Fyzikální praktikum 4
Pád plochých objektů vzduchem
a jejich rotace
Úkoly
1. Předměty obdélníkového tvaru (např. papírek s rozměry 15 cm × 4 cm) při pádu často začnou
rotovat a padat šikmo. Vysvětlete tento jev a svoje vysvětlení kvantitativně experimentálně
potvrďte.
Pomůcky
K dispozici jsou m.j. počítač s webkamerou, jednoduchý plexisklový obdélníkový tunel s větráčkem,
ve kterém lze sledovat momenty sil působící na předměty obtékané vzduchem, termický anemometr,
kterým lze měřit rychlost proudění vzduchu v plexisklovém tunelu, zdroj kouře pro zviditelnění
proudění a laserová dioda s cylindrickou rozptylkou pro lepší viditelnost kouře.
Následující text není návodem pro řešení této konkrétní úlohy, přináší ale některé užitečné
informace o charakteru proudění vzduchu okolo různých těles.
Proudění nestlačitelné tekutiny
Pokud studujeme proudění tekutiny (kapaliny nebo plynu), jejíž rychlost je podstatně menší než
rychlost zvuku v dané tekutině, můžeme tekutinu považovat za nestlačitelnou. Potom můžeme
pohybovou rovnici objemového elementu tekutiny vyjádřit tzv. Navier-Stokesovou rovnicí
∂v
∂t
+ (v. )v = −
1
p + ν v + f, (1)
kde v je rychlost tekutiny, její hustota, p tlak, ν kinematická viskozita a f je součet zrychlení
od všech objemových sil (často jen tíhové zrychlení g) působících na tekutinu.
Před hledáním přibližného řešení Navier-Stokesovy rovnice (1) pro tekutinu obtékající nějaké
těleso (v našem případě tenkou rovinnou desku) je užitečné všimnout si viskózního členu ν v.
Tento člen se výrazně uplatní jenom v oblastech, kde je rychlostní pole tekutiny silně nehomogenní,
tj. prakticky jen v blízkosti obtékaného tělesa. Je výhodné rozdělit si proudění tekutiny do dvou
oblastí: první se nazývá mezní vrstva a jde o oblast v těsném okolí obtákaného tělesa, ve které
se uplatňuje viskozita tekutiny. Protože naší tekutinou je tentokrát vzduch, tedy plyn s nízkou
viskozitou, bude mezní vrstva poměrně tenká a jejích vlastností se letmo dotkneme jen v závěrečné
podkapitole. Druhá oblast obsahuje všechen vzduch mimo mezní vrstvu a viskozita v ní proudění
prakticky neovlivňuje. V této druhé oblasti proto rovnici (1) můžeme nahradit tzv. Eulerovou
rovnicí
∂v
∂t
+ (v. )v = −
1
p + g, (2)
Návody pro fyz. praktikum (verze November 4, 2014) 2
Bernoulliho rovnice
Z Eulerovy rovnice lze přímočaře odvodit dva užitečné zákony zachování. V prvním případě
využijeme rovnosti
v . v =
1
2
(v . v) − v × × v
a dostáváme
∂v
∂t
− v × × v = −
p
− gh −
v2
2
, (3)
souřadnice h označuje výšku. Pro ustálené ∂v
∂t = 0 a nevířivé × v = 0 proudění dostáváme
Bernoulliho rovnici
p +
1
2
v2
+ gh = konst., (4)
která je zákonem zachování energie pro ustálené nevířivé proudění nestlačitelné neviskózní ka-
paliny.1
Zákon zachování cirkulace
Při odvozování druhého zákona zachování si levou stranu rovnice (2) přepíšeme na dv
dt
2 a celou
rovnici zintegrujeme po uzavřené křivce:
dv
dt
. dr = −
1
p + g . dr. (5)
Pro nestlačitelnou tekutinu ( = konst.) a potenciálovou objemovou sílu g je pravá strana rovnice (5)
zjevně nulová. Levou stanu můžeme rozepsat pomocí d
dt (v.dr) = dv
dt .dr + v.d2r
dt na
d
dt
v . dr − v . dv = 0.
Protože v . dv = v2
2 , musí být hodnota druhého kruhového integrálu nulová, takže dostáváme
d
dt
v . dr = 0. (6)
Kruhový integrál v . dr se nazývá cirkulace a často se označuje Γ. Rovnici (6) tedy můžeme
přepsat na
Γ = v . dr = konst., (7)
což znamená, že cirkulace podél uzavřené křivky pohybující se spolu s neviskózní tekutinou se
nemění.
Protože v . dr =
S
× v . dS, můžeme ze zákona zachování cirkulace zjišťovat i hodnotu
rotace rychlosti. Je příjemné, že v mnoha případech, jako jsou např. homogenní vítr narážející
na překážku nebo stojatý vzduch, do kterého nalétává křídlo letadla, je rychlostní pole daleko
před překážkou nevířivé, tj. × v = 0 a Γ = 0. Pak musí rychlostní pole zůstat nevířivým i při
obtékání překážky, s výjimkou oblasti ovlivněné mezní vrstvou.3
1
Protože člen v × × v v rovnici (3) je kolmý na rychlost v, platí Bernoulliho rovnice i v ustáleném vířivém
proudění, ovšem pouze pro pohyb po proudnici, tj. křivce rovnoběžné s vektorem v.
2
Zatímco parciální derivace ∂v
∂t
vyjadřuje změnu rychlosti plynu v jednom místě, derivace dv
dt
vyjadřuje změnu
rychlosti objemového elementu, který se pohybuje spolu s plynem a po čase dt se tedy nachází v místě vzdáleném
o v dt. Platí dv
dt
= ∂v
∂t
+ vx
dv
dx
+ vy
dv
dy
+ vz
dv
dz
= ∂v
∂t
+ (v. )v.
3
Pokud bychom ale myšlenou uzavřenou křivku vedli tak, aby obklopovala obtékanou překážku, pak hodnota
cirkulace na takovéto křivce nemusí být nulová ani pro nevířivé proudění. Hodnota cirkulace by v tomto případě
souvisela se vztlakovou silou působící na překážku.
Návody pro fyz. praktikum (verze November 4, 2014) 3
Potenciálové proudění
Rychlostní potenciál
Je-li proudění nevířivé, můžeme najít tzv. rychlostní potenciál Φ, pro který platí
vx =
∂Φ
∂x
vy =
∂Φ
∂y
, (8)
tedy v = Φ. Vektor rychlosti a proudnice jsou kolmé na ekvipotenciální plochy (Φ = konst.).
Z rovnice kontinuity pro nestlačitelnou kapalinu
. v = 0 (9)
jednoduše vyplývá Φ = 0.
Proudová funkce
V případě dvourozměrného proudění (rychlost v závisí pouze na dvou souřadnicích x, y) je užitečné
definovat tzv. proudovou funkci Ψ takto:
vx =
∂Ψ
∂y
vy = −
∂Ψ
∂x
. (10)
Podobně jako definice v = Φ vede automaticky ke splnění podmínky × v = 0, vedou
rovnice (10) automaticky ke splnění podmínky nestlačitelnosti . v = 0. Podmínka × v = 0
vede pro proudovou funkci k Laplaceově rovnici Ψ = 0.
Význam proudové funkce spočívá v tom, že její gradient je kolmý na směr rychlosti:
Ψ . v =
∂Ψ
∂x
;
∂Ψ
∂y
.
∂Ψ
∂y
; −
∂Ψ
∂x
=
∂Ψ
∂x
∂Ψ
∂y
−
∂Ψ
∂y
∂Ψ
∂x
= 0.
To ale znamená, že křivka s konstantní hodnotou proudové funkce je zároveň proudnicí. Podaří-li
se tedy spočítat proudovou funkci, je pak triviální graficky zobrazit proudění právě proudnicemi,
což je asi nejnázornější způsob.
Průběhy rychlostního potenciálu a proudové funkce v některých nejjednodušších případech
jsou uvedeny v tabulce 1.
Proudění okolo nekonečného válce
Pokud sečteme dvourozměrné proudění homogenního toku s rychlostí v = (ve; 0) a dipólu D
(viz tab. 1), bude mít jedna z proudnic tvar přesné kružnice s poloměrem r0 = D
2πve
. Díky této
skutečnosti je lehké spočítat průběh potenciálového proudění okolo nekonečného válce s poloměrem
r0 vloženého do homogenního proudění jako součet proudění homogenního toku a dipólu:
vx = ve 1 + r2
0
y2 − x2
(x2 + y2)2 (11)
vy = −ve r2
0
2xy
(x2 + y2)2 (12)
Φ = ve x + r2
0
x
x2 + y2
(13)
Ψ = ve y − r2
0
y
x2 + y2
(14)
Návody pro fyz. praktikum (verze November 4, 2014) 4
vx vy Φ Ψ
homogenní tok α v cos α v sin α v (x cos α + y sin α) v (y cos α − x sin α)
zdroj
xQ
2πr2
yQ
2πr2
Q
4π
ln x2
+ y2 Q
2π
arctg
y
x
vír −
yΓ
2πr2
xΓ
2πr2
Γ
2π
arctg
y
x
-
Γ
4π
ln x2
+ y2
dipól
D
2π
y2 − x2
r4
−
D
π
xy
r4
D
2π
x
x2 + y2
−
D
2π
y
x2 + y2
Table 1: Veličiny popisující dvourozměrné potenciálové proudění nestlačitelné tekutiny pro několik
nejjednodušších případů: homogenní tok, zdroj tekutiny, jednoduchý vír a dipól (tj. dvě nekonečně
blízká místa stejně intenzivního zdroje a zániku). Q označuje tok tekutiny ze zdroje, Γ cirkulaci
víru, D dipólový moment, r = x2 + y2.
Žel nám ale nepostačí proudění kolem statického válce, pro analýzu obtékání složitějších tvarů
musíme mít nejprve vyřešeno i proudění vzduchu okolo rotujícího válce. Úhel α, pod kterým
proudí homogenní vnější tok, nastavíme tak, aby na pravém konci válce, tj. v bodě (r0; 0),
vzduch proudil vodorovně. Pro rychlostní potenciál a proudovou funkci tak dostáváme
Φ = ve (x cos α + y sin α) + ve r2
0
xd
x2
d + y2
d
− 2ve r0 sin α arctg
y
x
(15)
Ψ = ve (y cos α − x sin α) − ve r2
0
yd
x2
d + y2
d
+ ve r0 sin α ln(x2
+ y2
) (16)
xd = x cos α + y sin α (17)
yd = y cos α − x sin α (18)
První člen rovnic (15) a (16) vyjadřuje příspěvek homogenního vnějšího toku s rychlostí ve, druhý
člen vyjadřuje vliv dipólu otočeného o úhel α tak, aby byl správně orientován vůči vnějšímu toku,
a třetí člen vyjadřuje vliv takové rotace válce, která zajistí horizontální směr rychlosti na odtoku
z válce. Rovnice (17) a (18) zajišťují otočení dipólu. Příklad průběhu rychlostního potenciálu
a proudové funkce spočítaný v rovnicích (15) a (16) je znázorněn na obr. 1 a 2.
Když už známe Φ nebo Ψ a tedy i rychlost proudění okolo rotujícího válce (obr. 3), můžeme
pomocí Bernoulliho rovnice (4) spočítat tlak u povrchu válce (obr. 4) a následnou integrací spočítat
výslednou sílu působící na válec. Dostali bychom tak pro odporovou složku síly (F , ve směru ve)
a pro vztlakovou složku síly (F⊥, kolmo na ve) rovnice
F = 0 (19)
F⊥ = l veΓ, (20)
kde l je délka válce a Γ je cirkulace podél libovolné uzavřené křivky, která jednou obepíná válec.
Stejné vztahy bychom dostali pro libovolný objekt, který je vystaven dvourozměrnému potenciálovému
proudění.4
4
V realitě každý objekt klade nenulový odpor, což je způsobeno zejména třením v mezní vrstvě a tzv. odtržením
mezní vrstvy, které je zmíněno v závěrečné kapitolce.
Návody pro fyz. praktikum (verze November 4, 2014) 5
Figure 1: Rychlostní potenciál proudění okolo
rotujícího válce spočítaný podle (15) pro α =
20◦. Nespojitost na záporné části osy x je způsobena
skokem arctg (y/x) z π na −π
Figure 2: Proudová funkce v okolí rotujícího
válce spočítaná podle (16) pro α = 20◦. Křivky
s konstantní hodnotou proudové funkce odpovídají
proudnicím.
Figure 3: Velikost rychlosti tekutiny obtékající
rotující válec. V místě, kde je překážka nejširší,
musí být rychlost tekutiny největší, aby byl zachován
celkový tok tekutiny. (V těchto místech
bude podle Bernoulliho rovnice nejnižší tlak.)
0 60 120 180 240 300 360
−3
−2
−1
0
1
v/ve,p/̺v2
e
β [◦
]
p
v
α
βF⊥
Figure 4: Rychlost a tlak vzduchu u povrchu
rotujícího válce pro α = 20◦. Náčrtek vpravo
dole ukazuje kromě definice úhlu β také přibližný
tvar proudnice, která jde po povrchu válce
(modře). Přerušovaná šipka ukazuje směr ve
a F .
Joukowskiho transformace
Když známe řešení potenciálového proudění okolo nekonečného válce, bylo by šikovné, kdybychom
nějakou transformací tohoto řešení dokázali najít řešení Laplaceových rovnic Φ = 0 nebo Ψ = 0
i pro jiná tělesa. Takováto transformace existuje, k jejímu popisu se ale bude hodit, když na chvíli
přejdeme k popisu dvourozměrného proudění pomocí komplexních veličin: komlexní souřadnice
z, komplexní rychlosti u a komplexního potenciálu F:
z = x + iy (21)
u = vx − ivy (22)
F = Φ + iΨ. (23)
Derivace
∂F
∂z
= lim
z →z
F(z ) − F(z)
z − z
=
∂Φ
∂x
− i
∂Φ
∂y
=
∂Ψ
∂y
+ i
∂Ψ
∂x
(24)
Návody pro fyz. praktikum (verze November 4, 2014) 6
v komplexním oboru existuje, když platí
∂Φ
∂x
=
∂Ψ
∂y
(25)
∂Φ
∂y
= −
∂Ψ
∂x
(26)
z čehož automaticky vyplývá platnost Laplaceových rovnic Φ = 0 a Ψ = 0 pro složky každé
funkce F, která má v komplexním oboru derivaci. Díky (24) můžeme spočítat rychlost proudění
u =
∂F
∂z
. (27)
Stačí tedy najít takovou trasformaci komplexních souřadnic, která zachová existenci derivace
funkce F. Potom funkce Φ a Ψ budou i po transofmaci do nových souřadnic řešeními Laplaceovy
rovnice a budou tedy správným popisem potenciálového proudění. Protože se při transformaci
změní i kruh (nekonečný válec) na jiné těleso, získáme už jednoduše popis potenciálového proudění
okolo tohoto nového tělesa.
Hledanou transformací z původích souřadnic z1 do nových souřadnic z2 je tzv. Joukowskiho
transformace5 (čti Žukovski)
z2 = z1 +
K2
z1
. (28)
Rozepsáním této rovnice získáme transformační vztahy
x2 =
x1 (x2
1 + y2
1 + K2)
x2
1 + y2
1
(29)
y2 =
y1 (x2
1 + y2
1 − K2)
x2
1 + y2
1
(30)
K je reálná konstanta, v následujících ukázkách je K zvolena jednotková.
Pro taková tělesa, jejichž tvar lze získat Joukowskiho transformací kruhu, lze tedy prostě
v řešení Φ(x1, y1) nebo Ψ(x1, y1) nahradit původní souřadnice x1, y1 použité při řešení obtékání
kruhu za nové souřadnice x2, y2 podle (29) a (30). Obr. 5 ukazuje příklad několika tvarů, na
které lze Joukowskiho transformací převést různé kruhy lišící se svým poloměrem a pozicí středu.
Je vidět, že tímto postupem lze získat různé tvary včetně takových, které se velmi blíží profilům
skutečných křídel a ploutví. Transformace souřadnic pro jeden z těchto tvarů (křídlo s ostrou
odtokovou hranou) je zobrazena na obr. 6. Výsledný rychlostní potenciál a proudová funkce pro
tento tvar jsou vykresleny v obr. 7 a 8.
5
Dokázat, že Joukowskiho transformace zachová existenci derivace lze tak, že Cauchy-Riemannovy podmínky
(25) a (26) v nových souřadnicích rozepíšeme na
∂Φ
∂x1
∂x1
∂x2
+
∂Φ
∂y1
∂y1
∂x2
=
∂Ψ
∂x1
∂x1
∂y2
+
∂Ψ
∂y1
∂y1
∂y2
∂Φ
∂x1
∂x1
∂y2
+
∂Φ
∂y1
∂y1
∂y2
= −
∂Ψ
∂x1
∂x1
∂x2
−
∂Ψ
∂y1
∂y1
∂x2
a s využitím (25) a (26) v původních souřadnicích dostáváme jednodušší podmínky
∂x2
∂x1
=
∂y2
∂y1
∂x2
∂y1
= −
∂y2
∂x1
.
I když se zdá, že množství písmenek v rovnicích (29) a (30) je nepříjemně vysoké, je jednoduché platnost nových
podmínek pro Joukowskiho transormaci potvrdit.
Druhou důležitou vlastností Joukowskiho transformace je skutečnost, že transformace zachovává úhly mezi
křížícími se křivkami. Díky tomu jsou i po transformaci splněny okrajové podmínky na povrchu obtékaného tělesa.
Návody pro fyz. praktikum (verze November 4, 2014) 7
Figure 5: Příklady tvarů obtékaných těles (červeně), které lze získat Joukowskiho transformací
kruhu (modře). Kruh procházející bodem [-1; 0] nebo [1; 0] bude transformován ve tvar s ostrou
hranou, kruh se středem vychýleným mimo počátek souřadnic povede k asymetrickému tvaru.
Modrým křížkem je označen střed kruhu.
Figure 6: Joukowskiho transformace souřadnic pro okolí kruhu se středem v bodě [-0.1; 0.1]
a poloměrem
√
1.22 (shodný s obr. 5 vprostřed dole). Stojí za povšimnutí, že úhly mezi čarami
zůstaly zachovány i po transformaci.
Návody pro fyz. praktikum (verze November 4, 2014) 8
Figure 7: Rychlostní potenciál proudění okolo profilu křídla pro α = 20◦.
Figure 8: Proudová funkce okolo křídla pro α = 20◦.
Figure 9: Proudová funkce spočítaná bez započítání
Kutta-Joukowskiho podmínky. Na
odtokové hraně křídla je vidět nereálné
proudění okolo hrany, které by zde vedlo
k nekonečně velké rychlosti. Počítáno pro α =
30◦ a Γ = 0.
v
T
e
Figure 10: Tloušťka mezní vrstvy u rovné tenké
desky. Bod T označuje místo, kde se laminární
charakter vrstvy mění v turbulentní.
Návody pro fyz. praktikum (verze November 4, 2014) 9
Obr. 9 ukazuje řešení Laplaceovy rovnice pro obtékání téhož křídla, do kterého ale nebyla
započítaná cirkulace okolo křídla/válce. Takovéto řešení ovšem vede k nekonečně velké rychlosti
u odtokové hrany. Reálné proudění vytvoří takovou cirkulaci, která odstraní tuto divergenci
rychlosti, jak je ukázáno na obr. 8.6 Toto tvrzení se nazývá Kutta-Joukowskiho podmínka a je
důvodem, proč jsme do řešení (15) a (16) dodali i cirkulaci okolo válce.7
Mezní vrstva
Protože těsně u povrchu obtékaného tělesa je rychlost tekutiny nulová, vznikne v okolí tělesa tvz.
mezní vrstva, tedy oblast, kde existuje velký gradient rychlosti. V mezní vrstvě se proto projeví
i vliv viskozity tekutiny, dochází zde tedy ke tření a nemusí zde být zachovaná nevířivost tekutiny.
Jak kapalina proudí okolo tělesa, tloušťka mezní vrstvy zpravidla roste. Na obr. 10 je načrtnut
vývoj tloušťky mezní vrstvy u tenké rovné desky. Ze začátku (v levé části obr.) je charakter
proudění v mezní vrstvě laminární. Když Reynoldsovo číslo Re = vex/ν (souřadnice x je v tomto
případě vzálenost od začátku desky) dosáhne hodnoty zhruba 2.105 až 106, stává se proudění
v mezní vrstvě turbulentním. S tímto přechodem je spojen další nárůst tloušťky mezní vrstvy,
urychlení transportních procesů ve směru kolmém k povrchu a tedy i změna profilu rychlosti
v mezní vrstvě. Jak je naznačeno na obr. 10, v turbulentní mezní vrstvě je profil rychlosti těsně
u povrchu strmější než v laminární vrstě.
U zakřivených povrchů je situace složitější. Na závětrné straně podle Bernoulliho rovnice
většinou roste tlak. Element tekutiny, který putuje mezní vrstvou, ale ztratil část své hybnosti
díky tření a pokud chybějící hybnost nedostal od rychle proudícího plynu mimo mezní vrstvu,
nemůže mít dostatečnou kinetickou energii k překonání tlakového vzrůstu a obtečení celého tělesa.
V tomto případě dochází k tzv. odtržení mezní vrstvy, jak je naznačeno na obr. 11, a za tělesem
vzniká turbulentní oblast nazývaná úplav. Tvar profilu rychlosti proudění v mezní vrstvě při
odtržení je naznačen na obr. 12. Protože u povrchu tělesa v úplavu už nemůže dojít k takovému
nárůstu tlaku, jaký by vznikl v potenciálovém proudění, dojde při odtržení mezní vrstvy k poklesu
tlaku za tělesem a skokovému nárůstu odporu (F ). Protože transport hybnosti do mezní vrstvy
je v turbulentním proudění rychlejší než v proudění laminárním, je někdy možné odtržení mezní
vrstvy potlačit nebo alespoň bod odtržení posunout dále dozadu tím, že se úpravou povrchu tělesa
dosáhne rychlejší přechod charakteru proudění z laminárního do turbulentního. To je například
důvod, proč se na povrchu golfových míčků při výrobě vytvářejí drobné dolíčky. U křídel letadel
dochází k odtržení mezní vrstvy při příliš velkém náklonu křídla. Protože odtržení mezní vrstvy
vede jak ke vzrůstu odporu, tak i k poklesu vztlaku, je tento jev nežádoucí a konstrukce křídel se
jej snaží potlačit.
6
V případě nekonečně tenké desky tato podmínka sice odstraní nekonečnou velikost rychlosti na odtokové hraně,
neodstraní ale nekonečnou velikost rychlosti na náběhové hraně desky. Při výpočtu sil působících na obtékanou
šikmou nekonečně tenkou desku se proto musí spočítat i limita pro sílu působící ve směru roviny desky vedoucí ke
vztahu F = 0.
7
Protože střed kruhu pro naše křídlo leží mimo osu x, byla cirkulace ve vztazích (15) a (16) zesílena tak, aby
v odtokovém bodě [1; 0] měl vzduch směr kolmý na povrch kruhu.
Návody pro fyz. praktikum (verze November 4, 2014) 10
O
U
Figure 11: Odtržení mezní vrstvy (v bodě O)
při velkém náklonu křídla. Oblast úplavu je
označena písmenem U.
O
v
Figure 12: Profil rychlosti proudění v mezní
vrstvě u zakřiveného povrchu. Proudění
postupuje zleva doprava. První tři profily
ukazují růst tloušťky mezní vrstvy, čtvrtý profil
ukazuje situaci při odtržení (označen písmenem
O) a pátý situaci za odtržením, kdy u povrchu
vzduch proudí opačným směrem.