Oceňování finančních derivátů Martin Kolář heta © měří citlivost portfolia hodnoty opce (portfolia) na změnu času, tedy dC 0(call) = dt Platí ©(call) =--j=---rKe n 0(c/2), 2 v T kde 0'(c/i) = 7=e- © je jiný typ parametru než A, protože čas je deterministická proměnná, proti plynutí času se nemá smysl jistit. © se v praxi používá jako náhražka za [~. Gamma ľ měří rychlost změny A vzhledem ke změně ceny S, tedy dA _ d2C ~~dš ~ as*' Malé ľ znamená, že A se mění pomalu, není třeba tak často rebalancovat pro udržení A-neutrálního portfolia. Velké ľ naopak říká, že A je citlivé na změny S. Je tedy nutné častější rebalancování. ľ měří křivost grafu závislosti ceny opce na ceně podkladového aktiva. Pro A-neutrální portfolio platí přibližně: att = 0 -Ar + A -aS +\Y • (aS)2 + o(Ar). 2 =0 ľ-neutrální portfolio: Pozice v akcii má ľ = 0. Je treba nástroj (napr. opce), který má T 0, tedy který závisí nelineárně na ceně akcie. Je-li Y a gamma portfolia A a gamma opce je f~o, pak přidáním wj počtu opcí do portfolia máme Y = Y a + wtYo- Pro wT = —— I o dostaneme ľ = 0, tedy ľ neutrální portfolio. Přidáním opce se změní A portfolia, nebude tedy A-neutrální. Proto musíme ještě změnit pozici v akciích. Tím se nezmění ľ-neutralita, protože [~(akcie)=0. Portfolio sA = 0a ľ = 0 je imunní i proti větším výkyvům ceny podkladové akcie. □ e Příklad: Uvažujeme A-neutrální portfolio s T = —3000. A a T opce jsou 0,62 a 1,5. Pak portfolio bude ["-neutrální, jestliže přidáme dlouhou pozici v = 2000 call opcích. Tím se změní A portfolia z 0 na 2000 • 0, 62 = 1240. Musíme ještě prodat 1240 akcií, abychom dostali portfolio, které je A-neutrální (a současně ["-neutrální). Přímým výpočtem dostaneme hodnotu f, dS0 SqoVT' Pro dlouhou pozici je ľ > 0 Taylorův rozvoj hodnoty portfolia v parametrech Připomeňme, že Taylorův polynom 2. stupně pro funkci 2 proměnných má tvar df df y)=f(xo, yo) + q^(xoi yo)(* - xo) + q^(xoi yo)(y - yo)+ ld2f d2f ld2f 2^(x-xo)2 + g^-(* - x„)(y - y0) + -^(y - yo. Označme df = f(x, y) - f (x0, y0) ... přírůstek funkce dx = x - x0 ... přírůstek x dy = y — yo ... přírůstek y Pak máme 8f 8f 182f 82f 182f Necht 7T je hodnota portfolia, kde r, a bereme konstantní. Uvažujeme tedy tt jen jako funkci S a ŕ. Dosazením dostaneme r, ■ 97T Ô7T ^ 1 d27T , ,,^x9 327T ^ 1 027T , ^ x9 Tedy (po zanedbání členů vyššího řádu) dTT=AdS + Qdt+h{dS)2 Speciálně, pro A-neutrální portfolio máme dir=Gdt+h{dS)2 Pokud je portfolio A i ľ neutrální, pak dostaneme d7v=Qdt. Vega V měří citlivost na změnu volatility ( vega není řecké písmeno, v matematicky orientované literatuře se původně používalo písmeno v). Máme dC V(call) = der □ ifp - = -E O o, O Platí V(call) = So-\/7.0/(c/1). Velké vega znamená velkou citlivost portfolia na změny volatility. Pozice v akcii má vega rovno 0. ["-neutrální portfolio má obvykle nenulové V a naopak. K sestavení ľ i V neutrálního portfolia jsou potřeba nejméně dva různé deriváty na podkladovou akcii. Příklad: Uvažujme A-neutrální portfolio A s Y{A) = -5000, V {A) = - 8000. Obchodovaná opce O má gamma 0,5, vega 2,0 a delta 0,6. Sestavte gamma neutrální portfolio. Portfolio bude V-neutrální pokud koupíme 8000/2 = 4000 opcí. □ Mg M | M | ► 1 O 0,0 To zvýší A na 4000 -0,6 = 2400, tedy je třeba prodat 2400 akcií, aby bylo opět A-neutrální. I~ se změní na -5000 + 4000 • 0, 5 = -3000. Pro T a současně V neutrální portfolio musíme mít k dispozici ještě další opci. Příklad: Necht navíc další obchodovaná opce O2 má gamma 0,8, vega 1,2 a delta 0,5. Sestavte gamma i vega neutrální portfolio. Máme-li w\ opcí O a w2 opcí O2 pak chceme: T : -5000 + 0, 5w1 + 0, 8w2 = 0 V : -8000 + 2, Owi + 1, 2w2 = 0 Odtud dostaneme: i/i/i = 400 1/1/2 = 6000 Tedy koupíme-li 400 opcí O a 6000 opcí O2, pak portfolio bude ľ i V neutrální. Jeho A bude 400 • 0, 6 + 6000 -0,5 = 3240. Tedy musíme ještě prodat 3240 akcií, aby bylo portfolio i A-neutrální. Taylorův rozvoj v proměnných S, ŕ, a bude mít tvar =AdS + Qdt + Vda + ^V{dS)2 Rho p měří změnu hodnoty opce (portfolia) v závislosti na změně úrokové míry. dC p(call) = dr Přímým výpočtem dostaneme p(call) = K T ■ e~rT ■ (d2)- 2\[Ť Příklad: Odvodte vztah pro T call opce, Příklad: Odvodte vztah pro vega call opce, Příklad: Vypočtete limitu V pro S —>► oc a S —> 0. Příklad: Dokažte, že cena call opce je rostoucí funkcí volatility. Příklad: Odvodte vztahy pro parametry citlivosti vyšších rád - Speed, Vanna, Vomma. Příklad: Pomocí vztahu pro Speed najděte hodnotu S pro kterou je Gamma maximální.