M5160 Obyčajné diferenciálne rovnice I
Stabilita systémov
diferenciálnych rovníc
Peter Šepitka
zima 2021
Obsah
1 Pojem stability systému diferenciálnych rovníc
2 Stabilita triviálneho riešenia
3 Priama Ljapunovova metóda
Stabilita Triviálne riešenie Ljapunov
Obsah
1 Pojem stability systému diferenciálnych rovníc
2 Stabilita triviálneho riešenia
3 Priama Ljapunovova metóda
Stabilita Triviálne riešenie Ljapunov
Nech n ∈ N je daný index, t0 ∈ R a a ∈ R ∪ {∞} daný bod. Uvažujme množiny
I := [t0, ∞), D := {x ∈ Rn
, x < a}. (1)
Počas prednášky budeme pracovať so systémom diferenciálnych rovníc tvaru
x′
= f(t, x), (2)
kde f : I × D → Rn+1
je daná spojitá (n + 1)-vektorá funkcia. Pod pojmom
riešenie systému (2) budeme vždy myslieť ω-úplné riešenie definované na celom
nekonečnom intervale I v (1). Budeme skúmať vlastnosti riešení systému (2) na
I v závislosti na ich začiatočných podmienkach v bode t0. Obzvlášť nás bude
zaujímať stabilita riešení systému (2). Intuitívne je tento pojem založený na
myšlienke, že riešenie ϕ systému (2) je stabilné, ak každé iné riešenie ψ systému
(2), ktoré je v bode t0 dostatočne blízko k riešeniu ϕ, si túto vlastnosť v istom
zmysle zachová na celom intervale I. K najvýnamnejším priekopníkom teórie
stability diferenciálnych systémov bol ruský matematik a fyzik A. M. Ljapunov
(1857–1918). Jeho prístup k problematike stability diferenciálnych systémov je
jeden z najznámejších a dodnes úspešne používaných.
Stabilita Triviálne riešenie Ljapunov
Ljapunovská stabilita
Definícia 1 (Stabilita riešenia)
Hovoríme, že riešenie ϕ systému (2) je (ljapunovsky) stabilné, ak pre každé ε > 0
a každý bod τ ≥ t0 existuje δ > 0 (závislé na ε a τ) s vlastnosťou
ak riešenie ψ systému (2) spĺňa ψ(τ) − ϕ(τ) < δ, potom riešenie ψ
existuje na celom intervale [τ, ∞) a platí ψ(t) − ϕ(t) < ε pre každé t ≥ τ. (3)
V opačnom prípade sa riešenie ϕ (2) nazýva nestabilné.
Definícia 2 (Rovnomerná stabilita riešenia)
Hovoríme, že riešenie ϕ systému (2) je rovnomerne stabilné, ak pre každé ε > 0
existuje δ > 0 (závislé na ε) také, že pre každé τ ≥ t0 platí podmienka (3).
Poznámka 1
Z Definícií 1 a 2 je zrejmé, že každé riešenie systému (2), ktoré je rovnomerne
stabilné, je zároveň aj (ljapunovsky) stabilné.
Stabilita Triviálne riešenie Ljapunov
Definícia 3 (Asymptotická stabilita riešenia)
Riešenie ϕ systému (2) sa označuje ako asymptoticky stabilné, ak je stabilné v
zmysle Definície 1 a pre každý bod τ ≥ t0 existuje δ > 0 s vlastnosťou
ak riešenie ψ systému (2) spĺňa ψ(τ) − ϕ(τ) < δ, potom
lim
t→∞
ψ(t) − ϕ(t) = 0 (4)
Definícia 4 (Globálna asymptotická stabilita riešenia)
Riešenie ϕ systému (2) sa označuje ako globálne asymptoticky stabilné, ak pre
každé riešenie ψ systému (2) platí limt→∞ ψ(t) − ϕ(t) = 0.
Definícia 5 (Exponenciálna stabilita riešenia)
Riešenie ϕ systému (2) sa označuje ako exponenciálne stabilné, ak existujú kladné
konštanty K, α a δ také, že pre každé τ ≥ t0 je riešenie ψ systému (2) spĺňajúce
ψ(τ) − ϕ(τ) < δ definované na celom intervale [τ, ∞) a platí
ψ(t) − ϕ(t) ≤ K ψ(τ) − ϕ(τ) e−α(t−τ)
pre každé t ≥ τ. (5)
Stabilita Triviálne riešenie Ljapunov
Poznámka 2
Analýzou Definícií 1–5 nie je ťažké dokázať implikácie
Globálna asymptotická stabilita + Stabilita
⇓
Asymptotická stabilita
⇓
Stabilita,
resp. implikácie
Exponenciálna stabilita
⇓
Asymptotická stabilita
⇓
Stabilita,
resp. implikáciu
Exponenciálna stabilita
⇓
Rovnomerná stabilita.
Stabilita Triviálne riešenie Ljapunov
Príklad 1
Priamo z definície ukážeme, že každé riešenie rovnice
x′
= 0
je rovnomerne stabilné, ale žiadne nie je asymptoticky stabilné. Riešenia rovnice
v zadaní majú zrejme tvar x ≡ C na celom R, kde C ∈ Rn
je vhodná konštanta.
Nech ϕ a ψ sú dve rôzne riešenia, t.j., ϕ(t) = Cϕ a ψ(t) = Cψ, Cϕ = Cψ, pre
každé t ∈ R. Keďže platí
ψ(t) − ϕ(t) = Cψ − Cϕ pre každé t ∈ R, (6)
v súlade s Definíciou 2 pre každé ε > 0 môžeme vziať ľubovoľné 0 < δ ≤ ε a
máme zaručenú vlastnosť (3) pre každé τ ∈ R. Skutočne, ak
ψ(τ) − ϕ(τ) < δ, potom ψ(t) − ϕ(t)
(6)
= ψ(τ) − ϕ(τ) < δ ≤ ε pre každé t ≥ τ.
Riešenie ϕ je teda rovnomerne stabilné. Na druhej strane máme
lim
t→∞
ψ(t) − ϕ(t)
(6)
= Cψ − Cϕ = 0,
preto vzhľadom na Definíciu 3 riešenie ϕ nie je asymptoticky stabilné.
Stabilita Triviálne riešenie Ljapunov
Príklad 2
Dokážeme, že každé riešenie rovnice
x′
= −x, I = [0, ∞),
je asymptoticky stabilné. Elementárnym výpočtom zistíme všeobecné riešenie
tvaru x(t) = Ce−t
, C ∈ Rn
, definované na celom I. Nech ϕ a ψ sú dve
riešenia, t.j., ϕ(t) = Cϕe−t
a ψ(t) = Cψe−t
, Cϕ = Cψ. Pre každé τ ∈ I platí
ϕ(t) = ϕ(τ) e−(t−τ)
, ψ(t) = ψ(τ) e−(t−τ)
, t ∈ I. (7)
Následne dostávame
ψ(t) − ϕ(t)
(7)
= ψ(τ) − ϕ(τ) e−(t−τ)
, t, τ ∈ I. (8)
Keďže pre každé dané τ ∈ I je e−(t−τ)
≤ 1 pre t ≥ τ, máme
ψ(t) − ϕ(t) ≤ ψ(τ) − ϕ(τ) , t ≥ τ,
t.j., podľa Definície 1 je riešenie ϕ stabilné. Naviac, pre každú voľbu τ ∈ I platí
lim
t→∞
ψ(t) − ϕ(t)
(8)
= ψ(τ) − ϕ(τ) lim
t→∞
e−(t−τ)
= 0,
t.j., v zhode s Definíciou 3 je riešenie ϕ i asymptoticky stabilné. V súlade s Definíciami
4 a 5 sa dokonca jedná o globálnu asymptotickú stabilitu i exponenciálnu
stabilitu, nakoľko rovnosť (8) korešponduje s nerovnosťou (5).
Stabilita Triviálne riešenie Ljapunov
Príklad 3
Vyšetrime stabilitu nulového riešenia ϕ ≡ 0 systému
x′
= ax, I = [0, ∞),
v závislosti na reálnej konštante a. Všeobecné riešenie tohto systému má zrejme
tvar x(t) = Ceat
, C ∈ Rn
, pre každé t ∈ I. Keďže platí
lim
t→∞
eat
=



∞, a > 0,
1, a = 0,
0, a < 0,
dostávame, že nulové riešenie ϕ ≡ 0 je pre každé a ≤ 0 rovnomerne stabilné,
pre každé a < 0 naviac i (globálne) asymptoticky a exponenciálne stabilné a pre
každé a > 0 nestabilné.
Príklad 4
Nulové riešenie ϕ ≡ 0 na intervale I = [0, ∞) diferenciálnej rovnice
y(4)
− y(3)
+ y′′
− y′
= 0
je nestabilné, nakoľko jedna skupina jej riešení je y(t) = Cet
, C ∈ R, t ∈ I.
Stabilita Triviálne riešenie Ljapunov
Príklad 5
Ukážme, že nulové riešenie ϕ ≡ 0 rovnice
x′
= −x3
, I = [0, ∞),
je rovnomerne stabilné i (globálne) asymptoticky stabilné, ale nie je exponenciálne
stabilné. Pre každú začiatočnú podmienku x(τ) = η, τ ∈ I a η ∈ R, má
odpovedajúce jediné ω-úplné riešenie ψ tvar
ψ(t) =
η
1 + 2η2(t − τ)
, t ∈ I, (9)
ako sa môžeme ľahko presvedčiť. Pre každú voľbu bodu [τ, η] ∈ I × R máme
|ψ(t)|
(9)
=
η
1 + 2η2(t − τ)
≤ |η| = |ψ(τ)|, t ≥ τ, (10)
lim
t→∞
|ψ(t)|
(9)
= lim
t→∞
η
1 + 2η2(t − τ)
= 0. (11)
Nerovnosť (10) v súlade s Definíciou 2 znamená, že riešenie ϕ je rovnomerne
stabilné, kým podmienka (11) podľa Definícií 3 a 4 zaručuje jeho (globálnu)
asymptotickú stabilitu. Predpokladajme, že riešenie ϕ je i exponenciálne stabilné.
Stabilita Triviálne riešenie Ljapunov
Príklad 5
V súlade s Definíciou 5 existujú kladné konštanty K, α a δ tak, že platí
ak |ψ(τ)| = |η| < δ, potom |ψ(t)|
(9)
=
|η|
1 + 2η2(t − τ)
(5)
≤ K|η| e−α(t−τ)
(12)
pre každé τ ∈ I a pre každé t ≥ τ. Obvzlášť, z nerovnosti v (12) vyplýva
pre každé 0 < |η| < δ platí
1 + 2η2(t − τ)
eα(t−τ)
≥
1
K
> 0 pre každé t ≥ τ. (13)
Avšak nie je ťažké ukázať, že limita
lim
t→∞
1 + 2η2(t − τ)
eα(t−τ)
= 0 pre každé η ∈ R,
čo je zjavný spor s nerovnosťou v (13). Preto nulové riešenie ϕ ≡ 0 nemôže byť
exponenciálne stabilné.
Príklad 6
Konštantné riešenie ϕ ≡ 1 rovnice x′
= x(1 − x) na intervale I = [0, ∞) je
síce exponenciálne stabilné, ale nie je globálne asymptoticky stabilné, pretože
pre nulové riešenie ψ ≡ 0 na I platí limt→∞ |ψ(t) − ϕ(t)| = limt→∞ 1 = 1 = 0.
Stabilita Triviálne riešenie Ljapunov
Pri vyšetrovaní stability nejakého daného riešenia ϕ systému (2) je štandarné a
výhodné vykonať transformáciu
y := x − ϕ, (14)
pomocou ktorej získame nový systém diferenciálnych rovníc tvaru
y′
= f(t, y + ϕ) − f(t, ϕ). (15)
Výhodou transformácie (14) je pozorovanie, že pôvodnému riešeniu ϕ systému
(2) odpovedá triviálne (identicky) nulové riešenie y ≡ 0 na I transformovaného
systému (15). Obzvlášť, vzhľadom na Definície 1–5 majú riešenia ϕ a y ≡ 0
rovnaké vlastnosti stability. Obmedzíme sa preto – bez ujmy na všeobecnosti –
na systémy, ktoré majú konštantné identicky nulové riešenie a budeme vyšetrovať
jeho stabilitu. Každý takýto systém sa dá vyjadriť v tvare
x′
= A(t)x + b(t, x), (16)
kde A : I → Rn
je n × n spojitá maticová funkcia a b : I × D → Rn
je
spojitá n-vektorá funkcia s vlastnosťou b(t, 0) = 0 pre každé t ∈ I. Doplňme,
že uvažujeme množiny I a D sú definované v (1). Výhody práce so systémom
(2) v tvare (16) sa v teórii stability ukážu v nasledujúcich sekciách.
Stabilita Triviálne riešenie Ljapunov
Obsah
1 Pojem stability systému diferenciálnych rovníc
2 Stabilita triviálneho riešenia
3 Priama Ljapunovova metóda
Stabilita Triviálne riešenie Ljapunov
Stabilita homogénneho lineárneho systému
Spolu so systémom (16) budeme uvažovať jeho homogénny lineárny systém
x′
= A(t)x. (17)
Lema 1
Nech X je n × n maticová funkcia spojitá na intervale I. Predpokladajme, že
existuje nezáporná funkcia ε : I → R a kladné číslo δ s vlastnosťou
X(t) η ≤ ε(t) pre každé η ∈ Rn
s η ≤ δ a pre každé t ∈ I. (18)
Potom existuje kladná konštanta K s vlastnosťou
X(t) ≤ Kε(t) pre každé t ∈ I. (19)
Dôkaz Lemy 1.
Ak ξ ∈ Rn
je vektor s ξ ≤ 1, potom δξ ≤ δ, a tak v súlade s (18) máme
X(t)(δξ) ≤ ε(t), t.j., X(t) ξ ≤ δ−1
ε(t), t ∈ I. (20)
Bez ujmy na všeobecnosti uvažujme súčtovú vektorovú normu. Potom každý
vektor ej, j = 1, . . . , n, kanonickej bázy priestoru Rn
zrejme spĺňa ej = 1, a
nakoľko X(t) ej = (x1j(t), . . . , xnj(t))T
pre j = 1, . . . , n, pomocou (20) máme
Stabilita Triviálne riešenie Ljapunov
Dôkaz Lemy 1 (pokračovanie).
n
i=1
|xij (t)| = (x1j (t), . . . , xnj (t))T
(20)
≤ δ−1
ε(t), t ∈ I, (21)
pre každé j = 1, . . . , n. Následne dostávame
X(t) =
n
i,j=1
|xij(t)| =
n
j=1
n
i=1
|xij(t)|
(21)
≤ nδ−1
ε(t), t ∈ I,
t.j., platí nerovnosť (19) pre K := nδ−1
. Dôkaz je hotový.
Veta 1
Nech X je nejaká daná fundamentálna matica homogénneho systému (17). Potom
nulové riešenie systému (17) je (ljapunovsky) stabilné práve vtedy, keď
existuje kladná konštanta L s vlastnosťou X(t) ≤ L pre každé t ∈ I.
Dôkaz Vety 1.
Pripomeňme, že každé riešenie ψ lineárneho systému (17), ktoré v bode τ ≥ t0
má danú hodnotu ψ(τ) = η, je možné pomocou matice X reprezentovať v tvare
ψ(t) = X(t) X−1
(τ) η, t ∈ I. (22)
Stabilita Triviálne riešenie Ljapunov
Dôkaz Vety 1 (pokračovanie).
Nech nulové riešenie ϕ ≡ 0 systému (17) je stabilné a zvoľme dané ε > 0.
V súlade s vlastnosťou (3) v Definíciou 1 existuje δ > 0 také, že ak ψ je riešenie
systému (17) a ψ(t0) = η spĺňajúce η < δ, potom platí nerovnosť
ψ(t) < ε pre každé t ∈ I. (23)
Podľa formuly (22) pre τ := t0 následne máme
X(t) X−1
(t0) η
(22)
= ψ(t)
(23)
< ε, t ∈ I. (24)
Z Lemy 1 potom vieme, že existuje kladná konštanta K s vlastnosťou
X(t) X−1
(t0)
(24),(19)
≤ Kε, t ∈ I. (25)
Napokon vďaka submultiplikatívnosti danej maticovej normy dostávame
X(t) = X(t) X−1
(t0) X(t0) ≤ X(t) X−1
(t0) · X(t0)
(25)
≤ Kε X(t0)
pre každé t ∈ I. Fundamentálna matica X teda spĺňa nerovnosť v tvrdení
vzhľadom na konštantu L := Kε X(t0) > 0. Naopak, nech fundamentálna
matica X systému (17) je ohraničená na intervale I, t.j. existuje L > 0 také, že
X(t) ≤ L pre každé t ∈ I. (26)
Stabilita Triviálne riešenie Ljapunov
Dôkaz Vety 1 (pokračovanie).
Zvoľme ε > 0 a bod τ ≥ t0 a položme
δ :=
ε
L X−1(τ)
> 0. (27)
Nech ψ je riešenie systému (17) s ψ(τ) = η, pričom η < δ. Kombináciou (22)
a (27) postupne dostávame
ψ(t)
(22)
= X(t) X−1
(τ) η ≤ X(t) · X−1
(τ) · η
(26)
< Lδ X−1
(τ)
(27)
= ε pre každé t ≥ τ.
Podľa Definície 1 je teda nulové riešenie ϕ ≡ 0 systému (17) stabilné.
Dôsledok 1
Nech matica A systému (17) je konštantná na intervale I. Potom nulové riešenie
systému (17) je stabilné práve vtedy, keď každé vlastné číslo matice A má
nekladnú reálnu časť a vlastné čísla s nulovou reálnou časťou sú jednoduché.
Dôkaz Dôsledku 1.
Tvrdenie priamo vyplýva z Vety 1 a z vlastností systému (17).
Stabilita Triviálne riešenie Ljapunov
Veta 2
Nech X je nejaká daná fundamentálna matica homogénneho systému (17). Potom
nulové riešenie systému (17) je rovnomerne stabilné práve vtedy, keď existuje
kladná konštanta L s vlastnosťou
X(t) X−1
(τ) ≤ L pre každé t, τ ∈ I spĺňajúce t ≥ τ. (28)
Dôkaz Vety 2.
Tvrdenie sa dokáže analogicky ako Veta 1. Dôležitým faktom je, že číslo δ v
Definícii 2 nezávisí na voľbe bodu τ ≥ t0. To znamená, že nerovnosť (25) platí
nielen pre body t0 a t ≥ t0, ale pre každé body τ a t ≥ τ. Okrem toho, v dôkaze
Lemy 1 vidíme, že daná konštanta K = nδ−1
, t.j., nezávisí na výbere bodu τ.
V druhej časti dôkazu Vety 1 teraz v (27) volíme δ := ε
L
.
Dôsledok 2
Nech matica A systému (17) je konštantná na intervale I. Potom nulové riešenie
systému (17) je rovnomerne stabilné práve vtedy, keď je stabilné. Podľa
Dôsledku 1 je to práve vtedy, keď každé vlastné číslo matice A má nekladnú
reálnu časť a vlastné čísla s nulovou reálnou časťou sú jednoduché.
Stabilita Triviálne riešenie Ljapunov
Dôkaz Dôsledku 2.
Tvrdenie priamo vyplýva z Vety 2 a z vlastností systému (17). Je nutné si uvedomiť,
že ak X je ľubovoľná daná fundamentálna matica systému (17), potom
pre každé τ ∈ I je i Φ(t, τ) := X(t) X−1
(τ) fundamentálna matica systému (17)
s vlastnosťou Φ(τ, τ) = In, t.j., platí Φ(t, τ) = eA(t−τ)
pre každé t, τ ∈ I.
Veta 3
Nech X je nejaká daná fundamentálna matica homogénneho systému (17). Potom
nulové riešenie systému (17) je asymptoticky stabilné práve vtedy, keď platí
lim
t→∞
X(t) = 0. (29)
Dôkaz Vety 3.
Nech nulové riešenie ϕ ≡ 0 systému (17) je asymptoticky stabilné. Zvoľme bod
τ ≥ t0 a nech δ > 0 je k nemu odpovedajúce číslo z Definície 3. Nech ψ je
riešenie systému (17) s ψ(τ) = η, kde vektor η ≤ δ. V súlade s podmienkou
(4) potom platí limt→∞ ψ(t) = 0. Kombináciou s (22) máme
lim
t→∞
X(t) X−1
(τ) η
(22)
= lim
t→∞
ψ(t) = 0. (30)
Z poslednej rovnosti vyplýva, že nutne
Stabilita Triviálne riešenie Ljapunov
Dôkaz Vety 3 (pokračovanie).
lim
t→∞
X(t) X−1
(τ) = 0. (31)
Skutočne, ak uvažujeme vektory ηj := δej, j = 1, . . . , n, potom ηj = δ pre
každé j = 1, . . . , n a následne využitím (30) dostaneme
lim
t→∞
X(t) X−1
(τ) = δ−1
lim
t→∞
X(t) X−1
(τ) (δIn)
= δ−1
lim
t→∞
n
j=1
X(t) X−1
(τ) ηj
= δ−1
n
j=1
lim
t→∞
X(t) X−1
(τ) ηj
(30)
= 0,
t.j., platí (31). Využitím submultiplikatívnosti maticovej normy dostaneme
lim
t→∞
X(t) = lim
t→∞
X(t) X−1
(τ) X(τ) ≤ lim
t→∞
X(t) X−1
(τ) · X(τ)
(31)
= 0,
čo dokazuje rovnosť (29). Naopak, ak fundamentálna matica X spĺňa podmienku
(29), potom vzhľadom na reprezentáciu v (22) pre každú danú voľbu bodu τ ≥ t0
a pre každé vektorové riešenie ψ systému (17) platí
Stabilita Triviálne riešenie Ljapunov
Dôkaz Vety 3 (pokračovanie).
lim
t→∞
ψ(t)
(22)
= lim
t→∞
X(t) X−1
(τ) η ≤ lim
t→∞
X(t) · X−1
(τ) η
(29)
= 0.
Podmienka (4) v Definícií 3 je teda splnené. Ukážeme ešte stabilitu nulového
riešenie systému (17). Z rovnosti (29) vyplýva, že fundamentálna matica X je
ohraničená na intervale I, t.j., pre vhodné L > 0 spĺňa nerovnosť X(t) ≤ L
pre každé t ∈ I. Podľa Vety 1 je teda zaručená stabilita riešenia ϕ ≡ 0 systému
(29), a tak v súlade s Definíciou 3 i jeho asymptotická stabilita.
Dôsledok 3
Nulové riešenie systému (17) je asymptoticky stabilné práve vtedy, keď je
globálne asymptoticky stabilné, t.j.,
lim
t→∞
ψ(t) = 0 pre každé riešenie ψ systému (17).
Dôkaz Dôsledku 3.
Tvrdenia vyplýva z Definície 4, z Vety 3 a z vlastností množiny všetkých vektorových
riešení homogénneho lineárneho systému (17).
Stabilita Triviálne riešenie Ljapunov
Dôsledok 4
Nech matica A systému (17) je konštantná na intervale I. Potom nulové riešenie
systému (17) je (globálne) asymptoticky stabilné práve vtedy, keď každé vlastné
číslo matice A má zápornú reálnu časť.
Dôkaz Dôsledku 4.
Tvrdenie priamo vyplýva z Vety 3, Dôsledku 3 a z vlastností systému (17).
Nech p je polynóm stupňa n ≥ 1 s reálnymi koeficientami tvaru
p(λ) = anλn
+ an−1λn−1
+ · · · + a1λ + a0, an > 0. (32)
Matica H(p) ∈ Rn×n
definovaná predpisom
H(p) :=














an−1 an 0 0 0 0 · · · 0
an−3 an−2 an−1 an 0 0 · · · 0
an−5 an−4 an−3 an−2 an−1 an · · · 0
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
. · · ·
..
.
...
...
... · · · 0 a0 a1 a2
0 0 0 · · · 0 0 0 a0














(33)
Stabilita Triviálne riešenie Ljapunov
sa nazýva Hurwitzova matica polynómu p. Nasledujúca veta, ktorú uvedieme bez
dôkazu, poskytuje isté kritérium umožňujúce pomocou vlastností matice H(p) v
(33) rozhodnúť o znamienkach reálnych častí koreňov polynómu p v (32).
Veta 4 (Routhovo–Hurwitzovo kritérium)
Každý koreň polynómu p v (32) má zápornú reálnu časť práve vtedy, keď Hurwitzova
matica H(p) v (33) má všetky vedúce hlavné minory kladné.
Poznámka 3
Konštrukcia Hurwitzovej matice H(p) polynómu p v (32) je naznačená v (33).
V prípade, ak potrebujeme do danej matice umiestniť koeficient polynómu p s
indexom väčším ako n, resp. menším ako 0, doplníme nulu. Tiež poznamenajme,
že polynóm p stupňa n ≥ 1 s reálnymi koeficientami sa označuje prívlastkom
stabilný, ak všetky jeho korene majú záporné reálne časti.
Veta 5
Nech X je nejaká daná fundamentálna matica homogénneho systému (17). Potom
nulové riešenie systému (17) je exponenciálne stabilné práve vtedy, keď
existujú kladné konštanty L a α s vlastnosťou
X(t) X−1
(τ) ≤ Le−α(t−τ)
pre každé t, τ ∈ I spĺňajúce t ≥ τ. (34)
Stabilita Triviálne riešenie Ljapunov
Dôkaz Vety 5.
Postupujeme analogicky ako pri dôkazoch Viet 1 a 2. Nech nulové riešenie ϕ ≡ 0
systému (17) je exponenciálne stabilné. Nech K, α a δ sú odpovedajúce kladné
konštanty v Definíciou 5. Uvažujme daný bod τ ≥ t0 a nech ψ je riešenie systému
(17) s ψ(τ) = η, pričom η < δ. Potom v súlade s (5) platí nerovnosť
ψ(t) ≤ K ψ(τ) e−α(t−τ)
= K η e−α(t−τ)
< Kδ e−α(t−τ)
, t ≥ τ. (35)
Pomocou reprezentácie v (22) následne máme
X(t) X−1
(τ) η
(22)
= ψ(t) ≤ Kδ e−α(t−τ)
, t ≥ τ, ak η ≤ δ. (36)
Podľa Lemy 1 z relácií v (36) vyplýva, že existuje kladná konštanta L s vlastnosťou
X(t) X−1
(τ) ≤ Le−α(t−τ)
pre každé t ≥ τ, t.j., platí nerovnosť (34).
Naopak, predpokladajme, že fundamentálna matica X spĺňa nerovnosť (34). Ak
ψ je riešenie systému (17), potom ψ je definované na celom intervale I, pričom
pre každý bod τ ≥ t0 využitím (22) platí
ψ(t)
(22)
= X(t) X−1
(τ) η ≤ X(t) X−1
(τ) · η
(34)
≤ L ψ(τ) e−α(t−τ)
pre každé t ≥ τ nezávisle na norme hodnoty ψ(τ) = η. Podmienka (5) v
Definícii 5 je teda splnená pre každú voľbu δ > 0. Obzvlášť, nulové riešenie
ϕ ≡ 0 systému (17) je exponenciálne stabilné. Dôkaz je kompletný.
Stabilita Triviálne riešenie Ljapunov
Dôsledok 5
Nech matica A systému (17) je konštantná na intervale I. Potom nulové riešenie
systému (17) je exponenciálne stabilné práve vtedy, keď je asymptoticky stabilné,
t.j., práve vtedy, keď každé vlastné číslo matice A má zápornú reálnu časť.
Dôkaz Dôsledku 5.
V súlade s Poznámkou 2 platí, že exponenciálna stabilita (každého) riešenia
systému (17) implikuje jeho asymptotickú stabilitu. Predpokladajme, že nulové
riešenie ϕ ≡ 0 systému (17) s konštantnou maticou A je asymptoticky stabilné.
Z teórie systémov lineárnych diferenciálnych rovníc s konštantnými koeficientami
vieme, že každá fundamentálna matica X sytému (17) má tvar X(t) = eAt
C,
t ∈ I, pre nejakú konštantnú regulárnu maticu C ∈ Rn×n
. Následne platí
X(t) X−1
(τ) = eA(t−τ)
pre každé t, τ ∈ I spĺňajúce t ≥ τ. (37)
Podľa Dôsledku 4 majú všetky vlastné čísla matice A, a teda i každej matice
A(t − τ) v (37) pre t > τ, záporné reálne časti. Zo štruktúry matice eA(t−τ)
následne vyplýva, že existujú kladné čísla L a α s vlastnosťou
X(t) X−1
(τ)
(37)
= eA(t−τ)
≤ Le−α(t−τ)
pre každé t, τ ∈ I spĺňajúce t ≥ τ.
V súlade s Definíciou 5 to potom znamená, že nulové riešenie ϕ ≡ 0 systému
(17) je exponenciálne stabilné a dôkaz je hotový.
Stabilita Triviálne riešenie Ljapunov
Príklad 7
Preskúmajme stabilitu nulového riešenia rovnice
x′
= (sin ln t + cos ln t − a)x, I = [1, ∞), 1 < a ≤ 5/4.
Štandardným spôsobom stanovíme nejaké fundamentálne riešenie, napríklad
x(t) = e
t
1 (sin ln s+cos ln s−a) ds
= et sin ln t−a(t−1)
, t ∈ I. (38)
Nie je ťažké odvodiť, že limita
lim
t→∞
|x(t)|
(38)
= lim
t→∞
et sin ln t−a(t−1)
= 0. (39)
Skutočne, vďaka predpokladu a > 1 platí
lim
t→∞
(t sin ln t − a(t − 1)) = lim
t→∞
t sin ln t − a 1 −
1
t
= −∞.
Vzhľadom na podmienku (39) je podľa Vety 3 nulové riešenie rovnice v zadaní
príkladu asymptoticky stabilné. Nulové riešenie však nie je rovnomerne stabilné.
Konkrétne, ukážeme, že v súlade s Vetou 6 neexistuje univerzálna konštanta
L > 0, t.j., nezávislá na t, τ ∈ I, s vlastnosťou (28). Pomocou (38) máme
|x(t) x−1
(τ)|
(38)
= et sin ln t−τ sin ln τ−a(t−τ)
pre každé t, τ ∈ I spĺňajúce t ≥ τ. (40)
Stabilita Triviálne riešenie Ljapunov
Príklad 7
Uvažujme dve postupnosti {τk}∞
k=1, {tk}∞
k=1 ⊆ I tvaru
tk := e2kπ+ π
2 , τk := e2kπ
, k ∈ N. (41)
Vďaka monotónnosti a asymptotickým vlastnostiam exponenciálnej funkcie platí
τk
(41)
< tk pre každé k ∈ N, lim
k→∞
τk
(41)
= ∞
(41)
= lim
k→∞
tk. (42)
Pre fundamentálne riešenia x(tk) x−1
(τk), k ∈ N, následne dostávame
|x(tk) x−1
(τk)|
(40)
= etk sin ln tk−τk sin ln τk−a(tk−τk)
(41)
= etk sin(2kπ+ π
2 )−τk sin 2kπ−a(tk−τk)
= eaτk−(a−1)tk . (43)
Z (43) v kombinácii s (42) a aτk − (a − 1)tk > τk/50 pre každé k ∈ N vyplýva
lim
k→∞
|x(tk) x−1
(τk)|
(43)
= lim
k→∞
eaτk−(a−1)tk ≥ lim
k→∞
eτk/50 (42)
= ∞.
Posledná limitná vlastnosť dokazuje, že podmienka (28) nie je splnená pre žiadnu
jedinú konštantnu L > 0. Nulové riešenie rovnice v zadaní príkladu teda skutočne
nie je rovnomerne stabilné. Naviac, podľa poslednej implikácie v Poznámke 2
toto riešenie nemôže byť ani exponenciálne stabilné.
Stabilita Triviálne riešenie Ljapunov
Príklad 8
Rozhodnime o stabilite lineárnej diferenciálnej rovnice
y(5)
+ y(4)
+ 7y(3)
+ 4y′′
+ 10y′
+ 3y = 0, I = R.
Jedná sa o lineárnu diferenciálnu rovnicu s konštatnými koeficientami. Odpovedajúci
charakteristický polynóm rovnice má tvar
p(λ) = λ5
+ λ4
+ 7λ3
+ 4λ2
+ 10λ + 3. (44)
Využitím Routhovho–Hurwitzovho kritéria vo Vete 4 ukážeme, že polynóm p
v (44) je stabilný, t.j., v súlade s Poznámkou 3 každý jeho koreň má zápornú
reálnu časť. V zhode so zápisom (32) má polynóm p koeficienty
a0 = 3, a1 = 10, a2 = 4, a3 = 7, a4 = 1, a5 = 1. (45)
Následne pre príslušnú Hurwitzovu maticu H(p) v (33) pomocou (45) platí
H(p) =





1 1 0 0 0
4 7 1 1 0
3 10 4 7 1
0 0 3 10 4
0 0 0 0 3





. (46)
Všetky vedúce hlavné minory matice H(p) v (46) sú kladné. Polynóm p je preto
stabilný a podľa Dôsledku 4 je rovnica v zadaní príkladu asymptoticky stabilná.
Stabilita Triviálne riešenie Ljapunov
Stabilita nelineárneho systému
Veta 6
Nech nulové riešenie homogénneho systému (17) je rovnomerne stabilné a nech
funkcia b v (16) má vlastnosť
b(t, x) ≤ γ(t) x pre každé [t, x] ∈ I × D, (47)
kde γ : I → R je nezáporná spojitá funkcia spĺňajúca podmienku
∞
t0
γ(s) ds < ∞. (48)
Potom nulové riešenie ϕ ≡ 0 systému (16) je rovnomerne stabilné.
Dôkaz Vety 6.
Zvoľme bod τ ∈ I a nech ψ je nejaké dané riešenie systému (16), ktoré existuje
na vhodnom pravom okolí bodu τ. Analogickým spôsobom ako pri lineárnych
systémoch (metódou variácie konštánt) odvodíme integrálne vyjadrenie
ψ(t) = X(t) X−1
(τ) ψ(τ) +
t
τ
X(t) X−1
(s) b(s, ψ(s)) ds, (49)
kde X je ľubovoľná pevne zvolená fundamentálna matica systému (17) a t ≥ τ
Stabilita Triviálne riešenie Ljapunov
Dôkaz Vety 6 (pokračovanie).
je každý bod, v ktorom je riešenie ψ definované. V súlade s predpokladmi matica
X spĺňa podľa Vety 2 nerovnosť (28) pre vhodnú konštantu L > 0. V
kombináciou s (49) a podmienkou (47) dostávame
ψ(t)
(49)
≤ X(t) X−1
(τ) ψ(τ) +
t
τ
X(t) X−1
(s) b(s, ψ(s)) ds
(28)
≤ L ψ(τ) + L
t
τ
b(s, ψ(s)) ds
(47)
≤ L ψ(τ) + L
t
τ
γ(s) ψ(s) ds.
Z odvodenej nerovnosti pomocou Gronwallovej lemy vyplýva, že platí
ψ(t) = L ψ(τ) eL t
τ γ(t) ds
(48)
≤ Le
L ∞
t0
γ(s)ds
=:K
ψ(τ) = K ψ(τ) (50)
pre každé t ≥ τ, pre ktoré riešenie ψ existuje. Nech ε ∈ (0, a) s a definovaným
v (1) je dané a položme δ := ε
K
. Potom pre každé riešenie ψ systému (16)
spĺňajúce ψ(τ) < δ podľa (50) platí ψ(t) < Kδ = ε < a pre každé
prípustné t ≥ τ. Z vlastností úplných riešení následne vyplýva, že riešenie ψ je
definované pre každé t ≥ τ a ψ(t) < ε na [τ, ∞). Nulové riešenie ϕ ≡ 0
systému (16) teda spĺňa vlastnosť (3) s hodnotou δ > 0 nezávislou na výbere
bodu τ ∈ I. V súlade s Definíciou 2 je preto riešenie ϕ rovnomerne stabilné.
Stabilita Triviálne riešenie Ljapunov
Veta 7
Nech fundamentálna matica X systému (17) spĺňa pre isté K > 0 vlastnosť
t
t0
X(t) X−1
(s) ds ≤ K pre každé t ∈ I, (51)
a nech pre funkciu b v (16) existuje kladná konštanta γ < K−1
taká, že
b(t, x) ≤ γ x pre každé [t, x] ∈ I × D. (52)
Potom nulové riešenie ϕ ≡ 0 systému (16) je asymptoticky stabilné.
Dôkaz Vety 7.
Najprv ukážeme, že podmienka (51) implikuje vlastnosť (29), t.j., X(t) → 0
pre t → ∞. Definujme skalárnu funkciu
c(t) :=
t
t0
X(s) −1
ds, t ∈ I. (53)
Zrejme c′
(t) = X(t) −1
> 0 pre každé t ∈ I a následne máme
c(t)
c′(t)
(53)
= X(t)
t
t0
X(s) −1
ds =
t
t0
X(t) X(s) −1
ds
Stabilita Triviálne riešenie Ljapunov
Dôkaz Vety 7 (pokračovanie).
=
t
t0
X(t) X−1
(s) X(s) X(s) −1
ds ≤
t
t0
X(t) X−1
(s) X(s) X(s) −1
ds
=
t
t0
X(t) X−1
(s) ds
(51)
≤ K pre každé t ∈ I. (54)
Funkcia c teda podľa (54) spĺňa nerovnosť c′
(t) ≥ K−1
c(t) na intervale I, z
čoho po jednoduchej úprave dostávame [c(t) e−K−1
(t−t0)
]′
≥ 0 na I. Výraz
c(t) e−K−1
(t−t0)
je teda neklesajúca na I, t.j., platí
c(t) e−K−1
(t−t0)
≥ c(τ) e−K−1
(τ−t0)
−→ c(t) = c(τ) eK−1
(t−τ)
(55)
pre každé t, τ ∈ I s t ≥ τ. To znamená, že
lim
t→∞
c(t)
(55)
= ∞, a tak lim
t→∞
X(t)
(53)
= lim
t→∞
1
c′(t)
≤ lim
t→∞
K
c(t)
= 0.
Obvzlášť, nulové riešenie ϕ ≡ 0 systému (17) je podľa Vety 3 asymptoticky
stabilné. Naviac, norma X je ohraničená na intervale I, t.j., existuje L > 0
také, že X(t) ≤ L pre každé t ∈ I. Analogicky ako v dôkaze Vety 6 pre každé
dané τ ∈ I a každé dané riešenie ψ systému (16) platí formula (49) pre každé
t ≥ τ, v ktorom je riešenie ψ definované. Zvoľme pevne bod τ ∈ I. Potom
Stabilita Triviálne riešenie Ljapunov
Dôkaz Vety 7 (pokračovanie).
ψ(t)
(49)
≤ X(t) X−1
(τ) ψ(τ) +
t
τ
X(t) X−1
(s) b(s, ψ(s)) ds
(52)
≤ L X−1
(τ) ψ(τ) + γ
t
τ
X(t) X−1
(s) ψ(s) ds, t ≥ τ. (56)
Ak zavedieme funkciu
S(t) := sup
s∈[τ,t]
ψ(s) pre každé t ≥ τ, v ktorom ψ existuje, (57)
potom pomocou (56) získame odhad
ψ(t)
(56),(57),(51)
≤ L X−1
(τ) ψ(τ) + γKS(t), t ≥ τ. (58)
Z relácie (57) je zrejmé, že funkcia S je nezáporná a neklesajúca. Preto pomocou
(58) pre t ≥ τ máme ďalej odhad
S(t)
(57)
= sup
s∈[τ,t]
ψ(s)
(58)
≤ sup
s∈[τ,t]
L X−1
(τ) ψ(τ) + γKS(s)
= L X−1
(τ) ψ(τ) + γK sup
s∈[τ,t]
S(s) = L X−1
(τ) ψ(τ) + γKS(t), (59)
Stabilita Triviálne riešenie Ljapunov
Dôkaz Vety 7 (pokračovanie).
z čoho pre funkciu S napokon dostávame
S(t)
(59)
≤
L
1 − γK
X−1
(τ) ψ(τ) , t ≥ τ. (60)
Kombináciou (57) a odhadu (60) napokon máme
ψ(t)
(57)
≤ S(t)
(60)
≤
L
1 − γK
X−1
(τ) ψ(τ) (61)
pre každé t ≥ τ, v ktorom riešenie ψ existuje. Následne, pre dané ε ∈ (0, a) s
konštantou a v (1) položme
δ :=
ε(1 − γK)
L X−1(τ)
> 0. (62)
Nech ψ je riešenie systému (16), ktoré spĺňa podmienku ψ(τ) < δ pre hodnotu
δ > 0 v (62). Potom pre každé t ≥ τ, pre ktoré je riešenie ψ definované, platí
ψ(t)
(61)
≤
L
1 − γK
X−1
(τ) ψ(τ) ≤
L
1 − γK
X−1
(τ) ψ(τ)
<
L
1 − γK
X−1
(τ) δ
(62)
= ε < a pre každé t ≥ τ, v ktorom ψ existuje.
Stabilita Triviálne riešenie Ljapunov
Dôkaz Vety 7 (pokračovanie).
Odvodená nerovnosť jednak zaručuje existenciu riešenia ψ na celom intervale
[τ, ∞), a jednak v súlade s Definíciou 1 dokazuje stabilitu nulového riešenia
ϕ ≡ 0 systému (16). Ukážeme, že naviac platí limt→∞ ψ(t) = 0. Sporom
predpokladajme, že uvedené riešenie ψ takúto vlastnosť nemá, t.j., platí
lim sup
t→∞
ψ(t) =: µ > 0 (63)
Existuje teda postupnosť {tk}∞
k=1 ⊆ [τ, ∞) taká, že
lim
k→∞
tk = ∞ a lim
k→∞
ψ(tk) = µ. (64)
Keďže podľa predpokladov γK < 1, zvoľme číslo β > 1 tak, aby γKβ < 1.
Potom µ < βµ, a tak vzhľadom na (63) existuje dostatočne veľký index k0 ∈ N
taký, že platí nerovnosť ψ(t) ≤ βµ pre každé t ≥ tk0 . Využitím (56) máme
ψ(tk)
(56)
≤ X(tk) X−1
(τ) ψ(τ) +
tk
τ
X(tk) X−1
(s) b(s, ψ(s)) ds
≤ X(tk) X−1
(τ) ψ(τ) +
tk0
τ
X(tk) X−1
(s) b(s, ψ(s)) ds
+
tk
tk0
X(tk) X−1
(s) b(s, ψ(s)) ds
Stabilita Triviálne riešenie Ljapunov
Dôkaz Vety 7 (pokračovanie).
(52)
≤ X(tk) X−1
(τ) ψ(τ) + γ
tk0
τ
X(tk) X−1
(s) ψ(s) ds
+ γ
tk
tk0
X(tk) X−1
(s) ψ(s)) ds
≤ X(tk) X−1
(τ) ψ(τ) + γ X(tk)
tk0
τ
X−1
(s) ψ(s) ds
+ γβµ
tk
tk0
X(tk) X−1
(s) ds
(51)
≤ X(tk) X−1
(τ) ψ(τ) + γ X(tk)
tk0
τ
X−1
(s) ψ(s) ds + γKβµ (65)
pre každý index k > k0. Následným limitovaním nerovnosti (65) pre k → ∞
a využitím (64) a limk→∞ X(tk) = 0 dostaneme nerovnosť µ ≤ γKβµ, a
tak vzhľadom na (63) nerovnosť 1 ≤ γKβ. Táto nerovnosť je však v rozpore
s vyššie zvolenou voľbou čísla β. Preto nutne lim supt→∞ ψ(t) = 0, čo je
ekvivalentné s limt→∞ ψ(t) = 0. Podľa Definície 3 je teda nulové riešenie ϕ
systému (16) asymptoticky stabilné, čo završuje dôkaz.
Stabilita Triviálne riešenie Ljapunov
Veta 8
Nech fundamentálna matica X systému (17) spĺňa podmienku (34) a nech pre
funkciu b v (16) platí
b(t, x) ≤ γ x pre každé [t, x] ∈ I × D, (66)
kde γ je kladná konštanta s γ < αL−1
pre kladné čísla L a α z (34). Potom
nulové riešenie ϕ ≡ 0 systému (16) je exponenciálne stabilné. Konkrétne, pre
každý bod τ ≥ t0 každé riešenie ψ systému (16) s podmienkou ψ(τ) ≤ aL−1
existuje na celom intervale [τ, ∞) a má vlastnosť
ψ(t) ≤ L ψ(τ) e(γL−α)(t−τ)
pre každé t ≥ τ. (67)
Dôkaz Vety 8.
Vedenie dôkazu je podobné ako pri prechádzajúcich dvoch tvrdeniach. Zvoľme
pevné τ ∈ I a nejaké riešenie ψ systému (16), ktoré existuje na vhodnom pravom
okolí bodu τ. Potom platí reprezentácia v (49), pomocou ktorej dostaneme
ψ(t)
(49)
≤ X(t) X−1
(τ) ψ(τ) +
t
τ
X(t) X−1
(s) b(s, ψ(s)) ds (68)
pre každé t ≥ τ, v ktorom existuje riešenie ψ. Nerovnosť (68) teraz použijeme v
kombinácii s predpokladanými podmienkami (34) a (66). Postupne máme
Stabilita Triviálne riešenie Ljapunov
Dôkaz Vety 8 (pokračovanie).
ψ(t)
(68)
≤ X(t) X−1
(τ) ψ(τ) +
t
τ
X(t) X−1
(s) b(s, ψ(s)) ds
(34),(66)
≤ Le−α(t−τ)
ψ(τ) +
t
τ
γLe−α(t−s)
ψ(s) ds, t ≥ τ. (69)
Definujme pomocnú funkciu w(t) := eα(t−τ)
ψ(t) ≥ 0 pre t ≥ τ, v ktorých ψ
existuje. V súlade s (69) potom platí
w(t) = eα(t−τ)
ψ(t)
(69)
≤ L ψ(τ) +
t
τ
γLw(s) ds, t ≥ τ. (70)
Z nerovnosti (70) aplikáciou Gronwallovej lemy vyplýva
w(t) ≤ L ψ(τ) e
t
τ γL ds
= L ψ(τ) eγL(t−τ)
, t ≥ τ. (71)
Následne pre normu ψ v každom bode t ≥ τ, v ktorom je riešenie ψ definované,
platí nerovnosť (67), t.j.,
ψ(t)
(71)
≤ L ψ(τ) e(γL−α)(t−τ)
. (72)
Keďže číslo γL−α < 0, z (72) vyplýva ψ(t) ≤ L ψ(τ) < a pre každé t ≥ τ,
v ktorom riešenie ψ existuje. Z vlastností ω-úplných riešení systému (16) posled-
Stabilita Triviálne riešenie Ljapunov
Dôkaz Vety 8 (pokračovanie).
posledná nerovnosť zaručuje existenciu riešenia ψ na celom intervale [τ, ∞). To
napokon znamená, že v súlade s Definíciou 5 je nulové riešenie ϕ ≡ 0 systému
(16) exponenciálne stabilné. Dôkaz je hotový.
Všetky predchádzajúce tvrdenia, ktoré sme uviedli, poskytovali niektoré podmienky,
ktorá zaručovali, resp. boli ekvivalentné s istým druhom stability nulového
riešenia ϕ ≡ 0 systému (16), resp. lineárneho systému (17). V nasledujúcej
klasickej vete ukážeme jednoduché postačujúce podmienky pre podmienku
nestability triviálneho riešenia systému (16), t.j., pre prípad, kedy nulové riešenie
systému (16) nie je ljapunovsky stabilné v zmysle Definície 1. Dôkaz je po
technickej stránke zložitejší, preto ho pre jednoduchosť nebudeme uvádzať.
Veta 9 (Ljapunovova)
Nech A je reálna konštantná n × n matica, ktorá má aspoň jedno vlastné číslo
s kladnou reálnou časťou. Nech funkcia b v (16) spĺňa podmienku
lim
x→0
b(t, x)
x
= 0 rovnomerne vzhľadom na t ∈ I. (73)
Potom nulové riešenie ϕ ≡ 0 systému (16) je nestabilné.
Stabilita Triviálne riešenie Ljapunov
Poznámka 4 (Stabilita nehomogénneho lineárneho systému)
Je dôležité poznamenať, že ak systém (2) je lineárny, t.j., funkcia
f(t, x) := A(t) x + b(t), [t, x] ∈ I × D, (74)
potom transformovaný systém (15) je pre každé vyšetrované riešenie ϕ systému
(2) lineárny homogénny systém (17), ako sa možno ľahko presvedčiť. Vlastnosti
stability jednotlivých riešení lineárneho systému teda nezávisia na výbere daného
riešenia, t.j., buď všetky riešenia systému (2) s funkciou f v (74) sú stabilné, resp.
rovnomerne stabilné, resp. (globálne) asymptoticky stabilné, resp. exponenciálne
stabilné, alebo žiadne z nich nemá odpovedajúcu vlastnosť. Z tohto dôvodu sa
často hovorí skôr o stabilite lineárneho systému než o stabilite jeho riešení.
Dôležitou triedou diferenciálnych systémov sú autonómne systémy. Jedná sa o
systémy (2), v ktorých funkcia f nezávisí explicitne na premennej t, t.j.,
x′
= g(x), g : D → Rn
je spojitá funkcia. (75)
V tomto prípade môže mať systém (75) konštantné riešenia ϕ ≡ x0 na celom R,
kde vektor x0 je koreňom rovnice g(x) = 0 a nazýva sa ekvilibrium (stacionárny
bod) systému (75). Obzvlášť zaujímavá a významná je situácia, keď funkcia g je
diferencovateľná na okolí ekvilibria x0 systému (75). V tomto prípade sa štan-
Stabilita Triviálne riešenie Ljapunov
dardne pracuje s transformovaným systémom (16) (y := x − x0) v tvare
y′
= g′
(x0) y + h(y), h(y) := g(y + x0) − g′
(x0) y, y + x0 < a, (76)
kde konštantná n× n matica g′
(x0) je hodnota Jacobiho matice funkcie g v stacionárnom
bode x = x0, t.j.,
g′
(x0) :=



(g1)′
x1
(x0) · · · (g1)′
xn
(x0)
...
...
...
(gn)′
x1
(x0) · · · (gn)′
xn
(x0)


 . (77)
Veta 10 (Stabilita autonómneho systému)
Nech x0 je ekvilibrium systému (75) a funkcia g je spojito diferencovateľná na
D. Konštantné riešenie ϕ ≡ x0 systému (75) má nasledujúce vlastnosti.
(i) Riešenie ϕ ≡ x0 je rovnomerne stabilné práve vtedy, keď je stabilné.
(ii) Ak lineárny systém y′
= g′
(x0) y je exponenciálne stabilný, potom riešenie
ϕ ≡ x0 je exponenciálne stabilné.
(iii) Ak Jacobiho matica g′
(x0) má aspoň jedno vlastné číslo s kladnou reálnou
časťou, potom riešenie ϕ ≡ x0 je nestabilné.
Stabilita Triviálne riešenie Ljapunov
Dôkaz Vety 10.
Predpoklad spojitej diferencovateľnosti funkcie g na svojom definičnom obore D
zaručuje, že g je lokálne lipschitzovská na oblasti D, a tak pre každú začiatočnú
podmienku [t, η] ∈ R×D existuje práve jedno riešenie systému (75). Ak riešenie
ϕ ≡ x0 je rovnomerne stabilné, potom v súlade s Poznámkou 1 je i stabilné.
Opačná implikácia je dôsledkom špecifických vlastností autonómneho systému
(75). Konkrétne, platí vlastnosť
ak ψ(t) je riešenie systému (75), potom i funkcia ψ(t + c)
je riešenie systému (75) pre každú konštantu c ∈ R. (78)
Doplňme, že ak (a, b) ⊆ R je maximálny interval, na ktorom existuje riešenie
ψ, potom (a − c, b − c) ⊆ R je maximálny interval existencie riešenia ψ(t + c).
Predpokladajme, že konštantné riešenie ϕ ≡ x0 je stabilné a nech ε > 0 je dané.
Podľa Definície 1 existuje δ > 0 také, ža platí podmienka (3) s τ := t0, t.j.,
ak riešenie ψ systému (75) spĺňa ψ(t0) − x0 < δ, potom ψ
existuje na celom intervale I a platí ψ(t) − x0 < ε pre každé t ∈ I. (79)
Zvoľme bod τ ≥ t0 a uvažujme riešenie ˜ψ systému (75), ktoré spĺňa podmienku
˜ψ(τ)−x0 < δ. Potom funkcia ψ(t) := ˜ψ(t+τ −t0) je podľa (78) tiež riešením
systému (75), pričom platí ψ(t0) = ˜ψ(τ). Takže v zhode s predpokladom platí
ψ(t0) − x0 < δ. V súlade s (79) to následne znamená, že riešenie ψ existuje
na celom intervale I a spĺna nerovnosť ψ(t)−x0 < ε pre každé t ∈ I. Ekviva-
Stabilita Triviálne riešenie Ljapunov
Dôkaz Vety 10 (pokračovanie).
lentne, riešenie ˜ψ existuje na celom intervale [τ, ∞) a spĺňa nerovnosť
˜ψ(t) − x0 < ε pre každé t ≥ τ.
Podľa Definície 2 je teda konštantné riešenie ϕ ≡ x0 systému (75) rovnomerne
stabilné. Dôkaz tvrdenia (i) je kompletný. Tvrdenie (ii) vyplýva z Vety 8. Keďže
funkcia g je spojito diferencovateľná na D, pre funkciu h definovanú v (76) platí
lim
y→0
h(y)
y
= 0. (80)
Z predpokladu exponenciálnej stability homogénneho systému
y′
= g′
(x0) y (81)
podľa Vety 5 vyplýva, že pre jeho každú danú fundamentálnu maticu X existujú
kladné konštanty L a α také, že platí nerovnosť (34). Ďalej vlastnosť (80)
zaručuje existenciu kladného čísla γ, ktoré spĺňa podmienky
h(y) ≤ γ y pre každé y ∈ O(x0) a γ < αL−1
. (82)
Relácie v (82) podľa Vety 8 (s voľbou b(t, x) := h(y)) implikujú exponenciálnu
stabilitu nulového riešenia systému (76), a teda exponenciálnu stabilitu konštantného
riešenia ϕ ≡ x0 systému (75). Napokon tvrdenie (iii) je priamym dôsledkom
Ljapunovovej 9, v ktorej kladieme
Stabilita Triviálne riešenie Ljapunov
Dôkaz Vety 10 (pokračovanie).
A := g′
(x0), b(t, x) := h(y)
a zohľadňujeme podmienku (80), ktorá korešponduje s (73).
Príklad 9
Vyšetrime stabilitu triviálneho riešenia autonómneho systému
x′
1 = x2
1x2 + x2 cos x1 − ex4 (x3 − x4) + x3(x2 − 1),
x′
2 = 2 sin x1 cos x3 − sin 2x2 − x3(1 + x2
4) − x4,
x′
3 = 3ex2 sin x1 − x3 cos 2x2 − 3ex1 sin x3 + cos x4 − 1,
x′
4 = 3 sin(x1 − x3 + x4) − 2x2
3 − 4x4.
Nie je ťažké overiť, že 4-vektorová funkcia ϕ ≡ 0 je riešením daného systému. Pri
jeho skúmaní využijeme výsledky Vety 10. Stanovíme Jacobiho maticu vektorovej
funkcie g, ktorá určuje pravú stranu systému, t.j.,
(g1)′
x1
= 2x1x2 − x2 sin x1, (g1)′
x2
= x2
1 + cos x1 + x3,
(g1)′
x3
= −ex4 + x2 − 1, (g1)′
x4
= −ex4 (x3 − x4 − 1),
Stabilita Triviálne riešenie Ljapunov
Príklad 9
(g2)′
x1
= 2 cos x1 cos x3, (g2)′
x2
= −2 cos 2x2,
(g2)′
x3
= −2 sin x1 sin x3 − (1 + x2
4), (g2)′
x4
= −2x3x4 − 1,
(g3)′
x1
= 3ex2 cos x1 − 3ex1 sin x3, (g3)′
x2
= 3ex2 sin x1 + 2x3 sin 2x2,
(g3)′
x3
= − cos 2x2 − 3ex1 cos x3, (g3)′
x4
= − sin x4,
(g4)′
x1
= 3 cos(x1 − x3 + x4), (g4)′
x2
= 0,
(g4)′
x3
= −3 cos(x1 − x3 + x4) − 4x3, (g4)′
x4
= 3 cos(x1 − x3 + x4) − 4.
Následne pre hodnotu g′
(0) platí
g′
(0) =




0 1 −2 1
2 −2 −1 −1
3 0 −4 0
3 0 −3 −1



 .
Ukážeme, že každé vlastné číslo matice g′
(0) má zápornú reálnu časť. Odpovedajúci
charakteristický polynóm má tvar
p(λ) = λ4
+ 7λ3
+ 15λ2
+ 13λ + 4.
Stabilita Triviálne riešenie Ljapunov
Príklad 9
Aplikáciou Routhovho–Hurwitzovho kritéria vo Vete 4 zistíme, že každý koreň
polynómu p má zápornú reálnu časť. Skutočne, odpovedajúca Hurwitzova matica
H(p) má v súlade s (33) tvar
H(p) =




7 1 0 0
13 15 7 1
0 4 13 15
0 0 0 4



 .
Nie je ťažké overiť, že všetky vedúce hlavné minory matice H(p) sú kladné
det 7 = 7 > 0, det
7 1
13 15
= 92 > 0, det


7 1 0
13 15 7
0 4 13

 = 1000 > 0,
det




7 1 0 0
13 15 7 1
0 4 13 15
0 0 0 4



 = 4000 > 0.
Podľa Dôsledku 5 je nulové riešenie homogénnoho systému x′
= g′
(0) x exponenciálne
stabilné. Nasledné, v súlade s Vetou 10(ii) je exponenciálne stabilné i
nulové riešenie systému v zadaní príkladu.
Stabilita Triviálne riešenie Ljapunov
Obsah
1 Pojem stability systému diferenciálnych rovníc
2 Stabilita triviálneho riešenia
3 Priama Ljapunovova metóda
Stabilita Triviálne riešenie Ljapunov
Ljapunovská funkcia
V predchádzajúcich sekciách sme sa zaoberali skúmaním stability riešení všeobecného
systému (2). Pre dané riešenie ϕ sa ukázala výhodná transformácia na
systém (16) a následne zisťovanie vlastností stability jeho identicky nulového
riešenia. Odvodili sme niekoľko postačujúcich (niekedy zároveň i nutných) podmienok,
ktoré zaručovali niektorý typ stability nulového riešenia. Každá z týchto
podmienok obsahovala nejakú vhodnú požiadavku na vlastnosti maticovej funkcie
A a vekorovej funkcie b v (16). V tejto sekcii predstavíme nový prístup k problematike
stability systému (16), ktorý je založený na geometrických vlastnostiach
jeho riešení. V literatúre sa táto metóda štandardne označuje ako priama
(alebo aj druhá) Ljapunovova metóda. Spočíva v zavedení pomocnej funkcie,
tzv. ljapunovskej funkcie, ktorá umožnuje posúdiť, či nulové riešenie systému
(16) je, resp. nie je stabilné. Symbol o bude označovať nulový vektor v Rn
.
Definícia 6 (Pozitívne/negatívne definitná funkcia)
Nech V : Rn
→ R je daná funkcia definovaná na istom okolí O(o). Hovoríme,
že V je pozitívne, resp. negatívne definitná na okolí O(o), ak V (o) = 0 a
V (x) > 0, resp. V (x) < 0 pre každý nenulový vektor x ∈ O(o). (83)
Stabilita Triviálne riešenie Ljapunov
Definícia 7 (Ljapunovská funkcia systému)
Nech V : Rn
→ R je daná spojitá funkcia. Hovoríme, že V je ljapunovská
funkcia systému (16), ak existuje okolie O(o) také, že
(i) funkcia V je pozitívne definitná na O(o),
(ii) funkcia V je nerastúca pozdĺž trajektórií systému (16) v O(o), t.j., ak ψ
je riešenie systému (16) s hodnotou ψ(τ) ∈ O(o) pre isté τ ∈ I, potom
zložená funkcia V (ψ(t)) je nerastúca pre každé t ≥ τ, v ktorom riešenie ψ
existuje s hodnotou ψ(t) ∈ O(o).
Veta 11 (Ljapunovova)
Ak pre systém (16) existuje ljapunovská funkcia, potom jeho identicky nulové
riešenie je rovnomerne stabilné.
Dôkaz Vety 11.
Nech V je predpokladaná ljapunovská funkcia pre systém (16) a
O(o) = {x ∈ Rn
, x < c} ⊆ D, 0 < c < a, (84)
je odpovedajúce okolie nulového vektora v Definícii 7. Zvoľme ε ∈ (0, c) a polož-
Stabilita Triviálne riešenie Ljapunov
Dôkaz Vety 11 (pokračovanie).
me λ := min x =ε V (x). Hodnota λ je definovaná iste korektne, pretože sféra
{x ∈ Rn
, x = ε} ⊆ O(o) je kompaktná množina a funkcia V je spojitá na
množine O(o). Pomocou rovnakých argumentov a z toho, že V (o) = 0, naviac
platí, že existuje δ ∈ (0, ε) také, že V (x) < λ na okolí {x ∈ Rn
, x < δ}. To
znamená, že platia relácie
0 < λ ≤ V (x) pre každé x = ε a 0 < V (x) < λ pre každé 0 < |x| < δ. (85)
Zvoľme bod τ ∈ I a nech ψ je nejaké riešenie systému (16), ktoré spĺňa podmienku
ψ(τ) < δ. Keďže funkcia V je ljapunovská vzhľadom na systém (16),
podľa Definície 7(ii) je nerastúca pozdĺž trajektórie riešenia ψ, t.j., platí
V (ψ(t)) ≤ V (ψ(τ))
(85)
< λ pre každé t ≥ τ, pre ktoré ψ(t) existuje. (86)
Následne máme ψ(t) < ε pre každé t ≥ τ, pre ktoré riešenie ψ je definované.
Skutočne, ak by totiž – vzhľadom na spojitosť funkcie ψ – existoval bod T ≥ τ
taký, že ψ(T ) = ε, potom v súlade s (85) by muselo nutne platiť V (ψ(T )) ≥ λ,
čo odporuje vlastnosti (86). Napokon z toho, že ψ < ε < c < a na celom
obore definície funkcie ψ, vyplýva, že riešenie ψ systému (16) je definované na
celom intervale [τ, ∞) a spĺňa ψ(t) < ε pre každé t ≥ τ. Podľa Definície 2 je
teda nulové riešenie systému (16) rovnomerne stabilné. Dôkaz je hotový.
Stabilita Triviálne riešenie Ljapunov
Príklad 10
Overme, že nulové riešenie systému
x′
1 = −x2 − tx3
1, x′
2 = x1 − tx3
2, I = [0, ∞),
je rovnomerne stabilné. Uvažujme funkciu V (x1, x2) := x2
1 + x2
2 pre daný vektor
(x1, x2)T
∈ R2
. Nie je ťažké si premyslieť, že funkcia V je pozitívne definitná
a má spojité parciálne derivácie prvého rádu na celom R2
. Naviac, pre každé
riešenie ψ = (ψ1, ψ2)T
uvažovaného systému platí
dV (ψ(t))
dt
=
d
dt
[ψ2
1(t) + ψ2
2(t)] = 2ψ1(t) ψ′
1(t) + 2ψ2(t) ψ′
2(t)
= 2ψ1(t) [−ψ2(t) − tψ3
1 (t)] + 2ψ2(t) [ψ1(t) − tψ3
2 (t)]
= −2t[ψ4
1 (t) + ψ4
2 (t)] ≤ 0 pre každé t ∈ I.
Funkcia V je teda nerastúca pozdĺž trajektórií riešení vyšetrovaného systému na
celých oboroch ich definície. V súlade s Definíciou 7 sa teda jedná o ljapunovskú
funkciu tohto systému. Následne podľa Ljapunovovej Vety 11 je nulové riešenie
systému v zadaní príkladu skutočne rovnomerne stabilné.
V nasledujúcom výklade sa zameriame na autonómneho systémy (75) a pomocou
priamej Ljapunovovej metódy budeme skúmať stabilitu ich stacionárnych bodov.
Stabilita Triviálne riešenie Ljapunov
Definícia 8 (Derivácia funkcie vzhľadom na autonómny systém)
Nech V : Rn
→ R je daná funkcia, ktorá má na istom okolí O(o) spojité parciálne
derivácie prvého rádu podľa všetkých svojich premenných. Výraz
d
dt
V (x) := grad V (x) · g(x) =
n
k=1
V ′
xk
(x) gk(x), x ∈ O(o), (87)
budeme nazývať derivácia funkcie V vzhľadom na autonómny systém (75).
Poznámka 5
Pomenovanie výrazu (87) v Definícii 8 má svoje opodstatnenie. Ak ψ je nejaké
riešenie systému (75) definované na podintervale J ⊆ I a ψ(t) ⊆ O(o) pre
každé t ∈ J , potom výraz V (ψ(t)) má spojitú deriváciu na J , pričom platí
dV (ψ(t))
dt
=
n
k=1
V ′
xk
(ψ(t)) ψ′
k(t)
(75)
=
n
k=1
V ′
xk
(ψ(t)) gk(ψ(t)), t ∈ J . (88)
Poznamenajme, že pomocou pojmu derivácia funkcie vzhľadom na systém je
možné vlastnosť ljapunovskej funkcie V v Definícii 7(ii) zaručiť podmienkou, že
funkcia V má nekladnú deriváciu vzhľadom na systém (75), t.j.,
d
dt
V (x) ≤ 0 na O(o).
Stabilita Triviálne riešenie Ljapunov
Veta 12 (Ljapunovova)
Nech autonómny systém (75) má jednoznačne určené riešenia. Ak pre tento systém
existuje ljapunovská funkcia, ktorá má vzhľadom na neho negatívne definitnú
deriváciu, potom nulové riešenie systému (75) je asymptoticky stabilné.
Dôkaz Vety 12.
V súlade s Vetou 11 je nulové riešenie ϕ ≡ 0 systému (75) rovnomerne stabilné.
Zvoľme ε > 0. Potom podľa Definície 2 existuje δ > 0 také, že pre každé
τ ∈ I riešenie ψ systému (75), ktoré spĺňa podmienku ψ(τ) < δ, existuje
na celom intervale [τ, ∞) a platí ψ(t) < ε pre každé t ≥ τ. Zvoľme teda
nejaké τ ≥ t0 a uvažujme riešenie ψ s uvedenými vlastnosťami. Ukážeme, že
limt→∞ ψ(t) = 0. Keďže podľa predpokladov funkcia V (ψ(t)) v súlade s
Poznámkou 5 je klesajúca na [τ, ∞), existuje limita
lim
t→∞
V (ψ(t)) = α, pričom zrejme α ≥ 0, (89)
nakoľko podľa Definície 7(i) je funkcia V pozitívne definitná na okolí O(o).
Sporom predpokladajm, že limt→∞ ψ(t) = 0. Potom zrejme existuje číslo
β ∈ (0, ε) s vlastnosťou β ≤ ψ(t) pre každé t ≥ τ. Derivácia d
dt
V (x) je funkcia
spojitá a záporná na kompaktnej množine β ≤ x ≤ ε. Podľa Weierstrassovej
vety preto nadobúda na tejto množine svoje maximum, ktoré je záporné, t.j.,
Stabilita Triviálne riešenie Ljapunov
Dôkaz Vety 12 (pokračovanie).
existuje M < 0 tak, že
d
dt
V (x) ≤ M < 0 pre každé β ≤ x ≤ ε (90)
Obzvlášť teda z (90) máme, že d
dt
V (ψ(t)) ≤ M < 0 pre každé t ≥ τ. Následne
t
τ
d
ds
V (ψ(s)) ds ≤
t
τ
M ds, t ≥ τ
⇓
V (ψ(t)) − V (ψ(τ)) ≤ M(t − τ) −→ V (ψ(t)) ≤ V (ψ(τ)) + M(t − τ), t ≥ τ.
Z poslednej nerovnosti však vďaka podmienke M < 0 vyplýva, že
lim
t→∞
V (ψ(t)) = −∞,
čo zjavne odporuje rovnosti v (89). Preto nutne platí relácia limt→∞ ψ(t) = 0.
V zhode s Definíciou 3 je teda nulové riešenie ϕ ≡ 0 systému (75) asymptoticky
stabilné. Dôkaz je hotový.
Nasledujúce tvrdenie poskytuje isté postačujúce podmienky pre nestabilitu nulového
riešenia autonómneho systému (75) v reči nástrojov priamej Ljaponovovej
metódy. Doplňme, že funkcia V používaná v tomto tvrdení nemusí byť nutne
ljapunovská vzhľadom na autonómny systém (75).
Stabilita Triviálne riešenie Ljapunov
Veta 13 (Ljapunovova)
Nech V : Rn
→ R je funkcia spojito diferencovateľná na istom okolí O(o), ktorá
spĺňa nasledujúce podmienky
(i) V (o) = 0 a pre každé δ > 0 existuje bod xδ ∈ Oδ(o), pre ktorý V (xδ) > 0,
(ii) funkcia V má na okolí O(o) pozitívne definitnú deriváciu vzhľadom na
autonómny systém (75).
Potom je nulové riešenie ϕ ≡ 0 systému (75) nestabilné.
Dôkaz Vety 13.
Analogicky s (84) uvažujme uzavreté okolie
O[o] := {x ∈ Rn
, x ≤ c} ⊆ D, 0 < c < a, (91)
Keďže funkcia V je spojitá na kompaktnej množine O[o], existuje číslo M > 0 s
vlastnosťou V (x) ≤ M pre každé x ∈ O[o]. Zvoľme τ ∈ I, δ > 0 a bod η ∈ O[o]
taký, že v súlade s predpokladom (i) platí η < δ a V (η) > 0. Ukážeme, že pre
riešenie ψ systému (75), ktoré spĺňa podmienku ψ(τ) = η, existuje bod ˜t > τ
taký, že ψ(˜t) /∈ O[o]. Sporom predpokladajme, že pre každé t ≥ τ, pre ktoré ψ
existuje, platí ψ(t) ∈ O[o]. Vzhľadom k (91) je potom riešenie ψ definované pre
každé t ∈ [τ, ∞). Spojitosť funkcie V a rovnosť V (o) = 0, zaručuje, že existuje
Stabilita Triviálne riešenie Ljapunov
Dôkaz Vety 13 (pokračovanie).
ε > 0 také, že pre každé x ∈ O(o) s x < ε platí V (x) < V (x0). V súlade
s podmienkou (ii) je derivácia d
dt
V (x) spojitá a kladná na kompaktnej množine
ε ≤ x ≤ c. Podľa Weierstrassovej vety má teda funkcia d
dt
V (x) na tejto
množine svoje minimum, t.j.,
existuje m > 0 tak, že
d
dt
V (x) ≥ m > 0 pre každé ε ≤ x ≤ c (92)
Obzvlášť teda z (92) máme, že d
dt
V (ψ(t)) ≥ m > 0 pre každé t ≥ τ. Následne
t
τ
d
ds
V (ψ(s)) ds ≥
t
τ
m ds, t ≥ τ
⇓
V (ψ(t)) − V (ψ(τ)) ≥ m(t − τ) −→ V (ψ(t)) ≥ V (ψ(τ)) + m(t − τ), t ≥ τ.
Z poslednej odvodenej nerovnosti vyplýva, že limt→∞ V (ψ(t)) = ∞, čo však
odporuje predpokladu ψ(t) ∈ O[o] pre každé t ≥ τ, nakoľko na množine O[o] je
funkcia V ohraničená zhora konštantou M. Existuje teda bod ˜t > τ s vlastnosťou
ψ(˜t) /∈ O[o]. V súlade s (91) a označením dôkazu Vety 11 potom platí nerovnosť
ψ(˜t) > c > ε. Podľa Definície 1 to znamená, že nulové riešenie ϕ ≡ 0 systému
(75) nie je stabilné. Dôkaz je kompletný.
Stabilita Triviálne riešenie Ljapunov
Príklad 11
Pomocou ljapunovskej funkcie
V (x1, x2, x3) = x2
1 + 2x2
2 + 3x2
3, [x1, x2, x3] ∈ R3
,
dokážme, že nulové riešenie systému
x′
1 = −
1
2
x1 −
1
2
x1x2
2, x′
2 = −
3
4
x2 + 3x1x3
3, x′
3 = −
2
3
x3 − 2x1x2x2
3
je na intervale I = [0, ∞) asymptoticky stabilné. Jedná sa zrejme o autonómny
systém. V súlade s Definíciou 6 je funkcia V pozitívne definitná na celom R3
.
Naviac, má spojité parciálne derivácie prvého rádu podľa všetkých svojich premenných.
S ohľadom na (87) platí
dV (x)
dt
(87)
= −2x1
x1
2
+
x1x2
2
2
− 4x2
3x2
4
− 3x1x3
3 − 6x3
2x3
3
+ 2x1x2x2
3
= −x2
1 − 3x2
2 − 4x2
3 − x2
1x2
2 < 0, [x1, x2, x3] ∈ R3
\ [0, 0, 0].
Podľa Definícií 8 a 6 má funkcia V negatívne definitnú deriváciu vzhľadom na
systém v zadaní príkladu. V súlade s Definíciou 7 sa teda jedná o ljapunovskú
funkciu vzhľadom na uvedený systém. Následne podľa Ljapunovovej Vety 12 je
nulové riešenie tohto systému skutočne asymptoticky stabilné na intervale I.