Ústav fyzikální elektroniky Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita, Brno Fyzikální praktikum 4 Koherenční délka podzim 2014 1 Koherenční délka Z praktického hlediska můžeme přibližně říci, že světlo je koherentní, pokud dobře interferuje. Představme si, že zdroj vyzařuje monochromaticky harmonickou vlnu pouze omezenou dobu. Poté se fáze náhodně změní a situace se opakuje. Označme střední hodnotu doby trvání této sinusoidy τ0. Její oříznutí se projeví frekvenčním rozšířením příslušné čáry ve spektru přibližně podle vztahu ∆ν ≈ 1 τ0 . Za střední dobu τ0 světlo urazí dráhu lc = cτ0 = c ∆ν . Protože |∆ν| = c λ2 |∆λ|, pro koherenční délku dostaneme vztah lc = λ2 ∆λ . Při interferenci obvykle původní světlo rozdělíme na dva či více svazků a ty vzájemně zpozdíme. Význam koherenční délky spočívá v tom, že pokud vzájemný dráhový rozdíl mezi svazky překročí koherenční délku, interference vymizí, neboť svazky již nadále nejsou koherentní (vzájemný fázový rozdíl je pak náhodný a interferenční člen vymizí). Pro bílé světlo (λ ≈ 500 nm, ∆λ ≈ 300 nm) je koherenční délka lc ≈ 0,8 µm. Proto pozorujeme interferenci např. na mýdlových bublinách, olejových vrstvách, ale ne na skleněné okenní tabuli. Pro případ monochromatického světla a dvou svazků o intenzitách I1 a I2 lze pro výslednou intenzitu psát I = I1 + I2 + 2 I1I2 cos ∆φ, kde fázový rozdíl ∆φ = k∆S = 2π c ν∆S a ∆S je (optický) dráhový rozdíl. Pro téměř monochromatické světlo, vyzařované např. atomem na jedné spektrální čáře, zaveďme pro oba svazky stejný intenzitní spektrální profil f(ν) normovaný f(ν)dν = 1. Protože jednotlivé spektrální příspěvky se sčítají nekoherentně, dostaneme pro výslednou intenzitu čáry I = [I1f(ν) + I2f(ν) + 2 I1I2f(ν) cos( 2π c ν∆S)]dν. Tedy I = I1f(ν)dν + I2f(ν)dν + 2 I1I2f(ν) cos( 2π c ν∆S)dν Fyzikální praktikum 2 Po částečné integraci I = I1 + I2 + 2 I1I2 f(ν) cos( 2π c ν∆S)dν. Ve zbylém integrálu rozšíříme argument kosinu o frekvenci ve středu čáry ν0 f(ν) cos( 2π c ν∆S)dν = f(ν) cos( 2π c (ν − ν0)∆S + 2π c ν0∆S)dν a kosinus rozepíšeme f(ν)[cos( 2π c (ν − ν0)∆S) cos( 2π c ν0∆S) − sin( 2π c (ν − ν0)∆S) sin( 2π c ν0∆S)]dν. Kosiny obsahující pouze ν0 vytkneme mimo integrál γ(r) [ f(ν) cos( 2π c (ν) − ν0)∆S)dν] cos( 2π c ν0∆S) − ξ(r) [ f(ν) sin( 2π c (ν − ν0)∆S)dν] sin( 2π c ν0∆S) protože pro spektrální čáru je |ν − ν0| ν0, integrály jsou velmi pomalou funkcí ∆S γ(r) = f(ν) cos( 2π c (ν − ν0)∆S)dν ξ(r) = f(ν) sin( 2π c (ν − ν0)∆S)dν. Při symetrickém profilu je navíc ξ(r) = 0, takže I = I1 + I2 + 2γ(r) I1I2 cos( 2π c ν0∆S). (1) γ(r) má tedy význam stupně koherence. Viditelnost interferenčního jevu je definována jako V = Imax − Imin Imin + Imax . Po dosazení extrémních hodnot z (1) V = 2γ(r) √ I1I2 I1 + I2 . Pro I1 = I2 je viditelnost interferenčního jevu rovna stupni koherence V = γ(r) . Význam předešlého závěru spočívá v tom, že analýzou interferenčních obrazců dokážeme stanovit závislost viditelnosti jevu a tedy i stupně koherence na dráhovém rozdílu. Protože ten je Fourierovou transformací spektrálního profilu, lze zpětnou transformací získat původní spektrální profil. Na tom jsou založeny spektrometry s Fourierovou transformací (např. FTIR). Příklady provázanosti spektrálního profilu a viditelnosti interferenčního jevu jsou na obrázku 1. Fyzikální praktikum 3 1.1 Gaussův profil Spektrální čáry plynů ve výbojkách za nízkého tlaku jsou rozšířeny zejména Dopplerovým jevem, mají tedy Gaussův spektrální profil. Vezměme normovaný Gaussův spektrální profil fg(v) = f0e−α2(ν−ν0)2 , f0 = 2 ln 2 π 1 ∆ν1/2 , α = 2 √ ln 2 ∆ν1/2 , kde ∆ν1/2 je plná šířka čáry v polovině výšky (FWHM). Viditelnost V interferenčního jevu při použití kvazimonochromatického světelného zdroje s gaussovsky rozšířenou spektrální čarou V(∆S) = γ(r) = fg(ν) cos( 2π c (ν − ν0)∆S)dν. Po integraci Vg(∆S) = e−π2∆S2 α2c2 . (2) Po dosazení za α Vg(∆S) = e− π2∆ν2 1/2 ∆S2 4 ln 2 c2 . Viditelnost je tedy opět popsána Gaussovou funkcí. Fitujeme-li viditelnost funkcí f(x) = Ae− (x−xc)2 2w2 , pak pro pološířku čáry ∆ν1/2 dostaneme ∆ν1/2 = √ 2 ln 2c πw . Dosadíme-li za ∆ν1/2 = c λ2 0 ∆λ1/2, pak pro ∆λ1/2 dostaneme ∆λ1/2 = √ 2 ln 2 πw λ2 0, neboli λ2 0 ∆λ1/2 = π √ 2 ln 2 w . = 2,67 w. 1.2 Dvojice Gaussových profilů Spektrum některých prvků (např. sodíku) je tvořeno dvojicí čar s malou vzájemnou vzdáleností δλ, tzv. dublety. Ukážeme, že v tomto případě je viditelnost nemonotonní funkcí dráhového rozdílu ∆S. Napíšeme-li spektrální profil v symetrickém tvaru fgg(ν) = f0 2 e−α2[ν−(ν0−δν/2)]2 + f0 2 e−α2[ν−(ν0+δν/2)]2 , potom obdobně jako v minulém případě V(∆S) = γ(r) = fgg(ν) cos( 2π c (ν − ν0)∆S)dν. Kosinus převedeme do komplexních exponenciel a jeho argument rozšíříme o ±2π c δν 2 ∆S. Po integraci, při níž využijeme výsledek výpočtu pro samotný Gaussův profil dostaneme Fyzikální praktikum 4 Vgg(∆S) = e−π2∆S2 α2c2 cos 2π c δν 2 ∆S . První činitel, shodný s výsledkem pro samotný Gaussův profil (2), je nyní silně modulován periodickou funkcí. Pro minima viditelnosti platí cos( 2π c δν 2 ∆S) = 0, tj. 2π c δν 2 ∆S = (2m + 1) π 2 , m ∈ Z. Mezi dvěma minimy viditelnosti je vzdálenost π. Označíme-li dva nejbližší dráhové rozdíly s minimem viditelnosti ∆S1 a ∆S2, pak pro frekvenční vzdálenost čar dostaneme δν = c ∆S2 − ∆S1 . Odpovídající vzdálenost čar ve spektru je pro kvazimonochromatické světlo δλ = λ2 0 c δν = λ2 0 ∆S2 − ∆S1 . Výsledek můžeme přepsat do tvaru λ0 δλ = ∆S2 − ∆S1 λ0 . Jak ho můžeme interpretovat z hlediska experimentu? Spektrální profil může být ve skutečnosti často nesymetrický. Např. komponenty dubletu sodíku mají v opticky tenkém1 plazmatu výbojky různou intenzitu. 2 Vybavení V praktiku je k dispozici školní verze Michelsonova interferometru, Newtonova skla a další uspořádání pro pozorování interferenčních jevů. Úkoly 1. Připravte optickou lavici pro pozorování interference na Michelsonově interferometru. Vyskoušejte různá uspořádání (proužky stejné tloušťky, stejného sklonu). Použijte laser. 2. Okalibrujte převod polohy mezi mikrometrickým šroubem a polohou zrcadla pomocí světelného zdroje se známou vlnovou délkou. Kalibraci otestujte na jiném známém zdroji. 3. Proměřte viditelnost interference s vysocesvítivou LED diodou. Pro záznam interferenčních obrazců a vyhodnocení viditelnosti použijte CCD kameru, videopřevodník a dostupný software. Stanovte viditelnost jako funkci dráhového rozdílu, kterého dosáhnete změnou polohy zrcadla nebo úhlu v samotném interferenčním obrazci. Stanovte koherenční délku, odhadněte spektrální profil zdroje a jeho šířku. 4. Proměřte viditelnost interference s vysokotlakou sodíkovou výbojkou. Opět stanovte koherenční délku, spektrální profil zdroje a jeho šířku. 5. Své odhady porovnejte s výsledky měření spekter zdrojů mřížkovým spektrometrem. References [1] Malý Petr 2008 Optika. Praha:Karolinum. [2] Born M and Wolf E 1970 Principles of Optics. Pergamon Press. 1 se zanedbatelnou absorpcí Fyzikální praktikum 5 Figure 1: Viditelnost interferenčního jevu pro různé spektrální profily, odvozená za předpokladu kvazimonochromatičnosti světla. V obrázcích b), c), d) je ∆k = 2 √ ln 2/α = 1,66/α.