Vysoké učení technické v Brně
VÝPOČTY V RÁMCI
LINEÁRNÍ IZOTROPNÍ ELASTICITY
Tomáš Kruml
verze 2012
Lineární izotropní elasticita – základy
V tomto textu jsem se pokusil o popsání typického výpočtu v rámci lineární izotropní
elasticity v těch nejjednodušších případech, kdy lze odhadnout deformaci tělesa po
zatížení.
V těchto výpočtech vystupují 4 významné veličiny:
- vektor přemístění u

;
- tenzor deformace  ;
- tenzor napětí  ;
- aplikované síly F

(nebo momenty M

).
Mezi těmito veličinami existují následující vazby (viz Obr. 1):
- rovnice mezi u

a  ;
- Hookův zákon mezi  a  ;
- definice  pomocí F

.
Obrázek 1. Schéma typického výpočtu.
Budeme předpokládat, že materiál je 1) homogenní, 2) izotropní kontinuum a že 3)
deformace nejsou příliš velké a představíme si první z linií naznačených na Obr. 1.
Tato linie spočívá v těchto krocích:
1. v odhadu tvaru tělesa po deformaci, tj. "uhodnutí" vektoru přemístění u

;
2. z vektoru u

můžeme vypočítat tenzor deformace;
3. z Hookova zákona vypočítáme tenzor napětí.
4. Pokud chceme spojit tenzor napětí s vnějšími působícími silami, používají se
v jednotlivých případech různé postupy.
Nyní rozepíšeme tento postup podrobněji.
Příprava: Napětí a deformace jsou tenzorové veličiny
Je třeba se smířit s faktem, že napětí i deformace jsou obecně tenzory 2. řádu a mají
tedy 9 komponent. Demonstrace tohoto faktu se nejčastěji ukazuje následovně.
Uvažujme těleso na obr. 1, na které působí několik vnějších sil a momentů. Zajímá
nás stav napětí v bodě M.
Obrázek 1. Těleso na které působí vnější síly.
Představme si, že těleso pomyslně rozřízneme podél nějaké roviny na dvě části, A a B a
že bod M leží na této rovině. Kolem bodu M označíme elementární plošku dS, která je
charakterizovaná svojí normálou n

. Aby bod M zůstal po odstranění části B na svém
místě, nahradíme působení části B na plošku dS silou Fd

. T

se nazývá vektor napětí
a je definován jako síla normovaná plochou:
dS
Fd
T



Průmět T

do n

se nazývá normálové napětí a značí se , složka T

ležící v dS se
nazývá smykové napětí a značí se . Je ale jasné, že T

nám neposkytuje celou
informaci o stavu napětí v bodě M. Pokud bychom řízli těleso jinou rovinou
procházející bodem M, zjistili bychom, že na element plochy v okolí M působí jiný
vektor napětí. V našem 3D světě potřebujeme pomyslně rozřezat těleso třemi
nezávislými rovinami a dostaneme tedy 3 vektory napětí, každý o 3 složkách. Je
samozřejmě nejjednodušší volit tyto plošky vzájemně kolmé a zkombinovat 3 získané
vektory napětí do jedné veličiny, tenzoru napětí  , který lze napsat jako matice 3x3.
Obr. 2 ukazuje definici jednotlivých složek tenzoru napětí ij v případě kartézských
souřadnic. Je vidět, že v diagonále  jsou normálové složky, zatímco mimo diagonálu
jsou složky smykové.











333231
232221
131211
ij




často lze také vidět zápis:














zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
ij
Obrázek 2. Složky tenzoru napětí.
Bez odvození zatím akceptujeme, že deformace způsobené takovým tenzorem napětí
můžeme napsat také jako tenzor 2. řádu vyjádřený maticí ij.
Poznámky:
1. U normálových složek napětí i deformace je nutné rozlišovat znaménko: kladné
hodnoty v případě tahu, záporné v případě komprese. U smykových složek je znaménko
pouze otázkou volby souřadného systému.
2. Při setkání s termínem "napětí" (nebo "deformace") je třeba být obezřetný; může být
míněna veličina tenzorová nebo vektorová nebo skalární. Např. u tahového diagramu,
pokud směr tahu je rovnoběžný s osou x, se na osu y vynáší složka xx (ostatní složky
jsou nulové) a napětím je myšlena tato skalární složka.
Další (nepovinná) příprava: Vlastnosti tenzorů napětí a deformace
Lze ukázat, že  a  mají určité vlastnosti:
a) Pokud jsou momenty sil působících na malý element tělesa v rovnováze, musí být
oba tenzory symetrické a mají tedy 6 nezávislých komponent: (11 , 22 , 33 , 12 =
21 , 13 = 31 , 23 = 32).
b) Pokud jsou síly působící na element v rovnováze, lze odvodit podmínku pro oba
tenzory nazývanou Cauchyho rovnice rovnováhy:
0 


j j
ij
x
; i, j = 1, 2, 3
c) Pokud změníme zvolený souřadný systém v bodě M z (x, y, z) na (x', y', z'), hodnoty
složek obou tenzorů se změní, ovšem 3 kombinace složek tenzorů zůstanou
zachovány; říká se jim invarianty a označují se I1, I2, a I3.
d) 1. invariant je součet diagonály, který zůstává při transformaci souřadnic stejný a
u obou tenzorů má důležitý praktický význam:
součet (11 + 22 + 33)/3 = P se nazývá průměrný anebo hydrostatický tlak;
součet 11 + 22 + 33 = V/V0 má význam relativní změny objemu.
Tenzor napětí se někdy rozděluje na dvě složky:
 = P + D , kde











P00
0P0
00P
P se nazývá rovnoměrný tenzor napětí a D je deviátor
napětí.
e) Další dva invarianty nebudeme uvádět, uvedeme však tzv. von Misesovo napětí,
které je také invariantní; nazývá se někdy také ekvivalentní nebo zobecněné napětí k:
        3
2
1
231312332211k
2
1
2222
11
2
33
2
22







f) Pro jakýkoliv (rovnovážný) stav napětí lze najít takové kartézské souřadnice, ve
kterých má tenzor napětí nenulové složky pouze v diagonále. Souřadné osy se v tomto
případě nazývají hlavní osy a diagonální složky napětí se nazývají hlavní napětí.














3
2
1
00
00
00
Pořadí složek hlavního napětí je zvykem volit takto: 1 > 2 > 3.
Poznámka: Při transformaci souřadnic je vždy nutné použít matice transformace A:
' = A  AT
Nelze upravovat matici  na diagonální tvar jinými úpravami známými z úprav matic
(např. odečítání řádků). Nalezení hlavních os proto není triviální.
1. krok výpočtu: Uhodneme deformaci tělesa a napíšeme vektor přemístění
Typický analytický výpočet stavu napětí začíná stanovením předpokladů o tvaru
deformovaného tělesa a napsáním rovnic pro vektor přemístění u

. Vektor přesunutí
u

(x,y,z) je vektor spojující bod A a A', kde bod A je libovolný bod tělesa před započetím
působení vnějších sil a bod A' je poloha tohoto bodu po deformaci tělesa. Vnější tvar
tělesa určují (někdy) okrajové podmínky, jak se přemísťují body uvnitř tělesa je nutné
odhadnout. Pokud je tento odhad proveden správně, další postup už spočívá
v dosazení do známých rovnic. Zásadně volíme souřadný systém, který odpovídá
symetrii problému; odvážný inženýr z válcových nebo sférických souřadnic nemá
obavy, viz příklady na konci tohoto textu. Pokud odhad u

nemůže být proveden,
výpočet je pak obtížnější a překračuje rámec tohoto textu.
2. krok výpočtu: Ze známého u

vypočítáme tenzor deformace
Pro výpočet složek tenzoru deformace ze známého vektoru přemístění existují
vzorečky, tento krok tedy lze provést velmi snadno. Tyto vzorečky se liší pro různé typy
souřadnic.
Kartézské souřadnice (x, y, z):
ji
i
j
j
i
ij
x
u
x
u















2
1
Válcové souřadnice (r, , z):
r
ur
rr


 










 

r
r
u
rr
u
r
u 1
2
1








 

u
u
r
r
1











 

z
z
u
rz
u 1
2
1
z
uz
zz


 











r
u
z
u zr
rz
2
1
Sférické souřadnice (r, , ):
r
ur
rr


 










 

r
r
u
rr
u
r
u 1
2
1
r
uu
r
r



 

1


















 



u
sinr
tgcou
u
r
11
2
1
r
u
tgco
r
uu
sinr
r




 

1
















r
u
r
uu
sinr
r
r
1
2
1
3. krok výpočtu: Pomocí Hookova zákona vypočítáme tenzor napětí
Pokud je materiál izotropní, je popsán dvěma nezávislými elastickými konstantami.
Používá se dvojice (, G) anebo (E, ), kde  je jeden z Lamého koeficientů, G je modul
ve smyku, E je Youngův modul a  je Poissonovo číslo. Hookův zákon potom nabývá
stejného tvaru ve všech souřadných systémech:
ijijij IG  12 (elastické konstanty , G)
   ijijij I
EE





 1
2111
(elastické konstanty E, )
kde 3322111 


V
V
I
a ij je Kroneckerův symbol: ij = 1 pro i = j
ij = 0 pro i ≠ j.
Poznámky:
1. Při výpočtu tenzoru deformace musíme použít různé vzorečky pro různé souřadné
systémy, zatímco Hookův zákon je jen jeden. Je to tím, že Hookův zákon používáme pro
výpočet napětí v jednom bodě. V jednom bodě jsou 3 kartézské, 3 válcové i 3 sférické
souřadnice na sebe kolmé; "zahnutí" úhlových souřadnic u válcových a sférických
souřadných systémů se v jednom bodě neprojeví.
2. Obecný Hookův zákon spojuje tenzor napětí a tenzor deformace takto:
klijklij C 
Cijkl je tenzor elastických konstant. Jeho složky mají jednotku [Pa]. Protože existuje jedna
elastická konstanta mezi každou z 6 složek tenzoru napětí a 6 složek tenzoru
deformace, obecně existuje 36 složek napětí. Aplikace prvního termodynamického
zákona na výpočet elastické energie uložené v materiálu dále zmenšuje počet
nezávislých složek tenzoru C na 21. Tolik nezávislých elastických složek má
anisotropický materiál bez další symetrie.
3. Pokud se jedná o krystalický materiál, operace symetrie jeho mřížky dále omezují
počet nezávislých složek tenzoru C : u hexagonálních krystalů na 5, u kubických
krystalů na tři a v případě izotropního materiálu na dvě (C1111 a C2323). Za izotropní
materiál lze považovat polykrystal s jakoukoli mřížkou, pokud je bez textury a zrna jsou
dostatečně malá vzhledem k uvažovanému tělesu.
4. Při tahové zkoušce se používá Hookův zákon ve tvaru  = E. Jde o vyjádření vztahu
mezi normálovými složkami obou tenzorů; pokud je osa napětí rovnoběžná s osou x,
jedná se o xx = E xx. Tenzor napětí má nenulovou pouze složku xx, ale tenzor
deformace má nenulové všechny tři složky v diagonále, existuje proto další rovnice,
která také vyplývá z obecného Hookova zákona:
yy = zz = -xx = -/E xx.
4. krok výpočtu: Vazba mezi vnějšími silami a momenty a stavem napětí
3. krokem často tyto výpočty končí, někdy ovšem chceme navíc napsat rovnice mezi
vnějšími silami a/nebo momenty a tenzorem napětí v tělese. V tomto případě se
typicky vnější síla nebo moment vyrovnává s vnitřními silami nebo momenty v tělese
způsobenými deformací, viz kapitola Příklady.
PŘÍKLADY
1. Válec v torzi
Válec o délce L a poloměru R je podroben torzi, jeho horní strana je stočena o úhel .
1. krok: Podle symetrie problému zvolíme válcové souřadnice. Budeme předpokládat,
že při torzi se jednotlivé body posunují po kružnici kolem osy z. Souřadnice z a r se
tedy nemění, tedy ur = uz = 0. Z obrázku vidíme, že u je úměrné  a r a že přemístění
závisí na z: pro z = 0 (spodní strana) je přemístění nulové, pro z = L (horní strana) je
přemístění největší. Proto
ur = 0
uz = 0
u = r z/L
2. krok: Tím je úloha prakticky vyřešena; zbývá použít rovnice pro výpočet  :
L/r
u
rz
u z
z 2
1
2
1











 
 , ostatní ij = 0
3. krok: a pak aplikujeme Hookův zákon:
ijijij IG  12 ; L/Gr
2L
r2Gσ z 

 , ostatní ij = 0
Dostali jsme výsledek ve válcových souřadnicích.
4. krok: Pokud neznáme úhel , ale moment působící na horní stranu Mext, musíme
vypočítat vnitřní moment, který v materiálu způsobují elastická napětí z a položit
Mint = Mext
Výpočet Mint:
dMint = dF  r = z dS  r
Jako element dS můžeme zvolit mezikruží o obvodu 2  r a šířce dr:
dMint = z 2  rdr  r = drrG
L
3
2
1

a integrací:
4
R
3
intext R
2
G
L
drr2G
L
MM

 
11
0
Našli jsme řešení: známe tenzor napětí v tělese a vztah mezi aplikovaným momentem a
torzním úhlem . Podle očekávání výsledek závisí na tvaru válce (R, L) a modulu ve
smyku G.
Poznámka: Předpoklad, že jednotlivé body zůstávají při torzi ve stejné výšce z a že
nemění svoji vzdálenost od středu (tedy že ur a uz = 0) platí jen pro případ kruhového
průřezu (válec nebo trubka). Pro některé jiné tvary tělesa lze výpočet provést jiným
způsobem, v případě komplikovanějšího tvaru průřezu nezbývá než použít metodu
konečných prvků.
2. Růst precipitátu v nestlačitelném materiálu
V původně jednofázovém materiálu vyrostl
v místě myšlené koule o průměru R0 precipitát
o poloměru R (např. díky difúzi C vytvořil
materiál o poloměru R0 karbid) a vytlačil
okolní materiál dále od středu precipitátu.
Tím precipitát způsobil v okolí pole
deformace a napětí.
1. krok
Podle symetrie problému použijeme sférické
souřadnice (r, , ). Předpokládáme, že
materiál je nestlačitelný, a že přemístění
materiálu probíhá jen ve směru od středu
precipitátu, tj. u = u = 0.
Složku ur vypočítáme z rovnosti objemů,
které jsou na obrázku vyznačeny šedou:
  333
0
3
3
4
3
4
3
4
3
4
rurRR r 
3223
0
3
33 rrr ururuRR 
Protože ur je malé ve srovnání s r, členy s 2
ru a 3
ru lze zanedbat a tedy
2
3
0
3
3r
RR
ur


2. krok
3
3
0
3
3
2
r
RR
r
ur
rr





3
3
0
3
0
r
RR
r
ur 
 
Kontrola: vidíme, že podmínka nestlačitelnosti je splněna:
01 

 rr
V
V
I
3. krok
  




 


 3
3
0
3
3
2
1 r
RRE
rr
Napětí vzniklé v důsledku růstu precipitátu klesá velmi rychle, s třetí mocninou
vzdálenosti. Normálové napětí rr je záporné, materiál je tedy v kompresi.
3. Pole napětí kolem šroubové dislokace
Šroubová dislokace způsobuje vzájemné posunutí
dvou částí krystalu podél skluzové roviny o vzdálenost
b, jak je ukázáno na obrázku.
1. krok: Podle symetrie problému zvolíme
válcové souřadnice. Budeme hledat řešení
pro r > r0; oblast v těsném okolí dislokace
se nazývá jádro dislokace. Předpoklad:
materiál se deformuje smykem podél smykové
roviny a proto ur = u = 0. Posunutí v ose
z narůstá v závislosti na úhlu  od 0 pro  = 0,
do b pro  = 2 a tedy:



2
b
uz
2. krok: Z rovnic rovnice pro výpočet  :
r4
b
33

   , ostatní složky nulové.
3. krok: Z Hookova zákona:
r
Gb
zz

 
2
, ostatní složky nulové.
Řešení je do jisté míry překvapující: napětí v materiálu způsobené přítomností
šroubové dislokace klesá se vzdáleností r od dislokace velmi pomalu, jen jako 1/r.
Srovnejte s poklesem napětí kvůli přítomnosti precipitátu!
4. Vetknutý nosník
Nosník obdélníkového průřezu (b x h)
a délce L je vetknutý na jedné straně
do zdi (x = 0) a na druhé straně (x = L)
na něj působí síla F

. Ostatní síly
(např. vlastní tíhu nosníku) zanedbáme.
1. a 2. krok
Uděláme následující předpoklady
o tvaru nosníku po zatížení podle
následujícího obrázku, který ukazuje
segment nosníku z bočního pohledu:
malý segment nosníku původně obdélníkového tvaru změnil tvar podle obrázku, kde
horní a dolní povrch má tvar části kružnice (stejně jako myšlená, původně přímková,
vlákna v materiálu).
Obrázek: Boční pohled na segment nosníku.
Předpokládejme, že:
- na neutrální rovině procházející středem nosníku je nulové prodloužení a zakřivení
této roviny je dáno poloměrem R;
- vlákna nad touto rovinou jsou deformovány v tahu, pod rovinou v kompresi;
- průřez nosníku se nemění (tento předpoklad by platil přesně jen pro  = 0).
Bude nás zajímat pouze jediná složka tenzoru deformace, normálová složka ve směru
nejdelší osy nosníku xx a pro její výpočet použijeme přibližný vztah:
xx = L/L0
Vzdálenost od neutrální roviny označíme , orientace  viz. obrázek. Potom:
L = L + L0 = (R + )  ; L0 = R  a tedy
xx = L/L0 =   / R  = /R
3. krok
Z Hookova zákona: xx = /R
Získali jsme závislost normálového napětí v nosníku na R a na vzdálenosti od
neutrální roviny. Vidíme, že napětí ve vlákně roste přímo úměrně s  a je tahové pro 
> 0 a tlakové pro  < 0. Největší tahové napětí xx,max je na vnějším okraji nosníku, tedy
pro = h/2: xx,max = Eh/2R.
4. krok
R ovšem není dáno v zadání, závisí na poloze segmentu a na aplikovaných silách.
V tomto případě konstruktéra zajímá především 1. maximální napětí v nosníku a 2.
jeho tvar při zatížení. Tato úloha se řeší spočtením vnějšího momentu Mext, vzniklého
díky aplikovaným silám, a vnitřního momentu Mint, který vzniká v materiálu díky jeho
deformaci. Až dosud velmi snadný výpočet se nyní komplikuje.
V tomto konkrétním případě je moment aplikovaných sil:
Mext = síla x rameno = F (L – x), x je poloha segmentu,
a vnitřní moment:
dMint = dF = xx dS,
kde dS je element plochy v rovině yz.
V nejjednodušším případě konstantního obdélníkového průřezu o šířce b je
 d
R
bE
dbdM xxint
2
a integrací
3
2
2
2
12
h
R
bE
d
R
bE
M
/h
/h
int 

Pokud b není konstantní a mění se s , je zvykem psát:
I
R
E
db
R
E
d
R
bE
M
/h
/h
/h
/h
int  

2
2
2
2
2
2
,
integrál I je moment setrvačnosti průřezu vzhledem k jeho vodorovné ose.
Segment je ohnut natolik, že vnitřní moment Mint je v rovnováze s Mext, tedy:
Mint = Mext
 xLFh
R
bE
3
12
Vidíme, že Mext je maximální a R minimální (největší zakřivení) pro x = 0, tedy v místě
upevnění nosníku. Z rovnice xx,max = Eh/2R můžeme vyjádřit xx,max :
 
2
6
bh
xLF
max,xx

 , pro x = 0 pak 2
6
bh
FL
max,xx  . To je první výsledek.
Rovnici pro tvar nosníku pak můžeme napsat, když položíme 1/R rovno d2/dx2, kde
 je odchylka neutrální roviny od osy x. Bude se jednat o diferenciální rovnici druhého
řádu:
obecně: extint M
R
EI
M  ,
EI
M
dx
d
R
ext


 2
2
1
.