Ústav fyziky kondenzovaných látek Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita, Brno Fyzikální praktikum 4 Magnetizační křivka Cíle úlohy Měření magnetizační křivky feromagnetického vzorku pomocí vibračního magnetometru. Pozorování změn magnetizační křivky po vyžíhání vzorku. Zejména je možné pozorovat změny s rychlostí chlazení vzorků (pomalé chladnutí nebo rychlé zakalení). Teorie Vztah mezi magnetickou intenzitou H a magnetickou indukcí B je dán vztahem B = µ0 (H + M) , (1) kde M je vektor magnetizace, který udává objemovou hustotu magnetického momentu. Magnetický moment je potom objem vzorku násobený magnetizací m = V M. (2) Při známé hustotě vzorku a jeho hmotnosti můžeme potom snadno přepočíst celkový magnetický moment příslušející na jeden atom. Magnetický moment příslušející jednomu atomu je vhodné udávat v jednotkách Bohrova magnetonu µB = 9,274 · 10−24 Am2 . H H C S R M M M Obrázek 1: Hysterezní závislost. Paramagnetické a diamagnetické materiály za běžných teplot vykazují lineární závislost magntizace na vnějším poli M = χH , (3) kde χ je magnetická susceptibilita, kladná pro paramagnetika a záporná pro diamagnetika. Obvykle je susceptibilita velmi malá v řádu 10−4 až 10−8. Relativní permeabilita je rovna µr = 1+χ. Magnetizační křivka 2 Feromagnetické materiály vykazují nelineární hysterezní závislost podle obrázku 1. Hlavní parametry hysterezní smyčky jsou koercitivní pole Hc kdy je magnetizace nulová, remanentní magnetizace MR a saturační magnetizace. Dále pak je možné zavést susceptibilitu závislou na vnějším poli jako derivaci magnetizace χ = dM dH . (4) Často se udává hodnota v okolí počátku, tedy pro nulové vnější pole. Tato hodnota je důležitá například pro účinnost transformátorů, kdy se snažíme pracovat jen v oblasti malých polí daleko saturace. Změna magnetizace feromagnetu se děje pohybem doménových stěn v materiálu a změnou objemu jednotlivých domén. Defekty v krystalu mohou pohyb doménových stěn zpomalit a vedou tak ke změně tvaru hysterezní křivky. Můžeme například studovat vliv rychlosti chlazení materiálu na tvar hysterezní smyčky. Při rychlém chladnutí (kalení) zůstane v materiálu obvykle více defektů než při pomalém chladnutí, kdy je proces blíže termodynamické rovnováze. Vibrační magnetometr Vibrující magnetizovaný vzorek v blízkosti cívky mění tok magnetického pole, který indukuje v cívce elektromotorické napětí podle Maxwellových rovnic U = − dΦ dt . (5) a x m a) b) m x x0 0 =a/2 Obrázek 2: Schematický nákres vzájemné polohy vzorku jako magnetického dipólu a detekční cívky. Jednoduchý kvantitativní popis našeho experimentu je možný v přiblížení, kdy permanentní magnet nahradíme magnetickým dipólem a cívku kruhovým závitem. Dále budeme pohyb magnetu v těsné blízkosti cívky aproximovat harmonickým kmitavým pohybem po ose cívky x(t) = x0 + A cos(ωt) (6) s amplitudou A se střední polohou x0. Zjednodušená situace je znázorněná na obrázku 2a. Magnetické pole magnetického dipólu je dáno vztahem [1, 2] B(r) = µ0 4πr3 3(r · m)r r2 − m , (7) kde r je polohový vektor vztažený na magnetický dipól, m magnetický dipólový moment a µ0 je permeabilita vakua. Snadným výpočtem lze ověřit, že magnetický indukční tok pole magnetického dipólu orientovaného ve směru osy x plochou kruhového závitu je roven Φ(x) = µ0m 2 a2 (a2 + x2)3/2 , (8) kde a je poloměr kruhového závitu, do jehož středu umístíme počátek osy x. Magnetizační křivka 3 K určení napětí indukovaného v závitu při pohybu magnetu užijeme Faradayův zákon (5). Provedeme-li za tohoto předpokladu časovou derivaci magnetického indukčního toku (8), získáme pro napětí indukované v cívce s N závity: U(t) = −N dΦ dt = − 3Nµ0mAω 2a2 x0/a [1 + (x0/a)2]5/2 sin(ωt) , (9) kde jsme zanedbali amplitudu kmitů vzhledem k vzdálenosti x0. Ve skutečnosti se lepších výsledků dosahuje použitím dvojice detekčních cívek v obrázku 2b. Cívky jsou zapojeny v opačném smyslu, takže případné změny vnějšího magnetického pole se odečtou, zatímco signál od vzorku se zdvojnásobí. Maximální citlivosti se dosahuje, pokud je vzdálenost detekčních cívek (pick-up coils) rovna jejich poloměru a vzorek je umístěn ve středu mezi cívkami. Potom je indukované napětí rovno U(t) = − 48 25 √ 5 Nµ0mAω a2 sin(ωt) , (10) kde amplituda napětí je úměrná frekvenci kmitů, amplitudě kmitů a zejména pak magnetickému momentu vzorku. Amplituda napětí je potom rovna Umax = 48 25 √ 5 Nµ0Aω a2 m . (11) Schéma použitého magnetometru je na obrázku 3. vzorek sberne civky referencni vzorek elektromagnet referencni civka pohyb vibracni Obrázek 3: Schématické uspořádání magnetometru. Žlutě součásti elektromagnetu, červeně sběrné cívky, modře vzorek a referenční magnet, černě vibrující tyč. Změnou vnějšího magnetického pole (změnou proudu tekoucího elektromagnetem) můžeme potom naměřit magnetizační křivku vzorku, tedy závislost magntického momentu vzorku na magnetickém poli. Lock-in zasilovač K potlačení šumu obvodu používáme takzvaný lock-in zesilovač. Toto zařízení zesiluje střídavou složku měřeného signálu, které má stejnou frekvenci jako referenční signál a velmi efektivně potlačuje elektromagnetický šum na jiných frekvencích než má měřená složka. Takto můžeme měřit střídavá napětí ve zlomcích mikrovoltu. Zdrojem referenčního signálu je malý permanentní magnet umístěný na vibrující tyči vně magnetu a referenční cívka v jeho blízkosti. Referenční signál má tedy nutně stejnou frekvenci i fázi jako měřený signál. Je vhodné používat experimentální frekvenci odlišnou od možných zdrojů rušení; zejména je dobré se vyhýbat násobkům síťové frekvence 50 Hz a podobně. Lock-in zesilovač měří středovanou hodnotu Uout = 1 T t+T t Uin(τ) sin(ωrefτ + φ)dτ , (12) Magnetizační křivka 4 tvar orientace pole N koule libovolná 1/3 tenká destička kolmo k ploše 1 tenká destička v rovině plochy 0 dlouhý tenký válec podél osy válce 0 dlouhý tenký válec kolmo na osu 1/2 Tabulka 1: Tabulka demagnetizačního faktoru pro některé speciální případy. kde Uin je vstupní signál, ωref frekvence referenčního signálu, φ laditelný fázový posun a T volitelná časová konstanta lock-in zesilovače, vždy mnohem větší než perioda měřeného signálu. Pro harmonický vstupní signál se stejnou frekvencí jako je referenční a nulovým fázovým posunem je výstupní napětí rovno efektivní hodnotě harmonické složky napětí (amplitudě dělené √ 2): Ulock−in = 48 25 √ 10 Nµ0Aω a2 m, (13) kde první část vztahu je kalibrační konstanta magnetometru. Demagnetizační pole Pro správnou interpretaci naměřených dat je ještě třeba uvážit demagnetizační pole ve vzorku. Magnetické pole uvnitř vzorku Hi, Bi je odlišné od magnetického pole vně vzorku He, Be. Zřejmě platí Be = µ0He , Bi = µ0(Hi + M) . (14) Dále pak platí spojitosti tečných složek intenzity a normálových složek na rozhraní. Řešením jsou vztahy pro pole uvnitř vzorku: Hi = He − NM , Bi = µ0(Hi + M) = Be + µ0(1 − N)M , (15) kde N je demagnetizační faktor závisející na tvaru a orientaci vzorku vzhledem ke směru magnetického pole. Některé hodnoty jsou uvedeny v tabulce 1. V našem případě se omezíme na vzorky z tenkého plechu s orientací magnetického pole v rovině destičky. Demagnetizační faktor je pak zanedbatelný a korekci dle vztahu (15) nemusíme uvažovat. Doporučený postup a úkoly pro měření Student má tři týdny na provedení měření. Doporučený postup: • První týden – seznámení s magnetometrem; kalibrace magnetometru pomocí referenčního vzorku (permanentního magnetu). • Druhý a třetí týden – změření magnetizační křivky pro několik různých vzorků nebo pozorování změn po vyžíhání vzorku. Výstupem praktika budou prezentovány vyučujícímu naměřené závislosti ve formě grafů a naměřené hodnoty, včetně odhadu nejistot, pokud je to možné a vhodné. Literatura: [1] D. Griffith, Introduction to electrodynamics, Prentice-Hall (1999). [2] J.D. Jackson: Classical electrodynamics, Willey (1999).