Fyzikální praktikum 4 Koherenční délka podzimní semestr 2021 Téma časové koherence napatří mezi nejjednodušší témata ani po stránce teoretické, ani po stránce experimentální. Abychom se pokusili pochopení problematiky usnadnit, rozhodli jsme se téma popsat z více pohledů, které se navzájem doplňují, ale také překrývají. V části 1 se nejprve seznámíme s nejjednodušší, idealizovanou představou časové koherence, předpokládající koherentnost světla v konstantním časovém intervalu. Výsledky této představy mohou být použity i pro orientační vyhodnocení reálné situace. Výpočet idealizované představy je proveden pomocí integrace v čase. Koherenční vlastnosti ale úzce souvisí a mohou být tedy studovány pomocí spektrálního profilu zdroje, bez ohledu na to, co profil způsobuje. Tento přístup je použit pro odvození vztahu pro reálný stupeň časové koherence a viditelnost interferenčního jevu v části 2. Výsledný vztah je aplikován na několik základních spektrálních profilů v části 3, které lze již použít v reálných situacích. Jako rozšiřující čtení lze chápat část 4, která zobecňuje úvodní úvahu z části 1 a ukazuje, jak popisovat časovou koherenci jako korelaci v čase. Zavádí též přesnou definici koherenční doby. Výsledky aplikace na běžné světelné zdroje, tzv. chaotické světlo, jsou uvedeny v části 5. Podrobný výpočet lze nalézt v [3]. Rozšiřujícím čtením je i část věnovaná dnešnímu přístupu vyhodnocení interferogramů – Fourierově transformaci (část 6). V posledních praktických oddílech je stručně popsán Michelsonův interferometr (část 7) a postup vyhodnocení interferenčního obrazce (část 8). Podrobnosti k sestavení Michelsonova interferometru, jeho justaci a použití nalezne čtenář v [4]. 1 Základní představa časové koherence Z praktického hlediska můžeme přibližně říci, že světlo je koherentní, pokud „dobře interferuje“. Při pozorování interference světlo ze zdroje obvykle rozdělíme dělením amplitudy nebo vlnoplochy, vlny vzájemně zpozdíme a následně zase složíme. Zkušenost ukazuje, že velmi dobře pozorujeme interferenci monochromatického světla laserů či výbojek, podstatně horších výsledků dosáhneme při použití bílého světla. V řadě situací interferenci bílého světla vůbec nezaznamenáme. Jak je to možné? Při výpočtech interference se v základních kurzech často počítá se zcela koherentními monochromatickými vlnami, vyzařovanými po nekonečně dlouhou dobu. Takový předpoklad je však velmi dobrou aproximací pouze v případě stabilizovaných laserů. V běžném zdroji (bez výrazné stimulované emise) však atomy vyzařují světlo nezávisle a vyzařování je omezeno jen na určitý časový interval. Představme si, že zdroj vyzařuje monochromatickou harmonickou lineárně polarizovanou vlnu s konstantní amplitudou po dobu τc. Poté se fáze náhodně změní a situace se opakuje. Pro jednoduchost předpokládejme, že doba τc je vždy stejná. Ve skalární aproximaci v konkrétním místě (zvolme x = 0) bude intenzita elektrického pole vlnění dvou interferujících vln, z nichž jedna vznikla zpožděním „části“ druhé o čas τ E1(t) = E01ei[ω0t+φ(t)] E2(t) = E02ei[ω0(t−τ)+φ(t−τ)] . Fyzikální praktikum 2 Zachovává-li se v původní vlně fáze po dobu τc, je fázový rozdíl δφ(t) = φ(t) − φ(t − τ) =    0, t ∈ 0; +τc − τ , atd. náhodné číslo, jinak . Výsledná intenzita elektrického pole je E(t) = E1(t) + E2(t) = E01ei[ω0t+φ(t)] + E02ei[ω0(t−τ)+φ(t−τ)] a intenzita záření středovaná přes periodu1 I(t) ∝ E(t) · E∗ (t) = (1) = E01ei[ω0t+φ(t)] + E02ei[ω0(t−τ)+φ(t−τ)] · E01e−i[ω0t+φ(t)] + E02e−i[ω0(t−τ)+φ(t−τ)] = E2 01 + E2 02 + E01E02 ei(ω0τ+δφ(t)) + e−i(ω0τ+δφ(t)) = E2 01 + E2 02 + 2E01E02 cos[ω0τ + δφ(t)]. (2) Okamžitou hodnotu intenzity jako funkci času ale měřit neumíme. Detektory měří časovou střední hodnotu intenzity I přes integrační dobu TD τc, lze tedy předpokládat TD = Nτc. Pro střední hodnotu kosinu ve výrazu (2) dostaneme 1 TD TD 0 cos[ω0τ + δφ(t)]dt = 1 Nτc N−1 i=0 (i+1)τc iτc cos[ω0τ + δφ(t)]dt = = 1 Nτc N−1 i=0 (i+1)τc−τ iτc cos[ω0τ + δφ(t) 0 ]dt + 1 Nτc 0 N−1 i=0 (i+1)τc (i+1)τc−τ cos[ω0τ + δφ(t) náhodné číslo ]dt = 1 Nτc N−1 i=0 (i+1)τc−τ iτc cos ω0τdt = τc − τ τc cos ω0τ Označíme-li zlomek ve výsledku jako γt a fázové zpoždění ∆φ = ω0τ, lze pro výslednou intenzitu elektrického pole psát E2 0 = E2 01 + E2 02 + 2γtE01E02 cos ∆φ a obdobně pro intenzitu záření I = I1 + I2 + 2γt I1I2 cos ∆φ. (3) 1 Použití komplexní funkce místo reálného průběhu vystředuje okamžitou hodnotu Poyntingova vektoru přes periodu. Použití harmonických funkcí ve vyjádření okamžité hodnoty ponechá členy s cos2 ω0t a cos(2ω0t), které se po středování přes periodu vystředují na 1/2, resp. na nulu. tτc 2τc 3τc 0 τ E₁(t) E₂(t) τ Obrázek 1: Aproximace konstantní koherenční dobou Fyzikální praktikum 3 0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 γt ττc částečně koherentní nekoherentní zcela koherentní t E(t) τc 0 Obrázek 2: a) Stupeň časové koherence. b) K spektrální hustotě koherenční dobou ořezané vlny. Stupeň časové koherence Oproti interferenci zcela koherentních vln interferenční člen tedy navíc obsahuje tzv. stupeň časové koherence γt = τc − τ τc . (4) Graf této funkce je na obrázku 2a). Je-li zpoždění τ mezi vlnami prakticky zanedbatelné ve srovnání s koherenční dobou τc, γt ≈ 1 a interference nastává jako v případě zcela koherentních vln. Při zpoždění překračujícím koherenční dobu spolu interferují vlny s náhodným fázovým rozdílem (zcela nekoherentní vlnění). Ačkoliv v rámci každého úseku je interferenční člen nenulový, jeho časová střední hodnota integrovaná detektorem je již rovna nule (γt = 0). Pro výslednou intenzitu platí I = I1 + I2. Intenzita nezávisí na vzájemném zpoždění vln, vlny spolu neinterferují. Viditelnost interference Je zřejmé, že za viditelností interferenčního jevu stojí třetí člen v rovnici (3).2 Viditelnost V interferenčního jevu je definována jako V = Imax − Imin Imin + Imax , ve kterém vystupují hodnoty nejbližších lokálních maxim a minim intenzity v interferenčním obrazci. Je tedy funkcí časového zpoždění τ, resp. dráhového rozdílu S (∆φ = ω0τ ∝ k0S ). Po dosazení extrémních hodnot z (3) V = 2γt √ I1I2 I1 + I2 . Budou-li intenzity obou interferujících vln stejné, I1 = I2, je viditelnost interferenčního jevu rovna stupni koherence V = γt. 2 Proto se tomuto členu také říká interferenční. Fyzikální praktikum 4 Spektrální profil V závěru této části si všimněme spektrálních vlastností záření, které by mělo charakter koherenční dobou ořezané vlny (viz obr. 2b). Nechť3 E(t) = E0ei 2πν0t, t ∈ −τc/2; +τc/2 0, jinak. Místo úhlové frekvence jsme přešli k běžně užívané frekvenci ν0 = ω0/2π. Z Fourierovy teorie plyne E(ν) = ∞ −∞ E(t)e−i2πνt dt = E0 τc/2 −τc/2 ei2π(ν0−ν)t dt = E0 ei2π(ν0−ν)t i2π(ν0 − ν) +τc/2 −τc/2 = E0τc sin[π(ν0 − ν)τc] π(ν0 − ν)τc . Spektrální profil intenzity záření, který je úměrný kvadrátu E(ν), odpovídá tedy funkci f(ν) ∝ sinc2 [π(ν − ν0)τc]. Centrální peak funkce sinc má při hladině nulové intenzity plnou šířku (vzdálenost prvních minim funkce sin) 2/τc. Šířka peaku ve smyslu FWHM (plná šířka při poloviční intenzitě maxima) ∆ν1/2 ≈ 1 τc . Oříznutím vlny v čase tedy dojde k demonochromatizaci spektrální hustoty, popisované světlo obsahuje i jiné frekvence než předpokládané ν0 (resp. ω0). Pokud je koherenční doba mnohem větší ve srovnání s periodou τc T, je rozšíření spektrální čáry ∆ν1/2 ν0. Mluvíme pak o kvazimonochromatickém světle. Koherenční délka Za koherenční dobu τc světlo urazí dráhu lc = cτc = c ∆ν1/2 . Protože |∆ν| = c λ2 0 |∆λ|, λ0 = c/ν0, pro koherenční délku dostaneme přibližný vztah lc = λ2 0 ∆λ1/2 . Ten nám umožňuje odhadnout koherenční délku světla podle monochromatičnosti spektrálního profilu zdroje.4 3 V tomto zjednodušení pomíjíme fakt, že vlnových úseků je během integrace detektoru mnoho. Jak se výsledky změní, pokud bychom to uvažovali? 4 I když je vztah použitelný pro kvazimonochormatické světlo, obvykle se neubráníme pokušení ho vyzkoušet i na bílé světlo (λ ≈ 500 nm, ∆λ1/2 ≈ 300 nm), koherenční délka lc ≈ 0,8 µm. Proto pozorujeme interferenci např. na mýdlových bublinách, olejových vrstvách, ale ne na skleněné okenní tabuli. Hodnota ∆λ1/2 ale závisí i na použitém detektoru. Není jedno, zda pozorujeme interferenci bílého světla černobílou kamerou nebo očima, neboť pozorování očima usnadňuje barevné vnímání. Fyzikální praktikum 5 Model a skutečnost Předpoklad o konstantní době τc vln vyzařovaných během integreční doby detektoru nám sice dovolil odvodit jednoduché vztahy pro koherenční charakteristiky, neodpovídá ale realitě. Doba vyzařování je náhodná veličina, ovlivňovaná vzájemnými srážkami atomů. Samotná intenzita záření exponenciálně klesá během vyzařování, tak jak je atomový oscilátor tlumen. Atomy rovněž nevyzařují vždy na stejné frekvenci λ0. Nejenže spektrální čára může mít více komponent, ale i vlnová délka emitovaná pohybujícím se atomem a pozorovaná detektorem podléhá Dopplerovu jevu. To vede k tomu, že spektrální profil je obyčejně odlišný od uvažované funkce sinc2 a většinou bývá popsán Gaussovou, Lorentzovou nebo Voigtovou funkcí. Uvedené výsledky lze tedy použít jen k odhadům, lze-li reálnou situaci naším modelem aproximovat. V další části se proto podíváme na to, jak průběh viditelnosti interference (a tedy i stupně koherence) závisí na reálném spektrálním profilu. To nám umožní nejen popsat koherenční vlastnosti reálného světla lépe, ale navíc i stanovit tento spektrální profil z interferenčních experimentů. 2 Viditelnost interference kvazimonochromatického světla Pro případ monochromatického světla o vakuové frekvenci ω a dvou svazků o stejné intenzitě I0 lze pro výslednou intenzitu psát I(∆φ) = 2I0(1 + cos ∆φ), kde fázový rozdíl ∆φ = ωτ, τ je vzájemné časové zpoždění úměrné optickému dráhovému rozdílu S . Pro téměř monochromatické světlo, vyzařované atomem na spektrální čáře nenulové šířky, zaveďme pro oba svazky stejný intenzitní spektrální profil f(ω) normovaný f(ω)dω = 1. Protože jednotlivé spektrální příspěvky se sčítají nekoherentně, dostaneme pro celkovou intenzitu spektrální čáry v závislosti na zpoždění I(τ) = 2I0f(ω)[1 + cos(ωτ)]dω = 2I0[1 + f(ω) cos(ωτ)dω]. (5) Ve zbylém integrálu rozšíříme argument kosinu o frekvenci ve středu čáry ω0 f(ω) cos(ωτ)dω = f(ω) cos[(ω − ω0)τ + ω0τ]dω a kosinus rozepíšeme f(ω){cos[(ω − ω0)τ] cos(ω0τ) − sin[(ω − ω0)τ] sin(ω0τ)}dω. Kosiny obsahující pouze ω0 vytkneme mimo integrál cos(ω0τ) η f(ω) cos [(ω − ω0)τ] dω − sin(ω0τ) ξ f(ω) sin [(ω − ω0)τ] dω . Protože pro kvazimonochromatické světlo je |ω − ω0| ω0, integrály jsou velmi pomalou funkcí τ η = f(ω) cos [(ω − ω0)τ] dω ξ = f(ω) sin [(ω − ω0)τ] dω. Intenzitu lze tedy psát ve tvaru I(τ) = 2I0 [1 + η cos(ω0τ) − ξ sin(ω0τ)] (6) Fyzikální praktikum 6 Z podmínky lokálních extrémů intenzity (dI/dτ = 0) při zanedbání dξ/dτ a dη/dτ obdržíme pro extrémní hodnotu s τ∗ tg(ω0τ∗) = −ξ/η. (7) Po dosazení do (6) je intenzita maxim a minim I(τ∗) = 2I0 1 + ξ2 + η2 η cos(ω0τ∗) , což lze s uvážením ξ2 + η2 η = 1 | cos(ω0τ∗)| přepsat do tvaru I(τ∗) = 2I0 1 ± ξ2 + η2 . Viditelnost interferenčního jevu potom bude V(τ) = ξ2 + η2. To nás vede přepsat výraz pro obecnou intenzitu (6) do tvaru I(τ) = 2I0 1 + ξ2 + η2 η ξ2 + η2 cos(ω0τ) − ξ ξ2 + η2 sin(ω0τ) a s využitím vzorce cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β lze napsat výsledný výraz pro intenzitu I(τ) = 2I0 1 + ξ2 + η2 cos(ω0τ + χ) , (8) ve kterém je tgχ = ξ/η. (9) Jak je patrné srovnáním s (3), stupeň časové koherence je nyní dán výrazem γt(τ) = V(τ) = ξ2 + η2 a současně dochází k určitému posuvu proužků. Symetrický profil Budeme-li speciálně předpokládat symetrický spektrální profil, je integrál liché funkce ξ = 0, takže k posuvu proužků nedochází I(τ) = 2I0 [1 + γt cos(ω0τ)] , (10) a stupeň časové koherence bude roven jen koeficientu η γt(τ) = V(τ) = f(ω) cos [(ω − ω0)τ] dω . (11) Význam předešlého závěru spočívá v tom, že pro určitý spektrální profil lze předpočítat křivku viditelnosti interferenčního jevu v závislosti na časovém zpoždění, a tedy na dráhovém rozdílu mezi svazky. Protože tuto křivku lze rovněž určit z experimentu, umožňuje nám to stanovit parametry spektrálního profilu, i když samotný profil nejsme schopni přímo rozlišit. Uvedený postup použil už Michelson při studiu spektrálního složení atomových spektrálních čar pomocí dvoupaprskového interferometru. Spektrální rozlišení dvoupaprskového interferometru je zcela nedostatečné k tomu, abychom pozorovali samotné spektrum na jednom proužku, neboť intenzita je velmi pomalou funkcí dráhového rozdílu (cos ∆φ). Jinak je tomu u vícepaprskového Fabry-Perotova interferometru, kde vysoká odrazivost zrcadel interferenční maxima silně zúží. Fyzikální praktikum 7 Rozdíl mezi oběma přístroji je velmi podobný rozdílu mezi dvojštěrbinou a mnohopaprskovou difrakční mřížkou (u interferometrů dělíme amplitudu vlny, u difrakce vlnoplochu). Přesto lze dvoupaprskový (Michelsonův) interferometr k odhalení složení spektrální čáry využít, právě výše uvedeným způsobem. V případě složitějšího spektra je však obdobný postup nepoužitelný, neboť nevíme, jaký tvar spektra máme předpokládat. V absorpčních interferometrech, které měří intenzitu bílého světla po průchodu absorbujícím prostředím, se proto využívá modernějšího postupu výpočtu spektra z Fourierovy transformace (viz oddíl 6). V následujícím textu si dále ukážeme výpočet viditelnosti interferenčního obrazce pro některé spektrální profily. Ukázky viditelnosti jsou na obrázku 3. 3 Výpočet viditelnosti interference typických spektrálních profilů 3.1 Diracova δ-funkce Nejprve zkusme výsledek aplikovat na čistě monochromatické světlo, jehož spektrální profil můžeme charakterizovat Diracovou δ-funkcí fm(ω) = δ(ω − ω0). Výpočet z (11) dává podle předpokladů V(τ) = ∞ 0 δ(ω − ω0) cos [(ω − ω0)τ] dω = |cos [(ω0 − ω0)τ]| = 1. 3.2 Dvojice Diracových δ-funkcí Vezměme nyní dvě Diracovy funkce, vzdálené ve spektru o interval ∆ω fmm(ω) = 1 2 {δ[ω − (ω0 − ∆ω/2)] + δ[ω − (ω0 + ∆ω/2)]}. Výpočet z (11) dává Vmm(τ) = 1 2 cos ∆ωτ 2 + cos − ∆ωτ 2 = cos ∆ωτ 2 . Viditelnost interferenčního obrazce se tedy periodicky mění, s minimy viditelnosti pro ∆ωτ 2 = (2m + 1) π 2 , m ∈ Z. Mezi dvěma minimy viditelnosti je vzdálenost π. Označíme-li periodu dráhového rozdílu, se kterou v experimentu nastávají minima viditelnosti, ∆S = c∆τ, pak vzdálenost čar ve spektru je ∆ω = 2πc ∆S . Tomu odpovídá rozdíl ve frekvencích a vlnových délkách ∆ν = c ∆S , ∆λ = λ2 0 ∆S . Měříme-li ∆S v jednotkách vlnové délky ∆S = ∆Mλ, pro vzdálenost spektrálních čar dostaneme ∆λ = λ0 ∆M . Tímto případem můžeme aproximovat např. záření vícemódového laseru, případně atomů vyzařujících světlo na dubletových spektrálních čarách. Atomové čáry mají ale konečnou spektrální šířku. Fyzikální praktikum 8 3.3 Gaussův profil Vezměme normovaný Gaussův spektrální profil v proměnné ω fg(ω) = 1 σ √ 2π e− (ω−ω0)2 2σ2 , kde σ ve smyslu směrodatné odchylky s plnou šířkou čáry v polovině výšky (FWHM) souvisí ∆ω1/2 = 2 √ 2 ln 2 · σ. (12) Výpočet z (11) dává pro viditelnost interferenčního jevu při použití kvazimonochromatického světelného zdroje s gaussovsky rozšířenou spektrální čarou Vg(τ) = e−σ2τ2 2 . (13) 3.4 Dvojice Gaussových profilů Spektrum některých prvků je tvořeno dvojicemi čar s malou vzájemnou vzdáleností, tzv. dubletů. Předpokládejme pro obě čáry stejný Gaussův profil, symetricky rozložený ve vzdálenosti ∆ω/2 od ω0 fgg(ω) = 1 2 {fg[ω − (ω0 − ∆ω/2)] + fg[ω − (ω0 + ∆ω/2)]}. Po dosazení do rovnice (11) kosinus rozšíříme o ±∆ωτ/2: cos[(ω − ω0)τ] = cos[(ω − (ω0 ± ∆ω/2))τ ± ∆ωτ/2] a rozepíšeme cos[(ω−(ω0±∆ω/2))τ±∆ωτ/2] = cos[(ω−(ω0±∆ω/2))τ] cos[∆ωτ/2] sin[(ω−(ω0±∆ω/2))τ] sin[∆ωτ/2]. Viditelnost tedy bude Vgg(τ) = 1 2 cos(∆ωτ/2) ∞ 0 fg[ω − (ω0 − ∆ω/2)] cos[(ω − (ω0 − ∆ω/2))τ]dω + 1 2 sin(∆ωτ/2) ∞ 0 fg[ω − (ω0 − ∆ω/2)] sin[(ω − (ω0 − ∆ω/2))τ]dω + 1 2 cos(∆ωτ/2) ∞ 0 fg[ω − (ω0 + ∆ω/2)] cos[(ω − (ω0 + ∆ω/2))τ]dω − 1 2 sin(∆ωτ/2) ∞ 0 fg[ω − (ω0 + ∆ω/2)] sin[(ω − (ω0 + ∆ω/2))τ]dω . Protože stupeň koherence samotného Gaussova profilu nezávisí na frekvenci ve středu čáry, jen na šířce profilu σ, jsou integrály pro obě čáry stejné. Ve výsledku Vgg(τ) = e−σ2τ2 2 cos ∆ωτ 2 . První činitel je tedy shodný s výsledkem pro samotný Gaussův profil (13), druhý činitel zase s výsledkem pro dvojici Dirakových funkcí. Viditelnost je tedy popsána stejnou Gaussovou funkcí jako pro samotný spektrální Gaussův profil, která je ale přerušována s periodou ∆S = 2πc ∆ω . Fyzikální praktikum 9 Násobení viditelností předešlých dvou výsledků bylo možné předpokládat, představíme-li si dvojici Gaussových profilů jako konvoluci dvojice Diracových funkcí a Gaussova profilu. Reálný spektrální profil dubletových čar může být ale ve skutečnosti často nesymetrický. Např. dvojice čar sodíkového dubletu D1 a D2 mají v opticky tenkém5 plazmatu výbojky vlivem různých statistických vah horních stavů různou intenzitu (2:1). Pokud je ale koncentrace atomů sodíku v základním stavu vysoká a plazma opticky nepropustné, obě čáry jsou saturovány na podobné hodnotě intenzity. 4 Interference jako korelační experiment∗ V předešlých částech 2 a 3 jsme výpočet viditelnosti interferenčního jevu udělali ze znalosti spektrálního profilu čáry kvazimonochromatického světla. Tím jsme se elegantně vyhnuli nutnosti uvažovat nad časovým průběhem intenzity vyzařování a jejím statistickým charakterem. Pro kompletní obraz proto stručně doplňme, jak se podobný výpočet dá provést i v této reprezentaci. Intenzitu středovanou přes periodu lze podle rovnice (1) pro stejné intenzity dopadajích vln přepsat i takto I(t) = 1 2 ε0c |E(t)|2 + |E(t + τ)|2 + 2Re[E∗ (t) · E(t + τ)] (14) Střední hodnota registrovaná detektorem I(t) = 1 2 ε0c |E(t)|2 + |E(t + τ)|2 + 2Re E∗ (t) · E(t + τ) (15) Protože ve stacionárním případě I0 = 1 2 ε0c |E(t)|2 = 1 2 ε0c |E(t + τ)|2 , (16) obdržíme I(t) = 2I0 1 + Re E∗(t) · E(t + τ) E∗(t) · E(t) . (17) Výraz E∗(t) · E(t + τ) představuje korelační funkci E∗ (t) · E(t + τ) = 1 T T E∗ (t) · E(t + τ)dt. Komplexní stupeň koherence Její normovaná varianta je tzv. komplexní stupeň časové koherence prvního řádu6 g1 (τ) = E∗(t) · E(t + τ) E∗(t) · E(t) (18) a vztah pro interferenční intenzitu pak bude I(t) = 2I0 1 + Re g1 (τ) . Srovnáme-li výraz s rovnicí (3), vidíme, že reálná část komplexního stupně koherence bude obsahovat narozdíl od γt i cos ∆φ. Reálný stupeň časové koherence γt = |g1 (τ)|. (19) 5 se zanedbatelnou absorpcí 6 Existuje i stupeň časové koherence druhého řádu, definovaný obdobně na intenzitách záření (případně fotonových tocích). Fyzikální praktikum 10 I() 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 () fm(ω) = δ(ω − ω0) V(τ) = 1 I() 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 () fmm(ω) = [δ(ω − ω1) + δ(ω − ω2)]/2 Vmm(τ) = cos ∆ωτ 2 I() 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 () fg(ω − ω0) = 1√ 2πσ e− (ω−ω0)2 2σ2 Vg(τ) = e−σ2τ2 2 I() 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 () fgg(ω) = [fg(ω − ω1) + fg(ω − ω2)]/2 Vgg(τ) = e−σ2τ2 2 cos ∆ωτ 2 Obrázek 3: Viditelnost interferenčního jevu pro různé spektrální profily, odvozená za předpokladu kvazimonochromatičnosti světla. Fyzikální praktikum 11 Obrázek 4: Vliv srážek. Převzato z [3]. Za předpokladu, že časové průměrování lze nahradit statistickým, lze určit stupeň koherence, a tedy i viditelnost interferenčního obrazce, ze statistických vlastností světelného zdroje. Koherenční doba je charakterstika korelační funkce definovaná τc = ∞ −∞ |g1 (τ)|2 dτ. (20) 5 Chaotické světlo Jak již bylo zmíněno v první části, vyzařování klasického zdroje je výsledkem vyzařování mnoha atomů, které září nezávisle na sobě. Mluvíme pak o chaotickém vyzařování (světle). Lze identifikovat dva nejjednodušší případy: Převládají elastické srážky V tomto případě jsou charakteristiky zdroje určeny srážkami mezi atomy. Srazí-li se atom pružně během vyzařování světla s jiným atomem, dojde během srážky k změně počáteční fáze vyzařovaného světla. Časový vývoj vlny pak má charakter obdobný obrázku 1, jen mají úseky různou délku a intenzitu. Časový vývoj je nasimulován na obr. 4, spektrálně je čára rozšířena tzv. Lorentzovým rozšířením. Pro komplexní stupeň koherence světla se srážkami určeným spektrálním profilem lze odvodit [3] g1 (τ) = e−iω0τ−|τ|/τ0 . (21) kde τ0 je střední doba mezi srážkami. Reálný stupeň časové koherence a viditelnost je pak γt = |g1 (τ)| = e−|τ|/τ0 . (22) Koherenční doba je podle (20) τc = τ0. Převládá Dopplerův jev Nízkotlaké výbojky produkující atomární čáry mají spektrální profil obvykle určen Dopplerovým jevem. Vlivem Maxwellova rozdělení rychlostí atomů v plynu je potom i spektrální profil popsán Gaussovou funkcí. Časový vývoj (viz obr. 5) je na rozdíl od Lorentzova rozdělení pomalejší. Pro stupeň koherence lze odvodit [3] g1 (τ) = e−iω0τ−σ2τ2/2 (23) Reálný stupeň časové koherence a viditelnost je pak ve shodě s výpočtem (13) γt = |g1 (τ)| = e−σ2τ2/2 . (24) Fyzikální praktikum 12 Obrázek 5: Vliv Dopplerova jevu. Převzato z [3]. Protože koherenční doba je podle (20) τc = π1/2 σ , (25) kde σ je směrodatná odchylka Gaussova spektrálního profilu v proměnné ω, je reálný stupeň časové koherence roven γt = e −π 2 τ τc 2 . (26) 6 Spektroskopie s Fourierovou transformací∗ Jak již bylo uvedeno dříve, v případě komplikovaného spektra je Michelsonův postup, zavedený v části 2 a aplikovaný v části 3, nepoužitelný. Pro úplnost se nyní podívejme na elegantnější řešení, využívající numerické Fourierovy transformace. Vraťme se zpátky k rovnici (5). Protože jsme při jejím napsání nepotřebovali podmínku kvazimonochromatičnosti světla, rovnice platí i pro bílé světlo, pouze spektrální hustota intenzity záření I(ω) = I0f(ω) není úzká funkce. Přejdeme-li k běžně používanému vyjádření spektra pomocí vakuového vlnočtu ˜ν = 1/λ = ν/c (wavenumber), bude ωτ = 2π˜νS , f(ω)dω = f(˜ν)d˜ν, kde S je optický dráhový rozdíl. Definujeme interferogram jako průběh intenzity v závislosti na dráhovém rozdílu očištěný o stejnosměrnou složku. To můžeme provést např. odečtením poloviny hodnoty intenzity pro nulový dráhový rozdíl I(S ) = I(S ) − I(0)/2 = 2 ∞ 0 I(˜ν) cos(2π˜νS )d˜ν. Rozšíříme-li spektrum i do záporných hodnot vlnočtů tak, že výsledná funkce je sudá I(−˜ν) = I(˜ν), lze integrál přepsat I(S ) = ∞ −∞ I(˜ν) cos(2π˜νS )d˜ν. Fyzikální praktikum 13 PZ P P 2tcosθ 2t a) b) Z2 Z1 L S B B1 ' B2 ' θ Obrázek 6: Schéma Michelsonova interferometru (a) a náhradní schéma (b). Protože integrál přes celý obor liché funkce je vždy roven nule, obdržíme pro výsledný tvar inter- ferogramu I(S ) = ∞ −∞ I(˜ν)ei2π˜νS d˜ν. (27) Proměnné S a ˜ν tvoří takzvaný FT pár. Protože I(S ) = F[I(˜ν)] je I(˜ν) = F−1[I(S )]. Tedy I(˜ν) = ∞ −∞ I(S )e−i2π˜νS dS . (28) Spektrum tedy obdržíme inverzní Fourierovou transformací interferogramu. 7 Michelsonův interferometr Michelsonův interferometr je optické zařízení, které je v nejjednodušší variantě složené z polopropustného zrcadla PZ a dvou zrcadel Z1, Z2 umístěných na konci dvou vzájemně kolmých ramen (viz obrázek 6a). V našem experimentu ho budeme osvětlovat svazkem ze zdroje L (laser, LED dioda, výbojka), fokusovaným do bodu B pomocí spojné čočky S. Světlo vystupující z interferometru pozorujeme na stínítku P. Namísto stínítka P lze použít např. CCD kameru. Z bodu B vychází světlo v podobě rozbíhavých vlnoploch. Dopadá na polopropustné zrcadlo PZ, kde část světla prochází až na zrcadlo Z1, část se odráží na zrcadlo Z2. Po odrazu na obou zrcadlech jsou oba svazky opět složeny na polopropustném zrcadle PZ a dopadají na stínítko P. Protože na rovinných zrcadlech nedochází ani k fokusaci ani k rozptýlení svazku, hlavním efektem všech tří zrcadel je vytvoření dvou zdánlivých bodových zdrojů B1 a B2, z nichž se šíří světelné vlnoplochy směrem ke stínítku (viz obrázek 6 b). V případě kvalitního vyrovnání zrcadel lze dosáhnout situace, kdy oba zdánlivé body B1 a B2 jsou přesně za sebou. Označíme-li rozdíl vzdáleností zrcadel Z1 a Z2 vůči PZ jako t, je dráhový rozdíl, který musí světlo šířící se z bodu B1 urazit navíc, roven S = 2t cos θ, Fyzikální praktikum 14 Obrázek 7: Část interferogramu bílého světla (a) a z něj vypočteného spektra (b). kde θ je úhel, popisující sklon paprsků vůči ose. Protože tento výraz je konstantní pro určitý úhel θ, bude výsledek stejný pro všechny body kružnice opsané na stínítku kolem průsečíku s osou. Na stínítku se proto objeví interferenční kroužky. Pokud by se body podařilo naopak srovnat do jedné vzdálenosti od stínítka, jen s malým stranovým posunem, pozorovali bychom na stínítku umístěném ve větší vzdálenosti naopak proužky. Byl to právě tento typ interferometru, který použil A. A. Michelson ke studiu spektrálního složení světla analýzou interferenčních obrazců. Také ho použil (1892) k přesnému změření vlnové délky spektrální čáry kadmia Cd I 643,847 nm, resp. k opačné úloze – ke změření délky mezinárodního prototypu metru v jednotkách vlnové délky této čáry. Prototypu metru odpovídalo ve vzduchu při tlaku 760 mm a teplotě 15 ◦C 1553164,13 vlnových délek této čáry. Protože interferometrická měření se ukázala být přesnější než původní realizace metru, byl v roce 1960 metr redefinován jako 1 650 763,73 vakuových vlnových délek spektrální čáry 86Kr I 605,780210 nm. Interferometrická měření se stala základem přesného měření délky. V současnosti se Michelsonův interferometr v kombinaci s Fourierovou transformací standardně používá k měření spekter v infračervené oblasti (FTIR). Místo mřížkového spektrometru vyžadujícího skenování přes rozsáhlou oblast vlnových délek se použije Michelsonův interferometr, který skenuje přes dráhový rozdíl změnou pozice jednoho zrcadla. Tím se naměří funkce I(S ) (viz rovnice 27) , původní spektrum se zpětně získá numericky z rovnice (28). Metoda FTIR má oproti užití mřížkového spektrometru i další výhody. Příklad interferogramu a spektra, které z něj bylo vypočteno, udává obrázek 7.7 8 Vyhodnocení experimentu Zatímco v teoretických výpočtech je výhodné používat časové zpoždění τ, v experimentu obvykle měříme viditelnosti jako funkci optického dráhového rozdílu S . Pro Gaussův profil z rovnice 26 dostaneme γt = e −π 2 S lc 2 , (29) kde lc je koherenční délka. Dráhový rozdíl i koherenční délku můžeme s výhodou měřit v jednotkách λ0 (počet proužků). Nafitujeme-li průběh γt(S ) funkcí Ae− (x−x0)2 2w2 , (30) 7 Zajímavostí je, že Michelsonův interferometr je v FTIR spektrometru obvykle použit hned dvakrát. Jeden analyzuje přímo IR záření, druhý je osvětlený He-Ne laserem a počítáním proužků laserového světla ve viditelné oblasti určuje polohu posuvného zrcadla prvního interferometru. To dovoluje velmi přesné měření dráhového rozdílu. Fyzikální praktikum 15 bude koherenční délka lc = √ πw. (31) Spektrální šířka Gaussova zdroje ve smyslu směrodatné odchylky v jednotkách úhlové frekvence bude podle (25) σω ≡ σ = √ π lc/c = c w . (32) Protože σω = 2πc λ2 σλ, (33) bude spektrální šířka ve stejném smyslu ve vlnové délce σλ = λ2 2πw . (34) Plná šířka spektrálního profilu v polovině výšky bude podle (12) ∆λ1/2 = 2 √ 2 ln 2 λ2 2πw = √ 2 ln 2 π λ2 w ≈ 0,37 λ2 w . (35) Poznamenejme závěrem, že koherenční délka je v tomto případě rovna lc = 0,66 λ2 ∆λ1/2 . 9 Vybavení V praktiku je k dispozici Michelsonův interferometr k sestavení na optické desce. Pro záznam obrazců je připravena CCD kamera, která dokáže snímat zářeni v rozsahu 350 – 1100 nm. Vzdálenost pixelů v čipu kamery je 14 µm. Tuto hodnotu lze případně využít při kalibraci dráhového rozdílu v interferenčním obrazci. Úkoly 1. Připravte optickou desku pro pozorování interference na Michelsonově interferometru. Vyzkoušejte různá uspořádání (proužky stejné tloušťky, stejného sklonu). Použijte laser. Při justaci můžete využít návod [4]. 2. Zkontrolujte převod polohy mezi mikrometrickým šroubem a polohou zrcadla pomocí světelného zdroje se známou vlnovou délkou. Kalibraci otestujte na jiném známém zdroji. 3. Proměřte viditelnost interference s vysoce svítivou LED diodou. Pro záznam interferenčních obrazců a vyhodnocení viditelnosti použijte CCD kameru a dostupný software. Stanovte viditelnost jako funkci dráhového rozdílu, kterého dosáhnete změnou polohy zrcadla nebo úhlu v samotném interferenčním obrazci. Stanovte koherenční délku, odhadněte spektrální profil zdroje a jeho šířku. 4. Proměřte viditelnost interference s vysokotlakou sodíkovou výbojkou. Opět stanovte koherenční délku, spektrální profil zdroje a jeho šířku. 5. Pozorujte alternace ve viditelnosti interferenčního obrazce při použití laseru. Jak je vysvět- líme? 6. Své odhady spektrálních profilů porovnejte s výsledky měření spekter zdrojů mřížkovým spektrometrem. Fyzikální praktikum 16 Reference [1] Malý Petr 2008 Optika. Praha: Karolinum. [2] Born M and Wolf E 1970 Principles of Optics. Pergamon Press. [3] Loudon R 2000 The Quantum Theory of Light. Oxford University Press. [4] https://www.thorlabs.com/_sd.cfm?fileName=MTN013132-D02.pdf&partNumber= EDU-MINT2 [5] Kauppinen J and Partanen J 2001 Fourier Transforms in Spectroscopy. Wiley-VCH Verlag.