objekty vzorkování, např. veškeré 
obyvatelstvo ČR při sledování na úrovni ČR, z populace získáme reálné parametry 
rozložení
• Z populace je prováděno vzorkování za účelem získání reprezentativního vzorku 
(sample) populace, toto vzorkování by mělo být náhodné, důležitá je také velikost 
vzorku, ze vzorku získáme odhady parametrů rozložení
37
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody 
Popisná statistika: odhad reality
• Při výpočtu popisné statistiky počítáme popisnou statistiku vzorku, která je zároveň 
odhadem pro celou cílovou populaci
• Skutečnou hodnotu statistiky v cílové populaci nemůžeme poznat bez vzorkování 
celé cílové populace 
38
O populaci nevíme nic
Odhadujeme popisné 
statistiky populace
Známe skutečnou hodnotu 
statistiky v populaci
Nesmyslné
Obvykle 
nerealizovatelné
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody 
Koncept intervalu spolehlivosti a jeho interpretace
• Při výpočtu odhadu popisné statistiky nás zajímá nejenom její vlastní hodnota 
(bodový odhad) ale také její rozsah spolehlivosti
• Interval spolehlivosti závisí na:
– Velikosti vzorku
– Variabilitě dat
– Požadované spolehlivosti
• Interval spolehlivosti lze spočítat pro jakoukoliv statistiku (průměr, směrodatná 
odchylka, korelace, procentuální zastoupení apod.)
• Interval spolehlivosti poskytuje vodítko jak „spolehlivé“ jsou naše výsledky a s 
jakou pravděpodobností jich je možné opakovaně dosáhnout
• 95% interval spolehlivosti je rozsah hodnot do nějž se při opakování studie trefíme 
s 95% pravděpodobností
• Tvrzení, že v rozsahu 95% intervalu spolehlivosti leží s 95% pravděpodobností 
skutečný průměr populace není pravdivé, skutečný průměr populace neznáme !!!
39
Rozložení odhadu pro N=10 Rozložení odhadu pro N=100
Rozložení parametru v populaci
Průměr (odhadovaný parametr)
Vícerozměrné statistické metody 
Testování hypotéz
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody 
Testování hypotéz: základní principy
• Formulace hypotézy
• Výběr cílové populace a z ní reprezentativního vzorku
• Měření sledovaných parametrů
• Použití odpovídajícího testu závěr testu
• Interpretace výsledků
41
Cílová
populace
Vzorek Reprezentativnost ?
Závěr ?
Interpretace
Měření parametrů
Testy hypotéz
?
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody 
Statistické testování – základní pojmy
42
Nulová hypotéza HO
Alternativní hypotéza HA
Testová statistika
Kritický obor testové statistiky
0 T
Pozorovaná hodnota – Očekávaná hodnota
Variabilita dat
Testová statistika =
HO: sledovaný efekt je nulový
HA: sledovaný efekt je různý mezi skupinami
* Velikost vzorku
Statistické testování odpovídá
na otázku zda je pozorovaný
rozdíl náhodný či nikoliv. K
odpovědi na otázku je využit
statistický model – testová
statistika.
Statistická významnost (p) – odvozena z testové statistiky a znamená
pravděpodobnost, že pozorovaný rozdíl je výsledkem pouhé náhody
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody 
Co znamená pravděpodobnost, že pozorovaný rozdíl 
je výsledkem pouhé náhody ?
43
Je tu rozdíl?
Jak by vypadal
rozdíl, kdyby
byl náhodný?
Nasimulujme si
ho !!! 
Léčba
Placebo
X2
X1
X2
X1
Rozdíl?
Rozdíl
X2
X1
Rozdíl
….
Mnoho-
krát
Rozdíl ?
Rozložení možných
náhodných rozdílů
Kde leží skutečný
rozdíl?
Jak moc je
pravděpodobné, že je
náhodný?
0
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody 
Možné chyby při testování hypotéz
44
Závěr testu
Hypotézu
nezamítáme
Hypotézu
zamítáme
β 1‐ β
1‐ α α
Skutečnost
H0
Platí
H0
Neplatí
• I přes dostatečnou velikost vzorku a kvalitní design experimentu se můžeme při 
rozhodnutí o zamítnutí/nezamítnutí nulové hypotézy dopustit chyby.
Správné rozhodnutí
Správné rozhodnutí
Chyba II. druhu
Chyba I. druhu
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody 
Klinická a statistická významnost
• Samotná statistická významnost nemá žádný reálný význam, je pouze měřítkem 
náhodnosti hodnoceného jevu
• Pro vyhodnocení reálné významnosti je nezbytné znát i reálně významné hodnoty
45
Statistická 
významnost
Praktická významnost
ANO NE
ANO
OK, praktická i statistická 
významnost je ve shodě, 
jednoznačný závěr
Významný výsledek je 
statistický artefakt velkého 
vzorku, prakticky nevyužitelné
NE
Výsledek může být pouhá 
náhoda, neprůkazný výsledek
OK, praktická i statistická 
významnost je ve shodě, 
jednoznačný závěr
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody 
Statistická vs. klinická významnost
46
Bodový odhad 
efektu + IS
Možnost Statistická významnost Klinická významnost
a) ne možná
b) ne možná
c) ano možná
d) ano ano
e) ne ne
f) ano ne
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Střední hodnota v 
populaci
Klinicky významná 
odchylka
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody 
Parametrické vs. neparametrické testy
47
Parametrické testy
Neparametrické testy
• Mají předpoklady o rozložení vstupujících dat (např. normální rozložení)
• Při stejném N a dodržení předpokladů mají vyšší sílu testu než testy 
neparametrické
• Pokud nejsou dodrženy předpoklady parametrických testů, potom jejich síla 
testu prudce klesá a výsledek testu může být zcela chybný a nesmyslný 
• Nemají předpoklady o rozložení vstupujících dat, lze je tedy použít i při 
asymetrickém rozložení, odlehlých hodnotách, či nedetekovatelném rozložení
• Snížená síla těchto testů je způsobena redukcí informační hodnoty původních 
dat, kdy neparametrické testy nevyužívají původní hodnoty, ale nejčastěji 
pouze jejich pořadí
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody 
One‐sample vs. two sample testy
48
One – sample testy
Two – sample testy
• Srovnávají jeden vzorek (one sample, jednovýběrové testy) s referenční 
hodnotou (popřípadě se statistickým parametrem cílové populace)
• V testu je tedy srovnáváno rozložení hodnot (vzorek) s jediným číslem 
(referenční hodnota, hodnota cílové populace)
• Otázka položená v testu může být vztažena k průměru, rozptylu, podílu hodnot 
i dalším statistickým parametrům popisujícím vzorek
• Srovnávají navzájem dva vzorky (two sample, dvouvýběrové vzorky)
• V testu jsou srovnávány dvě rozložení hodnot
• Otázka položená v testu může být opět vztažena k průměru, rozptylu, podílu 
hodnot i dalším statistickým parametrům popisujícím vzorek
• Kromě testů pro dvě skupiny hodnot existují samozřejmě i testy pro více skupin 
dat
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody 
One‐tailed vs. Two‐tailed testy
49
One – tailed testy
Two – tailed testy
• Hypotéza testu je postavena asymetricky, tedy 
ptáme se na větší než/ menší než
• Test může mít pouze dvojí výstup – jedna z 
hodnot je větší (menší) než druhá a všechny 
ostatní případy
• Hypotéza testu se ptá na otázku rovná 
se/nerovná se
• Test může mít trojí výstup – menší ‐ rovná se –
větší než
• Situace nerovná se je tedy souhrnem dvou 
možných výstupů testu (menší+větší)
Kritický obor
Kritický obor
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody 
Nepárový vs. párový design
50
Nepárový design
Párový design
• Skupiny srovnávaných dat jsou na sobě zcela
nezávislé (též nezávislý, independent
design), např. lidé z různých zemí, nezávislé
skupiny pacientů s odlišnou léčbou atd.
• Při výpočtu je nezbytné brát v úvahu
charakteristiky obou skupin dat
• Mezi objekty v srovnávaných skupinách
existuje vazba, daná např. člověkem před a
po operaci, reakce stejného kmene krys atd.
• Vazba může být buď přímo dána nebo pouze
předpokládána (v tom případě je nutné ji
ověřit)
• Test je v podstatě prováděn na diferencích
skupin, nikoliv na jejich původních datech
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody 
Statistické testy a normalita dat
51
• Normalita dat je jedním z předpokladů tzv. parametrických testů (testů založených na 
předpokladu nějakého rozložení) – např. t‐testy
• Pokud data nejsou normální, neodpovídají ani modelovému rozložení, které je použito pro 
výpočet (t‐rozložení) a test tak může lhát
• Řešením je tedy:
– Transformace dat za účelem dosažení normality jejich rozložení
– Neparametrické testy – tyto testy nemají žádné předpoklady o rozložení dat
Typ srovnání Parametrický test Neparametrický test
2 skupiny dat nepárově: Nepárový t‐test Mann Whitney test
2 skupiny dat párově: Párový t‐test Wilcoxon test, sign test
Více skupin nepárově: ANOVA Kruskal‐ Wallis test
Korelace: Pearsonův koeficient Spearmanův koeficient
Vícerozměrné statistické metody 
Základní statistické testy
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody 
One sample t‐test
53
H0 HA Testová statistika Interval spolehlivosti
t t > t
t t < t
t |t| > t
Průměr – cílová vs. výběrová populace
n
s
μx
t


(n‐1)
1‐α
(n‐1)
α
(n‐1)
1‐α/2
x
x
x x
x
x
V případě one sample testů jde o srovnání výběru dat (tedy one sample) s cílovou populací. 
Pro parametrické testy musí mít datový soubor normální rozložení. 
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody 
Dvouvýběrové testy: párové a nepárové 
54
• Při použití two sample testů srovnáváme spolu dvě rozložení. Jejich 
základním dělením je podle designu experimentu na testy párové a 
nepárové.
 Základním testem pro srovnání dvou 
nezávislých rozložení spojitých čísel 
je nepárový two‐sample t‐test
 Základním testem pro srovnání dvou 
závislých rozložení spojitých čísel je 
párový two‐sample t‐test
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody 
Dvouvýběrové testy: párové a nepárové
55
Data
Nezávislé uspořádání
Párové uspořádání
……….
……….
……….
X1  X2
X1‐ X2 = D
……….
……….X1  X2
Design uspořádání 
zásadně ovlivňuje interpretaci parametrů 
2
Ds
D
n
0D:H0 
(n = n2 = n1)
210 μμ:H 
2
1
2
1
s
x
n
2
2
2
2
s
x
n
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody 
Dvouvýběrové testy: párové a nepárové
56
……….
……….X1  X2
X1
X2
X1
X2
r = 0,954
(p < 0,001)
r = 0,218
(p < 0,812)
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody 
Předpoklady nepárového dvouvýběrového
t‐testu
57
• Náhodný výběr subjektů jednotlivých skupin z jejich cílových populací
• Nezávislost obou srovnávaných vzorků
• Přibližně normální rozložení proměnné ve vzorcích, drobné odchylky od normality ovšem 
nejsou kritické, test je robustní proti drobným odchylkám od tohoto předpokladu, 
normalita může být testována testy normality
• Rozptyl v obou vzorcích by měl být přibližně shodný (homoscedastic). Tento předpoklad je 
testován několika možnými testy – Levenův test nebo F‐test.
• Vždy je vhodné prohlédnout histogramy proměnné v jednotlivých vzorcích pro okometrické 
srovnání a ověření předpokladů normality a homogenity rozptylu – nenahradí statistické 
testy, ale poskytne prvotní představu. 
0
(x)
μ
| | |
•
•
| |
•
•
X
Varianta 1 Varianta 2
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody 
Nepárový dvouvýběrový t‐test – výpočet I
58
1. nulová hypotéza: průměry obou skupin jsou shodné, alternativní hypotéza je, že nejsou 
shodné, two tailed test
2. prohlédnout průběh dat, průměr, medián apod. pro zjištění odchylek od normality a 
nehomogenita rozptylu, provést F –test
F‐test pro srovnání dvou výběrových 
rozptylů
•Používá se pro srovnání rozptylu 
dvou skupin hodnot, často za 
účelem ověření homogenity 
rozptylu těchto skupin dat.
• V případě ověření homogenity je testována hypotéza shody rozptylů (two tailed); v případě 
shodných rozptylů je vše v pořádku a je možné pokračovat ve výpočtu t‐testu, v opačném případě 
není vhodné test počítat. 
H0 HA Testová statistika
2
2
2
1  
2
2
2
1   2
2
2
1  
2
2
2
1  
2
2
2
1   2
2
2
1  
2
2
2
1
s
s
F 
2
1
2
2
s
s
F 
 
 2
2
2
1
2
2
2
1
;min
;max
ss
ss
F 
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody 
Nepárový dvouvýběrový t‐test – výpočet II
59
3. Výpočet testové statistiky (stupně volnosti jsou):
4. výsledné t srovnáme s tabulární hodnotou t pro dané stupně volnosti a
 (obvykle =0,05)
5. Lze spočítat interval spolehlivosti pro rozdíl průměrů (např. 95%),
počet stupňů volnosti a s2 odpovídají předchozím vzorcům
   
2
11
21
2
22
2
112



nn
snsn
s
221  nn
vážený odhad 
rozptylu 
2
1 2 0,975 1 2 1 2 0,975
1 2
1 1
( ) ( ) ( )x x t SE x x x x t s
n n
 
       
 









21
2
21
11)(
_
nn
s
xx
ěrůrozdílprůoSE
průrůměRozdíl
t
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody 
Dvouvýběrový t‐test ‐ příklad
60
Průměrná hmotnost ovcí v čase páření byla srovnávána pro kontrolní skupinu a skupinu krmenou zvýšenou dávkou potravy. 
Kontrolní skupina obsahuje 30 ovcí, skupina se zvýšeným příjmem potravy pak 24 ovcí.
• Vlastní experiment byl prováděn tak, že na začátku máme  54 ovcí (ideálně stejného plemene, stejně staré atd.), které náhodně
rozdělíme do dvou skupin (náhodné rozdělování objektů  do pokusných skupin je objektem celého specializovaného odvětví statistiky 
nazývaného randomizace). Poté co experiment proběhne, musíme nejprve ověřit teoretický předpoklad pro využití nepárového t‐testu. 
Pro obě proměnné jsou vykresleny grafy (můžeme též spočítat základní popisnou statistiku), na kterých můžeme posoudit normalitu a 
homogenitu rozptylu, kromě  okometrického pohledu můžeme pro ověření normality použít testy normality, pro ověření homogenity
rozptylu pak F‐test
• Pokud platí všechny předpoklady Two sample nepárového t‐testu, můžeme spočítat testovou charakteristiku, výsledné t je 2,43 s  52 
stupni volnosti, podle tabulek je a t0,975 (52)= 2,01, tedy t> t0,975 (52)= a nulovou hypotézu můžeme zamítnout, skutečná pravděpodobnost 
je pak 0,018. Rozdíl mezi skupinami je 1,59 kg ve prospěch skupiny s lepší výživou. 
• Pro rozdíl mezi oběma soubory jsou spočítány 95% konfidenční intervaly  jako 1,59±2.01*(0,655) kg, což odpovídá rozsahu 0,28 až 2,91 
kg. To, že konfidenční interval nezahrnuje 0 je dalším potvrzením, že mezi skupinami je významný rozdíl – jde o další způsob testování 
významnosti rozdílů mezi skupinami dat – nulovou hypotézu o tom, že rozdíl průměrů dvou skupin dat je roven nějaké hodnotě 
zamítáme v případě, kdy 95% konfidenční interval rozdílu nezahrnuje tuto hodnotu (v tomto případě 0).
   
2
11
21
2
22
2
112



nn
snsn
s 221  nn
2
1 2 0,975 1 2 1 2 0,975
1 2
1 1
( ) ( ) ( )x x t SE x x x x t s
n n
 
       
 









21
2
21
11)(
_
nn
s
xx
ěrůrozdílprůoSE
průrůměRozdíl
t
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody 
Test dobré shody ‐ základní teorie
61
Binomické jevy (1/0)

2
)1(
pozorovaná
četnost
očekávaná
četnost
očekávaná četnost
= +
2 pozorovaná
četnost
očekávaná
četnost
očekávaná četnost
I. jev 1 II. jev 2
‐ 2‐
0
1
Příklad 10 000 lidí hází mincí           rub: 4 000 případů (R)
líc: 6 000 případů (L)
Lze výsledek považovat za statisticky významně odlišný
(nebo neodlišný) od očekávaného poměru R : L = 1 : 1 ?
Rozdíl je vysoce statisticky významný (p << 0,001]
    400
5000
50006000
5000
50004000
22
2
)1(





Tabulková hodnota: )195,0(84,3)1(
2
)95,0(
 
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody 
Kontingenční tabulky ‐ 0 :Nezávislost dvou jevů A a B
62
Kontingenční 
tabulka
2 x 2
N = a + b + c + d
   
N
ba
BP


   
N
dc
BP


+ ‐ Podíl (+)
+ a b
‐ c d
Podíl (+)
B A
 ca
a
  db
b

 ba
a

 dc
c

p1
p2
Očekávané četnosti:
  
N
caba
F A

)(
  
N
dbba
F B

)(
  
N
cdca
F C

)(
  
N
dcdb
F D

)(
 




4
1
2
2
1
i i
ii
F
Ff

)1(*)1(1  cr
   BA PP ;
 
 


ij
ijij
c
F
Ff
2
2
5,0

Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody 
Kontingenční tabulky: příklad
63
FA = 102 * 30 / 166 = 18,43
FB = 102 * 136 / 166 = 83,57
FC = 11,57
FD = 52,43
        423,0
43,52
43,5254
57,11
57,1110
57,83
57,8382
43,18
43,1820
2222
2
)1( 







 84,3423,0 )1(2
95,0  
Ano Ne 
Ano 20 82 102
Ne 10 54 64
 30 136 166
gen 
Kontingenční tabulka v obrázku
15,6
84,4
Zemřelí Žijící
%
20
80
Zemřelí Žijící
%c: 49%
d: 33%
a: 12%
b: 6%
Gen: ANO Gen: NE
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody 
ANOVA – základní výpočet
64
• Základním principem ANOVY je porovnání rozptylu připadajícího na:
– Rozdělení dat do skupin (tzv. effect, variance between groups)
– Variabilitu objektů uvnitř skupin (tzv. error, variance within groups), předpokládá se, že jde o 
náhodnou variabilitu (=error)
1. Variabilita mezi skupinami
Rozptyl je počítán pro celkový průměr (tzv. 
grand mean) a průměry v 
jednotlivých skupinách dat
Stupně volnosti jsou odvozeny od počtu 
skupin (= počet skupin ‐1)
2. Variabilita uvnitř skupin
Rozptyl je počítán pro průměry 
jednotlivých skupin a objekty 
uvnitř příslušných, celková 
variabilita je pak sečtena pro 
všechny skupiny
Stupně volnosti jsou odvozeny od počtu 
hodnot (= počet hodnot ‐ počet 
skupin)
11  k
kn 2
groupswithin
groupsbetween
F
_
_

Výsledný poměr 
(F) porovnáme s 
tabulkami F 
rozložení pro v1 a 
v2 stupňů volnosti
SS=sum of 
squares
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody 
Jednoduchý ANOVA design
65
Nejjednodušším případem ANOVA designu je rozdělení na skupiny podle jednoho 
parametru.
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody 
Nested ANOVA
66
• Rozdělení skupin na náhodné podskupiny (např. opakování experimentu)
• Cílem je zjistit, zda data v jedné skupině nejsou pouhou náhodou
• Nejprve je testována shoda podskupin v hlavních skupinách, 
• pokud jsou shodné, je vše v pořádku
• pokud nejsou, stále lze zjišťovat, zda se variabilita uvnitř hlavních skupin liší od 
celkové variability
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody 
Two way ANOVA
67
Pro rozdělení do kategorií je zde více parametrů
Na rozdíl od nested ANOVY nejde o náhodná opakování experimentu, ale o řízené 
zásahy (např.vliv pH a koncentrace O2)
Kromě vlivu hlavních faktorů se uplatňuje i jejich interakce
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody 
Modely analýzy rozptylu ‐ základní výstup
68
Základním výstupem analýzy rozptylu je
Tabulka ANOVA - frakcionace komponent rozptylu
Zdroj rozptylu
Pok. zásah
(mezi skupinami)
Uvnitř skupin
Celkem
SSB/SST
MSB/MST
St. v.
a ‐1                        SSB SSB/(a ‐1)        MSB/MSE
N ‐ a                       SSE  SSE/(N ‐ a)
N ‐1                        SST
SS MS F
Kvantifikovaný podíl rozdílu mezi pokusnými zásahy na celkovém 
rozptylu
Statistická významnost rozdílu
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody 
Základy korelační analýzy I
69
Korelace ‐ vztah (závislost) dvou znaků (parametrů)
Y2
X1
Y2
X1
Y2
X1
ANO NE
ANO a b
NE c d
X1
X2
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody 
Základy korelační analýzy II
70
Parametrické míry korelace
Kovariance
Pearsonův koeficient 
korelace)).((),( yyxxEyxCov ii 
0
0 0
‐‐ x ‐‐ y
Y2
X1
r = 1
r = ‐1
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody 
Základy korelační analýzy III
71
PI (zem) 10 14 15 32 40 20 16 50
PI (rostl.) 19 22 26 41 35 32 25 40
6;8;,.....,1  vnnI
   
7176,0
11
1
.
),(
2222












  
  
iiii
iiii
yx
y
n
yx
n
x
yx
n
yx
SS
yxCov
r
I. 05,0::0  H
  7076,06 vr:tab
II.  :0H
2
1 2







 n
r
r
t 2 nv
0
,
0
5
P








447,2
524,26
6965,0
7176,0
)2(
975,0
n
t
t
:tab
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody 
Základy regresní analýzy
72
Regrese ‐ funkční vztah dvou nebo více proměnných
Jednorozměrná
y = f(x)
Vícerozměrná
y = f(x1, x2, x3, ……xp)
Vztah x, y
Deterministický
Regresní, stochastický
Y
X
Y
X
Y
X
Pro každé x existuje pravděpodobnostní rozložení y
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová: Vícerozměrné statistické metody 
Regresní analýza přímky: lineární regrese
73
  XexbaY
y
xbyaa  :)(intercept
slope)(sklon;xbX 
   xNe ye
22
;0;0   :složkanáhodná-
}Komponenty 
tvořící y se 
sčítají
 ‐ náhodná složka modelu přímky = rezidua přímky
  reziduírozptyl
22
xye 