Vícerozměrná data, jejich popis a vizualizace
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová, Eva Janoušová, Lucie Brožová: Pokročilé statistické metody
Vícerozměrná data
2
ID Pohlaví Věk Váha
MMSE
skóre
Objem
hipokampu
…
1 muž 84 85,5 29 7030
2 žena 25 62,0 28 6984
3
4
…
PROMĚNNÉ
OBJEKTY (SUBJEKTY)
Poznámka: proměnné označovány i jako znaky, pozorování, diskriminátory, příznakové 
proměnné či příznaky
Anglicky označení pouze jedním termínem: feature
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová, Eva Janoušová, Lucie Brožová: Pokročilé statistické metody
Maticový zápis datového souboru
3
ID Pohlaví Věk Váha
MMSE
skóre
Objem
hipokampu
…
1 muž 84 85,5 29 7030
2 žena 25 62,0 28 6984
…
PROMĚNNÉ
OBJEKTY 
(SUBJEKTY)















npnn
p
p
xxx
xxx
xxx




21
22221
11211
X
maticový zápis datového 
souboru n objektů 
(subjektů), které jsou 
popsané p proměnnými
jeden prvek matice xij je hodnota j‐té proměnné u i‐tého objektu 
(subjektu), přičemž  j = 1, ..., p a i = 1, ..., n
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová, Eva Janoušová, Lucie Brožová: Pokročilé statistické metody
Typy dat ‐ opakování
• Kvalitativní (kategoriální) data:
• Binární data
• Nominální data
• Ordinální data
• Kvantitativní data:
• Intervalová data
• Poměrová data
4
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová, Eva Janoušová, Lucie Brožová: Pokročilé statistické metody
Vizualizace jednorozměrných dat ‐ opakování
5
47.1%
52.9%
Ženy (N=54) Muži (N=48)
Pohlaví
N=102
Koláčový graf Sloupkový graf
0
5
10
15
20
25
do
50
50
-54
55
-59
60
-64
65
-69
70
-74
75
-79
80
-84
nad
85
Věk (roky)
%
0
25
50
75
100
Maximum
Minimum
Medián
75% percentil
25% percentil
Krabicový graf (Box Plot)Histogram
0
5
10
15
20
25
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová, Eva Janoušová, Lucie Brožová: Pokročilé statistické metody
K čemu nám může pomoci vizualizace dat?
6
id vek pohlavi cholesterol vyska vaha obvod_pasu obvod_boku BMI sys_tlak dia_tlak
1 38 Z 4.6 164 45 60 87 16.7 120 80
2 36 Z 4.35 167 90 97 112 32.3 130 80
3 26 Z 178 70 72 94 22.1 127 80
4 25 Z 4.2 165 59 65 92 21.7 130 80
5 47 M 5.65 158 92 96 26.8 155 90
6 21 Z 6.35 172 61 69 98 20.6 135 80
7 23 Z 3.45 170 82 92 113 28.4 130 80
8 35 M 7.99 179 90 101 110 28.1 140 88
9 33 Z 4.88 167 57 70 92 20.4 140 85
10 48 Z 9.56 164 70 93 107 26.0 250 97
11 25 M 3.1 186 75 81 102 21.7 120 70
12 41 Z 10 167 62 71 101 22.2 140 90
13 29 ZZ 4.2 165 58 66 98 21.3 120 80
14 24 M 5.62 174 80 92 107 26.4 156 90
15 58 Z 7.9 164 63 73 100 23.4 135 90
Chybějící hodnotyChybné hodnoty Odlehlé hodnoty
→ odhalení problémů v datech
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová, Eva Janoušová, Lucie Brožová: Pokročilé statistické metody
Problémy v datech – chybějící hodnoty
• snaha, aby v datech vůbec nenastaly
• pokud však nastanou, je silně nedoporučováno dělat každou analýzu na jinak velkém 
souboru (tzv. „casewise“ odstraňování objektů) → 3 možná řešení:
7
1. vyloučit z analýzy všechny objekty, u nichž se vyskytla nějaká chybějící
hodnota (tzv. „listwise“ odstranění objektů):
‐ pokud chybějících hodnot mnoho, zbyde pouze málo objektů
‐ pozor na systematicky chybějící hodnoty – může dojít ke zkreslení
výsledků analýz
‐ občas vhodné odstranit proměnné s mnoha chybějícími hodnotami místo
objektů, pokud proměnné nejsou důležité pro analýzu
2. definování souboru s vyplněnými „klíčovými“ proměnnými:
‐ na tomto souboru provedena většina analýz
‐ další analýzy dělány na podsouboru s menším počtem subjektů
3. doplnění chybějících hodnot (tzv. imputace):
‐ doplnění průměrem z hodnot, které jsou pro danou proměnnou k dispozici
‐ doplnění hodnot na základě regresních modelů
‐ pozor! doplnění hodnot však může zkreslit výsledky analýz
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová, Eva Janoušová, Lucie Brožová: Pokročilé statistické metody
Problémy v datech – odlehlé hodnoty
• k identifikaci odlehlých hodnot mohou pomoci např. tečkové, maticové či 
krabicové grafy
• je třeba rozlišovat:
8
1. odlehlé hodnoty, které jsou způsobeny chybou (měřících přístrojů apod.) ‐
jsou to většinou nereálné hodnoty → je vhodné je smazat a dále s nimi
zacházet jako s chybějícími hodnotami
2. odlehlé hodnoty, které jsou fyziologické (tzn. jsou to reálné hodnoty) → je
vhodné tyto hodnoty v datech ponechat, pokud je to možné a nezkreslí to
analýzu a použít neparametrické metody analýzy dat
‐ příklad, kdy je vhodné odlehlou hodnotu v souboru ponechat: pacienti
Alzheimerovou chorobou v našem souboru mají hodnotu MMSE skóre větší
než 15, jeden pacient má však hodnotu skóre 7 (je to reálná hodnota,
smazáním bychom uměle snížili variabilitu)
‐ příklad, kdy je nevhodné odlehlou hodnotu v souboru ponechat: chceme měřit
výšku 15‐letých dětí – dítě trpící nanismem měřící 80 cm by průměrnou výšku
velice zkreslilo, proto ho ze souboru vyřadíme
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová, Eva Janoušová, Lucie Brožová: Pokročilé statistické metody
Vizualizace vícerozměrných dat
• 3D sloupkové grafy
• dvourozměrný histogram
• maticové grafy
• krabicové grafy pro více proměnných
• ikonové (symbolové) grafy:
– profilové sloupce
– profily
– paprskové (hvězdicové) grafy
– polygony
– pavučinové grafy
– Chernoffovy tváře
9
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová, Eva Janoušová, Lucie Brožová: Pokročilé statistické metody
3D sloupkové grafy
• vzájemný výskyt kategorií dvou kategoriálních proměnných
• v softwaru Statistica: Graphs – 3D Sequential Graphs – Bivariate Histograms...
10
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová, Eva Janoušová, Lucie Brožová: Pokročilé statistické metody
Dvourozměrný histogram
• pro vykreslení vztahu dvou spojitých proměnných
• v softwaru Statistica: Graphs – 3D Sequential Graphs – Bivariate Histograms...
11
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová, Eva Janoušová, Lucie Brožová: Pokročilé statistické metody
Tečkový graf
• rovněž pro vykreslení vztahu dvou spojitých proměnných 
• v softwaru Statistica: Graphs – Scatterplots...
12
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová, Eva Janoušová, Lucie Brožová: Pokročilé statistické metody
Tečkový graf – přidání kategoriální proměnné
• zahrnutí kategoriální proměnné do grafu použitím různých symbolů či barev pro 
jednotlivé skupiny určené danou kategoriální proměnnou
• v softwaru Statistica: Graphs – Scatterplots – na záložce Categorized zahrnout On u 
X‐Categorized, vybrat kategoriální proměnnou pomocí Change Variable a změnit 
Layout na Overlaid
13
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová, Eva Janoušová, Lucie Brožová: Pokročilé statistické metody
Maticový graf
• vykreslení vztahu více spojitých proměnných
• v softwaru Statistica: Graphs – Matrix Plots...
• upozornění:  nastavení, jak se vypořádat s chybějícími hodnotami
14
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová, Eva Janoušová, Lucie Brožová: Pokročilé statistické metody
Maticový graf – na diagonále krabicové grafy
• v softwaru Statistica: Graphs – Matrix Plots...; na záložce Advanced zatrhnout 
Display: Box plot
15
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová, Eva Janoušová, Lucie Brožová: Pokročilé statistické metody
Krabicové grafy pro více proměnných
• ukáží nám, zda mají proměnné podobný rozsah hodnot
• v softwaru Statistica: označit příslušné sloupečky v datech – Graphs – Graphs of 
Block Data – Box Plot: Block columns
16
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová, Eva Janoušová, Lucie Brožová: Pokročilé statistické metody
Vícenásobné krabicové grafy
• umožňují znázornění vztahu několika kvalitativních proměnných a jedné 
kvantitativní proměnné
17
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová, Eva Janoušová, Lucie Brožová: Pokročilé statistické metody
Ikonové (symbolové) grafy
• hodnoty znaků znázorněny jako geometrické útvary či symboly
• každému objektu (subjektu) odpovídá jeden obrazec složený z těchto 
geometrických útvarů či symbolů
• umožní vizuálně porovnat, které objekty (subjekty) jsou si podobné
• mnoho druhů, v softwaru Statistica např.:
1. Profilové sloupce
2. Profily
3. Paprskové (hvězdicové) grafy
4. Polygony
5. Pavučinové grafy
6. Chernoffovy tváře
18
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová, Eva Janoušová, Lucie Brožová: Pokročilé statistické metody
Ikonové grafy – profilové sloupce
• výšky sloupců odpovídají relativním hodnotám proměnných (relativní 
hodnota je podíl původní hodnoty a maxima z absolutních hodnot dané 
proměnné)
• v softwaru Statistica: Graphs – Icon Plots... – Graph type: Columns
– zvolit proměnné – na záložce Options 1 zatrhnout „Display case labels“
19
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová, Eva Janoušová, Lucie Brožová: Pokročilé statistické metody
Ikonové grafy – profily
• obdoba profilových sloupců, jen se středy horních hran profilových 
sloupců spojí úsečkami
• v softwaru Statistica: Graphs – Icon Plots... – Graph type: Profiles
– zvolit proměnné – na záložce Options 1 zatrhnout „Display case labels“
20
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová, Eva Janoušová, Lucie Brožová: Pokročilé statistické metody
Ikonové grafy – paprskové (hvězdicové) grafy
• vzdálenosti od středu odpovídají relativním hodnotám proměnných
• v softwaru Statistica: Graphs – Icon Plots... – Graph type: Stars
– zvolit proměnné – na záložce Options 1 zatrhnout „Display case labels“
21
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová, Eva Janoušová, Lucie Brožová: Pokročilé statistické metody
Ikonové grafy – polygony
• obdoba paprskových grafů, jen jsou vyplněné
• v softwaru Statistica: Graphs – Icon Plots... – Graph type: Polygons
– zvolit proměnné – na záložce Options 1 zatrhnout „Display case labels“
22
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová, Eva Janoušová, Lucie Brožová: Pokročilé statistické metody
Ikonové grafy – pavučinové grafy
• obdoba paprskových grafů, přidáno znázornění maxima absolutních hodnot
• v softwaru Statistica: Graphs – Icon Plots... – Graph type: Sun Rays
– zvolit proměnné – na záložce Options 1 zatrhnout „Display case labels“
23
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová, Eva Janoušová, Lucie Brožová: Pokročilé statistické metody
Ikonové grafy – Chernoffovy tváře
• proměnné znázorněny jako části obličeje
• v softwaru Statistica: Graphs – Icon Plots... – Graph type: Chernoff Faces
– zvolit proměnné – na záložce Options 1 zatrhnout „Display case labels“
24
Vícerozměrné statistické rozdělení a testy
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová, Eva Janoušová, Lucie Brožová: Pokročilé statistické metody
Význam rozdělení ve vícerozměrném prostoru
• Použitelnost mnohých klasických statistických metod a postupů vyžaduje 
předpoklad o normálním rozdělení sledovaných proměnných. 
• Podmínka normality vyplývá z toho, že metody založené na tomto předpokladu 
mohou využít kompletní matematický aparát schovaný za danou statistickou 
metodou. Tyto metody jsou také relativně snadno pochopitelné a se získanými 
řešeními se dobře pracuje. 
• Ovšem v reálném světě bývá obtížné předpoklad o normálním rozložení dodržet, 
v mnohých oblastech přírodních a mnohdy i technických oborů není tento 
předpoklad samozřejmostí. 
• Předpokládejme však normalitu a předpoklad o jedné normálně rozložené 
náhodné proměnné můžeme rozšířit na předpoklad simultánního normálního 
rozložení dvou a více náhodných proměnných. Některé vícerozměrné postupy a 
metody vycházejí z předpokladu vícerozměrného normálního rozdělení. 
Vícerozměrné normální rozdělení může být také velmi užitečnou aproximací 
různých jiných simultánních rozdělení. 
26
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová, Eva Janoušová, Lucie Brožová: Pokročilé statistické metody
Rozdělení dat ve vícerozměrném prostoru
27
• Klasická jednorozměrná rozdělení a testy mají svůj protějšek ve vícerozměrném 
prostoru; analogii lze nalézt v podstatě ke každému z nich 
• Obrázky zobrazují 1D, 2D a 3D normální rozdělení
• Při popisu vícerozměrných dat se uplatňují stejné charakteristiky jako při popisu 
dat jednorozměrných, nicméně nyní již ne jako jedno číslo, ale jako vektor 
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
0
50
100
150
200
250
300
350
400
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová, Eva Janoušová, Lucie Brožová: Pokročilé statistické metody
Pojmy popisu vícerozměrných rozdělení
• Centroid
– průměr nebo medián nebo jiná charakteristika středu spočtená pro všechny dimenze
– Je popsán vektorem charakteristik středu
– Používán jako popisná statistika nebo i jako součást výpočtu shlukovacích metod
– „virtuální střed vícerozměrného shluku“ 
• Medoid
– Medoid je reprezentativní objekt datového souboru nebo shluku v datech, jehož průměr 
podobnosti od všech ostatních objektů v datech nebo ve shluku je minimální. 
– Medoid má podobný význam jako průměr nebo centroid, jen je vždy reprezentován 
reálným objektem z datového souboru. 
– Medoid bývá nejčastěji používán tam, kde není definován průměr nebo centroid (např. 
tří a vícerozměrný prostor). Tento termín se používá při shlukové analýze.
28
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová, Eva Janoušová, Lucie Brožová: Pokročilé statistické metody
Vícerozměrné charakteristiky rozdělení
• Základní charakteristikou vícerozměrného rozdělení je vektor středních hodnot
(vektor průměrů) 
• a kovariační matice
• kde je  kovariance dvou náhodných veličin, tj.
29
 















)E(X
)E(X
)E(X
E
p
2
1

X















2
21
2
2
212
121
2
1
)cov()var(
ppp
p
p







XXΣ
ij
       jjiijiij XEXXEXEX,Xcovσ 
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová, Eva Janoušová, Lucie Brožová: Pokročilé statistické metody
Příklad
• Spočtěte vektor středních hodnot a výběrovou kovarianční matici pro soubor 3 
subjektů, u nichž byly naměřeny hodnoty objemu hipokampu a mozkových komor, 
přičemž naměřené hodnoty byly zaznamenány do následující datové matice:
30
Janoušová: Vícerozměrné metody ‐ cvičení
𝐗
2 12
4 10
3 8
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová, Eva Janoušová, Lucie Brožová: Pokročilé statistické metody
Příklad ‐ řešení 
31
Vektor středních hodnot:
𝐱
1
𝑛
x
1
𝑛
x
1
3
2 4 3
1
3
12 10 8 3 10
s ∑ x x 2 3 4 3 3 3 1 1 0 1
ID
Objem
hipokampu
Objem
mozkových komor
1 2 12
2 4 10
3 3 8
1 2 3 4 5
7
8
9
10
11
12
13
Objem hipokampu
Objem mozkových komor
Kovarianční matice:
→ 𝐒
1 1
1 4
ID
Objem
hipokampu
Objem
mozkových komor
1 2 12
2 4 10
3 3 8
s ∑ x x 12 10 10 10 8 10 4
s s ∑ x x x x 2 3 12
10 4 3 10 10 3 3 8 10 ‐1
𝐒
s s
s s , kde:
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová, Eva Janoušová, Lucie Brožová: Pokročilé statistické metody
Příklady vícerozměrného rozdělení
• R – knihovna MSBVAR
32
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová, Eva Janoušová, Lucie Brožová: Pokročilé statistické metody
Příklad vícerozměrného rozdělení I
33
vmat1=matrix(c(1,0,0, 0,1,0, 0,0,1),3,3)
x1<‐rmultnorm(1000,c(10,10, 10), vmat1, tol = 1e‐10)
write.table(x1,"x1.txt")
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová, Eva Janoušová, Lucie Brožová: Pokročilé statistické metody
Příklad vícerozměrného rozdělení II
34
vmat2=matrix(c(1,0.5,0.5, 0.5,1,0.5, 0.5,0.5,1),3,3)
x2<‐rmultnorm(1000,c(10,10, 10), vmat2, tol = 1e‐10)
write.table(x2,"x2.txt")
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová, Eva Janoušová, Lucie Brožová: Pokročilé statistické metody
Příklad vícerozměrného rozdělení III
35
vmat4=matrix(c(1,0.7,0.7, 0.7,1,0.7, 0.7,0.1,1),3,3)
x4<‐rmultnorm(1000,c(10,10, 10), vmat4, tol = 1e‐10)
write.table(x4,"x4.txt")
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová, Eva Janoušová, Lucie Brožová: Pokročilé statistické metody
Příklad vícerozměrného rozdělení IV
36
vmat3=matrix(c(1,1,1, 1,1,1, 1,1,1),3,3)
x3<‐rmultnorm(1000,c(10,10, 10), vmat3, tol = 1e‐10)
write.table(x3,"x3.txt")
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová, Eva Janoušová, Lucie Brožová: Pokročilé statistické metody
Wishartovo rozdělení
• Wishartovo rozdělení je vícerozměrným zobecněním chi‐square rozdělení
• Při odvození některých důležitých algoritmů ve vícerozměrné statistické analýze se 
uplatňuje dále uvedená vlastnost Wishartova rozdělení. 
• Součet nezávislých náhodných matic s Wishartovým rozdělením se shodnou
střední hodnotou je rovněž Wishartovo rozdělení se stejnou střední hodnotou, 
přičemž stupně volnosti se sčítají.
37
 













ΣA
ΣA
A...AAA 21
,νW~
H1,2,...,h,,νW~
H
1h
hph
hph
H
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová, Eva Janoušová, Lucie Brožová: Pokročilé statistické metody
Hotellingovo rozdělení
• Jedná se o zobecnění t‐ rozdělení pro p‐rozměrný prostor
• Uvažujme regulární čtvercovou matici A p‐tého řádu a rozdělením a na A nezávislý p‐
položkový vektor a s rozdělením Potom kvadratická forma má
Hotellingovo rozdělení T2 (p, ν – p+1).
• V jednorozměrném normálním rozdělení se při testování hypotéz o střední hodnotě používá
statistika (jednovýběrový t‐test)
• Druhou mocninu této statistiky můžeme upravit a zapsat ve tvaru
Tento výraz odpovídá p‐rozměrné statistice, vhodné k úsudku o μ, která má Hotellingovo
rozdělení T2 s p a n–p stupni volnosti, jedná se tedy o zobecnění t‐ rozdělení pro p‐rozměrný
prostor. Můžeme tedy psát
38
     pnp,T~SμxnΣμ,N~x 21T
p  
 Σ,Wp 
 c
N Σ,opp
aAa 1T 
 cQ1
 
 
 1-nt~
n
xs
μx
σμ,N~
2
2 
X
      μxxsμxnt
122


Jiří Jarkovský, Simona Littnerová, Eva Janoušová, Lucie Brožová: Pokročilé statistické metody
Normalita ve vícerozměrném prostoru
• Normalita ve vícerozměrném prostoru
39
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová, Eva Janoušová, Lucie Brožová: Pokročilé statistické metody
Nenormální rozložení ve vícerozměrném prostoru
40
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
+
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová, Eva Janoušová, Lucie Brožová: Pokročilé statistické metody
Nenormální rozložení ve vícerozměrném prostoru
41
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová, Eva Janoušová, Lucie Brožová: Pokročilé statistické metody
Je normalita v jednorozměrném prostoru jedinou 
podmínkou vícerozměrné normality? 
42
+
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
0
50
100
150
200
250
300
350
400
6 7 8 9 10 11 12 13 14
0
50
100
150
200
250
300
350
400
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová, Eva Janoušová, Lucie Brožová: Pokročilé statistické metody
Je normalita v jednorozměrném prostoru jedinou 
podmínkou vícerozměrné normality? 
43
+
6.0
6.5
7.0
7.5
8.0
8.5
9.0
9.5
10.0
10.5
11.0
11.5
12.0
12.5
13.0
13.5
14.0
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
6.0
6.5
7.0
7.5
8.0
8.5
9.0
9.5
10.0
10.5
11.0
11.5
12.0
12.5
13.0
13.5
14.0
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová, Eva Janoušová, Lucie Brožová: Pokročilé statistické metody
Je normalita v jednorozměrném prostoru jedinou 
podmínkou vícerozměrné normality? 
44
+
6.0
6.5
7.0
7.5
8.0
8.5
9.0
9.5
10.0
10.5
11.0
11.5
12.0
12.5
13.0
13.5
14.0
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
6.0
6.5
7.0
7.5
8.0
8.5
9.0
9.5
10.0
10.5
11.0
11.5
12.0
12.5
13.0
13.5
14.0
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
6 7 8 9 10 11 12 13 14
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová, Eva Janoušová, Lucie Brožová: Pokročilé statistické metody
Vícerozměrný outlier
45
+
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
0
50
100
150
200
250
300
350
400
6 7 8 9 10 11 12 13 14
0
50
100
150
200
250
300
350
400
Vícerozměrná odlehlá 
hodnota (outlier)
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová, Eva Janoušová, Lucie Brožová: Pokročilé statistické metody
Ověření dvourozměrné normality
46
Bagplot = „bivariate boxplot“ (tzn. „dvourozměrný krabicový graf“)
v softwaru Statistica: Graphs – 2D Graphs – Bag Plots
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová, Eva Janoušová, Lucie Brožová: Pokročilé statistické metody
Ověření dvourozměrné normality
47
Vykreslení regulační elipsy („control“ elipse):
v softwaru Statistica: Graphs – Scatterplots – na záložce Advanced zvolit Elipse Normal
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová, Eva Janoušová, Lucie Brožová: Pokročilé statistické metody
Srovnání průměrů ve vícerozměrném prostoru
• Pro zobecnění t‐testu pro p 
rozměrů se využívá Hottelingovo
rozdělení
• kde (nejčastěji δ = 0), má
opět Hotellingovo rozdělení
s parametry p, n – p –1
48
   δxxSδxx
n
nn
T 21
1T
21
212


21 μμδ 
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová, Eva Janoušová, Lucie Brožová: Pokročilé statistické metody
Typy transformací a jiných úprav vícerozměrných dat
• normalizace dat (= převod na normální rozdělení)
• standardizace dat
• min‐max normalizace
• centrování dat
• odstranění vlivu kovariát na jiné proměnné
49
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová, Eva Janoušová, Lucie Brožová: Pokročilé statistické metody
Normalizace dat
• převod na normální rozdělení (normalita je předpokladem řady statistických testů).
• např. logaritmická transformace: X = ln(Y) nebo X = ln(Y+1), pokud data obsahují 
hodnotu 0 
• další příklady:
– odmocninová transf. (pro proměnné s Poissonovým rozložením nebo 
obecně data typu počet jedinců, buněk apod.:               nebo
– arcsin transfomace (pro proměnné s binomickým rozložením)
– Box‐Coxova tranformace
f(y)
y
f(x)
ln (y)
X = ln(Y)
Asymetrické rozdělení Normální rozdělení
Medián Průměr
Medián PrůměrGeometrický průměr
YX  1 YX
50
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová, Eva Janoušová, Lucie Brožová: Pokročilé statistické metody
Standardizace dat
• důvod: převod proměnných na stejné měřítko
• standardizace:  𝑧
̅
(tzn. odečtení průměru od jednotlivých hodnot a 
podělení směrodatnou odchylkou)
• proměnné budou mít rozsah přibližně od ‐3 do 3
• získáme tím současně i tzv. z‐skóre (které vyjadřuje, o kolik směrodatných odchylek 
se i‐tá hodnota odchýlila od průměru)
51
• pozor: standardizace je nevhodná v případě, že proměnné nemají
normální rozdělení a že se v datech vyskytují odlehlé hodnoty!!!
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová, Eva Janoušová, Lucie Brožová: Pokročilé statistické metody
Min‐max normalizace
• důvod: převod proměnných na stejné měřítko
• oproti standardizaci vhodná i na proměnné nemající normální rozdělení či 
obsahující odlehlé hodnoty
• min‐max normalizace:  𝑦
• rozsah hodnot proměnných po min‐max normalizaci je od 0 do 1 
52
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová, Eva Janoušová, Lucie Brožová: Pokročilé statistické metody
Centrování dat
• odečtení průměru od dat – získáme novou proměnnou, která bude mít průměr 
roven nule
• důvod: centrování je důležitou podmínkou některých pokročilých statistických 
metod (např. klasifikačních)
• centrování: 𝑧 𝑥 𝑥̅
53
Jiří Jarkovský, Simona Littnerová, Eva Janoušová, Lucie Brožová: Pokročilé statistické metody
1. V prvním kroku definujeme regresní model vztahu kovariáty (např. věku) a dané proměnné
2. Pro každého pacienta je vypočteno jeho reziduum od regresní přímky
3. Reziduum (představující hodnotu parametru po odečtení vlivu věku, jeho průměr je 0) je 
přičteno k průměrné hodnotě parametru
4. Výsledná adjustovaná hodnota má odečten vliv věku, ale zároveň není změněna číselná 
hodnota parametru
54
Původní data Adjustovaná data
Odstranění vlivu kovariát (tzv. adjustace)
Věk Věk
Věk Věk
Objem amygdaly Objem amygdaly
Objem amygdaly
Objem amygdaly