Wienerův proces
– Wienerův proces (Brownův pohyb) je stochastický proces ve
spojitém čase se spojitými hodnotami
– můžeme jej intuitivně chápat jako limitu náhodné procházky při
zmenšování časového a prostorového kroku ∆x → 0 a ∆t → 0.
Nechť
P {Xi = 1} = P {Xi = −1} =
1
2
,
kde Xi , ..., Xn, ... jsou IID náhodné veličiny.
Máme E (Xi ) = 0 a Var (Xi ) = 1.
Potom
Sn = X1 + X2 + ... + Xn,
kde S0 = 0 je standardní symetrická náhodná procházka.
Zvolme délku časového kroku ∆t a prostorového kroku ∆x.
Pro t = n∆t, tedy n = t
∆t , definujeme proces
St = Sn∆t = (X1 + X2 + ... + Xn) ∆x.
Z nezávislosti přírůstků Xj plyne, že E (St) = 0 a
Var (St) = (∆x)2
n = (∆x)2 t
∆t
.
Zajímá nás chování tohoto procesu v limitě ∆x → 0 a ∆t → 0.
Uvažujeme mocninnou závislost mezi ∆x a ∆t.
Položme ∆t = (∆x)p
, kde p > 0. Pro ∆t → 0 pak dostáváme
Var (St) =
(∆x)2
∆t
t



→ 0 pro p < 2
= t pro p = 2
→ ∞ pro p > 2
.
Konečný nenulový rozptyl tedy dostaneme jen pro volbu p = 2. Pro
∆t = (∆x)2
dostaneme v limitě pro ∆t → 0 standardní Wienerův proces.
Z Centrální limitní věty plyne, že St má v limitě pro ∆t → 0 a
(∆x)2
= ∆t normální rozdělení N (0, t).
Věta 10.1. (centrální limitní věta) Nechť X1, X2, ... jsou
nezávislé náhodné veličiny se stejným rozdělením, které mají střední
hodnotu µ a konečný rozptyl σ2. Označme
Yn =
(X1 + X2 + ... + Xn − µn)
√
n
pro n = 1, 2, .... Pak Yn konverguje v distribuci k rozdělení
N 0, σ2 .
Definice 10.2. Stochastický proces Wt, kde t ∈ [0, ∞), se nazývá
standardní Wienerův proces, jestliže platí:
1. W0 = 0
2. (spojitost) S pravděpodobností 1 je trajektorie Wienerova
procesu spojitá.
3. (nezávislost) Přírůstky Wienerova procesu jsou nezávislé, tj.
pro 0 ≤ t1 < s1 ≤ t2 < s2 ≤ ... ≤ tn < sn jsou přírůstky
Ws1 − Wt1 , Ws2 − Wt2 , ..., Wsn − Wtn navzájem nezávislé.
4. (normalita přírůstků) Přírůstky Ws − Wt pro s > t mají
rozdělení N (0, s − t).
Speciálně z vlastností 1 a 4 máme
Wt ∼ N (0, t) ∼
√
tN (0, 1) .
Označme ∆W přírůstek Wienerova procesu za čas ∆t. Máme
∆W =
√
∆tε,
kde ε má standardní normální rozdělení N (0, 1).
Pro očekávání a rozptyl ∆W dostaneme
E (∆W ) =
√
∆tE (ε) = 0
Var (∆W ) = E (∆W )2
= ∆t.
Zobecněný Wienerův proces můžeme definovat pomocí
infinitezimálního přírůstku
dX = adt + bdW ,
kde a, b jsou konstanty a W je standardní Wienerův proces.
Koeficient a je koeficient driftu a b je koeficient volatility. Opět
máme
∆X = a∆t + bε
√
∆t,
tedy
E (∆X) = a∆t
Var (∆X) = b2
∆t.
Pro b = 0 máme
dX = adt,
tedy Xt = at je deterministický proces.
Další možné zobecnění: koeficienty a, b se mohou měnit a mohou
záviset na t a případně i na hodnotách X.
Wienerův proces a model vývoje ceny akcie
Wienerův proces není vhodný pro popis vývoje ceny akcie z několika
důvodů:
Ceny akcie mohou nabývat i záporné hodnoty.
Při Wienerově procesu je pravděpodobnost, že se cena zvýší o
1 Kč stejná je-li S = 1 Kč, nebo S = 100 000 Kč.
To co je důležité není absolutní změna (ta závisí na jednotkách
v nichž cenu vyjadřujeme), ale relativní změna vůči ceně akcie.
Nechť
dS = µSdt + σSdW ,
kde µ je drift a σ je volatilita. Tak je definován geometrický
Wienerův proces. Máme
dS
S
= µdt + σdW
a diskretizací dostaneme:
∆S = µS∆t + σSε
√
∆t,
kde ε ∼ N (0, 1).
K vyřešení rovnice potřebujeme Itôovo lemma.
Itôovo lemma
Pro porovnání připomeňme nejdříve diferenciál deterministické
funkce.
1 proměnná: dG = ∂G
∂x dx
funkce 2 deterministických proměnných x, t:
dG =
∂G
∂t
dt +
∂G
∂x
dx.
V případě Wienerova procesu platí heuristický vztah
(dW )2
= dt
proto budeme mít navíc člen
1
2
∂2G
∂x2
(dX)2
.
Itôovo lemma je analogií pravidla pro diferenciál složené funkce a
slouží k výpočtu přírůstků funkce stochastického procesu.
Nechť hodnota stochastického procesu X splňuje rovnici
dX = a (X, t) dt + b (X, t) dW ,
kde W je standardní Wienerův proces a a, b jsou funkce X a t.
Nechť G (x, t) je dvakrát spojitě diferencovatelná funkce dvou
proměnných x, t.
Jakou rovnici splňuje přírůstek procesu G (X, t)?
Itôovo lemma říká, že pro G platí
dG =
∂G
∂t
dt +
∂G
∂x
dX +
1
2
∂2G
∂x2
(dX)2
kde za dX dosadíme a (dX)2 počítáme podle pravidel
dtdt = 0, dtdW = 0, (dW )2
= dt.
Tak dostaneme celkem
dG =
∂G
∂t
+
1
2
∂2G
∂x2
b2
+ a
∂G
∂x
dt +
∂G
∂x
bdW .
Odvození Black-Scholesovy rovnice
Black-Scholesova rovnice popisuje vývoj hodnoty evropské opce v
Black-Scholesově modelu.
Předpokládejme, že pohyb ceny akcie je popsán geometrickým
Wienerovým procesem
dS = µSdt + σSdW ,
neboli
dS
S
= µdt + σdW .
Použijeme Itôovo lemma na funkci G (S, t) = lnS.
Máme
∂G
∂t
= 0,
∂G
∂S
=
1
S
,
∂2G
∂S2
=
1
S2
.
Tedy z Itôova lemmatu
dG = µ −
σ2
2
dt + σdW
a
d (ln S) = µ −
σ2
2
dt + σdW .
Odtud plyne, že ln ST − ln S0 má normální rozdělení se střední
hodnotou µ − σ2
2 T a rozptylem σ2T.
Tedy
ln ST ∼ N ln S0 + µ −
σ2
2
T; σ2
T .
ST má tedy lognormální rozdělení, tj. ln ST má normální
rozdělení.
Máme rovnici pro cenu akcie, která sleduje geometrický Wienerův
proces
dS = µSdt + σSdW (1)
Nechť f je cena evropské call opce s danou realizační cenou K a
časem expirace T.
Zisk z takové opce v čase T je
(ST − K)+ .
f závisí na S a t a je tedy funkcí dvou proměnných, f (S, t).
Hodnota f (S, t) je cena opce v čase t a při ceně akcie rovné S.
Podle Itôova lemmatu platí pro změnu ceny opce
df =
∂f
∂t
dt +
∂f
∂S
dS +
1
2
∂2f
∂S2
(dS)2
.
za dS dosadíme z 1, tedy
df =
∂f
∂t
dt +
∂f
∂S
(µSdt + σSdW ) +
1
2
∂2f
∂S2
(µSdt + σSdW )2
.
Jelikož (dt)2
a dtdW jsou členy vyššího řádu a víme, že
(dW )2
= dt, dostáváme:
df =
∂f
∂t
+
∂f
∂S
µS +
1
2
∂2f
∂S2
σ2
S2
dt +
∂f
∂S
σSdW (2)
Vhodnou kombinací 1 a 2 můžeme sestavit portfolio z akcií a opcí,
jehož výnos je deterministický.
Jinak řečeno, můžeme eliminovat stochastický člen dW .
Označme Π hodnotu portfolia složeného z 1 opce a − ∂f
∂S akcie, tedy
Π = −
∂f
∂S
S + 1f
Pro přírůstek hodnoty portfolia za čas dt máme:
dΠ = −
∂f
∂S
dS + 1df .
Po dosazení z 1 dostaneme
dΠ = −
∂f
∂S
µS +
∂f
∂t
+
∂f
∂S
µS +
1
2
∂2f
∂S2
σ2
S2
dt,
stochastický člen se vyruší.
Přírůstek hodnoty portfolia dΠ se musí (z neexistence arbitráže)
rovnat zisku z bezrizikového aktiva s úrokovou mírou r, tj.
dΠ = rΠdt.
Celkem dostaneme
∂f
∂t
+
1
2
∂2f
∂S2
σ2
S2
dt = r −
∂f
∂S
S + f dt
a
∂f
∂t
+
1
2
∂2f
∂S2
σ2
S2
+
∂f
∂S
Sr = rf
To je Black-Scholesova parciální diferenciální rovnice.
Po transformaci (substitucích) dostaneme rovnici difuze (vedení
tepla)
∂f
∂t
=
∂2f
∂S2
Známe také koncovou podmínku – hodnotu f (T) = (ST − K)+
Řešením dostaneme Black-Scholesův vzorec.