Oceňování finančních derivátů
Martin Kolář
Bezkupónový dluhopis zaručuje vyplacení předem dané sumy ve stanoveném čase.
Poměr této sumy a současné ceny definuje úrokovou míru pro dobu splatnosti dluhopisu.
Tyto úrokové míry jsou základem pro definici časové struktury úrokových měr.
Představují cenu peněz od současnosti (čas t) do času T.
Bezkuponový dluhopis s nominální hodnotou 1 Kč s výplatou v čase T určuje úrokovou míru mezi časy t a T.
Necht P(ř, 7") je cena dluhopisu v čase t. Tedy
P(T, T) = l
Máme
P(t, T) = e-R(f-T)(T-ř)
tedy zlogaritmováním
R(t, T) = -j^—t\nP(t, T)
/?(t, 7") je úroková míra na období od t do T, t.j.
(7" — t)-roční úroková míra, kde t označuje současnost.
Závislost na T se nazývá časová struktura úrokových měr.
Pro krátké období délky Ar dostaneme
1
R(t, t + At) = -— In P(t, t + Ař) = = ~(\nP(t,t + At)-\nP(t, t))
Okamžitou úrokovou míru v současnosti ( "zero rate" dostaneme jako limitu
1
rt = Pír, t) = lim - —-(In Pír, 7) - In Píŕ, t
T-H    T — t
= -4 "n P(t, V)
Forwardové úrokové míry
Souvisíš forwardovým kontraktem na dluhopisy.
Definice: forwardový kontrakt na dluhopis je smlouva uzavřená v čase t na koupi dluhopisu v čase 7~i > t za cenu K, se splatností v čase 7~2 > 7~i.
V čase 7~i máme zisk nebo ztrátu P(7~i, 7"2) — K (výplatní funkce kontraktu).
Jaká má být forwardová cena K aby hodnota v čase t byla rovna nule?
Uvažujme následující strategii:
1. Prodáme K ks dluhopisu se splatností v čase 7~i a cenou
2. Koupíme 1 ks dluhopisu se splatností v čase 7~2 a cenou P(t, T2)
Strategie je ekvivalentní uzavřené forwardové smlouvě
Hodnota strategie v čase 7~i bude
1P{Tí, T2) - KP{TU Ti) = P(7i, 72) - K
tedy totéž jako z forwardové smlouvy.
Má-li být hodnota v čase t rovna nule, pak
KP{t, Ti) - P(t, T2) = 0
□       3       -       =       1    O o, O
Tedy
K =
P{t, T2)
Platí
P{t, T2)
nebot
P(t, T2) < P(t, "
jinak existuje arbitráž.
Označme jako ŕ(ŕ, 7~i, 7~2) forwardovou úrokovou míru, tedy míru dohodnutou dnes v čase t na období v budoucnosti od 7~i do T2.
Forwardová cena dluhopisu určuje úrokovou míru na čas od 7~i do 72. Máme
K = P(t, Ti, T2) = e-'(ŕ'Tl'T2)(T2-Tl)
Odtud tedy úrok určený z forwardového kontraktu je dán vztahem
f{t, Tu T2) =----
12 — '1
a po dosazení
\nP{t,T2)-\nP{t,T1) T2-T1
Pro 7~2     7"i máme
f(t, T) = ~\nP(t, T)
Což je okamžitá forwardová úroková míra. Označuje dnes (v čase t) dohodnutou okamžitou úrokovou míru v čase T.
Jaký je vztah mezi /?(t, T) a f(t, T)l
Platí
f(t, T) = R{t, T) + (T-t)-^r\nR(t, T)
Opce na dluhopisy
Evropská call opce na dluhopis je právo v čase expirace T koupit dluhopis za cenu K
Předpoklad: cena dluhopisu sleduje geometrický Wienerův proces s konstantní volatilitou a. Pak platí
C = e-r(T-ř)(F0(c/i) - K0(cf2))
a pro put opci
p = e-f(T-ř)(/(0(-c/2) - F0(-c/i))
kde F je forwardová cena dluhopisu pro čas expirace opce a
di = —-- -,    d2 = cli — a V T — t.
o\/T - t
Matematicky není model korektní - ale v praxi se používa
- expirace opce musí být daleko před splatností dluhopisu, jinak je předpoklad GWP určitě chybný
- cena v čase 7~2 je známá - efekt pull to par
- redukce derivátu 2. řádu na 1. řád
- Dluhopis je v jistém smyslu derivát úrokové míry, opce n dluhopis je něco jako složená opce