\documentclass[12pt,a4paper]{amsart}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}

\textwidth=154mm
\hoffset=-14mm
\voffset=-20mm
\usepackage{latexsym}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}

\usepackage{times}


\newenvironment{zad}{\smallskip\par\noindent {\bf Příklad}.$\,$}{} 
\newenvironment{res}{\smallskip\par\noindent {\it Řešení}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{navod}{\smallskip\par\noindent {\it Návod}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{otazka}{\smallskip\par\noindent {\it Otázka}.$\,$\it}{}
\newenvironment{poznamka}{\smallskip\par\noindent {\it Poznámka}.$\,$\it}{}

\def\brem{\begin{poznamka}\rm}
\def\erem{\end{poznamka}}

\def\bot{\begin{otazka}}
\def\eot{\end{otazka}}

%\newcommand{\vysledek}[1]{{\it {\color{violet} Řešení: #1}}
%\newcommand{\napoveda}[1]{{\it Nápověda: #1}}
%\newcommand{\poznamka}[1]{{\it Poznámka: #1}}

\def\ind #1{{\it #1}{\index{#1}}}

\def\R{\mathbb R}
\def \C{\mathbb C}
\def\i{\operatorname{i}}
\def\vect #1{{\overrightarrow{#1}}}
\def\e{\operatorname{e}}
\begin{document}
 
\begin{center}
{\bf  9. cvičení z M1035, podzim 2021}
\end{center}
\bigskip
Na pondělním cvičení jsme udělali z příkladu 1 a 2 úlohy označené velkými písmeny. Ty další z těchto dvou by si měli studenti spočítat sami.
Příklady 3 a 4 jsme nestihli.
\bigskip
\begin{zad}{\bf 1.} Spočítejte limity podle l'Hospitalova pravidla:
\begin{enumerate}
\item[A)] $\displaystyle\lim_{x\to \infty} \frac{\ln x}{x}$, 
\smallskip
\item[B)] $\displaystyle\lim_{x\to 0+}x\ln x$, 
 \smallskip
\item[C)] $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{x\e^x}{4-4\e^x}$,
\smallskip
\item[d)] $\displaystyle\lim_{x\to 0}\left(\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{x}\right)$
\smallskip
\item[e)] $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{x(\cos x-1)}{\sin x-x}$
\smallskip
\item[f)] $\displaystyle\lim_{x\to 1_{-}}\ln x\cdot \ln(1-x)$
\smallskip
\item[g)] $\displaystyle\lim_{x\to 0+}(\e^x+x)^{\frac{1}{x}}$, 
\end{enumerate}
\end{zad}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 2.} Derivujte následující funkce, vyšetřete jejich průběh (tj. spočítejte limity v krajních bodech definičních intervalů, zjistěte, kde je funkce rostoucí a kde klesající, v kterých bodech má lokální extrémy a které z nich jsou globální) a načrtněte graf:
\begin{enumerate}
\item[A)] $f(x)=\arctan\left(\displaystyle\frac{x}{x^2-1}\right)$, 
\smallskip
\item[B)] $f(x)=\displaystyle\frac{x}{\sqrt{9-x^2}}$
\smallskip
\item[C)] $f(x)=x^2\ln x$,
\smallskip
\item[D)] $f(x)=x^5-10x^3+40x$,
\smallskip
\item[e)] $f(x)=\displaystyle\ln\frac{1}{\sqrt{x}}$
\smallskip
\item[f)] $f(x)=\displaystyle\arctan\left({x+\sqrt{1+x^2}}\right)$
\smallskip
\item[g)] $f(x)=\displaystyle\frac{2x}{x^2+1}$,
\smallskip
\item[h)] $f(x)=\displaystyle\frac{x}{1-x^2}$,
\smallskip
\item[i)] $f(x)=\displaystyle\ln^2 x $,
\end{enumerate}
\end{zad}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 3.} V čisté vodě platí vztah pro iontový součin vody $K_w$ (je konstantní pro dané podmínky)
$$K_w=[H^+]\cdot [OH^-],$$
kde $[H^+]$ je koncentrace vodílových kationtů a $[OH^-]$ je koncentrace hydroxydových aniontů. Určete funkci
$[H^+]+[OH^-]$ v závislosti na $[H^+]$ a stanovte minimum této funkce.
\end{zad}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 4.} Napište rovnici tečny a normály ke grafu funkce $f$ v bodě $x_0$: (Je potřeba říci jak, na přednášce to ještě nebylo.)
\begin{enumerate}
\item[a)] $f(x)=\displaystyle\frac{1}{x^2+1}$, $x_0=1$.
\smallskip
\item[b)] $f(x)=x^2-x+1$, $x_0=3$.
\end{enumerate}
\end{zad}

\end{document}

