Výzva ekologie a sociologie: dynamické systémy CORE004 Matematika jako součást kultury Zdeněk Pospíšil 707@mail.muni.cz Masarykova univerzita 25. listopadu 2021 V březnu někdo přišel s tím matematickým modelem a v srpnu někdo, sice byl to ten stejný člověk, ale už přišel v nějakém čase a ty, který měli přijít, nepřišli. youtube: Filip Beneš na labelu Antonín Blaník Records Z. Pospíšil ·Dynamické systémy ·25. listopadu 2021 2 / 15 Obsah Historické příklady Demografie Epidemiologie Populační dynamika Ekonomie Příklad Dynamický systém Z. Pospíšil ·Dynamické systémy ·25. listopadu 2021 3 / 15 Historické příklady Demografie Růst populace Euler, Malthus L. Euler: Introductio in analysin infinitorum, Tomus primus, Lausanne 1748 Leonhard Euler, 1707–1783 Z. Pospíšil ·Dynamické systémy ·25. listopadu 2021 4 / 15 Historické příklady Demografie Růst populace Euler, Malthus L. Euler: Introductio in analysin infinitorum, Tomus primus, Lausanne 1748 x = x(t) – velikost populace v čase t Leonhard Euler, 1707–1783 Z. Pospíšil ·Dynamické systémy ·25. listopadu 2021 4 / 15 Historické příklady Demografie Růst populace Euler, Malthus L. Euler: Introductio in analysin infinitorum, Tomus primus, Lausanne 1748 x = x(t) – velikost populace v čase t x(t+1) = x(t)+novorození−zemřelí Leonhard Euler, 1707–1783 Z. Pospíšil ·Dynamické systémy ·25. listopadu 2021 4 / 15 Historické příklady Demografie Růst populace Euler, Malthus L. Euler: Introductio in analysin infinitorum, Tomus primus, Lausanne 1748 x = x(t) – velikost populace v čase t x(t+1) = x(t)+novorození−zemřelí Leonhard Euler, 1707–1783 Předpoklady: množství novorozených je úměrné x(t) b – porodnost množství zemřelých je úměrné x(t) d – úmrtnost Z. Pospíšil ·Dynamické systémy ·25. listopadu 2021 4 / 15 Historické příklady Demografie Růst populace Euler, Malthus L. Euler: Introductio in analysin infinitorum, Tomus primus, Lausanne 1748 x = x(t) – velikost populace v čase t x(t+1) = x(t)+bx(t)−dx(t) Leonhard Euler, 1707–1783 Předpoklady: množství novorozených je úměrné x(t) b – porodnost množství zemřelých je úměrné x(t) d – úmrtnost Z. Pospíšil ·Dynamické systémy ·25. listopadu 2021 4 / 15 Historické příklady Demografie Růst populace Euler, Malthus L. Euler: Introductio in analysin infinitorum, Tomus primus, Lausanne 1748 x = x(t) – velikost populace v čase t x(t+1) = x(t)+bx(t)−dx(t) = x(t)(1+b−d) Leonhard Euler, 1707–1783 Předpoklady: množství novorozených je úměrné x(t) b – porodnost množství zemřelých je úměrné x(t) d – úmrtnost Z. Pospíšil ·Dynamické systémy ·25. listopadu 2021 4 / 15 Historické příklady Demografie Růst populace Euler, Malthus L. Euler: Introductio in analysin infinitorum, Tomus primus, Lausanne 1748 x = x(t) – velikost populace v čase t x(t+1) = x(t)+bx(t)−dx(t) = x(t)(1+b−d) Leonhard Euler, 1707–1783 Předpoklady: množství novorozených je úměrné x(t) b – porodnost množství zemřelých je úměrné x(t) d – úmrtnost (d < 1 + b) r = 1 + b − d Z. Pospíšil ·Dynamické systémy ·25. listopadu 2021 4 / 15 Historické příklady Demografie Růst populace Euler, Malthus L. Euler: Introductio in analysin infinitorum, Tomus primus, Lausanne 1748 x = x(t) – velikost populace v čase t x(t + 1) = rx(t) Leonhard Euler, 1707–1783 Předpoklady: množství novorozených je úměrné x(t) b – porodnost množství zemřelých je úměrné x(t) d – úmrtnost (d < 1 + b) r = 1 + b − d Z. Pospíšil ·Dynamické systémy ·25. listopadu 2021 4 / 15 Historické příklady Demografie Růst populace Euler, Malthus L. Euler: Introductio in analysin infinitorum, Tomus primus, Lausanne 1748 x = x(t) – velikost populace v čase t x(t + 1) = rx(t) Leonhard Euler, 1707–1783 Z. Pospíšil ·Dynamické systémy ·25. listopadu 2021 4 / 15 Historické příklady Demografie Růst populace Euler, Malthus L. Euler: Introductio in analysin infinitorum, Tomus primus, Lausanne 1748 x = x(t) – velikost populace v čase t x(t + 1) = rx(t), x(0) = x0 Leonhard Euler, 1707–1783 Z. Pospíšil ·Dynamické systémy ·25. listopadu 2021 4 / 15 Historické příklady Demografie Růst populace Euler, Malthus L. Euler: Introductio in analysin infinitorum, Tomus primus, Lausanne 1748 x = x(t) – velikost populace v čase t x(t + 1) = rx(t), x(0) = x0 → x(t) = x0rt Leonhard Euler, 1707–1783 Z. Pospíšil ·Dynamické systémy ·25. listopadu 2021 4 / 15 Historické příklady Demografie Růst populace Euler, Malthus L. Euler: Introductio in analysin infinitorum, Tomus primus, Lausanne 1748 x = x(t) – velikost populace v čase t x(t + 1) = rx(t), x(0) = x0 → x(t) = x0rt Leonhard Euler, 1707–1783 T.R. Malthus: An Essay on the Principle of Population, London 1798 Velikost populace roste jako geometrická posloupnost, množství zdrojů jako aritmetická posloup- nost. Thomas R. Malthus, 1766–1834 Z. Pospíšil ·Dynamické systémy ·25. listopadu 2021 4 / 15 Historické příklady Demografie Růst populace Euler, Süßmilch J.P. Süßmilch: Die göttliche Ordnung in der Veränderungen des menschlichen Geschlechts aus der Gebur, der Tode un der Fortpflanzung desselben, Berlin 1761 Johann Peter Süßmilch, 1707–1767 Z. Pospíšil ·Dynamické systémy ·25. listopadu 2021 5 / 15 Historické příklady Demografie Růst populace Euler, Süßmilch J.P. Süßmilch: Die göttliche Ordnung in der Veränderungen des menschlichen Geschlechts aus der Gebur, der Tode un der Fortpflanzung desselben, Berlin 1761 L. Euler: Recherches génerales sur la mortalité et la multiplication du genre humain. Hist. Acad. R. Sci. B.-Lett. Berl. 16, 144-164, 1760/1767 Johann Peter Süßmilch, 1707–1767 Z. Pospíšil ·Dynamické systémy ·25. listopadu 2021 5 / 15 Historické příklady Demografie Růst populace Euler, Süßmilch J.P. Süßmilch: Die göttliche Ordnung in der Veränderungen des menschlichen Geschlechts aus der Gebur, der Tode un der Fortpflanzung desselben, Berlin 1761 L. Euler: Recherches génerales sur la mortalité et la multiplication du genre humain. Hist. Acad. R. Sci. B.-Lett. Berl. 16, 144-164, 1760/1767 Johann Peter Süßmilch, 1707–1767 Předpoklady: Z. Pospíšil ·Dynamické systémy ·25. listopadu 2021 5 / 15 Historické příklady Demografie Růst populace Euler, Süßmilch J.P. Süßmilch: Die göttliche Ordnung in der Veränderungen des menschlichen Geschlechts aus der Gebur, der Tode un der Fortpflanzung desselben, Berlin 1761 L. Euler: Recherches génerales sur la mortalité et la multiplication du genre humain. Hist. Acad. R. Sci. B.-Lett. Berl. 16, 144-164, 1760/1767 Johann Peter Süßmilch, 1707–1767 Předpoklady: Lidé se žení a vdávají ve 20 letech. Z. Pospíšil ·Dynamické systémy ·25. listopadu 2021 5 / 15 Historické příklady Demografie Růst populace Euler, Süßmilch J.P. Süßmilch: Die göttliche Ordnung in der Veränderungen des menschlichen Geschlechts aus der Gebur, der Tode un der Fortpflanzung desselben, Berlin 1761 L. Euler: Recherches génerales sur la mortalité et la multiplication du genre humain. Hist. Acad. R. Sci. B.-Lett. Berl. 16, 144-164, 1760/1767 Johann Peter Süßmilch, 1707–1767 Předpoklady: Lidé se žení a vdávají ve 20 letech. Každý pár má 6 dětí, 3 chlapce a 3 děvčata. Z. Pospíšil ·Dynamické systémy ·25. listopadu 2021 5 / 15 Historické příklady Demografie Růst populace Euler, Süßmilch J.P. Süßmilch: Die göttliche Ordnung in der Veränderungen des menschlichen Geschlechts aus der Gebur, der Tode un der Fortpflanzung desselben, Berlin 1761 L. Euler: Recherches génerales sur la mortalité et la multiplication du genre humain. Hist. Acad. R. Sci. B.-Lett. Berl. 16, 144-164, 1760/1767 Johann Peter Süßmilch, 1707–1767 Předpoklady: Lidé se žení a vdávají ve 20 letech. Každý pár má 6 dětí, 3 chlapce a 3 děvčata. První pár dětí „vyprodukují“ rodiče ve 22, druhý ve 24 a třetí v 26 letech. Z. Pospíšil ·Dynamické systémy ·25. listopadu 2021 5 / 15 Historické příklady Demografie Růst populace Euler, Süßmilch J.P. Süßmilch: Die göttliche Ordnung in der Veränderungen des menschlichen Geschlechts aus der Gebur, der Tode un der Fortpflanzung desselben, Berlin 1761 L. Euler: Recherches génerales sur la mortalité et la multiplication du genre humain. Hist. Acad. R. Sci. B.-Lett. Berl. 16, 144-164, 1760/1767 Johann Peter Süßmilch, 1707–1767 Předpoklady: Lidé se žení a vdávají ve 20 letech. Každý pár má 6 dětí, 3 chlapce a 3 děvčata. První pár dětí „vyprodukují“ rodiče ve 22, druhý ve 24 a třetí v 26 letech. Lidé umírají ve 40 letech Z. Pospíšil ·Dynamické systémy ·25. listopadu 2021 5 / 15 Historické příklady Demografie Růst populace Euler, Süßmilch Johann Peter Süßmilch, 1707–1767 Předpoklady: Lidé se žení a vdávají ve 20 letech. Každý pár má 6 dětí, 3 chlapce a 3 děvčata. První pár dětí „vyprodukují“ rodiče ve 22, druhý ve 24 a třetí v 26 letech. Lidé umírají ve 40 letech t — čas, jednotka je 2 roky Z. Pospíšil ·Dynamické systémy ·25. listopadu 2021 5 / 15 Historické příklady Demografie Růst populace Euler, Süßmilch n(t) = n(t − 11) + n(t − 12) + n(t − 13) Johann Peter Süßmilch, 1707–1767 Předpoklady: Lidé se žení a vdávají ve 20 letech. Každý pár má 6 dětí, 3 chlapce a 3 děvčata. První pár dětí „vyprodukují“ rodiče ve 22, druhý ve 24 a třetí v 26 letech. Lidé umírají ve 40 letech t — čas, jednotka je 2 roky n = n(t) — počet novorozených párů v čase t Z. Pospíšil ·Dynamické systémy ·25. listopadu 2021 5 / 15 Historické příklady Demografie Růst populace Euler, Süßmilch n(t) = n(t − 11) + n(t − 12) + n(t − 13) d(t) = n(t − 20) Johann Peter Süßmilch, 1707–1767 Předpoklady: Lidé se žení a vdávají ve 20 letech. Každý pár má 6 dětí, 3 chlapce a 3 děvčata. První pár dětí „vyprodukují“ rodiče ve 22, druhý ve 24 a třetí v 26 letech. Lidé umírají ve 40 letech t — čas, jednotka je 2 roky n = n(t) — počet novorozených párů v čase t d = d(t) — počet zemřelých párů v čase t Z. Pospíšil ·Dynamické systémy ·25. listopadu 2021 5 / 15 Historické příklady Demografie Růst populace Euler, Süßmilch n(t) = n(t − 11) + n(t − 12) + n(t − 13) d(t) = n(t − 20) x(t) = x(t − 1) + n(t) − d(t) Johann Peter Süßmilch, 1707–1767 Předpoklady: Lidé se žení a vdávají ve 20 letech. Každý pár má 6 dětí, 3 chlapce a 3 děvčata. První pár dětí „vyprodukují“ rodiče ve 22, druhý ve 24 a třetí v 26 letech. Lidé umírají ve 40 letech t — čas, jednotka je 2 roky n = n(t) — počet novorozených párů v čase t d = d(t) — počet zemřelých párů v čase t x = x(t) — počet žijících párů v čase t Z. Pospíšil ·Dynamické systémy ·25. listopadu 2021 5 / 15 Historické příklady Demografie Růst populace Leslie, Caswell P.H. Leslie: On the use of matrices in certain population mathematics. Biometrika 33, 213-245, 1945 Patrick Holt Leslie, 1900–1972 Z. Pospíšil ·Dynamické systémy ·25. listopadu 2021 6 / 15 Historické příklady Demografie Růst populace Leslie, Caswell P.H. Leslie: On the use of matrices in certain population mathematics. Biometrika 33, 213-245, 1945 Krysy ve skladech obilí Patrick Holt Leslie, 1900–1972 t — čas, jednotka je 1 měsíc k — maximální možný věk samice ni = ni(t) — počet samic věku i − 1, i) v čase t, i = 1, 2, . . . k fi — plodnost samice věku i; fi ≥ 0, i = 1, 2, . . . , k pi — pravděpodobnost přežití samice věkové třídy i − 1 do třídy i; 0 < pi < 1, i = 1, 2, . . . , k − 1 Z. Pospíšil ·Dynamické systémy ·25. listopadu 2021 6 / 15 Historické příklady Demografie Růst populace Leslie, Caswell P.H. Leslie: On the use of matrices in certain population mathematics. Biometrika 33, 213-245, 1945 Krysy ve skladech obilí Patrick Holt Leslie, 1900–1972 t — čas, jednotka je 1 měsíc k — maximální možný věk samice ni = ni(t) — počet samic věku i − 1, i) v čase t, i = 1, 2, . . . k fi — plodnost samice věku i; fi ≥ 0, i = 1, 2, . . . , k pi — pravděpodobnost přežití samice věkové třídy i − 1 do třídy i; 0 < pi < 1, i = 1, 2, . . . , k − 1 n1(t + 1) = f1n1(t) + f2n2(t) + · · · + fknk(t) ni(t + 1) = pini−1(t), i = 2, 3, . . . , k Z. Pospíšil ·Dynamické systémy ·25. listopadu 2021 6 / 15 Historické příklady Demografie Růst populace Leslie, Caswell P.H. Leslie: On the use of matrices in certain population mathematics. Biometrika 33, 213-245, 1945 Krysy ve skladech obilí Patrick Holt Leslie, 1900–1972          n1(t + 1) n2(t + 1) n3(t + 1) n4(t + 1) ... nk(t + 1)          =          f1 f2 f3 . . . fk−1 fk p1 0 0 . . . 0 0 0 p2 0 . . . 0 0 0 0 p3 . . . 0 0 ... ... ... ... ... ... 0 0 0 . . . pk−1 0                   n1(t) n2(t) n3(t) n4(t) ... nk(t)          Z. Pospíšil ·Dynamické systémy ·25. listopadu 2021 6 / 15 Historické příklady Demografie Růst populace Leslie, Caswell P.H. Leslie: On the use of matrices in certain population mathematics. Biometrika 33, 213-245, 1945 Krysy ve skladech obilí Patrick Holt Leslie, 1900–1972          n1(t + 1) n2(t + 1) n3(t + 1) n4(t + 1) ... nk(t + 1)          =          f1 f2 f3 . . . fk−1 fk p1 0 0 . . . 0 0 0 p2 0 . . . 0 0 0 0 p3 . . . 0 0 ... ... ... ... ... ... 0 0 0 . . . pk−1 0                   n1(t) n2(t) n3(t) n4(t) ... nk(t)          n(t + 1) = An(t) Z. Pospíšil ·Dynamické systémy ·25. listopadu 2021 6 / 15 Historické příklady Demografie Růst populace Leslie, Caswell H. Caswell: Matrix Population Models, Sinauer, 2001 Hall Caswell, 1949– n(t + 1) = An(t) Z. Pospíšil ·Dynamické systémy ·25. listopadu 2021 6 / 15 Historické příklady Epidemiologie Užitečnost očkování Bernoulli, d’Alembert D. Bernoulli: Essai d’une nouvelle analyse de la mortalité causée par la petite vérole et des avantages de l’inoculation pour le prévenir. Hist. Acad. R. Sci. Paris, 1–45, 1760/1766 Daniel Bernoulli, 1700–1782 Z. Pospíšil ·Dynamické systémy ·25. listopadu 2021 7 / 15 Historické příklady Epidemiologie Užitečnost očkování Bernoulli, d’Alembert D. Bernoulli: Essai d’une nouvelle analyse de la mortalité causée par la petite vérole et des avantages de l’inoculation pour le prévenir. Hist. Acad. R. Sci. Paris, 1–45, 1760/1766 Člověk se rodí citlivý k nákaze neštovicemi. Kdo neštovice přežije, je k nim imunní. Existuje konstantní intenzita nákazy q. Existuje konstantní intenzita úmrtí na neštovice p. Intenzita úmrtí z jiných příčin závisí na věku. Daniel Bernoulli, 1700–1782 Z. Pospíšil ·Dynamické systémy ·25. listopadu 2021 7 / 15 Historické příklady Epidemiologie Užitečnost očkování Bernoulli, d’Alembert D. Bernoulli: Essai d’une nouvelle analyse de la mortalité causée par la petite vérole et des avantages de l’inoculation pour le prévenir. Hist. Acad. R. Sci. Paris, 1–45, 1760/1766 Člověk se rodí citlivý k nákaze neštovicemi. Kdo neštovice přežije, je k nim imunní. Existuje konstantní intenzita nákazy q. Existuje konstantní intenzita úmrtí na neštovice p. Intenzita úmrtí z jiných příčin závisí na věku. Daniel Bernoulli, 1700–1782 S = S(x), R = R(x) — počet citlivých, rezistentních jedinců věku x. P = P(x) = S(x) + R(x) Z. Pospíšil ·Dynamické systémy ·25. listopadu 2021 7 / 15 Historické příklady Epidemiologie Užitečnost očkování Bernoulli, d’Alembert D. Bernoulli: Essai d’une nouvelle analyse de la mortalité causée par la petite vérole et des avantages de l’inoculation pour le prévenir. Hist. Acad. R. Sci. Paris, 1–45, 1760/1766 Člověk se rodí citlivý k nákaze neštovicemi. Kdo neštovice přežije, je k nim imunní. Existuje konstantní intenzita nákazy q. Existuje konstantní intenzita úmrtí na neštovice p. Intenzita úmrtí z jiných příčin závisí na věku. Daniel Bernoulli, 1700–1782 S = S(x), R = R(x) — počet citlivých, rezistentních jedinců věku x. P = P(x) = S(x) + R(x) dS dx = −qS − µ(x)S dR dx = q(1 − p)S − µ(x)R dP dx = −pqS − µ(x)P Z. Pospíšil ·Dynamické systémy ·25. listopadu 2021 7 / 15 Historické příklady Epidemiologie Užitečnost očkování Bernoulli, d’Alembert D. Bernoulli: Essai d’une nouvelle analyse de la mortalité causée par la petite vérole et des avantages de l’inoculation pour le prévenir. Hist. Acad. R. Sci. Paris, 1–45, 1760/1766 Člověk se rodí citlivý k nákaze neštovicemi. Kdo neštovice přežije, je k nim imunní. Existuje konstantní intenzita nákazy q. Existuje konstantní intenzita úmrtí na neštovice p. Intenzita úmrtí z jiných příčin závisí na věku. Daniel Bernoulli, 1700–1782 S = S(x), R = R(x) — počet citlivých, rezistentních jedinců věku x. P = P(x) = S(x) + R(x) dS dx = −qS − µ(x)S dP dx = −pqS − µ(x)P Z. Pospíšil ·Dynamické systémy ·25. listopadu 2021 7 / 15 Historické příklady Epidemiologie Užitečnost očkování Bernoulli, d’Alembert D. Bernoulli: Essai d’une nouvelle analyse de la mortalité causée par la petite vérole et des avantages de l’inoculation pour le prévenir. Hist. Acad. R. Sci. Paris, 1–45, 1760/1766 Člověk se rodí citlivý k nákaze neštovicemi. Kdo neštovice přežije, je k nim imunní. Existuje konstantní intenzita nákazy q. Existuje konstantní intenzita úmrtí na neštovice p. Intenzita úmrtí z jiných příčin závisí na věku. Daniel Bernoulli, 1700–1782 S = S(x), R = R(x) — počet citlivých, rezistentních jedinců věku x. P = P(x) = S(x) + R(x) dS dx = −qS − µ(x)S dP dx = −pqS − µ(x)P Pokud se očkuje, q = 0. Z. Pospíšil ·Dynamické systémy ·25. listopadu 2021 7 / 15 Historické příklady Epidemiologie Užitečnost očkování Bernoulli, d’Alembert D. Bernoulli: Essai d’une nouvelle analyse de la mortalité causée par la petite vérole et des avantages de l’inoculation pour le prévenir. Hist. Acad. R. Sci. Paris, 1–45, 1760/1766 Člověk se rodí citlivý k nákaze neštovicemi. Kdo neštovice přežije, je k nim imunní. Existuje konstantní intenzita nákazy q. Existuje konstantní intenzita úmrtí na neštovice p. Intenzita úmrtí z jiných příčin závisí na věku. Daniel Bernoulli, 1700–1782 S = S(x), R = R(x) — počet citlivých, rezistentních jedinců věku x. P = P(x) = S(x) + R(x) dS dx = −qS − µ(x)S dP dx = −pqS − µ(x)P, dP∗ dx = −µ(x)P∗ Pokud se očkuje, q = 0. Z. Pospíšil ·Dynamické systémy ·25. listopadu 2021 7 / 15 Historické příklady Epidemiologie Užitečnost očkování Bernoulli, d’Alembert D. Bernoulli: Essai d’une nouvelle analyse de la mortalité causée par la petite vérole et des avantages de l’inoculation pour le prévenir. Hist. Acad. R. Sci. Paris, 1–45, 1760/1766 Člověk se rodí citlivý k nákaze neštovicemi. Kdo neštovice přežije, je k nim imunní. Existuje konstantní intenzita nákazy q. Existuje konstantní intenzita úmrtí na neštovice p. Intenzita úmrtí z jiných příčin závisí na věku. Daniel Bernoulli, 1700–1782 S = S(x), R = R(x) — počet citlivých, rezistentních jedinců věku x. P = P(x) = S(x) + R(x) dS dx = −qS − µ(x)S dP dx = −pqS − µ(x)P, dP∗ dx = −µ(x)P∗ Pokud se očkuje, q = 0. Očkování prodlužuje očekávanou dobu dožití o 3 roky. Je výhodné, pokud je úmrtnost na očkování nejvýše 11% (byla < 1%). Z. Pospíšil ·Dynamické systémy ·25. listopadu 2021 7 / 15 Historické příklady Epidemiologie Užitečnost očkování Bernoulli, d’Alembert J. d’Alembert: Sur l’application du calcul des probabilités à l’inoculation de la petite vérole. Opuscules mathématiques II, 26–95, 1761 Člověk se rodí citlivý k nákaze neštovicemi. Kdo neštovice přežije, je k nim imunní. Existuje konstantní intenzita nákazy q. Existuje konstantní intenzita úmrtí na neštovice p. Intenzita úmrtí z jiných příčin závisí na věku. Jean d’Alembert, 1717–1783 S = S(x), R = R(x) — počet citlivých, rezistentních jedinců věku x. P = P(x) = S(x) + R(x) dS dx = −qS − µ(x)S dP dx = −pqS − µ(x)P, dP∗ dx = −µ(x)P∗ Pokud se očkuje, q = 0. Z. Pospíšil ·Dynamické systémy ·25. listopadu 2021 7 / 15 Historické příklady Epidemiologie Užitečnost očkování Bernoulli, d’Alembert J. d’Alembert: Sur l’application du calcul des probabilités à l’inoculation de la petite vérole. Opuscules mathématiques II, 26–95, 1761 Člověk se rodí citlivý k nákaze neštovicemi. Kdo neštovice přežije, je k nim imunní. Intenzita nákazy ν závisí na věku. Existuje konstantní intenzita úmrtí na neštovice p. Intenzita úmrtí z jiných příčin závisí na věku. Jean d’Alembert, 1717–1783 S = S(x), R = R(x) — počet citlivých, rezistentních jedinců věku x. P = P(x) = S(x) + R(x) dS dx = −qS − µ(x)S dP dx = −pqS − µ(x)P, dP∗ dx = −µ(x)P∗ Pokud se očkuje, ν(x) =? Z. Pospíšil ·Dynamické systémy ·25. listopadu 2021 7 / 15 Historické příklady Epidemiologie Užitečnost očkování Bernoulli, d’Alembert J. d’Alembert: Sur l’application du calcul des probabilités à l’inoculation de la petite vérole. Opuscules mathématiques II, 26–95, 1761 Člověk se rodí citlivý k nákaze neštovicemi. Kdo neštovice přežije, je k nim imunní. Intenzita nákazy ν závisí na věku. Existuje konstantní intenzita úmrtí na neštovice p. Intenzita úmrtí z jiných příčin závisí na věku. Jean d’Alembert, 1717–1783 S = S(x), R = R(x) — počet citlivých, rezistentních jedinců věku x. P = P(x) = S(x) + R(x) dS dx = −ν(x)S − µ(x)S dP dx = −pν(x)S − µ(x)P Pokud se očkuje, ν(x) =? Z. Pospíšil ·Dynamické systémy ·25. listopadu 2021 7 / 15 Historické příklady Epidemiologie Užitečnost očkování Bernoulli, d’Alembert J. d’Alembert: Sur l’application du calcul des probabilités à l’inoculation de la petite vérole. Opuscules mathématiques II, 26–95, 1761 Člověk se rodí citlivý k nákaze neštovicemi. Kdo neštovice přežije, je k nim imunní. Intenzita nákazy ν závisí na věku. Existuje konstantní intenzita úmrtí na neštovice p. Intenzita úmrtí z jiných příčin závisí na věku. Jean d’Alembert, 1717–1783 S = S(x), R = R(x) — počet citlivých, rezistentních jedinců věku x. P = P(x) = S(x) + R(x) dS dx = −ν(x)S − µ(x)S dP dx = −pν(x)S − µ(x)P Pokud se očkuje, ν(x) =? Bez znalosti funkce ν nelze dělat závěry. Z. Pospíšil ·Dynamické systémy ·25. listopadu 2021 7 / 15 Historické příklady Epidemiologie Eradikace malárie Ross R. Ross: The prevention of Malaria, John Murray, 1910 Ronald Ross, 1857–1931 Z. Pospíšil ·Dynamické systémy ·25. listopadu 2021 8 / 15 Historické příklady Epidemiologie Eradikace malárie Ross R. Ross: The prevention of Malaria, John Murray, 1910 Lodní lékař Ronald Ross, 1857–1931 Z. Pospíšil ·Dynamické systémy ·25. listopadu 2021 8 / 15 Historické příklady Epidemiologie Eradikace malárie Ross R. Ross: The prevention of Malaria, John Murray, 1910 Lodní lékař Básník a dramatik Ronald Ross, 1857–1931 Z. Pospíšil ·Dynamické systémy ·25. listopadu 2021 8 / 15 Historické příklady Epidemiologie Eradikace malárie Ross R. Ross: The prevention of Malaria, John Murray, 1910 Lodní lékař Básník a dramatik Samouk v matematice Ronald Ross, 1857–1931 Z. Pospíšil ·Dynamické systémy ·25. listopadu 2021 8 / 15 Historické příklady Epidemiologie Eradikace malárie Ross R. Ross: The prevention of Malaria, John Murray, 1910 Lodní lékař Básník a dramatik Samouk v matematice Lékař v koloniích (Indie, Čína) Profesor tropické medicíny Ronald Ross, 1857–1931 Z. Pospíšil ·Dynamické systémy ·25. listopadu 2021 8 / 15 Historické příklady Epidemiologie Eradikace malárie Ross R. Ross: The prevention of Malaria, John Murray, 1910 Lodní lékař Básník a dramatik Samouk v matematice Lékař v koloniích (Indie, Čína) Profesor tropické medicíny Laureát Nobelovy ceny 1902 Ronald Ross, 1857–1931 Z. Pospíšil ·Dynamické systémy ·25. listopadu 2021 8 / 15 Historické příklady Epidemiologie Eradikace malárie Ross R. Ross: The prevention of Malaria, John Murray, 1910 Lodní lékař Básník a dramatik Samouk v matematice Lékař v koloniích (Indie, Čína) Profesor tropické medicíny Laureát Nobelovy ceny 1902 Ronald Ross, 1857–1931 N — počet lidí M — počet komárů x = x(t) — počet nakažených z = z(t) — počet infekčních b — intenzita přenosu komár → člověk c — intenzita přenosu člověk → komár r — rychlost uzdravení g — mortalita komárů a — intenzita napadání lidí komáry Z. Pospíšil ·Dynamické systémy ·25. listopadu 2021 8 / 15 Historické příklady Epidemiologie Eradikace malárie Ross N — počet lidí M — počet komárů x = x(t) — počet nakažených z = z(t) — počet infekčních b — intenzita přenosu komár → člověk c — intenzita přenosu člověk → komár r — rychlost uzdravení g — mortalita komárů a — intenzita napadání lidí komáry x = ba N − x N z − rx z = ca x N (M − z) − gz Z. Pospíšil ·Dynamické systémy ·25. listopadu 2021 8 / 15 Historické příklady Epidemiologie Eradikace malárie Ross N — počet lidí M — počet komárů x = x(t) — počet nakažených z = z(t) — počet infekčních b — intenzita přenosu komár → člověk c — intenzita přenosu člověk → komár r — rychlost uzdravení g — mortalita komárů a — intenzita napadání lidí komáry x = ba N − x N z − rx z = ca x N (M − z) − gz Equilibrium: x∗ = cba2 M − grN cba2M + carN N, z∗ = cba2 M − grN cba2 + bag Z. Pospíšil ·Dynamické systémy ·25. listopadu 2021 8 / 15 Historické příklady Epidemiologie Eradikace malárie Ross N — počet lidí M — počet komárů x = x(t) — počet nakažených z = z(t) — počet infekčních b — intenzita přenosu komár → člověk c — intenzita přenosu člověk → komár r — rychlost uzdravení g — mortalita komárů a — intenzita napadání lidí komáry x = ba N − x N z − rx z = ca x N (M − z) − gz Equilibrium: x∗ = cba2 M − grN cba2M + carN N, z∗ = cba2 M − grN cba2 + bag Podmínka existence: M N > gr cba2 Z. Pospíšil ·Dynamické systémy ·25. listopadu 2021 8 / 15 Historické příklady Epidemiologie Klasifikace epidemií McKendrick, Kermack W.O. Kermack, A.G. McKendrick: A contribution to the mathematical theory of epidemics. Proc. R. Soc. Lond. A, 107, 700–721, 1927 Anderson Gray McKendrick, William Ogilvy Kermack, 1876–1943 1898–1970 Z. Pospíšil ·Dynamické systémy ·25. listopadu 2021 9 / 15 Historické příklady Epidemiologie Klasifikace epidemií McKendrick, Kermack W.O. Kermack, A.G. McKendrick: A contribution to the mathematical theory of epidemics. Proc. R. Soc. Lond. A, 107, 700–721, 1927 S - I Anderson Gray McKendrick, William Ogilvy Kermack, 1876–1943 1898–1970 Z. Pospíšil ·Dynamické systémy ·25. listopadu 2021 9 / 15 Historické příklady Epidemiologie Klasifikace epidemií McKendrick, Kermack W.O. Kermack, A.G. McKendrick: A contribution to the mathematical theory of epidemics. Proc. R. Soc. Lond. A, 107, 700–721, 1927 S - I - R Anderson Gray McKendrick, William Ogilvy Kermack, 1876–1943 1898–1970 Z. Pospíšil ·Dynamické systémy ·25. listopadu 2021 9 / 15 Historické příklady Epidemiologie Klasifikace epidemií McKendrick, Kermack W.O. Kermack, A.G. McKendrick: A contribution to the mathematical theory of epidemics. Proc. R. Soc. Lond. A, 107, 700–721, 1927 S - I - R 6 Anderson Gray McKendrick, William Ogilvy Kermack, 1876–1943 1898–1970 Z. Pospíšil ·Dynamické systémy ·25. listopadu 2021 9 / 15 Historické příklady Epidemiologie Klasifikace epidemií McKendrick, Kermack W.O. Kermack, A.G. McKendrick: A contribution to the mathematical theory of epidemics. Proc. R. Soc. Lond. A, 107, 700–721, 1927 S - I - R Anderson Gray McKendrick, William Ogilvy Kermack, 1876–1943 1898–1970 S = −βSI I = βSI − γI R = γI Z. Pospíšil ·Dynamické systémy ·25. listopadu 2021 9 / 15 Historické příklady Epidemiologie Klasifikace epidemií McKendrick, Kermack W.O. Kermack, A.G. McKendrick: A contribution to the mathematical theory of epidemics. Proc. R. Soc. Lond. A, 107, 700–721, 1927 S - I - R Anderson Gray McKendrick, William Ogilvy Kermack, 1876–1943 1898–1970 S = −βSI I = βSI − γI R = γI Z. Pospíšil ·Dynamické systémy ·25. listopadu 2021 9 / 15 Historické příklady Epidemiologie Klasifikace epidemií McKendrick, Kermack W.O. Kermack, A.G. McKendrick: A contribution to the mathematical theory of epidemics. Proc. R. Soc. Lond. A, 107, 700–721, 1927 S - I - R Anderson Gray McKendrick, William Ogilvy Kermack, 1876–1943 1898–1970 S = −βSI I = βSI − γI R = γI Z. Pospíšil ·Dynamické systémy ·25. listopadu 2021 9 / 15 Historické příklady Epidemiologie Klasifikace epidemií McKendrick, Kermack R. Kůs: Deterministické modely v epidemiologii. BP MU 2013 Z. Pospíšil ·Dynamické systémy ·25. listopadu 2021 9 / 15 Historické příklady Populační dynamika Model dravec-kořist (konzument-producent) Lotka, Volterra, Gause A.J. Lotka: Undamped oscillation derived from the law of mass action. J. Amer.Chem. Soc. 42, 1595–1599, 1920 A.J. Lotka: Elements of Physical Biology. Williams&Wilkins, 1925 V. Volterra: Variazioni e fluttuazioni del numero d’individui in specie animali conviventi. Mem. Accad. Lincei 6, 31–113, 1926 V. Volterra: Leçons sur la Théorie Mathématique de la Lutte pour la Vie. Gauthier-Villars, 1931 G.F. Gause: The struggle for existence. Williams&Wilkins, 1934 Alfred Lotka, 1880–1949 Vito Volterra, 1860–1940 Георги˘и Францевич Гаузе, 1910–1986Z. Pospíšil ·Dynamické systémy ·25. listopadu 2021 10 / 15 Historické příklady Populační dynamika Model dravec-kořist (konzument-producent) Lotka, Volterra, Gause x = x(t) — velikost populace kořisti (producenta) y = y(t) — velikost populace dravce (konzumenta) Z. Pospíšil ·Dynamické systémy ·25. listopadu 2021 10 / 15 Historické příklady Populační dynamika Model dravec-kořist (konzument-producent) Lotka, Volterra, Gause x = x(t) — velikost populace kořisti (producenta) y = y(t) — velikost populace dravce (konzumenta) x = ax − bxy y = −cy + dxy Z. Pospíšil ·Dynamické systémy ·25. listopadu 2021 10 / 15 Historické příklady Populační dynamika Model dravec-kořist (konzument-producent) Lotka, Volterra, Gause x = x(t) — velikost populace kořisti (producenta) y = y(t) — velikost populace dravce (konzumenta) x = ax − bxy y = −cy + dxy Z. Pospíšil ·Dynamické systémy ·25. listopadu 2021 10 / 15 Historické příklady Populační dynamika Ekologická stabilita Svirežev, Logofet, Thieme, Smith Ю.М. Свирежев, Д.О. Логофет: Усто˘ичивость биологическич сообЩеств. Наука, 1978 H.L. Smith, H.R. Thieme: Dynamical Systems and Population Persistence. AMS, 2011 Юри˘и М. Свирежев Дмитри˘и О. Логофет Horst R. Thieme Hal L. Smith 1938-2007 Z. Pospíšil ·Dynamické systémy ·25. listopadu 2021 11 / 15 Historické příklady Ekonomie Třídní boj Goodwin R.M. Goodwin: A Growth cycle. in C.H. Feinstein (ed.): Socialism, Capitalism & Economic Growth. Cambridge Univ. Press, 1967 Richard M. Goodwin, 1913–1996 Z. Pospíšil ·Dynamické systémy ·25. listopadu 2021 12 / 15 Historické příklady Ekonomie Třídní boj Goodwin R.M. Goodwin: A Growth cycle. in C.H. Feinstein (ed.): Socialism, Capitalism & Economic Growth. Cambridge Univ. Press, 1967 Předpoklady: • Veškerá čistá produkce je investována. • Relativní změna počtu obyvatel je konstantní. • Projevuje se stálý rovnoměrný pokrok. Relativní přírůstek produktivity je konstantní α. • Mzdová sazba závisí na zaměstananosti. Richard M. Goodwin, 1913–1996 Z. Pospíšil ·Dynamické systémy ·25. listopadu 2021 12 / 15 Historické příklady Ekonomie Třídní boj Goodwin R.M. Goodwin: A Growth cycle. in C.H. Feinstein (ed.): Socialism, Capitalism & Economic Growth. Cambridge Univ. Press, 1967 Předpoklady: • Veškerá čistá produkce je investována. • Relativní změna počtu obyvatel je konstantní. • Projevuje se stálý rovnoměrný pokrok. Relativní přírůstek produktivity je konstantní α. • Mzdová sazba závisí na zaměstananosti. Richard M. Goodwin, 1913–1996 Y produkce L práce (počet pracujících) W mzda N počet obyvatelstva Z. Pospíšil ·Dynamické systémy ·25. listopadu 2021 12 / 15 Historické příklady Ekonomie Třídní boj Goodwin R.M. Goodwin: A Growth cycle. in C.H. Feinstein (ed.): Socialism, Capitalism & Economic Growth. Cambridge Univ. Press, 1967 Předpoklady: • Veškerá čistá produkce je investována. • Relativní změna počtu obyvatel je konstantní. • Projevuje se stálý rovnoměrný pokrok. Relativní přírůstek produktivity je konstantní α. • Mzdová sazba závisí na zaměstananosti. Richard M. Goodwin, 1913–1996 Y produkce L práce (počet pracujících) W mzda N počet obyvatelstva v = v(t) = L N zaměstnanost u = u(t) = WL Y podíl mzdy na produkci Z. Pospíšil ·Dynamické systémy ·25. listopadu 2021 12 / 15 Historické příklady Ekonomie Třídní boj Goodwin R.M. Goodwin: A Growth cycle. in C.H. Feinstein (ed.): Socialism, Capitalism & Economic Growth. Cambridge Univ. Press, 1967 Předpoklady: • Veškerá čistá produkce je investována. • Relativní změna počtu obyvatel je konstantní. • Projevuje se stálý rovnoměrný pokrok. Relativní přírůstek produktivity je konstantní α. • Mzdová sazba závisí na zaměstananosti. Richard M. Goodwin, 1913–1996 Y produkce L práce (počet pracujících) W mzda N počet obyvatelstva v = v(t) = L N zaměstnanost u = u(t) = WL Y podíl mzdy na produkci W W = ϕ(v) Phillipsova křivka Z. Pospíšil ·Dynamické systémy ·25. listopadu 2021 12 / 15 Historické příklady Ekonomie Třídní boj Goodwin R.M. Goodwin: A Growth cycle. in C.H. Feinstein (ed.): Socialism, Capitalism & Economic Growth. Cambridge Univ. Press, 1967 Předpoklady: • Veškerá čistá produkce je investována. • Relativní změna počtu obyvatel je konstantní. • Projevuje se stálý rovnoměrný pokrok. Relativní přírůstek produktivity je konstantní α. • Mzdová sazba závisí na zaměstananosti. Richard M. Goodwin, 1913–1996 Y produkce L práce (počet pracujících) W mzda N počet obyvatelstva v = v(t) = L N zaměstnanost u = u(t) = WL Y podíl mzdy na produkci W W = ϕ(v) Phillipsova křivka u = u ϕ(v) − α v = v(γ − σu) Z. Pospíšil ·Dynamické systémy ·25. listopadu 2021 12 / 15 Příklad Růst homogenní populace x(t) – velikost populace v čase t, který plyne v „přirozených“ jednotkách x(t + 1) = x(t) − uhynulí + narození x(t + 1) = x(t) − dx(t) + bx(t) = (1 − d + b)x(t) = rx(t) d – úmrtnost (pravděpodobnost úmrtí během časové jednotky), d ∈ (0, 1 b – porodnost (průměrný počet potomků jedince), b ≥ 0 r = 1 − d + b – růstový koeficient, r ≥ 0 x(t + 1) = rx(t) Rekurentní formule pro geometrickou posloupnost x(0) = x0 – počáteční velikost populace x(t) = x0rt    r > 1, tj. b > d, populace roste r = 1, tj. b = d, populace má konstatntní velikost r < 1, tj. b < d, populace vymírá Z. Pospíšil ·Dynamické systémy ·25. listopadu 2021 13 / 15 Příklad Růst homogenní populace x(t + 1) = rx(t), x(0) = x0 Z. Pospíšil ·Dynamické systémy ·25. listopadu 2021 13 / 15 Příklad Růst homogenní populace x(t + 1) = rx(t), x(0) = x0 růstový koeficient r = x(t + 1) x(t) Z. Pospíšil ·Dynamické systémy ·25. listopadu 2021 13 / 15 Příklad Růst homogenní populace x(t + 1) = rx(t), x(0) = x0 růstový koeficient r = x(t + 1) x(t) závisí na velikosti populace r = r x(t) Z. Pospíšil ·Dynamické systémy ·25. listopadu 2021 13 / 15 Příklad Růst homogenní populace s omezenými zdroji 0 2 4 6 8 10 −10123456 x(t)K 1 r x(t + 1) x(t) Z. Pospíšil ·Dynamické systémy ·25. listopadu 2021 14 / 15 Příklad Růst homogenní populace s omezenými zdroji 0 2 4 6 8 10 −10123456 x(t)K 1 r x(t + 1) x(t) Euler, Malthus: x(t + 1) = rx(t) Z. Pospíšil ·Dynamické systémy ·25. listopadu 2021 14 / 15 Příklad Růst homogenní populace s omezenými zdroji 0 2 4 6 8 10 −10123456 x(t)K 1 r x(t + 1) x(t) Euler, Malthus: x(t + 1) = rx(t) Maynard Smith, May x(t + 1) = r − (r − 1) x(t) K x(t) Z. Pospíšil ·Dynamické systémy ·25. listopadu 2021 14 / 15 Příklad Růst homogenní populace s omezenými zdroji 0 2 4 6 8 10 −10123456 x(t)K 1 r x(t + 1) x(t) Euler, Malthus: x(t + 1) = rx(t) Maynard Smith, May x(t + 1) = r − (r − 1) x(t) K x(t) Pielou, Beverton-Holt: x(t + 1) = r 1 + (r − 1) x(t) K x(t) Z. Pospíšil ·Dynamické systémy ·25. listopadu 2021 14 / 15 Příklad Růst homogenní populace s omezenými zdroji 0 2 4 6 8 10 −10123456 x(t)K 1 r x(t + 1) x(t) Euler, Malthus: x(t + 1) = rx(t) Maynard Smith, May x(t + 1) = r − (r − 1) x(t) K x(t) Ricker: x(t + 1) = r1− x(t) K x(t) Pielou, Beverton-Holt: x(t + 1) = r 1 + (r − 1) x(t) K x(t) Z. Pospíšil ·Dynamické systémy ·25. listopadu 2021 14 / 15 Příklad Růst homogenní populace s omezenými zdroji 0 2 4 6 8 10 −10123456 x(t)K 1 r x(t + 1) x(t) Euler, Malthus: x(t + 1) = rx(t) ∆x(t) = (r − 1)x(t) Maynard Smith, May x(t + 1) = r − (r − 1) x(t) K x(t) Ricker: x(t + 1) = r1− x(t) K x(t) Pielou, Beverton-Holt: x(t + 1) = r 1 + (r − 1) x(t) K x(t) Z. Pospíšil ·Dynamické systémy ·25. listopadu 2021 14 / 15 Příklad Růst homogenní populace s omezenými zdroji 0 2 4 6 8 10 −10123456 x(t)K 1 r x(t + 1) x(t) Euler, Malthus: x(t + 1) = rx(t) ∆x(t) = (r − 1)x(t) Maynard Smith, May x(t + 1) = r − (r − 1) x(t) K x(t) ∆x(t) = (r − 1) 1 − x(t) K x(t) Ricker: x(t + 1) = r1− x(t) K x(t) Pielou, Beverton-Holt: x(t + 1) = r 1 + (r − 1) x(t) K x(t) Z. Pospíšil ·Dynamické systémy ·25. listopadu 2021 14 / 15 Příklad Růst homogenní populace s omezenými zdroji 0 2 4 6 8 10 −10123456 x(t)K 1 r x(t + 1) x(t) Euler, Malthus: x(t + 1) = rx(t) ∆x(t) = (r − 1)x(t) Maynard Smith, May x(t + 1) = r − (r − 1) x(t) K x(t) ∆x(t) = (r − 1) 1 − x(t) K x(t) Ricker: x(t + 1) = r1− x(t) K x(t) Pielou, Beverton-Holt: x(t + 1) = r 1 + (r − 1) x(t) K x(t) ∆x(t) = (r − 1) 1 + (r − 1) x(t) K 1 − x(t) K x(t) Z. Pospíšil ·Dynamické systémy ·25. listopadu 2021 14 / 15 Příklad Růst homogenní populace s omezenými zdroji 0 2 4 6 8 10 −10123456 x(t)K 1 r x(t + 1) x(t) Euler, Malthus: x(t + 1) = rx(t) ∆x(t) = (r − 1)x(t) Maynard Smith, May x(t + 1) = r − (r − 1) x(t) K x(t) ∆x(t) = (r − 1) 1 − x(t) K x(t) Ricker: x(t + 1) = r1− x(t) K x(t) Pielou, Beverton-Holt: x(t + 1) = r 1 + (r − 1) x(t) K x(t) ∆x(t) = r − 1 r 1 − x(t) K x(t + 1) Z. Pospíšil ·Dynamické systémy ·25. listopadu 2021 14 / 15 Příklad Růst homogenní populace s omezenými zdroji 0 2 4 6 8 10 −10123456 x(t)K 1 r x(t + 1) x(t) Euler, Malthus: x(t + 1) = rx(t) ∆x(t) = (r − 1)x(t) Maynard Smith, May x(t + 1) = r − (r − 1) x(t) K x(t) ∆x(t) = (r − 1) 1 − x(t) K x(t) Ricker: x(t + 1) = r1− x(t) K x(t) ∆x(t) = r1− x(t) K − 1 x(t) Pielou, Beverton-Holt: x(t + 1) = r 1 + (r − 1) x(t) K x(t) ∆x(t) = r − 1 r 1 − x(t) K x(t + 1) Z. Pospíšil ·Dynamické systémy ·25. listopadu 2021 14 / 15 Příklad Růst homogenní populace s omezenými zdroji 0 2 4 6 8 10 −10123456 x(t)K 1 r x(t + 1) x(t) Euler, Malthus: x(t + 1) = rx(t) ∆x(t) = (r − 1)x(t) Maynard Smith, May x(t + 1) = r − (r − 1) x(t) K x(t) ∆x(t) = (r − 1) 1 − x(t) K x(t) Ricker: x(t + 1) = r1− x(t) K x(t) ∆x(t) = r1− x(t) K − 1 x(t) Pielou, Beverton-Holt: x(t + 1) = r 1 + (r − 1) x(t) K x(t) ∆x(t) = r − 1 r 1 − x(t) K x(t + 1) Z. Pospíšil ·Dynamické systémy ·25. listopadu 2021 14 / 15 Příklad Růst homogenní populace s omezenými zdroji 0 2 4 6 8 10 −10123456 x(t)K 1 r x(t + 1) x(t) Z. Pospíšil ·Dynamické systémy ·25. listopadu 2021 14 / 15 Příklad Růst homogenní populace s omezenými zdroji 0 2 4 6 8 10 −10123456 x(t)K 1 r x(t + 1) x(t) Základní rovnice: x(t + 1) = r 1 + (r − 1) x(t) K β x(t) ∆x(t) = r − 1 1 + (r − 1) x(t) K β 1 − x(t) K β x(t) = r − 1 r 1 − x(t) K β x(t + 1) Z. Pospíšil ·Dynamické systémy ·25. listopadu 2021 14 / 15 Příklad Růst homogenní populace s omezenými zdroji 0 2 4 6 8 10 −10123456 x(t)K 1 r x(t + 1) x(t) Rovnice se zpožděním: x(t + 1) = r 1 + (r − 1) x(t − 1) K β x(t) Z. Pospíšil ·Dynamické systémy ·25. listopadu 2021 14 / 15 Příklad Růst homogenní populace s omezenými zdroji 0 2 4 6 8 10 −10123456 x(t)Kϑ 1 r x(t + 1) x(t) Allee: x(t + 1) = r 4K (K−ϑ)2 1− x(t) K (x−ϑ) x(t) Z. Pospíšil ·Dynamické systémy ·25. listopadu 2021 14 / 15 Příklad Růst homogenní populace s omezenými zdroji 0 2 4 6 8 10 −10123456 x(t)Kϑ 1 r x(t + 1) x(t) Gompertz: x(t + 1) = rx(t)− ln r ln K x(t) Z. Pospíšil ·Dynamické systémy ·25. listopadu 2021 14 / 15 Semidynamický systém: Neprázdná množina X Časová množina J ⊆ [0, ∞) (1) 0 ∈ J, 1 ∈ J (2) s, t ∈ J ⇒ s + t ∈ J (3) s, t ∈ J, s < t, ⇒ t − s ∈ J Evoluční operátor Φ : J × X → X (i) Φ(0, x) = x pro každé x ∈ X (ii) Φ(t + s, x) = Φ t, Φ(s, x) pro všechna t, s ∈ J a každé x ∈ X Z. Pospíšil ·Dynamické systémy ·25. listopadu 2021 15 / 15 Semidynamický systém: Metrický prostor X Časová množina J ⊆ [0, ∞) (1) 0 ∈ J, 1 ∈ J (2) s, t ∈ J ⇒ s + t ∈ J (3) s, t ∈ J, s < t, ⇒ t − s ∈ J Evoluční operátor Φ : J × X → X (i) Φ(0, x) = x pro každé x ∈ X (ii) Φ(t + s, x) = Φ t, Φ(s, x) pro všechna t, s ∈ J a každé x ∈ X Systém se spojitými stavy: Φ(t, · ) : X → X je spojité pro každé t ∈ J spojitý v čase: Φ( · , x) : J → X je spojitá funkce pro každé x ∈ X spojitý: Φ je spojité vzhledem k součinové topologii na J × X Z. Pospíšil ·Dynamické systémy ·25. listopadu 2021 15 / 15 Dynamický systém: Metrický prostor X Časová množina J ⊆ R (1) 0 ∈ J, 1 ∈ J (2) s, t ∈ J ⇒ s + t ∈ J (3) (J, +) je podgrupa (R, +) Evoluční operátor Φ : J × X → X (i) Φ(0, x) = x pro každé x ∈ X (ii) Φ(t + s, x) = Φ t, Φ(s, x) pro všechna t, s ∈ J a každé x ∈ X Systém se spojitými stavy: Φ(t, · ) : X → X je spojité pro každé t ∈ J spojitý v čase: Φ( · , x) : J → X je spojitá funkce pro každé x ∈ X spojitý: Φ je spojité vzhledem k součinové topologii na J × X Z. Pospíšil ·Dynamické systémy ·25. listopadu 2021 15 / 15