M5160 Obyčajné diferenciálne rovnice I Systémy lineárnych diferenciálnych rovníc Peter Šepitka zima 2021 Obsah 1 Lineárny systém 2 Homogénny systém rovníc 3 Nehomogénny systém rovníc 4 Systémy s konštatnými koeficientami 5 Lineárne diferenciálne rovnice vyšších rádov Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády Obsah 1 Lineárny systém 2 Homogénny systém rovníc 3 Nehomogénny systém rovníc 4 Systémy s konštatnými koeficientami 5 Lineárne diferenciálne rovnice vyšších rádov Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády Nech n ∈ N je pevne zvolené. Súbor rovníc x′ 1 = a11(t) x1 + a12(t) x2 + · · · + a1n(t) xn + b1(t), x′ 2 = a21(t) x1 + a22(t) x2 + · · · + a2n(t) xn + b2(t), x′ 3 = a31(t) x1 + a32(t) x2 + · · · + a3n(t) xn + b3(t), (1) ... x′ n = an1(t) x1 + an2(t) x2 + · · · + ann(t) xn + bn(t), kde aij(t) a bi(t), i, j = 1, · · · , n sú reálne funkcie definované a spojité na intervale I (pripúšťame aj I = R) a znak ′ znamená d dt , sa nazýva systém lineárnych diferenciálnych rovníc prvého rádu. Zavedením označenia A(t) :=    a11(t) · · · a1n(t) ... ... ... an1(t) · · · ann(t)    , b(t) :=    b1(t) ... bn(t)    , x :=    x1 ... xn    Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády môžeme systém (1) prepísať do maticového tvaru x′ = A(t) x + b(t). (2) Zobrazenia t → A(t), t → b(t) a t → x(t) sa nazývajú maticová (rádu n) a vektorové (n-vektorové) funkcie na intervale I. Platia pre ne všetky známe vlastnosti matíc a vektorov. Limity, spojitosť, derivovanie a integrovanie maticových a vektorových funkcií sa realizujú vždy po jednotlivých maticových prvkoch, resp. vektorových zložkách. Systém (2) sa nazýva homogénny, ak b(t) ≡ 0 na I. V opačnom prípade je systém (2) nehomogénny a rovnica x′ = A(t) x sa nazýva pridružený homogénny systém k nehomogénnemu systému (2). Riešením systému (2) rozumieme každú n-vektorovú funkciu ϕ(t) = (ϕ1(t), · · · , ϕn(t))T definovanú a diferencovateľnú na nejakom podintervale J ⊆ I, ktorá spĺňa rovnicu (2) na J , t.j., ϕ′ (t) = A(t) ϕ(t) + b(t), t ∈ J . Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády Ústrednou témou prednášky bude začiatočná (Cauchyho) úloha x′ = A(t)x + b(t), x(t0) = η, (3) kde t0 ∈ I je daný bod a η ∈ Rn daný vektor. Riešenie úlohy (3) sa označuje ako partikulárne riešenie systému (2). Zásadnú úlohu v skúmaní riešiteľnosti začiatočnej úlohy (3) zohráva nasledujúce tvrdenie. Lema 1 Nech daná maticová funkcia A a daná vektorová funkcia b sú definované a spojité na intervale I ⊆ R. Potom funkcia x = ϕ(t) je riešenie začiatočnej úlohy (3) na celom intervale I práve vtedy, keď platí ϕ(t) = η + t t0 [A(s) ϕ(s) + b(s)] ds pre každé t ∈ I. (4) Poznámka 1 Tvrdenie Lemy 1 vyjadruje ekvivalenciu medzi úlohou (3) a integrálnou rovnicou (4). Stačí sa preto obmedziť na vyšetrovanie integrálnej rovnice (4). Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády Dôkaz Lemy 1. Nech bod t ∈ I je pevne zvolený a predpokladajme, že funkcia ϕ je riešením začatočnej úlohy (3) na intervale I, t.j. platí ϕ′ (s) = A(s) ϕ(s) + b(s), ϕ(t0) = η, s ∈ I. (5) Integráciou oboch strán rovnice (5) medziach od t0 po t a využitím začiatočnej podmienky ϕ(t0) = η získame integrálnu rovnicu (4), nakoľko postupne máme t t0 ϕ′ (s) ds = t t0 [A(s) ϕ(s) + b(s)] ds, ϕ(t) − ϕ(t0) = t t0 [A(s) ϕ(s) + b(s)] ds, ϕ(t) = η + t t0 [A(s) ϕ(s) + b(s)] ds, teda platí rovnica (4). Naopak, nech funkcia ϕ je riešenie rovnice (4) na intervale I. Potom ϕ je diferencovateľná na I a spĺňa podmienku ϕ(t0) = η. Derivovaním oboch strán rovnice (4) podľa premennej t dostaneme ϕ′ (t) = A(t) ϕ(t) + b(t) pre každé t ∈ I. To znamená, že funkcia x = ϕ(t) je riešenie začiatočnej úlohy (3) na celom intervale I. Dôkaz je úplný. Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády Vektorová a maticová norma Pod pojmom norma vektora v lineárnom priestore Rn rozumieme každú funkciu · : Rn → [0, ∞), ktorá spĺňa nasledujúce vlastnosti. Vektorová norma P1 Pre každé x ∈ Rn je x ≥ 0 a x = 0 práve vtedy, keď x = 0. P2 Pre každé x ∈ Rn a c ∈ R platí cx = |c| x . P3 Pre každé x, y ∈ Rn platí nerovnosť x + y ≤ x + y . Analogicky, norma matice v lineárnom priestore Rn×n všetkých n × n reálnych matíc je každé zobrazenie · : Rn×n → [0, ∞) s nasledujúcimi vlastnosťami. Maticová norma P1 A ≥ 0 pre každé A ∈ Rn×n a A = 0 práve vtedy, keď A = On, P2 cA = |c| A pre každé A ∈ Rn×n , P3 A + B ≤ A + B pre každú dvojicu A, B ∈ Rn×n , P4 AB ≤ A B pre každú dvojicu A, B ∈ Rn×n . Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády Pre každú vektorovú normu · na Rn je zobrazenie A ∈ Rn×n → sup x∈Rn\{0} Ax x maticová norma na Rn×n . Označuje sa ako norma indukovaná danou vektorovou normou a štandardne sa označuje rovnakým symbolom · ako príslušná vektorová norma, t.j., A = sup x∈Rn\{0} Ax x , A ∈ Rn×n . (6) Povieme, že maticová norma · M je s danou vektorovou normou · súhlasná, ak pre každý vektor x ∈ Rn platí nerovnosť Ax ≤ A M x . (7) Pre každú vektorovú normu na Rn existuje aspoň jedna maticová norma, ktorá je s ňou súhlasná; vlastnosť (7) zrejme spĺňa indukovaná maticová norma v (6). Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády Uvedieme niekoľko príkladov vektorových noriem a príslušných indukovaných, resp. súhlasných maticových noriem. Súčtová norma x 1 = n i=1 |xi|, indukovaná maticová norma A 1 = max 1≤j≤n n i=1 |aij |. Maximálna norma x ∞ = max 1≤i≤n |xi|, indukovaná maticová norma A ∞ = max 1≤i≤n n i=1 |aij |. Euklidovská norma x 2 = n i=1 |xi|2, indukovaná maticová norma A 2 = λmax(AT A), kde A 2 je spektrálna maticova norma a λmax(AT A) je najväčšie vlastné číslo matice AT A. Maticová norma, ktorá je súhlasná so súčtovou i maximálnou vektorovou normou, je napríklad tvaru Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády A = n i,j=1 |aij |. (8) S euklidovskou vektorovou normou je súhlasná napríklad Frobeniova norma A F = n i,j=1 |aij |2. (9) V nasledujúcich statiach budeme pracovať s vektorovými (maticovými) funkciami a ich vektorovými (maticovými) normami. Ak I ⊆ R je daný interval a Φ je vektorová (maticová) funkcia integrovateľná na I, potom pre každé dva body s, t ∈ I platí klasická nerovnosť t s Φ(τ) dτ ≤ t s Φ(τ) dτ . (10) Napokon doplňme, že ak vektorová (maticová) postupnosť {Φk}∞ k=1 konverguje na intervale I k vektorovej (maticovej) funkcii Φ v nejakej funkcionálnej norme, t.j., limk→∞ Φk −Φ = 0, potom hovoríme, že postupnosť {Φk}∞ k=1 konverguje k funkcii Φ rovnomerne na intervale I. Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády Gronwallova lema Lema 2 (Gronwallova) Nech I ⊆ R je interval, t0 ∈ I je daný bod a u a v sú (skalárne) nezáporné a spojité funkcie na I. Predpokladajme, že existuje konštanta C ∈ R s vlastnosťou u(t) ≤ C + t t0 v(s) u(s) ds pre každé t ∈ I. (11) Potom platí nerovnosť u(t) ≤ C e t t0 v(s)ds pre každé t ∈ I. (12) Dôkaz Lemy 2. Definujme na I funkciu y s predpisom y(t) := C + t t0 v(s) u(s) ds , t ∈ I. (13) Podľa predpokladu (11) platí u(t) ≤ y(t) pre každé t ∈ I. Funkcia y má na množine I \ {t0} spojitú deriváciu. Vyplýva to z nasledujúcich výpočtov Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády Dôkaz Lemy 2 (pokračovanie). y(t) (13) =    C + t t0 v(s) u(s) ds, t > t0, C − t t0 v(s) u(s) ds, t < t0, ⇓ y′ (t) =    v(t) u(t) ≤ v(t) y(t), t > t0, −v(t) u(t) ≥ −v(t) y(t), t < t0. (14) Naviac, funkcia y spĺňa na I \ {t0} lineárnu diferenciálnu nerovnosť. Konkrétne, pre t > t0 je y′ (t) (14) ≤ v(t) y(t) −→ y′ (t) − v(t) y(t) ≤ 0, ⇓ integračný faktor e − t t0 v(s)ds ⇓ y′ (t) e − t t0 v(s)ds − v(t) y(t) e − t t0 v(s)ds ≤ 0 −→ y(t) e − t t0 v(s)ds ′ ≤ 0. Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády Dôkaz Lemy 2 (pokračovanie). Výraz y(t) e − t t0 v(s)ds je teda na pravom okolí bodu t0 nerastúci, a tak platí y(t0) e − t0 t0 v(s)ds ≥ y(t) e − t t0 v(s)ds (13) −→ C ≥ y(t) e − t t0 v(s)ds (15) pre každé t > t0 z intervalu I. Napokon u(t) ≤ y(t) (15) ≤ C e t t0 v(s)ds = C e t t0 v(s)ds pre každé t > t0 z I, teda platí (12). Analogickú analýzu vykonáme pre body t < t0 z I. Konkrétne, pre t < t0 je y′ (t) (14) ≥ −v(t) y(t) −→ y′ (t) + v(t) y(t) ≤ 0, ⇓ integračný faktor e t t0 v(s)ds ⇓ y′ (t) e t t0 v(s)ds + v(t) y(t) e t t0 v(s)ds ≥ 0 −→ y(t) e t t0 v(s)ds ′ ≥ 0. Výraz y(t) e t t0 v(s)ds je teda na ľavom okolí bodu t0 neklesajúci, a tak máme y(t0) e t0 t0 v(s)ds ≥ y(t) e t t0 v(s)ds (13) −→ C ≥ y(t) e t t0 v(s)ds (16) Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády Dôkaz Lemy 2 (pokračovanie). pre každé t < t0 z intervalu I. Následne u(t) ≤ y(t) (16) ≤ C e − t t0 v(s)ds = C e t t0 v(s)ds pre každé t < t0 z I, teda opäť platí (12). Pre t = t0 je nerovnosť (12) za predpokladu (11) zrejme splnená triviálne. Dôkaz je teraz kompletný. Dôsledok 1 Nech sú splnené predpoklady Gronwallovej Lemy 2 a nech naviac konštanta C = 0, t.j, nech platí u(t) ≤ t t0 v(s) u(s) ds pre každé t ∈ I. (17) Potom funkcia u(t) = 0 pre každý bod t ∈ I. Dôkaz Dôsledku 1. Z nerovnosti (12) v Leme 2 vyplýva, že funkcia u(t) ≤ 0 pre každé t ∈ I. A keďže funkcia u je nezáporná, nutne platí u(t) = 0 na celom intervale I. Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády Existencia a jednoznačnosť riešení systému Veta 1 (Globálna existencia a jednoznačnosť riešenia) Nech daná maticová funkcia A a daná vektorová funkcia b sú definované a spojité na intervale I ⊆ R. Potom začiatočná úloha (3) má pre každé t0 ∈ I a každé η ∈ Rn práve jedno úplné riešenie x = ϕ(t), ktoré existuje na celom intervale I. Toto riešenie je možné vyjadriť ako limitnú funkcie tzv. Picardovej postupnosti postupných aproximácií {ϕk}∞ k=0, kde pre každé k ∈ N0 platí ϕ0 je spojitá funkcia na I, ϕk+1(t) = η + t t0 [A(s) ϕk(s) + b(s)] ds, t ∈ I, (18) a riešenie ϕ(t) = limk→∞ ϕk(t) pre každé t ∈ I. Dôkaz Vety 1. V dôkaze budeme používať súčtovú vektorovú normu a s ňou súhlasnú maticovú normu definovanú v (8). V súlade s týmito normami definujme na množine spojitých (vektorových, maticových) funkcií na každom kompaktnom podintervale [a, b] ⊆ I nasledujúce funkcionálne normy f C := max t∈[a,b] f(t) , F C := max t∈[a,b] F (t) (19) Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády Dôkaz Vety 1 (pokračovanie). pre každú spojitú vekorovú funkciu f a každú spojitú maticovú funkciu F. Zvoľme si bod t0 ∈ I a vektor η ∈ Rn a uvažujme začiatočnú úlohu v (3). Nech ϕ0 je nejaká funkcia spojitá na I a {ϕk}∞ k=0 jej odpovedajúca Picardova postupnosť zostrojená v (18). Existencia riešenia Dokážeme, že postupnosť {ϕk}∞ k=0 konverguje rovnomerne na každom kompaktnom podintervale v I a jej limitou je spojitá funkcia, ktorá je riešením integrálnej rovnice (4) na celom I. Zvoľme interval [a, b] ⊆ I. Zrejme existuje uzavretý a ohraničený interval [c, d] ⊆ I taký, že [a, b] ∪ {t0} ⊆ [c, d]. Označme K := ϕ1 − ϕ0 C , L := A C na intervale [c, d]. (20) Pomocou matematickej indukcie ukážeme, že platí nerovnosť ϕk+1(t) − ϕk(t) ≤ K Lk|t − t0|k k! pre každé k ∈ N0 a každé t ∈ [c, d]. (21) Pre index k = 0 je vzhľadom na (19) a (20) nerovnosť zrejme (21) splnená. Predpokladajme platnosť nerovnosti (21) pre nejaký index k = m. Potom ϕm+2(t) − ϕm+1(t) (18) = t t0 A(s) [ϕm+1(s) − ϕm(s)] ds Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády Dôkaz Vety 1 (pokračovanie). (7),(10) ≤ t t0 A(s) ϕm+1(s) − ϕm(s) ds (21) ≤ t t0 A(s) K Lm|s − t0|m m! ds (20),(19) ≤ t t0 LK Lm|s − t0|m m! ds = K Lm+1|t − t0|m+1 (m + 1)! pre každé t ∈ [c, d], t.j., nerovnosť (21) platí i pre index k = m+1. Zvoľme ďalej p, q ∈ N. Využitím (21) postupne dostaneme ϕp+q(t) − ϕp(t) = p+q−1 k=p [ϕk+1(t) − ϕk(t)] ≤ p+q−1 k=p ϕk+1(t) − ϕk(t) (21) ≤ p+q−1 k=p K Lk|t − t0|k k! = K p+q−1 k=p Lk|t − t0|k k! pre každé t ∈ [c, d]. Zo základných kurzov matematickej analýzy vieme, že nekonečný rad ∞ k=0 Lk |t−t0|k k! konverguje rovnomerne na [c, d]. Posledná nerovnosť podľa Cauchyho–Bolzanovho kritéria potom znamená, že funkcionálna Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády Dôkaz Vety 1 (pokračovanie). postupnosť {ϕk}∞ k=0 konverguje rovnomerne na [c, d], a teda aj na intervale [a, b]. Keďže interval [a, b] bol zvolený ľubovoľne, postupnosť {ϕk}∞ k=0 konverguje lokálne rovnomerne na intervale I. Existuje preto bodová limita ϕ(t) := limk→∞ ϕk(t) pre každé t ∈ I, pričom funkcia ϕ je spojitá na celom I (každá z funkcií ϕk, k ∈ N0 je zrejme spojitá na I). Napokon ukážeme, že získaná funkcia ϕ je riešením integrálnej rovnice (4) na celom intervale I. Zvoľme bod t ∈ I. Limitovaním rovnosti v (18) pre k → ∞ máme lim k→∞ ϕk+1(t) = η + lim k→∞ t t0 [A(s) ϕk(s) + b(s)] ds, ⇓ rovnomerná konvergencia postupnosti {ϕk}∞ k=0 ⇓ lim k→∞ ϕk+1(t) = η + t t0 A(s) lim k→∞ ϕk(s) + b(s) ds, ⇓ ϕ(t) = η + t t0 [A(s) ϕ(s) + b(s)] ds. Napokon podľa Lemy 1 je funkcia ϕ riešením začiatočnej úlohy (3) na celom I. Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády Dôkaz Vety 1 (pokračovanie). Jednoznačnosť riešenia Dokážeme, že získané riešenie ϕ začiatočnej úlohy (3) je jediné. Ak funkcia ψ je nejaké riešenie úlohy (3), potom v súlade s Lemou 1 spĺňa integrálnu rovnicu (4) na celom intervale I. Pre každé t ∈ I teda platí ϕ(t) − ψ(t) (4) = t t0 A(s) [ϕ(s) − ψ(s)]ds (10),(7) ≤ t t0 A(s) ϕ(s) − ψ(s) ds . Podľa Gronwallovej Lemy 2 a jej Dôsledku 1, kde uvažujeme u := ϕ − ψ a v := A , posledná nerovnosť v súlade s (17) implikuje, že ϕ(t) − ψ(t) = 0 pre každé t ∈ I, t.j., ϕ(t) = ψ(t) pre každé t ∈ I. To dokazuje jednoznačnosť riešenia začiatočnej úlohy (3). Dôkaz predloženej vety je teraz kompletný. Poznámka 2 Vidíme, že v súlade s dôkazom Vety 1 limitná funkcia ϕ Picardovej postupnosti {ϕk}∞ k=0 zostrojenej v (18) nezávisí na výbere začiatočnej aproximácie ϕ0. Stačí dokonca uvažovať funkciu ϕ0 iba lokálne integrovateľnú na intervale I, t.j., integrovateľnú na každom kompaktnom podintervale v I. Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády Poznámka 3 Ak pre k ∈ N0 zavedieme na intervale I funkcie ∆k predpisom ∆k(t) := ϕk+1(t) − ϕk(t), t ∈ I, (22) kde {ϕk}∞ k=0 je postupnosť Picardových aproximácií definovaná v (18), potom je možné riešenie ϕ začiatočnej úlohy (3) vyjadriť ako súčet nekonečného funkcionálneho radu ϕ(t) = ∞ k=0 ∆k(t), t ∈ I. (23) V súlade s dôkazom Vety 1 funkcionálny rad (23) konverguje lokálne rovnomerne na intervale I, t.j., rovnomerne na každom kompaktnom podintervale v I. Podľa (18) funkcie ∆k definované v (22) spĺňajú pre každé t ∈ I rekurentnú rovnosť ∆k+1(t) = t t0 A(s) ∆k(s) ds, k ∈ N0, (24) kde začiatočná funkcia ∆0 má tvar ∆0(t) = η − ϕ0(t) + t t0 [A(s) ϕ0(s) + b(s)] ds, t ∈ I. (25) Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády Príklad 1 Uvažujme začiatočnú úlohu x′ 1 = − x2 t + 9t, x′ 2 = − x1 t − 3t, x1(1) = 1, x2(1) = 2, (26) na intervale I = (0, ∞). Keďže funkcie A(t) = 0 − 1 t − 1 t 0 , b(t) = 9t −3t sú definované a spojité na celom intervale I a bod t0 = 1 ∈ I, v súlade s Vetou 1 má Cauchyho úloha (26) práve jedno úplné riešenia na celom I. Stanovíme ho pomocou metódy Picardových aproximácií v (18). Dá sa overiť, že voľbou ϕ0(t) = 7t2 − 13 2 t + 1 2 −5t2 + 13 2 t + 1 2 , t ∈ I získame Picardovu postupnosť {ϕk}∞ k=0 tvaru ϕk(t) =   7t2 − 13 2 t + 1 2 k i=0 (− ln t)i i! −5t2 + 13 2 t + 1 2 k i=0 (− ln t)i i!   , k ∈ N0, t ∈ I. Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády Príklad 1 Pre hľadané riešenie začiatočnej úlohy (26) potom platí ϕ(t) = lim k→∞ ϕk(t) =   7t2 − 13 2 t + 1 2 ∞ i=0 (− ln t)i i! −5t2 + 13 2 t + 1 2 ∞ i=0 (− ln t)i i!   = 7t2 − 13 2 t + 1 2t −5t2 + 13 2 t + 1 2t pre každé t ∈ I. Nie je ťažké overiť, že získaná funkcia ϕ je skutočne riešením rovnice v (26) a spĺňa príslušnú začiatočnú podmienku. Príklad 2 Uvažujme homogénnu začiatočnú úlohu x′ = Ax, x(0) = (0, 1)T (27) na intervale I = (−∞, ∞), kde A je reálna konštantná matica A = 0 1 −1 0 . Podľa Poznámky 3 s funkciou b(t) ≡ 0, bodom t0 = 0 a vektorom η = (0, 1)T pre funkcie ∆k(t) platí (pre jednoduchosť uvažujeme funkciu ϕ0 ≡ 0 na I) Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády Príklad 2 ∆0(t) (25) ≡ η = 0 1 , ∆k+1(t) (24) = A t 0 ∆k(s) ds, k ∈ N0, t ∈ I. Pomocou matematickej indukcie vzhľadom na index k možno ukázať, že ∆k(t) = tk k! Ak η, k ∈ N0, t ∈ I. Postupnosť matíc {Ak }∞ k=0 je periodická s najmenšou periódou 4, nakoľko A0 = I, A1 = A, A2 = −I, A3 = −A, A4 = I. Preto pre každé l ∈ N0 platí A4l = I, A4l+1 = A, A4l+2 = −I, A4l+3 = −A. Riešenie ϕ začiatočnej úlohy (27) potom bude mať podľa (23) tvar ϕ(t) = ∞ m=0 (−1)m (2m)! t2m η + ∞ m=0 (−1)m (2m + 1)! t2m+1 Aη = (cos t) 0 1 + (sin t) 0 1 −1 0 0 1 = sin t cos t , t ∈ I. Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády Obsah 1 Lineárny systém 2 Homogénny systém rovníc 3 Nehomogénny systém rovníc 4 Systémy s konštatnými koeficientami 5 Lineárne diferenciálne rovnice vyšších rádov Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády V tejto sekcii sa budeme zaoberať lineárnym maticovým systémom (2) s funkciou b(t) ≡ 0 na intervale I, t.j., homogénnym lineárnym systémom x′ = A(t)x, (28) kde n × n maticová funkcia A(t) je spojitá na I. Nasledujúca veta hovorí o dôležitej vlastnosti množiny riešení systému (28). Veta 2 (Štruktúra množiny riešení homogénneho systému) Množina všetkých riešení rovnice (28) na intervale I tvorí lineárny (vektorový) priestor nad telesom reálnych čísiel. Dôkaz Vety 2. Ak x1 a x2 sú dve (úplné) riešenia systému (28) na I a c1, c2 ∈ R, potom i funkcia x := c1x1 + c2x2 je (úplným) riešením rovnice (28), nakoľko platí x′ = (c1x1 + c2x2)′ = c1x′ 1 + c2x′ 2 = c1A(t) x1 + c2A(t) x2 = A(t) (c1x1 + c2x2) = A(t) x na celom intervale I. Dôkaz je hotový. Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády Lineárna závislosť a nezávislosť I Definícia 1 (Lineárna nezávislosť vektorových funkcií) Nech k, n ∈ N sú dané a nech x1, . . . , xk sú n-vektorové funkcie definované na nedegenerovanom intervale I. Povieme, že funkcie x1, . . . , xk sú lineárne závislé na I, ak existuje nenulová k-tica reálnych čísiel (c1, . . . , ck) taká, že c1x1(t) + · · · + ckxk(t) = 0 pre každé t ∈ I. V opačnom prípade sa funkcie x1, . . . , xk označujú ako lineárne nezávislé na I. Príklad 3 Dokážeme, že vektoré funkcie x1(t) = (t, t)T , x2(t) = (t2 , t)T , x3(t) = (t3 , t)T sú lineárne nezávislé na každom netriviálnom intervale v R. Nech c1, c2, c3 ∈ R spĺňajú c1x1 + c2x2 + c3x3 ≡ 0 na nejakom intervale I ⊆ R, t.j., platí c1 t t + c2 t2 t + c3 t3 t = c1t + c2t2 + c3t3 c1t + c2t + c3t = 0 pre každé t ∈ I. (29) Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády Lineárna závislosť a nezávislosť II Príklad 3 Ukážeme, že rovnosť (29) môže nastať iba v prípade c1 = c2 = c3 = 0. Skutočne, relácia (29) je ekvivalentná s rovnosťami c1t + c2t2 + c3t3 = 0, c1t + c2t + c3t = 0 pre každé t ∈ I. (30) Keďže každá polynomická funkcia tretieho stupňa môže mať na nejakom intervale najviac tri nulové body, prvá rovnosť v (30) môže byť splnená na I jedine vtedy, keď sa jedná o nulovú funkciu, t.j., nutne c1 = c2 = c3 = 0. Druhá rovnosť v (30) potom platí triviálne. V súlade s Definíciou 1 sú preto predložené funkcie x1, x2 a x3 lineárne nezávislé na každom intervale I ⊆ R. V prípade riešení systému (28) sa vyšetrovanie lineárnej závislosti, resp. nezávislosti redukuje na problém lineárnej závislosti, resp. nezávislosti vektorov. Veta 3 (Lineárna závislosť riešení homogénneho systému) Nech k ∈ N a nech x1, . . . , xk sú úplné riešenia systému (28) na intervale I. Potom funkcie x1, . . . , xk sú lineárne závislé na I práve vtedy, keď pre nejaký bod t0 ∈ I sú vektory x1(t0), . . . , xk(t0) lineárne závislé. Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády Dôkaz Vety 3. Implikácia ⇒ platí triviálne podľa Definície 1. Naopak, nech pre t0 ∈ I sú vektory x1(t0), . . . , xk(t0) lineárne závislé. Existuje teda nenulová k-tica (c1, . . . , ck) reálnych čísiel tak, že c1x1(t0) + · · · + ckxk(t0) = 0. Podľa Vety 2 je funkcia x := c1x1 + · · · + ckxk riešením rovnice (28) na I, ktoré spĺňa x(t0) = 0. Z jednoznačnosti riešení systému (28) podľa Vety 1 platí x(t) = 0 pre každé t ∈ I. V súlade s Definíciou 1 to potom znamená, že funkcie x1(t), . . . , xk(t) sú lineárne závislé na I. Dôsledok 2 (Dimenzia priestoru riešení homogénneho systému) Množina riešení rovnice (28) na intervale I tvorí lineárny priestor dimenzie n. Dôkaz Dôsledku 2. Z Vety 3 vieme, že dimenzia priestoru riešení systému (28) je najviac n, pretože priestor Rn je n-dimenzionálny. Na druhej strane, ak {e1, . . . , en} je kanonická báza v Rn a t0 ∈ I je daný bod, potom podľa Vety 1 existujú úplné riešenia x1, . . . , xn systému (28) s xi(t0) = ei, i = 1, . . . , n. V súlade s Vetou 3 sú tieto riešenia lineárne nezávislé na I. Preto je priestor riešení systému (28) na intervale I aspoň n-dimenzionálny. Dôkaz je kompletný. Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády Fundamentálny systém riešení Definícia 2 (Fundamentálny systém riešení homogénneho systému) Ľubovoľná báza priestoru všetkých riešení rovnice (28) na intervale I sa označuje ako fundamentálny systém riešení rovnice (28) na I. Nech x1, . . . , xn je nejaký daný fundamentálny systém riešení rovnice (28) na intervale I. Potom každé riešenie x systému (28) je možné vyjadriť v tvare x(t) = c1x1(t) + · · · + cnxn(t), t ∈ I, (31) pre vhodné konštanty c1, . . . , cn ∈ R. Naopak, každá lineárna kombinácia riešení x1, . . . , xn je podľa Vety 2 riešením systému (28) na I. Funkcia y v (31) je preto všeobecným riešením systému (28) na intervale I. Doplňme, že konštanty c1, . . . , cn v (31) sú pre dané riešenie x určené jednoznačne. Spolu s vektorovou rovnicou (28) budeme uvažovať aj maticovú rovnicu X′ = A(t) X, t ∈ I, (32) kde neznáma X je n × n maticová funkcia. Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády Ak X je maticové riešenie rovnice (32) na intervale I a C ∈ Rn×n je daná konštantná matica, potom funkcia X(t) C je tiež maticovým riešením rovnice (32) na I, nakoľko platí [X(t) C]′ = X′ (t) C = A(t) X(t) C = A(t) [X(t) C], t ∈ I. Ďalej pre každý konštantný vektor η ∈ Rn je funkcia Xη vektorovým riešením rovnice (28). Obzvlášť, každý stĺpec matice X je riešením systému (28) na I. Maticové riešenie X sa nazýva fundamentálna matica systému (28) (resp. fundamentálne riešenie systému (32)), ak stĺpce matice X vytvárajú fundamentálny systém riešení rovnice (28), t.j., sú lineárne nezávislé na intervale I. Riešenie X rovnice (32) je teda fundamentálne riešenie práve vtedy, keď det X(t) = 0 pre každé t ∈ I, t.j., matica X je regulárna na celom I. Veta 4 (Liouvilleov-Jacobiho-Abelov-Ostrogradského vzorec) Nech X je maticové riešenie rovnice (32) na intervale I a nech t0 ∈ I je daný bod. Potom pre každé t ∈ I platí vzorec det X(t) = det X(t0) e t t0 Tr A(s) ds , (33) kde Tr A := n i=1 aii je stopa matice A. Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády Dôkaz Vety 4. Keďže podľa predpokladov maticová funkcia X je riešením rovnice (32) na I, má X (spojitú) deriváciu na I, t.j., každý jej prvok xij , i, j = 1, . . . , n, má (spojitú) deriváciu na I. Využitím definície determinantu n × n matice nie je ťažké usúdiť, že platí rovnosť [det X(t)]′ = n i=1 det Xi(t), t ∈ I, (34) kde pre každé dané i = 1, . . . , n matica Xi vznikne z matice X nahradením i-teho riadka jeho deriváciou, t.j., Xi(t) =                x11(t) · · · x1n(t) ... ... ... xi−1,1(t) · · · xi−1,n(t) x′ i1(t) · · · x′ in(t) xi+1,1(t) · · · xi+1,n(t) ... ... ... xn1(t) · · · xnn(t)                , t ∈ I, (35) V súlade s platnosťou rovnice (32) a jej rozpísaním na maticové prvky máme Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády Dôkaz Vety 4 (pokračovanie). x′ ik = n j aij (t) xjk(t), k = 1, . . . , n, t ∈ I. (36) Vieme, že determinant matice sa nezmení, ak k ľubovoľnému jej riadku pripočítame nejakú lineárnu kombináciu ostatných riadkov. Preto platí det Xi(t) (35),(36) = det                x11(t) · · · x1n(t) .. . .. . .. . xi−1,1(t) · · · xi−1,n(t) aii(t) xi1(t) · · · aii(t) xin(t) xi+1,1(t) · · · xi+1,n(t) .. . .. . .. . xn1(t) · · · xnn(t)                = aii(t) det X(t) pre každé t ∈ I. Dosadením do rovnosti (34) dostaneme [det X(t)]′ (34) = n i=1 aii(t) det X(t) = Tr A(t) det X(t), t ∈ I, Zistili sme teda, že funkcia z := det X je na intervale I riešením homogénnej lineárnej diferenciálnej rovnici prvého rádu tvaru z′ = Tr A(t) z. Takže máme Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády Dôkaz Vety 4 (pokračovanie). z(t) = z(t0) e t t0 Tr A(s) ds pre každé t ∈ I, čo dokazuje vzorec (33) a dôkaz je hotový. Poznámka 4 Vzorec (33) vo Vete 4 ukazuje, že pre každé n × n maticové riešenie X rovnice (32) platia dve alternatívy, konkrétne {det X(t) = 0 pre každé t ∈ I} alebo {det X(t) = 0 pre každé t ∈ I} . Preto funkcia X je fundamentálnym riešením systému (28) práve vtedy, keď det X(t0) = 0 pre nejaké t0 ∈ I. V tomto prípade vektorová funkcia y = Xc, c ∈ Rn , (37) je všeobecným riešením systému (28) na intervale I. Poznamenajme, že fundamentálna matica systému (28) je určená jednoznačne až na konštantný regulárny násobok sprava. Presnejšie, ak X je nejaká fundamentálna matica systému (28) na I, potom maticová funkcia Y je fundamentálnou maticou tohto systému práve vtedy, keď existuje konštantná invertovateľná matica C ∈ Rn×n s vlastnosťou Y (t) = X(t) C pre každé t ∈ I. Tento záver potvrdzuje výsledok Vety 3. Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády Príklad 4 Uvažujme homogénny lineárny systém (28) tvaru x′ = 0 − 1 t − 1 t 0 x na intervale I = (0, ∞). Dosadením sa ľahko ukáže, že vektorové funkcie x1(t) = (t, −t)T a x2(t) = 1 t , 1 t T sú úplné a v súlade s Vetou 3 i lineárne nezávislé riešenia tohto systému na I (napríklad vektory x1(1) = (1, −1)T a x2(1) = (1, 1)T sú lineárne nezávislé). Preto v súlade s Definíciou 2 funkcie x1 a x2 tvoria fundamentálny systém riešení danej rovnice a jej všeobecné riešenie má potom pre každé t ∈ I tvar x(t) = c1x1(t) + c2x2(t) =   c1t + c2 t −c1t + c2 t   , c1, c2 ∈ R. Funkcie x1 a x2 zároveň predstavujú stĺpce jednej z fundamentálnych matíc predloženého systému, konkrétne X(t) = t 1 t −t 1 t , t ∈ I. Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády Nasledujúca veta pojednáva o asymptotických vlastnostiach riešení systému (28). Veta 5 Nech pre α ∈ R je A spojitá maticová funkcia na intervale I = [α, ∞) taká, že ∞ α A(s) ds < ∞ (38) pre nejakú maticovú normu · . Nech {Xk}∞ k=0 je postupnosť maticových funkcií definovaná rekurentným predpisom X0(t) ≡ In, Xk+1(t) = ∞ t A(s) Xk(s) ds, t ∈ I, k ∈ N0 (39) Potom pre každý konštantný vektor c ∈ Rn je nekonečný rad ∞ k=0 (−1)k Xk(t) c (40) absolútne a rovnomerne konvergentný na intervale I a funkcia x definovaná x(t) := ∞ k=0 (−1)k Xk(t) c, t ∈ I, (41) je úplným riešením systému (28) na I. Naviac platí limt→∞ x(t) = c. Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády Dôkaz Vety 5. Uvažujme na Rn nejakú vektorovú normu · a zvoľme s ňou súhlasnú maticovú normu. Definujme na intervale I (skalárnu) funkciu ε(t) := ∞ t A(s) ds, t ∈ I. (42) Funkcia ε je nezáporná na I a podľa predpokladu (38) platí limt→∞ ε(t) = 0. To znamená, že funkcia ε je ohraničená na I. Existuje teda δ > 0 s vlastnosťou 0 < ε(t) ≤ δ pre každé t ∈ I. Ďalej funkcia ε má na I deriváciu, pričom platí ε′ (t) := − A(t) ≤ 0, t ∈ I. (43) Pomocou matematickej indukcie ukážeme, že maticové funkcie Xk, k ∈ N0, definované v (39) spĺňajú nerovnosti Xk(t) ≤ εk(t) k! ≤ δk k! pre každé t ∈ I a pre každé k ∈ N0. (44) Pre index k = 0 je X0(t) ≡ In = 1 na I a nerovnosti v (44) platia triviálne. Predpokladajme, že (44) platí pre index k = m. Potom pre každé t ∈ I máme Xm+1(t) (39) = ∞ t A(s) Xm(s) ds (10) ≤ ∞ t A(s) Xm(s) ds Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády Dôkaz Vety 5 (pokračovanie). = ∞ t A(s) Xm(s) ds (44) ≤ ∞ t A(s) εm(s) m! ds (43) = − ∞ t ε′ (s) εm(s) m! ds = − εm+1(s) (m + 1)! ∞ t = εm+1(t) (m + 1)! − lim s→∞ εm+1(s) (m + 1)! = εm+1(t) (m + 1)! ≤ δm+1 (m + 1)! , teda nerovnosti v (44) platia aj pre index k = m + 1. Výsledok v (44) ukazuje, že nekonečný funkcionálny rad (40) má na celom I za majorantu konvergentný číselný rad ∞ k=0 δk k! . Podľa Weierstrassovej vety (v teórii nekonečných radov) potom rad (40) konverguje absolútne a rovnomerne na intervale I. Funkcia x v (41) je preto definovaná korektne pre každý konštantný vektor c ∈ Rn na celom I. Doplňme, že z druhej rovnosti v (39) a z odvodených asymptotických vlastností funkcie ε definovanej v (42) vyplýva X′ k+1(t) (39) = −A(t) Xk(t), t ∈ I, k ∈ N0, (45) lim t→∞ Xk(t) (44) ≤ lim t→∞ εk(t) k! = 0 −→ lim t→∞ Xk(t) = 0, k ∈ N. (46) Nech c ∈ Rn je daný vektor. Dokážeme, že odpovedajúca funkcia x v (41) je riešenie homogénneho systému (28) na I. Postupne máme Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády Dôkaz Vety 5 (pokračovanie). x′ (t) (41) = ∞ k=0 (−1)k X′ k(t) c (45) = ∞ k=1 (−1)k−1 A(t) Xk−1(t) c l=k−1 = A(t) ∞ l=0 (−1)l Xl(t) c (41) = A(t) x(t) pre každé t ∈ I. Napokon dokážeme asymptotickú vlastnosť funkcie x. Konkrétne, ukážeme, že limt→∞ x(t) − c = 0. Pomocou nerovnosti v (44) a faktu, že X0 ≡ 0, máme x(t) − c (41) = ∞ k=1 (−1)k Xk(t) c ≤ ∞ k=1 Xk(t) c ≤ ∞ k=1 Xk(t) c (44) ≤ ∞ k=1 εk(t) k! c = eε(t) − 1 c pre každé t ∈ I. (47) Následne dostávame lim t→∞ x(t) − c (47) ≤ lim t→∞ eε(t) − 1 c = elimt→∞ ε(t) − 1 c = 0. Preto limt→∞ x(t) = c a dôkaz je teraz úplný. Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády Obsah 1 Lineárny systém 2 Homogénny systém rovníc 3 Nehomogénny systém rovníc 4 Systémy s konštatnými koeficientami 5 Lineárne diferenciálne rovnice vyšších rádov Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády Budeme teraz skúmať všeobecný nehomogénny lineárny systém (2). Veta 6 (Štruktúra množiny riešení nehomogénneho systému) Nech funkcie A a b sú spojité na intervale I ⊆ R. Nech X je fundamentálna matica systému (28) a nech x0 je nejaké riešenie systému (2) na I. Potom vektorová funkcia x je úplné riešenie nehomogénneho systému (2) na I práve vtedy, keď pre nejaký konštantný vektor c ∈ Rn platí x(t) = X(t) c + x0(t) pre každé t ∈ I. (48) Dôkaz Vety 6. Dosadením do (2) sa ľahko overí, že pre každý konštantný vektor c ∈ Rn je funkcia x v (48) riešením rovnice (2) na intervale I, pretože x′ (t) = X′ (t) c + x′ 0(t) = A(t) X(t) c + A(t) x0(t) + b(t) = A(t)[X(t) c + x0(t)] + b(t) = A(t) x(t) + b(t) pre každé t ∈ I. Naopak, nech x je nejaké úplné riešenie systému (2) na I. Potom funkcia x − x0 spĺňa rovnicu (28) na I, nakoľko pre každé t ∈ I platí [x(t) − x0(t)]′ = A(t) x(t) + b(t) − A(t) x0(t) − b(t) = A(t) [x(t) − x0(t)]. Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády Dôkaz Vety 6 (pokračovanie). Podľa rovnosti (37) v Poznámke 4 preto existuje konštanta c ∈ Rn taká, že funkcia x(t) − x0(t) = X(t) c na I. Teda riešenie x má tvar (48). Poznámka 5 Z Vety 6 vyplýva významné pozorovanie o všeobecnom riešení rovnice (2): všeobecné riešenie systému (2) = všeobecné riešenie systému (28) + partikulárne riešenie systému (2) . Na nájdenie partikulárneho riešenia systému (2) sa využíva metóda variácie konštánt. Nech x je pre dané t0 ∈ I a η ∈ Rn úplné riešenie začiatočnej úlohy (3). Nech X je nejaká fundamentálna matica homogénneho systému (28). Uvažujme vektorovú funkciu c := X−1 x. Funkcia c je definovaná a diferencovateľná na celom inervale I a platí x(t) = X(t) c(t), t ∈ I. Po dosadení tohto vyjadrenia do rovnice (2) a úpravách dostaneme c′ (t) = X−1 (t) b(t) =⇒ c(t) = c(t0) + t t0 X−1 (s) b(s) ds, t ∈ I. Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády Hodnotu c(t0) určíme pomocou začiatočnej podmienky x(t0) = η, konkrétne c(t0) = X−1 (t0) x(t0) = X−1 (t0) η. Veta 7 (Metóda variácie konštánt) Začiatočná úloha (3) má jediné úplné riešenie tvaru x(t) = X(t) X−1 (t0) η + X(t) t t0 X−1 (s) b(s) ds, t ∈ I, (49) kde X je ľubovoľná fundamentálna matica homogénneho systému (28). Poznámka 6 Všimnime si, že vo vzorci (49) funkcia xH := X X−1 (t0) η je všeobecné riešenie homogénneho systému (28) spĺňajúce xH(t0) = η, kým funkcia xP (t) := X(t) t t0 X−1 (s) b(s) ds, t ∈ I, je partikulárne riešenie rovnice (2) so začiatočnou podmienkou xP (t0) = 0. Platí teda rovnosť x = xH + xP v súlade s Poznámkou 5. Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády Obsah 1 Lineárny systém 2 Homogénny systém rovníc 3 Nehomogénny systém rovníc 4 Systémy s konštatnými koeficientami 5 Lineárne diferenciálne rovnice vyšších rádov Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády Z výsledkov predchádzajúcich sekcií vyplýva, že na stanovenie množiny všetkých riešení, t.j., všeobecného riešenia, lineárneho systému (2) je nutné a zároveň stačí poznať nejakú fundamentálnu maticu pridruženého homogénneho lineárneho systému (28). To je obsahom tvrdenia Vety 7. Nájdenie fundamentálnej matice vektorového, resp. maticového systému (28), resp. (32) je však vo všeobecnom prípade veľmi náročný problém. V tejto sekcii sa budeme podrobne zaoberať homogénnym lineárnym systémom (28) s konštantnými koeficientami, t.j., x′ = Ax, (50) kde A je štvorcová konštantná reálna matica rádu n. Každé riešenie systému (50) je zrejme úplné a existuje na celej reálnej osi R. Ukážeme, že pre systém (50) je možné pomerne efektívne určiť všetky jeho fundamentálne riešenia X, t.j., n × n maticové funkcie X spĺňajúce rovnicu (32), ktoré v súlade s Poznámkou 4 majú vlastnosť det X(t) = 0 pre každé t ∈ R. Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády Exponenciála matice Nech M je štvorcová komplexná matica rádu n. Matica definovaná predpisom eM := ∞ k=0 1 k! Mk (51) sa nazýva exponenciála matice M. Nekonečný rad v (51) konverguje absolútne pre každú maticu M ∈ Cn×n , nakoľko číselný rad ∞ k=0 1 k! M k (52) je konvergentný vzhľadom na každú maticovú normu. Matica eM je teda korektne definovaná pre každé M ∈ Cn×n a má nasledujúce základné vlastnosti. eOn = In, eM ≤ e M , eM e−M = In, eM −1 = e−M , (53) ak MN = NM, potom eM eN = eN eM = eM+N , (54) ak N je regulárna matica, potom eNMN−1 = NeM N−1 . (55) Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády Exponenciála matice ako fundamentálne riešenie Nasledujúca veta ukazuje, že pomocou pojem exponenciála matice poskytuje jednoduché formálne vyjadrenie fundamentálnej matice systému (50). Veta 8 (Fundamentálna matica homogénneho systému) Nech A je štvorcová konštantná reálna matica rádu n. Potom exponenciála eAt je fundamentálna matica homogénneho systému (50) na celej reálne osi R. Dôkaz Vety 8. Funkcia X(t) = eAt je maticovým riešením systému (50), nakoľko platí X′ (t) = eAt ′ (51) = ∞ k=0 1 k! (At)k ′ = I + ∞ k=1 1 k! (At)k ′ = ∞ k=1 k k! Ak tk−1 = A ∞ k=1 1 (k − 1)! Ak−1 tk−1 l=k−1 = A ∞ l=0 1 l! (At)l (51) = A eAt = AX(t). pre každé t ∈ R. Naviac X(0) = eOn = In v súlade s (53). Preto podľa vzorca (33) je matica X regulárna na R. Funkcia X je teda fundamentálna matica systému (50) na celej reálnej osi R. Dôkaze je hotový. Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády Jordanov kanonický tvar matice Výsledok Vety 8 ukazuje, že na popis všeobecného riešenia systému (50) je nutné poznať štruktúru exponenciály eAt , prípadne jej vhodných konštatných invertibilných násobkov sprava. V tomto smere je užitočná nasledujúca veta. Veta 9 (Jordanova) Pre každú maticu M ∈ Cn×n existuje regulárna matica P ∈ Cn×n taká, že P −1 MP =      J1 O · · · O O J2 · · · O ... ... · · · ... O O · · · Jm      , (56) kde Jj ∈ Cqj ×qj , j = 1, . . . , m, sú blokové matice vhodného rádu qj ≤ n tvaru Jj = λj alebo Jj =        λj 1 0 · · · 0 0 λj 1 · · · 0 .. . .. . .. . · · · .. . 0 0 0 · · · 1 0 0 0 · · · λj        , (57) kde λj, j = 1, . . . , m, sú (nie nutne rôzne) vlastné čísla matice M. Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády Matice Jj , j = 1, . . . , m, sa označujú ako Jordanove bloky (bunky, klietky) matice M a stĺpce matice P sa nazývajú (zovšeobecnené) vlastné vektory matice M. Blokovo diagonálna matica Q :=      J1 O · · · O O J2 · · · O ... ... · · · ... O O · · · Jm      (58) v Jordanovom rozklade (56) je určená jednoznačne až na poradie Jordanových blokov. Dodajme, že transformačná matica P nie je určená jednoznačne. Pomocou Vety 9 teraz preskúmame štruktúru exponenciály eAt , resp. jej vhodného invertovateľného pravostranného násobku. Nech P a Q sú matice v (56) a (58), ktoré odpovedajú Jordanovmu rozkladu matice A, t.j., A = PQP−1 . Podľa (55) potom pre každé dané t ∈ R platí eAt = eP (Qt)P −1 = PeQt P−1 , teda eAt P = PeQt . (59) Podľa Poznámky 4 je funkcia eAt P fundamentálnou fundamentálnou maticou systému (50). V súlade s rovnosťou v (59) budeme preto vyšetrovať funkciou PeQt . Z blokovo diagonálneho tvaru matice Q v (58) máme Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády (Qt)k (58) =      (J1t)k O · · · O O (J2t)k · · · O ... ... · · · ... O O · · · (Jmt)k      , (60) a tak podľa (53) pre exponenciálu eQt platí eQt (53) =      eJ1t O · · · O O eJ2t · · · O ... ... · · · ... O O · · · eJmt      . (61) Ak matica Jj ∈ Cgj ×qj , j ∈ 1, . . . , m, je v zhode s (57) rádu 1, potom eJjt (57) = eλj t = eλjt · I1. (62) Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády V opačnom prípade podľa (57) platí Jj = λj Iqj +Mj , j ∈ 1, . . . , m, kde matica Mj (57) =      0 1 · · · 0 ... ... · · · ... 0 0 · · · 1 0 0 · · · 0      . (63) Keďže matice λj Iqj a Mj komutujú, podľa (54) máme eJj t = e λj tIqj +Mj t (54) = eλj t eMj t . (64) Postupným počítaním mocnín (Mjt)k pre k ∈ N0 zistíme, že (Mj t)k = On pre každé k ≥ qj , a teda eMj t (53) = qj −1 k=0 1 k! (Mjt)k =          1 t t2 2! · · · t qj −1 (qj −1)! 0 1 t · · · t qj −2 (qj −2)! ... ... ... · · · ... 0 0 0 · · · t 0 0 0 · · · 1          . (65) Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády Kombináciou formúl (64) a (65) dostaneme pre exponenciálu bloku Jj t tvar eJj t = e λqj t          1 t t2 2! · · · t qj −1 (qj −1)! 0 1 t · · · t qj −2 (qj −2)! ... ... ... · · · ... 0 0 0 · · · t 0 0 0 · · · 1          , (66) Z tejto analýzy vyplýva, že zložky stĺpcov maticovej funkcie PeQt budú (všeobecne komplexné) kvázipolynómy, t.j., konečne súčty výrazov tvaru p(t) eλt , kde λ je vlastné číslo matice A a p je (komplexný) polynóm stupňa menšieho než je algebraická násobnosť vlastného čísla λ. Matica A je reálna, a tak s každým nereálnym vlastným číslom λ má aj komplexne združené vlastné číslo ¯λ. Vďaka linearite systému (50) pre každé nereálne vektorové riešenie x je i s ním komplexne združená funkcia ¯x riešením systému (50). Keďže Re x = x+¯x 2 a Im x = x−¯x 2i , reálna a imaginárna časť funkcie x sú reálnymi lineárne nezávislými riešeniami systému (50). Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády Fundamentálny systém riešení Veta 10 (Fundamentálna matica systému) Každá fundamentálna X homogénneho lineárneho systému (50) má tvar xij(t) = l k=1 {pk(t) cos [(Im λk) t] + rk(t) sin [(Im λk) t]} e(Re λk) t , (67) kde indexy i, j = 1, . . . n, hodnoty λ1, . . . , λl sú navzájom rôzne vlastné čísla matice A a funkcie pk a rk sú reálne polynómy stupňa menšieho než je algebraická násobnosť vlastného čísla λk, k = 1, . . . , l. Dôsledok 3 Nech X je fundamentálna matica systému (50). Potom (i) matica X je ohraničená na okolí ∞ práve vtedy, keď každé vlastné číslo matice A má nekladnú reálnu časť a vlastné čísla s nulovou reálnou časťou sú jednoduché. (ii) platí limt→∞ X(t) = 0n práve vtedy, keď každé vlastné číslo matice A má zápornú reálnu časť. Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády Príklad 5 Nájdime nejakú fundamentálnu maticu systému x′ =      2 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 −1 1 0 0 0 0 −1 1 0 0 0 0 −1      x. Podľa Vety 8 stačí nájsť exponenciálu matice At. V tomto prípade matica A je už v Jordanov blokovo diagonálnom tvare, nakoľko A =         2 0 0 0 0 0 − 1 0 0 0 0 0 − 1 1 0 0 0 0 −1 1 0 0 0 0 −1         , pričom má jednoduché vlastné číslo 2 a štvornásobné vlastné číslo −1. Exponenciála eAt má preto tvar Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády Príklad 5 X(t) = eAt =          e2t 0 0 0 0 0 e−t 0 0 0 0 0 e−t te−t t2 2! e−t 0 0 0 e−t te−t 0 0 0 0 e−t          . Poznamenajme, že získaná fundamentálna matica X rovnice v zadaní príkladu je normovaná v bode t = 0, t.j., platí X(0) = I5. Fundamentálna matica Y normovaná v bode t = 3, t.j., Y (3) = I5, má tvar Y (t) =            e2(t−3) 0 0 0 0 0 e−(t−3) 0 0 0 0 0 e−(t−3) (t − 3) e−(t−3) (t−3)2 2! e−(t−3) 0 0 0 e−(t−3) (t − 3) e−(t−3) 0 0 0 0 e−(t−3)            . Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády Príklad 6 Nájdime všeobecné riešenie systému x′ =   1 −1 1 1 1 −1 0 −1 2   x. Zistíme vlastné čísla matice systému. Jej charakteristický polynóm má tvar det(A − λI3) = −λ3 + 4λ2 − 5λ + 2 = −(λ − 2)(λ − 1)2 . Matica A má jednoduché vlastné číslo 2 a dvojnásobné vlastné číslo 1. Vlastnému číslu 2 odpovedá jedno lineárne nezávislé riešenie tvaru x(t) = ae2t , be2t , ce2t T , kde a, b, c sú vhodné konštanty. Dosadením týchto výrazov do systému v zadaní príkladu dostaneme po úpravách pre hodnoty a, b, c sústavu troch algebraických lineárnych rovníc tvaru 2a = a − b + c, 2b = a + b − c, 2c = −b + 2c. Táto sústava má jedno lineárne nezávislé riešenie a = c = 1 a b = 0. Vlastnému číslu 1 odpovedajú dve lineárne nezávislé riešenia tvaru x(t) = (at + b) et , (ct + d) et , (ft + g) et T , Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády Príklad 6 kde a, b, c, d, f, g sú vhodné konštanty. Dosadením týchto výrazov do systému v zadaní príkladu dostaneme po úpravách rovnosti a + (at + b) = (at + b) − (ct + d) + (ft + g), c + (ct + d) = (at + b) + (ct + d) − (ft + g), f + (ft + g) = −(ct + d) + 2(ft + g). Ak porovnáme koeficienty pri rovnakých mocninách t na oboch stranách odvodených rovností, získame štyri nezávislé rovnice pre a, b, c, d, f, g, konkrétne f − c = 0, a − f = 0, a = g − d, c = b − g. Táto sústava má dve lineárne nezávislé riešenia a = c = f = 0, b = d = g = 1 a a = b = c = f = 1, d = −1, g = 0. Zostrojili sme teda tri lineárne nezávislé vektorové riešenia systému v zadaní príkladu. Fundamentálny systém riešení má preto tvar    e2t 0 e2t    ,    et et et    ,    (t + 1) et (t − 1) et t et    . Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády Príklad 6 Pre všeobecné riešenie systému potom na celom R platí x(t) = c1    e2t 0 e2t    + c2    et et et    + c3    (t + 1) et (t − 1) et t et    =    c1e2t + c2et + c3(t + 1) et c2et + c3(t − 1) et c1e2t + c2et + c3t et    , kde c1, c2, c3 ∈ R sú konštanty. Poznamenajme, že maticová funkcia X(t) =    e2t et (t + 1) et 0 et (t − 1) et e2t et t et    je fundamentálnou maticou systému v zadaní príkladu na celej reálnej osi R. Príklad 7 Uvažujme systém x′ =   1 −1 −1 1 1 0 3 0 1   x. Matica tohto systému má jednoduché reálne vlastné číslo 1 a dvojicu jednodu- Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády Príklad 7 chých nereálnych vlastných čísiel 1 ± 2i, nakoľko det(A − λI3) = −(λ − 1)(λ − 1 − 2i)(λ − 1 + 2i). Fundamentálny systém rovnice v zadaní príkladu je preto tvorený tromi lineárne nezávislými vektorovými riešeniami tvaru    a1et a2et a3et    ,    b1e(1+2i)t b2e(1+2i)t b3e(1+2i)t    ,    c1e(1−2i)t c2e(1−2i)t c3e(1−2i)t    , kde aj, bj , cj pre j = 1, 2, 3 sú vo všeobecnosti komplexné konštanty. Podobne ako v predchádzajúcom príklade zistíme pomocou metódy neurčitých koeficientov tri lineárne nezávislé riešenia    0 et −et    ,    2ie(1+2i)t e(1+2i)t 3e(1+2i)t    ,    −2ie(1−2i)t e(1−2i)t 3e(1−2i)t    . Získaný fundamentálny systém riešení je nereálny. Nahradením posledných dvoch nereálnych vektorových funkcií ich reálnymi a imaginárnymi časťami dostaneme reálny fundamentálny systém riešení tvaru Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády Príklad 7    0 et −et    ,    −2et sin 2t et cos 2t 3et cos 2t    ,    2et cos 2t et sin 2t 3et sin 2t    . Pri výpočte sme využili Eulerovu identitu e(1±2i)t = et (cos 2t ± i sin 2t), t ∈ R. Príslušná fundamentálna matica X systému v zadaní príkladu má potom tvar X(t) =     0 −2et cos 2t 2et cos 2t et et cos 2t et sin 2t −et 3et cos 2t 3et sin 2t     , t ∈ R. Napokon pre všeobecné riešenie daného systému platí x(t) =     −2c2et cos 2t + 2c3et cos 2t c1et + c2et cos 2t + c3et sin 2t −c1et + 3c2et cos 2t + 3c3et sin 2t     , t ∈ R, kde c1, c2, c3 ∈ R sú reálne konštanty. Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády Putzerov algoritmus V predchádzajúcich statiach sme pomocou pojmu exponenciála matice našli vo Vete 8 explicitné vyjadrenie fundamentálnej matice systému (50) v tvare X(t) = eAt C, t ∈ R, kde C ∈ Rn×n je ľubovoľná konštantná regulárna matica. Pomocou Jordanovho rozkladu matice (56) sme následne odvodili tvar všetkých riešení daného systému (formula (67) vo Vete 10). Tento poznatok nám umožňuje hľadať fundamentálne systémy riešení najprirodzenejším spôsobom, a to metódou neurčitých koeficientov, ktorú sme použili v Príkladoch 6–7. V nasledujúcom výklade ukážeme inú, oveľa efektívnejšiu metódu stanovenia fundamentálnej matice eAt , ktorá je založená na nájdení vhodného partikulárneho riešenia istej lineárnej diferenciálnej rovnice n-tého rádu s konštantnými koeficientami. Tento postup sa v literatúre obvykle označuje názvom Putzerov algoritmus. V dôkaze budeme využívať nasledujúci výsledok z lineárnej algebry. Veta 11 (Cayleyho–Hamiltonova) Každá matica M ∈ Cn×n je koreňom svojho charakteristického polynómu, t.j., ak p(λ) je charakteristický polynóm matice M, potom platí p(M) = On. Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády Veta 12 (Putzerov algoritmus) Nech funkcia p(λ) = λn + dn−1 λn−1 + · · · + d1 λ + d0 (68) je normovaný charakteristický polynóm konštantnej matice A a nech (skalárna) funkcia x je riešenie začiatočnej úlohy x(n) + dn−1 x(n−1) + · · · + d1 x′ + d0 x = 0, x(0) = x′(0) = · · · = x(n−2) = 0, x(n−1)(0) = 1.    (69) Definujme vektorovú funkciu y = (y1, . . . , yn) predpisom y(t) :=             d1 d2 d3 · · · dn−1 1 d2 d3 d4 · · · 1 0 ... ... ... · · · ... ... dn−1 1 0 · · · 0 0 1 0 0 · · · 0 0             ·             x(t) x′(t) ... x(n−2)(t) x(n−1)(t)             , t ∈ R. (70) Potom pre exponenciálu eAt platí formula eAt = y1(t) In + y2(t) A + · · · + yn(t) An−1 , t ∈ R. (71) Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády Dôkaz Vety 12. Podľa Vety 8 a vďaka jednoznačnosti riešení maticového systému (32) stačí ukázať, že n × n maticová funkcia X tvaru X(t) := y1(t) In + y2(0) A + · · · + yn(t) An−1 (72) spĺňa rovnosť X′ (t) = AX(t) na celom R a platí podmienka X(0) = In. Nech x je riešenie začiatočnej úlohy (69). Dokážeme, že funkcie yk, k = 1, . . . , n, definované v (70) spĺňajú rekurentné formuly y′ 1 + d0 yn = 0, y′ k+1 − yk + dk yn = 0, k = 1, . . . , n − 1. (73) V súlade s (70) máme yk = x(n−k) + n−1 j=k dj x(j−k) , k = 1, . . . , n. (74) Z tohto pre k = n máme yn = x(0) = x. Ďalej rovnosť (74) derivujeme, t.j., y′ k = x(n−k+1) + n−1 j=k dj x(j−k+1) , k = 1, . . . , n, (75) Z poslednej rovnosti pre index k = 1 máme Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády Dôkaz Vety 12 (pokračovanie). y′ 1 (75) = x(n) + n−1 j=1 dj x(j) (69) = −d0 x = −d0 yn, čo dokazuje prvú formulu v (73). V rovnosti (75) uvažujme index k + 1, t.j., y′ k+1 (75) = x(n−k) + n−1 j=k+1 dj x(j−k) , k = 1, . . . , n − 1 (76) Následne odčítame rovnicu (74) od rovnice (76) a dostaneme y′ k+1 − yk (76),(74) = n−1 j=k+1 dj x(j−k) − n−1 j=k dj x(j−k) = −dk x = −dk yn pre k = 1, . . . , n− 1, a tak je dokázaná i druhá formula v (73). Pristúpime teraz k vyšetrovaniu maticovej funkcie X v (72). Postupne platí X′ (t) − AX(t) (72) = n−1 k=0 y′ k+1(t) Ak − A n−1 k=0 yk+1(t) Ak (73) = −d0 yn(t) In + n−1 k=1 [yk(t) − dk yn(t)] Ak − n−1 k=0 yk+1(t) Ak+1 Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády Dôkaz Vety 12 (pokračovanie). V druhej sume poslednej rovnosti posunieme indexáciu k + 1 → k a dostaneme X′ (t) − AX(t) = −d0 yn(t) In + n−1 k=1 [yk(t) − dk yn(t)] Ak − n k=1 yk(t) Ak = −d0 yn(t) In − n−1 k=1 dk yn(t) Ak − yn(t) An = −yn(t) An + n−1 k=0 dk Ak = On, t ∈ R, kde posledná rovnosť vyplýva z Cayleyho–Hamiltonovej Vety 11. Dokázali sme teda, že maticová funkcia X v (72) je skutočne riešením rovnice (32). Napokon X(0) (72) = y1(0) In + y2(0) A + · · · + yn(0) An−1 = y1(0) In = In, pretože v súlade s (74) a začiatočnými podmienkami v (69) platí y1(0) = 1 a yj (0) = 0 pre každý index j = 2, . . . , n. Podľa diskusie na začiatku dôkazu teda platí X(t) = eAt pre každé t ∈ R a formula (71) je dokázaná. Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády Príklad 8 Stanovme riešenie začiatočnej úlohy x′ =   3 0 −1 2 2 −1 2 0 0   x, x(0) =   2 1 2   . Úlohu vyriešime pomocou Putzerovho algoritmu vo Vete 12. Normovaný charakteristický polynóm odpovedajúcej matice systému má tvar det(A − λI3) = −λ3 + 5λ2 − 8λ + 4, teda λ3 − 5λ2 + 8λ − 4. Nájdeme riešenie začiatočnej úlohy z′′′ − 5z′′ + 8z′ − 4z = 0, z(0) = 0 = z′ (0), z′′ (0) = 1. Štandarným postupom zistíme, že z(t) = et + e2t (t − 1), z′ (t) = et + e2t (2t − 1), z′′ (t) = et + 4e2t t, t ∈ R Vektorová funkcia y v (70) má potom tvar y(t) =   8 −5 1 −5 1 0 1 0 0   ·    z(t) z′(t) z′′(t)    =    4et + e2t(2t − 3) −4et + e2t(4 − 3t) et + e2t(t − 1)    , t ∈ R. Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády Príklad 8 Aplikovaním formuly (71) vypočítame exponenciálu eAt . Platí A =   3 0 −1 2 2 −1 2 0 0   , A2 =   7 0 −3 8 4 −4 6 0 −2   , a tak postupnými výpočtami dostaneme eAt (71) = y1(t) I3 + y2(t) A + y2(t) A2 =     2e2t − et 0 et − e2t 2e2tt e2t −e2tt 2e2t − 2et 0 2et − e2t     , t ∈ R. Pre hľadané riešenie začiatočnej úlohy v zadaní príkladu potom platí x(t) = eAt x(0) = eAt   2 1 2   =     2e2t − et 0 et − e2t 2e2tt e2t −e2tt 2e2t − 2et 0 2et − e2t         2 1 2     =     2e2t e2t(2t + 1) 2e2t     , t ∈ R. Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády V praktických úlohách sa často používa i ďalšia verzia Putzerovho algoritmu. Veta 13 (Putzerov algoritmus) Nech A ∈ Rn×n je daná matica a λ1, . . . , λn systém všetkých jej (nie nutne rôznych) vlastných čísiel. Potom exponenciála eAt spĺňa formula eAt = n−1 k=0 pk+1(t) Mk, t ∈ R, (77) kde n × n matice Mk, k = 0, . . . , n − 1, sú definované predpisom M0 := In, Mk := k j=1 (A − λj In), k = 1, . . . , n, (78) a vektorová funkcia p = (p1, . . . , pn) je riešením začiatočnej úlohy p′ =             λ1 0 0 · · · 0 0 1 λ2 0 · · · 0 0 ... ... ... · · · ... ... 0 0 0 · · · λn−1 0 0 0 0 · · · 1 λn             p, p(0) =             1 0 ... 0 0             . (79) Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády Metóda (zovšeobecnených) vlastných vektorov V nasledujúcich statiach prednášky predstavíme iný spôsob konštrukcie lineárne nezávislých vektorových riešení systému (50). Veta 14 Nech λ ∈ C nejaké vlastné číslo danej matice A ∈ Rn×n . Nech v1, . . . , vp ∈ Cn je nejaký súbor lineárne nezávislých vektorov, ktoré odpovedajú vlastnému číslu λ. Potom vektorové funkcie xj (t) := eλt vj , j = 1, . . . , p, (80) sú lineárne nezávislé riešenia systému (50) na celej reálnej osi R. Ďalej, ak ˜λ ∈ C je nejaké ďalšie vlastné číslo matice A rôzne od λ a ˜v1, . . . , ˜vr ∈ Cn je nejaký súbor lineárne nezávislých vektorov, ktoré odpovedajú vlastnému číslu ˜λ, potom funkcie eλt vj , j = 1, . . . , p, e ˜λt ˜vj , j = 1, . . . , r, sú lineárne nezávislé. (81) Dôkaze Vety 14. Fakt, že pre každé vlastné číslo λ a každý odpovedajúci vlastný vektor v matice A je vektorová funkcia x(t) := eλt v riešením systému (50), vyplýva z výpočtu Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády Dôkaze Vety 14 (pokračovanie). x′ (t) = eλt v ′ = eλt λ v = eλt Av = A eλt v = Ax(t), t ∈ R. Lineárna nezávisloť funkcií xj, j = 1, . . . , p, v (80) je v súlade s Vetou 3 ekvivalentná s lineárnou nezávislosťou vektorov xj(0) = vj, j = 1, . . . , p. Analogickou úvahou sa zdôvodní lineárna nezávislosť súboru funkcií (81). Pripomeňme, že násobnosť vlastného čísla λ matice A ako koreňa charakteristického polynómu sa nazýva algebraická násobnosť a označuje sa m(λ). Maximálny počet lineárne nezávislých vlastných vektorov matice A, ktoré odpovedajú vlastnému číslu λ, sa označuje ako geometrická násobnosť vlastného čísla λ a označuje sa p(λ) . Vo všeobecnosti zrejme platí nerovnosť 1 ≤ p(λ) ≤ m(λ). Ak p(λ) < m(λ), vlastné číslo λ sa označuje ako defektné. V opačnom prípade, t.j., ak p(λ) = m(λ), hovoríme o nedefektnom vlastnom čísle λ. Dodajme, že ak λ1, . . . , λr sú všetky rôzne vlastné čísla matice A, potom platí m(λ1) + · · · + m(λr) = n. Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády Hľadanie fundamentálneho systému riešení systému (50), ktorého matica A má iba nedefektné vlastné čísla, sa teda redukuje na zisťovanie všetkých lineárne nezávislých vlastných vektorov matice A. Ich počet je v tomto prípade práve n. Príklad 9 Nájdime všeobecné riešenie systému x′ = 1 −2 −1 2 x. Matica A systému má dve jednoduché vlastné čísla λ1 = 0 a λ2 = 3, pretože det(A − λI) = λ(λ − 3). Číslu λ1 = 0 odpovedá jeden lineárne nezávislý vlastný vektor v1 = (2, 1)T , a následne i jedno lineárne nezávislé riešenie tvaru e0t (2, 1)T = (2, 1)T . Podobne, vlastnému číslu λ2 = 3 odpovedá jeden lineárne nezávislý vlastný vektor v2 = (1, −1)T a lineárne nezávislé riešenie tvaru e3t (1, −1)T = (e3t , −e3t )T . Všeobecné riešenie systému v zadaní príkladu má potom tvar x(t) = c1 2 1 + c2 e3t −e3t = 2c1 + c2e3t c1 − c2e3t , t ∈ R. Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády Zovšeobecnené vlastné vektory Ak matica A má aspoň jedno defektné vlastné číslo, potom maximálny počet jej lineáne nezávislých vlastných vektorov je menší než n. Postupom použitým v predchádzajúcom Príklade 9 teda nezískame úplný fundamentálny systém riešení systému (50). Chýbajúce lineárne nezávislé riešenia zostrojíme pomocou tzv. zovšeobecnených vlastných vektorov matice A. Definícia 3 (Zovšeobecnený vlastný vektor) Nech A je štvorcová komplexná matica rádu n a nech λ ∈ C je nejaké jej vlastné číslo. Pre dané r ∈ N sa vektor vr ∈ Cn \ {0} nazýva zovšeobecnený vlastný vektor rádu r matice A, ktorý prislúcha vlastnému číslu λ, ak platí (A − λIn)r vr = 0 a súčasne (A − λIn)r−1 vr = 0. (82) Ak vr je zovšeobecnený vlastný vektor rádu r matice A prislúchajúci vlastnému číslu λ, potom konečná postupnosť vektorov v1, . . . , vr definovaných vj := (A − λIn)r−j vr, j = 1, . . . , r, (83) sa nazýva reťazec rádu r zovšeobecnených vlastných vektorov matice A, ktorý je generovaný vektorom vr. Každý vektor vp = (A − λI)r−p vr, 1 ≤ p ≤ r, kto- Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády rý je obsiahnutý v tomto reťazci, je v súlade s Definíciou 3 zovšeobecnený vlastný vektor rádu p matice A prislúchajúci vlastnému číslu λ, nakoľko platí (A − λIn)p vp = (A − λIn)p (A − λIn)r−p vr = (A − λIn)r vr (82) = 0, (A − λIn)p−1 vp = (A − λIn)p−1 (A − λIn)r−p vr = (A − λIn)r−1 vr (82) = 0. Postupnosť v1, . . . , vp je potom (pod)reťazec rádu p zovšeobecnených vlastných vektorov generovaný vektorom vp. Lema 3 Systém vektorov v1, . . . , vr definovaný v (83) je lineárne nezávislý. Inými slovami, každý reťazec zovšeobecnených vlastných vektorov matice A, ktorý prislúcha nejakému jej vlastnému číslu λ, je tvorený lineárne nezávislými vektormi. Dôkaz Lemy 3. Nech c1, . . . , cr ∈ C je r-tica čísiel, pre ktorú platí c1v1 + · · · + crvr = 0. (84) Každý vektor vj , j = 1, . . . , r, je zovšeobecnený vlastný vektor rádu j, t.j., Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády Dôkaz Lemy 3 (pokračovanie). (A − λIn)j−1 vj = 0, (A − λIn)k vj = 0 pre každý index k ≥ j, (85) v súlade s (82) v Definícii 3. To znamená, že ak rovnosť (84) vynásobíme maticou (A−λIn)r−1 zľava, dostaneme cr(A−λIn)r−1 vr = 0, a teda cr = 0. Podobne, ak rovnosť (84) vynásobíme maticou (A − λIn)r−2 zľava, potom podľa (85) a s prihliadnutím, že cr = 0, získame cr−1(A − λIn)r−2 vr−1 = 0, t.j., cr−1 = 0. Takýmto spôsobom postupne ukážeme, že čísla cj = 0 pre každé j = 1, . . . , r. Vektory v1, . . . , vr sú teda skutočne lineárne nezávislé a dôkaz je hotový. Nasledujúce tvrdenie poukazuje na význam zovšeobecnených vlastných vektorov pri hľadaní lineárne nezávislých vektorových riešení systému (50). Veta 15 Ak v1, . . . , vr je nejaký reťazec rádu r zovšeobecnených vlastných vektorov matice A, ktorý prislúcha vlastnému číslu λ, potom vektorové funkcie xj(t) := eλt j−1 k=0 tk k! vj−k, j = 1, . . . , r (86) sú lineárne nezávislé riešenia systému (50) na celom R. Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády Dôkaz Vety 15. V súlade s (83) vektory v1, . . . , vr spĺňajú relácie vl = (A − λIn) vl+1, t.j., Avl+1 = λvl+1 + vl pre každé l = 1, . . . , r − 1. (87) Zvoľme nejaké j = 1, . . . , r. Dokážeme, že funkcia xj definovaná v (86) je vektorovým riešením systému (50) na R. Skutočne, pre každé t ∈ R platí x′ j (t) − Axj(t) (86) =  eλt j−1 k=0 tk k! vj−k   ′ − Aeλt j−1 k=0 tk k! vj−k = λeλt j−1 k=0 tk k! vj−k + eλt j−1 k=1 tk−1 (k − 1)! vj−k − eλt j−1 k=0 tk k! Avj−k = −eλt j−1 k=0 tk k! (Avj−k − λvj−k) + eλt j−1 k=1 tk−1 (k − 1)! vj−k (87) = −eλt j−2 k=0 tk k! vj−k−1 + eλt j−2 l=0 tl l! vj−l−1 = 0. Naviac, funkcie xj, j = 1, . . . , r sú lineárne nezávislé. Vyplýva to z Vety 3 a z toho, že vektory xj (0) = vj , j = 1, . . . , r sú podľa Lemy 3 lineárne nezávislé. Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády Weyrova teória charakteristických čísiel Nech A je štvorcová matica rádu n a nech λ ∈ C je nejaké jej vlastné číslo matice s algebraickou násobnosťou m(λ). V kontexte Vety 15 budeme analyzovať všetky možné reťazce zovšeobecnených vlastných vektorov matice A, ktoré odpovedajú danému vlastnému číslu λ. Nech {v [j] 1 , . . . , v[j] rj }, j = 1, . . . , q, (88) je nejaký súbor takýchto reťazcov. Položme R := max{r1, . . . , rq}. Hovoríme, že reťazce v (88) sú disjunktné, ak pre každý index k ∈ {1, . . . , R} je systém všetkých možných vektorov v [1] k , v [2] k , v [3] k , . . . , v [q−1] k , v [q] k (89) lineárne nezávislý. V súlade s Definíciou 3 a s konštrukciou reťazca zovšeobecnených vlastných vetorov nie je ťažké si premyslieť, že reťazce v (88) sú disjunktné práve vtedy, keď vektory v [1] 1 , . . . , v [q] 1 sú lineárne nezávislé. V nasledujúcich statiach budeme pracovať s maticami (A − λIn)l , hl := rank (A − λIn)l , l ∈ N0 (90) Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády Zrejme platia inklúzie Ker (A − λIn)k ⊆ Ker (A − λIn)l pre každé k ≤ l. (91) Výrazom defekt (nulita) matice budeme označovať dimenziu jadra matice, pričom v našom kontexte budeme písať νl := def (A − λIn)l := dim Ker (A − λIn)l , l ∈ N0. (92) Z lineárnej algebry vieme, že platí rovnosť hl + νl = n, t.j., νl = n − hl, l ∈ N0. Veta 16 Pre dané vlastné číslo λ matice A existuje najmenšie L ∈ N s vlastnosťou 0 = ν0 < ν1 < ν2 < · · · < νL−1 < νL a νl = νL pre každé l ≥ L. (93) Naviac, platí νL = m(λ), kde m(λ) je algebraická násobnosť vlastného čísla λ. Dôkaz Vety 16. Tvrdenie dokážeme pomocou Jordanovho kanonického rozkladu matice A vo Vete 9. Nech P je odpovedajúca transformačná matica a Q = P−1 AP je blokovo diagonálna Jordanova matica v (58). Keďže pre každé l ∈ N0 platí Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády Dôkaz Vety 16 (pokračovanie). P −1 (A − λIn)P = Q − λIn, P −1 (A − λIn)l P = (Q − λIn)l , def (A − λIn)l = def [P −1 (A − λIn)l P ] = def (Q − λIn)l , budeme vyšetrovať matice (Q − λIn)l , l ∈ N0. V súlade s (58) máme (Q − λIn)l (58) =    (J1 − λIq1 )l · · · O . .. ... . .. O · · · (Jm − λIqm )l    , (94) a následne def (Q − λIn)l = m j=1 def (Jj − λIqj )l pre každé l ∈ N0. (95) Podľa (57) môžu nastať pre každé j = 1, . . . , m dve možnosti, a to (Jj − λIqj )l = (λj − λ)l (96) alebo Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády Dôkaz Vety 16 (pokračovanie). (Jj − λIqj )l =                   (λj − λ)l 0 0 · · · 1 · · · 0 . .. ... . .. . .. . .. ... . .. . .. . .. ... . .. . .. . .. 1 .. . .. . .. . ... .. . .. . .. . ... ... ... ... ... ... 0 ... ... ... ... ... ... 0 0 0 0 · · · · · · · · · (λj − λ)l                   , (97) Následne pre každý index j = 1, . . . , m platí def (Jj − λIqj )l =    0, λj = λ,    1, pre (96), qj, pre (97) s l ≥ qj, l pre (97) s l < qj,    , λj = λ. (98) Uvážiac (98) a (95) pre def (Q − λIn)l , l ∈ N, dostaneme Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády Dôkaz Vety 16 (pokračovanie). def (Q − λIn)l (95),(98) = m(λ) − (qj − l), kde v poslednej sume sčítavame cez všetky bloky s vlastným číslom λ a s qj > l. Ak položíme L := max{qj, qj sú rozmery blokov v (58) s vlastným číslom λ}, (99) potom zrejme def (Q − λIn)L = m(λ) a podľa (98) je číslo L najmenšie s touto vlastnosťou. Naviac máme def (Q − λIn)l = m(λ) pre každé l ≥ L. Platia teda relácie v (93) a dôkaz je kompletný. Definícia 4 (Weyrove charakteristiky) Pre dané vlastné číslo λ matice A sa prirodzené čísla σl := νl − νl−1, l = 1, . . . , L, (100) označujú ako Weyrove charakteristické čísla (charakteristiky) matice A, ktoré prislúchajú vlastnému číslu λ. Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády Lema 4 Pre dané vlastné číslo λ matice A platí rovnosť def (A − λIn)l − def (A − λIn)l−1 = dim Im (A − λIn)l−1 ∩ Ker (A − λIn) pre každé l = 1, . . . , L. Obzvlášť, Weyrove charakteristiky σl spĺňajú σl = dim Im (A − λIn)l−1 ∩ Ker (A − λIn) , l = 1, . . . , L. (101) Veta 17 Pre dané vlastné číslo λ matice A je hodnota L definovaná v (99) dĺžka najdlhšieho reťazca zovšeobecnených vlastných vektorov matice A, ktorý odpovedá vlastnému číslu λ. Pre každé l = 1, . . . , L je maximálny počet disjunktných reťazcov zovšeobecnených vlastných vektorov dĺžky l rovný hodnote σl. Dôkaz Vety 17. Prvá časť tvrdenia vyplýva z kombinácie relácií (82) v Definícii 3 a (93) vo Vete 16, nakoľko platia rovnosti Ker (A − λIn)l (93) = Ker (A − λIn)L pre každé l ≥ L. Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády Dôkaz Vety 17 (pokračovanie). Dokážeme druhú časť tvrdenia. Zrejme postupnosť podpriestorov Im (A − λIn)l−1 ∩ Ker (A − λIn) ∞ l=1 je vzhľadom na množinovú inklúziu nerastúca a Im (A − λIn)l−1 ∩ Ker (A − λIn) ⊆ Ker (A − λIn) pre každé l = 1, . . . , L. (102) V súlade s (101) potom pre Weyrove charakteristiky σl platí nerovnosť σl ≤ σl−1, l = 1, . . . , L. (103) Zvoľme pevne index l = 1, . . . , L. V zhode s (102) môžeme zostrojiť istú usporiadanú bázu podpriestoru Ker (A − λIn). Konkrétne, nech {v1,1, . . . , v1,σl } je báza podpriestoru Im (A − λIn)l−1 ∩ Ker (A − λIn). (104) Systém bázických vektorov v (104) môžeme doplniť na bázu podpriestoru Im (A − λIn)l−2 ∩ Ker (A − λIn), t.j., {v1,1, . . . , v1,σl | v1,σl+1, . . . , v1,σl−1 } je báza podpriestoru Im (A − λIn)l−2 ∩ Ker (A − λIn). Analogickým spôsobom pokračujeme ďalej až kým nezískame kompletnú bázu podpriestoru Ker (A − λIn), konkrétne, Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády Dôkaz Vety 17 (pokračovanie). {v1,1, . . . , v1,σl | v1,σl+1, . . . , v1,σl−1 | · · · | v1,σ3+1, . . . , v1,σ2 | v1,σ2+1, . . . , v1,σ1 } je báza podpriestoru Ker (A − λIn). Bázické vektory v1,1, . . . , v1,σl sú generované lineárne nezávislými zovšeobecnenými vlastnými vektormi rádu l. Skutočne, podľa (104) existuje σl nenulových vektorov w1, . . . , wσl ∈ Rn s vlastnosťou v1,j = (A − λIn)l−1 wj = 0, (A − λIn)l wj = (A − λIn) v1,j = 0, j = 1, . . . , σl. Podľa Definície 3 je každé wj , j = 1, . . . , σl, zovšeobecnený vlastný vektor rádu l. Naviac, jedná sa o lineárne nezávislú skupinu vektorov, pričom odpovedajúce reťazce generované vektormi wj , j = 1, . . . , σl, sú v súlade s diskusiou pred Vetou 16 disjunktné. Takže počet takýchto reťazcov je aspoň σl. Na druhej strane, vektory s indexom 1 každého súboru disjunktných reťazcov zovšeobecnených vlastných vektorov rádu l ležia podľa (83) a Definície 3 v podpriestore Im (A − λIn)l−1 ∩ Ker (A − λIn). A keďže takéto vektory sú lineárne nezávislé, nutne počet uvažovaných reťazcov musí byť najviac σl. Z toho potom dostávame, že maximálny počet disjunktných reťazcov zovšeobecnených vlastných vektorov dĺžky l je práve σl. Dôkaz vety je teraz kompletný. Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády Poznámka 7 (Weyrova tabuľka zovšeobecnených vlastných vektorov) Z dôkazu Vety 17 vyplýva, že bázické vektory v1,1, . . . , v1,σl−1 sú generované lineárne nezávislými zovšeobecnenými vlastnými vektormi rádu l−1. Maximálny počet disjunktných reťazcov zovšeobecnených vlastných vektorov dĺžky l−1 je v súlade s Vetou 17 práve σl−1 – sú to jednak podreťazce reťazcov dĺžky l (v počte σl), a jednak reťazce obsahujúce bázické vektory v1,σl+1, . . . , v1,σl−1 (v počte σl−1 − σl). V tomto kontexte je prirodzené a užitočné zostaviť tzv. Weyrovu tabuľku zovšeobecnených vlastných vektorov matice A pre dané vlastné číslo λ, viz (105). Stĺpce predstavujú reťazce zovšeobecnených vlastných vektorov, kým riadky obsahujú zovšeobecnené vlastné vektory daného rádu. Podľa dôkazu Vety 17 sú všetky vektory v (105) lineárne nezávislé a ich celkový počet je σ1 + σ2 + · · · + σl−1 + σl (100) = νl − ν0 = νl. v1,1 · · · v1,σl · · · v1,σl−1 · · · v1,σ2 · · · v1,σ1 v2,1 · · · v2,σl · · · v2,σl−1 · · · v2,σ2 ... ... ... ... ... vl−1,1 · · · vl−1,σl · · · vl−1,σl−1 vl,1 · · · vl,σl (105) Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády Doplňme, že ak vo Weyrovej tabuľke (105) je vektor w bezprostredne nad vektorom v, potom platí w = (A−λIn) v. Preto pri jej zostavovaní je výhodné určiť najprv najspodnejšie vektory v každom stĺpci a potom postupným násobením týchto vektorov mocninami matice A − λIn získame ostatné vektory tabuľky. V prípade maximálneho indexu l = L sa systém zovšeobecnených vlastných vektorov v danej Weyrovej tabuľke označuje ako Weyrova normálna sústava vektorov, ktorá prislúcha vlastnému číslu λ matice A. Tento systém v súlade s Poznámkou 7 a Vetou 16 obsahuje práve νL = m(λ) vektorov. Veta 18 Nech A je štvorcová matica rádu n a λ ∈ C je jej vlastné číslo s algebraickou násobnosťou m(λ). Potom existuje práve m(λ) lineárne nezávislých zovšeobecnených vlastných vektorov matice A, ktoré prislúchajú vlastnému číslu λ. Tieto vektory sa dajú rozdeliť do σ1 = ν1 = def (A − λIn) disjunktných reťazcov. Napokon dodajme, že Weyrova normálna sústava zovšeobecnených vlastných vektorov matice A, ktorá odpovedá danému vlastnému číslu λ, nie je určená jednoznačne. V kontexte Vety 15 však pri konštrukcii fundamentálneho systému riešení rovnice (50) nezáleží na jej konkrétnom výbere. Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády Príklad 10 Stanovme fundamentálnu maticu systému x′ =     4 0 1 0 2 2 3 0 −1 0 2 0 4 0 1 2     x. Daná matica A má dve dvojnásobné vlastné čísla λ1 = 3 a λ2 = 2, nakoľko det(A − λI4) = (λ − 3)2 (λ − 2)2 . Pre vlastné číslo λ1 = 3 je teda m(λ1) = 2 a hľadaná konštantná nulita νL v (93) je νL = 2. Platí ν0 = 0. Ďalej máme A − 3I4 =     1 0 1 0 2 −1 3 0 −1 0 −1 0 4 0 1 −1     , (A − 3I4)2 =     0 0 0 0 −3 1 −4 0 0 0 0 0 −1 0 2 1     . Máme ν1 = 1 a ν2 = 2, a tak index L vo Vete 16 má hodnotu L = 2. Platí ν0 = 0 < ν1 = 1 < ν2 = 2, a tak v súlade s Definíciou 4 máme dve Weyrove charakteristiky, konkrétne Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády Príklad 10 σ1 = ν1 − ν0 = 1 a σ2 = ν2 − ν1 = 1. Weyrova tabuľka (105) zovšeobecnených vlastných vektorov pre vlastné číslo λ1 = 3 má teda L = 2 riadky, pričom v prvom riadku bude σ1 = 1 vektor a v druhom riadku bude σ2 = 1 vektor, t.j., v1,1 v2,1 Vektor v2,1 je zovšeobecnený vlastný vektor rádu 2, a tak spĺňa (A−3I4)2 v2,1 = 0 a (A − 3I4) v2,1 = 0. Teda napríklad v2,1 = (0, 4, 1, −2)T . Pre vektor v1,1 potom platí v1,1 = (A − 3I4) v2,1, teda v1,1 = (1, −1, −1, 3)T . Je to štandardný vlastný vektor. Vlastnému číslu λ1 teda v súlade s Vetou 15 odpovedajú dve lineárne nezávislé vektorové riešenia x1(t) = eλ1t v1,1 =        e3t −e3t −e3t 3e3t        , x2(t) = eλ1t (v2,1 + tv1,1) =        e3tt −e3t(t − 4) −e3t(t − 1) e3t(3t − 2)        . Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády Príklad 10 Podobne pre vlastné číslo λ2 = 2 je m(λ2) = 2 a hľadaná konštantná nulita νL = 2. Ďalej máme ν0 = 0 a A − 2I4 =     2 0 1 0 2 0 3 0 −1 0 0 0 4 0 1 0     . Platí ν1 = 2, a teda index L = 1. Príslušná postupnosť nulít je ν0 = 0 < ν1 = 2, ktorá dáva jednu Weyrovu charakteristiku σ1 = ν1 − ν0 = 2. Weyrova tabuľka (105) pre vlastné číslo λ2 = 2 má teda L = 1 riadok s σ1 = 2 vektormi v1,1 v1,2 Vektory v1,1 a v1,2 sú lineárne nezávislé zovšeobecnené vlastné vektory rádu 1, t.j., klasické vlastné vektory odpovedajúce vlastnému číslu λ2 = 2. Podľa (82) v Definícii 3 spĺňajú podmienky (A − 2I4) v1,1 = 0 = (A − 2I4) v1,2 a v1,1 = 0, v1,2 = 0. Výpočtom napríklad dostaneme v1,1 = (0, 1, 0, 0)T , v1,2 = (0, 0, 0, 1)T . Vlastnému číslu λ2 teda odpovedajú dve lineárne nezávislé vektorové riešenia Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády Príklad 10 x3(t) = eλ2t v1,1 =        0 e2t 0 0        , x4(t) = eλ2t v1,2 =        0 0 0 e2t        . Napokon fundamentálna matica systému v zadaní príkladu má tvar X(t) = (x1(t), x2(t), x3(t), x4(t)) =        e3t e3tt 0 0 −e3t −e3t(t − 4) e2t 0 −e3t −e3t(t − 1) 0 0 3e3t e3t(3t − 2) 0 e2t        . Príklad 11 Nájdime fundamentálnu maticu systému x′ =   4 −1 0 3 1 −1 1 0 1   x. Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády Príklad 11 Daná matica A má jedno trojnásobné vlastné číslo λ = 2, nakoľko det(A − λI3) = −(λ − 2)3 . Teda m(λ) = 3 a konštantná nulita je νL = 3. Ďalej ν0 = 0 a máme A − 2I3 =   2 −1 0 3 −1 −1 1 0 −1   , (A − 2I3)2 =   1 −1 1 2 −2 2 1 −1 1   , (A − 2I3)3 = O3. Platí ν1 = 1, ν2 = 2, ν3 = 2, a teda index L = 3. Príslušná postupnosť nulít je ν0 = 0 < ν1 = 1 < ν2 = 2 < ν3 = 3, ktorá dáva tri Weyrove charakteristiky σ1 = 1, σ2 = 1 a σ3 = 1. Weyrova tabuľka (105) teda má L = 3 riadky, pričom v každom z nich bude jeden vektor v1,1 v2,1 v3,1 Vektor v3,1 je zovšeobecnený vlastný vektor rádu 3. Podľa (82) v Definícii 3 spĺňa (A − 2I3)3 v3,1 = 0 a (A − 2I3)2 v3,1 = 0, teda napríklad v3,1 = (0, 0, 1)T . Pre vektor v2,1 potom platí v2,1 = (A − 2I3) v3,1, teda v2,1 = (0, −1, −1)T , a pre vektor v1,1 platí v1,1 = (A − 2I3)2 v3,1, teda v1,1 = (1, 2, 1)T . Vlastnému Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády Príklad 11 číslu λ = 2 odpovedajú tri lineárne nezávislé vektorové riešenia x1(t) = eλt v1,1 =      e2t 2e2t e2t      , x2(t) = eλt (v2,1 + tv1,1) =      e2tt e2t(2t − 1) e2t(t − 1)      , x3(t) = eλt v3,1 + tv2,1 + t2 2 v1,1 =       e2t t2 2 e2t(t2 − t) e2t t2 2 − t + 1       . Fundamentálna matica systému v zadaní príkladu má potom tvar X(t) = (x1(t), x2(t), x3(t)) =       e2t e2tt e2t t2 2 2e2t e2t(2t − 1) e2t(t2 − t) e2t e2t(t − 1) e2t t2 2 − t + 1       . Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády Príklad 12 Určme fundamentálnu maticu systému x′ =   2 −1 −1 2 −1 −2 −1 1 2   x. Daná matica A má jedno trojnásobné vlastné číslo λ = 1, keďže det(A − λI3) = −(λ − 1)3 . Teda m(λ) = 3 a konštantná nulita νL je νL = 3. Platí ν0 = 0 a máme A − I3 =   1 −1 −1 2 −2 −2 −1 1 1   , (A − I3)2 = 0. Platí ν1 = 2 a ν2 = 3, a teda index L = 2. Príslušná postupnosť nulít je ν0 = 0 < ν1 = 2 < ν2 = 3, ktorá dáva dve Weyrove charakteristiky σ1 = 2 a σ2 = 1. Weyrova tabuľka (105) zovšeobecnených vlastných vektorov má teda L = 2 riadky, pričom v prvom riadku budú σ1 = 2 vektory a v druhom riadku bude σ2 = 1 vektor Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády Príklad 12 v1,1 v1,2 v2,1 Vektor v2,1 je zovšeobecnený vlastný vektor rádu 2. Podľa (82) v Definícii 3 spĺňa (A − I3)2 v2,1 = 0, (A − I3) v2,1 = 0, teda napríklad v2,1 = (1, 1, −1)T . Pre vektor v1,1 potom platí v1,1 = (A−I3) v2,1, teda v1,1 = (1, 2, −1)T . Vektor v1,2 je klasický vlastný vektor, ktorý je lineárne nezávislý s vektorom v1,1. Platí (A − I3) v1,2 = 0, teda napríklad v1,2 = (0, 1, −1)T . Takže máme tri riešenia x1(t) = eλt v1,1 =    et 2et −et    , x2(t) = eλt (v2,1 + tv1,1) =    et(t + 1) et(2t + 1) −et(t + 1)    , x3(t) = eλt v1,2 =    0 et −et    . Príslušná fundamentálna matica systému v zadaní príkladu má potom tvar X(t) = (x1(t), x2(t), x3(t)) =     et et(t + 1) 0 2et et(2t + 1) et −et −et(t + 1) −et     . Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády Obsah 1 Lineárny systém 2 Homogénny systém rovníc 3 Nehomogénny systém rovníc 4 Systémy s konštatnými koeficientami 5 Lineárne diferenciálne rovnice vyšších rádov Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády Lineárna diferenciálna rovnica n-tého rádu Nech n ∈ N je dané prirodzené číslo. Diferenciálna rovnica y(n) + pn−1(t) y(n−1) + · · · + p1(t) y′ + p0(t) y = f(t), (106) kde f a pk, k = 0, . . . , n − 1, sú reálne skalárne funkcie definované a spojité na danom intervale I ⊆ R, sa nazýva lineárna diferenciálna rovnica n-tého rádu. Ak funkcia f ≡ 0 na celom intervale I, hovoríme o homogénnej lineárnej diferenciálnej rovnici n-tého rádu, t.j., y(n) + pn−1(t) y(n−1) + · · · + p1(t) y′ + p0(t) y = 0. (107) V opačnom prípade sa jedná o nehomogénnu rovnicu. Ľavá strana rovnice (106) sa často označuje výrazom Ly, kde L : Cn (I) → C(I) je lineárny diferenciálny operátor n-tého rádu. Úplným riešením rovnice Ly = f(t) na intervale I rozumieme funkciu ψ ∈ Cn (I), ktorá identicky spĺňa rovnicu (106) na intervale I. Začiatočnou (Cauchyho) úlohou (problémom) sa označuje systém podmienok Ly = f(t), y(t0) = η1, y′ (t0) = η2, . . . , y(n−1) (t0) = ηn, (108) kde t0 ∈ I je daný bod a η1, . . . , ηn ∈ R sú dané reálne konštanty. Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády Veta 19 (Prevod na lineárny systém) Nech I ⊆ R je daný interval a t0 ∈ I daný bod. Nech funkcia ψ je (úplné) riešenie začiatočnej úlohy (108) na intervale I. Položme ϕ1(t) := ψ(t), ϕ2(t) = ψ′ (t), . . . , ϕn(t) := ψ(n−1) (t), t ∈ I. (109) Potom vektorová funkcia ϕ := (ϕ1, . . . , ϕn)T je (úplným) riešením začiatočnej úlohy (3) na I s maticovou funkciou A a vektorovou funkciou b tvaru A(t) :=             0 1 0 · · · 0 0 0 1 · · · 0 ... ... ... · · · ... 0 0 0 · · · 1 −p0(t) −p1(t) −p2(t) · · · −pn−1(t)             , b(t) :=             0 0 ... 0 f(t)             , (110) ktoré spĺňa začiatočnú podmienku ϕ(t0) = η := (η1, . . . , ηn)T . Naopak, pre každé (úplné) riešenie ϕ = (ϕ1, . . . , ϕn)T systému (110) na I, ktoré spĺňa začiatočnú podmienku ϕ(t0) = η = (η1, . . . , ηn)T , je jeho prvá zložka ϕ1 (úplným) riešením začiatočnej úlohy (108) na celom I. Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády Existencia a jednoznačnosť riešení rovnice Veta 20 (Existencia a jednoznačnosť riešení) Nech I ⊆ R je daný interval, t0 ∈ I daný bod a η1, . . . , ηn ∈ R dané konštanty. Nech f a pk, k = 0, . . . , n − 1, sú reálne funkcie definované a spojité na I. Potom začiatočná úloha (108) má práve jedno úplné riešenie na celom I. Príklad 13 Uvažujme lineárnu diferenciálnu rovnicu druhého rádu na intervale I = (e, ∞) a začiatočné podmienky y′′ + 1 t(1 − ln t) y′ − 1 t2(1 − ln t) y = 2 − ln t t(1 − ln t) , y e2 = e2 , y′ e2 = 2. Keďže koeficienty a pravá strana rovnice sú funkcie spojité na intervale I, podľa Vety 20 má daná začiatočná úloha práve jedno úplné riešenie definované na celom intervale I. Dá sa ukázať, že toto riešenie má tvar y(t) = t ln t − t, t ∈ (e, ∞). Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády Vďaka pozorovaniu vo Vete 19, ktoré umožňuje previesť lineárnu rovnicu (106) na lineárny systém (110), majú riešenia rovnice (106) podobné vlastnosti ako vektorové riešenia systému (2). Obvzlášť, platia nasledujúce tvrdenia. (i) Množina riešení homogénnej rovnice (107) vytvára lineárny priestor s dimenziou n. Inými slovami, všeobecné riešenie rovnice (107) má tvar y = c1y1 + · · · + cnyn, c1, . . . , cn ∈ R, (111) kde y1, . . . , yn je ľubovoľná n-tica lineárne nezávislých riešení rovnice (107). Funkcie y1, . . . , yn predstavujú fundamentálny systém riešení rovnice (107). (ii) Všeobecné riešenie nehomogénnej rovnice (106) má tvar y = yH + yP , (112) kde yH je všeobecné riešenie homogénnej rovnice (107) a yP je nejaké partikulárne riešenie rovnice (106). Tvrdenie (i) nás stavia pred problém zisťovania lineárnej závislosti/nezávislosti skalárnych funkcií, ktoré majú na danom intervale spojité všetky derivácie až do rádu n − 1 vrátane. Tvrdenie (ii) zase ukazuje, že je nutné vypracovať vhodnú metódu variácie konštánt pre stanovenie partikulárneho riešenia yP nehomogénnej lineárnej rovnice (106). Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády Wronskián a lineárna nezávislosť funkcií Definícia 5 (Wronského matica a wronskián) Nech u1, . . . , un je systém skalárnych funkcií, ktoré majú na danom intervale I spojité všetky derivácie až do rádu n − 1 vrátane. Štvorcová n × n matica X(t) :=          u1(t) u2(t) · · · un(t) u′ 1(t) u′ 2(t) · · · u′ n(t) ... ... · · · ... u (n−1) 1 (t) u (n−1) 2 (t) · · · u (n−1) n (t)          , t ∈ I, (113) sa nazýva Wronského matica systému u1, . . . , un na intervale I a jej determinant W (t) := det X(t), t ∈ I, (114) sa označuje ako wronskián funkcií u1, . . . , un na I. Veta 21 Nech sú splnené predpoklady Definície 5. Ak existuje t0 ∈ I také, že wronskián W (t0) = 0, potom funkcie u1, . . . , un sú lineárne nezávislé na intervale I. Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády Dôkaz Vety 21. Nech c1, . . . , cn je n-tica reálnych konštánt, pre ktorú platí c1u1(t) + · · · + cnun(t) = 0 pre každé t ∈ I. (115) Vzhľadom na to, že funkcie u1, . . . , un majú na I spojité všetky derivácie až do rádu n − 1 vrátane, platí pre každé j = 0, . . . , n − 1 rovnosť c1u (j) 1 (t) + · · · + cnu (j) n (t) = 0 pre každé t ∈ I. (116) Pomocou Wronského matice X v (113) pre systém funkcií u1, . . . , un môžeme rovnosti v (116) zapísať ekvivalentne v tvare X(t)          c1 c2 ... cn          =          u1(t) u2(t) · · · un(t) u′ 1(t) u′ 2(t) · · · u′ n(t) ... ... · · · ... u (n−1) 1 (t) u (n−1) 2 (t) · · · u (n−1) n (t)                   c1 c2 ... cn          = 0 (117) na I, kde X je Wronského matica odpovedajúca funkciám u1, . . . , un. Podľa predpokladu wronskián W (t0) = 0, t.j., v súlade s Definíciou 5 je matica X(t0) regulárna. Preto v súlade s (117) máme, že nutne c1 = · · · = cn = 0. Funkcie u1, . . . , un sú teda lineárne nezávislé na intervale I a dôkaz je hotový. Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády Poznámka 8 Poznamenajme, že opačné tvrdenie vo všeobecnosti neplatí, t.j., existujú lineárne nezávislé systémy funkcií u1, . . . , un, ktorých wronskián W (t) je identicky nulový na uvažovanom intervale. Napríklad funkcie u1(t) := t3, t ∈ (−1, 0], 0, t ∈ (0, 1), , u2(t) := 0, t ∈ (−1, 0], t3, t ∈ (0, 1), (118) sú lineárne nezávislé na intervale I = (−1, 1) a majú spojité derivácie na I. Jednoduchým výpočtom sa môžeme presvedčiť, že ich wronskián je nulový na celom intervale I. Skutočne, pre každé t ∈ (−1, 1) máme W (t) (114) = det u1(t) u2(t) u′ 1(t) u′ 2(t) =    det t3 0 2t2 0 = 0, t ∈ (−1, 0], det 0 t3 0 2t2 = 0, t ∈ (0, 1). V prípade, ak funkcie u1, . . . , un sú riešenia homogénnej lineárnej rovnice (107), potom ich odpovedajúca Wronského matica X v (113) je riešením rovnice (32) s maticou A v (110). Naopak, každé n × n maticové riešenie rovnice (32) s maticou A v (110) má tvar (113) pre vhodné riešenia u1, . . . , un rovnice (107). Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády Veta 22 (Liouvilleov-Jacobiho-Abelov-Ostrogradského vzorec) Nech I ⊆ R je daný interval a t0 ∈ I daný bod. Pre každú n-ticu riešení y1, . . . , yn homogénnej lineárnej rovnice (107) platí pre ich odpovedajúci wronskián W v (114) formula W (t) = W (t0) e − t t0 pn−1(s) ds , t ∈ I. (119) Dôkaze Vety 22. Formula (119) je dôsledkom Vety 19 a vzorca (33), nakoľko v tomto prípade matica A v (110) má stopu Tr A(t) = −pn−1(t) pre každé t ∈ I. Dôsledok 4 (Lineárna nezávislosť/závislosť riešení) Riešenia y1, . . . , yn homogénnej rovnice (107) sú lineárnej nezávislé na intervale I práve vtedy, keď ich odpovedajúci wronskián W v (114) je nenulový na celom I. Podobne, riešenia y1, . . . , yn rovnice (107) sú lineárne závislé na I práve vtedy, keď ich wronskián W (t) = 0 pre každé t ∈ I. Dôkaze Vety 4. Tvrdenie je priamym dôsledkom diskusie pred Vetou 22 a v Poznámke 4. Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády Zníženie rádu homogénnej rovnice Ak poznáme jedno riešenie homogénnej rovnice (107), ktoré je nenulové na intervale I, môžeme vhodnou substitúciou previesť pôvodnú rovnicu (107) na homogénnu lineárnu rovnicu rádu n − 1. Toto pozorovanie je obzvlášť dôležité pre homogénne lineárne diferenciálne rovnice druhého rádu, pretože v tomto prípade vieme potom stanoviť úplný fundamentálny systém riešení rovnice (107). Veta 23 Nech funkcia ψ je (úplné) riešenie lineárnej rovnice (107) na intervale I, pričom ψ(t) = 0 pre každé t ∈ I. Definujme funkciu z(t) := y(t) ψ(t) ′ , t ∈ I. (120) Ak funkcia y je (úplným) riešením rovnice (107) na I, potom funkcia z v (120) je (úplným) riešením istej homogénnej lineárnej diferenciálnej rovnice rádu n − 1 so spojitými koeficientami na intervale I. Dôkaz Vety 23. Nech y je nejaké riešenie rovnice (107) na intervale I. Označme w := y ψ . Funkcia w má zrejme na I spojité všetky derivácie až do rádu n vrátane. Pomocou Lei- Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády Dôkaz Vety 23 (pokračovanie). bnizovho pravidla odvodíme, že každá derivácia y(k) , k = 1, . . . , n, má tvar y(k) (t) = ψ(k) (t) w(t) + ψ(t) w(k) (t) + k−1 j=1 k j ψ(k−j) (t) w(j) (t), t ∈ I. (121) Keďže obidve funkcie y a ψ sú riešeniami lineárnej rovnice (107), platí [Ly] (t) 0 (121) = [Lψ] (t) 0 w(t) + ψ(t) w(n) (t) + n−1 j=1 qj(t) w(j) (t), t ∈ I, ⇓ w(n) (t) + n−1 j=1 qj(t) ψ(t) w(j) (t) = 0, t ∈ I, kde qj, j = 1, . . . , n − 1, sú isté funkcie spojité na intervale I. Všimnime si, že v poslednej rovnosti sa nachádzajú iba derivácie funkcie w. A keďže v súlade s (120) je w′ (t) = z(t) pre každé t ∈ I, dosadením získame z(n−1) (t) + n−2 j=0 qj(t) ψ(t) z(j) (t) = 0, t ∈ I. Funkcia z je teda skutočne riešením lineárnej rovnice rádu n − 1. Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády Príklad 14 Uvažujme homogénnu lineárnu diferenciálnu rovnicu z Príkladu 13, t.j., y′′ + 1 t(1 − ln t) y′ − 1 t2(1 − ln t) y = 0, t ∈ (e, ∞). Nie je ťažké si všimnúť, že funkcia ψ(t) = t je riešením uvedenej rovnice na celom intervale (e, ∞). Vykonáme substitúciu v (120), t.j., z = y t ′ = ty′ − y t2 −→ y′ = tz + y t −→ y′′ = 2z + tz′ , ⇓ 2z + tz′ + tz + y t t(1 − ln t) − y t2(1 − ln t) = 0 −→ z′ + 3 − 2 ln t t(1 − ln t) z = 0. Získali sme homogénnu lineárnu diferenciálnu rovnicu prvého rádu. Jej všeobecné riešenie má tvar z(t) = C t2(1−ln t) pre t ∈ (e, ∞) a C ∈ R. Pre všeobecné riešenie pôvodnej rovnice v zadaní príkladu potom máme y(t) (120) = t z(t) dt = Ct 1 t2(1 − ln t) dt = C ln t + C∗ t, t ∈ (e, ∞), kde C, C∗ ∈ R sú vhodné reálne konštanty. Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády Metóda variácie konštánt – nehomogénna rovnica Nasledujúca veta podáva vhodný spôsob nájdenia všeobecného riešenia nehomogénnej lineárnej rovnice (106), t.j., metódu variácie konštánt pre rovnicu (106). Analogicky, ako úvahy o riešeniach homogénnej rovnice (107), je založená na tvrdení Vety 19 o prevode lineárnej rovnice (106) na lineárny systém. Veta 24 (Metóda variácie konštánt) Nech y1, . . . , yn je fundamentálny systém riešení homogénnej rovnice (107) na intervale I. Potom funkcia y je (úplné) riešenie lineárnej rovnice (106) na intervale I práve vtedy, keď platí y(t) = c1(t) y1(t) + · · · + cn(t) yn(t), t ∈ I, (122) kde c1, . . . , cn sú funkcie so spojitou deriváciou na I spĺňajúce          y1(t) y2(t) · · · yn(t) y′ 1(t) y′ 2(t) · · · y′ n(t) ... ... · · · ... y (n−1) 1 (t) y (n−1) 2 (t) · · · y (n−1) n (t)                   c′ 1(t) c′ 2(t) . .. c′ n(t)          =          0 0 . .. f(t)          , t ∈ I. (123) Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády Dôkaz Vety 24. Nech X je Wronského matica, ktorá odpovedá fundamentálnemu systému riešení y1, . . . , yn, t.j., v súlade s (113) máme X(t) =          y1(t) y2(t) · · · yn(t) y′ 1(t) y′ 2(t) · · · y′ n(t) ... ... · · · ... y (n−1) 1 (t) y (n−1) 2 (t) · · · y (n−1) n (t)          , t ∈ I. (124) Podľa komentára pred Vetou 22 a Dôsledku 4 vieme, že matica X v (124) je fundamentálnou maticou systému (28) s maticou A v (110). Nech y je nejaké (úplné) riešenie rovnice (106) na intervale I. Z Vety 19 potom vyplýva, že pre vektorovú funkciu ϕ := (y, y′ , . . . , y(n−1) ) platí pre každé t ∈ I rovnosť ϕ′ (t) =             0 1 0 · · · 0 0 0 1 · · · 0 ... ... ... · · · ... 0 0 0 · · · 1 −p0(t) −p1(t) −p2(t) · · · −pn−1(t)             ϕ(t) +             0 0 ... 0 f(t)             . (125) Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády Dôkaz Vety 24 (pokračovanie). Z metódy variácie konštánt pre nehomogénne lineárne systémy následne dostávame, že funkcia ϕ má tvar ϕ(t) = X(t) c(t), t ∈ I, kde vektorová funkcia c = (c1, . . . , cn) je daná rovnosťou (123), t.j., platí          y1(t) y2(t) · · · yn(t) y′ 1(t) y′ 2(t) · · · y′ n(t) . .. . .. · · · . .. y (n−1) 1 (t) y (n−1) 2 (t) · · · y (n−1) n (t)                   c′ 1(t) c′ 2(t) .. . c′ n(t)          =          0 0 .. . f(t)          , t ∈ I. Napokon funkcia y, ako prvá zložka vektora ϕ, spĺňa rovnosť (122). Naopak, nech funkcia y je definovaná podmienkami (122) a (123) na intervale I. Podľa metódy variácie konštánt pre nehomogénne lineárne systémy to znamená, že vektorová funkcia ϕ := (y, y′ , . . . , y(n−1) ) je (úplným) riešením lineárneho systému (125) na I. V súlade s Vetou 19 je prvá zložka vektora ϕ, t.j., funkcia y, (úplným) riešením nehomogénnej lineárnej rovnice (106) na celom I. Vďaka tomu, že Wronského matica X v dôkaze Vety 24 je podľa Dôsledku 4 regulárna na celom I, sústava (123) má vždy práve jedno riešenie (c′ 1, . . . , c′ n). Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády Príklad 15 Uvažujme opäť lineárnu diferenciálnu rovnicu z Príkladu 13. Metódou variácie konštánt predstavenej vo Vete 24 nájdeme jej všeobecné riešenie na intervale I = (e, ∞). Z Príkladu 14 vieme, že dvojica funkcií y1(t) = t a y2(t) = ln t predstavuje fundamentálny systém riešení danej homogénnej rovnice. Skutočne, ich Wronského matica X a wronskián W majú tvar X(t) = y1(t) y2(t) y′ 1(t) y′ 2(t) = t ln t 1 1 t , W (t) = det X(t) = 1 − ln t < 0, t ∈ I. V súlade s rovnosťou (123) vo Vete 24 pre všeobecné riešenie predloženej rovnice platí y = c1y1 + c2y2, kde funkcie c1 a c2 spĺňajú podmienku t ln t 1 1 t c′ 1(t) c′ 2(t) =   0 2−ln t t(1−ln t)   , t ∈ I. Postupne dostávame c′ 1(t) c′ 2(t) = t ln t 1 1 t −1   0 2−ln t t(1−ln t)   =   (ln t−2) ln t t(1−ln t)2 2−ln t ln t (1−ln t)2   , t ∈ I. Následnou vhodnou integráciou získame Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády Príklad 15 c1(t) c2(t) =   ln t − ln t 1−ln t + K1 t 1−ln t + K2   , t ∈ I, kde K1, K2 ∈ R. Napokon všeobecné riešenie y rovnice v zadaní má tvar y(t) = c1(t) y1(t)+c2(t) y2(t) = K1t+K2 ln t+t ln t, t ∈ I, K1, K2 ∈ R. (126) Dodajme, že v Príklade 13 sme získali jedno partikulárne riešenie uvedenej rovnice, konkrétne yP (t) = t ln t − t, kým v Príklade 14 sme odvodili všeobecné riešenie odpovedajúcej homogénnej rovnice v tvare yH(t) = Ct + C∗ ln t. Podľa vlastnosti (112) má potom všeobecné riešenie nehomogénnej rovnice tvar y(t) = Ct + C∗ ln t + t ln t − t, t ∈ I, C, C∗ ∈ R. Táto reprezentácia všeobecného riešenia je v plnom súlade s formulou (126) pre voľbu konštánt K1 := C − 1 a K2 := C∗ . Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády Lineárne rovnice s konštantnými koeficientami Teraz sa budeme zaoberať homogénnou rovnicou (107) s konštantnými koeficientami, t.j., funkcie pk, k = 0, . . . , n − 1, sú konštantné. Definičným oborom rovnice (107) je teda celá reálna os, a tak všetky jej úplné riešenia existujú na celom R. Podobne ako v prípade homogénnych lineárnych systémov je možné pomerne efektívne nájsť úplný fundametálny systém riešení rovnice (107). Veta 25 (Fundamentálny systém riešení) Nech pk, k = 0, . . . , n − 1, v (107) sú konštantné funkcie. Uvažujme tzv. charakteristický polynóm p(λ) := λn + pn−1λn−1 + · · · + p1λ + p0 (127) rovnice (107). Ak µ ∈ C je m-násobný koreň polynómu p v (127), potom funkcie tl eµt , l = 0, . . . , m − 1, sú lineárne nezávislé riešenia rovnice (107) na celom R. Dôkaz Vety 25. Nech µ ∈ C je m-násobný koreň polynómu p v (127). Potom vieme, že derivácie p(l) (µ) = 0 pre každé l = 0, . . . m − 1. (128) Zvoľme index l = 0, . . . , m − 1 a uvažujme funkciu y(t) := tl eµt . Dokážeme, že Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády Dôkaz Vety 25 (pokračovanie). y je riešenie rovnice (107) na celom R. Pre každé k = 0, . . . , n postupne máme y(k) (t) = tl eµt (k) = k j=0 k j tl (j) eµt (k−j) = l j=0 k j tl (j) µk−j eµt = l j=0 k j l(l − 1) · · · (l − j + 1) tl−j µk−j eµt = l j=0 k j l! (l − j)! tl−j µk−j eµt = l j=0 k! (k − j)! j! l! (l − j)! tl−j µk−j eµt = l j=0 l j tl−j eµt k! (k − j)! µk−j = l j=0 l j tl−j eµt µk (j) (129) pre každé t ∈ R. Výraz µk (j) predstavuje j-tú deriváciu mocniny λk (podľa premennej λ) pre hodnotu λ = µ. Položme pn := 1. Následne platí n k=0 pky(k) (t) (129) = n k=0 pk   l j=0 l j tl−j eµt µk (j)   Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády Dôkaz Vety 25 (pokračovanie). = n k=0 l j=0 l j tl−j eµt pk µk (j) = l j=0 l j tl−j eµt n k=0 pkµk (j) = l j=0 l j tl−j eµt n k=0 pkµk (j) = l j=0 l j tl−j eµt p(j) (µ) 0 (128) = 0 pre každé t ∈ R. Funkcia y je teda skutočne riešením homogénnej rovnice (107) na celom R. Teda každá z funkcií tl eµt , l = 0, . . . , m − 1, je riešením rovnice (107) na R. Naviac, systém týchto funkcií je lineárne nezávislý. Vyplýva to zo základnej vety algebry, podľa ktorej rovnosť 0 = c0eµt + c1teµt + · · · + cm−1tm−1 eµt = c0 + c1t + · · · + cm−1tm−1 eµt môže identicky platiť na celom R iba vtedy, keď c0 = c1 = · · · = cm−1 = 0. Poznámka 9 Nie je ťažké overiť, že polynóm p definovaný v (127) je charakteristickým polynómom matice A v (110). Tento fakt korešponduje s tvrdením Vety 19. Systém Homogénny systém Nehomogénny systém Konštantné koeficienty Vyššie rády Poznámka 10 (Nereálne korene charakteristického polynómu) V prípade nereálneho koreňa µ = α + iβ, β = 0, charakteristického polynómu p v (127) sú riešenia rovnice (107) zostrojené vo Vete 25 nereálne. Konkrétne, tl eµt = tl eαt+iβt = tl eαt cos βt + itl eαt sin βt, l = 0, . . . , m − 1, pomocou Eulerovej identity, kde m je násobnosť koreňa µ. Keďže polynóm p má reálne koeficienty, jeho koreňom je aj číslo ¯µ = α − iβ, a to s rovnakou násobnosťou m. Celkovo teda máme 2m nereálnych riešení rovnice (107). Vďaka linearite a homogenite rovnice (107) sú jej riešeniami aj reálne a imaginárne časti funkcií tl eµt , l = 0, . . . , m − 1. Pomocou dvojice komplexne združených čísiel µ a ¯µ tak získame 2m reálnych lineárne nezávislých riešení rovnice (107) tvaru tl eαt cos βt, tl eαt sin βt, l = 0, . . . , m − 1. Pre nehomogénnu lineárnu rovnicu (106) s konštatnými koeficientami je možné v prípade špeciálnej pravej strany f stanoviť jej partikulárne riešenie i bez použitia metódy variácie konštánt. Konkrétne, ak funkcia f je kvázipolynóm, t.j., f(t) = eαt [gs1 (t) cos βt + hs2 (t) sin βt] , gs1 , hs2 sú polynómy stupňa s1, s2, potom rovnica (106) má partikulárne riešenie tl eαt [˜g(t) cos βt+˜h(t) sin βt], kde l je násobnosť α+iβ ako koreňa charakteristického polynómu p v (127) a ˜g, ˜h sú polynómy stupňa r = max{s1, s2}. Jedná sa o metódu neurčitých koeficientov.