Ml 130 — Příklady ze cvičení a domácí úlohy na procvičení
• Jde o seznam typových úloh, které se probírají na cvičení a dalších obdobných úloh na procvičení za domácí úlohu. Na písemkách se objeví výhradně modifikace příkladů z této sbírky a jim obdobné příklady.
• Příklady označené hvězdičkou jsou určeny pro studenty, kteří by se na cvičení příliš nudili a jsou zde uvedeny pouze jako doplňující příklady, které nebudou obsahem písemek.
• Program jednotlivých cvičení si sestavují vyučující sami a mohou se lišit i v rámci jednotlivých cvičení jednoho vyučujícího.
• Velké množství příkladů je převzato ze sbírky „Seminář ze středoškolské matematiky" autorů Herman, Kučera, Simša (skriptum MU, 2004). Dalšími příklady přispěli doc. Čadek, dr. Kruml (oba v roce 2019), doc. Šilhán (2020) a doc. Klíma (2019-2020).
Aktuální verze sbírky ze dne 13. října 2021.
1   Úvodní hodina - zápis množin
Cvičení konaná 14. a 15. 9. 2021.
Příklad 1.1:   Pomocí množinového zápisu zapište následující množiny definované slovně:
1. Množinu všech přirozených čísel, která jsou dělitená třemi.
2. Množinu všech celých čísel, která dávají po dělení osmi zbytek 5.
3. Množinu všech (kladných) reálných čísel, jejichž druhá mocnina je větší než 3.
4. Množinu všech (kladných) reálných čísel, jejichž druhá mocnina je menší než jejich trojnásobek.
5. Množinu všech dvojic reálných čísel, kde první je trojnásobkem druhého.
6. Množinu všech dvojic kladných reálných čísel, kde první je větší než trojnásobek druhého.
7. Množinu všech trojic přirozených čísel, která mohou být délkami stran pravoúhlého trojúhelníka. Je tato množina prázdná?
Příklad 1.2:   Pomocí množinového zápisu zapište následující množiny definované slovně:
1. Množinu všech lichých přirozených čísel, která jsou dělitená 5.
2. Množinu všech dvouciferných celých čísel, která jsou dělitená 17.
3. Množinu všech reálných čísel x, která jsou řešením nerovnice x2 + 2x + 1 > 0.
4. Množinu všech kladných reálných čísel, jejichž třetí mocnina je menší než jejich druhá mocnina.
5. Množinu všech dvojic přirozených čísel, kde první dělí druhé.
6. Množinu všech dvojic celých čísel, která se navzájem dělí, tj. první dělí druhé a naopak.
7. Množinu všech čtveřic celých čísel, kde třetí je součtem prvních dvou a čtvrté je součinem prvních tří.
Příklad 1.3:   Napište formální definice:
1. Celé číslo a je sudé.
2. Celé číslo a je liché.
3. Celé číslo a je dělitelné třemi.
4. Celé číslo a není dělitelné třemi.
5. Celé číslo a je dělitelné číslem b.
Příklad 1.4:   Dokažte platnost následujících tvrzení pro libovolná celá čísla a a b.
1. Z čísel a, b a a + b je aspoň jedno sudé.
2. Pokud je a + b sudé, pak a — b je sudé.
3. Číslo a + b je sudé právě tehdy, když je sudé číslo a — b.
4. Pokud je a + b sudé, pak a2 + b2 je také sudé.
5. Pokud je a + b liché, pak a2 + b2 je také liché.
6. Číslo a2 + a je sudé číslo.
7. Číslo a3 — a je dělitelné 3.
8. Číslo a4 — a2 je dělitelné 4.
Příklad 1.5: Nechť a, b, c, d jsou různá jednociferná kladná celá čísla taková, že 3 dělí a2 + b2 + c2 + d2. Dokažte, že potom a2 + b2 není dělitelné 3.
Příklad 1.6: V následujících příkladech zapište množinu M bodů v rovině, a pak určete výčtem prvků množinu všech dvojic celých čísel x a, y takových, že [x,y] G M.
1. M je obdélník, jehož tři vrcholy jsou [—2, —2], [—2, 0] a [1, —2].
2. M je trojúhelník ABC, kde A = [3,2], 5 = [1, -2] a C = [-1,1].
3. M je množina bodů [x, y] v kruhu se středem (8, 3) a poloměrem 4, pro které navíc platí x < y.
4. M je průnik trojúhelníku, jehož vrcholy jsou počátek [0, 0] a body [0,4] a [4, 0], s množinou všech bodů [x, y], pro které platí {x — y — 2)2 = 9.
5. M je tvořena body (x, y) rovnoběžníku, jehož tři vrcholy jsou [0, 0], [—6, 0] a [4,3], které zároveň leží pod přímkou y = x + 1.
Pozn.: Body obdélníku, trojúhelníku atd. míníme body, které jsou bud' „uvnitř" nebo „na hranící" tohoto útvaru. Rozmyslete si, jak by se řešení lišilo v případe, kdybychom uvažovali pouze „vnitřní" body.
Příklad 1.7: Nechť M je množina bodů v rovině, které jsou uvnitř (tj. nikoli na stranách) čtverce se středem v bodě [4,3], stranou délky 2, jehož úhlopříčky jsou rovnoběžné s osami x a y. Napište množinu M formálně (tj. body roviny o souřadnicích, které splňují vhodné nerovnosti). Určete dále všechny body s celočíselnými souřadnicemi, které množina M obsahuje.
2   Vyhodnocení vstupního testu
Cvičení konaná 21. a 22. 9. 2021.
Příklad 2.1: Nechť T = [r,s] je těžiště AABC, kde A = [2,-1], B = [-1,3] a C = [5,7]. Určete hodnoty ras.
Příklad 2.2: Nechť S = 72 cm2 je povrch krychle vepsané do kulové plochy o poloměru r. Určete hodnotu r.
Příklad 2.3: Nechť M je množina všech reálných čísel, která splňují nerovnici |2rr+l| < x+3. Určete množinu M.
Příklad 2.4: Komplexní číslo z je řešením rovnice z + \z\ = 5 + (2 + i)2. Určete komplexní číslo z2.
Příklad 2.5: Čísla a, b G IR, a < b, jsou řešením rovnice x21ogx+3,5 = 100y/x. Určete číslo k = ab2.
Příklad 2.6: Nechť číslo c je součtem všech řešení rovnice cos x + sin x = y/2 v intervalu [0, 27r]. Určete hodnotu c.
Příklad 2.7: Určete počet všech lichých pěticiferných přirozených čísel, která neobsahují ve svém zápisu cifru 9.
Příklad 2.8: Nechť c = a2 + b2, kde a a b jsou délky poloos kuželosečky k o rovnici k : 3x2 + 5y2 + 6x — 20y + 8 = 0. Určete hodnotu c.
Příklad 2.9: Definujte, co je to aritmetický průměr n-tice reálných čísel a±, CL2,..., an a co je medián těchto čísel. Na příkladech čtyř čísel ukažte, že někdy je medián menší než aritmetický průměr a jindy je tomu naopak.
Příklad 2.10: Pro n-tici kladných reálných čísel se definují kromě aritmetického průměru i jiné průměry. Nejznámější je geometrický a harmonický průměr:
G (cti, a2, • • • j cin) = \Jcii • a2cin, H(ai, a2,..., an) = j_    j_ -—~r-
cil       0,2 an
Dokažte, že pro každá dvě kladná reálná čísla ai,a2 platí A(ai,a2) > G(ai,a2) > H(cii,a2). Pro která ai, a2 nastane rovnost? (A značí aritmetický průměr čísel v závorce.)
Příklad 2.11*: Jaká je průměrná rychlost auta, které jede n stejně dlouhých úseků postupně rychlostmi vi, v2,..., vnl
Příklad 2.12*: Nerovnosti z příkladu 2.10 platí nejen pro dvojice, ale pro všechny n-tice kladných reálných čísel. Dokažte, že z nerovnosti A > G plyne nerovnost G > H. Zkuste dokázat nerovnost A > G.
3   Reálne funkce a jejich grafy
Cvičení konaná 29. 9. 2021.
Zopakujte si, co je zobrazení množiny A do množiny B. O zobrazení do množiny reálnych čísel IR budeme mluvit jako o funkci.
Příklad 3.1: Určete definiční obor a obor hodnot zadaných funkcí. Dále načrtněte graf a rozhodněte, zda je funkce injektivní, surjektivní (zobrazení ze svého definičního oboru) a zda je rostoucí, resp. klesající.
1.		= 2x + 7,	
2.	/(*)	= \3x + 1| ■	-x,
3.	/(*)	i x-l '	
4.	/(*)	= x2 + 2x -	f 3,
5.	/(*)	= logio(aM	-2),
6.	/(*)	= 21"3,	
7. 8.	/(*) /(*)	= (a:-l)2 = 3 cos x,	+ (x + 2)2
9.	/(*)	= tan(—x).	
Příklad 3.2:   Funkce / je dána následujícím předpisem
f[X) = log10(x2 - 1) - 1 •
Najděte její definiční obor jako podmnožinu reálných čísel. Najděte její obor hodnot.
Příklad 3.3:   Zkoumejte, jak se mění graf funkce y = f (x), když přejdeme k funkci: 1. // 2/i.rh
2- y=\-f{x),
3- y = -f(x),
4. y = f(-x),
5.	y =	/(* +	■3).
6.	y =	f(x-	■2).
7.	y =	m-	- 4
8.	y =	m-	f 6
9.	y =	f(3x)	i
10.	y =	/(!)•	
Je-li původní funkce rostoucí na svém definičním oboru, co můžeme říci o nově vytvořených funkcích?
Příklad 3.4:   S využitím úlohy 3.3 rozložte následující funkce jako složení "jednodušších" funkcí. 1. f(x) = \3x-8\ + 2,
3. h(x) = log10(2x + 3) — 5.
Nakreslete grafy těchto funkcí. Rozhodněte, zda jsou funkce rostoucí, resp. klesající, případně dejte příklad vhodných intervalů, na kterých je funkce rostoucí, resp. klesající.
Příklad 3.5:   Mějme funkci f(x) s definičním oborem D(f) = IR a oborem hodnot H(f) = (0,7r/2) a předpokládejme, že f(x) je klesající na celém definičním oboru.
a) Dokažte, že pak funkce cos(/(rr)) je rostoucí na celém definičním oboru.
b) Rozhodněte o chování funkce g(x) = cas^^2^ na intervalu (0,7r/2). Možné odpovědi jsou, že funkce g(x) je na tomto intervalu buď rostoucí nebo klesající nebo se takto chová jen na části daného intervalu nebo monotonie závisí na volbě funkce f(x). Odpověď je vždy třeba dokázat.
4   Maximální intervaly monotonie funkcí
Cvičení konaná 5. a 6. 10. 2021. Příklad 4.1:
1. Definujte (formálně) pojem „funkce / je rostoucí na intervalu J".
2. Definujte formálně „maximální interval, kde je funkce / rostoucí".
3. U funkcí z příkladů 3.1, 3.2 a 3.4 zjistěte, na kterých maximálních intervalech jsou rostoucí, resp. klesající.
4. Zformulujte precizně tvrzení, že složení rostoucích funkcí (na intervalu) je rostoucí funkce (na intervalu) a větu dokažte. Zejména si uvědomte, jaké všechny předpoklady je třeba uvést. Přesněji: pokud g je rostoucí funkce na intervalu J, kde I C D (g), a dále / je rostoucí funkce na intervalu J C D(f), potom ještě musíme něco předpokládat o množině {g(x); x G /}, abychom mohli dokázat, že f o g je rostoucí na intevalu I.
Příklad 4.2:   Nakreslete graf funkce
f(x) = 2cos(3x + ^) - 1.
Určete všechny maximální intervaly, na nichž je funkce klesající (resp. rostoucí). Určete všechna x G IR splňující f(x) = 0. Určete zejména, kolik je takových reálných čísel v intervalu (0, 2tt).
Příklad 4.3:   Mějme funkci
f ^ = \e2x-i _ ]_| •
Určete její definiční obor, obor hodnot, načrtněte její graf a určete, na kterých maximálních intervalech je tato funkce rostoucí nebo klesající.
Příklad 4.4: Nechť f a, g jsou rostoucí funkce na intervalu J, tj. zejména I C D(f) fl D(g). Rozhodněte, zda je rostoucí nebo klesající funkce h daná následujícím předpisem:
1. h(x) = f(x) +g(x),
2. h(x) = f(x) - g(x),
3. h(x) = f(x) ■ g(x),
4. h(x) = —g(x),
5. h(x) = g{x) ■ g(x),
6. h(x) = \g(x)\,
7. h(x) = ^ry
V případech, kdy odpovídáte „ano", se pokuste o formální důkaz. V případech, kdy odpovídáte „ne", dejte protipříklad a navíc se pokuste (přidáním vhodných předpokladů pro funkce / a g) zformulovat platné tvrzení.
Příklad 4.5: Nechť g je rostoucí funkce na intervalu J, tj. zejména I C D (g) a nechť c G IR je pevně zvolené reálné číslo. Rozhodněte, zdaje rostoucí nebo klesající funkce h daná následujícím předpisem:
1. h(x) = g(x) + c,
2. /i(rr) = c —
3. /i(rr) = c •
Pozor, odpověď se může lišit v závislosti na paramatru c.
Příklad 4.6: Udejte příklad rostoucích funkcí f a g s definičním oborem IR takových, že funkce h, daná předpisem h(x) = f(x) ■ g(x), je klesající funkce na celém definičním oboru D(h) = R.
Nápověda: Pokuste se nejdříve načrtnout grafy vašich funkcí f, g ah. Poté se pokuste vymyslet nějaký vhodný předpis pro tyto funkce (jako složení elementárních funkcí).
Příklad 4.7: Nechť / je rostoucí funkce na celém definičním oboru D(f) = IR s oborem hodnot H(f) = (0, oo). Uvažujme dále funkci g danou předpisem g(x) = x ■ f (x). Dokažte, že funkce g je rostoucí na intervalu I = (0, oo).
V důkazu identifikujte krok, kde se využije předpoklad H(f) = (0,oo), a dále krok, kde se využije předpoklad, že I obsahuje pouze kladná reálná čísla.
Ukažte, že oba tyto předpoklady jsou nutné. Zejména dejte příklad rostoucí funkce / s definičním oborem D(f) = IR, takové, že H(f) obsahuje 0 nebo záporné číslo, pro niž funkce g(x) = x ■ f{x) není rostoucí na intervalu I = (0,oo). Poté zformulujte podobně tvrzení o existenci funkce / v druhém případě a dejte vhodný příklad takové funkce.
5   Kvadratické funkce
Cvičení konaná 12. a 13. 10. 2021.
Příklad 5.1: Pomocí úpravy na čtverec odvoďte "vzoreček" pro řešení obecné kvadratické rovnice
ax2 + bx + c = 0,
kde a, b, c G IR, a ^ 0. Načrtněte graf kvadratické funkce f(x) = ax2 + bx + c pro a > 0 a pro a < 0. Určete, jaké maximum nebo minimum tato funkce nabývá a v kterém bodě.
Příklad 5.2: Určete všechny hodnoty parametru r G R tak, aby daná nerovnost platila pro všechna x E A. (Kreslete si, jak musí vypadat grafy příslušných kvadratických funkcí.)
a) (/• + A)x2 - 2rx + 2r - 6 < 0, A = JR.
b) rx2 - Ax + 3r + 1 > 0, A = (0, oo).
c) (r - 2)x2 + rx + 1 - r > 0, A = (0, oo).
d) (x - 3r)(x - r - 3) < 0, A = [1, 3].
Příklad 5.3: Určete všechny hodnoty parametru r G IR tak, aby nerovnost (r - 2)x2 + rx + 3r + 2 > 0, platila pro všechna x G [3,5].
Příklad 5.4:   Určete všechny hodnoty parametru r G IR tak, aby nerovnost
(rx - l)(x + r) < 0
platila pro všechna x e A.
a) A = (0,1).
b) A= (-1,1).
c) A = (-2,2).
d) A = (0,oo).
Příklad 5.5:   Určete, kdy pro řešení xi < x2 rovnice
2x2 - 2(2a + l)x + a(a - 1) = 0 platí Xi < a < x-2- Nápověda: Vyznačte na grafu příslušné kvadratické funkce její hodnotu v a.
Příklad 5.6:   Určete, kdy pro řešení x\ a x2 rovnice
(a - 2)x2 - 2(a + 3)x + 4a = 0
platí x\ > 3 a x2 < 2.
Příklad 5.7:   Určete, pro která a G IR má následující polynom dvojnásobný kořen
(2a - 5)x2 - 2(a - l)x + 3.
Příklad 5.8:   Najděte nejmenší celé číslo k, pro něž má rovnice
x2 - 2(k + 2)x + 12 + k2 = 0
dvě různá reálná řešení.
Příklad 5.9*:   Nalezněte kvadratickou rovnici s celočíselnými koeficienty, jejímž jedním řešením
Dokažte, že součin i rozdíl těchto dvou reálných čísel je celočíselný a určete jej. Zjednodušte algebraické výrazy pro čísla a a b tak, aby obsahovala kromě celých čísel a obvyklých operací již pouze druhé odmocniny.
Nápověda: Napište si kvadratickou rovnici s dvojicí řešeni a, —b.
První vnitrosemestrální písemka
Psaná dne 18.10.2021 na obsah kapitol 1, 3, 4 a 5.
6   Funkce s absolutní hodnotou,
racionální kořeny celočíselných polynomů
Cvičení konaná 19. a 20.10. 2021.
Příklad 6.1:   Uvažujme funkci / : IR —y IR danou předpisem
X\ =
Příklad 5.10*: Označme
b
f (x) = \2x - 3| - \x + 2| + 110 - 3a;| - 1.
1. Nakreslete graf funkce / : R -)> R na intervalu [—5, 5].
2. Najděte obor hodnot funkce /.
3. Určete maximální intervaly, na kterých je funkce / monotónní.
4. Určete, pro která x G IR platí f(x) < 2.
Příklad 6.2:   Řešte v IR rovnice
1. \x + 1| — \x\ + 3\x — 1| — 2\x — 2| = \x
2.
„2
x — Ax\
x2 + \x — 5|
Příklad 6.3:   Uvažujme dvě funkce /, g : IR —y IR dané předpisy
f{x) = | \x + 1| + \x — 1| | ,       g(:r) = | |rr + 1| — \x — 1| | .
1. Načrtněte grafy funkcí / a g.
2. Najděte obor hodnot těchto funkcí.
3. Najděte maximální intervaly, na kterých je funkce / rostoucí, resp. klesající.
4. Najděte maximální intervaly, na kterých je funkce g rostoucí, resp. klesající.
5. Určete všechna řešení nerovnice g(x) < f(x), tj.
| |rr + 1| — \x — 1| |  < | |rr + 1| + |rr — 1||.
Příklad 6.4*:   Určete všechna x G IR, pro která platí
1
x
x + 1
> 1.
Příklad 6.5:   Najděte nějaký polynom s celočíselnými koeficienty,
1. jehož kořeny jsou 0,1,—1/2,
2. jehož jediný reálný kořen je —1, ale stupeň polynomu je větší než 1,
3. který má trojnásobný kořen 1,
4. jehož kořeny jsou y/2, —la případně další reálná čísla.
Příklad 6.6:   Dokažte kritérium pro racionální kořeny polynomů s celočíselnými koeficienty: Pokud zlomek ve zkráceném tvaru - je kořenem polynomu / = anxn + an_ixn_1 + • • • + a\x + s celočíselnými koeficienty, potom p \ clq & q \ an.
Příklad 6.7:   Najděte všechny racionální kořeny polynomu:
1. 2x3 + x2 - 4x - 3,
2. 27x3 + 27a:2 - 4,
3. 4a:4 + 7x3 + 2a:2 + 7x - 2.
Příklad 6.8: Určete všechny hodnoty parametru a G IR tak, aby obě rovnice měly aspoň jedno společné řešení.
a:2 + aa: + 8 = 0,    x2 + x + a = 0.
Příklad 6.9: Určete všechny hodnoty parametru a G IR tak, aby obě rovnice měly aspoň jedno společné řešení.
(1 - 2a)a:2 - 6ax - 1 = 0,    ax2 - x + 1 = 0.