M5160 Obyčajné diferenciálně rovnice I
Systémy nelineárnych diferenciálnych rovníc
Peter Sepitka
zima 2021
Obsah
Q Systém diferenciálnych rovníc Q Existencia a jednoznačnosť riešení Q Problém predlžovania riešení
Q Závislosť riešení na začiatočných podmienkach a parametroch Q Diferenciálně rovnice vyšších rádov
Riešenia
Predlžovanie
Závislosť
Vyssie rády
Obsah
Q Systém diferenciálnych rovníc
Q Existencia a jednoznačnosť riešení
Q Problém predlžovania riešení
Q Závislosť riešení na začiatočných podmienkach a parametroch
Q Diferenciálně rovnice vyšších rádov
Systém Riešenia Predlžovanie Závislosť Vyssie rády
Nech n G N je pevne zvolené. Súbor rovníc
X\ — f\ (t, X\ , . . . , X n), X 2 — f2 j 5 • • • 5 3?n),
^3 = fs(t,Xi, . . . ,Xn), (1)
— f n (t) Xl5 . . . 5 Xri)j
kde fk(t,xi,... ,xn) s /c = l,...,n sú reálne funkcie definované na danej množine M C IRn+1 a znak ' znamená sa nazýva systém diferenciálnych rovníc prvého rádu. Zavedením označenia
ry* •-
i • • • i Xn)\
f (t, x) : =
V/n (t,
5 3^15 • • • 5
3y 1
Systém Riešenia Predlžovanie Závislosť Vyssie rády
môžeme systém (1) prepísať do vektorového tvaru
x' = f(t,x). (2) Riešením systému (2) rozumieme každú n-vektorovú funkciu
definovanú a diferencovateľnú na nejakom podintervale J C R, pre ktorú
[t,(pi(t),.. .,ipn(t)] G M a ip'{ť) = f(t,ip(t)) pre každé t G J. Hlavnou témou prednášky bude začiatočná (Cauchyho) úloha (problém)
x' = f(t,x), x(t0)=ľf, (3)
kde to G M je daný bod a rj G Mn daný vektor tak, že [to, rj\ G M. Hovoríme, že začiatočná úloha (3) je jednoznačná, ak pre každé dve riešenia x a y úlohy (3), ktoré existujú na intervaloch Xx aly, existuje S > 0 s vlastnosťou
x (t) = y (ť) pre každé t G Xx H Xy n (t0 - 5, t0 + ô). (4)
Riešenia
Predlžovanie
Závislosť
Vyssie rády
Príklad 1
Začiatočná úloha x' — 3x2^3, x (Q) = 0, je príkladom nejednoznačnej úlohy. Má totiž (minimálne) dve riešenia x (ť) = 0 a y (t) = t3 na R, pre ktoré platí
x (t) ŕ y (t) pre každé t G R \ {0}.
Podobne ako pri lineárnych systémoch zásadnú úlohu v skúmaní riešiteľnosti začiatočnej úlohy (3) zohráva nasledujúce tvrdenie.
Lema 1
Nech daná (n + 1)-vektorová funkcia f je spojitá na množine M C Rn+1. Potom n-vektorová funkcia x = (f (t) je riešenie začiatočnej úlohy (3) na nejakom intervale X C R práve vtedy, keď platí
[t, if(t)} G M a if(t) = r] + í f (s, (f(s)) ds pre každé t e T.
J t0
Poznámka 1
Podľa Lemy 5 teda predpoklad spojitosti funkcie / zaručuje ekvivalenciu medzi začiatočnou úlohou (3) a integrálnou rovnicou (5). V tomto prípade sa preto môžeme obmedziť na vyšetrovanie integrálnej rovnice (5).
"O ^ O'
Riešenia
Predlžovanie
Závislosť
Vyssie rády
Obsah
Q Existencia a jednoznačnosť riešení
Q Problém predlžovania riešení
Q Závislosť riešení na začiatočných podmienkach a parametroch
Q Diferenciálně rovnice vyšších rádov
Riešenia
Predlžovanie
Závislosť
Vyssie rády
V tejto sekcii budeme využívať jedno tvrdenie týkajúce sa množiny spojitých (vektorových) funkcií. Nech X C R je daný kompaktný interval a A daná množina funkcií spojitých na X. Pripomeňme, že funkcie z A sa označujú ako rovnomerne ohraničené na X, ak existuje konštanta K > 0 s vlastnosťou
||/(t)|| < K pre každé t G X a pre každé / G A.
(6)
Podobne, funkcie z A sa nazývajú rovnako spojité na intervale X, ak pre každé £ > 0 existuje S > 0 s vlastnosťou, že ak pre body £i,Č2 G X platí
t2—ti\:={y£Mn, ||y - f]\\ < b} . (9) Nech f : X x D —>• IRn v'e c/ana spojitá a identicky nenulová funkcia. Označme
m := max
[t,y]ezx£>
(10)
Potom začiatočná úloha (3) má aspoň jedno riešenie, ktoré existuje na intervale
J := [to, to + a], kde číslo a := min{a, —}.
Dôkaz Vety 2.
Zvolme pevne ľubovoľné S > 0 a uvažujme e G (0,5]. Ukážeme, že predpisom
x£(t) : =
t e [t0 - ô,to],
r\ + f*Q f(s,xe(s - e)) ds, t G [t0, t0 + a], je korektne definovaná spojitá funkcia na intervale ^ := [to — S, to + a
(n)
so spo-
Riešenia
Predlžovanie
Závislosť
Vyssie rády
Dôkaz Vety 2 (pokračovanie)
jitou deriváciou na množine Js \ {to}. Najprv ukážeme, že platí
x£(t) G D pre každé t G J5.
(12)
Vzhľadom na predpis (11) funkcie x£ to vykonáme induktívne. Zrejme pre hodnoty t G [to — č, to] je v súlade s (11) x£(t) = 77, a tak podľa (9) máme x£(t) G D. Nech q G N je najmenšie prirodzené číslo s vlastnosťou a < qs. Na intervale
to, to -\-e] je funkcia x£{s — e) — r\ G D, nakoľko s —s G [to — e, to] C [to — S, to]. Dodľa (11) je preto výraz x£{ť) pre t G [to, to + e] definovaný korektne, pričom
\xe(t) -V\\ ( = }
< / \\f(s,xe(s-e))\\ds t0
í f(s,xe(s - e))ds J t0
(10) rt
< / más = m(t — to) < me < ma < b pre každé t G [to, to + e] J t0
Z toho podľa (9) máme x£(t) G D pre každé t G [to,to + s]. Analogickým spôsobom rozšírime platnosť vlastnosti (12) na interval [to +£, to + 2e]. V tomto procese postupujeme ďalej až kým nedosiahneme [to + (q — 2)e,to + (q — l)e]. Následne obdobným spôsobom rozšírime platnosť vlastnosti (12) na doplnkový podinterval [to + (q — 1)£, to + Funkcia x£ v (11) je teda skutočne korektne definovaná na celom intervale J$. V podobnom duchu dokážeme jej spojitosť na Js a spojitú diferencovateľnosť, keďže v súlade s (11) platí
"O ^ O'
Riešenia
Predlžovanie
Závislosť
Vyssie rády
Dôkaz Vety 2 (pokračovanie)
xe(^) '
(13)
o, t e [t0- s, t0),
f(t,xe(t — e)), t G (to, to +a],
Spojitosť funkcie f na X x D a funkcie x£(t — s) na [to, to + a] implikuje podľa (13) i spojitosť derivácie xe na Js \ {to}- Uvažujme teraz množinu funkcií tvaru
A := {x£ definovaných v (11) pre každé e G (0,5]}. (14)
Dokážeme, že množina A v (14) je relatívne kompaktná v priestore všetkých (vektorových) funkcií spojitých na intervale J$. Podľa Arzeláovej-Ascoliho Vety 1
musíme overiť, že funkcie z množiny A spĺňajú podmienky (6) a (7). Platí
\x£(ť)\\ = || (X£ (t) -T]) + T]\\ < \\x£(t) - V\\ +
(12)
< 6 +
pre každé x£ G A a každé t G Jô, t.j., platí podmienka (6). Na druhej strane, pre každé dva body ti, t2 G J5, ti < t2 platí
\x£(t2) — x£(t\)\\ < m\t2 — ti | pre každú funkciu x£ G A.
(15)
Skutočne, ak íi,Í2 £ [to — S,to], potom podľa (11) máme x£(t2) — rj = xe(ti) a \\x£(t2) —x£(ti)\\ = 0 pre každé x£ G A. Ak ti G [t0 — 5, to] a t2 G (t0, t0 + a], potom v súlade s (11) a (12) máme
Riešenia
Predlžovanie
Závislosť
Vyssie rády
Dôkaz Vety 2 (pokračovanie)
(n) (ii) r*2 (io)
\x£(t2) - x£(ti)\\ = \\x£(t2) - r]\\ < / \\f(s,xe(s - e))\\ds < mfo ~ ti)
J t0
pre každé x£ G A. Napokon ak íi,Í2 G (to, to + a], potom podľa Lagrangeovej vety o strednej hodnote pre každé x£ G A existuje bod ti < r£ < 12 s vlastnosťou
(13),(10)
||íC£(í2) - £Ce (*l)|| = H^eC^)!! ' |t2 - ti| < m|í2 — ti\.
Overili sme teda nerovnosť (15) pre každú funkciu x£ G A. Nieje ťažké si premyslieť, že táto vlastnosť zaručuje platnosť podmienky (7). Uvažujme teraz nejakú
klesajúcu číselnú postupnosť {ek}kLi ^ (0, f] s lim/c^oo Sk = 0. Keďže podľa
Arzeläovej-Ascoliho Vety 1 množina A spĺňa vlastnosť (8), funkcionálna postupnosť {x£k}^=1 C A obsahuje pod postupnosť, ktorá konverguje rovnomerne na intervale Js k istej spojitej funkcii x. Bez ujmy na všeobecnosti môžeme predpokladať, že túto vlastnosť má samotná postupnosť {xek}kLi, t.j.,
Xek(t) =4 x (ť) na intervale J§
(16)
_ C"
Funkcie x£k(t — e k) konvergujú rovnomerne k x (t) na [to — §,to + a], t.j., platí
(17)
S 2
x£k (t — £k) =4 íc(t) na intervale J§. Relácia (17) vyplýva z (16), z vlastnosti lim/c^oo Sk — 0 a z nerovnosti
Riešenia
Predlžovanie
Závislosť
Vyssie rády
Dôkaz Vety 2 (pokračovanie)
\\xek(t-6k) -X(ť)\\ < \\x£k(t-6k) -X£k(t)\\ + ||x£fe (í) - x(ť)\\
(15)
< msk + \\x£k (t) - x(ť)\\.
Následnou kombináciou (17) a (rovnomernej) spojitosti funkcie / na kompaktnej množine X x D dostávame, že postupnosť
f(t,x£k(t - e k)) =4 f(t,x(ť)) na intervale [to, to + a}. Z (11) vieme, že postupnosť funkcií {x£k}kĹ\ splna rovnicu
x£k(t)=r]+ / f(s,Xek(s-£k))ás, t G [t0, to + a].
(18)
(19)
Odvodené podmienky (16), (17) a (18) umožňujú v rovnosti (19) vykonať limitný prechod k —> oo. Pre t G [to, to + a] postupne dostávame
lim x£k(t) = r] + lim / f(s,x£k(s-£k))ás,
k—too fc—»-00 J f
x (i) = 77 + / J t,
t to
lim f(s,xek(s - ek))
t to
ds
—► a?(í) = 77 + / f(s,x(s))ds
J t0
Systém Riešenia Predlžovanie Závislosť Vyssie rády
Dôkaz Vety 2 (pokračovanie).
Limitná funkcia x je teda riešením rovnice (5). Množina J x D je uzavretá, a preto x (ť) G D pre každé t G J— [to, to + a]. V súlade s Lemou 1 je tak funkcia x riešením začiatočnej úlohy (3) a existuje na celom intervale [to, to + a]. ■
Definícia 1 (Lipschitzovská a kontraktívna funkcia)
Nech X C R je daný interval a D C Rn daná množina. Hovoríme, že funkcia / : TxD —>• Rn je lipschitzovská, resp. spĺňa Lipschitzovu podmienku vzhľadom na (vektorovú) premennú x G D, ak existuje L > 0 s vlastnosťou
\\f(t,x)-f(t,y)\\ < L\\x-y\\ pre každé [í, x], [í, y] G X x D.
(20)
Číslo L sa potom označuje ako Lipschitzova konštanta funkcie /. Obzvlášť v prípade, ak L < 1, hovoríme, že funkcia / je kontraktívna.
Veta 3 (Picardova-Lindelôfova)
Nech platia predpoklady a označenie z Vety 2. Nech naviac je funkcia f lipschitzovská vzhľadom na x na množine X x D. Potom začiatočná úloha (3) má práve jedno riešenie, ktoré existuje na intervale [to, to + a .
Existencia riešenia začiatočnej úlohy (3) vyplýva z Peanovej Vety 2. Ak (p a ip sú dve riešenia úlohy (3) definované na intervale [to,to + a], potom v súlade s
Lemou 1 spĺňajú rovnosť (5), t.j., platí
ip(t) - (=} í [f(s,ip(s)) - f(s,ý(s))]ds pre každé í G [to, t0 + a]. (21)
J t0
Nech L > 0 je Lipschitzova konštanta funkcie / na množine X x D. Potom
\\
(s)\\ds t0 pre každé t G [to, to + a]. Posledná nerovnosť v súlade s Groi implikuje, že funkcie
W1 je spojitá a lokálne lipschitzovská funkcia na íl vzhľadom na premennú x. Potom každé úplné riešenie rovnice (2) je určené jednoznačne. Presnejšie, každým bodom [to, rj] G íl prechádza práve jedna integrálna krivka rovnice (2). Zvolme pevne bod [to,77] G £1 a nech cp a i\) sú dve riešenia začiatočnej úlohy (3). Ich existenciu a vzájomnú rovnosť na nejakom malom okolí bodu to máme zaručenú podľa Vety 3. Nech X je ľubovoľný interval, na ktorom existujú obidve riešenia ^ a ^. Sporom predpokladajme, že existuje bod r G X s vlastnosťou (/?(t) ^ ^(T)- Bez ujmy na všeobecnosti predpokladajme, že r > to. Vďaka spojitosti a lokálnej jednoznačnosti funkcií a ^ existuje bod to G (to, t) taký, že 7/0 := <^(to) = ^(to) a <^(č) V'W Pre každé t G (to, r]. Nech L := L(ro,r/o) je lokálna Lipschitzova konštanta funkcie /, ktorá odpovedá bodu [70,770] £ ÍŽ. V súlade s (26) potom existuje dostatočne malé ô > 0 také, že platí <*>(*)) - f(t^(ť))\\ < L\\
(ť)\\ pre každé í G (r0,r0 +5), Podľa Lemy 1 pre funkcie (f a ip máme \\
> W1 je spojitá. Pripomeňme, že ak cp a ijj sú dve riešenia systému (2), ktoré sú definované na reálnych intervaloch X^ a 1^, potom hovoríme, že riešenie ip je predĺženie riešenia (f (resp. riešenie (f je zúženie riešenia ip), ak platí ostrá inklúzia X^ C X^ a rovnosť ip(t) = (f (t) pre každé t G X^. (29) Definícia 3 (Úplné riešenie) Nech Q C ]Rn+1 je daná oblasť a / : Q —>> IRn je spojitá vektorová funkcia. Riešenie (p systému (2) sa označuje ako úplné, ak nie je zúžením žiadneho iného riešenia rovnice (2). Presnejšie, riešenie (f je o;-úplné, ak je nepredlžiteľné napravo, kým riešenie (f je a-úplné, ak nieje predlžiteľné naľavo. Keďže definičným oborom funkcie / je oblasť Q, každé úplné riešenie systému (2) je definované na maximálnom otvorenom intervale. V opačnom prípade by ho v súlade s Peanovou Vetou 2 bolo možné predĺžiť napravo, resp. naľavo. 4 □ ► Nech Q C ]Rn+1 je daná oblasť a f : Q W1 je spojitá vektorová funkcia. Nech pre daný bod [to, r]} G £1 je (p nejaké riešenie začiatočnej úlohy (3), ktoré existuje na ohraničenom intervale [to, T). Potom riešenie (p je predĺžite!'né napravo od bodu T práve vtedy keď jeho graf (integrálna krivka) := {[t,ip(t)], t G [to, T)} C Q (30) je ohraničený v IRn+1 a má kladnú vzdialenosť od hranice h(Q) oblasti Q. Dôkaz Lemy 2. Pripomeňme, že vzdialenosť množín a h(Q) definujeme ako číslo diG^híQ)) :=inf{||[í,^(í)] -2/11, ÍG[í0,T), y G h(Q)}, (31) kde || • || je nejaká daná norma v Rn+1. Predpokladajme, že riešenie (p sa dá predĺžiť napravo od bodu T, t.j., existuje riešenie (p začiatočnej úlohy (3) definované na intervale [to, T7) s T < Ť, pre ktoré platí (p(t) — (p(t) pre každé t G [to, T). Funkcia (p má teda v bode T limitu zľava, nakoľko lim (f(ť) = lim (f(ť) = (f(T). (32) Môžeme preto definovať
d(Gip U [T, (p (T)], h (Q)) > 0.
Naopak, predpokladajme, že graf G^ riešenia (p v (30) je ohraničená množina v Mn+1 a vzdialenosť d{Gíf^h{Q)) > 0. Z topologických vlastností lineárneho priestoru IRn+1 vyplýva, že existuje kompaktná množina K s vlastnosťou
G 0 existuje dostatočne malé ô > 0 tak, že platí
T. A kedze máme
(T) a £'+(T) = f (T, > <> IRn 7'e spojitá vektorová funkcia. Potom každé riešenie rovnice (2) je buď úplné alebo sa dá predĺžiť na úplné riešenie.
Dôkaz Vety 7.
Uvažujme postupnosť C IRn+1 množín tvaru
Q j : —
II[t,x]II < j, d([t,x],/l(ft)) > t
j G N.
(36)
Zrejme platí f^- C pre každé j G N a od istého indexu sú všetky množiny
neprázdne a kompaktné (uzavreté a ohraničené). Okrem toho máme
00
(37)
Nech (p je riešenie systému (2), ktoré existuje na ohraničenom intervale [to, T).
Predpokladajme, že (f nie je úplné riešenie. Presnejšie, nech (p sa dá predĺžiť napravo od bodu T. V súlade s prvou časťou dôkazu Lemy 2 sa funkcia (f dá spojito rozšíriť na uzavretý interval [to,T], pričom ohraničená množina
{[t, (f (t)], [to, T]} C Q má kladnú vzdialenosť od hranice h (Q) množiny Q.
S"
< = ►
Riešenia
Predlžovanie
Závislosť
Vyssie rády
Dôkaz Vety 7 (pokračovanie)
Podľa druhej časti dôkazu Lemy 2 je táto rozšírená vektorová funkcia zároveň i riešením systému (2) na celom intervale [to, T], t.j., platí (f-(T) = /(T, (f (T)). V zhode s (37) a (36) ďalej existuje index j G N s vlastnosťou, že graf
{[t, (p(t)], t G [to, T]} G Qj. Ukážeme, že riešenie (p je možné predĺžiť na uzavretý interval [to,Tj] tak, že bod [Tj, (p(Tj)] G Qj+i Vďaka kompaktnosti množiny Qj+i a spojitosti funkcie / na Q môžeme definovať
m := max ||/(t,x)|| > 0. [t,x]efij+i
(38)
Keďže bod [T, (p(T)] je vnútorným bodom množiny Qj, a následne i množiny Qj+i, existuje dostatočne malé kladné číslo a s vlastnosťou
{[£,#] E ÍŽ, \t — t\ < a, ||x — y || < a} C Qj+i pre každý bod [r, y] G ÍŽ^. (39)
Platnosť podmienky (39) je zaručená definíciou množín Qj a Qj+i v (36) a kompaktnosťou množiny Qj. Podľa Peanovej Vety 2 potom každým bodom r, y] G Qj prechádza aspoň jedna integrálna krivka rovnice (2), ktorá je definované na uzavretom intervale [r, r + a], kde a := min{a, ^} s m definovaným
v (38). Je dôležité si uvedomiť, že hodnota a je jednotná pre všetky body [r, y] v množine Qj. Toto pozorovanie nám potom umožňuje postupne predlžovať skúmané riešenie p systému (2) na intervaly
[T,T + a], [T + a,T + 2a],
[T + (q — l)a, T + ga],
Riešenia
Predlžovanie
Závislosť
Vyssie rády
Dôkaz Vety 7 (pokračovanie)
až kým bod [T + qa, cp(T + qa)] G \ Qj. Vďaka ohraničenosti množiny
Qj k takejto situácii zrejme dospejeme po konečne veľa krokoch. Ak označíme
Tj := T + qa, potom riešenie (p je predĺžené na interval [to,Tj], pričom bod [Tj,ip(Tj)] G Qj+i\Qj. Zrejme graf získaného predĺženia je obsiahnutý vo vnútri množiny Qj+i. V súlade s (36) je preto ohraničený a má kladnú vzdialenosť od hranice h((l) oblasti Q. Podľa Lemy 2 je teda možné riešenie (p ďalej predlžovať napravo od bodu Tj. Analogickými úvahami ako vyššie je možné induktívne zostrojiť rastúcu postupnosť {Tk}^Lj CMs vlastnosťou, že pre každé k > j
riešenie (*)], í G [to,Tfc]}Cíí£+1 a bod [Tfc, —oo a existuje postupnosť {tk}kLi CZ (S,T) taká, že
lim í/g = a lim (f(tk) = 77.
/c—»-00 /c—»-00
(42)
Podobne, bod [T,77], 77 E IRn, sa označuje ako pravý limitný bod riešenia (p, ak T < 00 a existuje postupnosť {tk}kĹi CZ (S, T) s vlastnosťou
lim í/g = T
/c—»-00
a lim (f(tk) = 77.
(43)
Limitným bodom riešenia (p označujeme jeho pravý, resp. ľavý limitný bod.
Veta 8 (Limitný bod úplného riešenia)
Nech Q C ]Rn+1 je oblasť a f : Q —> M.n je spojitá funkcia. Potom každý limitný bod ľubovoľného úplného riešenia rovnice (2) leží na hranici oblasti Q.
4 □
a1
Riešenia
Predlžovanie
Závislosť
Vyssie rády
Dôkaz Vety 8.
Nech (p je úplné riešenie systému (2) definované na intervale (S,T), pričom platí — oo < S < T < oo. Predpokladajme, že [T, 77], 77 G Mn, je pravý limitný bod riešenia (p. Podľa (43) v Definícii 4 máme T G 1 a existuje postupnosť {tk}kĹi Q (S, T) s vlastnosťou
lim t k = T
lim (f(tk) r].
(44)
Z relácií v (44) je zrejmé, že limitný bod [T, 77] G ÍŽ. Sporom predpokladajme, že T, 77] G ÍŽ. Potom existuje kompaktná množina K C. Q, pre ktorú [T, 77] G Maviac, bez ujmy na všeobecnosti môžeme predpokladať, že celá postupnosť {[tk,V>(tk)]}kĹi G K°. Ak by existoval index k G N s vlastnosťou, že graf Gk := {[t, ?(£)], t G [t/c, T)} by ležal v potom Gk by bola ohraničená množina s kladnou vzdialenosťou od hranice h(Q) oblasti Q. Vyplýva to z toho, že K C íl ako kompaktná množina má kladnú vdialenosť od hranice h(Q), a tak
d(Gk,h(Q)) > d(K,h(Sl)) > 0.
Následne, podľa Lemy 2 by bolo riešenie (f predlžiteľné napravo od bodu T, čo je spor s úplnosťou riešenia (p. Preto nutne existuje vybraná podpostupnosť
{tkj}jli C {ífc}fcLi a postupnosť {sj}£Li C (S,T), ktoré spĺňajú
tkú < Sj < tkj + 1
[t, if(ť)] e K, t e [tk,, S j ], [s j , > IR+ sl/ spojité funkcie, pričom platí nerovnosť g (t) < a pre všetky body t G X. Potom každé oj-úplné riešenie (p systému (2), ktoré vychádza z bodu [to, 77], 117711 < a, a splna nerovnosť ||^(t)|| < g (t) pre každý bod t G X, v ktorom je definované, existuje na celom intervale X.
Dôkaz Dôsledku 1.
Nech cp je o;-úplné riešenie systému (2), ktoré existuje na intervale [to, T). Podľa predpokladov je (p ohraničené na [to, T) a jeho graf má kladnú vzdialenosť od hranice \\x\\ = a oblasti D v (48). V súlade s Poznámkou 6 preto T = 00. ■
^^^^^^^^^^^^^^^^
"O ^ O'
Riešenia
Predlžovanie
Závislosť
Vyssie rády
Dôsledok 2
Nech t0 e R je daný bod a X := [t0,oo) interval. Nech f : X x Rn Rn je vektorová funkcia, ktorá je spojitá a ohraničená na celom svojom definičnom obore. Potom každé uo-úplné riešenie (f systému (2), ktoré vychádza z bodu [to, rj\, r] G Rn, existuje na celom intervale X.
Dôkaz Dôsledku 2.
Nech cp je a;-úplné riešenie systému (2), ktoré existuje na intervale [to, T). Podľa Lemy 1 funkcia (p spĺňa na [to, T) integrálnu rovnicu (5), t.j., platí
cp (t) = (f (to) + / f(s,ip(s))ds pre každé t G [to, T).
Jtn
(49)
to
Z rovnosti (49) následne dostávame
(49) rt
149) n
\\ - [to, f]] C íl (51)
pre /c —>> oo, í./, pre /c —>> oo na každej kompaktnej podmnožině K C Q.
Nech {(pk}kLi je nejaká postupnosť úplných riešení systému začiatočných úloh
x, = fk(t,x), x(tk)=r]k, k G N.
(52)
Potom existuje vybraná podpostupnosť'{(pkj}j^=i Q \}Pk}kLi' ktorá rovnomerne konverguje k istému riešeniu začiatočnej úlohy (3), t.j.,
x = f (t, x), x (to) = 77,
(53)
na nejakom okolí bodu to- Ak naviac úloha (53) má jediné úplné riešenie (f definované na intervale X, potom celá postupnosť {(pk}kLi konverguje rovnomerne k funkcii (f na ľubovoľnom kompaktnom podintervale [a, b] C X s to G (a, b).
Poznámka 8
Vďaka spojitosti funkcií f k, k G N, na oblasti íl je podľa Peanovej Vety 2 pre každé k G N zaručená existencia aspoň jedného riešenia úlohy (52). Podmienka (51) implikuje spojitosť funkcie / na íl, a teda i riešiteľnosť úlohy (53).
Nech K C Q je kompaktná množina, ktorá v súlade s (51) obsahuje vo svojom vnútri bod [to, rj]. Keďže podľa Poznámky 8 je funkcia f spojitá na oblasti ČI, je na množine K ohraničená, t.j., existuje m > 0 s vlastnosťou ||/(t,x)|| < m pre
každé [t, x] E K. Naviac, vďaka podmienke (51) existuje index /c E N tak, že
||/fc(t, x)\\ < m pre každé [t, x] E K a každé k>k. (54) Uvažujme 5 > 0 s vlastnosťou, že množina
M := {[t, x] E Rn+1, |í-í0|<č, ||x - ryli < 3mô} C K. (55)
Podľa druhej časti predpokladu (51) máme limfc^cx)[ífcj V k] — [t, 77], a tak existuje index k > k taký, že platí
|t/c — to| < S, \\rjk — rj\\ < mô pre každé k > k. (56)
Ukážeme teraz, že pre každý index k > k graf riešenia ifk úlohy (52) leží pre t E [to — 5, t + ô] v množine M, t.j., v súlade s (55) platí
Hv^fcM — ^ll < 3rač pre každé t E [to — 5, to + a Pre každé k > k. (57)
Doplňme, že nakoľko každé z riešení k > k, je úplné a množina M C K C í] je ohraničená, podľa Poznámok 6 a 7 a Vety 8 je každá z funkcií (pk, k > k, (ako riešenie (52)) definovaná na celom [to — S, to + £]. A keďže v súlade s (56) máme t/c E (to — 5, to + S) pre každé k > k, využijúc formulu (5) v Leme 1 platí
"O ^ O'
Riešenia
Predlžovanie
Závislosť
Vyssie rády
Dôkaz Vety 9 (pokračovanie)
(5) n
(fk(t)=Vk-\- fk(s,(fk(s))ás, t G [to - ô,t0 +ô], k>k. (58) Následne dostávame
ll*>fc(*)-*7ll
(58)
Vk -V+ I fk{s,(pk{s))ás
fk(s,(pk(s))ds
< ||^fc-^|| +
tfc
fk(s, T. Tento záver je však v rozpore s definíciou čísla T v (62). Preto nutne musí platiť T — b. Rov-
Riešenia
Predlžovanie
Závislosť
Vyssie rády
Dôkaz Vety 9 (pokračovanie).
nosť S = a pre S definované v (63) sa dokáže použitím analogických úvah.
Veta 10 (Závislosť riešení na začiatočných podmienkach a parametroch)
Nech Q C ]Rm+n+1 je oblasť a nech f : íl -> Rn je spojitá vektorová funkcia s vlastnosťou, že pre každý bod [r, 77, A] G Rm+n+1, kde r G R, 77 G Rn a A G Rm, má začiatočná úloha
x' = f(t,x,\), x(t)=ti (66)
práve jedno úplné riešenie (/?(•, r, 77, A). Potom • Rn+m, g : R vektorovú premennú tvaru £ G Rn^m tvaru
2/:= (x, A), flf(í,2/) := (/(t, x, A), 0m), C:=fa,A), í G M, (68) a uvažujme novú začiatočnú úlohu
m+n+l
R
ra+n
a novu
Riešenia
Predlžovanie
Závislosť
Vyssie rády
Dôkaz Vety 10 (pokračovanie),
yr=g(t,y), y (r) = C (69)
Keďže platí y' = (a/,0m), začiatočná úloha (69) je zrejme ekvivalentná so začiatočnou úlohou (66). Obzvlášť, v súlade s predpokladmi má úloha (69) pre každý bod [r, ("] G íl práve jedno úplné riešenie ip, ktoré je samozrejme okrem premennej t závislé i na voľbe hodnôt r a (. Zvoľme pevne bod [r, ("] G íl a nech {b"fc? 0c]}fc^i G íl je postupnosť s vlastnosťou lim^o^T/c, — [T? C] vzhľadom na nejakú danú vektorovú normu. Nech X(r, (") je (otvorený) interval, na ktorom je definované (jediné) úplné riešenie i/j(-,t, £) začiatočnej úlohy (69). Uvažujme systém začiatočných úloh tvaru
y=g(t,y), y(rk) = ck, k e N,
(70)
a nech {^(^ ^/c, Je odpovedajúca postupnosť jediných úplných riešení
úloh (70). Podľa Vety 9 potom táto postupnosť konverguje rovnomerne k funkcii
?/)(•, r, C) na každom kompaktnom podintervale [a, 6] C X(r, (") s r G (a, b). To znamená, že ak si zvolíme konkrétny interval [a, Ž>] C X(r, (") s r G (a, 6), potom výraz ?/)(£, r*, £*) s hodnotami t G [a, 6] je ako funkcia premenných r* a C* spojitý v bode [r, ("]. Inými slovami, pre každé e > 0 existuje 5i > 0 také, že ak
t G [a, b] a |r*-r| + ||C*-Cll < <*i, potom r*, C*) - ^(*, r, C)|| < \ (71)
Na druhej strane je funkcia i/j(t,r, (") s r G [a, 6] ako výraz premennej t iste spojitý na kompaktnom intervale [a, b], a teda i rovnomerne spojitý na [a, b]. To
LP"
"O ^ O'
Riešenia
Predlžovanie
Závislosť
Vyssie rády
Dôkaz Vety 10 (pokračovanie),
znamená, že pre dané zvolené e existuje 82 > 0 s vlastnosťou, že ak
ť, t e [a, b] a \ť-t\ <82, potom \\^(ť,r, C) ~^(t,r, C)|| < |. (72)
Definujme 5 := min{či,Č2} a zvolme t G (a, b). Kombináciou nerovností (71) a (72) dostávame, že pre každý bod [t*, r*, C*] G íl s ť G [a, 6], ktorý spĺňa
|í* - í| + |r* - r| + UČ* - Cll < '(*),..., • R v'e c/aná spojitá funkcia. Potom začiatočná úloha (75) má aspoň jedno riešenie, ktoré je definované na istom intervale J C R s to G Jr°.
Dôkaz Vety 12. 1
Tvrdenie vyplýva z kombinácie Vety 11 a Peanovej Vety 2. ■ j
Veta 13 (Picardova-Lindelôfova) 1
Nech platia predpoklady a označenie z Vety 12. Nech naviac funkcia f spĺňa Lipschitzovu podmienku, t.j., existuje kladná konštanta L s vlastnosťou
\f(t,ui,... ,un) - f (t, vi,... ,vn)\ < L\\u - v\
(79)
pre každé t G X a pre každé dva vektory u — (m,..., un) a v — (tji, ..., vn) z množiny D v (78). Potom začiatočná úloha (75) má práve jedno riešenie, ktoré existuje na istom intervale J C R s to G J°.
"O ^ O'
Riešenia
Predlžovanie
Závislosť
Vyssie rády
Dôkaz Vety 13.
Tvrdenie vyplýva z kombinácie Vety 11 a Picardovej-Lindelófovej Vety 3.
Poznámka 9 (Lipschitzova podmienka)
Poznamenajme, že podobne ako v Poznámke 4 platí pozorovanie, že ak funkcia /(£, 2i,..., 2n) definovaná na konvexnej oblasti íl C IRn+1 má ohraničené parciálne derivácie podľa premenných 2i,..., 2n na množine íl, potom spĺňa Lipschitzovu podmienku (79) na íl vzhľadom na premenné 2i,..., zn.
Príklad 3
Uvažujme diferenciálnu rovnicu tretieho rádu tvaru
y'" = yy' + (y")2 -t, > R je skalárna funkcia. Pod pojmom riešenie rovnice (74) na intervale X C R rozumieme funkciu (f, ktorá má na X všetky derivácie až do rádu n vrátane, a ktorá spĺňa relácie
[t,