M7180 Funkcionálna analýza II
Lineárne operátory
Peter Šepitka
zima 2021
Obsah
1 Základné pojmy, spojitosť a princíp rovnomernej ohraničenosti
2 Invertovateľnosť operátorov
3 Adjungované operátory
4 Kompaktné operátory
5 Spektrálna teória operátorov
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Obsah
1 Základné pojmy, spojitosť a princíp rovnomernej ohraničenosti
2 Invertovateľnosť operátorov
3 Adjungované operátory
4 Kompaktné operátory
5 Spektrálna teória operátorov
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Pojem lineárny operátor
Nech X a Y sú dané lineárne priestory nad telesom komplexných čísiel C.
Definícia 1 (Lineárny operátor medzi vektorovými priestormi)
Ľubovoľné zobrazenie T : X → Y nazývame operátorom na priestore X (zobrazujúcim
do priestoru Y ). Ak zobrazenie T je lineárne, t.j., platí
T(x + y) = T(x) + T(y), T(λ x) = λ T(x) pre každé x, y ∈ X a λ ∈ C, (1)
hovoríme o lineárnom operátore na priestore X.
V prípade hodnôt operátorov na lineárnych priestoroch budeme často používat
namiesto označenia T (x), x ∈ X, štandardný symbol T x.
Príklad 1 (Identický operátor)
Nech Y = X. Potom operátor I : X → X daný predpisom Ix := x, x ∈ X, je
zrejme lineárny. Nazývame ho identický (jednotkový) operátor na priestore X.
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Príklad 2 (Projektor do podpriestoru)
Nech X = H je Hilbertov priestor a Y = A je jeho uzavretý podpriestor. Z vety
o projekcii vieme, že platí rovnosť H = A ⊕ A⊥
, kde A⊥
je ortogonálny doplnok
podpriestoru A v H. Inými slovami, každý vektor x ∈ H sa dá jednoznačne
vyjadriť v tvare x = y+z, kde y ∈ A a z ∈ A⊥
. Uvažujme operátor PA : H → A
daný predpisom PAx := y, x ∈ H. Z jednoznačnosti rozkladu každého vektora
x ∈ H vyplýva, že PA je lineárny operátor. Štandardne sa označuje ako operátor
ortogonálnej projekcie, resp. (ortogonálny) projektor do podpriestoru A.
Príklad 3 (Diferenciálny a integrálny operátor)
Nech a, b ∈ R, a < b. Lineárny operátor D : C1
[a, b] → C[a, b] daný predpisom
Df(·) := f′
(·), f ∈ C1
[a, b], (2)
sa nazýva diferenciálny operátor. Podobne pre funkciu k ∈ C([a, b] × [a, b]) sa
lineárny operátor K : C[a, b] → C[a, b] daný predpisom
Kf(·) :=
b
a
k(·, s) f(s) ds, f ∈ C[a, b], (3)
označuje ako integrálny operátor.
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Ohraničenosť a spojitosť lineárneho operátora
Nech X a Y sú dané normované lineárne priestory nad C.
Definícia 2 (Ohraničenosť lineárneho operátora )
Operátor T : X → Y sa nazýva ohraničený, ak každú ohraničenú množinu v
priestore X zobrazuje na ohraničenú množinu v priestore Y .
Veta 1
Nech T : X → Y je lineárny operátor. Nasledujúce tvrdenia sú ekvivalentné.
(i) Operátor T je ohraničený.
(ii) Operátor T je ohraničený na nejakom okolí bodu 0.
(iii) Operátor T je spojitý na priestore X.
(iv) Operátor T je spojitý v nejakom bode priestoru X (typicky v bode 0).
Množina všetkých spojitých (ohraničených) lineárnych operátorov L : X → Y sa
štandardne označuje symbolom L(X, Y ). V prípade X = Y budeme používať
skrátené označenie L(X).
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Lema 1
Nech L : X → Y je daný lineárny operátor. Potom L ∈ L(X, Y ) práve vtedy,
keď existuje kladné reálne číslo cL s vlastnosťou
Lx Y ≤ cL x X pre každé x ∈ X. (4)
Dôkaz Lemy 1.
Zrejme v (4) stačí uvažovať iba nenulové vektory x ∈ X. Nech L ∈ L(X, Y ).
Pre každé x ∈ X \ {0} je vektor ¯x := x/ x X prvkom jednotkovej sféry S(0, 1)
v X. Množina S(0, 1) je ohraničená v X, a preto v súlade s Definíciou 2 i jej
obraz L(S(0, 1)) je množina ohraničená v Y . Existuje preto kladné reálne číslo
cL s vlastnosťou Ly Y ≤ cL pre každé y ∈ S(0, 1). Potom pre každý vektor
x ∈ X \ {0} platí
Lx Y = L ( x X ¯x) Y = x X L¯x Y ≤ cL x X ,
t.j., platí nerovnosť (4). Naopak, nech je splnená nerovnosť (4) a nech A je
nejaká ohraničená množina v X, t.j., existuje kladné reálne číslo r s vlastnosťou
x X ≤ r pre každé r ∈ A. Potom pre každý vektor x ∈ A platí
Lx Y ≤ cL x X ≤ cLr,
t.j., obraz L(A) je ohraničený v Y . Podľa Definície 2 je operátor L ohraničený,
teda L ∈ L(X, Y ). Dôkaz je hotový.
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Norma lineárneho operátora
Definícia 3 (Norma lineárneho operátora)
Nech X, Y sú normované priestory a L : X → Y spojitý lineárny operátor. Číslo
inf {cL ∈ R, Lx Y ≤ cL x X pre každé x ∈ X} (5)
sa nazýva norma lineárneho operátora L a označuje sa symbolom L .
Poznámka 1
V kontexte Lemy 1 je hodnota v (5) korektne definovaná pre každý spojitý
lineárny operátor, keďže množina čísiel cL je neprázna a cL ≥ 0. Naviac, nie je
ťažké si uvedomiť, že normu L v (5) možno ekvivalentne vyjadriť v tvaroch
L = sup
x∈X\{0}
Lx Y
x X
= sup
x∈X, x X ≤1
Lx Y = sup
x∈X, x X =1
Lx Y . (6)
Obzvlášť, z prvej formuly v (6) vyplýva nerovnosť
Lx Y ≤ L · x X pre každý vektor x ∈ X. (7)
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Veta 2
Nech X, Y sú normované lineárne priestory. Množina L(X, Y ) je normovaný
lineárny priestor s normou definovanou v (5) a platia nasledujúce tvrdenia.
(i) Ak priestor Y je Banachov, potom i L(X, Y ) je Banachov priestor.
(ii) Ak priestor X je konečnorozmerný, potom každý lineárny operátor L : X →
Y je spojitý (ohraničený).
Veta 3
Nech X, Y, Z sú normované lineárne priestory a nech L : X → Y , K : Y → Z
sú spojité lineárne operátory. Potom zložený operátor K ◦L : X → Z je spojitý
a lineárny a platí nerovnosť K ◦ L ≤ K L .
Dôkaz Vety 3.
Spojitosť a linearita zloženého operátora K ◦L je zrejmá. Naviac, pre ľubovoľný
vektor x ∈ X \ {0} postupne platí
(K ◦ L)x Z = K(Lx) Z ≤ K Lx Y ≤ K L · x X .
V súlade s (6) napokon dostávame nerovnosť K ◦ L ≤ K L .
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Veta 4
Nech X je normovaný lineárny priestor, A ⊆ X je podpriestor hustý v X a Y
je Banachov priestor. Nech K : A → Y je spojitý lineárny operátor. Potom
existuje jediný spojitý lineárny operátor L : X → Y taký, že
L|A = K a L X = K A. (8)
Dôkaz Vety 4.
Podľa predpokladov vety platí ¯A = X. To znamená, že pre každé x ∈ X \ A
existuje postupnosť {xn}∞
n=1 ⊆ A taká, že limn→∞ xn = x v norme priestoru
X. Odpovedajúca postupnosť {Kxn}∞
n=1 ⊆ Y je cauchyovská v Y , keďže
Kxm − Kxn Y = K(xm − xn
∈A
) Y ≤ K A · xm − xn X pre každé m, n ∈ N.
Vďaka úplnosti priestoru Y je postupnosť {Kxn}∞
n=1 konvergentná v Y . Tento
fakt nám umožnuje definovať nový operátor L na celom priestore X, konkrétne
Lx :=
Kx, x ∈ A,
limn→∞ Kxn, x ∈ X \ A,
(9)
kde {xn}∞
n=1 ⊆ A je nejaká postupnosť vyššie, ktorá odpovedá danému prvku
x ∈ X \ A. Operátor L v (9) je koretne definovaný a je rozšírením operátora K
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Dôkaz Vety 4 (pokračovanie).
na celé X. Nie je ťažké si premyslieť, že operátor L je lineárny. Dokážeme, že
Lx Y ≤ K A · x X pre každé x ∈ X. (10)
Pre vektory x ∈ A nerovnosť (10) triviálne vyplýva z (9) a (7) (pre X := A) a z
toho, že x A = x X . Nech x ∈ X \ A a nech {xn}∞
n=1 ⊆ A je odpovedajúca
postupnosť s limn→∞ xn = x v norme priestoru X. Potom
Lx Y
(9)
= lim
n→∞
Kxn
Y
= lim
n→∞
Kxn Y
(7)
≤ lim
n→∞
( K A · xn A) = K A · x A = K A · x X .
Nerovnosť (10) dokazuje jednak spojitosť operátora L na X, a jednak odhad
L X ≤ K A. Opačný odhad L X ≥ K A platí triviálne.
Poznámka 2
Výsledok Vety 4 ukazuje, že každý spojitý lineárny operátor s definičným oborom
hustým v podkladovom priestore, ktorý zobrazuje do Banachovho priestoru, je
možné spojito rozšíriť na celý podkladový priestor so zachovaním jeho normy.
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Príklad 4
Na priestore X = C[−1, 1] s maximálnou normou · C uvažujme funkcionál
Lf := 9f(−1) − 2f(0) + f(1/4), f ∈ C[−1, 1].
Jedná sa zrejme o lineárny funkcionál. Naviac, pre každé f ∈ X platí
|Lf| = |9f(−1) − 2f(0) + f(1/4)| ≤ 9|f(−1)| + 2|f(0)| + |f(1/4)| ≤ 12 f C ,
čo dokazuje ohraničenosť, a teda i spojitosť funkcionálu L. Nájdeme jeho normu.
Z poslednej nerovnosti máme L ≤ 12. Na druhej strane, iste existuje funkcia
g, ktorá je spojitá na intervale [−1, 1] a spĺňa podmienky
g(−1) = g(1/4) = 1, g(0) = −1, g C = 1.
Potom |Lg| = 12 = 12 g C , čo znamená, že L ≥ 12. Preto norma L = 12.
Príklad 5
Na priestore X = l2
uvažujme funkcionál L daný predpisom
Lx := x1 + x2, x = {xn}∞
n=1 ∈ l2
. (11)
Linearita funkcionálu L je evidentná. Dokážeme jeho spojitosť na priestore X.
Pre ľubovoľnú postupnosť x = {xn}∞
n=1 ∈ X máme
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Príklad 5
|Lx|2 (11)
= |x1 + x2|2
= |x1|2
+ |x2|2
+ 2|x1| · |x2| ≤ 2 |x1|2
+ |x2|2
≤ 2 x 2
,
a tak |Lx| ≤
√
2 x . Lineárny funkcionál L je teda ohraničený a platí L ≤
√
2.
Špeciálne, pre x = 1√
2
, 1√
2
, 0, 0, . . . ∈ X máme x = 1 a |Lx| =
√
2, a tak
norma L ≥
√
2. Môžeme preto uzavrieť, že L =
√
2.
Poznamenajme, že iné riešenie danej úlohy je založené na pozorovaní, že X je
Hilbertov priestor. Podľa Fréchetovej–Riezsovej reprezentačnej vety má každý
spojitý lineárny funkcionál f ∈ X tvar f(x) = x, xf , x ∈ X, kde vektor
xf ∈ X je pre dané f určený jednoznačne. Naviac platí f = xf . V
našom prípade sa pôsobenie funkcionálu L dá vyjadriť v tvare skalárneho súčinu.
Konkrétne, v súlade s (11) máme reprezentáciu
Lx := x, xL pre každé x ∈ X,
kde xL = {1, 1, 0, 0, . . . } ∈ X. Funkcionál L je preto lineárny a spojitý a pre
jeho normu platí L = xL =
√
2.
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Príklad 6 (Spojitosť diferenciálneho operátora)
Preskúmame spojitosť diferenciálneho operátora D definovaného v (2) vzhľadom
na rôzne normy v podkladovom priestore X = C1
[a, b]. Doplňme, že v cieľovom
priestore Y = C[a, b] budeme uvažovať štandardnú maximálnu normu · C . Ak
v priestore X pracujeme s normou · C , operátor D nie je spojitý. Vyplýva to
z pozorovania, že postupnosť funkcií {fn}∞
n=1 ∈ X definovaná predpisom
fn(t) :=
sin nt
n
, n ∈ N, t ∈ [a, b], (12)
spĺňa limn→∞ fn = 0, ale postupnosť obrazov
Dfn(t) = cos nt, n ∈ N, t ∈ [a, b], (13)
nemá v priestore Y limitu (vzhľadom na normu · C ). Ak však v priestore X
uvažujeme normu
f C1 := f C + f′
C , f ∈ C1
[a, b], (14)
potom je diferenciálny operátor D spojitý. Pre každú funkciu f ∈ X totiž platí
Df C = f′
C ≤ f C + f′
C = f C1 ,
t.j., operátor D je ohraničený. Naviac, norma D ≤ 1. Uvážiac postupnosť
{fn}∞
n=1 ∈ X z (12) ďalej máme
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Príklad 6 (Spojitosť diferenciálneho operátora)
fn C1
(12),(14)
=
1
n
+ 1, Dfn C
(13)
= 1, n ∈ N. (15)
Následne, v súlade s Poznámkou 1, norma D spĺňa
D
(6)
≥
Dfn C
fn C1
(15)
=
n
n + 1
, n ∈ N.
Limitovaním poslednej nerovnosti pre n → ∞ dostávame D ≥ 1. Celkovo
teda pre normu diferenciálneho operátora D platí D = 1.
Príklad 7 (Spojitosť integrálneho operátora)
Preskúmame teraz spojitosť integrálneho operátora K definovaného predpisom
v (3) vzhľadom na rôzne normy v podkladovom/cieľovom priestore X = Y =
C[a, b]. V oboch priestoroch uvažujme najprv maximálnu normu · C . V tomto
prípade je operátor K spojitý, ako dokazujú nasledujúce výpočty
Kf C
(3)
= max
t∈[a,b]
b
a
k(t, s) f(s) ds ≤ max
t∈[a,b]
b
a
|k(t, s)| |f(s)| ds
≤ max
t∈[a,b]
b
a
|k(t, s)| ds · f C = f C · max
t∈[a,b]
b
a
|k(t, s)| ds,
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Príklad 7 (Spojitosť integrálneho operátora)
ktoré platia pre každú funkciu f ∈ X. Obzvlášť máme odhad
K ≤ max
t∈[a,b]
b
a
|k(t, s)| ds.
Využitím Luzinovej vety z teórie miery sa dá dokonca ukázať, že platí rovnosť
K = max
t∈[a,b]
b
a
|k(t, s)| ds. (16)
Uvažujem teraz v priestore X normu
f =
b
a
|f(s)|2 ds, f ∈ C[a, b], (17)
a v priestore Y normu · C . Norma · v (17) pochádza zo skalárneho súčinu
zavedeného v Hilbertovom priestore L2
[a, b] ⊇ C[a, b]. Môžeme preto využiť
Cauchyho–Schwarzovu–Buňakovského nerovnosť. Konkrétne, pre každú funkciu
f ∈ X postupne máme
Kf C
(3)
= max
t∈[a,b]
b
a
k(t, s) f(s) ds ≤ max
t∈[a,b]
b
a
|k(t, s)|2 ds ·
b
a
|f(s)|2 ds
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Príklad 7 (Spojitosť integrálneho operátora)
=
b
a
|f(s)|2 ds · max
t∈[a,b]
b
a
|k(t, s)|2 ds = f · max
t∈[a,b]
b
a
|k(t, s)|2 ds.
Integrálny operátor K je teda i v tomto prípade spojitý.
Príklad 8
Nech X je priestor funkcií lebesgueovsky integrovateľných a ohraničených na
intervale [a, b] so suprémovou normou · B a priestor Y = C[a, b] s normou
· C . Uvažujme operátor
L : f(t) →
t
a
f(s) ds, f ∈ X. (18)
Zobrazenie L je lineárne a pre každú funkciu f ∈ X platí
Lf C
(18)
= max
t∈[a,b]
t
a
f(s) ds ≤ max
t∈[a,b]
t
a
|f(s)| ds =
b
a
|f(s)| ds ≤ (b − a) f B.
Operátor L v (18) je preto spojitý a L ≤ b − a. Pre funkciu f ≡ 1 na [a, b]
naviac máme f B = 1 a Lf C = b − a, a tak norma L = b − a.
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Princíp rovnomernej ohraničenosti
Veta 5 (Banachova–Steinhausova, princíp rovnomernej ohraničenosti)
Nech X a Y sú Banachove priestory a nech A ⊆ L(X, Y ) je systém spojitých
lineárnych operátorov s vlastnosťou
pre každé x ∈ X je súbor {Lx, L ∈ A} ⊆ Y ohraničený v norme priestoru Y. (19)
Potom systém A je rovnomerne ohraničený, t.j., v norme priestoru L(X, Y ).
Inými slovami, existuje konštanta K > 0 taká, že
L ≤ K pre každé L ∈ A. (20)
Poznámka 3
Tvrdenie Vety 5 možno formálne zapísať v tvare
ak pre každé x ∈ X je sup
L∈A
Lx Y < ∞, potom sup
L∈A
L < ∞. (21)
V niektorej literatúre sa princíp rovnomernej ohraničenosti formuluje pre postupnosti
operátorov z L(X, Y ), t.j., systém A = {Ln}∞
n=1 ⊆ L(X, Y ). Nie je ťažké
si premyslieť, že takáto formulácia je ekvivalentná s tvrdením Vety 5.
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Slabá konvergencia postupnosti operátorov
Definícia 4 (Slabá/bodová konvergencia v priestore operátorov)
Nech X a Y sú normované priestory. Hovoríme, že postupnosť operátorov
{Ln}∞
n=1 ⊆ L(X, Y ) slabo (bodovo) konverguje k operátoru L : X → Y , ak pre
každé x ∈ X je postupnosť {Lnx}∞
n=1 ⊆ Y konvergentná v norme priestoru Y
s limitou Lx ∈ Y . Operátor L sa nazýva slabou (bodovou) limitou postupnosti
{Ln}∞
n=1 ⊆ L(X, Y ) a píšeme Ln ⇀ L pre n → ∞.
Poznámka 4
Konvergencia v norme · priestoru L(X, Y ) sa v kontexte Definície 4 niekedy
označuje prívlastkom silná. Platí, že každá silno konvergentná postupnosť
{Ln}∞
n=1 ⊆ L(X, Y ) so (silnou) limitou L ∈ L(X, Y ) je zároveň i slabo konvergentná
s rovnakou (slabou) limitou L. Táto skutočnosť je dôsledkom linearity a
spojitosti operátorov v L(X, Y ). Konkrétne, vyplýva to z nerovnosti
Lnx − Lx Y ≤ Ln − L · x X pre každý vektor x ∈ X,
viz nerovnosť (7). Opačné tvrdenie však neplatí, t.j., slabá konvergencia vo
všeobecnosti neimplikuje (silnú) konvergenciu v norme, pozri Príklad 9.
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Príklad 9
Nech H je nekonečnorozmerný separabilný Hilbertov priestor a {un}∞
n=1 ⊆ H
nejaká jeho pevne zvolená ortonormálna báza. Definujme postupnosť operátorov
{Ln}∞
n=1 z H do H predpisom
Lnx :=
n
k=1
ckuk, x ∈ H, n ∈ H, (22)
kde ck := x, uk , k ∈ N, sú Fourierove koeficienty vektora x vzhľadom na
ortnonormálnu bázu {un}∞
n=1. Z teórie Fourierových radov vieme, že pre každý
vektor x ∈ X platí x = ∞
k=1 ckuk v norme priestoru H (indukovanú príslušným
skalárnym súčinom). Preto pre daný index n ∈ N je Ln operátor ortogonálnej
projekcie do (uzavretého) podpriestoru Lin {u1, . . . , un} (pozri Príklad 2). Každý
z operátorov Ln, n ∈ N, je lineárny a ohraničený, nakoľko máme
Lnx =
n
k=1
ckuk =
n
k=1
|ckuk|2 ≤
∞
k=1
|ckuk|2 = x , x ∈ H.
Keďže podľa (22) pre každý vektor x ∈ H platí limn→∞ Lnx = x, postupnosť
{Ln}∞
n=1 ⊆ L(H) konverguje slabo k identickému operátoru, t.j., Ln ⇀ I pre
n → ∞. Na druhej strane však postupnosť {Ln}∞
n=1 nie je konvergentná v
norme priestoru L(H). Presnejšie, nie je ani cauchyovská v norme, nakoľko platí
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Príklad 9
(Ln − Ln+k) un+1 = Lnun+1 − Ln+kun+1
(22)
= un+1 = 1
⇓ (6) ⇓
Ln − Ln+k ≥ 1 pre každé n, k ∈ N.
Veta 6
Nech X a Y sú Banachove priestory a {Ln}∞
k=1 ⊆ L(X, Y ) je daná postupnosť
operátorov. Potom platia nasledujúce tvrdenia.
(i) Postupnosť {Ln}∞
n=1 má najviac jednu slabú limitu L : X → Y .
(ii) Ak Ln ⇀ L pre n → ∞, kde L : X → Y , potom každá vybraná podpostupnosť
{Lnk }∞
k=1 je slabo konvergentná s rovnakou limitou L.
(iii) Ak {Ln}∞
n=1 je slabo konvergentná s limitou L : X → Y , potom je (silno)
ohraničená v L(X, Y ) a operátor L ∈ L(X, Y ), t.j., je ohraničený.
Druhá časť tvrdenia (iii) vo Vete 6 hovorí, že priestor L(X, Y ) všetkých spojitých
lineárnych operátorov je uzavretý v priestore všetkých lineárnych (vo všeobecnosti
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
i nespojitých) operátorov L : X → Y vzhľadom na topológiu generovanú pomocou
slabej konvergencie operátorov.
Veta 7
Nech X a Y sú Banachove priestory. Postupnosť {Ln}∞
n=1 ∈ L(X, Y ) je slabo
konvergentná v L(X, Y ) s limitou L ∈ L(X, Y ) práve vtedy, keď je (silno)
ohraničená v L(X, Y ) a existuje množina A ⊆ X s vlastnosťami
Lin A = X a lim
n→∞
Lnx = Lx pre každý vektor x ∈ A. (23)
Veta 8
Nech X a Y sú normované lineárne priestory a L ∈ L(X, Y ) je daný operátor.
Ak postupnosť {xn}∞
n=1 ⊆ X konverguje v X slabo s limitou x ∈ X, t.j., xn ⇀ x
pre n → ∞, potom postupnosť {Lxn}∞
n=1 ⊆ Y konverguje v Y slabo s limitou
Lx ∈ Y , t.j., Lxn ⇀ Lx pre n → ∞.
Dôkaz Vety 8.
Ak f ∈ Y ′
, potom zložené zobrazenie f ◦ L ∈ X′
. Následne, predpoklad, že
xn ⇀ x, implikuje [f ◦ L](xn) → [f ◦ L](x), čo znamená f(Lxn) → f(Lx).
Keďže spojitý lineárny funkcionál f bol zvolený ľubovoľne, platí Lxn ⇀ Lx.
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Obsah
1 Základné pojmy, spojitosť a princíp rovnomernej ohraničenosti
2 Invertovateľnosť operátorov
3 Adjungované operátory
4 Kompaktné operátory
5 Spektrálna teória operátorov
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Inverzný operátor
Definícia 5 (Invertovateľnosť operátora)
Nech X a Y sú lineárne priestory a L : X → Y je operátor. Hovoríme, že
operátor L je invertovateľný, ak zobrazenie L je injektívne.
Poznámka 5 (Inverzný operátor)
Označme symbolom R(L) obor hodnôt operátora L, t.j.,
R(L) := {y ∈ Y, existuje x ∈ X také, že y = Lx}. (24)
Ak operátor L je invertovateľný, potom zobrazenie L : X → R(L) je zrejme
bijekcia. Odpovedajúce inverzné zobrazenie R(L) → X nazývame inverzným
operátorom (inverziou) k operátoru L a označujeme ho L−1
. Nie je ťažké overiť,
že ak L je lineárny operátor, potom R(L) v (24) je lineárny podpriestor v Y .
Veta 9
Nech X a Y sú lineárne priestory a L : X → Y je invertovateľný lineárny
operátor. Potom jeho inverzia L−1
: R(L) → X je tiež lineárny operátor.
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Dôkaz Vety 9.
Zvoľme vektory y1, y2 ∈ R(L) a označme (jediné) vektory x1, x2 ∈ X s vlastnosťou
Lx1 = y1 a Lx2 = y2. V súlade s Poznámkou 5 pre každú dvojicu
α1, α2 ∈ C platí α1y1 + α2y2 ∈ R(L) a vďaka linearite operátora L máme
L(α1x1 + α2x2) = α1y1 + α2y2. Následne podľa Definície 5 platí
x1 = L−1
y1, x2 = L−1
y2, α1x1 + α2x2 = L−1
(α1y1 + α2y2),
a tak L−1
(α1y1 + α2y2) = α1L−1
y1 + α2L−1
y2. Operátor L−1
je lineárny.
Lema 2
Nech Y je Banachov priestor a M ⊆ Y je množina hustá v Y . Potom pre každý
prvok y ∈ Y existuje postupnosť {yn}∞
n=1 ⊆ M s vlastnosťou
y =
∞
n=1
yn, yn ≤
3
2n
y , n ∈ N. (25)
Dôkaz Lemy 2.
Pre daný pevný vektor y ∈ Y zostrojíme odpovedajúcu postupnosť {yn}∞
n=1 ⊆
M induktívne. Keďže množina M je hustá v Y , existuje y1 ∈ M s vlastnosťou
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Dôkaz Lemy 2 (pokračovanie).
y − y1 ≤
1
2
y .
Predpokladajme, že pre daný index k ∈ N máme zostrojených prvých k členov
postupnosti {yn}∞
n=1 ⊆ M. Potom iste existuje vektor yk+1 ∈ M spĺňajúci
y −
k
n=1
yn − yk+1 ≤
1
2k+1
y .
Takto zostrojená postupnosť {yn}∞
n=1 ⊆ M má teda vlastnosť
y −
k
n=1
yn ≤
1
2k
y pre každý index k ∈ N. (26)
Z (26) ihneď vyplýva prvá rovnosť v (25). Okrem toho, pre každé k ∈ N platí
yk = y −
k−1
n=1
yn − y −
k
n=1
yn ≤ y −
k−1
n=1
yn + y −
k
n=1
yn
(26)
≤
1
2k−1
y +
1
2k
y =
3
2k
y .
Postupnosť {yn}∞
n=1 teda spĺňa i druhú vlastnosť v (25) a dôkaz je hotový.
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Veta 10 (Banachova veta o inverznom operátore)
Nech X a Y sú Banachove priestory a L : X → Y je bijektívny spojitý lineárny
operátor. Potom L je invertovateľný operátor a jeho inverzia L−1
: Y → X je
spojitý lineárny operátor.
Dôkaz Vety 10.
Skutočnosť, že operátor L je invertovateľný a jeho inverzia L−1
je lineárna a
definovaná na celom priestore Y , vyplýva z Definície 5 a Vety 9. Ukážeme, že
inverzný operátor je ohraničený. Uvažujme systém množín
Mk := {y ∈ Y, L−1
y X ≤ k y Y }, k ∈ N. (27)
Dokážeme, že
existuje množina Mn hustá v istom otvorenom medzigulí v Y so stredom v 0.
Zrejme Y = ∪k∈NMk. Nakoľko priestor Y je úplný, podľa Bairovej vety je
aspoň jedna z množín Mk, k ∈ N, hustá v nejakej otvorenej guli B(˜y, r) ⊆ Y .
Označme index príslušnej množiny symbolom l a nech vektor ˜y ∈ M˜k. Nech
B(˜y, r1, r2), 0 < r1 < r2 ≤ r, je ľubovoľné otvorené medzigulie v B(˜y, r). Je
zrejmé, že množina Ml ∩ B(˜y, r1, r2) je hustá v medzigulí B(˜y, r1, r2). Množina
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Dôkaz Vety 10 (pokračovanie).
P = Ml ∩ B(˜y, r1, r2) − ˜y := {z ∈ Y, z = y − ˜y, y ∈ Ml ∩ B(˜y, r1, r2)} (28)
je potom hustá v medzigulí B(0, r1, r2). Zaveďme označenie
m := max{l, ˜k}, n := 1 + m 1 +
2 ˜y Y
r1
. (29)
Potom množina P ⊆ Mn. Skutočne, pre každý vektor z ∈ P totiž platí
L−1
z X
(28)
= L−1
(y − ˜y) X = L−1
y − L−1
˜y X ≤ L−1
y X + L−1
˜y X
(28),(27)
= l y Y + ˜k ˜y Y
(29)
≤ m ( y Y + ˜y Y )
(28)
= m ( z + ˜y Y + ˜y Y )
≤ m ( z Y + 2 ˜y Y ) = m z Y 1 +
2 ˜y Y
z Y
(28)
< m z Y 1 +
2 ˜y Y
r1
(29)
< n z Y .
A tak množina Mn s indexom v (29) je hustá v medzigulí B(0, r1, r2). V ďalšom
kroku dokážeme, že
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Dôkaz Vety 10 (pokračovanie).
získaná množina Mn je hustá v celom priestore Y .
Zvoľme nejaký nenulový vektor y ∈ Y . Zrejme existuje kladné reálne číslo α
také, že vektor α y ∈ B(0, r1, r2). Keďže množina Mn je hustá v medzigulí
B(0, r1, r2), existuje postupnosť {zk}∞
k=1 ⊆ Mn s vlastnosťou limk→∞ zk =
α y. Následne máme limk→∞
1
α
zk = y. A nakoľko podľa (27) i postupnosť
{ 1
α
zk}∞
k=1 ⊆ Mn, vektor y sa dá s ľubovoľnou presnosťou aproximovať prvkami
z Mn. To znamená, že množina Mn je hustá v Y \ {0}, a teda aj v celom
priestore Y . Napokon ukážeme, že
operátor L−1
spĺňa nerovnosť L−1
y X ≤ 3n y Y pre každé y ∈ Y .
Využijeme Lemu 2 s M := Mn. Zvoľme vektor y ∈ Y a nech {yk}∞
k=1 ⊆ Mn
je odpovedajúca postupnosť v (25). Nech {xk}∞
k=1 ⊆ X je jej obraz v zobrazení
L−1
, t.j., xk := L−1
yk pre každé k ∈ N. Platí
xk X = L−1
yk X
(27)
≤ n yk Y
(25)
≤
3n
2k
y Y , k ∈ N. (30)
Z nerovností (30) vyplýva, že nekonečný rad ∞
k=1 xk je absolútne konvergentný
v Banachovom priestore X, nakoľko
∞
k=1
xk X
(30)
≤
∞
k=1
3n
2k
y Y = 3n y Y
∞
k=1
1
2k
= 3n y Y . (31)
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Dôkaz Vety 10 (pokračovanie).
Označme symbolom x súčet tohto radu, t.j., x := ∞
k=1 xk. Využijúc (31)
získame pre normu x X odhad
x X ≤
∞
k=1
xk X
(31)
≤ 3n y Y . (32)
Keďže operátor L je spojitý a lineárny, platí
Lx = L
∞
k=1
xk =
∞
k=1
Lxk =
∞
k=1
yk
(25)
= y, a teda x = L−1
y. (33)
Napokon dostávame
L−1
y X
(33)
= x X
(32)
≤ 3n y Y .
Lineárny operátor L−1
je teda ohraničený. Dôkaz je teraz kompletný.
Pre Banachove priestory X, Y budeme symbolom ˜L(X, Y ) označovať množinu
všetkých bijektívnych spojitých lineárnych operátorov L : X → Y . Zrejme platí
inklúzia ˜L(X, Y ) ⊆ L(X, Y ).
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Veta 11
Nech X a Y sú Banachove priestory a L : X → Y je bijektívny spojitý lineárny
operátor. Potom pre každý spojitý lineárny operátor K : X → Y spĺňajúci
K <
1
L−1
(34)
je operátor L + K ∈ ˜L(X, Y ), t.j., bijektívny spojitý lineárny.
Dôkaz Vety 11.
Nech K ∈ L(X, Y ) je operátor spĺňajúci (34) a označme L0 := K + L. Zrejme
L0 : X → Y je spojitý a lineárny operátor. Dokážeme jeho bijektívnosť. Zvoľme
vektor y ∈ Y a uvažujme zobrazenie Ty : X → X definované predpisom
Tyx = L−1
(y − Kx), x ∈ X. (35)
Vďaka podmienke (34) je zobrazenie Ty v (35) kontraktívne na priestore X.
Skutočne, pre každú dvojicu vektorov x1, x2 ∈ X platí
Tyx1 − Tyx2 X
(35)
= L−1
(y − Kx1) − L−1
(y − Kx2) X = L−1
◦ K(x1 − x2) X
(7)
≤ L−1
◦ K · x1 − x2 X
Veta 3
≤ L−1
K · x1 − x2 X ,
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Dôkaz Vety 11 (pokračovanie).
pričom v súlade s (34) je konštanta L−1
K < 1. A keďže priestor X je
úplný, podľa Banachovej vety o pevnom bode má zobrazenie Ty práve jeden
pevný bod v X. Označme ho symbolom xy. Pre vektor xy teda platí
Tyxy = xy ⇔ L−1
(y − Kxy) = xy ⇔ y = (K + L)xy = L0xy.
Uvedené ekvivalencie ukazujú, že zvolený vektor y ∈ Y je obrazom jediného
vektora xy ∈ X v zobrazení L0. Operátor L0 je teda bijektívny.
Poznámka 6
Významným dôsledkom Vety 11 je pozorovanie, že množina ˜L(X, Y ) bijektívnych
spojitých lineárnych operátorov je otvorená v normovanom priestore L(X, Y )
všetkých spojitých lineárnych operátorov. Pre každý prvok L ∈ ˜L(X, Y ) totiž
každá otvorená guľa B(L, r) ⊆ L(X, Y ) s polomerom r ≤
1
L−1
leží celá v množine ˜L(X, Y ). Je nutné poznamenať, že dôležitým predpokladom
tohto výsledku je úplnosť normovaných priestorov X, Y .
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Veta 12
Nech X je Banachov priestor a L : X → X je spojitý lineárny operátor spĺňajúci
L < 1. Potom spojitý lineárny operátor I − L je bijektívny a jeho inverzný
operátor (I − L)−1
je možné vyjadriť v tvare tzv. Neumannovho radu
(I − L)−1
=
∞
n=0
Ln
, kde Ln
:= L ◦ L ◦ · · · ◦ L
n-krát
, n ∈ N ∪ {0}. (36)
Dôkaz Vety 12.
Skutočnosť, že spojitý lineárny operátor I − L je invertovateľný a bijektívny, je
dôsledkom Vety 11 (s voľbou L := I a K := −L). Dokážeme platnosť formuly
(36). Podmienka L < 1 zaručuje, že nekonečný číselný rad ∞
n=1 L n
je
konvergentný. Keďže priestor X je úplný, podľa Vety 2(i) je úplný i priestor
L(X). Preto nekonečný rad ∞
n=0 Ln
absolútne konverguje v L(X), t.j., jeho
súčtom je spojitý lineárny operátor na X. Pre každý index n ∈ N ∪ {0} platí
(I − L)
n
k=0
Lk
=
n
k=0
(I − L) Lk
= I − Ln+1
,
⇓
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Dôkaz Vety 12 (pokračovanie).
⇓
n
k=0
Lk
= (I − L)−1
− (I − L)−1
Ln+1
,
⇓
(I − L)−1
−
n
k=0
Lk
= (I − L)−1
Ln+1
,
⇓
(I − L)−1
−
n
k=0
Lk
= (I − L)−1
Ln+1
Veta 3
≤ (I − L)−1
L n+1
. (37)
Limitovaním poslednej nerovnosti pre n → ∞ napokon dostávame
lim
n→∞
(I − L)−1
−
n
k=0
Lk
(37)
≤ lim
n→∞
(I − L)−1
L n+1
= 0,
keďže L < 1. Platí teda formula v (36) a dôkaz je kompletný.
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Operátor ohraničený zdola
Definícia 6 (Lineárny operátor ohraničený zdola)
Nech X a Y sú normované lineárne priestory. Lineárny operátor L : X → Y sa
označuje ako ohraničený zdola, ak existuje kladné reálne číslo c také, že
Lx Y ≥ c x X pre každé x ∈ X. (38)
Veta 13
Nech X a Y sú Banachove priestory a L : X → Y je spojitý lineárny operátor.
Nasledujúce tvrdenia sú ekvivalentné.
(i) Operátor L je ohraničený zdola.
(ii) Operátor L je injektívny a R(L) ⊆ Y je uzavretý podpriestor v Y .
Dôkaz Vety 13.
Nech spojitý lineárny operátor L je ohraničený zdola, t.j., spĺňa nerovnosť (38).
Potom zobrazenie L je nutne injektívne. Ukážeme, že podpriestor R(L) je uzavretý
v Y . Nech {yn}∞
n=1 ⊆ R(L) je postupnosť konvergentná v priestore Y a
označme y := limn→∞ yn. Nech {xn}∞
n=1 ⊆ X je postupnosť s vlastnosťou
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Dôkaz Vety 13 (pokračovanie).
xn := L−1
yn, n ∈ N, kde L−1
je odpovedajúci (lineárny) inverzný operátor. V
súlade s (38) pre každú dvojicu indexov m, n ∈ N máme
xm − xn X
(38)
≤
1
c
· L(xm − xn) Y =
1
c
· Lxm − Lxn Y =
1
c
· ym − yn Y .
Posledná nerovnosť s ohľadom na to, že postupnosť {yn}∞
n=1 konverguje, implikuje,
že postupnosť {xn}∞
n=1 je cauchyovská, a teda tiež konvergentná, vďaka
úplnosti priestoru X. Označme x := limn→∞ xn ∈ X. Využitím spojitosti
operátora L postupne dostávame
y = lim
n→∞
yn = lim
n→∞
Lxn = L lim
n→∞
xn = Lx,
t.j., vektor y ∈ R(L). Lineárny podpriestor je teda naozaj uzavretý v Y .
Naopak, predpokladajme, že operátor L spĺňa vlastnosti tvrdenia (ii), t.j., L je
injektívne zobrazenie a podpriestor R(L) je uzavretý v Y . Z úplnosti priestoru Y
potom vyplýva i úplnosť podpriestoru R(L). Zobrazenie L : X → R(L) ⊆ Y je
spojitá lineárna bijekcia. Podľa Banachovej vety o inverznom operátore (Veta 10)
je potom inverzný operátor L−1
: R(L) → X spojitý a lineárny a podľa (7)
L−1
y X ≤ L−1
· y Y pre každé y ∈ R(L) ⊆ Y, L−1
> 0. (39)
Označiac c := 1/ L−1
pre každé x ∈ X s y = Lx, t.j., x = L−1
y, v súlade s
(39) potom máme Lx Y = y Y ≥ c· L−1
y X = c· x X . Platí teda (i).
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Nasledujúce tvrdenie dopĺňa a zároveň i zovšeobecňuje Banachovu Vetu 10 o
inverznom operátore aj pre spojité lineárne operátory L : X → Y , ktoré nie sú
nutne surjektívne.
Veta 14
Nech X a Y sú Banachove priestory a L : X → Y je spojitý lineárny operátor.
Potom L je invertovateľný operátor so spojitou inverziou L−1
: R(L) → X
práve vtedy, keď L je ohraničený zdola, t.j., spĺňa nerovnosť (38).
Dôkaz Vety 14.
Ak spojitý lineárny operátor L : X → Y má spojitú inverziu L−1
: R(L) → X,
je nutne injektívny a spĺňa nerovnosť (39) v dôkaze Vety 13. Následne, podľa
záveru posledného odstavca tohto dôkazu, je potom operátor L ohraničený zdola.
Naopak, ak spojitý lineárny operátor L : X → Y je ohraničený zdola, t.j., spĺňa
nerovnosť (38), potom v súlade s Vetou 13 je injektívny a jeho obraz R(L) ⊆ Y
je uzavretý podpriestor v Y . Zobrazenie L : X → R(L) ⊆ Y je teda spojitá
lineárna bijekcia medzi Banachovými priestormi X a R(L). Napokon podľa
Vety 10 hľadaná inverzia L−1
: R(L) → X existuje a je spojitá.
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Dôsledok 1
Nech X je lineárny priestor a · 1 a · 2 dve normy na X také, že (X, · 1)
a (X, · 2) sú Banachove priestory. Nasledujúce tvrdenia sú ekvivalentné.
(i) Existuje M > 0 také, že pre každý vektor x ∈ X platí x 1 ≤ M x 2.
(ii) Existuje m > 0 také, že pre každý vektor x ∈ X platí x 2 ≤ m x 1.
(iii) Normy · 1 a · 2 sú ekvivalentné na X.
Dôkaz Dôsledku 1.
Keďže identický operátor medzi každými dvomi normovanými priestormi je bijektívny,
v súlade s Vetou 10 platí
I : (X, · 1) → (X, · 2) je spojitý ⇐⇒ I : (X, · 2) → (X, · 1) je spojitý.
Tvrdenie (i) je zrejme podľa (7) ekvivalentné so spojitosťou indetického operátora
I : (X, · 2) → (X, · 1). Podobne, tvrdenie (ii) znamená spojitosť indetického
operátora I : (X, · 1) → (X, · 2). Teda tvrdenia (i) a (ii) sú ekvivalentné.
Následne, ekvivalencia tvrdenia (iii) s (i), resp. (ii) je triviálna.
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Otvorené a uzavreté zobrazenie
Nech X je daný lineárny priestor nad telesom K (uvažujeme K = R, resp.
K = C) a nech je na X definovaná nejaká topológia T . Ak operácie sčítania
vektorov z X a násobenia vektora X skalárom z K sú zobrazenia spojité vzhľadom
na topológiu T , hovoríme, že X je topologický lineárny priestor. Je zrejmé,
že každý normovaný lineárny priestor X je zároveň i topologickým lineárnym
priestorom (s topológiou indukovanou príslušnou normou), avšak vo všeobecnosti
nie každá topológia na X nutne pochádza z nejakej normy na X.
Príklad 10
Nech X a Y sú Banachove priestory. Priestor L(X, Y ) spojitých lineárnych
operátorov L : X → Y s topológiou generovanou pomocou slabej konvergencie
v Definícii 4 je topologický lineárny priestor, avšak táto slabá topológia nie je
indukovaná žiadnou normou na L(X, Y ).
Významnou skupinou topologických lineárnych priestorov sú lokálne konvexné
topologické lineárne priestory X, kde pre každý vektor x ∈ X a každé jeho
okolie O(x) (vzhľadom na danú topológiu T ) existuje konvexná množina U ∈ T
s vlastnosťou x ∈ U ⊆ O(x). Odpovedajúce topológie T sú často konštruované
pomocou nejakého systému pseudonoriem na X.
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Príklad 11
Typickým príkladom lokálne konvexného topologicého priestoru je priestor X =
C[a, b] s topológiou generovanou systémom pseudonoriem
{px, x ∈ [a, b]}, px(f) := |f(x)|, f ∈ X. (40)
Táto topológia indukuje bodovú konvergenciu spojitých funkcií na intervale [a, b]
a nie je vytvorená žiadnou normou na X.
Definícia 7 (Otvorené zobrazenie)
Nech X a Y sú topologické lineárne priestory. Zobrazenie L : X → Y sa
označuje ako otvorené, ak zobrazuje otvorené množiny na otvorené množiny, t.j.,
ak A ⊆ X je otvorená v priestore X, potom aj L(A) ⊆ Y je otvorená v priestore Y.
Príklad 12
Každé bijektívne zobrazenie medzi dvomi topologickými lineárnymi priestormi,
ktoré má spojitú inverziu, je otvorené zobrazenie. Špeciálne, každý homeomorfizmus
medzi dvomi topologickými lineárnymi priestormi je otvorené zobrazenie.
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Príklad 12
Na druhej strane, každá konštantná funkcia f : R → R je spojité zobrazenie,
ktoré ale nie je otvorené. Príkladom otvoreného zobrazenie, ktoré nie je spojité, je
dolná celá časť reálneho čísla ⌊·⌋ : R → R, kde v cieľovom priestore R uvažujeme
diskrétnu topológiu, t.j., každú podmnožinu v R považujeme za otvorenú.
Definícia 8 (Uzavreté zobrazenie)
Nech X a Y sú topologické lineárne priestory s topológiami TX a TY a nech
L : X → Y je dané zobrazenie. Množina
GL := {[x, L(x)], x ∈ X} ⊆ X × Y (41)
sa nazýva graf zobrazenia L. Hovoríme, že zobrazenie L je uzavreté, ak jeho
graf je množina uzavretá priestore X × Y vzhľadom na topológiu TX × TY .
Poznámka 7
Poznamenajme, že v prípade ak X a Y sú naviac normované lineárne priestory
a topológie TX a TY sú indukované odpovedajúcimi normami · X a · Y ,
budeme na priestore X × Y uvažovať normu
[x, y] := x X + y Y , [x, y] ∈ X × Y. (42)
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Poznámka 7
Nie je ťažké si premyslieť, že súčinová topológia TX × TY na priestore X × Y je
generovaná práve normou · definovanou v (42).
Lema 3
Nech X a Y sú Banachove priestory a L ∈ L(X, Y ) je surjektívny spojitý lineárny
operátor. Potom pre každé ε > existuje δ > 0 tak, že BY [0, δ] ⊆ L (BX [0, ε]).
Veta 15 (O otvorenom zobrazení)
Nech X a Y sú Banachove priestory. Každý surjektívny spojitý lineárny operátor
L : X → Y je otvorené zobrazenie.
Dôkaz Vety 15.
Ukážeme, že operátor L zobrazuje otvorené množiny z X na otvorené množiny
v Y . Nech A ⊆ X je daná otvorená množina a nech y ∈ L(M) je pevný vektor.
Potom existuje x ∈ A s vlastnosťou y = Lx. Keďže A je otvorená množina, iste
existuje malé ε > 0 také, že uzavretá guľa BX [x, ε] ⊆ A. Zrejme platí rovnosť
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Dôkaz Vety 15 (pokračovanie).
BX [x, ε] = x+BX[0, ε]. Podľa Lemy 3 existuje kladné číslo δ > 0 s vlastnosťou
BY [0, δ] ⊆ L (BX [0, ε]). Vďaka linearite zobrazenia L postupne máme
BY [y, δ] = y + BY [0, δ] ⊆ y + L (BX [0, ε]) = Lx + L (BX [0, ε])
= L (x + BX [0, ε]) = L (BX [x, ε]) ⊆ L(A).
Získaná inklúzia ukazuje, že y je vnútorný bod množiny L(A). A nakoľko vektor
y ∈ L(A) bol zvolený ľubovoľne, množina L(A) je otvorená. Podľa Definície 7
je teda operátor L otvorené zobrazenie. Dôkaz je kompletný.
Poznámka 8
Stojí za zmienku, že Veta 15 umožnuje zostaviť pomerne jednoduchý alternatívny
dôkaz Banachovej Vety 10 o inverznom operátore. Ak operátor L ∈ L(X, Y )
je bijektívny, potom existuje jeho (lineárna) inverzia L−1
definovaná na celom
priestore Y . V kontexte tvrdenia Vety 15 operátor L zobrazuje otvorené množiny
v X na otvorené množiny v Y . Inými slovami, úplne vzory otvorených množín v
zobrazení L−1
sú otvorené množiny. Preto je inverzia L−1
spojité zobrazenie.
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Veta 16
Nech X a Y sú normované lineárne priestory a L : X → Y je spojitý operátor.
Potom L je uzavreté zobrazenie.
Dôkaz Vety 16.
V súlade s Definíciou 8 ukážeme, že operátor L má uzavretý graf v priestore
X × Y . Nech {xn}∞
n=1 ⊆ X je postupnosť s limitou x = limn→∞ xn ∈ X.
Vďaka spojitosti zobrazenia L máme limn→∞ Lxn = Lx ∈ Y . Následne
[xn, Lxn] − [x, Lx] = [xn − x, Lxn − Lx]
(42)
= xn − x X + Lxn − Lx Y
pre každý index n ∈ N. Preto limn→∞ [xn, Lxn] − [x, Lx] = 0, t.j.,
limn→∞[xn, Lxn] = [x, Lx]. Podľa (41) má L uzavretý graf v X × Y .
Veta 17 (O uzavretom grafe)
Nech X a Y sú Banachove priestory a L : X → Y je lineárny operátor. Ak L je
uzavreté zobrazenie, potom L ∈ L(X, Y ), t.j., L je spojitý lineárny operátor.
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Dôkaz Vety 17.
Podľa predpokladov vety je súčinový priestor X × Y úplný vzhľadom na normu
v (42). Okrem toho, graf GL operátora L je v súlade s Definíciou 8 uzavretý v
X ×Y a vďaka linearite L je to lineárny podpriestor v X ×Y . Teda GL ⊆ X ×Y
je Banachov priestor. Definujme operátor P : GL → X predpisom
P [x, Lx] := x, [x, Lx] ∈ GL. (43)
Operátor P je zrejme lineárna bijekcia. Naviac je i ohraničený, keďže máme
P [x, Lx] X
(43)
= x X ≤ x X + Lx Y
(42)
= [x, Lx] pre každé x ∈ X.
Podľa Vety 10 má operátor P spojitú a lineárnu inverziu P−1
: X → GL, t.j.,
zobrazenie x → [x, Lx], x ∈ X, je lineárne a spojité. Podľa (42) potom nutne i
operátor L musí byť spojitý. Dôkaz je hotový.
Dôsledok 2
Nech X a Y sú Banachove priestory a L : X → Y je lineárny operátor. Potom
L je uzavretý práve vtedy, keď je spojitý.
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Dôkaz Dôsledku 2.
Tvrdenie priamo vyplýva z Viet 16 a 17.
Príklad 13
Predpoklad úplnosti priestorov X a Y v tvrdení Dôsledku 2 je dôležitý. V Príklade
6 sme dokázali, že diferenciálny operátor D : C1
[a, b] → C[a, b] definovaný
v (2) nie je spojitý, ak v priestore X = C1
[a, b] uvažujeme maximálnu normu
· C . Napriek tomu je v tomto prípade operátor D uzavretý. Skutočne, ak
{fn}∞
n=1 ⊆ X je postupnosť funkcií s vlastnosťami
fn → f v norme · C =⇒ fn → f rovnomerne na [a, b],
Dfn = f′
n → g v norme · C =⇒ Dfn = f′
n → g rovnomerne na [a, b],
potom zo základného kurzu matematickej analýzy vieme, že funkcia f má spojitú
deriváciu a g = f′
na intervale [a, b]. Preto postupnosť obrazov {Dfn}∞
n=1
konverguje v norme priestoru Y = C[a, b] k funkcií Df ∈ Y . To ukazuje,
že operátor D má uzavretý graf GD ⊆ X × Y vzhľadom na súčinovú normu
· = · C + · C v X × Y . Príčinou zlyhania tvrdenia Dôsledku 2 je
skutočnosť, že priestor X = C1
[a, b] nie je vzhľadom na maximálnu normu úplný.
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Veta 18
Nech X a Y sú Banachove priestory a L : X → Y je lineárny operátor. Ak L je
uzavretý a má inverziu L−1
, potom operátor L−1
je tiež uzavretý.
Dôkaz Vety 18.
Dokážeme, že graf GL−1 inverzného operátora L−1
je uzavretá množina v súčinovom
priestore Y × X. Podľa Definície 8 máme
GL−1 = {[y, L−1
y], y ∈ R(L)} ⊆ Y × X. (44)
Uvažujme postupnosť {yn}∞
n=1 ⊆ R(L) s vlastnosťou
yn → y v norme · Y a L−1
yn → x v norme · X . (45)
Označme xn := L−1
yn, n ∈ N. Keďže lineárny operátor L je uzavretý, podľa
Vety 17 je spojitý, a tak platí
y = lim
n→∞
yn = lim
n→∞
Lxn = Lx,
teda vektor y ∈ R(L). Obzvlášť máme x = L−1
y. To znamená, že postupnosť
[yn, L−1
yn] = [yn, xn] → [y, x] = [y, L−1
y] ∈ GL−1 v norme · Y + · X .
Množina GL−1 je teda uzavretá, a preto inverzný operátor L−1
je uzavretý.
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Príklad 14
Nech p, q ∈ C[a, b] sú dané spojité funkcie a položme
X = {x ∈ C2
[a, b], x(a) = 0 = x′
(a)}, x X = x C + x′
C + x′′
C , x ∈ X,
Y = C[a, b], y Y = y C , y ∈ Y.
Uvažujme diferenciálny operátor L : X → Y tvaru
L : x(t) → x′′
(t) + p(t) x′
(t) + q(t) x(t), x ∈ X, t ∈ [a, b].
Obidva priestory X a Y sú úplné vzhľadom na svoje normy. Skúmaný operátor
L je lineárny a uzavretý, čo podľa Vety 17 zaručuje jeho spojitosť. Na druhej
strane, z teórie diferenciálnych rovníc vyplýva, že L je bijektívny operátor. Z
Vety 10 potom vyplýva, že inverzný operátor L−1
je spojitý na priestore Y .
Posledné pozorovanie možno interpetovať nasledovne. Pre danú spojitú funkciu
f ∈ C[a, b] uvažujme začiatočnú úlohu
x′′
+ p(t) x′
+ q(t) x = f(t), x(a) = 0 = x′
(a), t ∈ [a, b]. (46)
Spojitosť operátora L−1
znamená, že pri “malých” zmenách pravej strany f
rovnice v (46) možno očakávať “malé” zmeny riešení začiatočnej úlohy (46).
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Obsah
1 Základné pojmy, spojitosť a princíp rovnomernej ohraničenosti
2 Invertovateľnosť operátorov
3 Adjungované operátory
4 Kompaktné operátory
5 Spektrálna teória operátorov
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Pojem adjungovaného operátora
Nech X a Y sú dané normované lineárne priestory, A ⊆ X algebraický podpriestor
hustý v X a L : A → Y je lineárny operátor. Označme symbolmi X′
a
Y ′
priestory duálne (adjungované) k priestorom X a Y , t.j., priestory všetkých
spojitých lineárnych funkcionálov na X a Y . Zrejme pre každý funkcionál g ∈ Y ′
je zložené zobrazenie g ◦ L lineárny funkcionál na priestore X. Označme
B := {g ∈ Y ′
, g ◦ L ∈ X′
, t.j., g ◦ L je spojitý na X}. (47)
Lineárny operátor L teda indukuje istý operátor L′
: B → X′
definovaný
L′
g := g ◦ L, g ∈ B ⊆ Y ′
. (48)
Definícia 9 (Adjungovaný operátor)
Operátor L′
: B → X′
definovaný predpisom v (48) sa nazýva (duálny) adjungovaný
operátor k operátoru L.
Poznámka 9
Vďaka tomu, že množina A je hustá v priestore X, operátor L′
v (48) je definovaný
korektne. Ak naviac L je i spojitý operátor, potom množina B = Y ′
.
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Poznámka 10
Z historických dôvodov sa hodnota f(x) funkcionálu f ∈ X′
v bode x ∈ X často
vyjadruje v tvare f, x , pričom symbol ·, · nemusí nutne znamenať skalárny
súčin. V tomto označení adjungovaný operátor L′
v (48) formálne spĺňa
L′
g, x = g, Lx pre každé g ∈ B a x ∈ X. (49)
Zavedené označenie sa ukazuje ako veľmi efektívne a v mnohých konkrétnych
situáciach uľahčuje formálne výpočty.
Veta 19
Nech X a Y sú normované lineárne priestory a L : X → Y je lineárny operátor.
Nech B ⊆ Y ′
je množina v (47). Adjungovaný operátor L′
: B → X′
je lineárny.
Ak naviac L je spojitý, potom aj L′
je spojitý a platí rovnosť L′
= L .
Dôkaz Vety 19.
Linearita operátora L′
vyplýva z nasledujúcich výpočtov, v ktorých využijeme
symboliku zavedenú v Poznámke 10. Konkrétne, pre každú dvojicu funkcionálov
f, g ∈ B, každú dvojicu skalárov α, β ∈ C a každý vektor x ∈ X máme
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Dôkaz Vety 19 (pokračovanie).
L′
(αf + βg), x
(49)
= αf + βg, Lx = α f, Lx + β g, Lx
(49)
= α L′
f, x + β L′
g, x = α L′
f + β L′
g, x ,
t.j., platí L′
(αf + βg) = α L′
f + β L′
g. Nech naviac L je spojitý operátor.
Ukážeme, že L′
je ohraničený. Zrejme teraz B = Y ′
a pre g ∈ Y ′
a x ∈ X platí
[L′
g](x)
(48)
= |g(Lx)| ≤ g · Lx Y
(7)
≤ g · L · x X
⇓
L′
g ≤ L · g (50)
Lineárny operátor L′
je teda ohraničený, a tak i spojitý. Naviac, podľa (50) a
Poznámky 1 platí nerovnosť L′
≤ L . Dokážeme opačnu nerovnosť. Ak
L ≡ 0, potom zrejme i adjungovaný operátor L′
≡ 0 a platí L′
= 0 = L .
Predpokladajme preto, že operátor L nie je identicky nulový a nech x ∈ X je
ľubovoľný vektor taký, že y := Lx = 0. Podľa jedného z dôsledkov HahnovejBanachovej
vety potom existuje funkcionál g ∈ Y ′
s vlastnosťou
g = 1, g(y) = y Y = Lx Y . (51)
Postupne máme
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Dôkaz Vety 19 (pokračovanie).
Lx Y = g(y) = |g (Lx)|
(48)
= [L′
g](x) ≤ L′
g · x X
(7)
≤ L′
· g · x X
(51)
= L′
· x X (52)
Nerovnosť (52) zrejme platí aj pre každý vektor x ∈ X, pre ktorý Lx = 0. Preto
Lx Y ≤ L′
· x X pre každý vektor x ∈ X.
Posledná nerovnosť v kontexte s (6) znamená, že L ≤ L′
.
Veta 20
Nech X, Y a Z sú dané normované lineárne priestory. Množina všetkých operátorov,
ktoré sú adjungované k lineárnym operátorom z L(X, Y ), je lineárny
podpriestor v L(Y ′
, X′
). Naviac, ak L : X → Y a K : Y → Z, potom
(K ◦ L)′
= L′
◦ K′
. (53)
Dôkaz Vety 20.
Pre každú dvojicu spojitých lineárnych operátorov L, ˜L ∈ L(X, Y ) platí
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Dôkaz Vety 20 (pokračovanie).
(αL + β ˜L)′
g, x
(49)
= g, (αL + β ˜L)x = g, αLx + β ˜Lx = αg, Lx + βg, ˜Lx
(49)
= L′
(αg), x + ˜L′
(βg), x = (αL′
+ β ˜L′
) g, x ,
kde g ∈ Y ′
a x ∈ X sú ľubovoľné. Preto
(αL + β ˜L)′
= αL′
+ β ˜L′
, L, ˜L ∈ L(X, Y ), α, β ∈ C. (54)
Ďalej, ak L ∈ L(X, Y ) a K ∈ L(Y, Z), potom pre každý funkcionál g ∈ Z′
a
každý bod x ∈ X postupne máme
(K ◦ L)′
g, x
(49)
= g, (K ◦ L)x = g, K(Lx)
(49)
= K′
g, Lx
(49)
= (L′
◦ K′
) g, x .
Platí teda formula (53) a dôkaz je kompletný.
Príklad 15
Pre dané n, m ∈ N uvažujme X = Cn
a Y = Cm
ako lineárne priestory stĺpcových
vektorov. Je známe, že každý lineárny operátor z X do Y je spojitý
(vzhľadom na každú dvojicu noriem v X a Y ) a je možné ho reprezentovať ne-
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Príklad 15
jakou maticou z Cm×n
. Nech teda L : X → Y je (spojitý) lineárny operátor
realizovaný pomocou komplexnej matice A ∈ Cm×n
, t.j., platí
Lx = Ax, x ∈ X.
Ukážeme, že k nemu prislúchajúci adjungovaný operátor L′
: Y ′
→ X′
v (48)
je možné reprezentovať maticou AT ∈ Cn×m
, t.j., hermiteovsky združenou s
maticou A. Spojité lineárne funkcionály na X, resp. Y , splývajú s priestorom
všetkých lineárnych foriem na X, resp. na Y . Ich pôsobenie možno vyjadriť v
tvare “konečnorozmerného” skalárneho súčinu, t.j., pre každé f ∈ X′
a g ∈ Y ′
existujú jediné vektory xf ∈ X a yg ∈ Y také, že
f(x) = xT
xf , x ∈ X, g(y) = yT
yg, y ∈ Y.
Ak pre ľubovoľne zvolené g ∈ Y ′
označíme f := g ◦ L, potom platí
f(x) = [L′
g](x) = g(Lx) −→ xT
xf = (Ax)T
yg −→ xT
xf = xT
AT yg
pre každé x ∈ X. To znamená, že vektor xf = AT yg. Pôsobenie adjungovaného
operátora L′
je teda realizované prostredníctvom matice AT .
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Anihilátory v normovaných priestoroch
Definícia 10 (Anihilátor a spätný anihilátor množiny)
Nech X je normovaný priestor a X′
jeho duálny priestor. Pre danú množinu
A ⊆ X definujeme jej anihilátor v duálnom priestore X′
ako množinu
A⊥
:= {f ∈ X′
, f(x) = 0 pre každé x ∈ A}. (55)
Podobne, pre danú množinu B ⊆ X′
definujeme jej spätný anihilátor v priestore
X ako množinu
⊥
B := {x ∈ X, f(x) = 0 pre každé f ∈ B}. (56)
Veta 21
Nech X je normovaný priestor a X′
jeho duálny priestor. Pre každé dané množiny
A ⊆ X a B ⊆ X′
sú ich anihilátory A⊥
a ⊥
B uzavreté podpriestory v X′
a X.
Naviac, platia rovnosti X⊥
= {0} ⊆ X′
a ⊥
X′
= {0} ⊆ X.
Dôkaze Vety 21.
Nie je náročné ukázať, že množiny A⊥
a ⊥
B sú lineárne podpriestory v X′
a X.
Dokážeme uzavretosť množín A⊥
a ⊥
B v ich odpovedajúcich priestoroch. Nech
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Dôkaze Vety 21 (pokračovanie).
{fn}∞
n=1 ⊆ A⊥
je konvergentná postupnosť spojitých lineárnych funkcionálov s
limitou f ∈ X′
. Pre každé x ∈ A podľa (55) platí fn(x) = 0, n ∈ N, a tak
|f(x)| = lim
n→∞
|f(x) − fn(x)| ≤ lim
n→∞
f − fn X′ x X = 0,
t.j., funkcionál f ∈ A⊥
. Podobne, ak {xn}∞
n=1 ⊆ ⊥
B je konvergentná postupnosť
s limitou x ∈ X, potom pre každé f ∈ B máme f(xn) = 0, n ∈ N. Preto
vďaka spojitosti 0 = f(xn) → f(x) pre n → ∞, teda f(x) = 0 pre každé f ∈ B.
Preto vektor x ∈ ⊥
B. Napokon, ak funkcionál f ∈ X⊥
, potom f(x) = 0 pre
každé x ∈ X, teda f ≡ 0. Preto platí X⊥
= {0}. Podobne, ak x ∈ ⊥
X′
, potom
f(x) = 0 pre každé f ∈ X′
. Podľa jedného z dôsledkov Hahnovej–Banachovej
vety existuje spojitý lineárny funkcionál g s vlastnosťou g(x) = x X a g = 1.
Preto nutne vektor x = 0 a platí ⊥
X′
= {0}. Dôkaz je hotový.
Poznámka 11
Nie je ťažké dokázať, že pre každé A ⊆ X a každé B ⊆ X′
platia inklúzie
A ⊆ ⊥
A⊥
, B ⊆ ⊥
B
⊥
. (57)
Dodajme, že využitím (57) a Vety 21 máme rovnosti {0}⊥
= X′
a ⊥
{0} = X.
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Veta 22
Nech X a Y sú dané normované priestory, L : X → Y je spojitý lineárny operátor
a L′
: Y ′
→ X′
jeho adjungovaný operátor. Potom platia rovnosti
Ker L′
= [R(L)]⊥
, Ker L = ⊥
[R(L′
)]. (58)
Dôkaze Vety 22 (pokračovanie).
Dokážeme prvú rovnosť v (58). Pre funkcionál g ∈ Ker L′
platí L′
g ≡ 0 ∈ X′
,
t.j., [L′
g](x) = 0 pre každé x ∈ X. V súlade s (48) platí g(Lx) = 0 pre každé
x ∈ X. Funkcionál g sa teda nuluje na podpriestore R(L), preto podľa (55)
máme g ∈ [R(L)]⊥
. Naopak, pre každý funkcionál g ∈ [R(L)]⊥
je g(Lx) = 0
pre každé x ∈ X, a následne opäť podľa (48) platí [L′
g](x) = 0 pre každé
x ∈ X. Preto L′
g ≡ 0 a funkcionál g ∈ Ker L′
. Pri dôkaze druhej rovnosti v
(58) postupujeme podobne. Ak x ∈ Ker L, potom Lx = 0, a preto g(Lx) = 0
pre každé g ∈ Y ′
. Podľa (48) teda [L′
g](x) = g(Lx) = 0 pre každé g ∈ Y ′
.
Na vektore x sa teda nulujú všetky funkcionály z množiny R(L′
), t.j. v zhode
s (56) platí x ∈ ⊥
[R(L′
)]. Naopak, ak x ∈ ⊥
[R(L′
)], t.j., [L′
g](x) = 0 pre
každé g ∈ Y ′
, potom podľa (48) máme g(Lx) = 0 pre každý funkcionál g ∈ Y ′
.
Pomocou rovnakého argumentu využívajúceho Hahnovu–Banachovu vetu ako
vyššie, dostaneme, že Lx = 0, a teda vektor x ∈ Ker L. Dôkaz je hotový.
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Poznámka 12
Doplňme, že okrem rovností v (58) platia aj relácie
R(L) = ⊥
[Ker L′
], R(L′) ⊆ [Ker L]⊥
. (59)
Posledná inklúzia sa však nemusí realizovať ako rovnosť, viz Príklad 16.
Príklad 16
Nech priestory X = l1
a Y = c0 a uvažujme operátor L : X → Y tvaru
L{xn} :=
xn
n
, {xn} ∈ l1
. (60)
Jedná sa zrejme o lineárny a ohraničený, a teda i spojitý operátor. Nájdeme
k nemu odpovedajúci adjungovaný operátor L′
: Y ′
→ X′
. Vieme, že duálne
priestory X′
= (l1
)′
≃ l∞
a Y ′
= (c0)′
≃ l1
. Presnejšie, že každý spojitý
lineárny funkcionál f ∈ X′
je možné reprezentovať v tvare
f ({xn}) =
∞
n=1
cnxn, {xn} ∈ l1
, pre jediné {cn} ∈ l∞
. (61)
Podobne, každý spojitý lineárny funkcionál g ∈ Y ′
má tvar
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Príklad 16
g ({yn}) =
∞
n=1
dnyn, {yn} ∈ c0, pre jediné {dn} ∈ l1
. (62)
V súlade s definíciou operátora L′
v (48) platia pre každé g ∈ Y ′
rovnosti
[L′
g]{xn}
(48)
= g (L{xn})
(60)
= g
xn
n
(62)
=
∞
n=1
dn
n
xn, {xn} ∈ X. (63)
Operátor L′
je teda možné formálne reprezentovať priradením
L′
: {dn} ∈ l1
→
dn
n
∈ l∞
. (64)
Dá sa ukázať, že v zhode s (64) platí R(L′) ≃ c0. Na druhej strane, z predpisu
(60) vidieť, že podpriestor Ker L = {0} ∈ X, a tak podľa Poznámky 11 platí
[Ker L]⊥
= X′
≃ l∞
. Preto máme
R(L′) ≃ c0 l∞
≃ [Ker L]⊥
,
t.j., v tomto prípade platí v (59) ostrá inklúzia. Na záver poznamenajme, že
rovnosť v (59) skutočne platí. Keďže podľa (64) operátory L a L′
pôsobia
formálne rovnako (avšak na rôznych priestoroch a do rôznych priestorov), platí
R(L) = c0 a ⊥
[Ker L′
] = ⊥
{0} = Y = c0, kde sme využili Poznámku 11.
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Hermiteovsky adjungovaný operátor I
Nech H je daný Hilbertov priestor so skalárnym súčinom ·, · H a uvažujme
lineárny operátor L : H → H. Nech ďalej L′
: H′
→ H′
je v súlade s Definíciou 9
operátor adjungovaný k L. Podľa Fréchetovej–Rieszovej vety o duálnom priestore
H′
vieme, že existuje izometrický izomorfizmus τ : H → H′
daný predpisom
τ(y) = fy = ·, y H , y ∈ H, (65)
τ(y) H′ = y H , τ−1
(f) H = f H′ , y ∈ H, f ∈ H′
. (66)
Definícia 11 (Hermiteovsky adjungovaný operátor)
Nech H je (komplexný) Hilbertov priestor, L : H → H je lineárny operátor a
L′
: H′
→ H′
je odpovedajúci adjungovaný operátor. Zobrazenie
L∗
: H → H definované L∗
:= τ−1
◦ L′
◦ τ, (67)
s τ v (65), sa nazýva operátor hermiteovsky adjungovaný k operátoru L.
Poznámka 13
Operátor L∗
v (67) zrejme skutočne zobrazuje z H do H a je lineárny. Priamo
z (67) v Definícii 11 vyplýva, že platí
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Hermiteovsky adjungovaný operátor II
Poznámka 13
Lx, y H = x, L∗
y H pre každé x ∈ H a každé y ∈ H s L′
(τ(y)) ∈ H′
. (68)
Rovnosť (68) sa často používa ako definícia hermiteovsky adjungovaného operátora
v Hilbertovom priestore. Dá sa totiž ukázať, že ak
BL := {y ∈ H, L′
(τ(y)) ∈ H′
, t.j., L′
(τ(y)) je spojitý na H}, (69)
potom existuje práve jeden operátor T : H → H, ktorý spĺňa identitu
Lx, y H = x, Ty H
pre každé x ∈ H a každé y ∈ BL. Platí, že operátor T je lineárny a množina
BL v (69) je jeho definičným oborom. Ak naviac L je spojitý, potom BL = H
a k nemu hermiteovsky adjungovaný operátor L∗
je tiež spojitý, nakoľko
L∗
y H
(67)
= τ−1
{L′
[τ(y)]} H
(66)
= L′
[τ(y)] H′
(7)
≤ L′
· τ(y) H′
(66)
= L′
· y H .
pre každé y ∈ H. Obzvlášť platí L∗
≤ L′
. Na druhej strane, využitím
rovnosti τ ◦ L∗
◦ τ−1
= L′
pre každý funkcionál f ∈ H′
dostaneme
L′
f H′ = τ{L∗
[τ−1
(f)]} H′
(66)
= L∗
[τ−1
(f)] H
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Hermiteovsky adjungovaný operátor III
Poznámka 13
(7)
≤ L∗
· τ−1
(f) H
(66)
= L∗
· f H′ ,
a tak L′
≤ L∗
. Podľa Vety 19 preto platia rovnosti L∗
= L′
= L .
Veta 23
Nech H je (komplexný) Hilbertov priestor a L ∈ L(H) je spojitý lineárny operátor.
Hermiteovsky adjungovaný operátor L∗
má nasledujúce vlastnosti.
(i) Platí rovnosť (L∗
)∗
= L.
(ii) R(L) = (Ker L∗
)⊥
a R(L∗) = (Ker L)⊥
.
(iii) (R(L))⊥
= Ker L∗
a (R(L∗
))⊥
= Ker L.
Dôkaz Vety 23.
Platnosť (i) vyplýva z rovnosti (68), ktorá teraz platí pre každé x, y ∈ H. Máme
L∗
x, y H = y, L∗x H
(68)
= Ly, x H = x, Ly H .
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Dôkaz Vety 23 (pokračovanie).
Z tejto rovnosti vďaka spojitosti L, a teda i operátora L∗
(podľa Poznámky 13)
dostávame, že L je hermiteovsky adjungovaný operátor k L∗
, t.j., (L∗
)∗
= L.
Pristúpime k dôkazu tvrdenia (ii). Pomerne jednoducho sa dokáže inklúzia
R(L) ⊆ (Ker L∗
)⊥
. (70)
Skutočne, ak vektor y ∈ R(L), potom y = Lx pre vhodné x ∈ H. Následne pre
každý vektor z ∈ Ker L∗
platí
y, z H = Lx, z H
(68)
= x, L∗
z H = 0,
teda y ∈ (Ker L∗
)⊥
. Vďaka spojitosti operátora L∗
sú podpriestory Ker L∗
a
(Ker L∗
)⊥
uzavreté v H. Preto podľa (70) platí aj inklúzia R(L) ⊆ (Ker L∗
)⊥
.
Ďalej si všimnime, že pre každý pevný vektor z ∈ R(L)
⊥
máme
0 = Lx, z H
(68)
= x, L∗
z H pre každé x ∈ H.
Takže L∗
z = 0 a tak platí inklúzia R(L)
⊥
⊆ Ker L∗
. To potom znamená, že
ak vektor y ∈ (Ker L∗
)⊥
, potom y, z H = 0 pre každé z ∈ R(L)
⊥
. Preto
nutne y ∈ R(L), t.j., platí inklúzia (Ker L∗
)⊥
⊆ R(L). Druhá rovnosť v (ii)
vyplýva z prvej pomocou zámeny L → L∗
prihliadnutím na (i). Napokon doká-
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Dôkaz Vety 23 (pokračovanie).
žeme formuly v (iii). Ak vektor y ∈ (R(L))⊥
potom
0 = Lx, y H
(68)
= x, L∗
y H pre každé x ∈ H,
teda L∗
y = 0, čo znamená, že y ∈ Ker L∗
. Naopak, ak vektor y ∈ Ker L∗
,
potom platí L∗
y = 0 a
0 = x, 0 H = x, L∗
y H
(68)
= Lx, y H pre každé x ∈ H.
Teda y ∈ (R(L))⊥
. Druhá rovnosť v (iii) opäť vyplýva z prvej zámenou L → L∗
a využitím tvrdenia (i). Dôkaz je teraz kompletný.
Poznámka 14
Poznamenajme, že lineárny podpriestory R(L) a R(L∗
) nemusia byť uzavreté
v priestore H. Na druhej strane, z tvrdení (ii) a (iii) Vety 23 vyplýva, že ich
ortogonálne doplnky (R(L))⊥
a (R(L∗
))⊥
sú vždy uzavreté v H a platia identity
(R(L))⊥
= R(L)
⊥
, (R(L∗
))⊥
= R(L∗)
⊥
. (71)
Napokon dodajme, že prvú rovnosť v (ii) možno interpretovať tak, že pre daný
vektor y ∈ H má rovnica Lx = y riešenie x ∈ H práve vtedy, keď y, z H = 0
pre každé riešenie z ∈ H homogénnej adjungovanej rovnice L∗
z = 0.
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Veta 24
Nech H je Hilbertov priestor a L ∈ L(H) je bijektívny operátor. Potom aj jeho
hermiteovsky adjungovaný operátor L∗
je bijektívny a platí (L∗
)−1
= (L−1
)∗
.
Dôkaz Vety 24.
Operátor L je bijektívny na H, t.j., L ◦ L−1
= I = L−1
◦ L. Z Vety 10 vieme,
že inverzný operátor L−1
je spojitá lineárna bijekcia na H. Pre každú dvojicu
vektorov x, y ∈ H preto platí
x, y H = (L−1
◦ L)x, y H
(68)
= Lx, (L−1
)∗
y H
(68)
= x, [L∗
◦ (L−1
)∗
]y H
Teda [L∗
◦ (L−1
)∗
]y = y pre každé y ∈ H, t.j., L∗
◦ (L−1
)∗
= I. Analogicky
x, y H = (L ◦ L−1
)x, y H
(68)
= (L−1
)x, L∗
y H
(68)
= x, [(L−1
)∗
◦ L∗
]y H
pre každé x, y ∈ H. Takže máme [(L−1
)∗
◦ L∗
]y = y pre každé y ∈ H, t.j.,
(L−1
)∗
◦ L∗
= I. To znamená, že hermiteovsky adjungovaný operátor L∗
je
bijektívny na priestore H a jeho inverzia (L∗
)−1
spĺňa rovnosť
(L∗
)−1
= (L−1
)∗
.
Dôkaz tvrdenia je kompletný.
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Definícia 12 (Hermiteovsky samoadjungovaný operátor)
Nech H je (komplexný) Hilbertov priestor. Spojitý lineárny operátor L : H → H
sa označuje ako (hermiteovsky) samoadjungovaný, ak spĺňa rovnosť L = L∗
,
kde L∗
je operátor hermiteovsky adjungovaný k operátoru L.
Príklad 17
V kontexte Príkladu 15 sú v Hilbertovom priestore H = Cn
(so štandardným
skalárnym súčinom) hermiteovsky adjungované operátory reprezentované hermiteovsky
združenými maticami. Konkrétne, ak lineárny operátor L : H → H
je reprezentovaný komplexnou maticou A ∈ Cn×n
, potom jeho hermiteovsky
adjungovaný operátor L∗
je reprezentovaný maticou AT . Skutočne, rovnosti
Ax, y H = xT
AT
¯y = xT
AT y = x, AT y H
sú platné pre každú dvojicu vektorov x, y ∈ H. Matica AT teda spĺňa identitu
(68), a tak podľa komentára v Poznámke 13 reprezentuje operátor hermiteovsky
adjungovaný k L, t.j., operátor L∗
. Špeciálne, samoadjungované operátory v H
sú v tomto prípade reprezentované hermiteovskými maticami v Cn×n
.
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Invariantný podpriestor
Definícia 13 (Invariantný podpriestor)
Nech H je (komplexný) Hilbertov priestor, A ⊆ H jeho podpriestor a L : H → H
daný operátor. Podpriestor A sa nazýva invariatný vzhľadom na operátor L, ak
množina L(A) ⊆ A, t.j., operátor L zobrazuje podpriestor A do seba.
Veta 25
Nech H je (komplexný) Hilbertov priestor a L : H → H spojitý lineárny operátor.
Nech A ⊆ H je uzavretý podpriestor invariantný vzhľadom na operátor L. Potom
ortogonálny doplnok A⊥
je podpriestor invariatný vzhľadom na hermiteovsky
adjungovaný operátor L∗
. Špeciálne, ak L je hermiteovsky samoadjungovaný
operátor, potom i podpriestor A⊥
je invariatný vzhľadom na L.
Dôkaz Vety 25.
Dôkaz prvej časti tvrdenia je založený na rozklade H = A ⊕ A⊥
a identite (68).
Ak y ∈ A⊥
, potom x, L∗
y H = Lx, y H = 0 pre každý vektor x ∈ A, a tak i
vektor L∗
y ∈ A⊥
. Druhá časť tvrdenia je následne zrejmá.
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Obsah
1 Základné pojmy, spojitosť a princíp rovnomernej ohraničenosti
2 Invertovateľnosť operátorov
3 Adjungované operátory
4 Kompaktné operátory
5 Spektrálna teória operátorov
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Pojem kompaktného operátora
Definícia 14 (Kompaktný operátor)
Nech X a Y sú Banachove priestory. Hovoríme, že operátor L : X → Y
je kompaktný (totálne spojitý), ak každú ohraničenú množinu v priestore X
zobrazuje na prekompaktnú (relatívne kompaktnú) množinu v priestore Y .
Poznámka 15
Každý lineárny kompaktný operátor L : X → Y je spojitý na priestore X,
nakoľko každá prekompaktná množina v Y je ohraničená. Všeobecne však (nelineárny)
kompaktný operátor nemusí byť spojitý. Podobne, spojitý lineárny operátor
L : X → Y nemusí byť kompaktný. Typickým príkladom je identický
operátor I : X → X na priestore X s nekonečnou dimenziou, viz Príklad 18.
Ak však obor hodnôt R(L) je konečnorozmerný podpriestor v Y , potom operátor
L je kompaktný, keďže každá ohraničená podmnožina v konečnorozmernom
priestore je prekompaktná. Obzvlášť, ak priestor X má konečnú dimenziu, potom
každý lineárny operátor L : X → Y je kompaktný.
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Príklad 18 (Kompaktnosť identického operátora)
Nech X je Banachov priestor. Potom identický operátor I : X → X je kompaktný
práve vtedy, keď dim X < ∞. Vyplýva to z poznatku, že jednotková sféra
S(0, 1) ⊆ X je kompaktná práve vtedy, keď priestor X má konečnú dimenziu.
Príklad 19 (Kompaktnosť ortogonálnej projekcie)
Nech H je Hilbertov priestor a A ⊆ H uzavretý podpriestor. Potom ortogonálny
projektor PA : H → A definovaný v Príklade 2 je kompaktný práve vtedy, keď
podpriestor A má konečnú dimenziu. Zrejme PA sa na podpriestore A správa ako
identický operátor. Preto ak PA je kompaktný operátor, nutne podľa Príkadu 18
musí byť dim A < ∞. Opačná implikácia vyplýva z linearity projekcie PA a z
komentárov v Poznámke 15.
Príklad 20 (Kompaktnosť integrálneho operátora)
V tomto príklade ukážeme, že integrálny operátor definovaný predpisom (3) v
Príklade 3 je pre funkciu k ∈ C([a, b] × [a, b]) vždy kompaktný. Doplňme, že
v literatúre sa často označuje ako integrálny Fredholmov operátor. Nech A ⊆
C[a, b] je daná ohraničená množina, t.j., existuje M > 0 také, že f C ≤ M pre
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Príklad 20 (Kompaktnosť integrálneho operátora)
každé f ∈ A. Z Príkladu 7 ďalej vieme, že pre každé ∈ A platí
Kf C ≤ f C · max
t∈[a,b]
b
a
|k(t, s)| ds ≤ M · max
t∈[a,b]
b
a
|k(t, s)| ds,
t.j., množina K(A) je ohraničená v priestore C[a, b]. Dokážeme, že funkcie v
K(A) sú navyše aj rovnako spojité. Keďže [a, b] × [a, b] je kompaktný interval v
R2
, funkcia k je rovnomerne spojitá na [a, b] × [a, b]. Inými slovami, pre každé
ε > 0 existuje δ > 0 tak, že ak pre body [t1, s1], [t2, s2] ∈ [a, b] × [a, b] platí
|t2 − t1| + |s2 − s1| < δ, potom |k(t2, s2) − k(t1, s1)| < ε.
Špeciálne v našom prípade pre každé zvolené ε > 0 existuje δ > 0 také, že ak
pre každú dvojicu t1, t2 ∈ [a, b] platí
|t2 − t1| < δ, potom |k(t2, s) − k(t1, s)| <
ε
M(b − a)
pre každé s ∈ [a, b]. (72)
Následne, pre každú funkciu f ∈ A máme
|[Kf](t2) − [Kf](t1)|
(3)
=
b
a
[k(t2, s) − k(t1, s)] f(s) ds
≤
b
a
|k(t2, s) − k(t1, s)| |f(s)| ds
(72)
<
b
a
εM
M(b − a)
ds = ε,
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Príklad 20 (Kompaktnosť integrálneho operátora)
čo ukazuje, že K(A) je systém rovnako spojitých funkcií na intervale [a, b].
Podľa Arzelàovej–Ascoliho vety potom platí, že množina L(A) je prekompaktná
v priestore C[a, b]. Integrálny operátor K je teda kompaktný.
Príklad 21 (Kompaktnosť integrálneho Volterrovho operátora)
Ďalším významným príkladom integrálneho operátora je integrálny Volterrov operátor
L : C[a, b] → C[a, b] definovaný predpisom
[Lf](t) :=
t
a
k(t, s) f(s) ds, f ∈ C[a, b], t ∈ [a, b], (73)
pre danú funkciu k spojitú na [a, b] × [a, b]. Operátor L v (73) je lineárny a
analogickým spôsobom ako v Príklade 20 sa dá ukázať, že je kompaktný.
Poznámka 16
Poznamenajme, že všeobecný lineárny kompaktný operátor L : X → Y , kde
X a Y sú Banachove priestory, nemusí uzavretú jednotkovú guľu BX [0, 1] v X
zobrazovať nutne na kompaktnú množinu v Y , t.j., jej obraz nemusí byť uzavretý
v priestore Y . Dá sa však dokázať, že ak X je duálny priestor pre nejaký normo-
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Poznámka 16
vaný priestor, potom množina L(BX [0, 1]) je uzavretá, a tak kompaktná v
priestore Y . Obzvlášť táto vlastnosť platí napríklad pre reflexívne priestory X.
Veta 26
Nech X a Y sú Banachove priestory a L : X → Y je lineárny kompaktný
operátor. Ak postupnosť {xn}∞
n=1 ⊆ X je slabo konvergentná v X s limitou x,
potom postupnosť {Lxn}∞
n=1 ⊆ Y konverguje v norme priestoru Y s limitou Lx.
Dôkaz Vety 26.
Z predpokladov vyplýva, že operátor L je spojitý a lineárny. Preto ak xn ⇀ x
pre n → ∞ v priestore X, podľa Vety 8 i postupnosť Lxn ⇀ Lx pre n → ∞ v
priestore Y . Na druhej strane, v súlade s princípom rovnomernej ohraničenosti
pre normovaný priestor X je postupnosť {xn}∞
n=1 ohraničená v norme v X.
Sporom predpokladajme, že Lxn → Lx pre n → ∞ v norme priestoru Y . To
znamená, že existuje ε > 0 a vybraná podpostupnosť {xnk }∞
k=1 tak, že
Lxnk − Lx Y ≥ ε pre každé k ∈ N. (74)
Keďže {xnk }∞
k=1 je ohraničená postupnosť, vďaka kompaktnosti operátora L sa
z nej dá vybrať podpostupnosť {zi}∞
i=1 ⊆ {xnk }∞
k=1, pre ktorú
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Dôkaz Vety 26 (pokračovanie).
{Lzi}∞
i=1 konverguje v norme Y, t.j., Lzi → y pre i → ∞ pre nejaké y ∈ Y.
Zrejme potom aj Lzi ⇀ y pre i → ∞, a tak nutne y = Lx. Teda
Lzi − Lx Y < ε pre každý dostatočne veľký index i ∈ N.
Posledná nerovnosť je však v rozpore s (74). Dôkaze je preto hotový.
Poznámka 17
Tvrdenie Vety 26 ukazuje, že lineárne kompaktné operátory L : X → Y prevádzajú
slabo konvergentné postupnosti v X na silne konvergentné postupnosti
v Y . Operátorom s takouto vlastnosťou sa hovorí úplne spojité operátory. Každý
lineárny kompaktný operátor je teda úplne spojitý, avšak úplne spojitý operátor
nemusí byť nutne kompaktný. Napríklad identický operátor I : l1
→ l1
je úplne
spojitý na l1
. Je to dôsledok Schurovej vety, ktorá hovorí, že na priestore l1
slabá
a silná konvergencia splývajú. Zároveň podľa Príkladu 18 tento operátor nie je
kompaktný, nakoľko priestor l1
nemá konečnú dimenziu. Na druhej strane, na reflexívnych
priestoroch X lineárne kompaktné a úplne spojité operátory splývajú,
t.j., každý úplne spojitý a lineárny operátor je zároveň aj kompaktný.
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Veta 27
Nech X, Y a Z sú Banachove priestory. Potom platia nasledujúce tvrdenia.
(i) Ak L ∈ L(X, Y ), K ∈ L(Y, Z) a operátor K je naviac kompaktný, potom
i operátor K ◦ L je kompaktný.
(ii) Ak L ∈ L(X, Y ), K ∈ L(Z, X) a operátor K je naviac kompaktný, potom
i operátor L ◦ K je kompaktný.
Dôkaz Vety 27.
Tvrdenie (i) vyplýva z nasledujúceho reťazca implikácií.
A ⊆ X je ohraničená ⇒ L(A) ⊆ Y je ohraničená
⇓
[K ◦ L](A) = K(L(A)) ⊆ Z je prekompaktná v Z,
t.j., operátor K ◦ L : X → Z je podľa Definície 14 kompaktný. Podobne pre (ii)
A ⊆ Z je ohraničená ⇒ K(A) ⊆ X je prekompaktná
⇓
[L ◦ K](A) = L(K(A)) ⊆ Y je prekompaktná v Y,
t.j., operátor L ◦ K : Z → Y je podľa Definície 14 kompaktný.
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Veta 28
Nech X a Y sú Banachove priestory a L : X → Y je lineárny kompaktný
operátor. Potom platia nasledujúce tvrdenia.
(i) Ak priestor X má nekonečnú dimenziu, potom platí
ak operátor L je injektívny, potom podpriestor R(L) nie je uzavretý v Y.
(ii) Ak priestor Y má nekonečnú dimenziu, potom operátor L nie je surjektívny.
Dôkaz Vety 28.
Zrejme L je spojitý operátor, viz Poznámka 15. Ak v tvrdení (i) predpokladáme,
že operátor L je injektívny a zároveň má uzavretý obor hodnôt R(L), potom s
súlade Vetami 13 a 14 je L zdola ohraničený a má spojitú inverziu L−1
: R(L) →
X. Následne z Vety 27(ii) vyplýva, že identický operátor I = L−1
◦ L : X → X
je kompaktný. To je však v rozpore s diskusiou v Príklade 18, keďže dim X = ∞.
Preto podpriestor R(L) nemôže byť uzavretý v Y . V dôkaze tvrdenia (ii) môžeme
argumentovať tak, že predpoklad surjektívnosti operátora L podľa Lemy 3 zaručí,
že množina L(BX [0, 1]) obsahuje nejakú uzavretú guľu BY [0, δ] v Y . Keďže
dim Y = ∞, guľa BY [0, δ], a teda i množina L(BX [0, 1]) nie je prekompaktná
v priestore Y . To je však v rozpore s kompaktnosťou operátora L.
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Dôsledok 3
Nech X a Y sú Banachove priestory a X má nekonečnú dimenziu. Potom
lineárny kompaktný operátor L : X → Y nikdy nemá spojitú inverziu L−1
.
Dôkaz Dôsledku 3.
Ak by inverzný operátor L−1
bol spojitý, potom by podľa Vety 13 bol L zdola
ohraničený, t.j., v súlade s Vetou 14 bol injektívny a zároveň mal uzavretý obor
hodnôt R(L) v priestore Y . To však vylučuje Veta 28(i), keďže dim X = ∞.
Veta 29
Nech X a Y sú Banachove priestory a {Ln}∞
n=1 je konvergentná postupnosť
kompaktných operátorov z X do Y s limitou L. Potom operátor L je kompaktný.
Dôkaz Vety 29.
Nech A ⊆ X je ohraničená množina, t.j., existuje r > 0 také, že x X ≤ r pre
každé x ∈ A. Dokážeme, že jej obraz L(A) ⊆ Y je množina prekompaktná v
priestore Y . Konkrétne, ukážeme, že množina L(A) je totálne ohraničená v Y ,
t.j., pre každé ε > 0 existuje pre L(A) konečná ε-sieť v Y . Zvoľme teda ε > 0.
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Dôkaz Vety 29 (pokračovanie).
Kedže limn→∞ Ln = L v norme priestoru L(X, Y ), operátor L je zrejme spojitý
a lineárny. Obzvlášť existuje index nε ∈ N s vlastnosťou
L − Ln <
ε
2r
pre každý index n ≥ nε. (75)
Množina Lnε (A) je ε
2
-sieť pre množinu L(A) v priestore Y . Skutočne, nech
vektor y ∈ L(A) je ľubovoľne zvolený a x ∈ A je taký, že y = Lx, potom vektor
ynε := Lnε x ∈ Lnε (A) spĺňa
y − ynε Y = Lx − Lnε x Y ≤ L − Lnε x X
(75)
<
ε
2r
r =
ε
2
. (76)
Z kompaktnosti operátora Lnε vyplýva, že množina Lnε (A) je prekompaktná v
Y , teda existuje pre ňu konečná ε
2
-sieť Bε ⊆ Y . Ukážeme, že množina Bε je
konečná ε-sieť pre množinu L(A). Pre vyššie definovaný vektor ynε ∈ Lnε (A)
existuje ˜y ∈ Bε taký, že ynε − ˜y Y ≤ ε
2
. Potom platí
y − ˜y Y = (y − ynε ) + (ynε − ˜y) Y ≤ y − ynε Y + ynε − ˜y Y
(76)
≤
ε
2
+
ε
2
= ε.
Nakoľko číslo ε > 0 bolo zvolené ľubovoľne, množina L(A) je totálne ohraničená,
a teda prekompaktná v priestore Y . V súlade s Definíciou 14 je preto operátor
L kompaktný a dôkaz je hotový.
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Poznámka 18
Je očividné, že konečné lineárne kombinácie lineárnych kompaktných operátorov
sú opäť lineárne kompaktné operátory. Tvrdenie Vety 29 potom znamená, že
podpriestor LC (X, Y ) lineárnych kompaktných operátorov je uzavretý v priestore
L(X, Y ) všetkých spojitých lineárnych operátorov (vzhľadom na normu).
Veta 30
Nech X a Y sú Banachove priestory a L : X → Y je kompaktný operátor.
Potom jeho obor hodnôt R(L) je podpriestor separabilný v Y .
Dôkaz Vety 30.
Nie je ťažké si uvedomiť, že množinu R(L) je možné vyjadriť v tvare
R(L) =
∞
n=1
L(Bn), Bn := {x ∈ X, x X ≤ n}, n ∈ N.
Každá z množín L(Bn), n ∈ N, je prekompaktná, a teda totálne ohraničená v
Y . Pre dané m, n ∈ N označme symbolom Ym,n ⊆ L(Bn) konečnú 1
m
-sieť pre
množinu L(Bn). Potom množina M := ∞
m,n=1 Ym,n ⊆ R(L) je spočítateľná
a hustá v R(L). Podpriestor R(L) je teda separabilný a dôkaz je hotový.
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Pri dôkaze nasledujúcej vety využijeme všeobecnejšiu verziu Arzelàovej–Ascoliho
vety o prekompaktnosti množín spojitých a ohraničených zobrazení. Nech U je
kompaktný metrický priestor s metrikou ρU a V je Banachov priestor s normou
· V . Nech C(U, V ) je množina všetkých spojitých a ohraničených zobrazení
f : U → V . Jedná sa o lineárny priestor, na ktorom je možné uvažovať normu
f := sup
u∈U
f(u) V , f ∈ C(U, V ). (77)
Nech F ⊆ C(U, V ) je nejaký systém zobrazení. Zobrazenia z F sú rovnomerne
rovnako spojité na U, ak pre každé ε > 0 existuje δ > 0 s vlastnosťou, že
ak ρU (u, ˜u) < δ, potom f(u)−f(˜u) V < ε pre každé u, ˜u ∈ U a každé f ∈ F. (78)
Zaveďme označenie
F(U) := {f(u), u ∈ U, f ∈ F} ⊆ V. (79)
Veta 31 (Arzelàova–Ascoliho)
Systém zobrazení F ⊆ C(U, V ) je prekompaktná množina v priestore C(U, V )
práve vtedy, keď zobrazenia z F sú rovnomerne rovnako spojité na priestore U
a množina F(U) je prekompaktná v priestore V .
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Veta 32 (Schauderova)
Nech X a Y sú Banachove priestory a L : X → Y lineárny operátor. Potom L je
kompaktný práve vtedy, keď adjungovaný operátor L′
: Y ′
→ X′
je kompaktný.
Dôkaz Vety 32.
Predpokladajme, že operátor L je kompaktný. To znamená, že obraz uzavretej
jednotkovej gule BX [0, 1] v zobrazení L, t.j., množina L(BX [0, 1]) ⊆ Y , je
prekompaktný v priestore Y . Označme
K := L(BX [0, 1]). (80)
Množina K ⊆ Y v (80) je zrejme kompaktná v priestore Y . Nech L′
: Y ′
→ X′
je operátor adjungovaný k operátoru L, viz Definícia 9. Nech {gn}∞
n=1 je postupnosť
spojitých lineárnych funkcionálov z jednotkovej uzavretej gule BY ′ [0, 1]
duálneho priestoru Y ′
. Dokážeme, že odpovedajúca postupnosť funkcionálov
{L′
gn}∞
n=1 ⊆ X′
je prekompaktná v duálnom priestore X′
. Uvažujme zúženie
zobrazení gn, n ∈ N, na množinu K, t.j., funkcie
ϕn := gn|K , n ∈ N. (81)
Keďže {gn}∞
n=1 ⊆ BY ′ [0, 1], postupnosť {ϕn}∞
n=1 ⊆ C(K, C). Symbolom · C
označme normu v priestore C(K, C). V súlade s (77) sa jedná o zúženie normy
· Y ′ na jednotkovú guľu BY ′ [0, 1]. Ukážeme, že postupnosť {ϕn}∞
n=1 je pre-
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Dôkaz Vety 32 (pokračovanie).
kompaktná v priestore C(K, C). Postupne máme
ϕn C
(77)
= sup
y∈K
|ϕn(y)| = sup
y∈L(BX [0,1])
|ϕn(y)| ≤ sup
y∈L(BX[0,1])
gn Y ′
≤1
y Y
≤ sup
y∈L(BX[0,1])
y Y = sup
x∈BX [0,1]
Lx Y = L ,
|ϕn(y) − ϕn(˜y)| = |ϕn(y − ˜y)| ≤ gn Y ′ y − ˜y Y ≤ y − ˜y Y
pre každý index n ∈ N a každú dvojicu vektorov y, ˜y ∈ K. Postupnosť {ϕn}∞
n=1
je teda ohraničená na množine K, a teda množina
{ϕn(y), y ∈ K, n ∈ N} je prekompaktná v C.
Ďalej funkcie ϕn, n ∈ N, sú rovomerne rovnako spojité na množine K.
Podľa Arzelàovej–Ascoliho vety 31 je teda postupnosť {ϕn}∞
n=1 prekompaktná
v C(K, C). To znamená, že obsahuje podpostupnosť {ϕnk }∞
k=1, ktorá je
konvergentná v norme · C na K. Uvažujme odpovedajúcu podpostupnosť
funkcionálov {L′
gnk }∞
k=1 v duálnom priestore X′
. Ukážeme, že je cauchyovská.
Pre ľubovoľnú dvojicu indexov k, l ∈ N platí
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Dôkaz Vety 32 (pokračovanie).
L′
gnk − L′
gnl X′ = sup
x∈BX [0,1]
[L′
gnk ](x) − [L′
gnl ](x)
(48)
= sup
x∈BX [0,1]
|gnk (Lx) − gnl (Lx)|
= sup
y∈K
|gnk (y) − gnl (y)| = gnk − gnl C .
Postupnosť {gnk }∞
k=1 je konvergentná, a teda i cauchyovská v norme · C .
Podľa poslednej rovnosti to implikuje cauchyovskosť postupnosti {L′
gnk }∞
k=1 v
X′
. A keďže duálny priestor X′
je úplný, dostávame, že postupnosť {L′
gnk }∞
k=1
i konverguje v X′
. To znamená, že celá postupnosť {L′
gn}∞
n=1 ⊆ X′
je prekompaktná.
Preto adjungovaný operátor L′
je v súlade s Definíciou 14 kompaktný.
Predpokladajme teraz, že adjungovaný operátor L′
: Y ′
→ X′
je kompaktný.
Využitím skutočnosti, že každý normovaný priestor X sa dá izometricky vnoriť do
svojho druhého duáleho priestoru X′′
, ukážeme, že i operátor L je kompaktný.
Z toho, čo sme zatiaľ dokázali, vieme, že operátor L′′
:= (L′
)′
: X′′
→ Y ′′
adjungovaný k L′
je kompaktný. Nech π : X → X′′
je prirodzené vnorenie
priestoru X do druhého duálneho priestoru X′′
, t.j.,
π(x) = Fx, Fx ∈ X′′
, kde Fx(f) = f(x), x ∈ X, f ∈ X′
. (82)
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Dôkaz Vety 32 (pokračovanie).
Pripomeňme, že π(x) X′′ = x X . Ďalej vieme, že norma každého vektor
y ∈ Y sa dá vyjadriť “duálne” v tvare
y Y = max |g(y)|, g ∈ Y ′
s g Y ′ ≤ 1 . (83)
Uvažujme nejakú postupnosť {xn}∞
n=1 ⊆ X. Potom v súlade s (82) postupnosť
{π(xn)}∞
n=1 ⊆ X′′
a pre každý index n ∈ N a funkcionál g ∈ Y ′
platí
[L′′
π(xn)](g)
(48)
= [π(xn)](L′
g)
(82)
= [L′
g](xn)
(48)
= g(Lxn) (84)
Následne, pre ľubovoľné dva indexy k, l ∈ N máme
Lxk − Lxl Y
(83)
= max {|g(Lxk − Lxl)|, g Y ′ ≤ 1}
(84)
= max [L′′
(π(xk) − π(xl))](g) , g Y ′ ≤ 1
(6)
= L′′
π(xk) − L′′
π(xl) Y ′′ . (85)
Predpokladajme, že postupnosť {xn}∞
n=1 ⊆ X je ohraničená v norme. Potom aj
postupnosť {π(xn)}∞
n=1 ⊆ X′′
je ohraničená. Keďže operátor L′′
je kompaktný,
postupnosť {L′′
π(xn)}∞
n=1 ⊆ Y ′′
je prekompaktná, t.j., existuje podpostupnosť
{xni }∞
i=1 taká, že {L′′
π(xni )}∞
i=1 je konvergentná, a teda i cauchyovská postup-
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Dôkaz Vety 32 (pokračovanie).
nosť v Y ′′
. Vďaka rovnosti (85) je cauchyovská i postupnosť {Lxni }∞
i=1 ⊆ Y . A
nakoľko priestor Y je úplný, postupnosť {Lxni }∞
i=1 je konvergentná v Y . Celkovo
je teda postupnosť {Lxn}∞
n=1 prekompaktná v Y . To znamená, že v zhode s
Definíciou 14 je operátor L kompaktný. Dôkaz je teraz kompletný.
Túto sekciu zakončíme trojicou tzv. Fredholmových viet týkajúcich sa lineárnych
kompaktných operátorov. Ako uvidíme neskôr, tieto výsledky budú mať dôležité
uplatnenie v spektrálnej teórii týchto operátorov.
Veta 33 (Fredholmove vety)
Nech X je Banachov priestor, L : X → X je lineárny kompaktný operátor a
L′
: X′
→ X′
jeho adjungovaný operátor. Potom platia nasledujúce tvrdenia.
(i) Operátor I − L je injektívny práve vtedy, keď je surjektívny.
(ii) Podpriestory R(I − L) a R(I′
− L′
) sú uzavreté v X a v X′
a platí
R(I − L) = ⊥
[Ker (I′
− L′
)], R(I′
− L′
) = [Ker (I − L)]⊥
. (86)
(iii) Podpriestory Ker (I −L) a Ker (I′
−L′
) majú rovnakú konečnú dimenziou.
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Dôkaz Vety 33 vykonáme postupne v niekoľkých krokoch. Budeme predpokladať,
že X je Banachov priestor a L : X → X je lineárny a kompaktný operátor.
Veta 34
Podpriestor Ker (I−L) má konečnú dimenziu a podpriestor R(I−L) je uzavretý.
Dôkaz Vety 34.
Označme XL := Ker (I − L). Vďaka linearite L je operátor I − L spojitý, a tak
XL ⊆ X je uzavretý v X. Obvzlášť, XL je Banachov priestor a platí
(I − L)x = 0 −→ Lx = x pre každé x ∈ XL.
Operátor L sa na úplnom podpriestore XL teda správa ako identický operátor. A
keďže podľa predpokladu L je kompaktný operátor, podľa Príkladu 18 je nutne
dim XL < ∞. Nech A ⊆ X je topologický doplnok podpriestoru XL v X, t.j.,
X = XL ⊕t A. (87)
Množina A je uzavretý, a teda úplný podpriestor v X. Keďže podľa (87) sú
zrejme obory hodnôt operátorov I − L a I − L|A rovnaké, stačí sa obmedziť
na pôsobenie I − L na podpriestore A. Ukážeme, že operátor I − L je zdola
ohraničený na A. Sporom predpokladajme, že to nie je pravda. Potom existuje
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Dôkaz Vety 34 (pokračovanie).
postupnosť {xn}∞
n=1 ⊆ SA[0, 1] taká, že lim
n→∞
(I − L)xn = 0. (88)
Postupnosť {xn}∞
n=1 je ohraničená a operátor L : A → X je kompaktný. Preto
existuje vybraná podpostupnosť {xnk }∞
k=1 ⊆ {xn}∞
n=1 taká, že {Lxnk }∞
k=1 konverguje
v X. Označme x := limk→∞ Lxnk . Platí xnk = Lxnk + (I − L)xnk
pre každé k ∈ N, a tak máme
lim
k→∞
xnk
(88)
= lim
k→∞
(Lxnk + (I − L)xnk ) = x. (89)
Keďže podpriestor A je uzavretý, vektor x ∈ A. Naviac z (89) vyplýva, že
x A = limk→∞ xnk A = 1. Na druhej strane, vďaka spojitosti operátora
I − L výsledok v (89) implikuje, že limk→∞(I − L)xnk = (I − L)x, čo v
kombinácii s (88) dáva rovnosť (I − L)x = 0. Teda vektor x ∈ XL ∩ A, čo
v súlade s (87) znamená, že x = {0}. To je však s rozpore s tým, že norma
x A = 1. Preto operátor I − L je skutočne zdola ohraničený na A. Následne,
podľa Vety 13(ii) je jeho obor hodnôt R(I − L) uzavretý v priestore X.
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Veta 35
Uvažujme postupnosť podpriestorov Xn := R [(I − L)n
], n ∈ N0. Potom
(i) podpriestor Xn je uzavretý a Xn+1 ⊆ Xn pre každé n ∈ N0;
(ii) existuje index m ∈ N0 taký, že Xn = Xm pre každé n ≥ m.
Dôkaz Vety 35.
Pomocou matematickej indukcie nie je ťažké dokázať platnosť rovnosti
Xn+1 = (I − L)(Xn) pre každé n ∈ N0. (90)
Triviálne platí, že podpriestor X0 = X je uzavretý. Ďalej podľa Vety 34 je
podpriestor X1 = R(I − L) uzavretý v X. V súlade s (90) možno podpriestor
X2 interpetovať ako obor hodnôt operátora I − L : X1 → X. Podpriestor X1 je
úplný, takže opäť podľa Vety 34 je podpriestor X2 uzavretý. Takýmto spôsobom
sa induktívne dokáže uzavretosť každého podpriestoru Xn, n ∈ N0. Podobne
opakovaným použitím rovností v (90) dokážeme inklúziu v tvrdení (i). Zrejme
X1 = R(I − L) ⊆ X = X0. Pre zvolené n ∈ N postupne platí
Xn+1
(90)
= (I − L)(Xn)
(90)
= (I − L)2
(Xn−1)
(90)
= · · ·
(90)
= (I − L)n
(X1) ⊆ Xn.
Pristúpime teraz k dôkazu tvrdenia (ii) Sporom predpokladajme, že uvedený
index m, od ktorého je postupnosť {Xn}∞
n=0 stacionárna, neexistuje. To zname-
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Dôkaz Vety 35 (pokračovanie).
ná, že existuje rastúca postupnosť indexov {nk}∞
k=1 s vlastnosťou
Xnk+1 Xnk pre každé k ∈ N. (91)
Podľa Rieszovej lemy potom pre každé k ∈ N existuje vektor xk ∈ X taký, že
xk ∈ Xnk , xk Xnk
= 1, d xk, Xnk+1 ≥
1
2
. (92)
Ukážeme, že postupnosť {Lxk}∞
k=1 ⊆ X nie je cauchyovská v priestore X. Nech
k, l ∈ N sú ľubovoľné indexy s k < l. Potom nk < nl, nk + 1 ≤ nl a v súlade s
(91) a s tvrdením (i) máme
Xnl+1
(91)
Xnl ⊆ Xnk+1. (93)
Ďalej vektor Lxk − Lxl = xk − [(I − L)xk + (I − L)xl − xl], pričom označme
y := (I − L)xk + (I − L)xl − xl. Platia inklúzie
(I − L)xk
(92)
⊆ (I − L)(Xnk )
(90)
= Xnk+1,
(I − L)xl
(92)
⊆ (I − L)(Xnl )
(90)
= Xnl+1
(93)
Xnk+1,
xl
(92)
∈ Xnl
(93)
⊆ Xnk+1.
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Dôkaz Vety 35 (pokračovanie).
To znamená, že vyššie definovaný vektor y ∈ Xnk+1. Následne máme
Lxk − Lxl X = Lxk − Lxl Xnk
= xk − y Xnk
(92)
≥
1
2
. (94)
Doplňme, že prvá rovnosť v (94) vyplýva z toho, že podpriestor Xnk ⊆ X pre
každé k ∈ N. Vidíme teda, že postupnosť {Lxk}∞
k=1 ⊆ X skutočne nie je
cauchyovská, a teda ani konvergentná v priestore X. To je však spor s tým,
že operátor L je kompaktný a postupnosť {xk}∞
k=1 je ohraničená (podľa (92)).
Konkrétne, z postupnosti {Lxk}∞
k=1 sa musí dať vybrať podpostupnosť, ktorá
konverguje v priestore X. Preto tvrdenie (ii) platí a dôkaz je kompletný.
Poznámka 19
Poznamenajme, že podobné výsledky ako vo Vete 35 je možné odvodiť i pre
jadrá operátorov (I − L)n
, n ∈ N0. Konkrétne, platí
(i) Ker [(I − L)n
] ⊆ Ker (I − L)n+1
pre každé n ∈ N0;
(ii) existuje ˜m ∈ N0 tak, že Ker [(I − L)n
] = Ker (I − L) ˜m
pre n ≥ ˜m.
V zhode s Vetou 34 majú všetky podpriestory Ker [(I − L)n
], n ∈ N0, konečné
dimenzie, čo výrazne zjednodušuje dôkazy uvedených tvrdení.
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Pristúpime teraz k dôkazu Fredholmových viet vo Vete 33.
Dôkaz Vety 33.
Dôkaz I. Fredholmovej vety – Veta 33(i)
Nech operátor I − L je injektívny. Potom zobrazenie I − L : Xn → Xn+1,
kde Xn sú podpriestory z Vety 35, je bijektívne pre každé n ∈ N0. Obzvlášť, z
rovnosti (90) vyplýva, že platí
Xn = (I − L)−1
(Xn+1) (95)
Nech m ∈ N0 je index vo Vete 35(ii). Pomocou rovnosti (95) máme
Xm+1 = Xm −→ (I − L)−1
(Xm+1) = (I − L)−1
(Xm)
(95)
−→ Xm = Xm−1.
Využitím princípu matematickej indukcie tak dostávame
Xm = Xm−1 = Xm−2 = · · · = X2 = X1 = X0 = X.
Platí teda R(I − L) = X1 = X0 = X, t.j., operátor I − L je surjektívny.
Naopak, predpokladajme, že I − L je surjektívny operátor. Využitím rovností v
(58) vo Vete 22 a faktu, že adjungovaný operátor (I − L)′
= I′
− L′
, máme
Ker (I′
− L′
) = [R(I − L)]⊥
, Ker (I − L) = ⊥
[R(I′
− L′
)]. (96)
Keďže R(I − L) = X, podľa Vety 21 platí [R(I − L)]⊥
= X⊥
= {0} ⊆ X′
. Z
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Dôkaz Vety 33 (pokračovanie).
prvej rovnosti v (96) ihneď dostaneme Ker (I′
−L′
) = {0}, t.j., operátor I′
−L′
je injektívny. A keďže podľa Schauderovej Vety 32 je adjungovaný operátor L′
kompaktný, v súlade s už dokázanou časťou tvrdenia dostávame, že operátor
I′
− L′
je nutne i surjektívny. To znamená, že R(I′
− L′
) = X′
. Potom
⊥
[R(I′
− L′
)] = ⊥
X′
= {0} ⊆ X, opäť podľa Vety 21. Následnou aplikáciou
druhej formuly v (96) získame Ker (I − L) = {0}, čo znamená, že operátor L je
injektívny. Dôkaz Vety 33(i) je kompletný.
Dôkaz II. Fredholmovej vety – Veta 33(ii)
Ako sme už spomenuli v dôkaze Vety 33(i), adjungovaný operátor L′
je tiež
kompaktný, takže uzavretosť podpriestorov R(I − L) a R(I′
− L′
) vyplýva z
Vety 34. Prvá rovnosť v (86) je dôsledkom prvej rovnosti v (59) v Poznámke 12
(pre L := I − L). Zároveň druhá relácia v (59) implikuje v našom prípade
inklúziu R(I′
− L′
) ⊆ [Ker (I − L)]⊥
. Zostáva teda dokázať inklúziu
[Ker (I − L)]⊥
⊆ R(I′
− L′
). (97)
Využijeme označenie a poznatky z dôkazu Vety 34. Tam sme dokázali, že operátor
I − L je zdola ohraničený na podpriestore A, kde A je topologický doplnok
podpriestoru Ker (I−L) v X. Podľa Vety 14 je potom (I−L)−1
: R(I−L) → A
spojitý lineárny operátor. Nech g ∈ [Ker (I − L)]⊥
je daný funkcionál. V súlade
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Dôkaz Vety 33 (pokračovanie).
s (55) v Definícii 10 máme
g(x) = 0 pre každé x ∈ Ker (I − L), t.j., pre každé x ∈ X s Lx = x. (98)
Potrebujeme nájsť vhodný funkcionál f ∈ X′
tak, aby platilo g = (I′
− L′
)f.
Definujme funkcionál ϕ : R(I − L) → C predpisom
ϕ(y) := g ◦ (I − L)−1
(y), y ∈ R(I − L). (99)
Vzhľadom k vyššie uvedenému je ϕ spojitý a lineárny funkcionál na uzavretom
podpriestore R(I − L). Podľa Hahnovej–Banachovej vety sa ϕ dá rozšíriť na
celý priestor X, t.j., existuje funkcionál f ∈ X′
s vlastnosťami
f = ϕ a f ≡ ϕ na podpriestore R(I − L). (100)
Pre každý vektor x ∈ Ker (I − L) platí
[(I′
− L′
)f](x) = f ((I − L)x) = f(0) = 0
(98)
= g(x). (101)
Podobne pre každý vektor x ∈ A máme (vo výpočte položíme y := (I − L)x)
[(I′
− L′
)f](x) = f ((I − L)x) = f(y)
(100)
= ϕ(y)
(99)
= g (I − L)−1
y = g(x). (102)
Spojité lineárne funkcionály (I′
− L′
)f a g sa teda rovnajú na oboch podpriestoroch
Ker (I − L) a A. Keďže v súlade s (87) platí X = Ker (I − L)⊕t A,
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Dôkaz Vety 33 (pokračovanie).
dostávame rovnosť (I′
− L′
)f = g na celom priestore X. Preto g ∈ R(I′
− L′
)
a inklúzia (97) platí. Druhá rovnosť v (86) je teda dokázaná.
Dôkaz III. Fredholmovej vety – Veta 33(iii)
Keďže adjungovaný operátor L′
je kompaktný, z Vety 34 vieme, že obidva podpriestory
Ker (I − L) a Ker (I′
− L′
) majú konečné dimenzie. Označme
n := dim Ker (I − L), m := dim Ker (I′
− L′
). (103)
Ukážeme, že predpoklady nerovností n < m a n > m povedú k sporom. Nech
{x1, . . . , xn} je algebraická báza podpriestoru Ker (I − L) ⊆ X a {f1, . . . , fm}
je algebraická báza podpriestoru Ker (I′
− L′
) ⊆ X′
. Nech {ϕ1, . . . , ϕn} ⊆ X′
a {y1, . . . , ym} ⊆ X sú systémy funkcionálov a vektorov s vlastnosťami
ϕk(xl) = δkl, k, l = 1, . . . , n, a fk(yl) = δkl, k, l = 1, . . . , m, (104)
kde δkl je Kroneckerov delta-symbol. Predpokladajme, že platí nerovnosť n < m.
Definujme operátor U : X → X predpisom
Ux := Lx +
n
l=1
ϕl(x) yl, x ∈ X (105)
Operátor U v (105) je zrejme súčet lineárneho kompaktného operátora a koneč-
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Dôkaz Vety 33 (pokračovanie).
norozmerného lineárneho operátora, jedná sa teda o lineárny kompaktný operátor.
Ukážeme, že operátor I − U je injektívny. Nech vektor x ∈ Ker (I − U),
t.j., platí Ux = x. Podľa (105) máme
x = Lx +
n
k=1
ϕl(x) yl −→ (I − L)x −
n
l=1
ϕl(x) yl = 0. (106)
Následne, pre každý funkcionál fk, k = 1, . . . , n (platí n < m) dostaneme
fk (I − L)x −
n
l=1
ϕl(x) yl
(106)
= fk(0) = 0,
⇓
fk ((I − L)x) −
n
l=1
ϕl(x) fk(yl) = 0,
⇓ (104) ⇓
(I′
− L′
)fk
0
(x) −
n
l=1
ϕl(x) δkl = 0 =⇒ ϕk(x) = 0, k = 1, . . . , n.
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Dôkaz Vety 33 (pokračovanie).
V súlade s (106) teda platí (I − L)x =, t.j., vektor x ∈ Ker (I − L). To
znamená, že vektor x sa dá vyjadriť v tvare x = n
l=1 λlxl pre vhodnú n-ticu
skalárov (λ1, . . . , λn). Avšak máme
0 = ϕk(x) =
n
l=1
λl ϕk(xl) =
(104)
=
n
l=1
λl δkl = λk pre každé k = 1, . . . , n.
Preto vektor x = 0 a operátor I − U je skutočne injektívny. Podľa už dokázanej
Vety 33(i) je zároveň aj surjektívny. Vektor yn+1 je preto prvkom podpriestoru
R(I − U), t.j., existuje ˜x ∈ X také, že platí yn+1 = (I − U)˜x (platí n < m,
takže n + 1 ≤ m). Podľa (104) je fn+1(yn+1) = 1. Na druhej strane máme
fn+1(yn+1) = fn+1 ((I − U)˜x)
(105)
= fn+1 (I − L)˜x −
n
l=1
ϕl(˜x) yl
= fn+1 ((I − L)˜x) −
n
l=1
ϕl(˜x) fn+1(yl)
(104)
= (I′
− L′
)fn+1
0
(˜x) −
n
l=1
ϕl(˜x) δ(n+1)l
0
= 0.
Dospeli sme teda k sporu. Predpokladajme teraz, že platí nerovnosť n > m. Bu-
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Dôkaz Vety 33 (pokračovanie).
deme teraz pracovať s operátorom V : X′
→ X′
, ktorý je definovaný predpisom
V g := L′
g +
m
l=1
g(yl) ϕl, g ∈ X′
(107)
Operátor V v (107) je opäť o lineárny kompaktný operátor. Ukážeme, že operátor
I′
− V je injektívny. Nech funkcionál g ∈ Ker (I′
− V ), t.j., V g = g. Potom
g = L′
g +
m
l=1
g(yl) ϕl −→ (I − L′
)g −
m
l=1
g(yl) ϕl = 0 (108)
v zhode s (107). Následne, pre každé xk, k = 1, . . . , m (platí n > m) máme
(I − L′
)g (xk) −
n
l=1
g(yl) ϕl(xk)
(108)
= 0,
⇓ (104) ⇓
g ((I − L)xk)
0
−
n
l=1
g(yl) δlk = 0 =⇒ g(yk) = 0, k = 1, . . . , m.
V súlade s (108) teda platí (I′
− L′
)x =, t.j., funkcionál g ∈ Ker (I′
− L′
). To
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Dôkaz Vety 33 (pokračovanie).
znamená, že funkcionál g sa dá vyjadriť v tvare g = m
l=1 λlfl pre vhodnú m-ticu
skalárov (λ1, . . . , λm). Platí
0 = g(yk) =
m
l=1
λl fl(yk) =
(104)
=
m
l=1
λl δlk = λk pre každé k = 1, . . . , m.
Preto funkcionál g = 0 a operátor I′
−V je skutočne injektívny. Podľa Vety 33(i)
je teda aj surjektívny, a tak funkcionál ϕm+1 = (I′
− V )˜g pre vhodné g ∈ X′
(platí n > m, takže n ≥ m + 1). Podľa (104) je ϕm+1(xm+1) = 1. Avšak
ϕm+1(xm+1) = [(I′
− V )g](xm+1)
(107)
= [(I − L′
)g](xm+1) −
m
l=1
g(yl) ϕl(xm+1)
(104)
= g((I − L)xm+1)
0
−
m
l=1
g(yl) δl(m+1) = 0.
Dospeli sme teda opäť k sporu. Preto musí platiť rovnosť n = m, t.j., dimenzie
dim Ker (I − L), dim Ker (I′
− L′
)
sú rovnaké, v súlade s (103). Tvrdenie tretej Fredholmovej vety je teda dokázané.
Napokon je tým i zavŕšený kompletný dôkaz Vety 33.
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Poznámka 20
Poznamenajme, že prvá Fredholmova Veta 33(i) sa v literatúre často označuje
ako Fredholmova alternatíva (obzvlášť v kontexte spektrálnej teórie kompaktných
operátorov). Tvrdenie Vety 33(i) sa totiž dá ekvivalentne formulovať vo forme
alternatívy, konkrétne v tvare
rovnica (I − L)x = y má pre každé y ∈ X riešenie
alebo
rovnica (I − L)x = 0 má netriviálne riešenie,
pričom vždy platí práve jeden z uvedených výrokov. Podobne i druhá Fredholmova
Veta 33(ii) má svoju “algebraickú” interpretáciu. Napríklad prvá rovnosť v
(86) znamená, že
rovnica (I − L)x = y má pre dané y ∈ X riešenie
práve vtedy, keď
y je “kolmé” na každé riešenie homogénnej adjungovanej rovnice (I′
− L′
)f = 0.
Analogicky sa dá interpretovať i druhá rovnosť v (86). Napokon, tretia Fredholmova
Veta 33(iii) hovorí, že obidve homogénne rovnice (I − L)x = 0 a
(I′
− L′
)f = 0 majú rovnaký počet lineárne nezávislých riešení.
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Obsah
1 Základné pojmy, spojitosť a princíp rovnomernej ohraničenosti
2 Invertovateľnosť operátorov
3 Adjungované operátory
4 Kompaktné operátory
5 Spektrálna teória operátorov
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Motivácia – vlastné hodnoty matíc
V základnom kurze lineárnej algebry sa rieši klasický problém nájdenia vlastných
čísiel štvorcovej matice. Konkrétne, ak A ∈ Cn×n
je daná matica, potom
komplexné číslo λ sa označuje ako vlastná hodnota matice A, ak platí
Ax = λx pre nejaký nenulový vektor x ∈ Cn
. (109)
Inými slovami, matica A − λIn je singulárna, t.j., det(A − λIn) = 0. Táto
podmienka zároveň ukazuje aj spôsob, ako určiť všetky vlastné hodnoty matice
A. Je to práve množina všetkých riešení polynomiálnej charakteristickej rovnice
det(A − λIn) = 0. Na druhej strane, podmienka (109) hovorí, že lineárne
zobrazenie ϕλ : Cn
→ Cn
, ktoré je vo vhodnej báze reprezentované maticou
A − λIn, nie je injektívne. Priestor Cn
má konečnú dimenziu n, a tak platí
dim Im ϕλ + dim Ker ϕλ = n.
Preto podmienka (109) je ekvivalentná i s vlastnosťou, že zobrazenie ϕλ nie je
surjektívne. Množinu C môžeme teda zapísať ako disjunktné zjednotenie
C = {vlastné čísla matice A} ∪ {λ, pre ktoré je matica A − λIn invertibilná} .
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Pojem invertibilného operátora
Definícia 15 (Invertibilný operátor)
Nech X je Banachov priestor a L : X → X lineárny operátor s definičným
oborom D(L) hustým v X. Hovoríme, že L je invertibilný, ak obor hodnôt
R(L) je hustý v X a existuje spojitý lineárny operátor K ∈ L(X) s vlastnosťou
K ◦ L = ID(L) a L ◦ K = IR(L). (110)
Veta 36
Každý lineárny invertibilný operátor L : X → X na Banachovom priestore X je
injektívny a jeho inverzia L−1
: R(L) → X je spojitý lineárny operátor.
Dôkaz Vety 36.
Nech L je invertibilný operátor a K ∈ L(X) je k nemu odpovedajúci operátor
v (110) v Definícii 15. Ak vektor x ∈ D(L) spĺňa Lx = 0, potom podľa prvej
rovnosti v (110) máme x = K(Lx) = K0 = 0, vďaka linearite operátora K. To
dokazuje injektívnosť (lineárneho) zobrazenia L. Inverzia L−1
: R(L) → X teda
existuje a zrejme L−1
= K|R(L) podľa (110). Z Definície 15 platí, že K je spo-
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Dôkaz Vety 36 (pokračovanie).
jitý lineárny operátor. To dokazuje i spojitosť inverzného operátora L−1
.
Poznámka 21
Z Definície 15 a Vety 36 vyplýva, že invertibilný operátor L spĺňa podmienky
(i) existuje inverzný operátor L−1
,
(ii) operátor L−1
: R(L) → X je spojitý,
(iii) obor hodnôt R(L) je hustý v priestore X.
V nasledujúcom tvrdení ukážeme, že tieto tri podmienky zároveň i charakterizujú
lineárne invertibilné operátory na Banachových priestoroch. Doplňme, že podľa
(38) podmienky (i) a (ii) znamenajú, že operátor L je ohraničený zdola na D(L).
Veta 37
Nech X je Banachov priestor a L : X → X je lineárny operátor. Potom L je
invertibilný operátor práve vtedy, keď spĺňa podmienky (i)–(iii) v Poznámke 21.
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Dôkaz Vety 37.
Dokážeme, že ak lineárny operátor L splňa podmienky (i)–(iii) v Poznámke 21,
potom je invertibilný. Položme K := L−1
. Lineárny operátor K : R(L) → X
zrejme spĺňa rovnosti v (110). Naviac, podľa podmienky (ii) v Poznámke 21 je
spojitý na podpriestore R(L). Keďže obor hodnôt R(L) je hustý v X, v súlade
s Vetou 4 je možné operátor K jednoznačne spojito rozšíriť na celý priestor X.
Podľa Definície 15 je teda operátor L invertibilný.
Poznámka 22 (Invertibilita spojitého operátora)
Situácia sa podstatne zjednodušuje v prípade, keď lineárny operátor L : X → X
je spojitý (uzavretý) na priestore X. Podľa druhej časti Poznámky 21 invertibilný
operátor L je ohraničený zdola. Ak je naviac i spojitý (uzavretý), potom v súlade
s Vetou 13 je operátor L injektívny a podpriestor R(L) uzavretý v X. Podľa
Vety 37 a prvej časti Poznámky 21 sa preto vyšetrovanie invertibility spojitých
(uzavretých) lineárnych operátorov redukuje sa zisťovanie ich bijektívnosti.
Veta 38 (Invertibilita spojitého operátora)
Nech X je Banachov priestor. Spojitý (uzavretý) lineárny operátor L : X → X
je invertibilný práve vtedy, keď je bijektívny.
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Veta 39 (Hustota oboru hodnôt spojitého operátora)
Nech X je Banachov priestor a L : X → X je spojitý (uzavretý) lineárny
operátor. Potom obor hodnôt R(L) je hustý v priestore X práve vtedy, keď
odpovedajúci adjungovaný operátor L′
: X′
→ X′
je injektívny.
Dôkaz Vety 39.
Ak R(L) = X, potom podľa (59) s využitím Vety 21 a Poznámkou 11 platí
⊥
[Ker L′
]
⊥ (59)
= R(L)
⊥
= X⊥
= {0} a Ker L′
(57)
⊆ ⊥
[Ker L′
]
⊥
. (111)
Z relácií v (111) potom máme Ker L′
= {0}, čo znamená, že adjungovaný
operátor L′
je injektívny. Naopak, nech L′
je injekívny operátor, t.j., platí rovnosť
Ker L′
= {0}. Z formuly (59) máme R(L) = ⊥
[Ker L′
] = ⊥
{0} = X v súlade s
Poznámkou 11. Obor hodnôt R(L) operátora L je teda hustý v priestore X.
Príklad 22
Uvažujme priestor X = l2
a operátor L : X → X s predpisom
L{xn} := {0, x1, x2, . . . }, {xn}∞
n=1 ∈ X. (112)
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Príklad 22
Operátor L v (112) je lineárny a injektívny s ohraničenou inverziou L−1
, nakoľko
L−1
{yn} := {y2, y3, y4, . . . }, {yn}∞
n=1 ∈ R(L). (113)
Napriek tomu sa nejedná o invertibilný operátor, pretože d(e1, R(L)) ≥ 1, kde
postupnosť e1 = {1, 0, 0 . . . }. Obor hodnôt R(L) teda nie je hustý v X.
Príklad 23
Uvažujme opäť X = l2
a operátor L : X → X definovaný predpisom
L{xn} :=
xn
n
, {xn}∞
n=1 ∈ X. (114)
Operátor L v (114) je lineárny a injektívny. Podobne, nie je ťažké ukázať,
že R(L) = {yn} ∈ l2
, |nyn|2
< ∞ je podpriestor hustý v X. Operátor L
však nie je invertibilný, pretože inverzia L−1
je neohraničená. Podľa (114) máme
L−1
{yn} := {nyn} , {yn}∞
n=1 ∈ R(L). (115)
Pre postupnosti ek = {δkn}∞
n=1 ∈ X, k ∈ N, máme ek X = 1 a ek ∈ R(L)
pre každé k ∈ N. Podľa (115) potom L−1
ek X = k, k ∈ N. To dokazuje
neohraničenosť operátora L−1
, a teda i jeho nespojitosť na podpriestore R(L).
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Spektrum lineárneho operátora
Definícia 16 (Rezolventná množina operátora)
Nech X je Banachov priestor a L : X → X je lineárny operátor s definičným
oborom D(L) hustým v X. Komplexné číslo λ sa označuje ako regulárna hodnota
operátora L, ak operátor L − λI je invertibilný. Množina všetkých regulárnych
hodnôt operátora L sa nazýva rezolventná množina operátora L a budeme ju
označovať symbolom ρ(L). Pre každé λ ∈ ρ(L) sa operátor
Rλ := (L − λI)−1
(116)
nazýva rezolventa operátora L odpovedajúca regulárnej hodnote λ.
Definícia 17 (Spektrum operátora)
V súlade s označením v Definícii 16 sa množina
σ(L) := C \ ρ(L) (117)
nazýva spektrum operátora L.
Z definície spektra lineárneho operátora L : X → X teda vyplýva, že sa jedná
práve o tie komplexné čísla λ, pre ktoré operátor L − λI nie je invertibilný.
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Definícia 18 (Klasifikácia bodov spektra operátora)
Nech X je Banachov priestor a L : X → X je lineárny operátor s definičným
oborom D(L) hustým v X. Štandardne sa body spektra σ(L) operátora L
klasifikujú do troch disjunktných množín.
Bodové spektrum – vlastné hodnoty operátora – komplexné čísla λ, pre ktoré
operátor L − λI nie je injektívny. Vektory x ∈ D(L) \ {0}, pre ktoré platí
(L − λI)x = 0, t.j., Lx = λx, sa označujú ako vlastné vektory operátora L
odpovedajúce vlastnej hodnote λ.
Spojité spektrum – komplexné čísla λ, pre ktoré operátor L − λI je injektívny a
obor hodnôt R(L − λI) je hustý v X, ale inverzia (L − λI)−1
nie je spojitá.
Reziduálne spektrum – komplexné čísla λ, pre ktoré operátor L−λI je injektívny,
ale obor hodnôt R(L − λI) nie je hustý v X.
Príklad 24
Priamo z Definície 18 vyplýva, že pre Banachove priestory X s konečnou dimenziou
spektrum každého lineárneho operátora L : X → X pozostáva iba z
vlastných hodnôt operátora L, t.j., L má iba bodové spektrum.
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Príklad 25
Nájdime rezolventnú množinu ρ(L) a spektrum σ(L) lineárneho operátora L z
Príkladu 22. Nech λ ∈ C je dané komplexné číslo. Pre operátor L − λI platí
(L − λI){xn} = {yn}, kde yn
(112)
=
−λxn, n = 1,
xn−1 − λxn, n > 1.
(118)
Lineárny operátor L − λI je zrejme definovaný na celom priestore X. Keďže
platí L{xn} X = {xn} X pre každé {xn} ∈ X, operátor L − λI je spojitý.
Naviac je vždý injektívny. Skutočne, ak (L − λI){xn} = 0, potom podľa (118)
λx1 = 0, xn−1 = λxn, n ∈ N \ {1}. (119)
Nie je ťažké overiť, že z relácií v (119) pre každú hodnotu λ ∈ C vyplýva xn = 0,
n ∈ N. Ďalej máme nerovnosť
(L − λI){xn} X = L{xn} − λ{xn} X ≥ L{xn} X − |λ| {xn} X
= {xn} X − |λ| {xn} X = |1 − |λ|| · {xn} X , (120)
ktorá platí pre každé {xn} ∈ X a každé λ ∈ C. Obzvlášť, ak |λ| = 1, operátor
L − λI je v súlade s (38) ohraničený zdola, t.j., jeho inverzia (L − λI)−1
je
spojitá na podpriestore R(L − λI). V súlade s Definíciou 18 potrebujeme preve-
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Príklad 25
veriť hustotu oboru hodnôt R(L − λI). Využijeme Vetu 39. Pomerne ľahko
sa dá odvodiť, že nakoľko X je Hilbertov priestor, odpovedajúci adjungovaný
operátor L′
sa dá formálne reprezentovať v tvare
L′
{yn} := {y2, y3, y4, . . . }, {yn}∞
n=1 ∈ X. (121)
V súlade s Vetou 39 hľadáme hodnoty λ ∈ C, pre ktoré je adjungovaný operátor
(L − λI)′
= L′
− λI′
injektívny. Ak (L′
− λI′
){yn} = 0, potom podľa (121)
platí yn+1 = λyn, n ∈ N. Postupnosť {yn} je teda geometrická s kvocientom
λ. A keďže {yn} ∈ X = l2
, nutne |λ| < 1. Celkovo teda operátor (L − λI)′
je
injektívny práve vtedy, keď |λ| ≥ 1. Podľa Vety 39 potom platí
obor hodnôt R(L − λI) je hustý v priestore X práve vtedy, keď |λ| ≥ 1. (122)
Môžeme pristúpiť k stanovenia rezolventnej množiny a spektra operátora L.
|λ| > 1 – operátor L − λI je zdola ohraničený a podľa (122) je množina
R(L − λI) hustá v priestore X. To znamená, že λ ∈ ρ(L), t.j., λ je
regulárna hodnota operátora L.
|λ| < 1 – operátor L − λI je zdola ohraničený, ale podľa (122) platí
R(L − λI) X. V súlade s Definíciou 18 je preto hodnota λ prvkom
reziduálneho spektra operátora L.
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Príklad 25
|λ| = 1 – v súlade s (122) je množina R(L − λI) hustá v priestore X, ale
operátor L − λI nie je surjektívny. Napríklad −e1 ∈ R(L − λI), ako sa
možno ľahko presvedčiť pomocou (118). Skutočne, pre postupnosť {xn}
spĺňajúcu −e1 = (L − λI){xn} by muselo platiť
x1 = ¯λ, xn+1 = ¯λxn, n ∈ N.
Jednalo by sa teda o geometrickú posupnosť s kvocientom λ. Avšak teraz
|¯λ| = |λ| = 1, a tak {xn} ∈ X. Podľa Vety 38 preto operátor L − λI
nie je invertibilný, čo v súlade s Definíciou 17 znamená, že λ je spektrálna
hodnota operátora L. Presnejšie, podľa klasifikácie v Definícii 18 sa jedná
o prvok spojitého spektra. Všimnime si, že využitím spojitosti operátora
L−λI a Vety 38 sme nepriamo dokázali, že inverzia (L−λI)−1
je v tomto
prípade nespojitá na podpriestore R(L − λI).
Poznamenajme, že z uvedenej analýzy vyplýva, že operátor L nemá vlastné hodnoty,
t.j., jeho bodové spektrum je prázdna množina. Zistili sme teda, že
rezolventná množina operátora L má tvar ρ(L) = {λ ∈ C, |λ| > 1},
spektrum operátora L má tvar σ(L) = {λ ∈ C, |λ| ≤ 1},
kde {λ ∈ C, |λ| < 1} je reziduálne spektrum a {λ ∈ C, |λ| = 1} je spojité spektrum.
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Poznámka 23
Z Definícií 16 (s L := L − λI) a 15 vyplýva, že ak λ ∈ C je regulárna hodnota
operátora L, potom odpovedajúca rezolventa Rλ definovaná v (116) je zúženie
spojitého lineárneho operátora K v (110) na podpriestor R(L − λI). A keďže
množina R(L − λI) je hustá v priestore X, v kontexte Vety 4 môžeme bez ujmy
na všeobecnosti Rλ vnímať ako spojitý lineárny operátor na celom priestore X.
S takouto predstavou rezolventy Rλ pre λ ∈ ρ(L) budeme ďalej pracovať.
Veta 40 (Rezolventná identita)
Nech X je Banachov priestor a L : X → X je lineárny operátor s definičným
oborom D(L) hustým v priestore X. Potom pre každé dve regulárne hodnoty
µ, ν ∈ ρ(L) operátora L platí tzv. rezolventná identita
Rµ − Rν = (µ − ν)RµRν . (123)
Naviac, operátory Rµ a Rν komutujú, t.j., platí RµRν = Rν Rµ.
Dôkaz Vety 40.
So zreteľom na komentár v Poznámke 23 platia v súlade s prvou rovnosťou v
(110) pre každé hodnoty µ, ν ∈ ρ(L) relácie
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Dôkaz Vety 40 (pokračovanie).
(L − νI)◦Rν
(110)
= IR(L−νI), a teda Rµ ◦(L − νI)◦Rν = Rµ ◦IR(L−νI). (124)
Keďže všetky zobrazenia v (124) sú lineárne, platí
Rµ ◦ (L − νI) ◦ Rν = Rµ ◦ [(L − µI) + (µ − ν)I] ◦ Rν
= [Rµ ◦ (L − µI) + (µ − ν)Rµ] ◦ Rν
(110)
= ID(L) + (µ − ν)Rµ ◦ Rν
= Rν + (µ − ν)Rµ ◦ Rν (125)
Kombináciou (125) a (124) teda dostávame rovnosť
Rν + (µ − ν)Rµ ◦ Rν
(125),(124)
= Rµ ◦ IR(L−νI),
⇓
Rµ ◦ IR(L−νI) − Rν = (µ − ν)Rµ ◦ Rν . (126)
Pre každý vektor x ∈ R(L − νI) potom máme
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Dôkaz Vety 40 (pokračovanie).
Rµ ◦ IR(L−νI) − Rν x = (µ − ν)[Rµ ◦ Rν]x,
⇓
[Rµ − Rν] x = (µ − ν)[Rµ ◦ Rν ]x. (127)
Pre vektor x ∈ X \ R(L − νI) existuje postupnosť {xn}∞
n=1 ⊆ R(L − νI) s
vlastnosťou x = limn→∞ xn. Vďaka spojitosti operátorov Rµ a Rν platí
[Rµ − Rν ] x = lim
n→∞
[Rµ − Rν ] xn
(127)
= lim
n→∞
(µ − ν)[Rµ ◦ Rν]xn
= (µ − ν)[Rµ ◦ Rν ]x
To dokazuje platnosť identity (123). Skutočnosť, že operátory Rµ a Rν komutujú,
vyplýva priamo z dokázanej rezolventnej identity, pretože
(µ − ν)RµRν
(123)
= Rµ − Rν = −(Rν − Rµ)
(123)
= (µ − ν)Rν Rµ,
takže pre µ = ν platí RµRν = Rν Rµ. Dôkaz je hotový.
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Veta 41
Nech X je Banachov priestor a L : X → X je lineárny operátor s definičným
oborom D(L) hustým v priestore X. Nech λ0 ∈ C je regulárna hodnota operátora
L a Rλ0 je odpovedajúca rezolventa. Potom každé λ ∈ C spĺňajúce
|λ − λ0| <
1
Rλ0
(128)
je regulárna hodnota operátora L. To znamená, že rezolventná množina ρ(L)
lineárneho operátora L je otvorená podmnožina v C, kým spektrum σ(L)
lineárneho operátora L je uzavretá podmnožina v C.
Dôkaz Vety 41.
Zvoľme nejaké λ ∈ C, ktoré spĺňa nerovnosť (128). Keďže λ0 ∈ ρ(L), v zhode
s Poznámkou 23 je Q := (λ − λ0)Rλ0 spojitý lineárny operátor na celom X a
Q = (λ − λ0)Rλ0
= |λ − λ0| Rλ0
(128)
< 1. (129)
Podľa Vety 12 je potom spojitý lineárny operátor I − Q bijektívny na priestore
X. Ukážeme, že platí rovnosť R(L − λI) = R(L − λ0I). Pre x ∈ D(L) máme
(L − λI)x = (L − λ0I)x − (λ − λ0)x = (L − λ0I) ◦ ID(L) − (λ − λ0)ID(L) x
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Dôkaz Vety 41 (pokračovanie).
(110)
= (L − λ0I) ◦ ID(L) − (λ − λ0)(L − λ0I) ◦ Rλ0
x
= (L − λ0I) ◦ ID(L) − (λ − λ0)Rλ0
x = [(L − λ0I) ◦ (I − Q)]x. (130)
Z odvodenej rovnosti (130) ihneď vyplýva inklúzia R(L − λI) ⊆ R(L − λ0I).
Všimnime si, že vektor (I − Q)x ∈ D(L). To znamená, že operátor I − Q,
rovnako ako aj jeho inverzia (I −Q)−1
, zobrazuje definičný obor D(L) operátora
L do seba. Tieto pozorovania odôvodňujú správnosť výpočtu
(L − λ0I)x = [(L − λ0I) ◦ (I − Q)] (I − Q)−1
x
˜x∈D(L)
(130)
= (L − λI)˜x,
a jeho platnosť pre každý vektor x ∈ D(L). Zároveň máme dokázanú inklúziu
R(L − λ0I) ⊆ R(L − λI). V súlade s predpokladmi vety je teda podpriestor
R(L − λI) hustý v X. Napokon dokážeme, že operátor L − λI je invertibilný.
Položme K := (I − Q)−1
◦ Rλ0 . Jedná o spojitý lineárny operátor na X. Platí
[K ◦ (L − λI)]x
(130)
= (I − Q)−1
◦ Rλ0
◦ (L − λ0I) ◦ (I − Q) x
(110)
= (I − Q)−1
◦ ID(L) ◦ (I − Q) x = (I − Q)−1
◦ (I − Q) x = x
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Dôkaz Vety 41 (pokračovanie).
pre každé x ∈ D(L). To implikuje rovnosť K ◦ (L − λI) = IDL . Podobne pre
každý vektor x ∈ R(L − λI) = R(L − λ0I) máme
[(L − λI) ◦ K]x = [(L − λI) (Kx)
∈D(L)
(130)
= [(L − λ0I) ◦ (I − Q)] (Kx)
= (L − λ0I) ◦ Rλ0
x = x
To znamená, že platí rovnosť (L − λI) ◦ K = IR(L−λI). Podľa Definície 15
je teda operátor L − λI invertibilný, a tak v súlade s Definíciou 16 je číslo λ
regulárna hodnota operátora L, t.j., λ ∈ ρ(L). Nerovnosť (128) ukazuje, že do
rezolventnej množiny patrí spolu s bodom λ0 i jeho otvorenej okolie s polomerom
ε := 1
Rλ0
> 0. Preto je množina ρ(L) otvorená v C. Spektrum σ(L), ako
doplnok ρ(L) v množine C, je teda uzavretá množina. Dôkaz je hotový.
Poznámka 24
Spojitý lineárny operátor K = (I − Q)−1
◦ Rλ0 z dôkazu Vety 41 je zrejme
v súlade s Poznámkou 23 rezolventa Rλ operátora L, ktorá odpovedá danej
regulárnej hodnote λ. Využitím fomuly (36) pre operátor Q dostávame
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Poznámka 24
Rλ = (I − Q)−1
◦ Rλ0
(36)
=
∞
n=0
Qn
◦ Rλ0
.
Keďže Q = (λ − λ0)Rλ0 , podľa poslednej rovnosti v súlade s (128) platí
Rλ =
∞
n=0
(λ − λ0)n
Rn+1
λ0
pre každé λ ∈ C s |λ − λ0| <
1
Rλ0
. (131)
Formulu (131) možno v kontexte Vety 41 “voľne” interpretovať tak, že rezolventa
Rλ operátora L je ako zobrazenie z C do L(X) analytické na rezolventnej
množine ρ(L). Tento náhľad potvrdzuje i skutočnosť, že ak lineárny operátor L
je naviac i ohraničený, potom podľa Vety 38 je operátor L − λI bijektívny pre
každú regulárnu hodnotu λ ∈ ρ(L) a využitím rezolventnej identity (123) platí
lim
λ→λ0
1
λ − λ0
(Rλ − Rλ0
)
(123)
= lim
λ→λ0
RλRλ0
= R2
λ0
. (132)
Relácie v (132) znamenajú, že rezolventa Rλ : C → ˜L(X) má silnú (Fréchetovu)
deriváciu na rezolventnej množine ρ(L), pričom
R′
λ0
= R2
λ0
. (133)
Zobrazenie Rλ je teda holomorfné na (otvorenej) množine ρ(L).
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Veta 42
Nech X je Banachov priestor a L : X → X je spojitý lineárny operátor s
definičným oborom D(L) hustým v priestore X. Potom každé komplexné číslo
λ spĺňajúce nerovnosť |λ| > L je regulárna hodnota operátora L.
Dôkaz Vety 42.
Nech λ ∈ C spĺňa nerovnosť |λ| > L . Lineárny operátor L − λI je spojitý a
pre operátor 1
λ
L platí nerovnosť
1
λ
L =
1
|λ|
L < 1. (134)
Podľa Vety 12 je operátor L − λI = −λ I − 1
λ
L bijektívny a má spojitú
inverziu (L − λI)−1
. Dokážeme, že operátor L − λI je invertibilný. V súlade
s Poznámkou 21 a Vetou 37 stačí overiť, že jeho obor hodnôt R(L − λI) je
hustý v priestore X. Využijeme skutočnosti, že podľa formuly (36) má inverzný
operátor (L − λI)−1
tvar
(L − λI)−1
= −
1
λ
I −
1
λ
L
−1
(36)
= −
1
λ
∞
n=0
1
λn
Ln
. (135)
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Dôkaz Vety 42 (pokračovanie).
Pre každý vektor x ∈ D(L) je nekonečný rad ∞
n=0
1
λn Ln
x absolútne konvergentný
v X, pretože X je úplný priestor a číselný rad
∞
n=0
1
λn
Ln
x
X
je (absolútne) konvergentný. (136)
Konvergencia radu (136) vyplýva z nerovností
∞
n=0
1
|λ|n
Ln
x X
(7)
≤
∞
n=0
1
|λ|n
Ln
· x X ≤
∞
n=0
1
|λ|
L
n
x X
(134)
< ∞.
To znamená, že definičný obor inverzného operátora (L − λI)−1
obsahuje každý
vektor x ∈ D(L). Inými slovami, platí inklúzia D(L) ⊆ R(L − λI). Napokon
vďaka predpokladu, že množina D(L) je hustá v priestore X, dostávame
X = D(L) ⊆ R(L − λI) ⊆ X, t.j., R(L − λI) = X.
Operátor L − λI je teda invertibilný a λ je regulárna hodnota operátora L.
Poznámka 25
Z dôkazu Vety 42 vyplýva pre Rλ, ktoré odpovedá hodnotám |λ| > L , formula
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Poznámka 25
Rλ
(116),(135)
= −
∞
n=0
1
λn+1
Ln
. (137)
V kontexte Poznámky 24 sa jedná o Laurentov rozvoj rezolventy Rλ na okolí ∞.
Z (137) možno odvodiť asymptotické vlastnosti operátora Rλ. Konkrétne,
Rλ
(137)
=
∞
n=0
1
λn+1
Ln
≤
1
|λ|
∞
n=0
L
|λ|
n
(134)
=
1
|λ| − L
(138)
pre každé λ ∈ C s |λ| > L . Následne, z nerovnosti (138) máme
lim
λ→∞
Rλ
(138)
≤ lim
λ→∞
1
|λ| − L
= 0, teda lim
λ→∞
Rλ = 0. (139)
Poznamenajme, že rozvoj (137) je určený jednoznačne a platí na každom
otvorenom medzikruží 0 ≤ r < |λ|, na ktorom je rezolventa Rλ holomorfná.
Dôsledok 4
Nech X je Banachov priestor a L : X → X je spojitý lineárny operátor s
definičným oborom D(L) hustým v X. Pre spektrum σ(L) operátora L platí
σ(L) ⊆ {λ ∈ C, |λ| ≤ L }. (140)
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Veta 43 (Gelfandova)
Nech X je Banachov priestor a L : X → X spojitý lineárny operátor s definičným
oborom hustým v X. Spektrum σ(L) je neprázdna kompaktná množina v C.
Dôkaz Vety 43.
V súlade s Vetou 41 a Dôsledkom 4 je spektrum σ(L) operátora L uzavretá a
ohraničená množina v C. Jedná sa teda o kompaktnú množinu v C. Ukážeme,
že množina σ(L) je neprázdna. Sporom predpokladajme, že každé komplexné
číslo je regulárna hodnota operátora L, t.j., ρ(L) = C. Podľa Definície 16 to
znamená, že operátor L − λI je invertibilný pre každé λ ∈ C. Podľa Vety 38
a Poznámky 25 je odpovedajúca rezolventa Rλ v (116) bijektívny operátor a
zobrazenie holomorfné na celom C. Naviac, norma Rλ je ohraničená na C.
Skutočne, pre komplexné hodnoty λ s |λ| > 2 L podľa nerovnosti (138) platí
Rλ
(138)
≤
1
|λ| − L
<
1
L
. (141)
Na druhej strane, na kompaktnej množine |λ| ≤ 2 L je rezolventa Rλ ako spojité
zobrazenie premennej λ iste ohraničená. Podľa modifikovanej Liouvilleovej
vety je teda rezolventa Rλ nutne konštantné zobrazenie. S ohľadom na vlastnosť
(139) to však potom znamená, že Rλ = 0, a tak Rλ = 0 pre každé λ ∈ C.
To je zrejme očividný spor. Preto spektrum σ(L) je neprázdna množina.
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Definícia 19 (Spektrálny polomer operátora)
Nech X je Banachov priestor a L : X → X spojitý lineárny operátor s definičným
oborom hustým v X. Nezáporné reálne číslo
rσ(L) := sup{|λ|, λ ∈ σ(L)} (142)
sa nazýva spektrálny polomer operátora L.
Z inklúzie (140) v Dôsledku 4 ihneď vyplýva nerovnosť rσ(L) ≤ L . Tento
odhad však nemusí byť vždy optimálny. Nasledujúce tvrdenie poskytuje presnú
formulu pre spektrálny polomer rσ(L) spojitého lineárneho operátora L.
Veta 44 (Gelfandov–Beurlingov vzorec)
Nech X je Banachov priestor a L : X → X spojitý lineárny operátor s definičným
oborom hustým v X. Pre spektrálny polomer rσ(L) operátora L platí rovnosť
rσ(L) = lim
n→∞
Ln 1
n . (143)
Dôkaz Vety 44.
Ukážeme najprv, že pre každé n ∈ N platí nerovnosť
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Dôkaz Vety 44 (pokračovanie).
rσ(L) ≤ Ln 1
n . (144)
Sporom predpokladajme, že existuje m ∈ N s vlastnosťou rσ(L) > Lm 1
m , t.j.,
[rσ(L)]m
> Lm
. Z Definície 19 spektrálneho polomeru rσ(L) máme
[rσ(L)]m (142)
= sup
λ∈σ(L)
|λ|
m
= sup
λ∈σ(L)
|λm
|. (145)
V súlade s (145) teda platí nerovnosť supλ∈σ(L) |λm
| > Lm
. To znamená, že
existuje spektrálna hodnota λ ∈ σ(L) taká, že |λm
| > Lm
. Podľa Vety 42 je
potom číslo λm
regulárna hodnota operátora Lm
, t.j., v súlade s Definíciou 16 je
operátor Lm
−λm
I invertibilný. Keďže operátor L je spojitý a lineárny, posledná
vlastnosť podľa Vety 38 znamená, že Lm
− λm
I je bijekcia. Z rozkladov
m
k=1
λk−1
Ln−k
◦ (L − λI) = Lm
− λm
I = (L − λI) ◦
m
k=1
λk−1
Ln−k
(146)
následne vyplýva, že operátor L − λI je (podľa prvej formuly v (146)) injektívny
a zároveň i (podľa druhej formuly v (146)) surjektívny, t.j., L − λI je bijekcia.
Podľa Vety 38 je teda operátor L − λI invertibilný, čo je však v rozpore s tým,
že hodnota λ ∈ σ(L). Takže nerovnosť (144) skutočne platí pre každé n ∈ N.
Obzvlášť, z relácie (144) vyplýva pre spektrálny polomer rσ(L) odhad tvaru
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Dôkaz Vety 44 (pokračovanie).
rσ(L) ≤ lim inf
n→∞
Ln 1
n . (147)
Na druhej strane je z Definície 19 zrejmé, že každé komplexné číslo λ spĺňajúce
|λ| > rσ(L) je regulárna hodnota operátora L. Podľa Poznámky 24 je preto
rezolventa Rλ operátora L na medzikruží |λ| > rσ(L) holomorfná a v súlade s
poslednou časťou Poznámky 25 spĺňa na tejto množine formulu (137), t.j.,
Rλ = −
∞
n=0
1
λn+1
Ln
= −
1
λ
∞
n=0
1
λn
Ln
, |λ| > rσ(L). (148)
Z konvergencie nekonečného radu v (148) vyplýva, že pre každé komplexné číslo
λ s |λ| > rσ(L) nutne platí limn→∞
1
λn Ln
= 0. Obzvlášť máme, že
ak |λ| > rσ(L), potom existuje index nλ tak, že
1
λn
Ln
< 1 pre každé n ≥ nλ
⇓
|λ| > Ln 1
n pre každé n ≥ nλ.
Posledná nerovnosť potom implikuje vlastnosť
|λ| ≥ lim sup
n→∞
Ln 1
n pre každé λ spĺňajúce |λ| > rσ(L). (149)
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Dôkaz Vety 44 (pokračovanie).
Zrejme číslo rσ(L) je infimum hodnôt |λ| pre komplexné čísla λ v uvažovanom
medzikruží |λ| > rσ(L). Z nerovnosti (149) preto dostávame odhad
rσ(L) ≥ lim sup
n→∞
Ln 1
n . (150)
Následnou kombináciou podmienok (147) a (150) máme
lim sup
n→∞
Ln 1
n
(150)
≤ rσ(L)
(147)
≤ lim inf
n→∞
Ln 1
n .
Z týchto nerovností môžeme napokon usúdiť, že existuje limn→∞ Ln 1
n a jej
hodnota je rσ(L). Teda platí vzorec (143) a dôkaz je kompletný.
Poznámka 26
V komentári pred Vetou 44 sme uviedli, že pre spektrálny polomer rσ(L) spojitého
lineárneho operátora L platí nerovnosť rσ(L) ≤ L . Tento odhad
však nemusí byť vo všeobecnosti optimálny, nakoľko v súlade s Gelfandovým–
Beurlingovým vzorcom (143) sa neostrá nerovnosť
lim
n→∞
Ln 1
n ≤ L
nemusí vždy realizovať ako rovnosť. Ilustrujeme to na nasledujúcom príklade.
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Príklad 26
Uvažujme Banachov priestor X = C[0, 1] s maximálnou normou · C a operátor
L : X → X definovaný predpisom
[Lx](t) := t
1
0
x(s) ds, t ∈ [0, 1], x ∈ C[0, 1]. (151)
Nie je ťažké overiť, že operátor L je lineárny a ohraničený s L = 1. Nájdeme
jeho spektrálny polomer a stanovíme jeho spektrum. Pomocou matematickej
indukcie zistíme, že pre každé n ∈ N platí
[Ln
x](t) :=
t
2n−1
1
0
x(s) ds, t ∈ [0, 1], x ∈ C[0, 1], teda Ln
=
1
2n−1
L.
Následne, podľa vzorca (143) pre spektrálny polomer rσ(L) dostaneme
rσ(L)
(143)
= lim
n→∞
Ln 1
n = lim
n→∞
1
2n−1
L
1
n
= lim
n→∞
1
21− 1
n
=
1
2
.
Vidíme, že v tomto prípade je rσ(L) < 1 = L . Podľa vzorca (143) je spektrum
operátora L istá uzavretá podmnožina kruhu |λ| ≤ 1
2
. Nájdeme vlastné čísla
operátora L. Hľadáme teda hodnoty λ ∈ C, pre ktoré má rovnica Lx = λx
identicky nenulové riešenie, t.j., podľa (151) máme
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Príklad 26
t
1
0
x(s) ds = λx(t), t ∈ [0, 1]. (152)
Vidíme, že pre λ = 0 hľadané vlastné funkcie x musia byť nutne lineárne tvaru
x(t) = at, t ∈ [0, 1], s a = 0. Dosadením do (152) a po úpravách dostaneme
t
1
0
as ds = λat −→
at
2
= λat, t ∈ [0, 1] −→ λ =
1
2
.
Pre hodnotu λ = 0 má rovnica (152) napríklad riešenie x(t) = 1 − 2t, t ∈ [0, 1].
Operátor L má teda dve vlastné čísla 1
2
(s odpovedajúcimi vlastnými funkciami
tvaru x(t) = at, t ∈ [0, 1], s a = 0) a 0. Keďže operátor L − λI je pre každú
komplexnú hodnotu λ ∈ C spojitý a lineárny, v súlade s Vetou 38 preveríme
teraz obor hodnôt R(L − λI). Konkrétne, z množiny {λ ∈ C, |λ| ≤ 1
2
} \ {0, 1
2
}
vylúčime tie hodnoty λ, pre ktoré má rovnica (L − λI)x = y riešenie pre každé
y ∈ X, t.j., pre ktoré je operátor L − λI surjektívny. V súlade s (151) máme
t
1
0
x(s) ds − λx(t) = y(t), t ∈ [0, 1], y ∈ C[0, 1]. (153)
Integrovaním oboch strán rovnice (153) získame
1
0
t
1
0
x(s) ds dt − λ
1
0
x(s) ds =
1
0
y(s) ds
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Príklad 26
Poslednú rovnosť upravíme a dostaneme
1
2
1
0
x(s) ds − λ
1
0
x(s) ds =
1
0
y(s) ds
⇓ (154)
1
0
x(s) ds =
2
1 − 2λ
1
0
y(s) ds. (155)
Dosadením vyjadrenia (155) do pôvodnej rovnice (153) potom máme
2t
1 − 2λ
1
0
y(s) ds − λx(t) = y(t), pre každé t ∈ [0, 1]. (156)
Z (156) následne dostaneme
x(t) =
2t
λ(1 − 2λ)
1
0
y(s) ds −
y(t)
λ
, t ∈ [0, 1], y ∈ C[0, 1]. (157)
Inými slovami, rovnica (153) má pre každú spojitú funkciu y riešenie x ∈ C[0, 1]
práve vtedy, keď hodnota λ ∈ {0, 1
2
}, pričom toto riešenie je jediné a určené
formulou (157). To znamená, že celé spektrum operátora L v zadaní príkladu
má tvar σ(L) = {0, 1
2
}, pričom sa jedná o bodové spektrum.
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Príklad 27
Nájdime spektrum lineárneho operátora L z Príkladu 23. Podľa (114) máme
Lk
{xn} =
xn
nk
, {xn}∞
n=1 ∈ X, a tak Lk
= 1 pre každé k ∈ N.
Preto podľa vzorca (143) je spektrálny polomer rσ(L) = limk→∞ Lk 1/k
= 1,
a tak spektrum σ(L) ⊆ {λ ∈ C, |λ| ≤ 1}. Pre každé λ ∈ C platí
{yn} := (L − λI){xn}
(114)
=
1
n
− λ xn , {xn}∞
n=1 ∈ X. (158)
Je ľahko vidieť, že postupnosť {yn} v (158) je nulová práve vtedy, keď postupnosť
{xn} = ek a λ = 1
k
pre nejaké k ∈ N. Bodové spektrum operátora L má teda
tvar 1
k
, k ∈ N , t.j., λk := 1
k
, k ∈ N, sú jediné vlastné hodnoty operátora L.
Ďalej je zrejmé, že rovnica v (158) má riešenie {xn} pre každú {yn} z X práve
vtedy, keď hodnota λ = 1
k
pre každé k ∈ N. V tomto prípade platí
{xn} =
n
1 − nλ
yn pre každé {yn}∞
n=1 ∈ X. (159)
Ak naviac je λ = 0, získané riešenie {xn} je prvkom priestoru X. Skutočne, pre
λ = 0 má postupnosť n
1−nλ
limitu − 1
λ
, a teda je ohraničená, t.j., n
1−nλ
≤ α
pre každé n ∈ N, kde α > 0 je vhodná konštanta. Následne máme
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Príklad 27
∞
n=1
|xn|2 (159)
=
∞
n=1
n
1 − nλ
2
|yn|2
≤ α2
∞
n=1
|yn|2
< ∞.
Napokon hodnota λ = 0 je prvkom spojitého spektra, pretože podľa Príkladu 23
je R(L) = X a inverzia L−1
je nespojitá. Celkové spektrum operátora L má
teda tvar σ(L) = 1
k
, k ∈ N ∪ {0}.
V nasledujúcich troch príkladoch sa zameriame na vyšetrovanie spektra nespojitých
(neohraničených) lineárnych operátorov.
Príklad 28
Nájdime spektrum lineárneho diferenciálneho operátora definovaného v (2) z
Príkladu 6. Uvažujme Banachov priestor X = C[0, 1]. Operátor D v (2) je
prirodzene definovaný na podpriestore D(D) = C1
[0, 1], ktorý je hustý v X, t.j.,
platí D(D). Táto skutočnosť vyplýva napríklad z Weierstrassovej vety o globálnej
aproximácii spojitých funkcií na kompaktnom intervale pomocou polynómov.
Platí, že pre žiadnu hodnotu λ ∈ C nie je operátor D − λI injektívny. Skutočne,
rovnica (D − λI)x = 0 má na D(D) práve jedno lineárne nezávislé riešenie
x′
− λx = 0 −→ x(t) = eλt
, t ∈ [0, 1], pre každé λ ∈ C.
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Príklad 28
Podľa Poznámky 21 a Definícií 17 a 18 teda spektrum operátora D je σ(D) = C,
pričom sa jedná o bodové spektrum, t.j., operátor D má iba vlastné hodnoty.
Príklad 29
Nech priestor X = {x ∈ C[0, 1], x(0) = 0}. Nie je ťažké si premyslieť, že X je
uzavretý podpriestor v C[0, 1], t.j., X je Banachov priestor. Uvažujme lineárny
diferenciálny operátor L : D(L) ⊆ X → X s predpisom
Lx = x′
, x ∈ D(L) := {x ∈ C1
[0, 1], x(0) = 0}. (160)
Podľa analogickej úvahy ako v Príklade 28 platí D(L) = X. Operátor L v (160)
je uzavretý, ale nie je spojitý (v súlade s Príkladom 13). Ďalej operátor L − λI
je pre každú hodnotu λ ∈ C bijektívny, pretože začiatočná úloha x′
− λx = 0,
x(0) = 0, má pre každé λ ∈ C iba triviálne riešenie x ≡ 0. Podobne, úloha
x′
− λx = y, x(0) = 0, má pre každé λ ∈ C a každé y ∈ X jediné riešenie
x(t) = eλt
t
0
e−λs
y(s) ds, t ∈ [0, 1]. (161)
Naviac, inverzia (L−λI)−1
: X → D(L−λI) je pre každé λ ∈ C spojitý lineárny
operátor. Skutočne, v súlade s (161) pre každé y ∈ X platí
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Príklad 29
(L − λI)−1
y X
(161)
= max
t∈[0,1]
eλt
t
0
e−λs
y(s) ds ≤ y X
1
0
e−s Reλ
ds max
t∈[0,1]
et Reλ
,
kde sme využili spojitosť funkcie eλt
na intervale [0, 1] a fakt, že |ez
| = eRez
pre každé z ∈ C. V súlade s Poznámkou 21 je teda každé komplexné číslo
rezolventná hodnota operátora L, a tak jeho spektrum je prázdna množina.
Príklad 30
Uvažujme Hilbertov priestor H = L2
[0, 2π] a jeho podpriestor
˜H := {x ∈ H, x ∈ AC[0, 2π], x′
∈ H a x(0) = 0}, (162)
kde AC[0, 2π] je priestor absolútne spojitých funkcií na intervale [0, 2π]. Dá
sa ukázať, že podpriestor ˜H v (162) je hustý v H. Dokážeme, že lineárny
diferenciálny operátor L : ˜H → H tvaru Lx := ix′
, x ∈ ˜H, má prázdne
spektrum. Nech pre dané λ ∈ C je Kλ : H → H operátor definovaný predpisom
[Kλy](t) := −i
t
0
e−iλ(t−s)
y(s) ds, y ∈ X. (163)
Operátor Kλ je lineárny a definovaný korektne na celom H, nakoľko podľa Cau-
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Príklad 30
chyho–Schwarzovej–Buňakovského nerovnosti pre každé y ∈ X máme
t
0
e−iλ(t−s)
y(s) ds
2
≤
t
0
|e−iλ(t−s)
|2
ds
t
0
|y(s)|2
ds = y 2
X
t
0
e2(t−s)Imλ
ds.
Táto nerovnosť zároveň dokazuje ohraničenosť operátora Kλ, pretože platí
Kλy 2
X =
2π
0
−i
t
0
e−iλ(t−s)
y(s) ds
2
dt ≤ y 2
X
2π
0
t
0
e2(t−s)Imλ
dsdt
pre každé y ∈ X. Operátor Kλ zobrazuje do podpriestoru ˜H. Skutočne, platí
[Kλy]′
(t) = −iy(t) − λ
t
0
e−iλ(t−s)
y(s) ds, t ∈ [0, 2π], y ∈ X. (164)
Následne Kλy ∈ H, [Kλy]′
∈ H ⊆ L[0, 2π], čo v súlade s (164) znamená,
že funkcia Kλy ∈ AC[0, 2π], a [Kλy](0) = 0 podľa (163) pre každé y ∈ X.
Napokon overíme platnosť identít Kλ ◦ (L − λI) = I ˜H a (L − λI) ◦ Kλ = IH
pre každé λ ∈ C. Postupne pre každé x ∈ ˜H a každé y ∈ H dostávame
[Kλ ◦ (L − λI)]x(t) = −i
t
0
e−iλ(t−s)
[ix′
(s) − λx(s)] ds
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Príklad 30
=
t
0
e−iλ(t−s)
x′
(s) ds +
t
0
(e−iλ(t−s)
)′
s x(s) ds
=
t
0
e−iλ(t−s)
x(s)
′
s
ds = e−iλ(t−s)
x(s)
t
0
= x(t), t ∈ [0, 2π].
[(L − λI) ◦ Kλ]y(t) = i −i
t
0
e−iλ(t−s)
y(s) ds
′
t
+ λi
t
0
e−iλ(t−s)
y(s) ds
= y(t) +
t
0
(e−iλ(t−s)
)′
t y(s) ds + λi
t
0
e−iλ(t−s)
y(s) ds
= y(t) − λi
t
0
e−iλ(t−s)
y(s) ds + λi
t
0
e−iλ(t−s)
y(s) ds = y(t)
pre každé t ∈ [0, 2π]. Vďaka inklúzii H ⊆ L[0, 2π] je obor hodnôt operátora
L − λI pre každé λ ∈ C celý priestor H, pretože začiatočná úloha ix′
− λx = y,
x(0) = 0, má pre každé y ∈ H práve jedno riešenie, konkrétne, je ním funkcia v
(163). V súlade s Definíciou 15 je teda operátor L − λI invertibilný pre každé
λ ∈ C. Jeho spektrum σ(L) je preto prázdna množina.
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Spektrum kompaktných operátorov
Preskúmame teraz spektrum lineárnych kompaktných operátorov. Zistíme, že v
tomto prípade má spektrum obzvlášť jednoduchú štruktúru.
Poznámka 27
Prvé jednoduché pozorovanie je skutočnosť, že ak Banachov priestor X má
nekonečnú dimenziu, potom číslo 0 je spektrálna hodnota každého lineárneho
kompaktného operátora L : X → X. Je to dôsledok Vety 28(i), ktorý v súlade
s Vetou 13 hovorí , že ak dim X = ∞, potom lineárny kompaktný operátor
L : X → X nie je zdola ohraničený. Podľa Poznámky 21 teda L nie je invertibilný
operátor, a tak 0 nie je jeho rezolventná hodnota. Takže nutne 0 ∈ σ(L).
Veta 45 (Spektrum kompaktného operátora)
Nech X je Banachov priestor a L : X → X je lineárny kompaktný operátor
s definičným oborom hustým v X. Potom spektrum operátora L obsahuje iba
vlastné čísla operátora L, prípadne hodnotu 0, ak X má nekonečnú dimenziu.
Dôkaz Vety 45.
Tvrdenie je priamym dôledkom Fredholmovej alternatívy, t.j., prvej Fredholmovej
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Dôkaz Vety 45 (pokračovanie).
Vety 33(i) v súlade s Poznámkou 20. Nech λ ∈ C je nenulové komplexné číslo.
Zrejme operátor 1
λ
L je lineárny a kompaktný, a teda i spojitý. Podľa Vety 33(i)
je operátor I − 1
λ
L injektívny práve vtedy, keď je surjektívny. Rovnakú vlastnosť
má zrejme i operátor −λ I − 1
λ
L = L − λI. Pre λ = 0 teda platí
operátor L − λI je injektívny práve vtedy, keď je surjektívny.
Z Vety 38 potom vyplýva, že pre λ = 0 je operátor L − λI invertibilný práve
vtedy, keď je injektívny. Následne, podľa Definícií 17 a 18 je λ = 0 spektrálna
hodnota operátora L práve vtedy, keď je prvkom bodového spektra, t.j., keď je to
vlastné číslo operátora L. Tvrdenie o hodnote λ = 0 vyplýva z Poznámky 27.
Poznámka 28 (Spektrum kompaktného operátora)
Doplňme, že podľa tretej Fredholmovej Vety 33(iii) každej vlastnej hodnote
λ = 0 lineárneho kompaktného operátora L odpovedá iba konečne veľa lineárne
nezávislých vlastných vektorov. Vyplýva to zo skutočnosti, že v kontexte dôkazu
Vety 45 má podpriestor Ker (L − λI) ⊆ X podľa Vety 34 konečnú dimenziu.
Výsledky vo Vete 45 a Poznámke 28 upresníme a doplníme v nasledujúcej vete.
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Veta 46
Nech X je Banachov priestor a L : X → X je lineárny kompaktný operátor
s definičným oborom hustým v X. Nech δ > 0 je dané. Potom pre množinu
všetkých vlastných čísiel operátora L spĺňajúcich |λ| > δ existuje iba konečne
veľa lineárne nezávislých vlastných vektorov operátora L.
Dôkaz Vety 46.
Tvrdenie budeme dokazovať sporom. Predpokladajme, že existuje postupnosť
{λn}∞
n=1 ⊆ C vlastných čísiel operátora L spĺňajúca |λn| > δ pre každe n ∈ N
taká, že odpovedajúca postupnosť {xn}∞
n=1 ⊆ X všetkých lineárne nezávislých
vlastných vektorov je nekonečná. Upresnime, že xn je vlastný vektor, ktorý
odpovedá vlastnej hodnote λn, n ∈ N. Doplňme, že pripúšťame situáciu, že
λk = λl pre nejaké dva rôzne indexy k, l ∈ N. Priestor X má teda nutne
nekonečnú dimenziu. Definujme podpriestory Xn ⊆ X, n ∈ N, predpisom
Xn := Lin {x1, . . . , xn}, n ∈ N. (165)
Zrejme každý z podpriestorov Xn, n ∈ N, v (165) má konečnú dimenziu n a je
teda uzavretý v X. Naviac, platí Xn Xn+1 pre každé n ∈ N, nakoľko postupnosť
{xn}∞
n=1 je lineárne nezávislá a nekonečná. V súlade s Rieszovou lemou
potom existuje nekonečná postupnosť {yn}∞
n=2 ⊆ X vektorov s vlastnosťou
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Dôkaz Vety 46 (pokračovanie).
yn ∈ Xn, yn X = 1, d (yn, Xn−1) ≥
1
2
, n ∈ N \ {1}. (166)
Uvažujme postupnosť {zn}∞
n=2 := 1
λn
yn
∞
n=2
. Postupnosť {zn}∞
n=2 je zrejme
ohraničená, nakoľko platí
zn X =
1
λn
yn
X
(166)
=
1
|λn|
<
1
δ
, n ∈ N \ {1}.
Ukážeme, že postupnosť {Lzn}∞
n=2 nie je cauchyovská. Keďže podľa (166)
vektor yn ∈ Xn pre každé n ∈ N \ {1}, v súlade s (165) máme reprezentáciu
yn = c1x1 + · · · + cnxn pre vhodné konštanty c1, . . . , cn ∈ C. Potom platí
Lzn = L
1
λn
yn =
n
k=1
ck
λn
Lxk =
n
k=1
ck
λn
λkxk =
n
k=1
λk
λn
ckxk
= cnxn +
n−1
k=1
λk
λn
ckxk = yn +
n−1
k=1
λk
λn
ckxk −
n−1
k=1
ckxk
= yn +
n−1
k=1
λk
λn
− 1 ckxk
un
= yn + un, n ∈ N \ {1}. (167)
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Dôkaz Vety 46 (pokračovanie).
Zrejme vektor un definovaný v (167) je podľa (165) prvkom podpriestoru Xn−1
pre každé n ∈ N \ {1}. Využitím odvodenej rovnosti (167) pre každé dva indexy
k, l ∈ N \ {1}, s k < l máme
Lzl −Lzk X
(167)
= yl +ul−yk −uk X = yl −(uk +yk −ul) X = yl −v X , (168)
kde v := uk + yk − ul. Nakoľko uk ∈ Xk−1 ⊆ Xl−1, yk ∈ Xk ⊆ Xl−1 a
ul ∈ Xl−1, vektor v ∈ Xl−1. Kombináciou (166) a (168) napokon dostaneme
Lzl − Lzk X
(168)
= yl − v X
(166)
≥
1
2
(169)
pre každé dva rôzne indexy k, l ∈ N \ {1}. Postupnosť {Lzn}∞
n=2 teda skutočne
nie je cauchyovská, a teda ani relatívne kompaktná. To je však v rozpore s
kompaktnosťou operátora L. Preto postupnosť {xn}∞
n=1 lineárne nezávislých
vlastných vektorov musí byť konečná. Dôkaz je hotový.
Dôsledok 5 (Spektrum kompaktného operátora)
Množina všetkých vlastných čísiel lineárneho kompaktného operátora L je najviac
spočítateľná a každému nenulovému vlastnému číslu odpovedá konečný počet
lineárne nezávislých vlastných vektorov operátora L.
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Dôkaz Dôsledku 5.
Keďže rôznym vlastným číslam operátora L odpovedajú lineárne nezávislé vlastné
vektory, z Vety 46 vyplýva, že pre každé δ > 0 má operátor L iba konečne veľa
vlastných čísiel λ s vlastnosťou |λ| > δ. Obzvlášť, pre každé n ∈ N existuje iba
konečne veľa vlastných čísiel λ operátora L s |λ| > 1
n
. To implikuje prvú časť
tvrdenia. Druhá časť vyplýva priamo z Vety 46. Dôkaz je kompletný.
Poznámka 29
Poznamenajme, že z vyššie uvedenej analýzy spektra lineárneho kompaktného
operátora L vo Vete 46 a Dôsledku 5 vyplýva, že množina všetkých jeho vlastných
čísiel sa dá vhodne usporiadať, konkrétne
|λ1| ≥ |λ2| ≥ |λ3| ≥ · · · ≥ |λn| ≥ · · · . (170)
Naviac, ak ich je nekonečne veľa, nutne platí limn→∞ |λn| = 0. Vďaka kompaktnosti
spektra operátora L potom 0 ∈ σ(L). Zrejme v tomto prípade má priestor
X nekonečnú dimenziu. To, či spektrálna hodnota 0 je prvkom spojitého alebo
reziduálneho spektra operátora L, závisí na tom, či obor hodnôt R(L) je alebo
nie je hustý v X. Pripomeňme, že inverzia L−1
je v tomto prípade nespojitá
na podpriestore R(L). Ak operátor L má konečne veľa vlastných čísiel, potom
λ = 0 môže/nemusí byť vlastná hodnota a môže/nemusí patriť do spektra.
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Príklad 31
Uvažujme priestor X = C[0, 1] s normou · C a integrálny Fredholmov operátor
L definovaný v (18) z Príkladu 8. V Príklade 20 sme dokázali, že L je kompaktný
operátor. V súlade s Vetou 45 spektrum operátora L obsahuje iba vlastné čísla,
prípadne hodnotu 0. Hľadáme komplexné čísla λ, pre ktoré má (L − λI)x = 0,
t.j. v zhode s (18) rovnica
t
0
x(s) ds = λx(t), t ∈ [0, 1], (171)
netriviálne riešenie v X. Ak λ = 0, potom integrál
t
0
x(s) ds = 0, t ∈ [0, 1], a
následným derivovaním dostaneme x(t) = 0 pre každé t ∈ [0, 1]. Preto hodnota
0 nie je vlastné číslo operátora L. Pre λ = 0 získame derivovaním rovnosti
(171) diferenciálnu rovnicu x = λx′
so začiatočnou podmienkou x(0) = 0. Táto
rovnica má opäť práve jedno riešenie x(t) = 0 pre každé t ∈ [0, 1]. Operátor L
má teda bodové spektrum prázdne. Keďže sa jedná o kompaktný, a teda spojitý
lineárny operátor, podľa Gelfandovej Vety 43 je spektrum operátora neprázdna
množina. Preto podľa Vety 45 nutne σ(L) = {0}. Dokážeme, že hodnota
0 je prvkom reziduálneho spektra. Uvažujme rovnicu Lx = y, t.j., podľa (18)
rovnicu
t
0
x(s)ds = y(t), t ∈ [0, 1]. Ihneď vidíme, že funkcia y musí mať spojitú
deriváciu na [0, 1] a y(0) = 0. To ukazuje, že obor hodnôt
R(L) = {y ∈ C1
[0, 1], y(0) = 0}. (172)
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Príklad 31
Podľa Príkladu 29 je potom uzáver R(L) = {y ∈ C[0, 1], y(0) = 0} X, teda
podpriestor R(L) nie je hustý v priestore X. V súlade s Definíciou 18 je celé
spektrum σ(L) = {0} reziduálne. Poznamenajme, že rovnaký výsledok by sme
samozrejme získali i priamou analýzou spektra operátora L.
Príklad 32
Uvažujme opäť priestor X = C[0, 1] s normou · C a lineárny operátor L tvaru
[Lx](t) = t2
x(0), t ∈ [0, 1], x ∈ X. (173)
Keďže obor hodnôt R(L) = {at2
, a ∈ C} má konečnú dimenziu 1, operátor je v
súlade s Definíciou 14 kompaktný. Poznamenajme, že túto skutočnosť je možné
pomerne ľahko dokázať i priamo pomocou Arzelàovej–Ascoliho vety. Nájdeme
vlastné čísla operátora L. Podľa (173) hľadáme netriviálne riešenia rovnice
t2
x(0) = λx(t), t ∈ [0, 1]. (174)
Pre hodnoty λ = 0 z (174) máme x(t) = x(0)
λ
t2
, t ∈ [0, 1], z čoho x(0) = 0, a
tak funkcia x(t) = 0 pre každé t ∈ [0, 1]. Ak λ = 0, potom netriviálnym riešením
rovnice (174) je napríklad funkcia x(t) = t2
. Z toho následne vyplýva, že celé
spektrum σ(L) = {0}, pričom sa jedná sa bodové spektrum.
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
V poslednej časti prednášky budeme vyšetrovať spektrum spojitých lineárnych
operátorov v Hilbertovom priestore. Špeciálne, budeme sa venovať spektrálnej
teórii hermiteovsky samoadjungovaných operátorov. Tieto operátory budeme
skrátene označovať prívlastkom hermiteovské.
Lema 4
Nech X je Hilbertov priestor, L : X → X je spojitý lineárny operátor a λ ∈ C
je dané komplexné číslo. Potom platí formula
(L − λI)∗
= L∗
− ¯λI. (175)
Obzvlášť, ak operátor L je naviac hermiteovský, potom operátor L − λI je hermiteovský
práve vtedy, keď λ je reálne číslo.
Dôkaz Lemy 4.
Formula (175) je priamym dôsledkom rovnosti (68) v Poznámke 13 a vlastností
skalárneho súčinu, nakoľko pre každú dvojicu vektorov x, y ∈ X platí
(L − λI)x, y = Lx, y − λ x, y = x, L∗
y − x, ¯λy = x, (L∗
− ¯λI)y .
Ak operátor L je hermiteovský, t.j., L = L∗
v súlade s Definíciou 12, potom
pomocou (175) platí (L−λI)∗
= L−λI práve vtedy, keď ¯λ = λ, t.j., λ ∈ R.
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Nasledujúce tvrdenie je analógiou klasického výsledku o vlastných číslach a vlastných
vektoroch hermiteovských matíc v Cn×n
.
Veta 47
Nech X je Hilbertov priestor a L ∈ L(X) je hermiteovský operátor. Potom každé
vlastné číslo operátora L je reálne a vlastné vektory operátora L prislúchajúce
rôznym vlastným číslam sú vzájomne ortogonálne.
Dôkaz Vety 47.
Nech λ ∈ C je vlastné číslo operátora L a x ∈ X \ {0} je odpovedajúci vlastný
vektor, t.j., platí Lx = λx. Bez ujmy na všeobecnosti nech x, x X = x 2
X = 1.
Využitím vlastností skalárneho súčinu a rovnosti L = L∗
máme
λ = λx, x X = Lx, x X
(68)
= x, L∗
x X = x, Lx X = x, λx X = λ,
a tak hodnota λ ∈ R. Nech ďalej λ1, λ2 ∈ R sú dve rôzne vlastné hodnoty
operátora L s odpovedajúcimi vlastnými vektormi x1, x2 ∈ X \ {0}, t.j., platí
Lx1 = λ1x1 a Lx2 = λ2x2. Potom
λ1 x1, x2 X = λ1x1, x2 X = Lx1, x2 X
(68)
= x1, L∗
x2 X = x1, Lx2 X
= x1, λ2x2 = λ2 x1, x2 = λ2 x1, x2 ,
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Dôkaz Vety 47 (pokračovanie).
z čoho dostávame (λ1 − λ2) x1, x2 = 0. Vďaka tomu, že λ1 = λ2, napokon
máme x1, x2 = 0, t.j., vlastné vektory x1, x2 sú vzájomne ortogonálne.
Definícia 20 (Aproximatívne spektrum operátora)
Nech X je Banachov priestor a L : X → X je lineárny operátor s definičným
oborom hustým v priestore X. Množina všetkých hodnôt λ ∈ C, pre ktoré
operátor L − λI nie je ohraničený zdola, sa nazýva aproximatívne spektrum
operátora L a označuje sa σAP (L).
Poznámka 30
V súlade s Poznámkou 21 a Definíciou 17 je zrejme množina σAP (L) skutočne
časťou spektra σ(L) operátora. Obzvlášť, podľa Definícií 6 a 20 platí, že hodnota
λ ∈ C je prvkom aproximatívneho spektra operátora L práve vtedy, keď existuje
postupnosť {xn}∞
n=1 ⊆ X s vlastnosťou
xn X = 1 pre každé n ∈ N a lim
n→∞
(L − λI)xn = 0. (176)
Nie je ťažké si premyslieť, ža každá vlastná hodnota operátora L patrí do aproximatívneho
spektra σAP (L). Opačné tvrdenie vo všeobecnosti neplatí.
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Nasledujúce tvrdenie podáva charakterizáciu spektier hermiteovských operátorov.
Veta 48 (Weylovo kritérium)
Nech X je Hilbertov priestor a L ∈ L(X) je hermiteovský operátor. Potom
každá spektrálna hodnota operátora L je prvkom jeho aproximatívneho spektra,
t.j., platí rovnosť σ(L) = σAP (L).
Dôkaz Vety 48.
Sporom predpokladajme, že množina σ(L) \ σAP (L) je neprázdna, t.j., existuje
spektrálna hodnota λ, pre ktorú je operátor L − λI ohraničený zdola. Podľa
Vety 13 je operátor L − λI injektívny a jeho obor hodnôt R(I − λI) je uzavretý
v X. Číslo λ teda nie je vlastná hodnota operátora L. Naviac, v súlade s
Poznámkou 21 platí R(I − λI) X. Podľa vety o projekcii máme rozklad
X = R(I − λI) ⊕ (R(I − λI))⊥
,
kde ortogonálny doplnok (R(I − λI))⊥
je netriválny uzavretý podpriestor v X.
V zhode s Vetou 23(iii) je potom Ker (L − λI)∗
= {0} a podľa formuly (175) v
Leme 4 máme (L−λI)∗
= L− ¯λI. Operátor L− ¯λI teda nie je injektívny a číslo
¯λ je vlastná hodnota operátora L. Podľa Vety 47 je ¯λ ∈ R, a tak λ = ¯λ je vlastná
hodnota operátora L. Dospeli sme k sporu. Preto množina σ(L) ⊆ σAP (L) a v
súlade s Poznámkou 30 dostávame napokon rovnosť σ(L) = σAP (L).
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Poznámka 31 (Weylovo kritérium)
Tvrdenie Vety 48 možno podľa (176) v Poznámke 30 vyjadriť i v tvare
inf
x∈SX [0,1]
(L − λI)x X = 0 pre každé λ ∈ σ(L). (177)
V nasledujúcom výklade budeme pre daný spojitý lineárny a hermiteovský operátor
L : X → X uvažovať kvadratický funkcionál definovaný predpisom
QL(x) := Lx, x , x ∈ X. (178)
Poznámka 32
Ľahko sa presvedčíme, že ak L ∈ L(X) je hermiteovský operátor, potom kvadratická
forma v (178) je reálna, t.j., Lx, x ∈ R pre každé x ∈ X. Skutočne,
Lx, x = x, Lx = x, L∗
x
(68)
= Lx, x pre každé x ∈ X.
Veta 49 (Rayleighova)
Nech X je Hilbertov priestor a L ∈ L(X) je daný hermiteovský operátor. Potom
L = sup{|QL(x)|, x ∈ SX [0, 1]}, (179)
kde QL je kvadratický funkcionál definovaný v (178).
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Dôkaz Vety 49.
Označme symbolom s suprémum na pravej strane rovnosti (179). Potom pre
každý nenulový vektor x ∈ X platí
| Lx, x | = x 2
X L
x
x X
,
x
x X
(178)
= QL
x
x X
x 2
X ≤ s x 2
X
Posledná nerovnosť zrejme platí aj pre x = 0, takže máme
| Lx, x | ≤ s x 2
X , x ∈ X. (180)
Dokážeme, že pre každú dvojicu vektorov x, y ∈ X platí relácia
|Re Lx, y | ≤
s
2
x 2
X + y 2
X (181)
Postupnými výpočtami a využitím toho, že operátor L je hermiteovský, máme
L(x + y), x + y − L(x − y), x − y = 2 Lx, y + 2 Ly, x
= 2 Lx, y + 2 y, L∗
x
= 2 Lx, y + 2 y, Lx
= 2 Lx, y + 2 Lx, y = 4Re Lx, y (182)
pre každé x, y ∈ X. Následne, pomocou nerovnosti (180) dostaneme
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Dôkaz Vety 49 (pokračovanie).
|Re Lx, y |
(182)
=
1
4
| L(x + y), x + y − L(x − y), x − y |
≤
1
4
| L(x + y), x + y | +
1
4
| L(x − y), x − y |
(180)
≤
s
4
x + y 2
X +
s
4
x − y 2
X =
s
2
x 2
X + y 2
X
pre každé x, y ∈ X. V poslednom kroku sme využili rovnobežníkové pravidlo,
ktoré spĺňa každá norma generovaná skalárnym súčinom. Overili sme teda platnosť
nerovnosti (181). Ak x ∈ X spĺňa Lx = 0 a y = Lx
Lx X
, potom
|Re Lx, y | = Re Lx,
Lx
Lx X
= Re
Lx 2
X
Lx X
= Lx X . (183)
Dosadením (183) do nerovnosti (181) a využitím toho, že y X = 1, získame
Lx X ≤
s
2
x 2
X + 1 .
Posledná nerovnosť opäť platí aj pre vektory x ∈ X s Lx = 0, takže máme
Lx X ≤
s
2
x 2
X + 1 pre každé x ∈ X. (184)
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Dôkaz Vety 49 (pokračovanie).
Obzvlášť, pre každé x ∈ SX[0, 1] platí
Lx X
(184)
≤
s
2
(1 + 1) = s,
t.j., L ≤ s v zhode s (6). Na druhej strane, podľa Cauchyho–Schwarzovej–
Buňakovského nerovnosti máme
|QL(x)|
(178)
= | Lx, x | ≤ Lx X · x X = Lx X
(6)
≤ L , x ∈ SX [0, 1],
čo implikuje nerovnosť s ≤ L . Preto s = L a dôkaz je hotový.
Veta 50 (Spektrálny polomer hermiteovského operátora)
Nech X je Hilbertov priestor a L ∈ L(X) je hermiteovský operátor. Potom platí
rσ(L) = L . (185)
Dôkaz Vety 50.
Pri dôkaze využijeme Gelfandov–Beurlingov vzorec (143) pre spektrálny polomer
rσ(L) spojitého lineárneho operátor L. Nie je ťažké sa pomocou matematickej
indukcie presvedčiť, že ak L je hermiteovský operátor, potom aj
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Dôkaz Vety 50 (pokračovanie).
Ln
je hermiteovský operátor pre každé n ∈ N. (186)
Obzvlášť, pre mocniny L2k
, k ∈ N, využitím Rayleighovej Vety 49 máme
L2k (179),(178)
= sup
x∈BX [0,1]
L2k
x, x = sup
x∈BX [0,1]
L2k−1
x, L2k−1
x
= sup
x∈BX [0,1]
L2k−1
x
2
X
(6)
= L2k−1 2
, k ∈ N. (187)
Z formuly (187) následne využitím indukcie a vlastnosti (186) získame
L2k
= L 2k
pre každé k ∈ N. (188)
Keďže v súlade s Vetou 44 je postupnosť Ln 1
n
∞
n=1
konvergentná, i každá
z nej vybraná podpostupnosť je konvergentná s rovnakou limitou. Využitím
rovnosti (188) a vzorca (143) napokon máme
rσ(L)
(143)
= lim
n→∞
Ln 1
n = lim
k→∞
L2k
1
2k (188)
= lim
k→∞
L = L .
Platí teda formula (185) a dôkaz je kompletný.
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Veta 51 (Spektrum hermiteovského operátora)
Nech X je Hilbertov priestor a L ∈ L(X) je hermiteovský operátor. Potom
jeho spektrum σ(L) splýva s aproximatívnym spektrom σAP (L), pričom každá
spektrálna hodnota je reálna. Presnejšie, platí σ(L) ⊆ [mL, ML], kde
mL := inf
x∈SX[0,1]
QL(x), ML := sup
x∈SX [0,1]
QL(x), (189)
kde QL je funkcionál definovaný v (178). Naviac, hodnoty mL, ML ∈ σ(L).
Dôkaz Vety 51.
Skutočnosť, že spektrum σ(L) = σAP (L) je výsledkom Weylovho kritéria vo
Vete 48. Ukážeme, že každá spektrálna hodnota je reálne číslo. Nech λ ∈ σ(L)
je dané a má tvar λ = α + iβ, α, β ∈ R. Pre každý vektor x ∈ X platí
(L − λI)x 2
X = (L − λI)x, (L − λI)x = (L − αI)x − iβx, (L − αI)x − iβx
= (L − αI)x 2
X + β2
x 2
X + iβ [ (L − αI)x, x − x, (L − αI)x ]
0
= (L − αI)x 2
X + β2
x 2
X , (190)
pričom v poslednom kroku sme využili výsledok Lemy 5. V súlade s vlastnosťou
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Dôkaz Vety 51 (pokračovanie).
(177) v Poznámke 31 následne máme
0
(177)
= inf
x∈SX[0,1]
(L − λI)x 2
X
(190)
= inf
x∈SX[0,1]
(L − αI)x 2
X + β2
x 2
X ,
z čoho ihneď vyplývajú relácie
inf
x∈SX [0,1]
(L − αI)x X = 0 a β = 0.
Preto spektrálna hodnota λ = α je reálna. Ďalej dokážeme, že spektrum σ(L) je
podmnožinou reálneho kompaktného intervalu [mL, ML] s krajnými bodmi definovanými
v (189). Pomocou Cauchyho–Schwarzovej–Buňakovského nerovnosti
pre každé λ ∈ C a každý vektor x ∈ SX [0, 1] platí
| Lx, x − λ| = | (L − λI)x, x | ≤ (L − λI)x X · x X = (L − λI)x X . (191)
Následne pre každé λ ∈ σ(L) a pre každé x ∈ SX [0, 1] dostávame
Lx, x − λ
(191)
≤ (L − λI)x X , a keďže inf
x∈SX [0,1]
(L − λI)x X
(177)
= 0, platí
inf
x∈SX[0,1]
( Lx, x − λ) ≤ 0, a tak podľa (178) a (189) platí mL ≤ λ.
Podobne pre každé λ ∈ σ(L) a pre každé x ∈ SX [0, 1] máme
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Dôkaz Vety 51 (pokračovanie).
λ − Lx, x
(191)
≤ (L − λI)x X , a keďže inf
x∈SX [0,1]
(L − λI)x X
(177)
= 0, platí
inf
x∈SX[0,1]
(λ − Lx, x ) ≤ 0, −→ sup
x∈SX[0,1]
( Lx, x − λ) ≥ 0,
a tak v súlade s (178) a (189) platí ML ≥ λ. Napokon dokážeme, že obidve
čísla mL a ML sú spektrálne hodnoty operátora L. Vďaka tomu, že spektrum
σ(L) je kompaktná množina v R, podľa identity (185) a Definície 19 platí, že
aspoň jedno z čísiel L a − L je spektrálna hodnota operátora L. (192)
Na druhej strane, využitím Rayleighovej Vety 49 a definícií čísiel mL a ML v
(189) nie je ťažké si uevdomiť, že platí
L = max{ML, −mL}. (193)
Kombináciou podmienok (192) a (193) dostávame, že
aspoň jedno z čísiel mL a ML je spektrálna hodnota operátora L.
Stačí teda predpokladať mL < ML. Nech mL ∈ σ(L). Uvažujme operátor
K := L − mLI. V súlade s Lemou 4 sa jedná o hermiteovský operátor. Z vyššie
odvodených vlastností spektra hermiteovských operátorov vyplýva, že
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Dôkaz Vety 51 (pokračovanie).
λ ∈ σ(K) práve vtedy, keď λ + mL ∈ σ(L). (194)
Ďalej pre hodnoty mK a MK v (189), ktoré odpovedajú operátoru K, máme
mK = mL − mL = 0 a MK = ML − mL. Následne, podľa (193) platí
K = max{MK , −mK } = max{ML − mL, 0} = ML − mL. (195)
V súlade s (192) aspoň jedno z čísiel ML − mL a −(ML − mL) = mL − ML
je spektrálna hodnota operátora K. Keďže hodnota (mL − ML) + mL < mL
nie je prvkom spektra operátora L, nutne sa jedná o číslo ML − mL. V súlade
s (194) je potom číslo (ML − mL) + mL = ML spektrálna hodnota operátora
L, t.j., ML ∈ σ(L). Analogicky sa odvodí, že predpoklad ML ∈ σ(L) implikuje,
že nutne aj číslo mL ∈ σ(L). V tomto prípade pracujeme s hermiteovským
operátorom K := L − MLI. Dôkaz je kompletný.
Poznámka 33 (Spektrum hermiteovského operátora)
Poznamenajme, že reziduálne spektrum každého hermiteovského operátora L
je prázdna množina. Dôvodom je prvá rovnosť vo Vete 23(ii), ktorá má pre
(hermiteovský) operátor L − λI, λ ∈ R, tvar R(L − λI) = (Ker (L − λI))⊥
.
Nie je ťažké si potom uvedomiť, že podmienka v Definícii 18 pre reziduálne
spektrum operátora L nemôže byť splnená pre žiadnu reálnu hodnotu λ.
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Hilbertova–Schmidtova veta
Nasledujúce výsledky budú pojednávať o vlastnostiach kompaktných hermiteovských
operátoroch v Hilbertových priestoroch. Ako motiváciu pripomeňme
klasických výsledok z lineárnej algebry o hermiteovských maticiach v Cn×n
.
Konkrétne, skutočnosť, že každá hermiteovská matica A ∈ Cn×n
sa dá diagonalizovať.
Presnejšie, existuje vhodná ortogonálna matica V ∈ Cn×n
s vlastnosťou
V T
AV =





λ1 0 · · · 0
0 λ2 · · · 0
...
... · · ·
...
0 0 · · · λn





, (196)
kde čísla λ1, . . . , λn sú vlastné hodnoty matice A. Naviac, stĺpce matice V
v (196) sú tvorené vlastnými vektormi matice A, ktoré odpovedajú vlastným
hodnotám λ1, . . . , λn. Ukážeme, že toto pozorovanie sa dá vhodne rozšíriť pre
každý lineárny kompaktný hermiteovský operátor L : H → H pôsobiaci na
Hilbertovom priestore s ľubovoľnou (nekonečnou) dimenziou. Tento výsledok sa
štandarne označuje ako Hilbertova–Schmidtova veta.
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Lema 5
Nech X je Hilbertov priestor a L ∈ L(X) je hermiteovský operátor. Nech ďalej
{xn}∞
n=1 ⊆ X je daná ohraničená postupnosť a x ∈ X vektor s vlastnosťou
limn→∞ Lxn = Lx. Potom platí
lim
n→∞
Lxn, xn = Lx, x . (197)
Dôkaz Lemy 5.
Podľa predpokladov tvrdenia a využitím Cauchyho–Schwarzovej–Buňakovského
nerovnosti postupne pre každé n ∈ N máme
| Lxn, xn − Lx, x | ≤ | Lxn, xn − Lx, xn | + | Lx, xn − Lx, x |
= | L(xn − x), xn | + | x, L∗
xn − x, L∗
x |
= | L(xn − x), xn | + | x, L(xn − x) |
≤ L(xn − x) X · xn X + x X · L(xn − x) X .
Číselná postupnosť { xn X }∞
n=1 je ohraničená a limn→∞ L(xn − x) X = 0,
preto podľa poslednej nerovnosti máme limn→∞ | Lxn, xn − Lx, x | = 0.
Platí teda formula (197) a dôkaz je hotový.
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Veta 52
Nech X je Hilbertov priestor, L ∈ L(X) hermiteovský operátor a QL odpovedajúci
kvadratický funkcionál v (178). Nasledujúce tvrdenia sú ekvivalentné.
(i) Aspoň jedno z čísiel L a − L je vlastná hodnota operátora L.
(ii) Funkcionál |QL| nadobúda na jednotkovej sfére SX[0, 1] svoje maximum,
t.j., existuje vektor x0 ∈ SX[0, 1] s vlastnosťou
|QL(x0)| = max
x∈SX [0,1]
|QL(x)|. (198)
V tomto prípade každý vektor x0 ∈ SX [0, 1] spĺňajúci (198) je vlastný vektor
operátora L, ktorý odpovedá vlastnej hodnote L , resp. − L .
Dôkaz Vety 52.
Nech platí tvrdenie (i), pričom bez ujmy na všeobecnosti predpokladajme, že
L je vlastná hodnota operátora L. Nech x0 ∈ SX [0, 1] je odpovedajúci vlastný
vektor, t.j., máme Lx0 = L x0. Potom podľa (178) platí
|QL(x0)|
(178)
= | Lx0, x0 | = | L x0, x0 | = L · x0 X = L . (199)
V súlade s formulou (179) v Rayleighovej Vete 49 potom dostávame
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Dôkaz Vety 52 (pokračovanie).
|QL(x0)|
(199)
= L
(179)
= sup
x∈SX [0,1]
|QL(x)|, a tak |QL(x0)| = max
x∈SX[0,1]
|QL(x)|.
Rovnaký záver dostaneme i v prípade, keď číslo − L je vlastná hodnota operátora
L. Platí teda tvrdenie (ii). Naopak, predpokladajme platnosť tvrdenia
(ii) a nech x0 ∈ SX [0, 1] je vektor s vlastnosťou (198). Opäť využitím
Rayleighovej Vety 49 dostávame, že |QL(x0)| = L . Obzvlášť, aplikáciou
Cauchyho–Schwarzovej–Buňakovského nerovnosti máme
L = |QL(x0)|
(178)
= | Lx0, x0 | ≤ Lx0 X · x0 X = Lx0 X
(6)
≤ L . (200)
Z posledného reťazca rovností a nerovností vyplýva, že Cauchyho–Schwarzova–
Buňakovského nerovnosť sa v tomto prípade realizuje ako rovnosť. To znamená,
že vektory Lx0 a x0 sú lineárne závislé, t.j., s ohľadom na x0 = 0 existuje λ ∈ C
s vlastnosťou Lx0 = λx0. Vektor x0 je teda vlastným vektorom operátora L a
číslo λ je odpovedajúca vlastná hodnota. A keďže operátor L je hermiteovský,
v súlade s Vetou 51 je λ reálne číslo. Napokon máme
L
(200)
= Lx0 X = |λ| · x0 X = |λ|.
To znamená, že buď λ = L alebo λ = − L , t.j., platí tvrdenie (i).
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Veta 53
Nech X je Hilbertov priestor a L ∈ L(X) je kompaktný hermiteovský operátor.
Potom odpovedajúci funkcionál |QL| definovaný v (178) nadobúda na jednotkovej
sfére SX [0, 1] svoje maximum.
Dôkaz Vety 53.
Nakoľko X ako Hilbertov priestor je reflexívny, podľa Poznámky 16 je obraz
jednotkovej gule L(BX [0, 1]) kompaktná množina v priestore X. V súlade s tvrdením
Rayleighovej Vety 49 je funkcionál |QL| ohraničený na množine SX[0, 1].
Podobne ako v dôkaze Vety 49 označme
s := sup
x∈SX [0,1]
|QL(x)|. (201)
Z (201) vyplýva existencia postupnosti {xn}∞
n=1 ⊆ SX [0, 1] s vlastnosťou
lim
n→∞
|QL(xn)| = s t.j., podľa (178) lim
n→∞
| Lxn, xn | = s. (202)
Keďže operátor L je kompaktný a xn X = 1, n ∈ N, podľa Definície 14 je
postupnosť {Lxn}∞
n=1 ∈ L(BX [0, 1]) relatívne kompaktná v X. To znamená,
že existuje podpostupnosť {xnk }∞
k=1 taká, že odpovedajúca postupnosť hodnôt
{Lxnk }∞
k=1 je konvergentná v X. Kompaktnosť obrazu L(BX [0, 1]) zaručuje, že
príslušná limita patrí do množiny L(BX [0, 1]). Inými slovami,
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Dôkaz Vety 53 (pokračovanie).
existuje vektor x0 ∈ BX [0, 1] s vlastnosťou lim
k→∞
Lxnk = Lx0.
Následne podľa Lemy 5 platí
lim
k→∞
Lxnk , xnk
(197)
= Lx0, x0 . (203)
Kombináciou rovnosti (203) s (202) potom dostaneme
s
(202)
= lim
k→∞
|QL(xnk )|
(178)
= lim
k→∞
| Lxnk , xnk |
(203)
= | Lx0, x0 |
(178)
= |QL(x0)|.
Napokon ukážeme, že vektor x0 ∈ SX[0, 1], t.j., norma x0 X = 1. Predpokladajme,
že operátor L = 0. Potom v zhode s (179) je |QL(x0)| = s > 0, a tak
x0 = 0. Ak by x0 X < 1, potom vektor x∗
0 := 1
x0 X
x0 ∈ SX [0, 1] spĺňa
|QL(x∗
0)|
(178)
= | Lx∗
0, x∗
0 | =
1
x0 X
| Lx0, x0 | > | Lx0, x0 |
(178)
= |QL(x0)| = s,
čo však je v rozpore s definíciou čísla s v (201). Preto x0 X = 1 a funkcionál
|QL| sa na jednotkovej sfére SX[0, 1] skutočne maximalizuje. V prípade operátora
L = 0 na celom X tvrdenie dokazovanej vety platí triviálne, nakoľko
kvadratický funkcionál QL je potom identicky nulový na X. Dôkaz je hotový.
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Veta 54 (Hilbertova–Schmidtova)
Nech X je Hilbertov priestor a L ∈ L(X) je kompaktný hermiteovský operátor.
Nech {λn}N
n=1 ⊆ R s N ∈ N∪{∞} je postupnosť jeho nenulových vlastných čísiel
usporiadaná podľa (170). Potom existuje ortonormálny systém {xn}N
n=1 ⊆ X
odpovedajúcich vlastných vektorov operátora L s vlastnosťou, že každý vektor
x ∈ X sa dá jednoznačne vyjadriť v tvare
x = yx +
N
n=1
cnxn, kde vektor yx ∈ Ker L a postupnosť {cn}N
n=1 ⊆ C. (204)
Dôkaz Vety 54.
V súlade s Vetou 47 má operátor iba reálne vlastné čísla, pričom podľa Dôsledku 5
a Poznámky 29 je ich najviac spočítateľne veľa a dajú sa usporiadať v tvare (170).
Ďalším záverom Vety 47 a Dôsledku 5 je skutočnosť, že systém odpovedajúcich
lineárne nezávislých vlastných vektorov operátora L je najviac spočítateľný a
ortonormálny. Ukážeme, že tento systém sa dá vybrať tak, aby platila vlastnosť
(204). Postupnosť {xn}N
n=1 ⊆ X budeme konštruovať induktívne, pričom
využijeme vlastnosti kvadratického funkcionálu QL definovaného v (178). Podľa
Vety 53 sa funkcionál |QL| maximalizuje na jednotkovej sfére SX [0, 1]. Nech
x1 ∈ SX [0, 1] je vektor s vlastnosťou
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Dôkaz Vety 54 (pokračovanie).
|QL(x1)| = max
x∈SX [0,1]
|QL(x)|.
Z Vety 52 vieme, že x1 je potom vlastný vektor operátora L, ktorý odpovedá
vlastnej hodnote λ1 ∈ R s |λ1| = L . Označme X1 := Lin {x1}. Zrejme
X1 ⊆ X je uzavretý podpriestor v X, ktorý je invariantný vzhľadom na operátor
L. Keďže L je hermiteovský, v súlade s Vetou 25 je i ortogonálny doplnok X⊥
1
invariantný vzhľadom na L, t.j., platí L(X⊥
1 ) ⊆ X⊥
1 . Vieme, že podpriestor X⊥
1
je uzavretý v X, teda i úplný, t.j., Hilbertov priestor. Zúženie funkcionálu |QL| na
X⊥
1 sa v zhode s Vetou 53 opäť maximalizuje na jednotkovej sfére X⊥
1 ∩SX[0, 1],
pričom vektor x2 ∈ X⊥
1 ∩ SX [0, 1] definovaný vlastnosťou
|QL(x2)| = max
x∈X⊥
1 ∩SX [0,1]
|QL(x)|,
je podľa Vety 52 vlastný vektor operátora L. Vektor x2 odpovedá vlastnej
hodnote λ2 ∈ R s |λ2| = L1 , kde operátor L1 := LX⊥
1
: X⊥
1 → X⊥
1 . Zrejme
podľa (6) je norma L1 ≤ L , a tak
|λ1| ≥ |λ2| a vektory x1 ∈ X1 a x2 ∈ X⊥
1 sú ortogonálne.
Analogickým spôsobom postupne zostrojíme ďalšie vlastné vektory a vlastné
čísla operátora L. Konkrétne, ak x1, . . . , xn je ortonormálny systém vlastných
vektorov operátora L stanovený vyššie uvedeným spôsobom a |λ1| ≥ · · · ≥ |λn|
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Dôkaz Vety 54 (pokračovanie).
je množina odpovedajúcich vlastných čísiel operátora L, potom uzavretý podpriestor
Xn := Lin {x1, . . . , xn} ⊆ X je Hilbertov priestor invariantný vzhľadom
na operátor L. Funkcionál |QL| sa na sfére X⊥
n ∩ SX [0, 1] maximalizuje vo vektore
xn+1. Podľa Vety 52 je xn+1 ∈ X⊥
n ∩ SX [0, 1] vlastný vektor operátora
L, ktorý odpovedá vlastnej hodnote λn+1 ∈ R s |λn+1| = Ln , kde operátor
Ln := LX⊥
n
: X⊥
n → X⊥
n . Naviac, systém vektorov x1 . . . , xn+1 je ortonormálny
a |λn| ≥ |λn+1|. Dodajme, že postupnosť podpriestorov {X⊥
n }∞
n=1 ⊆ X
je nerastúca. V uvedenom procese konštrukcie vlastných vektorov a vlastných
čísiel operátora L môžu nastať dve situácie.
Existuje najmenší index N ∈ N taký, že funkcionál QL ≡ 0 na X⊥
N ∩ SX [0, 1].
To znamená, že funkcionál QL sa na množine X⊥
N ∩SX [0, 1] maximalizuje v každom
vektore x ∈ X⊥
N ∩SX [0, 1]. Ak podpriestor X⊥
N = {0}, potom podľa Vety 52
je každé x ∈ X⊥
N ∩ SX[0, 1] vlastný vektor operátora L odpovedajúci vlastnému
číslu LN = |QL(x)| = 0. Operátor L sa teda na podpriestore X⊥
N správa ako
nulové obrazenie, t.j., L(X⊥
N ) = {0}. Preto L má práve N nenulových vlastných
hodnôt a vlastnú hodnotu 0. Naviac, zostrojený systém vektorov {xn}N
n=1 dopĺňa
každú ortonormálnu bázu podpriestoru Ker L na ortonormálnu bázu priestoru X.
Platí teda jednoznačná reprezentácia v (204) pre každé x ∈ X. Ak X⊥
N = {0},
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Dôkaz Vety 54 (pokračovanie).
potom operátor L má iba nenulové vlastné hodnoty (v počte N) a systém vektorov
{xn}N
n=1 vytvára ortonormálnu bázu celého priestoru X. I v tomto prípade
platí jednoznačná reprezentácia v (204) s yx = 0 pre každé x ∈ X.
Pre každý index n ∈ N je funkcionál QL ≡ 0 na X⊥
n ∩ SX [0, 1].
Uvažujme podpriestor Z ⊆ X definovaný
Z :=
∞
n=1
X⊥
n . (205)
Zrejme Z je uzavretý podpriestor v X, a teda opäť Hilbertov priestor. Platí
|QL(x)| ≤ |λn| pre každé x ∈ Z ∩ SX [0, 1] a každé n ∈ N. (206)
Skutočne, číslo |λn| je podľa predchádzajúcich úvah maximum funkcionálu |QL|
na jednotkovej sfére X⊥
n−1 ∩ SX [0, 1], pričom v zhode s (205) platí inklúzia
Z ∩ SX [0, 1] ⊆ X⊥
n−1 ∩ SX [0, 1] pre každé n ∈ N (kladieme X0 := {0}).
Následným limitovaním nerovnosti (206) pre n → ∞ s ohľadom na to, že podľa
Poznámky 29 platí limn→∞ |λn| = 0, dostaneme
|QL(x)| = 0 pre každé x ∈ Z ∩ SX [0, 1]. (207)
Základy Inverzia Adjungovanosť Kompaktnosť Spektrum
Dôkaz Vety 54 (pokračovanie).
Odvodená skutočnosť v (207) prevádza skúmaný problém na prípad analyzovaný
vyššie. Ak podpriestor Z = {0}, potom L(Z) = {0} a operátor L má nekonečne
veľa nenulových vlastných hodnôt {λn}∞
n=1 ⊆ R, pričom 0 je tiež jeho vlastná
hodnota. Naviac, každá ortonormálna báza podpriestoru Ker L sa dá systémom
vlastných vektorov {xn}∞
n=1 operátora L doplniť na ortonormálnu bázu celého
priestoru X. Ak Z = {0}, potom zrejme Ker L = {0}, a tak číslo 0 nie je vlastná
hodnota operátora L. Nekonečná postupnosť vlastných vektorov {xn}∞
n=1 operátora
L je ortonormálnou bázou priestoru X. V oboch prípadoch opäť platí
jednoznačná reprezentácia (204) pre každé x ∈ X. Dôkaz je kompletný.
Poznámka 34
Nie je ťažké si premyslieť, že pre každý daný vektor x ∈ X sú čísla cn,
n ∈ {1, . . . , N}, v rovnosti (204) Fourierove koeficienty vektora x vzhľadom
na ortonormálny systém {xn}N
n=1 ⊆ X vlastných vektorov operátora L, t.j.,
platí cn = x, xn pre každé n ∈ {1, . . . , N}. Okrem toho platí formula
Lx
(204)
= Lyx +
N
n=1
cnLxn =
N
n=1
λncnxn pre každý vektor x ∈ X. (208)