Při sprchování stoupla v koupelně teplota vzduchu na 39 °C, tlak zůstal atmosférický (101325 Pa).
Hmotnostní koncentrace vodní páry ve vzduchu byla cm(H2O) = 50,4 g m-3
.
Kolik procent částic vzduchu v koupelně tvořili molekuly vody?
(Předpokládejte, že vzduch i voda se chovají jako ideální plyny.)
M(H2O) = 18,0 g mol-1
Konstanta: R = 8,314 m3
Pa K-1
mol-1
Co bylo potřeba vypočítat:
Pro výpočet toho, jakou část vzduchu tvoří voda, potřebujeme znát počet částic vody a počet všech
částic vzduchu. Cílem je tedy zjistit podíl částic vody ve vzduchu:
𝑛voda
𝑛vzduch
× 100 % (1)
Známe podmínky a pracujeme s přiblížením ideálního plynu. K dispozici máme teplotu a tlak vzduchu
v místnosti, k tomu ovšem plynovou konstantu. Máme také hmotnostní koncentraci vody. Ze stavové
rovnice ideálního plynu
𝑝𝑉 = 𝑛𝑅𝑇 (2)
nám chybí objem a látkové množství. Z převodu mezi látkovou a hmotnostní koncentrací taky:
𝑐n (voda) =
𝑛voda
𝑉vzduch
=
𝑐m (voda)
𝑀voda
(3)
Látková množství chceme zjistit, ale jaký je tedy objem místnosti? Na tom vlastně vůbec nezáleží. Voda
bude zabírat stejnou relativní část vzduchu v jakémkoliv objemu: Pokud by to bylo 20 %, bylo by to 20
% celé místnosti, 20 % v 1 m3
, nebo 20 % z 22,4 dm3
(což je objem vzduchu, kterým je mnoho studentů
z nějakého důvodu posedlých). Takže za objem si můžete dosadit cokoliv, za předpokladu, že stejný
objem dosadíte při výpočtu vzduchu i vody, tedy do obou rovnic. Lze to ovšem vyjádřit i elegantněji:
𝑛voda
𝑛vzduch
=
𝑛voda
𝑛vzduch
𝑉vzduch
𝑉vzduch
⁄ (4)
(poměr
𝑉vzduch
𝑉vzduch
= 1, takže matematicky jen dělíme poměr částic jedničkou)
𝑛voda
𝑛vzduch
𝑉vzduch
𝑉vzduch
⁄ =
𝑛voda
𝑉vzduch
𝑛vzduch
𝑉vzduch
=
𝑐n (voda)
𝑐n (vzduch)
(5)
Poměr koncentrací vody a vzduchu je tedy stejný jako poměr jejich látkových množství v místnosti. Pak
už jde jen o vyjádření látkové koncentrace z hmotnostní u vody, a ze stavové rovnice u vzduchu:
𝑐n (voda) =
𝑐m (voda)
𝑀voda
=
50,4 g m−3
18,0 g mol−1
= 2,8 mol m−3 (6)
𝑐n (vzduch) =
𝑛vzduch
𝑉vzduch
=
𝑝vzduch
𝑅𝑇vzduch
=
101325 𝑃𝑎
8,314 m3 Pa K−1 mol−1 × 312,15 K
= 39,0 mol m−3 (7)
Pokud byste neřešili koncentrace, ale počítali látkové množství pro objem V = 1 m3
, vyšlo by vám 2,8
mol vody a 39 mol vzduchu.
𝑛voda
𝑛vzduch
=
𝑐n (voda)
𝑐n (vzduch)
=
2,8 mol m−3
39,0 mol m−3
= 0,072 × 100 % = 7,2 % (8)
A co jiné způsoby řešení? Protože jde o ideální plyny, kde jakýkoliv plyn zabírá za daných podmínek
stejný objem, bude poměr částic stejný jako poměr objemu.
𝑛voda
𝑛vzduch
=
𝑉voda
𝑉vzduch
Řešení se ale bude pořád točit kolem stejné podstaty. Například lze místo látkového množství vzduchu
v 1 m3
spočítat objem 1 mol vzduchu. Ten pak můžete dosadit do výpočtu látkového množství vody
z její koncentrace.
𝑉vzduch =
𝑛vzduch 𝑅𝑇vzduch
𝑝vzduch
=
1 mol × 8,314 m3
Pa K−1
mol−1
× 312,15 K
101325 Pa
= 0,0256 m3 (9)
Povšimněte si prosím, že výsledek není 0,0224 m3
. Tolik by to bylo, kdyby teplota byla 0 °C (schválně,
zkuste dosadit).
Jak ale zjistíte objem vody v tomto objemu vzduchu? Zbytečně komplikovaně. Můžete ale snadno zjistit
látkové množství vody, a to z rovnice (3):
𝑛voda =
𝑐m (voda) 𝑉vzduch
𝑀voda
=
50,4 g m−3
× 0,0256 m3
18,0 g mol−1
= 0,072 mol (10)
To se číselně podobá na správný výsledek. Proč? A co s tím teď?
Vždy, když dostanete částkový výsledek, je užitečné vědět, co jste vlastně vypočítali. V prvním řadě je
důležité nezapomenout, jakou veličinu jste získali, proto je vhodné si všude psát jednotky. Pak se
nestane, že dostanete hmotnost v mol nebo objem v g m-3
. Tady jsme vypočítali množství vody
v 0,0256 m3
vzduchu, což odpovídá 1 mol vzduchu. Takže jsme vlastně získali látkové množství pro
vzduch i vodu ve stejném objemu a můžeme je dát do poměru.
𝑛voda
𝑛vzduch
× 100 % =
0,072 mol
1 mol
× 100 % = 7,2 % (11)
V odevzdaných testech jsem našel spoustu zajímavých výpočtů, které nevedly k správnému řešení,
i když při jejich plném pochopení by mohly. Zde je několik z nich:
Hmotnost vody v 1 mol vzduchu:
𝑚voda = 𝑐m (voda) 𝑉vzduch = 50,4 g m−3
× 0,0256 m3
= 1,290 g (12)
(Poměr této hodnoty a Mvoda vede ke správnému výsledku, jde o stručnou verzi rovnice 10.)
Objem vzduchu, ve kterém se nachází 1 mol vody:
𝑉vzduch =
𝑚voda
𝑐m (voda)
=
𝑛voda 𝑀voda
𝑐m (voda)
=
1 mol × 18 g mol−1
50,4 g m−3
= 0,357 m3 (13)
(Poměr objemu 1 mol vzduchu a této hodnoty vede ke správnému výsledku, ale není to intuitivní.)
Hmotnost 1 m3
vodní páry, tedy kdyby vzduch tvořila jen voda, takže 𝑐n (vzduch) = 𝑐n (voda) (Rov. 7).
𝑚voda = 𝑛voda 𝑀voda = 𝑐n 𝑉𝑀voda = 39,0 mol m−3
× 1 m3
× 18 g mol−1
= 702 g (14)
(Poměr hmotnosti vody v 1 m3
vzduchu, tedy 50,4 g, a této hodnoty vede ke správnému výsledku.)
Pak jste ze stavové rovnice spočítali například objem 2,8 mol plynu, látkové množství vody nebo
vzduchu v 22,4 litrech vzduchu (číslo 22,4 se objevovalo opravdu často, i když zde nemá žádný speciální
význam).