\documentclass[12pt,a4paper]{amsart}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}

\textwidth=154mm
\hoffset=-14mm
\voffset=-20mm
\usepackage{latexsym}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}

\usepackage{times}


\newenvironment{zad}{\smallskip\par\noindent {\bf Příklad}.$\,$}{} 
\newenvironment{res}{\smallskip\par\noindent {\it Řešení}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{navod}{\smallskip\par\noindent {\it Návod}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{otazka}{\smallskip\par\noindent {\it Otázka}.$\,$\it}{}
\newenvironment{poznamka}{\smallskip\par\noindent {\it Poznámka}.$\,$\it}{}

\def\brem{\begin{poznamka}\rm}
\def\erem{\end{poznamka}}

\def\bot{\begin{otazka}}
\def\eot{\end{otazka}}

%\newcommand{\vysledek}[1]{{\it {\color{violet} Řešení: #1}}
%\newcommand{\napoveda}[1]{{\it Nápověda: #1}}
%\newcommand{\poznamka}[1]{{\it Poznámka: #1}}

\def\ind #1{{\it #1}{\index{#1}}}

\def\R{\mathbb R}
\def \C{\mathbb C}
\def\i{\operatorname{i}}
\def\vect #1{{\overrightarrow{#1}}}
\begin{document}
 
\begin{center}
{\bf  3. cvičení z M1035, podzim 2021}
\end{center}
\bigskip

%příklad 1
\begin{zad}{\bf 1.\ } 
Najděte reálné kořeny polynomů
\begin{enumerate}
\item[a)] $(x^2+x)^2+4(x^2+x)-12$,
\item[b)] $9x^3-15x^2-32x-12$
\end{enumerate}
a rozložte dané polynomy na součin polynomů s reálnými koeficienty.
\end{zad}
\begin{res}
Použijeme Hornerovo schéma:
a) $(x-1)(x+2)(x^2+x+6)$,
b) $(x-3)(3x+2)^2$.
\end{res}

\medskip
%příklad 2
\begin{zad}{\bf 2.\ } 
V oboru komplexních čísel spočtěte a zapište ve tvaru $a+b\i$.
\begin{enumerate}
\item[a)] $(1+\i)(1+2\i)$,
\smallskip
\item[b)] $\displaystyle\frac{1}{\i}+\frac{1}{1+\i}+\frac{1}{1-i}$,
\medskip
\item[c)] $\displaystyle\frac{1+\i+2\i^2-3\i^3+i^4+\i^5+\i^6}{1-5\i}$,
\medskip
\item[d)] $\displaystyle \left(\displaystyle\frac{1+2\i}{1-2\i}\right)^2-\left(\displaystyle\frac{1-2\i}{1+2\i}\right)^2$.
\smallskip
\end{enumerate}
\end{zad}

\bigskip
%příklad 3
\begin{zad}{\bf 3.\ } 
Najděte všechny komplexní kořeny polynomů
\begin{enumerate}
\item[a)] $(x^2+x)^2+4(x^2+x)-12$,
\item[b)] $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-24$
\end{enumerate}
a rozložte dané polynomy na součin  polynomů 1. stupně s komplexními koeficienty.
\end{zad}

\bigskip
%příklad 4
\begin{zad}{\bf 4.\ } 
Vypočtěte absolutní hodnotu komplexního čísla
$$\left|\frac{5+12\i}{8-6\i}\right|.$$
\end{zad}

\bigskip
%příklad 5
\begin{zad}{\bf 5.\ } 
Najděte všechna komplexní čísla $z$ taková, že 
$$z^2=3-4\i$$
a znázorněte je v komplexní rovině.
\end{zad}

\bigskip
%příklad 6
\begin{zad}{\bf 6.\ } 
Nakreslete grafy složených funkcí $h\circ f$ a $f\circ h$, jestliže
$$f(x)=x^2+x-1, \quad h(x)=|x|.$$ 
\end{zad}

\bigskip
%příklad 7
\begin{zad}{\bf 7.\ } 
Řešte v $\R$ nerovnici
$$|x^2-2x-3|\le 3(x-1).$$
\end{zad}



\end{document}

