8. cvičení z M1110, podzim 2021
Příklad. 1. Najděte báze a dimenze součtu a průniku podprostorů P a Q v IR4, jestliže
P= [(4, 0,-2,6), (2,1, -2,3), (3,1, -2,4)], Q= [(1,-1, 0,2), (2,2,-1,3), (0,1,1,0)].
Řešení. Průnik má dimenzi 2 a bázi např. (1, —1, 0, 2), (—2, —1, 2, —3).
Příklad. 2. Najděte báze a dimenze součtu a průniku podprostorů K a L \ IR4, jestliže tf= [(1,2, 0,3), (0,1,1,2), (2,0,1,1)],
L = {(rci,x2,X3,X4) E IR4; 2xi + 3rc2 —     — 2^4 = 0}.
□
Návod. Průnik najděte přímo, bez hledání báze podprostorů L. Součet najděte pomocí formulky pro dimenze. □
Příklad. 3. Najděte báze a dimenze podprostorů
P = {f ER,[x]\ f(1) = 0, f(2) = 0}   a   Q = {geR4[x]\g(x) = g(-x)} a báze a dimenze jejich průniku a součtu.
Řešení, dimP = 3, dimQ = 3, dimP n Q = 1, dimP + Q = 5, tedy P + Q = R4[x]. □ Příklad. 4. Rozhodněte, zda následující zobrazení mezi vektorovými prostory jsou lineární.
(a) ip
(b) ip
(c) lf
(d) v?
->• IR3, ip{xi, x2) = (2xi - 3x2,5x2, xi - x2), h[x]^R2, V(p) = (p(l),p(2)2), W^M2, v(p) = (p(l),p(2)).
Příklad. 5. Ve vektorovém prostoru IR3 uvažujme bázi mx = (1, 0,1), u2 = (0,1,1), w3
(1,1,1). Nechť v? :
je lineární zobrazení, o němž víme, že
y?(iti) = Mi, (^(m2) = it3, v?(í/3) = u2. Najděte matici A tvaru 3x3 tak, aby v souřadnicích standardní báze bylo <p(x) = Ax.
Příklad. 6. Nechť ip je zobrazení IR3 do sebe, které je symetrií podle roviny xi — x% = 0. Najděte matici B takovou, že v souřadnicích standardní báze je ip(x) = Bx.
Příklad. 7. Najděte bázi jádra a obrazu lineárního zobrazení p> :
zadaného před-
pisem
( XA
x2
x3 \x4J
-2x1 + x2 - x3 X\ + 2rr2 + 3x3 + 5rr4 2x\ + 3x2 + 5x3 + 8x4
1